Tele2 бойынша анықтама, тарифтер, сұрақтар

теңсіздік шешімірежимінде желіде шешімкез келген дерлік берілген теңсіздік желіде. Математикалық Интернеттегі теңсіздіктерматематиканы шешу. Тез табыңыз теңсіздік шешімірежимінде желіде. www.site сайты табуға мүмкіндік береді шешімкез келген дерлік берілген алгебралық, тригонометриялықнемесе Интернеттегі трансценденттік теңсіздік. Математиканың кез келген саласын әр түрлі кезеңдерде оқыған кезде сіз шешім қабылдауыңыз керек Интернеттегі теңсіздіктер. Жауапты дереу, ең бастысы нақты жауап алу үшін сізге мұны істеуге мүмкіндік беретін ресурс қажет. www.site сайтына рахмет теңсіздікті желіде шешубірнеше минут алады. Математикалық есептерді шешудегі www.site сайтының басты артықшылығы Интернеттегі теңсіздіктер- бұл берілген жауаптың жылдамдығы мен дәлдігі. Сайт кез келген нәрсені шеше алады онлайн алгебралық теңсіздіктер, тригонометриялық теңсіздіктер, онлайн трансценденттік теңсіздіктер, және де теңсіздіктеррежимінде белгісіз параметрлермен желіде. Теңсіздіктерқуатты математикалық аппарат қызметін атқарады шешімдерпрактикалық мәселелер. Көмегімен математикалық теңсіздіктербір қарағанда түсініксіз және күрделі болып көрінетін фактілер мен қатынастарды білдіруге болады. Белгісіз мөлшерлер теңсіздіктермәселені тұжырымдау арқылы табуға болады математикалықтүрінде тіл теңсіздіктерЖәне шешурежимде тапсырма алды желіде www.site сайтында. Кез келген алгебралық теңсіздік, тригонометриялық теңсіздікнемесе теңсіздіктерқамтитын трансцендентальдымүмкіндіктерін оңай пайдалана аласыз шешуонлайн және нақты жауап алыңыз. Жаратылыстану ғылымдарын оқығанда сіз міндетті түрде қажеттілікке тап боласыз теңсіздіктердің шешімдері. Бұл жағдайда жауап нақты болуы керек және режимде дереу алынуы керек желіде. Сондықтан үшін онлайн математикалық теңсіздіктерді шешуСізге таптырмас калькулятор болатын www.site сайтын ұсынамыз онлайн алгебралық теңсіздіктерді шешу, тригонометриялық теңсіздіктер, және де онлайн трансценденттік теңсіздіктернемесе теңсіздіктербелгісіз параметрлермен. Әртүрлі онлайн шешімдерді табудың практикалық мәселелері үшін математикалық теңсіздіктерресурс www.. Шешу Интернеттегі теңсіздіктерпайдаланып, алынған жауапты тексеру пайдалы теңсіздіктерді онлайн шешу www.site сайтында. Теңсіздікті дұрыс жазып, бірден алу керек онлайн шешім, содан кейін тек жауапты теңсіздіктің шешімімен салыстыру ғана қалады. Жауапты тексеру бір минуттан аспайды, бұл жеткілікті теңсіздікті желіде шешужәне жауаптарды салыстырыңыз. Бұл сізге қателіктер жібермеуге көмектеседі шешімжәне жауапты уақытында түзетіңіз теңсіздіктерді желіде шешуне алгебралық, тригонометриялық, трансцендентальдынемесе теңсіздікбелгісіз параметрлермен.

Мысалы, теңсіздік \(x>5\) өрнегі болып табылады.

Теңсіздіктердің түрлері:

Егер \(a\) және \(b\) сандар немесе , онда теңсіздік шақырылады сандық. Бұл шын мәнінде екі санды салыстыру. Мұндай теңсіздіктер бөлінеді адалЖәне опасыз.

Мысалы:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) қате сандық теңсіздік, себебі \(17+3=20\) және \(20\) \(115\) мәнінен кіші (және одан үлкен немесе тең емес) .

Егер \(a\) және \(b\) айнымалысы бар өрнектер болса, онда бізде бар айнымалысы бар теңсіздік. Мұндай теңсіздіктер мазмұнына қарай түрлерге бөлінеді:

Теңсіздіктің шешімі қандай?

Теңсіздікке айнымалының орнына санды қойсаңыз, ол санға айналады.

Егер х үшін берілген мән бастапқы теңсіздікті шынайы санға айналдырса, онда ол деп аталады теңсіздіктің шешімі. Олай болмаса, бұл мән шешім емес. Және теңсіздікті шешу– оның барлық шешімдерін табу керек (немесе олардың жоқтығын көрсету).

Мысалы,\(7\) санын \(x+6>10\) сызықтық теңсіздігіне қойсақ, дұрыс сандық теңсіздікті аламыз: \(13>10\). Ал \(2\) орнына қойсақ, \(8>10\) қате сандық теңсіздік пайда болады. Яғни, \(7\) бастапқы теңсіздіктің шешімі, бірақ \(2\) емес.

Алайда \(x+6>10\) теңсіздігінің басқа шешімдері бар. Шынында да, \(5\), және \(12\), \(138\) орнына қойғанда дұрыс сандық теңсіздіктерді аламыз... Және барлық мүмкін болатын шешімдерді қалай табуға болады? Бұл үшін олар пайдаланады Біздің жағдайымыз үшін бізде:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Яғни, төрттен жоғары кез келген сан бізге қолайлы. Енді жауабын жазу керек. Теңсіздіктердің шешімдері әдетте сандық түрде жазылады, оларды қосымша көлеңкелеу арқылы сандар осінде белгілейді. Біздің жағдайда бізде:

Жауап: \(x\in(4;+\infty)\)

Теңсіздік белгісі қашан өзгереді?

Студенттер шынымен «жақсы көретін» теңсіздіктердің бір үлкен тұзағы бар:

Теңсіздікті теріс санға көбейткенде (немесе бөлгенде) ол кері болады («көп» «кем», «көп немесе тең» «кіші немесе тең» және т.б.)

Неліктен бұл болып жатыр? Мұны түсіну үшін \(3>1\) сандық теңсіздігінің түрлендірулерін қарастырайық. Бұл дұрыс, үш саны біреуден үлкен. Алдымен оны кез келген оң санға көбейтіп көрейік, мысалы, екі:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Көріп отырғанымыздай, көбейтуден кейін теңсіздік ақиқат болып қалады. Және қандай оң санға көбейтсек те, біз әрқашан дұрыс теңсіздікті аламыз. Енді теріс санға көбейтіп көрейік, мысалы, минус үш:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Нәтижесі дұрыс емес теңсіздік, өйткені минус тоғыз минус үштен кем! Яғни, теңсіздік ақиқат болуы үшін (сондықтан, көбейтіндінің теріске айналуы «заңды» болды) салыстыру белгісін келесідей өзгерту керек: \(−9<− 3\).
Бөлу кезінде ол дәл осылай жұмыс істейді, оны өзіңіз тексере аласыз.

Жоғарыда жазылған ереже тек сандық емес теңсіздіктердің барлық түрлеріне қолданылады.

Жауап: \(x\in(-1;\infty)\)

Теңсіздіктер және мүгедектік

Теңсіздіктер, теңдеулер сияқты, -ға, яғни x мәндеріне шектеулер қоюы мүмкін. Тиісінше, DZ сәйкес қабылданбайтын мәндер шешімдер ауқымынан шығарылуы керек.

Мысалы: \(\sqrt(x+1) теңсіздігін шешіңіз.<3\)

Шешімі: Сол жақтың \(3\) кіші болуы үшін радикалды өрнек \(9\)-дан кіші болуы керек екені анық (әйткенде, \(9\) тек \(3\)). Біз алып жатырмыз:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Барлық? \(8\) мәнінен кіші x мәні бізге сәйкес келе ме? Жоқ! Өйткені, мысалы, талапқа сәйкес келетін \(-5\) мәнін алсақ, ол бастапқы теңсіздіктің шешімі болмайды, өйткені ол теріс санның түбірін есептеуге әкеледі.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Сондықтан, біз X мәніне қатысты шектеулерді де ескеруіміз керек - бұл түбірдің астында теріс сан болатындай болуы мүмкін емес. Осылайша, бізде x үшін екінші талап бар:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Ал х соңғы шешім болуы үшін ол екі талапты бірден қанағаттандыруы керек: ол \(8\) (шешім болуы үшін) және \(-1\) мәнінен үлкен болуы керек (негізінде рұқсат етілген). Оны сандар сызығына салып, бізде соңғы жауап бар:

Жауап: \(\сол[-1;8\оң)\)

Назар аударыңыз!
Қосымша бар
555 арнайы бөлімдегі материалдар.
Өте «өте емес...» дегендер үшін
Ал «өте...» дегендер үшін)

Не болды «квадрат теңсіздік»?Сұрақ жоқ!) Алсаңыз кез келгенквадрат теңдеу және ондағы таңбаны ауыстырыңыз "=" (тең) кез келген теңсіздік белгісіне ( > ≥ < ≤ ≠ ), квадрат теңсіздікті аламыз. Мысалы:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Түсінесің...)

Мен бұл жерде теңдеулер мен теңсіздіктерді тегін байланыстырған жоқпын. Мәселе мынада: шешудің алғашқы қадамы кез келгенквадрат теңсіздік - осы теңсіздік жасалған теңдеуді шешіңіз.Осы себепті квадрат теңдеулерді шеше алмау автоматты түрде теңсіздіктерде толық сәтсіздікке әкеледі. Нұсқау түсінікті ме?) Егер бірдеңе болса, кез келген квадрат теңдеулерді шешу жолын қараңыз. Онда бәрі егжей-тегжейлі сипатталған. Ал бұл сабақта біз теңсіздіктермен айналысамыз.

Шешуге дайын теңсіздік келесідей болады: сол жақта квадрат үшмүше балта 2 +bx+c, оң жақта - нөл.Теңсіздік белгісі мүлдем кез келген нәрсе болуы мүмкін. Алғашқы екі мысал осында шешім қабылдауға қазірдің өзінде дайын.Үшінші мысал әлі де дайындалу керек.

Егер сізге бұл сайт ұнаса...

Айтпақшы, менде тағы бірнеше қызықты сайттар бар.)

Мысалдар шешуге жаттығып, өз деңгейіңізді білуге ​​болады. Жедел тексеру арқылы тестілеу. Үйренейік - қызығушылықпен!)

Функциялармен және туындылармен танысуға болады.

Бүгін, достар, бұл жерде тоқырау немесе сентименталдылық болмайды. Оның орнына мен сізді 8-9-сыныптардағы алгебра курсындағы ең қорқынышты қарсыластардың бірімен шайқасқа жіберемін.

Иә, сіз бәрін дұрыс түсіндіңіз: біз модулі бар теңсіздіктер туралы айтып отырмыз. Біз төрт негізгі әдісті қарастырамыз, олардың көмегімен сіз осындай есептердің шамамен 90% шешуге үйренесіз. Қалған 10% ше? Ал, біз олар туралы бөлек сабақта сөйлесеміз. :)

Дегенмен, кез келген әдістерді талдамас бұрын, мен сізге бұрыннан білуіңіз керек екі фактіні еске салғым келеді. Әйтпесе, бүгінгі сабақтың материалын мүлде түсінбеу қаупі бар.

Сіз нені білуіңіз керек

Капитан Айқындық теңсіздіктерді модульмен шешу үшін екі нәрсені білу керек дегенге ұқсайды:

1. Теңсіздіктер қалай шешіледі;
2. Модуль дегеніміз не?

Екінші тармақтан бастайық.

Модуль анықтамасы

Мұнда бәрі қарапайым. Екі анықтамасы бар: алгебралық және графикалық. Бастау үшін - алгебралық:

Анықтама. $x$ санының модулі не ол теріс болмаса, сол санның өзі немесе бастапқы $x$ әлі теріс болса, оған қарама-қарсы сан болып табылады.

Ол былай жазылған:

\[\сол| x \right|=\left\( \бастау(туралау) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\соңы(туралау) \оңға.\]

Қарапайым тілмен айтқанда, модуль «минуссыз сан». Дәл осы дуализмде (кейбір жерлерде бастапқы нөмірмен ештеңе істеудің қажеті жоқ, ал басқаларында минустың бір түрін алып тастау керек) жаңадан бастаған студенттер үшін барлық қиындық осында.

Сондай-ақ геометриялық анықтама бар. Білу де пайдалы, бірақ біз оған тек күрделі және кейбір ерекше жағдайларда ғана жүгінеміз, мұнда геометриялық тәсіл алгебралық тәсілге қарағанда ыңғайлы (спойлер: бүгін емес).

Анықтама. Сан жолында $a$ нүктесі белгіленсін. Содан кейін $\left| модулі x-a \right|$ — осы түзудің $x$ нүктесінен $a$ нүктесіне дейінгі қашықтық.

Егер сіз сурет салсаңыз, сіз келесідей нәрсені аласыз:

Қалай болғанда да, модуль анықтамасынан оның негізгі қасиеті бірден шығады: санның модулі әрқашан теріс емес шама. Бұл факт біздің бүгінгі әңгімемізде қызыл жіп болады.

Теңсіздіктерді шешу. Интервал әдісі

Енді теңсіздіктерді қарастырайық. Олардың көпшілігі бар, бірақ біздің ендігі міндетіміз олардың ең қарапайымын шеше білу. Сызықтық теңсіздіктерге, сонымен қатар интервал әдісіне келтіретіндер.

Менің осы тақырып бойынша екі үлкен сабағым бар (айтпақшы, өте пайдалы - мен оларды оқуды ұсынамын):

1. Теңсіздіктер үшін интервал әдісі (әсіресе бейнені қараңыз);
2. Бөлшек рационал теңсіздіктер - бұл өте кең сабақ, бірақ одан кейін сізде ешқандай сұрақтар болмайды.

Егер сіз мұның бәрін білсеңіз, егер «теңсіздіктен теңдеуге көшейік» деген тіркес сізді қабырғаға соғуға деген бұлыңғыр ниет тудырмаса, онда сіз дайынсыз: сабақтың негізгі тақырыбына тозаққа қош келдіңіз. :)

1. «Модуль функциядан кіші» түріндегі теңсіздіктер

Бұл модульдермен жиі кездесетін мәселелердің бірі. Пішіннің теңсіздігін шешу үшін қажет:

\[\сол| f\right| \ltg\]

$f$ және $g$ функциялары кез келген нәрсе болуы мүмкін, бірақ әдетте олар көпмүшелер. Мұндай теңсіздіктердің мысалдары:

\[\бастау(туралау) & \left| 2x+3 \оңға| \lt x+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\сол| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\соңы(туралау)\]

Олардың барлығын келесі схема бойынша бір жолда сөзбе-сөз шешуге болады:

\[\сол| f\right| \lt g\Оң жақ көрсеткі -g \lt f \lt g\quad \сол(\Оң жақ көрсеткі \сол\( \бастау(туралау) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\соңы(туралау) \right.\right)\]

Модульден құтылғанымызды көру оңай, бірақ оның орнына қосарлы теңсіздік (немесе, бұл бірдей нәрсе, екі теңсіздік жүйесі) аламыз. Бірақ бұл ауысу барлық мүмкін болатын мәселелерді толығымен ескереді: егер модуль астындағы сан оң болса, әдіс жұмыс істейді; теріс болса, ол әлі де жұмыс істейді; және $f$ немесе $g$ орнына ең жеткіліксіз функция болса да, әдіс жұмыс істей береді.

Әрине, сұрақ туындайды: бұл қарапайым болуы мүмкін емес пе? Өкінішке орай, бұл мүмкін емес. Бұл модульдің барлық мәні.

Дегенмен, философиямен айналысу жеткілікті. Бір-екі мәселені шешейік:

Тапсырма. Теңсіздікті шеш:

\[\сол| 2x+3 \оңға| \lt x+7\]

Шешім. Сонымен, біздің алдымызда «модуль аз» түріндегі классикалық теңсіздік бар - тіпті өзгертетін ештеңе жоқ. Біз алгоритм бойынша жұмыс істейміз:

\[\бастау(туралау) & \left| f\right| \lt g\Оң жақ көрсеткі -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \оңға| \lt x+7\Оң жақ көрсеткі -\сол(x+7 \оң) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\соңы(туралау)\]

Алдыңғы жағында «минус» бар жақшаларды ашуға асықпаңыз: асығыстығыңыздың салдарынан қорлайтын қателік жіберуіңіз әбден мүмкін.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\сол\( \бастау(туралау) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \соңы(туралау) \оңға.\]

\[\сол\( \бастау(туралау) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \соңы(туралау) \оңға.\]

\[\сол\( \бастау(туралау) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \соңы(туралау) \оңға.\]

Мәселе екі элементарлық теңсіздікке дейін қысқарды. Олардың параллель сандар түзулеріндегі шешімдерін белгілейік:

Көптің қиылысы

Осы жиындардың қиылысы жауап болады.

Жауабы: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Тапсырма. Теңсіздікті шеш:

\[\сол| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Шешім. Бұл тапсырма сәл қиынырақ. Біріншіден, екінші терминді оңға жылжыту арқылы модульді оқшаулаймыз:

\[\сол| ((x)^(2))+2x-3 \оң| \lt -3\сол(x+1 \оң)\]

Әлбетте, бізде қайтадан «модуль кішірек» пішінінің теңсіздігі бар, сондықтан біз бұрыннан белгілі алгоритмді пайдаланып модульден құтыламыз:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \оң)\]

Енді назар аударыңыз: біреу мені осы жақшалардың барлығымен аздап бұзық деп айтады. Бірақ біздің басты мақсатымыз екенін тағы бір рет еске сала кетейін теңсіздікті дұрыс шешіп, жауабын алады. Кейінірек, сіз осы сабақта сипатталғанның бәрін жақсы меңгерген кезде, оны өзіңіз қалағаныңызша бұрмалауға болады: жақшаларды ашыңыз, минустарды қосыңыз және т.б.

Бастау үшін біз сол жақтағы қос минустан құтыламыз:

\[-\сол(-3\сол(x+1 \оң) \оң)=\сол(-1 \оң)\cdot \left(-3 \оң)\cdot \сол(x+1 \оң) =3\сол(x+1 \оң)\]

Енді қос теңсіздіктегі барлық жақшаларды ашайық:

Қос теңсіздікке көшейік. Бұл жолы есептеулер маңыздырақ болады:

\[\left\( \бастау(туралау) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \соңы(туралау) \оңға.\]

\[\left\( \begin(туралау) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( туралау)\оңға.\]

Екі теңсіздік те квадраттық және интервал әдісімен шешуге болады (сол себепті мен айтамын: егер бұл не екенін білмесеңіз, әлі модульдерді қабылдамағаныңыз жөн). Бірінші теңсіздіктегі теңдеуге көшейік:

\[\бастау(туралау) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\соңы(туралау)\]

Көріп отырғаныңыздай, шығыс толық емес квадрат теңдеу болып табылады, оны элементар жолмен шешуге болады. Енді жүйенің екінші теңсіздігін қарастырайық. Онда сіз Виетаның теоремасын қолдануыңыз керек:

\[\бастау(туралау) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\соңы(туралау)\]

Алынған сандарды екі параллель түзуде белгілейміз (бірінші теңсіздік үшін бөлек, екіншісі үшін бөлек):

Тағы да, біз теңсіздіктер жүйесін шешіп жатқандықтан, бізді көлеңкеленген жиындардың қиылысуы қызықтырады: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Бұл жауап.

Жауабы: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Менің ойымша, бұл мысалдардан кейін шешім схемасы өте анық:

1. Барлық басқа мүшелерді теңсіздіктің қарама-қарсы жағына жылжыту арқылы модульді оқшаулаңыз. Осылайша $\left| түріндегі теңсіздікті аламыз f\right| \ltg$.
2. Жоғарыда сипатталған схема бойынша модульден құтылу арқылы осы теңсіздікті шешіңіз. Бір сәтте қос теңсіздіктен әрқайсысы жеке шешілетін екі тәуелсіз өрнектер жүйесіне көшу қажет болады.
3. Ақырында, осы екі тәуелсіз өрнектің шешімдерін қиылысу ғана қалады - және біз түпкілікті жауапты аламыз.

Ұқсас алгоритм модуль функциядан үлкен болғанда келесі түрдегі теңсіздіктер үшін бар. Дегенмен, бірнеше маңызды «бірақ» бар. Біз қазір осы «бірақ» туралы сөйлесетін боламыз.

2. «Модуль функциядан үлкен» түріндегі теңсіздіктер

Олар келесідей көрінеді:

\[\сол| f\right| \gtg\]

Алдыңғыға ұқсас па? Сияқты. Ал мұндай мәселелер мүлде басқа жолмен шешіледі. Ресми түрде схема келесідей:

\[\сол| f\right| \gt g\Оң жақ көрсеткі \left[ \begin(туралау) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(туралау) \оңға.\]

Басқаша айтқанда, біз екі жағдайды қарастырамыз:

1. Біріншіден, біз жай ғана модульді елемей, әдеттегі теңсіздікті шешеміз;
2. Содан кейін, мәні бойынша, біз минус таңбасы бар модульді кеңейтеміз, содан кейін теңсіздіктің екі жағын -1-ге көбейтеміз, ал менде таңбасы бар.

Бұл жағдайда опциялар төртбұрышты жақшамен біріктіріледі, яғни. Біздің алдымызда екі талаптың жиынтығы тұр.

Тағы да назар аударыңыз: бұл жүйе емес, тұтастық жауапта жиындар қиылысу емес, біріктірілген. Бұл алдыңғы тармақтан түбегейлі айырмашылық!

Жалпы, көптеген студенттер кәсіподақтар мен қиылыстармен шатастырады, сондықтан бұл мәселені біржола шешейік:

• «∪» – одақ белгісі. Шын мәнінде, бұл ағылшын тілінен бізге келген стильдендірілген «U» әрпі және «Union» аббревиатурасы, яғни. «Ассоциациялар».
• "∩" - қиылысу белгісі. Бұл сұмдық еш жерден шыққан жоқ, жай ғана «∪» дегенге қарсы нүкте ретінде пайда болды.

Есте сақтауды жеңілдету үшін көзілдірік жасау үшін мына белгілерге аяқты тартыңыз (енді мені нашақорлық пен алкоголизмді насихаттады деп айыптамаңыз: егер сіз бұл сабақты шындап оқып жатсаңыз, онда сіз есірткіге тәуелдісіз):

Орыс тіліне аударғанда бұл мынаны білдіреді: одақ (толық) екі жиынның элементтерін қамтиды, сондықтан ол олардың әрқайсысынан кем емес; бірақ қиылысу (жүйе) бірінші жиында да, екіншісінде де бір мезгілде болатын элементтерді ғана қамтиды. Сондықтан жиындардың қиылысы ешқашан бастапқы жиындардан үлкен болмайды.

Сонда ол түсінікті болды ма? Міне керемет. Жаттығуға көшейік.

Тапсырма. Теңсіздікті шеш:

\[\сол| 3x+1 \оңға| \gt 5-4x\]

Шешім. Біз схемаға сәйкес әрекет етеміз:

\[\сол| 3x+1 \оңға| \gt 5-4x\Оң жақ көрсеткі \left[ \бастау(туралау) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \оң) \\\соңы(туралау) \ дұрыс.\]

Популяциядағы әрбір теңсіздікті шешеміз:

\[\left[ \begin(туралау) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(туралау) \оңға.\]

\[\left[ \begin(туралау) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(туралау) \оңға.\]

\[\left[ \begin(туралау) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(туралау) \оңға.\]

Әрбір нәтиже жиынын сандар жолында белгілеп, содан кейін оларды біріктіреміз:

Жиындар одағы

Жауап $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ болатыны анық.

Жауабы: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Тапсырма. Теңсіздікті шеш:

\[\сол| ((x)^(2))+2x-3 \оң| \gt x\]

Шешім. Енді не? Ештеңе - бәрі бірдей. Біз модулі бар теңсіздіктен екі теңсіздіктер жиынына көшеміз:

\[\сол| ((x)^(2))+2x-3 \оң| \gt x\Оң жақ көрсеткі \left[ \begin(туралау) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\соңы(туралау) \оңға.\]

Біз әрбір теңсіздікті шешеміз. Өкінішке орай, тамырлар онша жақсы болмайды:

\[\бастау(туралау) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\соңы(туралау)\]

Екінші теңсіздік те аздап жабайы:

\[\бастау(туралау) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\соңы(туралау)\]

Енді бұл сандарды екі осьте белгілеу керек - әрбір теңсіздік үшін бір ось. Дегенмен, нүктелерді дұрыс ретпен белгілеу керек: сан неғұрлым көп болса, нүкте соғұрлым оңға жылжиды.

Міне, бізді орнату күтіп тұр. $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ сандарымен бәрі түсінікті болса (бірінші алымдағы терминдер бөлшек екіншінің алымындағы мүшелерден аз, сондықтан қосынды да аз), $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) сандарымен (21))(2)$ сонымен қатар қиындықтар болмайды (оң сан терісірек), содан кейін соңғы жұппен бәрі анық емес. Қайсысы үлкен: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ немесе $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Сандық сызықтардағы нүктелердің орналасуы және шын мәнінде, жауап осы сұрақтың жауабына байланысты болады.

Ендеше салыстырайық:

\[\бастау(матрица) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\соңы(матрица)\]

Біз түбірді бөліп алдық, теңсіздіктің екі жағында да теріс емес сандарды алдық, сондықтан екі жағын да шаршылауға құқығымыз бар:

\[\begin(матрица) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\соңы(матрица)\]

Менің ойымша, бұл $4\sqrt(13) \gt 3$, сондықтан $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, осьтердегі соңғы нүктелер келесідей орналастырылады:

Ұсқынсыз тамырлардың оқиғасы

Еске сала кетейін, біз жиынды шешіп жатырмыз, сондықтан жауап көлеңкелі жиындардың қиылысы емес, одақ болады.

Жауабы: $x\in \left(-\infty;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2) );+\infty \right)$

Көріп отырғаныңыздай, біздің схема қарапайым және өте қиын мәселелерде жақсы жұмыс істейді. Бұл тәсілдің жалғыз «әлсіз жері» - иррационал сандарды дұрыс салыстыру керек (және маған сеніңіз: бұл тек тамырлар ғана емес). Бірақ бөлек (және өте маңызды) сабақ салыстыру мәселелеріне арналады. Ал біз әрі қарай жүреміз.

3. Теріс емес «құйрықтары» бар теңсіздіктер

Енді біз ең қызықты бөлікке жетеміз. Бұл пішіннің теңсіздіктері:

\[\сол| f\right| \gt\left| g\right|\]

Жалпы айтқанда, қазір біз айтатын алгоритм тек модуль үшін дұрыс. Ол сол және оң жақта кепілдік берілген теріс емес өрнектер бар барлық теңсіздіктерде жұмыс істейді:

Бұл тапсырмалармен не істеу керек? Тек есте сақтаңыз:

Теріс емес «құйрықтары» бар теңсіздіктерде екі жағы да кез келген табиғи күшке көтерілуі мүмкін. Қосымша шектеулер болмайды.

Ең алдымен, бізді квадраттау қызықтырады - ол модульдер мен түбірлерді күйдіреді:

\[\бастау(туралау) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\соңы(туралау)\]

Мұны шаршының түбірін алумен шатастырмаңыз:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\сол| f \right|\ne f\]

Студент модуль орнатуды ұмытып кеткенде сансыз қателіктер жіберілді! Бірақ бұл мүлдем басқа әңгіме (бұл иррационал теңдеулер сияқты), сондықтан біз қазір бұл туралы айтпаймыз. Бірнеше мәселені жақсырақ шешейік:

Тапсырма. Теңсіздікті шеш:

\[\сол| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \оңға|\]

Шешім. Бірден екі нәрсеге назар аударайық:

1. Бұл қатаң теңсіздік емес. Сан түзуіндегі нүктелер тесіледі.
2. Теңсіздіктің екі жағы да теріс емес екені анық (бұл модульдің қасиеті: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Демек, модульден құтылу үшін теңсіздіктің екі жағын да квадраттай аламыз және мәселені әдеттегі интервал әдісімен шеше аламыз:

\[\бастау(туралау) & ((\сол(\сол| x+2 \оң| \оң))^(2))\ge ((\left(\сол| 1-2x \оң| \оң)) )^(2)); \\ & ((\сол(x+2 \оң))^(2))\ge ((\left(2x-1 \оң))^(2)). \\\соңы(туралау)\]

Соңғы қадамда мен аздап алдадым: модульдің біркелкілігін пайдаланып, терминдер тізбегін өзгерттім (шын мәнінде мен $1-2x$ өрнегін −1-ге көбейттім).

\[\бастау(туралау) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ right)\right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(туралау)\]

Интервал әдісі арқылы шешеміз. Теңсіздіктен теңдеуге көшейік:

\[\бастау(туралау) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\соңы(туралау)\]

Табылған түбірлерді сан сызығына белгілейміз. Тағы да: барлық нүктелер көлеңкеленген, себебі бастапқы теңсіздік қатаң емес!

Модуль белгісінен құтылу

Ерекше қыңырлар үшін еске сала кетейін: біз белгілерді теңдеуге көшкенге дейін жазылған соңғы теңсіздіктен аламыз. Және сол теңсіздікте қажетті аумақтарды бояймыз. Біздің жағдайда бұл $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Сонымен бітті. Мәселе шешілді.

Жауабы: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Тапсырма. Теңсіздікті шеш:

\[\сол| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \оң|\]

Шешім. Біз бәрін бірдей жасаймыз. Мен түсініктеме бермеймін - тек әрекеттер тізбегін қараңыз.

Шаршы:

\[\бастау(туралау) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \оң| \оң))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \оңға| \оңға))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \оң))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \оң))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ оң жақ))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x)) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\соңы(туралау)\]

Интервал әдісі:

\[\бастау(туралау) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Оң жақ көрсеткі x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Оң жақ көрсеткі D=16-40 \lt 0\Оң жақ көрсеткі \varnothing . \\\соңы(туралау)\]

Сан түзуінде бір ғана түбір бар:

Жауап тұтас интервал

Жауабы: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.

Соңғы тапсырма туралы шағын ескерту. Менің студенттерімнің бірі дәл атап өткендей, бұл теңсіздіктегі екі субмодульдік өрнектің де оң екені анық, сондықтан денсаулыққа зиянсыз модуль белгісін алып тастауға болады.

Бірақ бұл мүлдем басқа ойлау деңгейі және басқа көзқарас - оны шартты түрде салдар әдісі деп атауға болады. Бұл туралы - бөлек сабақта. Енді бүгінгі сабақтың соңғы бөлігіне өтіп, әрқашан жұмыс істейтін әмбебап алгоритмді қарастырайық. Барлық алдыңғы тәсілдер күшсіз болған кезде де. :)

4. Опцияларды санамалау әдісі

Бұл әдістердің барлығы көмектеспесе ше? Егер теңсіздікті теріс емес құйрықтарға келтіру мүмкін болмаса, модульді оқшаулау мүмкін болмаса, жалпы ауырсыну, қайғы, меланхолия бар ма?

Содан кейін сахнаға барлық математиканың «ауыр артиллериясы» шығады - қатал күш әдісі. Модульі бар теңсіздіктерге қатысты келесідей болады:

1. Барлық субмодульдік өрнектерді жазып, оларды нөлге теңестіріңіз;
2. Алынған теңдеулерді шешіп, бір сан түзуінде табылған түбірлерді белгіле;
3. Түзу сызық бірнеше бөліктерге бөлінеді, олардың ішінде әрбір модульдің бекітілген белгісі бар, сондықтан бірегей түрде ашылады;
4. Әрбір осындай бөлім бойынша теңсіздікті шешіңіз (сенімділік үшін 2-қадамда алынған түбір-шектерді бөлек қарастыруға болады). Нәтижелерді біріктіріңіз - бұл жауап болады. :)

Қалай? Әлсіз бе? Оңай! Тек ұзақ уақытқа. Іс жүзінде көрейік:

Тапсырма. Теңсіздікті шеш:

\[\сол| x+2 \оң| \lt \сол| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Шешім. Бұл ақымақтық $\left| сияқты теңсіздіктерге әкелмейді f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ немесе $\left| f\right| \lt \сол| g \right|$, сондықтан біз алға қарай әрекет етеміз.

Біз субмодульдік өрнектерді жазамыз, оларды нөлге теңеп, түбірін табамыз:

\[\бастау(туралау) & x+2=0\Оң жақ көрсеткі x=-2; \\ & x-1=0\Оң жақ көрсеткі x=1. \\\соңы(туралау)\]

Барлығы бізде сан сызығын үш бөлікке бөлетін екі түбір бар, олардың ішінде әрбір модуль бірегей түрде ашылады:

Сандық жолды субмодульдік функциялардың нөлдеріне бөлу

Әр бөлімді бөлек қарастырайық.

1. $x \lt -2$ болсын. Сонда субмодульдік өрнектердің екеуі де теріс болады және бастапқы теңсіздік келесідей қайта жазылады:

\[\бастау(туралау) & -\сол(x+2 \оң) \lt -\сол(x-1 \оң)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\соңы(туралау)\]

Бізде қарапайым шектеулер бар. Оны $x \lt -2$ болатын бастапқы жорамалмен қиып көрейік:

\[\сол\( \бастау(туралау) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\соңы(туралау) \оңға.\Оң жақ көрсеткі x\ \varnothing \]

$x$ айнымалысы бір уақытта −2-ден кіші және 1,5-тен үлкен бола алмайтыны анық. Бұл салада шешімдер жоқ.

1.1. Шекаралық жағдайды бөлек қарастырайық: $x=-2$. Осы санды бастапқы теңсіздікке ауыстырайық және тексерейік: бұл рас па?

\[\бастау(туралау) & ((\сол. \сол| x+2 \оң| \lt \сол| x-1 \оң|+x-1,5 \оң|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \сол| -3\right|-2-1,5; \\ & 0 \лт 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Оң жақ көрсеткі \varnothing . \\\соңы(туралау)\]

Есептер тізбегі бізді дұрыс емес теңсіздікке әкелгені анық. Демек, бастапқы теңсіздік те жалған және $x=-2$ жауапқа қосылмайды.

2. Енді $-2 \lt x \lt 1$ болсын. Сол жақ модуль «плюс» белгісімен ашылады, бірақ оң жақтағы модуль әлі де «минуспен» ашылады. Бізде бар:

\[\бастау(туралау) & x+2 \lt -\сол(x-1 \оң)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\соңы(туралау)\]

Біз қайтадан бастапқы талаппен қиылысамыз:

\[\сол\( \бастау(туралау) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\соңы(туралау) \оңға.\Оң жақ көрсеткі x\ \varештеңеде \]

Тағы да, шешімдер жиыны бос, өйткені −2,5-тен кіші және −2-ден үлкен сандар жоқ.

2.1. Тағы да ерекше жағдай: $x=1$. Бастапқы теңсіздікті ауыстырамыз:

\[\бастау(туралау) & ((\сол. \сол| x+2 \оң| \lt \сол| x-1 \оң|+x-1,5 \оң|)_(x=1)) \\ & \left| 3\оңға| \lt \сол| 0\right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Оң жақ көрсеткі \varnothing . \\\соңы(туралау)\]

Алдыңғы «ерекше жағдай» сияқты, $x=1$ саны жауапта анық емес.

3. Жолдың соңғы бөлігі: $x \gt 1$. Мұнда барлық модульдер плюс белгісімен ашылады:

\[\бастау(туралау) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \соңында(туралау)\ ]

Біз қайтадан табылған жиынды бастапқы шектеумен қиылысамыз:

\[\сол\( \бастау(туралау) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\соңы(туралау) \оңға.\Оң жақ көрсеткі x\сол жақ(4,5;+\infty \оңға)\ ]

Әйтеуір! Біз жауап болатын интервалды таптық.

Жауабы: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Соңында, нақты мәселелерді шешу кезінде сізді ақымақ қателіктерден құтқаратын бір ескерту:

Модульдері бар теңсіздіктерді шешу әдетте сандар түзуіндегі үзіліссіз жиындарды – интервалдар мен кесінділерді көрсетеді. Оқшауланған нүктелер әлдеқайда сирек кездеседі. Және одан да сирек, шешімнің шекарасы (сегменттің соңы) қарастырылатын диапазонның шекарасымен сәйкес келеді.

Демек, егер жауапқа шекаралар (бірдей «ерекше жағдайлар») қосылмаса, онда бұл шекаралардың сол және оң жағындағы аймақтар жауапқа қосылмайды. Және керісінше: шекара жауапқа кірді, яғни оның айналасындағы кейбір аймақтар да жауаптар болады.

Шешімдерді қарап шығу кезінде осыны есте сақтаңыз.

Біріншіден, интервал әдісі шешетін мәселені сезіну үшін кішкене лирика. Келесі теңсіздікті шешуіміз керек делік:

(x − 5)(x + 3) > 0

Опциялар қандай? Студенттердің көпшілігінің ойларына бірінші келетін нәрсе – «плюс плюс плюс береді» және «минус минус плюс береді» ережелері. Сондықтан екі жақша да оң болған жағдайды қарастыру жеткілікті: x − 5 > 0 және x + 3 > 0. Содан кейін екі жақша да теріс болған жағдайды қарастырамыз: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Жетілдірілген студенттер сол жақта графигі парабола болатын квадраттық функция бар екенін (мүмкін) есте сақтайды. Оның үстіне бұл парабола OX осін x = 5 және x = -3 нүктелерінде қиып өтеді. Әрі қарай жұмыс істеу үшін жақшаларды ашу керек. Бізде бар:

x 2 − 2x − 15 > 0

Енді параболаның тармақтары жоғары бағытталғаны анық, өйткені a = 1 > 0 коэффициенті. Осы параболаның диаграммасын салып көрейік:

Функция OX осінен жоғары өтетін жерде нөлден үлкен. Біздің жағдайда бұл (−∞ −3) және (5; +∞) интервалдары – бұл жауап.

Назар аударыңыз: суретте дәл көрсетілген функция диаграммасы, оның кестесі емес. Өйткені нақты график үшін координаттарды санау, орын ауыстыруларды есептеу керек және әзірге біз мүлде пайдаланбаймыз.

Неліктен бұл әдістер тиімсіз?

Сонымен, біз бір теңсіздіктің екі шешімін қарастырдық. Екеуі де өте ауыр болып шықты. Бірінші шешім туындайды - бұл туралы ойланыңыз! — теңсіздіктер жүйелерінің жиынтығы. Екінші шешім де оңай емес: параболаның графигін және басқа да шағын фактілерді есте сақтау керек.

Бұл өте қарапайым теңсіздік болды. Оның тек 2 көбейткіші бар. Енді 2 емес, кем дегенде 4 көбейткіш болатынын елестетіңіз.Мысалы:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Мұндай теңсіздікті қалай шешуге болады? Артықшылықтар мен кемшіліктердің барлық мүмкін комбинацияларын қарастырыңыз ба? Иә, біз шешім тапқаннан гөрі тезірек ұйықтаймыз. График салу да опция емес, өйткені мұндай функция координаталық жазықтықта қалай әрекет ететіні белгісіз.

Мұндай теңсіздіктер үшін арнайы шешу алгоритмі қажет, біз бүгін қарастырамыз.

Интервал әдісі дегеніміз не

Интервал әдісі – f (x) > 0 және f (x) түріндегі күрделі теңсіздіктерді шешуге арналған арнайы алгоритм.< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. f (x) = 0 теңдеуін шешіңіз. Осылайша, теңсіздіктің орнына шешуі әлдеқайда оңай теңдеуді аламыз;
2. Барлық алынған түбірлерді координаталық түзуде белгілеңіз. Осылайша, түзу сызық бірнеше аралықтарға бөлінеді;
3. Ең оң жақ интервалдағы f (x) функциясының таңбасын (қосу немесе минус) табыңыз. Ол үшін f (x) орнына барлық белгіленген түбірлердің оң жағында болатын кез келген санды қою жеткілікті;
4. Қалған аралықтарда белгілерді белгілеңіз. Ол үшін әрбір түбірден өткенде белгі өзгеретінін есте ұстаған жөн.

Осымен болды! Осыдан кейін бізді қызықтыратын интервалдарды жазу ғана қалады. Егер теңсіздік f (x) > 0 түрінде болса, олар «+» белгісімен немесе теңсіздік f (x) түрінде болса, «−» таңбасымен белгіленеді.< 0.

Бір қарағанда, интервал әдісі қандай да бір қаңылтыр нәрсе сияқты көрінуі мүмкін. Бірақ іс жүзінде бәрі өте қарапайым болады. Кішкене жаттығып, бәрі түсінікті болады. Мысалдарды қарап шығыңыз және өзіңіз көріңіз:

Тапсырма. Теңсіздікті шеш:

(x − 2)(x + 7)< 0

Интервал әдісі арқылы жұмыс істейміз. 1-қадам: теңсіздікті теңдеумен ауыстырыңыз және оны шешіңіз:

(x − 2)(x + 7) = 0

Көрсеткіштердің кем дегенде біреуі нөлге тең болған жағдайда ғана өнім нөлге тең болады:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Бізде екі тамыр бар. 2-қадамға көшейік: бұл түбірлерді координаталық түзуде белгілеңіз. Бізде бар:

Енді 3-қадам: ең оң жақ интервалдағы функцияның таңбасын табыңыз (белгіленген x = 2 нүктесінің оң жағында). Ол үшін х = 2 санынан үлкен кез келген санды алу керек. Мысалы, х = 3 алайық (бірақ х = 4, х = 10 және тіпті х = 10 000 алуға ешкім тыйым салмайды). Біз алып жатырмыз:

f (x) = (x − 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Біз f (3) = 10 > 0 екенін табамыз, сондықтан ең оң жақ интервалға қосу белгісін қоямыз.

Соңғы нүктеге көшейік - қалған интервалдардағы белгілерді атап өту керек. Әрбір түбірден өткенде белгінің өзгеруі керек екенін есте ұстаймыз. Мысалы, x = 2 түбірінің оң жағында плюс бар (біз бұған алдыңғы қадамда көз жеткіздік), сондықтан сол жақта минус болуы керек.

Бұл минус бүкіл интервалға (−7; 2) таралады, сондықтан x = −7 түбірінің оң жағында минус бар. Демек, x = −7 түбірінің сол жағында плюс бар. Бұл белгілерді координат осінде белгілеу қалды. Бізде бар:

Пішін болған бастапқы теңсіздікке оралайық:

(x − 2)(x + 7)< 0

Сондықтан функция нөлден аз болуы керек. Бұл бізді тек бір интервалда пайда болатын минус таңбасы қызықтыратынын білдіреді: (−7; 2). Бұл жауап болады.

Тапсырма. Теңсіздікті шеш:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

1-қадам: сол жағын нөлге қойыңыз:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Есіңізде болсын: факторлардың кем дегенде біреуі нөлге тең болғанда, көбейтінді нөлге тең болады. Сондықтан әрбір жеке жақшаны нөлге теңестіруге құқығымыз бар.

2-қадам: координаталық түзудегі барлық түбірлерді белгілеңіз:

3-қадам: оң жақтағы саңылау белгісін табыңыз. Біз x = 1-ден үлкен кез келген санды аламыз. Мысалы, біз x = 10 аламыз. Бізде:

f (x) = (x + 9)(x − 3)(1 − x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = -1197< 0.

4-қадам: қалған белгілерді қою. Әрбір түбірден өткенде белгінің өзгеретіні есімізде. Нәтижесінде біздің суретіміз келесідей болады:

Осымен болды. Жауабын жазу ғана қалды. Бастапқы теңсіздікке тағы бір назар аударыңыз:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Бұл f(x) түріндегі теңсіздік.< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Бұл жауап.

Функция белгілері туралы ескерту

Тәжірибе көрсеткендей, интервалдық әдістегі ең үлкен қиындықтар соңғы екі қадамда туындайды, яғни. белгілерді қою кезінде. Көптеген студенттер шатастыра бастайды: қандай сандарды алу керек және белгілерді қайда қою керек.

Интервал әдісін түпкілікті түсіну үшін ол негізделген екі бақылауды қарастырыңыз:

1. Үздіксіз функция таңбаны тек сол нүктелерде өзгертеді мұндағы ол нөлге тең. Мұндай нүктелер координат осін бөліктерге бөледі, олардың ішінде функцияның таңбасы ешқашан өзгермейді. Сондықтан f (x) = 0 теңдеуін шешіп, түзу бойында табылған түбірлерді белгілейміз. Табылған сандар оң және теріс жақтарын бөлетін «шектік» нүктелер болып табылады.
2. Кез келген интервалдағы функцияның таңбасын білу үшін функцияға осы аралықтағы кез келген санды қою жеткілікті. Мысалы, (−5; 6) интервалы үшін біз x = −4, x = 0, x = 4 және қаласақ, тіпті x = 1,29374 алуға құқылымыз. Неліктен маңызды? Иә, өйткені көптеген студенттерді күмән кеміре бастайды. Мысалы, x = −4 үшін плюс, ал x = 0 үшін минус алсақ ше? Бірақ мұндай ештеңе ешқашан болмайды. Бір интервалдағы барлық нүктелер бірдей белгіні береді. Мұны есте сақтаңыз.

Бұл интервал әдісі туралы білуіңіз керек нәрсе. Әрине, біз оны қарапайым түрде талдадық. Күрделі теңсіздіктер бар - қатаң емес, бөлшек және қайталанатын түбірлері бар. Олар үшін интервал әдісін де қолдануға болады, бірақ бұл бөлек үлкен сабақтың тақырыбы.

Енді интервал әдісін күрт жеңілдететін жетілдірілген техниканы қарастырғым келеді. Дәлірек айтқанда, жеңілдету тек үшінші қадамға - сызықтың оң жақ бөлігіндегі белгіні есептеуге әсер етеді. Қандай да бір себептермен бұл әдіс мектептерде оқытылмайды (ең болмағанда маған ешкім түсіндірмеді). Бірақ бекер - өйткені шын мәнінде бұл алгоритм өте қарапайым.

Сонымен, функцияның таңбасы сандар түзуінің оң жағында орналасқан. Бұл бөліктің (a ; +∞) пішімі бар, мұндағы a — f (x) = 0 теңдеуінің ең үлкен түбірі. Ақылға қонбау үшін нақты мысалды қарастырайық:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x);
(x − 1)(2 + x)(7 − x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Бізде 3 тамыр бар. Оларды өсу ретімен тізіп көрейік: x = −2, x = 1 және x = 7. Ең үлкен түбір х = 7 екені анық.

Графикалық түрде дәлелдеу оңайырақ деп тапқандар үшін мен бұл түбірлерді координаталық түзуде белгілеймін. Не болатынын көрейік:

Ең оң жақ интервалдағы f (x) функциясының таңбасын табу қажет, яғни. дейін (7; +∞). Бірақ біз жоғарыда атап өткеніміздей, белгіні анықтау үшін осы аралықтан кез келген санды алуға болады. Мысалы, x = 8, x = 150 және т.б. алуға болады. Ал енді – мектептерде оқытылмайтын әдістеме: шексіздікті сан ретінде алайық. Дәлірек айтқанда, плюс шексіздік, яғни. +∞.

«Сізді таспен ұрып жатырсыз ба? Функцияға шексіздікті қалай ауыстыруға болады?» - деп сұрауыңыз мүмкін. Бірақ ойланыңыз: бізге функцияның мәні қажет емес, бізге тек белгі керек. Сондықтан, мысалы, f (x) = −1 және f (x) = −938 740 576 215 мәндері бірдей мағынаны білдіреді: бұл аралықтағы функция теріс. Сондықтан сізден талап етілетін нәрсе - функцияның мәнін емес, шексіздікте пайда болатын таңбаны табу.

Шын мәнінде, шексіздікті ауыстыру өте қарапайым. Функциямызға оралайық:

f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Елестетіп көріңізші, x өте үлкен сан. Миллиард, тіпті триллион. Енді әр жақшада не болатынын көрейік.

Бірінші жақша: (x − 1). Миллиардтан бір шегерсеңіз не болады? Нәтиже миллиардтан көп айырмашылығы жоқ сан болады және бұл сан оң болады. Екінші жақшамен бірдей: (2 + x). Егер сіз миллиардты екіге қоссаңыз, сіз миллиард пен копейка аласыз - бұл оң сан. Соңында, үшінші жақша: (7 − x). Бұл жерде минус миллиард болады, оның ішінен жеті түріндегі аянышты кесек «кемірілді». Анау. алынған сан минус миллиардтан онша ерекшеленбейді - ол теріс болады.

Барлық жұмыстың белгісін табу ғана қалады. Бірінші жақшада плюс және соңғысында минус болғандықтан, біз келесі құрылысты аламыз:

(+) · (+) · (−) = (−)

Соңғы белгі минус! Ал функцияның мәні қандай екені маңызды емес. Ең бастысы, бұл мән теріс, яғни. оң жақтағы интервал минус таңбасы бар. Аралық әдістің төртінші қадамын аяқтау ғана қалады: барлық белгілерді реттеңіз. Бізде бар:

Бастапқы теңсіздік:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Сондықтан біз минус белгісімен белгіленген интервалдарға қызығушылық танытамыз. Жауабын жазамыз:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Бұл мен сізге айтқым келген барлық айла болды. Қорытындылай келе, шексіздікті пайдаланып интервал әдісімен шешілетін тағы бір теңсіздікті келтіреміз. Шешімді көрнекі түрде қысқарту үшін мен қадамдық нөмірлер мен егжей-тегжейлі түсініктемелерді жазбаймын. Мен нақты есептерді шешу кезінде сізге шынымен жазу керек нәрсені ғана жазамын:

Тапсырма. Теңсіздікті шеш:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Теңсіздікті теңдеумен ауыстырып, оны шешеміз:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Біз барлық үш түбірді координаталық түзуде белгілейміз (бірден белгілермен):

Координат осінің оң жағында плюс бар, өйткені функция келесідей көрінеді:

f (x) = x (2x + 8)(x − 3)

Ал егер шексіздікті ауыстырсақ (мысалы, миллиард), үш оң жақша аламыз. Бастапқы өрнек нөлден үлкен болуы керек болғандықтан, бізді тек оң жақтары қызықтырады. Жауапты жазу ғана қалды:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)