Tele2 бойынша анықтама, тарифтер, сұрақтар

Мектеп бағдарламасында оқытылатын Пифагор теоремасының тарихына қызығатындар 1940 жылы қарапайым болып көрінетін бұл теореманың үш жүз жетпіс дәлелі бар кітаптың басылуы сияқты фактіге де қызық болады. Бірақ ол әр дәуірдегі көптеген математиктер мен философтардың санасын қызықтырды. Гиннестің рекордтар кітабында дәлелдеулердің ең көп саны бар теорема ретінде тіркелген.

Пифагор теоремасының тарихы

Пифагор есімімен байланысты теорема ұлы философ дүниеге келгенге дейін белгілі болды. Осылайша, Египетте құрылымдарды салу кезінде тікбұрышты үшбұрыштың арақатынасы бес мың жыл бұрын ескерілді. Вавилон мәтіндерінде Пифагордың туғанына дейін 1200 жыл бұрын тікбұрышты үшбұрыштың бірдей арақатынасы айтылады.

Сұрақ туындайды, онда неге тарих Пифагор теоремасының шығу тегі соған тиесілі деп айтады? Бір ғана жауап болуы мүмкін - ол үшбұрыштың қабырғаларының қатынасын дәлелдеді. Ол тәжірибемен белгіленген арақатынас пен гипотенузаны жай ғана пайдаланғандар ғасырлар бұрын жасамаған нәрсені жасады.

Пифагордың өмірінен

Болашақ ұлы ғалым, математик, философ біздің дәуірімізге дейінгі 570 жылы Самос аралында дүниеге келген. Тарихи құжаттарда Пифагордың әкесі туралы мәліметтер сақталған, ол асыл тастарды қашаған, бірақ оның анасы туралы мәлімет жоқ. Олар дүниеге келген бала туралы оның бала кезінен ән мен поэзияға құмарлығын танытқан ерекше бала екенін айтты. Тарихшылар жас Пифагордың ұстаздары ретінде Гермодамас пен Сиростың Ферецидтерін қосады. Біріншісі баланы музалар әлемімен таныстырды, ал екіншісі философ және итальяндық философия мектебінің негізін қалаушы бола отырып, жас жігіттің көзқарасын логосқа бағыттады.

Пифагор 22 жасында (б.з.д. 548 ж.) мысырлықтардың тілі мен дінін зерттеу үшін Наукратиске барады. Әрі қарай, оның жолы Мемфисте болды, онда діни қызметкерлердің арқасында, олардың тапқыр сынақтарынан өтіп, ол Египет геометриясын түсінді, бұл, мүмкін, ізденімпаз жас жігітті Пифагор теоремасын дәлелдеуге итермеледі. Тарих бұл атауды кейінірек теоремаға береді.

Вавилон патшасының тұтқыны

Пифагорды Элладаға үйіне қайтар жолда Вавилон патшасы тұтқындайды. Бірақ тұтқында болу ұмтылған математиктің зерделі санасына пайдалы болды. Шынында да, сол жылдары Вавилондағы математика Египетке қарағанда әлдеқайда дамыған. Ол он екі жыл бойы математика, геометрия және магияны зерттеді. Және, мүмкін, үшбұрыштың қабырғаларының қатынасын дәлелдеуге және теореманың ашылу тарихына Вавилон геометриясы қатысты. Бұл үшін Пифагордың білімі мен уақыты жеткілікті болды. Бірақ бұл жағдайдың Вавилонда болғаны туралы ешқандай құжаттық растау немесе жоққа шығару жоқ.

530 жж. Пифагор тұтқыннан туған жеріне қашып кетеді, онда ол тиран Поликраттың сарайында жартылай құл күйінде тұрады. Пифагор мұндай өмірге қанағаттанбайды және ол Самос үңгірлеріне барып, кейін Италияның оңтүстігіне барады, ол кезде гректердің Кротон колониясы орналасқан.

Құпия монастырлық тәртіп

Осы колонияның негізінде Пифагор бір уақытта діни одақ және ғылыми қоғам болатын құпия монастырлық тәртіпті ұйымдастырды. Бұл қоғамның ерекше өмір салтын сақтау туралы өз жарғысы болды.

Пифагор Құдайды түсіну үшін адам алгебра, геометрия сияқты ғылымдарды білуі, астрономияны білуі және музыканы түсінуі керек деп тұжырымдаған. Зерттеу жұмысы сандар мен философияның мистикалық жағын білуге ​​дейін созылды. Айта кету керек, сол кездегі Пифагор уағыздаған қағидалар қазіргі уақытта еліктеу мағынасы бар.

Пифагордың шәкірттері ашқан жаңалықтардың көбісі оған қатысты. Дегенмен, қысқаша айтқанда, сол кездегі антикалық тарихшылар мен өмірбаяншылардың Пифагор теоремасын жасау тарихы осы философ, ойшыл, математиктің есімімен тікелей байланысты.

Пифагордың ілімдері

Теорема мен Пифагор есімі арасындағы байланыс идеясына ұлы гректің біздің өміріміздің барлық құбылыстары оның аяқтары мен гипотенузасы бар әйгілі үшбұрышта шифрланғаны туралы мәлімдемесі түрткі болған шығар. Және бұл үшбұрыш барлық туындайтын мәселелерді шешудің «кілті» болып табылады. Ұлы философ үшбұрышты көру керек, сонда есептің үштен екісі шешілді деп санауға болады деген.

Пифагор өзінің тәлім-тәрбиесі туралы өз шәкірттеріне ғана ауызша, ешбір жазба жасамай, құпия түрде айтқан. Өкінішке орай, ұлы философтың ілімі бүгінгі күнге дейін сақталмаған. Одан бірдеңе ағып кетті, бірақ белгілі болғанның қаншалықты рас, қаншасы өтірік екенін айту мүмкін емес. Пифагор теоремасының тарихымен де бәрі анық емес. Математика тарихшылары Пифагордың авторлығына күмән келтіреді, олардың пікірінше, теорема оның туғанына дейін көп ғасырлар бұрын қолданылған.

Пифагор теоремасы

Бұл біртүрлі болып көрінуі мүмкін, бірақ Пифагордың өзі теореманы дәлелдейтін тарихи фактілер жоқ - архивтерде де, басқа дереккөздерде де жоқ. Қазіргі нұсқада ол Евклидтің өзінен басқа ешкімге тиесілі емес деп есептеледі.

Біздің дәуірімізге дейінгі 2300 жылдар шамасында мысырлықтар жазып алған Берлин мұражайында сақталған папируста ашқан ұлы математика тарихшыларының бірі Мориц Кантордың дәлелі бар. e. теңдік, ол оқылады: 3² + 4² = 5².

Пифагор теоремасының қысқаша тарихы

Евклидтік «Принциптерден» алынған теореманың тұжырымы аудармада қазіргі түсіндірмедегідей естіледі. Оның оқуында жаңалық жоқ: тік бұрышқа қарама-қарсы жақтың квадраты тік бұрышқа іргелес жатқан қабырғалардың квадраттарының қосындысына тең. Ежелгі Үндістан мен Қытай өркениеттері теореманы пайдаланғаны «Чжоу - би суан цзин» трактаты арқылы расталады. Ол арақатынасты 3:4:5 деп сипаттайтын Египет үшбұрышы туралы ақпаратты қамтиды.

Қытайдың тағы бір математикалық кітабы «Чу Пэй» қызықтырақ, онда Пифагор үшбұрышы туралы түсініктемелер мен Башараның индуизм геометриясының сызбаларымен сәйкес келетін сызбалары айтылады. Үшбұрыштың өзі туралы кітапта, егер тік бұрышты оның құрамдас бөліктеріне ыдыратуға болатын болса, онда табаны үшке, биіктігі төртке тең болса, қабырғалардың ұштарын қосатын сызық беске тең болады. .

Біздің дәуірімізге дейінгі шамамен 7-5 ғасырларға жататын үнділік «Сульва сутра» трактаты. е., Египет үшбұрышын пайдаланып тік бұрыш салу туралы айтады.

Теореманы дәлелдеу

Орта ғасырларда студенттер теореманы дәлелдеу өте қиын деп есептеді. Әлсіз оқушылар дәлелдеудің мағынасын түсінбей, теоремаларды жатқа үйренді. Осыған байланысты олар «есектер» лақап атын алды, өйткені Пифагор теоремасы олар үшін есекке көпір сияқты еңсерілмейтін кедергі болды. Орта ғасырда студенттер осы теорема тақырыбына әзіл-оспақ өлең шығарды.

Пифагор теоремасын ең оңай жолмен дәлелдеу үшін дәлелдеуде аудандар ұғымын қолданбай, оның жақтарын жай ғана өлшеу керек. Тік бұрышқа қарама-қарсы жақтың ұзындығы c, ал оған іргелес а және b, нәтижесінде мына теңдеуді аламыз: a 2 + b 2 = c 2. Бұл мәлімдеме, жоғарыда айтылғандай, тікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтарын өлшеу арқылы тексеріледі.

Теореманы дәлелдеуді үшбұрыштың қабырғаларында салынған тіктөртбұрыштардың ауданын қарастыру арқылы бастасақ, біз бүкіл фигураның ауданын анықтай аламыз. Ол жағы (a+b) болатын шаршының ауданына, ал екінші жағынан төрт үшбұрыш пен ішкі шаршының аудандарының қосындысына тең болады.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2 ;

a 2 + 2ab + b 2 ;

c 2 = a 2 + b 2 , бұл дәлелдеуді қажет етті.

Пифагор теоремасының практикалық маңыздылығы оның көмегімен кесінділердің ұзындықтарын өлшеусіз табуға болады. Конструкцияларды салу кезінде арақашықтықтар, тіректер мен арқалықтардың орналасуы есептеліп, ауырлық орталықтары анықталады. Пифагор теоремасы барлық заманауи технологияларда да қолданылады. Олар 3D-6D өлшемдерінде фильмдер жасау кезінде теореманы ұмытпады, мұнда біз үйренген үш өлшемге қосымша: биіктік, ұзындық, ені, уақыт, иіс және дәм ескеріледі. Дәм мен иіс теоремамен қалай байланысты, сіз сұрайсыз ба? Барлығы өте қарапайым - фильмді көрсету кезінде аудиторияда қайда және қандай иіс пен дәмге бағыттау керектігін есептеу керек.

Бұл тек бастамасы. Ізденімпаздарды жаңа технологияларды ашу және жасау үшін шексіз мүмкіндік күтіп тұр.

Пифагор теоремасы- қатынасты орнататын евклид геометриясының іргелі теоремаларының бірі

тікбұрышты үшбұрыштың қабырғалары арасында.

Оны грек математигі Пифагор дәлелдеп, оның атымен аталған деп есептеледі.

Пифагор теоремасының геометриялық тұжырымы.

Теорема бастапқыда былай тұжырымдалған:

Тікбұрышты үшбұрышта гипотенузаға салынған квадраттың ауданы квадраттардың аудандарының қосындысына тең,

аяққа салынған.

Пифагор теоремасының алгебралық тұжырымы.

Тікбұрышты үшбұрышта гипотенузаның ұзындығының квадраты катеттердің ұзындықтарының квадраттарының қосындысына тең.

Яғни үшбұрыштың гипотенузаның ұзындығын арқылы белгілеу в, және арқылы аяқтардың ұзындығы аЖәне б:

Екі тұжырым Пифагор теоремасыэквивалентті, бірақ екінші тұжырым неғұрлым қарапайым, олай емес

аумақ ұғымын қажет етеді. Яғни, екінші мәлімдемені аудан және туралы ештеңе білмей-ақ тексеруге болады

тікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтарын ғана өлшеу арқылы.

Теріс Пифагор теоремасы.

Егер үшбұрыштың бір қабырғасының квадраты қалған екі қабырғасының квадраттарының қосындысына тең болса, онда

тікбұрышты үшбұрыш.

Немесе, басқаша айтқанда:

Оң сандардың әрбір үштігі үшін а, бЖәне в, солай

аяқтары бар тікбұрышты үшбұрыш бар аЖәне бжәне гипотенуза в.

Тең қабырғалы үшбұрыш үшін Пифагор теоремасы.

Тең бүйірлі үшбұрыш үшін Пифагор теоремасы.

Пифагор теоремасының дәлелдері.

Қазіргі уақытта бұл теореманың 367 дәлелі ғылыми әдебиеттерде тіркелген. Мүмкін теорема

Пифагор - мұндай әсерлі дәлелдер саны бар жалғыз теорема. Мұндай әртүрлілік

геометрия үшін теореманың іргелі маңызымен ғана түсіндіруге болады.

Әрине, концептуалды түрде олардың барлығын аздаған сыныптарға бөлуге болады. Олардың ең танымалдары:

дәлел аумақ әдісі, аксиоматикалықЖәне экзотикалық дәлелдер(Мысалы,

көмегімен дифференциалдық теңдеулер).

1. Ұқсас үшбұрыштарды пайдаланып Пифагор теоремасын дәлелдеу.

Алгебралық тұжырымның келесі дәлелі құрастырылған дәлелдердің ең қарапайымы болып табылады

тікелей аксиомалардан. Атап айтқанда, ол фигураның ауданы ұғымын пайдаланбайды.

Болсын ABCтік бұрышы бар тікбұрышты үшбұрыш бар C. Биіктіктен бастап сызайық Cжәне белгілеңіз

арқылы оның негізі Х.

Үшбұрыш ACHүшбұрышқа ұқсас AB C екі бұрышта. Сол сияқты, үшбұрыш CBHұқсас ABC.

Белгілеуді енгізу арқылы:

Біз алып жатырмыз:

,

сәйкес келеді -

Бүктелген а 2 және б 2, біз аламыз:

немесе дәлелдеуді қажет ететін нәрсе.

2. Аудан әдісі арқылы Пифагор теоремасын дәлелдеу.

Төменде келтірілген дәлелдер, олардың қарапайымдылығына қарамастан, соншалықты қарапайым емес. Олардың барлығы

дәлелдері Пифагор теоремасының өзін дәлелдеуден күрделірек болатын ауданның қасиеттерін қолданыңыз.

• Тең толықтауыш арқылы дәлелдеу.

Төрт бірдей төртбұрышты орналастырайық

суретте көрсетілгендей үшбұрыш

оң жақта.

Бүйірлері бар төртбұрыш в- шаршы,

өйткені екі сүйір бұрыштың қосындысы 90°, және

ашылмаған бұрыш - 180°.

Бір жағынан, бүкіл фигураның ауданы тең

қабырғасы бар шаршының ауданы ( a+b), ал екінші жағынан, төрт үшбұрыштың аудандарының қосындысы және

Q.E.D.

3. Пифагор теоремасын шексіз аз әдіспен дәлелдеу.

​

Суретте көрсетілген сызбаға қарап және

жағының өзгеруін бақылайдыа, Біз істей аламыз

келесі қатынасты шексіздікке жазыңыз

кішкентай бүйірлік қадамдарбіргеЖәне а(ұқсастықты пайдалану

үшбұрыштар):

Айнымалыларды бөлу әдісін қолданып, біз табамыз:

Екі жақтағы өсу жағдайында гипотенузаның өзгеруінің жалпы өрнекі:

Бұл теңдеуді интегралдап, бастапқы шарттарды қолданып, мынаны аламыз:

Осылайша біз қажетті жауапқа келеміз:

Көрінетіндей, соңғы формуладағы квадраттық тәуелділік сызықтыққа байланысты пайда болады

үшбұрыштың қабырғалары мен өсімшелері арасындағы пропорционалдық, ал қосынды тәуелсіз

әр түрлі аяқтардың ұлғаюынан алынған жарналар.

Қарапайым дәлелді алуға болады, егер біз аяқтың біреуі ұлғаймайды деп есептесек

(бұл жағдайда аяқ б). Сонда интегралдау тұрақтысы үшін мынаны аламыз:

Оқиға

Чу-пей б.з.б 500-200 жж. Сол жақта жазу бар: биіктігі мен табанының ұзындықтарының квадраттарының қосындысы гипотенузаның ұзындығының квадраты болып табылады.

Ежелгі қытай кітабында Чу-пей ( Ағылшын) (Қытайша 周髀算經) қабырғалары 3, 4 және 5 болатын Пифагор үшбұрышы туралы әңгімелейді. Сол кітапта Башараның индуизм геометриясының сызбаларының бірімен сәйкес келетін сызба ұсынылған.

400 жж. BC, Проклдың айтуы бойынша, Платон алгебра мен геометрияны біріктіретін Пифагор үштіктерін табу әдісін берді. Біздің эрамызға дейінгі 300 жж. e. Пифагор теоремасының ең көне аксиоматикалық дәлелі Евклидтің Элементтерінде пайда болды.

Формулалар

Геометриялық формула:

Теорема бастапқыда былай тұжырымдалған:

Алгебралық формула:

Яғни үшбұрыштың гипотенузаның ұзындығын -мен, ал катеттерінің ұзындығын және-мен белгілейміз:

Теореманың екі тұжырымы да эквивалентті, бірақ екінші тұжырымы неғұрлым элементарлы, ол аудан ұғымын қажет етпейді; Яғни, екінші мәлімдемені аудан туралы ештеңе білмей-ақ және тікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтарын ғана өлшеу арқылы тексеруге болады.

Керісінше Пифагор теоремасы:

Оң сандардың әрбір үштігі үшін және , катеттері және гипотенузасы бар тікбұрышты үшбұрыш болады .

Дәлелдеу

Қазіргі уақытта ғылыми әдебиеттерде бұл теореманың 367 дәлелі тіркелген. Мүмкін, Пифагор теоремасы осындай әсерлі дәлелдер саны бар жалғыз теорема болса керек. Мұндай әртүрлілікті тек теореманың геометрия үшін негізгі маңыздылығымен түсіндіруге болады.

Әрине, концептуалды түрде олардың барлығын аздаған сыныптарға бөлуге болады. Олардың ең танымалдары: аудан әдісі бойынша дәлелдеу, аксиоматикалық және экзотикалық дәлелдеу (мысалы, дифференциалдық теңдеулерді қолдану).

Ұқсас үшбұрыштар арқылы

Алгебралық тұжырымның келесі дәлелі аксиомалардан тікелей құрастырылған дәлелдердің ең қарапайымы болып табылады. Атап айтқанда, ол фигураның ауданы ұғымын пайдаланбайды.

Болсын ABCтік бұрышы бар тікбұрышты үшбұрыш бар C. Биіктіктен бастап сызайық Cжәне оның негізін арқылы белгілеңіз Х. Үшбұрыш ACHүшбұрышқа ұқсас ABCекі бұрышта. Сол сияқты, үшбұрыш CBHұқсас ABC. Белгілеумен таныстыру арқылы

Біз алып жатырмыз

Қандай эквивалент

Оны қоссақ, аламыз

, бұл дәлелдеуді қажет ететін нәрсе

Аудан әдісін қолданып дәлелдеу

Төменде келтірілген дәлелдер, олардың қарапайымдылығына қарамастан, соншалықты қарапайым емес. Олардың барлығы ауданның қасиеттерін пайдаланады, оның дәлелі Пифагор теоремасының өзін дәлелдеуден күрделірек.

Эквикомплемент арқылы дәлелдеу

1. 1-суретте көрсетілгендей төрт бірдей тікбұрышты үшбұрышты орналастырайық.
2. Бүйірлері бар төртбұрыш вшаршы болып табылады, өйткені екі сүйір бұрыштың қосындысы 90°, ал түзу бұрышы 180°.
3. Бүкіл фигураның ауданы, бір жағынан, қабырғасы (a + b) бар шаршының ауданына, ал екінші жағынан, төрт үшбұрыш пен төртбұрыштың аудандарының қосындысына тең. ішкі шаршының ауданы.

Q.E.D.

Евклидтің дәлелі

Евклидтің дәлелдеу идеясы келесідей: гипотенузаға салынған шаршының жартысы аяқтарда салынған квадраттардың жарты аудандарының қосындысына, содан кейін аудандардың қосындысына тең екенін дәлелдеуге тырысайық. үлкен және екі кішкентай шаршы тең.

Сол жақтағы сызбаға назар аударайық. Оған тікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларына квадраттар тұрғыздық және АВ гипотенузасына перпендикуляр С тік бұрышының төбесінен s сәулесін сыздық, ол гипотенузаға салынған ABIK шаршысын екі тіктөртбұрышқа кеседі - BHJI және HAKJ, тиісінше. Бұл тіктөртбұрыштардың аудандары сәйкес катеттерге салынған квадраттардың аудандарына дәл сәйкес келеді.

DECA шаршысының ауданы AHJK тіктөртбұрышының ауданына тең екенін дәлелдеуге тырысайық, ол үшін біз көмекші бақылауды қолданамыз: биіктігі мен табаны бірдей үшбұрыштың ауданы. берілген тіктөртбұрыш берілген тіктөртбұрыштың жартысына тең. Бұл үшбұрыштың ауданын табан мен биіктіктің жарты өнімі ретінде анықтаудың салдары. Осы бақылаудан ACK үшбұрышының ауданы AHK үшбұрышының ауданына тең (суретте көрсетілмеген), ол өз кезегінде AHJK тіктөртбұрышының ауданының жартысына тең екендігі шығады.

Енді ACK үшбұрышының ауданы да DECA квадратының жартысына тең екенін дәлелдеп көрейік. Бұл үшін жасалуы керек жалғыз нәрсе - ACK және BDA үшбұрыштарының теңдігін дәлелдеу (өйткені BDA үшбұрышының ауданы жоғарыда аталған қасиетке сәйкес шаршы алаңының жартысына тең). Бұл теңдік анық: үшбұрыштар екі жағында және олардың арасындағы бұрышта тең. Атап айтқанда - AB=AK, AD=AC - CAK және BAD бұрыштарының теңдігін қозғалыс әдісімен дәлелдеу оңай: біз CAK үшбұрышын сағат тіліне қарсы 90° бұрамыз, сонда екі үшбұрыштың сәйкес қабырғалары сұрақ сәйкес келеді (шаршы төбесіндегі бұрыш 90° болуына байланысты).

BCFG квадраты мен BHJI тіктөртбұрышының аудандарының теңдігінің негіздемесі толығымен ұқсас.

Осылайша, гипотенузаға салынған шаршының ауданы аяқтарға салынған квадраттардың аудандарынан тұратынын дәлелдедік. Бұл дәлелдеменің идеясы жоғарыдағы анимация арқылы қосымша суреттелген.

Леонардо да Винчидің дәлелі

Дәлелдеудің негізгі элементтері симметрия және қозғалыс болып табылады.

Сызбаны қарастырайық, симметриядан көрініп тұрғандай, кесінді квадратты екі бірдей бөлікке кеседі (үшбұрыштар құрылысы бойынша тең болғандықтан).

Нүктенің айналасында сағат тіліне қарсы 90 градус айналуды пайдалана отырып, біз көлеңкеленген фигуралардың теңдігін көреміз және.

Енді біз боялған фигураның ауданы кішкентай квадраттардың (аяқтарға салынған) және бастапқы үшбұрыштың ауданының жартысының қосындысына тең екені анық. Екінші жағынан, бұл үлкен шаршының жарты ауданына (гипотенузаға салынған) және бастапқы үшбұрыштың ауданына тең. Осылайша, кіші квадраттар аудандарының жартысы үлкен шаршының жартысына тең, сондықтан аяқтарда салынған квадраттардың аудандарының қосындысы квадраттың ауданына тең. гипотенузасы.

Шексіз аз әдісімен дәлелдеу

Дифференциалдық теңдеулерді қолданатын келесі дәлелдер көбінесе 20 ғасырдың бірінші жартысында өмір сүрген атақты ағылшын математигі Хардиге жатады.

Суретте көрсетілген сызбаға қарап, жағының өзгеруін байқау а, біз шексіз аз бүйірлік өсімдерге келесі қатынасты жаза аламыз біргеЖәне а(үшбұрыштың ұқсастығын пайдаланып):

Айнымалыларды бөлу әдісін қолданып, табамыз

Екі жақтағы өсу жағдайында гипотенузаның өзгеруінің жалпы өрнекі

Осы теңдеуді интегралдап, бастапқы шарттарды қолданып, аламыз

Осылайша біз қалаған жауапқа келеміз

Көрінетіндей, соңғы формуладағы квадраттық тәуелділік үшбұрыштың қабырғалары мен өсулер арасындағы сызықтық пропорционалдылыққа байланысты пайда болады, ал қосынды әртүрлі катеттердің өсімінен тәуелсіз үлестермен байланысты.

Қарапайым дәлелдеуге болады, егер біз аяқтардың біреуі өсуді сезінбейтін болса (бұл жағдайда аяқ). Содан кейін интегралдау тұрақтысы үшін аламыз

Вариациялар мен жалпылаулар

Үш жағынан ұқсас геометриялық фигуралар

Ұқсас үшбұрыштар үшін жалпылау, жасыл пішіндердің ауданы A + B = көк C ауданы

Ұқсас тікбұрышты үшбұрыштарды қолданатын Пифагор теоремасы

Евклид өз еңбегінде Пифагор теоремасын жалпылады Басталуы, бүйірлеріндегі квадраттардың аудандарын ұқсас геометриялық фигуралардың аудандарына кеңейту:

Егер біз тікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларына ұқсас геометриялық фигураларды салсақ (Евклид геометриясын қараңыз), онда екі кіші фигураның қосындысы үлкен фигураның ауданына тең болады.

Бұл жалпылаудың негізгі идеясы - мұндай геометриялық фигураның ауданы оның кез келген сызықтық өлшемдерінің квадратына және, атап айтқанда, кез келген жағының ұзындығының квадратына пропорционалды. Сондықтан аудандары бар ұқсас сандар үшін А, БЖәне Cұзындықпен жақтарына салынған а, бЖәне в, бізде бар:

Бірақ, Пифагор теоремасы бойынша, а 2 + б 2 = в 2 сонда А + Б = C.

Керісінше, егер біз мұны дәлелдей алсақ А + Б = Cүш ұқсас геометриялық фигуралар үшін Пифагор теоремасын қолданбай, онда теореманың өзін қарама-қарсы бағытта қозғала отырып дәлелдей аламыз. Мысалы, бастапқы орталық үшбұрышты үшбұрыш ретінде қайта пайдалануға болады Cгипотенузада және екі ұқсас тікбұрышты үшбұрыш ( АЖәне Б), орталық үшбұрышты биіктігіне бөлу арқылы пайда болатын басқа екі жағында салынған. Екі кіші үшбұрыштардың аудандарының қосындысы үшіншінің ауданына тең болады, осылайша А + Б = Cжәне алдыңғы дәлелдеуді кері ретпен орындай отырып, a 2 + b 2 = c 2 Пифагор теоремасын аламыз.

Косинус теоремасы

Пифагор теоремасы - ерікті үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтарын байланыстыратын жалпы косинус теоремасының ерекше жағдайы:

мұндағы θ - қабырғалар арасындағы бұрыш аЖәне б.

Егер θ 90 градус болса, онда cos θ = 0 және формула әдеттегі Пифагор теоремасын жеңілдетеді.

Еркін үшбұрыш

Қабырғалары бар ерікті үшбұрыштың кез келген таңдалған бұрышына a, b, cТең қабырғалы үшбұрышты оның табанындағы θ тең бұрыштары таңдалған бұрышқа тең болатындай етіп сызайық. Таңдалған θ бұрышы белгіленген жаққа қарама-қарсы орналасқан деп есептейік в. Нәтижесінде қабырғаға қарама-қарсы орналасқан θ бұрышы бар ABD үшбұрышын алдық ажәне партиялар r. Екінші үшбұрыш қабырғаға қарама-қарсы орналасқан θ бұрышымен жасалады бжәне партиялар біргеұзындығы с, суретте көрсетілгендей. Сабит Ибн Курра осы үш үшбұрыштың қабырғалары келесідей байланысты екенін дәлелдеген:

θ бұрышы π/2-ге жақындаған сайын тең қабырғалы үшбұрыштың табаны кішірейеді және екі қабырғасы r және s бір-бірін кемітеді. θ = π/2 болғанда, АДБ тікбұрышты үшбұрышқа айналады, r + с = вжәне біз бастапқы Пифагор теоремасын аламыз.

Аргументтердің бірін қарастырайық. ABC үшбұрышының бұрыштары ABD үшбұрышымен бірдей, бірақ кері тәртіпте. (Екі үшбұрыштың В төбесінде ортақ бұрышы бар, екеуінің де бұрышы θ, сонымен қатар үшбұрыштың бұрыштарының қосындысына негізделген үшінші бұрышы бірдей) Сәйкесінше, ABC DBA үшбұрышының ABD шағылысуына ұқсас, өйткені төменгі суретте көрсетілген. Қарама-қарсы қабырғалар мен θ бұрышына іргелес жатқан қабырғалар арасындағы қатынасты жазайық,

Сондай-ақ басқа үшбұрыштың көрінісі,

Бөлшектерді көбейтіп, мына екі қатынасты қосайық:

Q.E.D.

Параллелограммдар арқылы ерікті үшбұрыштар үшін жалпылау

Ерікті үшбұрыштар үшін жалпылау,
жасыл аймақ учаске = ауданкөк

Жоғарыдағы суреттегі тезистің дәлелі

Квадраттардың орнына үш жағындағы параллелограммдарды қолданып, тік емес үшбұрыштар үшін әрі қарай жалпылау жасайық. (шаршы - бұл ерекше жағдай.) Жоғарғы сурет сүйір үшбұрыш үшін ұзын жағындағы параллелограммның ауданы қалған екі қабырғасындағы параллелограммдардың қосындысына тең екенін көрсетеді, егер ұзын жағындағы параллелограмм болса. жағы суретте көрсетілгендей салынған (көрсеткілермен көрсетілген өлшемдер бірдей және төменгі параллелограмның қабырғаларын анықтайды). Квадраттарды параллелограммдармен ауыстыру Пифагордың бастапқы теоремасымен айқын ұқсастыққа ие, оны біздің эрамыздың 4-ші жылы Папп Александриялық тұжырымдаған деп есептейді. e.

Төменгі суретте дәлелдеу барысы көрсетілген. Үшбұрыштың сол жағына қарайық. Сол жасыл параллелограмның ауданы көк параллелограмның сол жағымен бірдей, себебі олардың негізі бірдей бжәне биіктігі h. Сонымен қатар, сол жақ жасыл параллелограмның ауданы жоғарғы суреттегі сол жасыл параллелограммен бірдей, себебі олар ортақ негізді (үшбұрыштың сол жақ жоғарғы жағы) және үшбұрыштың сол жағына перпендикуляр ортақ биіктікте. Үшбұрыштың оң жағына ұқсас дәлелдерді қолданып, біз төменгі параллелограмның екі жасыл параллелограммның ауданымен бірдей екенін дәлелдейміз.

Күрделі сандар

Пифагор теоремасы декарттық координаталар жүйесіндегі екі нүкте арасындағы қашықтықты табу үшін қолданылады және бұл теорема барлық шынайы координаттар үшін жарамды: қашықтық секі нүкте арасындағы ( а, б) Және ( c,d) тең

Комплекс сандар нақты құрамдастары бар векторлар ретінде қарастырылса, формуламен ешқандай проблемалар болмайды x + мен ж = (x, ж). . Мысалы, қашықтық с 0 + 1 арасында менжәне 1 + 0 менвектордың модулі ретінде есептеледі (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), немесе

Дегенмен, күрделі координаттары бар векторлармен операциялар үшін Пифагор формуласына белгілі бір жақсартулар енгізу қажет. Күрделі сандары бар нүктелер арасындағы қашықтық ( а, б) Және ( в, г); а, б, в, Және гбарлық күрделі, біз абсолютті мәндерді пайдалана отырып тұжырымдаймыз. Қашықтық свекторлық айырмашылыққа негізделген (а − в, б − г) келесі формада: айырмашылығы болсын а − в = б+i q, Қайда б- айырмашылықтың нақты бөлігі, qелестетілген бөлік және i = √(−1). Сол сияқты, рұқсат етіңіз б − г = r+i с. Содан кейін:

үшін күрделі конъюгаттық сан мұндағы. Мысалы, нүктелер арасындағы қашықтық (а, б) = (0, 1) Және (в, г) = (мен, 0) , айырмашылығын есептейік (а − в, б − г) = (−мен, 1) және күрделі конъюгаттар пайдаланылмаса, нәтиже 0 болады. Сондықтан, жетілдірілген формуланы пайдалана отырып, біз аламыз

Модуль келесідей анықталады:

Стереометрия

Үш өлшемді кеңістік үшін Пифагор теоремасының маңызды жалпылауы Дж.-П есімімен аталған де Гой теоремасы болып табылады. де Гоис: егер тетраэдрдің тік бұрышы болса (текшедегідей), онда тік бұрышқа қарама-қарсы бет ауданының квадраты қалған үш беттің аудандарының квадраттарының қосындысына тең болады. Бұл қорытындыны « n-өлшемді Пифагор теоремасы»:

Үш өлшемді кеңістіктегі Пифагор теоремасы AD диагоналын үш жаққа жатқызады.

Тағы бір жалпылау: Пифагор теоремасын стереометрияға келесі түрде қолдануға болады. Суретте көрсетілгендей тік бұрышты параллелепипедті қарастырайық. Пифагор теоремасы арқылы BD диагоналының ұзындығын табайық:

мұндағы үш қабырғасы тікбұрышты үшбұрыш құрайды. AD диагоналінің ұзындығын табу үшін BD көлденең диагоналы мен АВ тік жиегін қолданамыз, ол үшін Пифагор теоремасын тағы да қолданамыз:

немесе егер бәрін бір теңдеуде жазсақ:

Бұл нәтиже вектордың шамасын анықтауға арналған үш өлшемді өрнек болып табылады v(диагональды AD), оның перпендикуляр құрамдас бөліктерімен өрнектеледі ( v k ) (өзара перпендикуляр үш қабырға):

Бұл теңдеуді көпөлшемді кеңістік үшін Пифагор теоремасының жалпылауы ретінде қарастыруға болады. Дегенмен, нәтиже Пифагор теоремасын дәйекті перпендикуляр жазықтықтардағы тікбұрышты үшбұрыштар тізбегіне қайталап қолданудан басқа ештеңе емес.

Векторлық кеңістік

Векторлардың ортогональды жүйесі жағдайында теңдік бар, ол Пифагор теоремасы деп те аталады:

Егер - бұл вектордың координат осьтеріне проекциялары болса, онда бұл формула евклидтік қашықтыққа сәйкес келеді - және вектордың ұзындығы оның құрамдастарының квадраттарының қосындысының квадрат түбіріне тең екенін білдіреді.

Бұл теңдіктің шексіз векторлар жүйесі жағдайындағы аналогы Парсевал теңдігі деп аталады.

Евклидтік емес геометрия

Пифагор теоремасы Евклид геометриясының аксиомаларынан алынған және шын мәнінде евклидтік емес геометрия үшін жоғарыда жазылған формада жарамсыз. (Яғни Пифагор теоремасы Евклидтің параллелизм постулатына эквивалент түрі болып шығады) Басқаша айтқанда, евклидтік емес геометрияда үшбұрыштың қабырғалары арасындағы қатынас міндетті түрде Пифагор теоремасынан өзгеше формада болады. Мысалы, сфералық геометрияда тікбұрышты үшбұрыштың барлық үш қабырғасы (айталық а, бЖәне в), бірлік сфераның октантын (сегізінші бөлігі) шектейтін, ұзындығы π/2, бұл Пифагор теоремасына қайшы келеді, өйткені а 2 + б 2 ≠ в 2 .

Мұнда Евклидтік емес геометрияның екі жағдайын қарастырайық – сфералық және гиперболалық геометрия; екі жағдайда да, тікбұрышты үшбұрыштар үшін Евклид кеңістігіне келсек, Пифагор теоремасын алмастыратын нәтиже косинус теоремасынан шығады.

Алайда Пифагор теоремасы гиперболалық және эллиптикалық геометрия үшін жарамды болып қала береді, егер үшбұрыштың тікбұрышты болу талабы үшбұрыштың екі бұрышының қосындысы үшіншіге тең болуы шартымен ауыстырылса, айталық А+Б = C. Сонда жақтардың арасындағы қатынас келесідей болады: диаметрлері бар шеңберлердің аудандарының қосындысы аЖәне бдиаметрі бар шеңбердің ауданына тең в.

Сфералық геометрия

Радиусы бар шардағы кез келген тікбұрышты үшбұрыш үшін Р(мысалы, үшбұрыштағы γ бұрышы тік болса) қабырғалары бар а, б, вТараптар арасындағы қарым-қатынас келесідей болады:

Бұл теңдік сфералық косинус теоремасының ерекше жағдайы ретінде шығарылуы мүмкін, ол барлық сфералық үшбұрыштар үшін жарамды:

мұндағы cosh - гиперболалық косинус. Бұл формула гиперболалық косинус теоремасының ерекше жағдайы болып табылады, ол барлық үшбұрыштар үшін жарамды:

мұндағы γ – төбесі бүйірге қарама-қарсы болатын бұрыш в.

Қайда g ijметрикалық тензор деп аталады. Бұл позицияның функциясы болуы мүмкін. Мұндай қисық кеңістіктерге жалпы мысал ретінде Римандық геометрия жатады. Бұл тұжырым қисық сызықты координаттарды пайдаланған кезде евклидтік кеңістік үшін де қолайлы. Мысалы, полярлық координаттар үшін:

Векторлық өнер

Пифагор теоремасы векторлық көбейтіндінің шамасы үшін екі өрнекті байланыстырады. Айқас туындыны анықтаудың бір тәсілі оның мына теңдеуді қанағаттандыруды талап етеді:

бұл формула нүкте туындысын пайдаланады. Теңдеудің оң жағы Грам анықтаушысы деп аталады аЖәне б, ол осы екі вектор құрған параллелограммның ауданына тең. Осы талап негізінде, сондай-ақ векторлық көбейтіндінің оның құрамдас бөліктеріне перпендикуляр болу талабы аЖәне б 0- және 1-өлшемді кеңістіктегі тривиальды жағдайларды қоспағанда, айқас туынды тек үш және жеті өлшемде анықталады. Біз бұрыштың анықтамасын қолданамыз n- өлшемдік кеңістік:

Айқас көбейтіндінің бұл қасиеті оның шамасын келесідей береді:

Пифагордың негізгі тригонометриялық сәйкестігі арқылы біз оның мәнін жазудың басқа түрін аламыз:

Айқас туындыны анықтаудың баламалы тәсілі оның шамасына арналған өрнекті пайдалану болып табылады. Содан кейін кері ретпен дәлелдеп, скаляр көбейтіндімен байланыс аламыз:

да қараңыз

Ескертпелер

1. Тарих тақырыбы: Вавилондық математикадағы Пифагор теоремасы
2. ( , 351 б.) 351 б
3. ( , I том, 144-бет)
4. Тарихи фактілерді талқылау (, 351 б.) 351 б
5. Курт фон Фриц (сәуір, 1945). «Метапонттағы Гиппастың салыстыруға келмейтіндігін ашу». Математика жылнамасы, екінші серия(Математика жылнамасы) 46 (2): 242–264.
6. Льюис Кэрролл, «Түйіндер бар әңгіме», М., Мир, 1985, 12-бет. 7
7. Асгер АабоеМатематиканың ерте тарихынан эпизодтар. - Американың математикалық қауымдастығы, 1997. - 51-бет. - ISBN 0883856131
8. Python ұсынысыЭлиша Скотт Лумис
9. Евклидтікі Элементтер: VI кітап, VI 31 ұсыныс: «Тік бұрышты үшбұрыштарда тік бұрышқа енетін жағындағы фигура тік бұрышты қамтитын қабырғалардағы ұқсас және ұқсас сипатталған фигураларға тең.»
10. Лоуренс С. Лефф келтірілген еңбек. - Барронның білім беру сериясы - P. 326. - ISBN 0764128922
11. Ховард Уитли Эвс§4.8:...пифагор теоремасын жалпылау // Математикадағы ұлы сәттер (1650 жылға дейін). - Американың математикалық қауымдастығы, 1983. - 41 б. - ISBN 0883853108
12. Тәбит ибн Қорра (толық аты-жөні Сабит ибн Курра ибн Маруан әл-Саби әл-Харрани) (826-901 ж.ж.) — Евклид элементтері және басқа да математикалық пәндер бойынша көп жазған дәрігер.
13. Айдын Сайлы (1960 ж. наурыз). «Сабит ибн Курраның Пифагор теоремасын жалпылауы». Исис 51 (1): 35–37. DOI: 10.1086/348837.
14. Джудит Д. Салли, Пол Салли 2.10 (іі) жаттығу // Келтірілген жұмыс. - 62 б. - ISBN 0821844032
15. Мұндай құрылыстың егжей-тегжейлерін қараңыз Джордж Дженнингс 1.32-сурет: Жалпыланған Пифагор теоремасы // Қолданбалы заманауи геометрия: 150 фигурамен. - 3-ші. - Springer, 1997. - 23 б. - ISBN 038794222X
16. Арлен Браун, Карл М. ПирсиЭлемент C: ерікті үшін норма n-кортеж ... // Талдауға кіріспе . - Springer, 1995. - 124-б. - ISBN 0387943692Сондай-ақ 47-50 беттерді қараңыз.
17. Альфред Грей, Эльза Аббена, Саймон Саламон Mathematica көмегімен қисықтардың және беттердің қазіргі дифференциалдық геометриясы. - 3-ші. - CRC Press, 2006. - 194-бет. - ISBN 1584884487
18. Раджендра БхатияМатрицалық талдау. - Springer, 1997. - 21 б. - ISBN 0387948465
19. Стивен В. Хокинг келтірілген еңбек. - 2005. - 4-б. - ISBN 0762419229

Теорема

Тікбұрышты үшбұрышта гипотенузаның ұзындығының квадраты катеттердің ұзындықтарының квадраттарының қосындысына тең (1-сурет):

$c^(2)=a^(2)+b^(2)$

Пифагор теоремасын дәлелдеу

$A B C$ үшбұрышы тік бұрышы $C$ болатын тікбұрышты үшбұрыш болсын (2-сурет).

$C$ төбесінен $A B$ гипотенузасына дейінгі биіктікті салайық және биіктік негізін $H$ деп белгілейік.

$A C H$ тікбұрышты үшбұрышы $A B C$ үшбұрышына екі бұрышта ұқсас ($\бұрыш A C B=\бұрыш C H A=90^(\circ)$, $\бұрыш A$ кең таралған). Сол сияқты, $C B H$ үшбұрышы $A B C$ -ға ұқсас.

Белгілеумен таныстыру арқылы

$$B C=a, A C=b, A B=c$$

үшбұрыштардың ұқсастығынан біз мұны аламыз

$$\frac(a)(c)=\frac(H B)(a), \frac(b)(c)=\frac(A H)(b)$$

Осыдан бізде бұл бар

$$a^(2)=c \cdot H B, b^(2)=c \cdot A H$$

Алынған теңдіктерді қосып, аламыз

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot H B+c \cdot A H$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot(H B+A H)$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot A B$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot c$$

$$a^(2)+b^(2)=c^(2)$$

Q.E.D.

Пифагор теоремасының геометриялық тұжырымы

Теорема

Тікбұрышты үшбұрышта гипотенузаға салынған шаршының ауданы аяқтарға салынған квадраттардың аудандарының қосындысына тең (2-сурет):

Есептерді шешу мысалдары

Мысал

Жаттығу.Қабырғалары 6 см және 8 см болатын $A B C$ тікбұрышты үшбұрыш берілген, осы үшбұрыштың гипотенузасын табыңыз.

Шешім.Қате шарты бойынша $a=6$ см, $b=8$ см Сонда Пифагор теоремасы бойынша гипотенузаның квадраты

$c^(2)=a^(2)+b^(2)=6^(2)+8^(2)=36+64=100$

Осыдан біз қажетті гипотенузаны аламыз

$c=\sqrt(100)=10$ (см)

Жауап. 10 см

Мысал

Жаттығу.Тікбұрышты үшбұрыштың бір катетінің екіншісінен 5 см үлкен және гипотенузасы 25 см болатыны белгілі болса, оның ауданын табыңыз.

Шешім.Кіші аяқтың ұзындығы $x$ см, одан үлкенінің ұзындығы $(x+5)$ см болсын. Сонда Пифагор теоремасы бойынша бізде:

$$x^(2)+(x+5)^(2)=25^(2)$$

Жақшаларды ашып, ұқсастарын азайтып, алынған квадрат теңдеуді шешеміз:

$x^(2)+5 x-300=0$

Виетаның теоремасы бойынша біз оны аламыз

$x_(1)=15$ (см) , $x_(2)=-20$ (см)

$x_(2)$ мәні есептің шарттарын қанағаттандырмайды, яғни кіші аяғы 15 см, ал үлкені 20 см.

Тікбұрышты үшбұрыштың ауданы оның катеттерінің ұзындықтарының көбейтіндісінің жартысына тең, яғни

$$S=\frac(15 \cdot 20)(2)=15 \cdot 10=150\left(\mathrm(см)^(2)\оң)$$

Жауап.$S=150\сол(\матр(см)^(2)\оң)$

Тарихи анықтама

Пифагор теоремасы- тікбұрышты үшбұрыштың қабырғалары арасындағы қатынасты белгілейтін евклид геометриясының негізгі теоремаларының бірі.

Ежелгі қытайлық «Чжоу Би Сюань Цзин» кітабында қабырғалары 3, 4 және 5 болатын Пифагор үшбұрышы туралы айтылады. Немістің жетекші математика тарихшысы Мориц Кантор (1829 - 1920) $3^(2)+4^ теңдігі деп есептейді. (2)=5^ (2) $ мысырлықтарға б.з.б. 2300 жылы белгілі болды. Ғалымның айтуынша, құрылысшылар содан кейін қабырғалары 3, 4 және 5 болатын тікбұрышты үшбұрыштарды пайдаланып, тік бұрыштарды салған. Вавилондықтар Пифагор теоремасы туралы біршама көбірек біледі. Бір мәтінде тең қабырғалы тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы шамамен берілген.

Қазіргі уақытта бұл теореманың 367 дәлелі ғылыми әдебиеттерде тіркелген. Мүмкін, Пифагор теоремасы осындай әсерлі дәлелдер саны бар жалғыз теорема болса керек. Мұндай әртүрлілікті тек теореманың геометрия үшін негізгі маңыздылығымен түсіндіруге болады.

Жұмыс мәтіні суретсіз және формуласыз орналастырылған.
Жұмыстың толық нұсқасы PDF форматындағы «Жұмыс файлдары» қойындысында қолжетімді

Кіріспе

Мектептегі геометрия курсында тек математикалық есептер Пифагор теоремасы арқылы шығарылады. Өкінішке орай, Пифагор теоремасын практикалық қолдану мәселесі қарастырылмаған.

Осыған байланысты менің жұмысымның мақсаты Пифагор теоремасының қолдану салаларын анықтау болды.

Қазіргі уақытта ғылым мен техниканың көптеген салаларының дамуының табыстылығы математиканың әртүрлі салаларының дамуына байланысты екені жалпыға белгілі. Өндіріс тиімділігін арттырудың маңызды шарты математикалық әдістерді технологияға және халық шаруашылығына кеңінен енгізу болып табылады, ол тәжірибеде қойылған мәселелерді шешуге мүмкіндік беретін сапалы және сандық зерттеулердің жаңа тиімді әдістерін құруды көздейді.

Мен Пифагор теоремасын тәжірибеде қолдану мысалдарын қарастырамын. Мен теореманы қолданудың барлық мысалдарын беруге тырыспаймын - бұл мүмкін емес. Теореманың қолданылу аясы өте кең және әдетте оны жеткілікті толықтықпен көрсету мүмкін емес.

Гипотеза:

Пифагор теоремасын қолдана отырып, сіз тек математикалық есептерді ғана емес шеше аласыз.

Бұл зерттеу жұмысы үшін келесі мақсат белгіленді:

Пифагор теоремасының қолданылу аймақтарын табыңыз.

Жоғарыда аталған мақсат негізінде келесі міндеттер анықталды:

Пифагор теоремасының әртүрлі дереккөздерде практикалық қолданылуы туралы мәліметтер жинап, теореманың қолданылу салаларын анықтаңыз.

Пифагор және оның теоремасы туралы кейбір тарихи мәліметтерді зерттеңіз.

Тарихи есептерді шешуде теореманың қолданылуын көрсетіңіз.

Тақырып бойынша жиналған мәліметтерді өңдеу.

Мен ақпаратты іздеумен және жинаумен айналыстым - баспа материалын зерттеу, Интернеттегі материалмен жұмыс істеу, жиналған деректерді өңдеу.

Зерттеу әдістемесі:

Теориялық материалды оқу.

Зерттеу әдістерін зерттеу.

Зерттеудің практикалық орындалуы.

Коммуникативті (өлшеу әдісі, сауалнама).

Жоба түрі:ақпарат және зерттеу. Жұмыс бос уақытта орындалды.

Пифагор туралы.

Пифагор – ежелгі грек философы, математигі, астрономы. Ол геометриялық фигуралардың көптеген қасиеттерін негіздеді, сандар мен олардың пропорцияларының математикалық теориясын жасады. Ол астрономия мен акустиканың дамуына зор үлес қосты. «Алтын өлеңдердің» авторы, Кротондағы Пифагор мектебінің негізін салушы.

Аңыз бойынша, Пифагор біздің дәуірімізге дейінгі 580 жылы дүниеге келген. e. Самос аралында ауқатты көпес отбасында. Оның анасы Пифаза өз есімін Аполлонның діни қызметкері Пифияның құрметіне алды. Пифия Мнесарх пен оның әйеліне ұл туады деп болжаған, ұлы да Пифияның есімімен аталды. Көптеген ежелгі куәліктерге сәйкес, бала керемет әдемі болды және көп ұзамай өзінің ерекше қабілеттерін көрсетті. Ол өзінің алғашқы білімін зергер және асыл тастарды оюшы әкесі Мнесархтан алады, ол ұлының кәсібін жалғастыруды армандаған. Бірақ өмір басқаша шешті. Болашақ философ ғылымға үлкен қабілет көрсетті. Пифагордың ұстаздары арасында Сиростың Ферецидтері мен аға Гермодаман болды. Біріншісі бала бойына ғылымға, екіншісі музыкаға, суретке, поэзияға деген сүйіспеншілікті оятты. Кейіннен Пифагор атақты философ және математик Милеттік Фалеспен кездесіп, оның кеңесі бойынша сол кездегі ғылыми және зерттеу қызметінің орталығы болған Мысырға барады. Мысырда 22 жыл, Вавилонда 12 жыл өмір сүргеннен кейін ол Самос аралына оралды, содан кейін белгісіз себептермен оны тастап, Италияның оңтүстігіндегі Кротон қаласына қоныс аударады. Мұнда ол философия мен математиканың әртүрлі мәселелері зерттелетін Пифагор мектебін (одағын) құрады. Пифагор шамамен 60 жасында өзінің шәкірттерінің бірі Теаноға үйленді. Олардың үш баласы бар, бәрі де әкесінің ізбасарлары. Сол кездегі тарихи жағдайлар демостардың ақсүйектер билігіне қарсы кең қозғалысымен сипатталады. Халық ашуының толқындарынан қашып, Пифагор және оның шәкірттері Тарентум қаласына көшті. Бір нұсқа бойынша: Килон деген бай және зұлым адам мас күйінде бауырластыққа қосылғысы келеді. Бас тартқан Килон Пифагормен соғыса бастады. Өрт кезінде оқушылар өз бетінше мұғалімнің өмірін аман алып қалды. Пифагор мұңайып, көп ұзамай өз-өзіне қол жұмсады.

Айта кету керек, бұл оның өмірбаянының нұсқаларының бірі. Оның туған және қайтыс болған күндері нақты анықталған жоқ, оның өмірі туралы көптеген фактілер қарама-қайшы. Бірақ бір нәрсе анық: бұл адам өмір сүріп, ұрпақтарына үлкен философиялық-математикалық мұра қалдырды.

Пифагор теоремасы.

Пифагор теоремасы геометрияның ең маңызды тұжырымы болып табылады. Теорема келесідей тұжырымдалған: тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасына салынған шаршының ауданы оның катеттеріне салынған квадраттардың аудандарының қосындысына тең.

Бұл мәлімдеменің ашылуы Самостық Пифагорға (б.з.б. 12 ғ.) қатысты.

Вавилондық сына жазу тақталары мен көне қытай қолжазбаларын (одан да көне қолжазбалардың көшірмелері) зерттеу әйгілі теорема Пифагордан көп бұрын, мүмкін одан бірнеше мың жыл бұрын белгілі болғанын көрсетті.

(Бірақ оны Пифагор толық дәлелдеді деген болжам бар)

Бірақ тағы бір пікір бар: Пифагор мектебінде барлық сіңірген еңбегін Пифагорға жатқызудың және кейбір жағдайлардан басқа, ашушылардың даңқын өздеріне жатқызбаудың тамаша әдеті болды.

(Ямблих-сириялық грек тілді жазушы, «Пифагордың өмірі» трактатының авторы. (б. з. 2 ғ.)

Сонымен, неміс математик тарихшысы Кантор 3 2 + 4 2 = 5 2 теңдігі болды деп есептейді.

мысырлықтарға біздің дәуірімізге дейінгі 2300 жылдар шамасында белгілі. e. Әменехмет патшаның кезінде (Берлин мұражайының 6619 папирусы бойынша). Кейбіреулер Пифагор теореманы толық дәлелдеді деп санайды, ал басқалары оның бұл еңбегін жоққа шығарады.

Кейбіреулер Пифагорға Евклидтің «Элементтерінде» берген дәлелін жатқызады. Екінші жағынан, Прокл (математик, 5 ғ.) Элементтердегі дәлелдеу Евклидтің өзіне тиесілі екенін, яғни математика тарихында Пифагордың математикалық әрекеті туралы сенімді деректердің дерлік сақталмағанын айтады. Математикада әр түрлі салыстыруға лайық басқа теорема жоқ шығар.

Евклид элементтерінің кейбір тізімдерінде бұл теорема грек тілінде нимфа деп аталатын ара, көбелек («көбелек теоремасы») сызбасының ұқсастығы үшін «нимфа теоремасы» деп аталды. Гректер бұл сөзді кейбір басқа құдайлардың, сондай-ақ жас әйелдер мен қалыңдықтардың атын атау үшін қолданған. Араб аудармашысы суретке мән бермей, «нимфа» сөзін «келін» деп аударған. «Қалыңдық теоремасы» деген сүйкімді атау осылай пайда болды. Самостық Пифагор өзінің теоремасын дәлелдегенде 100 өгізді құрбандыққа шалып, құдайларға алғыс айтқан деген аңыз бар. Сондықтан басқа атау - «жүз өгіз теоремасы».

Ағылшын тілінде сөйлейтін елдерде оны «жел диірмені», «тауыс құйрығы», «қалыңдықтың орындығы», «есек көпірі» деп атаған (егер студент одан «өтіп» өте алмаса, ол нағыз «есек» болған).

Революцияға дейінгі Ресейде тең қабырғалы үшбұрыш жағдайына арналған Пифагор теоремасының сызбасы «Пифагор шалбары» деп аталды.

Бұл «шалбарлар» сыртқа қарай тікбұрышты үшбұрыштың әр жағында шаршыларды салғанда пайда болады.

Пифагор теоремасының неше түрлі дәлелі бар?

Пифагор заманынан бері олардың 350-ден астамы пайда болды, бұл теорема Гиннестің рекордтар кітабына енгізілген. Теореманың дәлелдемелерін талдайтын болсақ, оларда бірнеше принципті әртүрлі идеялар қолданылады.

Теореманың қолданылу аймақтары.

шешуде кеңінен қолданылады геометриялықтапсырмалар.

Оның көмегімен бүтін сандардың квадрат түбірлерінің мәндерін геометриялық түрде табуға болады:

Ол үшін бірлік аяқтары бар AOB тікбұрышты үшбұрышын (А бұрышы 90°) саламыз. Сонда оның гипотенузасы √2 болады. Содан кейін ВС бірлік кесіндісін саламыз, ВС ОБ-ға перпендикуляр, гипотенузаның ұзындығы OC = √3 және т.б.

(бұл әдісті біз Евклид пен Ф.Киренскийде кездестіреміз).

Белгілі тапсырмалар физиктерЖоғары мектептер Пифагор теоремасын білуді талап етеді.

Бұл жылдамдықтарды қосуға байланысты есептер.

Слайдқа назар аударыңыз: 9-сынып физика оқулығынан берілген есеп. Практикалық мағынада оны былай тұжырымдауға болады: жолаушыларды пирстер арасында тасымалдайтын қайық кестені орындау үшін өзен ағынының қандай бұрышында қозғалуы керек (пирстер өзеннің қарама-қарсы жағалауында)

Биатлоншы нысанаға оқ атқанда, ол «желге түзету» жасайды. Оң жақтан жел соғып, спортшы тіке атса, оқ сол жаққа кетеді. Нысанаға тию үшін көзді оқтың ығысқан қашықтығы бойынша оңға жылжыту керек. Олар үшін арнайы кестелер құрастырылған (Пифагордан алынған қорытындылар негізінде). Биатлоншы желдің жылдамдығы белгілі болған кезде көруді қандай бұрышқа жылжыту керектігін біледі.

Астрономия -теореманы қолданудың кең аймағы Жарық сәулесінің жолы.Суретте жарық сәулесінің жолы көрсетілген А B және кері. Сәуле жолы анық болу үшін қисық көрсеткімен көрсетілген, шын мәнінде, жарық сәулесі түзу.

Сәуле қандай жолмен жүреді?? Жарық бір жолды алға-артқа таратады. Сәуле жүріп өткен жолдың жартысы нешеге тең? Егер сегментті белгілесек ABсимволы л, уақыттың жартысы ұнайды т, сонымен қатар жарық жылдамдығын әріппен белгілейді в, онда біздің теңдеу пішінді алады

c * t = l

Бұл жұмсалған уақыт пен жылдамдықтың жемісі!

Енді сол құбылысты басқа анықтамалық шеңберден, мысалы, жүгіріп келе жатқан сәуленің жанынан жылдамдықпен ұшып бара жатқан ғарыш кемесінен қарауға тырысайық. v. Мұндай бақылау кезінде барлық денелердің жылдамдықтары өзгереді, ал қозғалмайтын денелер жылдамдықпен қозғала бастайды. vқарама-қарсы бағытта. Кеме солға қарай жылжиды делік. Содан кейін қоян жүгіретін екі нүкте бірдей жылдамдықпен оңға қарай жылжи бастайды. Оның үстіне, қоян жүгіріп келе жатқанда, бастапқы нүкте Аауысады және сәуле жаңа нүктеге оралады C.

Сұрақ: жарық сәулесі тараған кезде нүктенің қозғалуға (С нүктесіне айналуға) қанша уақыты бар?Дәлірек айтқанда: бұл орын ауыстырудың жартысы қанша? Егер сәуленің жүру уақытының жартысын әріппен белгілесек т", және жарты қашықтық А.С.хат г, онда біз теңдеуімізді келесі түрде аламыз:

v * t" = d

Хат vғарыш аппаратының жылдамдығын көрсетеді.

Тағы бір сұрақ: жарық сәулесі қанша қашықтыққа жетеді?(Дәлірек айтсақ, бұл жолдың жартысы қанша? Белгісіз нысанға дейінгі қашықтық қанша?)

Жарық жолының жарты ұзындығын s әрпімен белгілесек, мына теңдеуді аламыз:

c * t" =с

Мұнда вжарық жылдамдығы болып табылады, және т"- бұл жоғарыда талқыланған уақытпен бірдей.

Енді үшбұрышты қарастырыңыз ABC. Бұл биіктігі тең қабырғалы үшбұрыш л, оны біз процесті бекітілген көзқарас тұрғысынан қарастырған кезде енгіздік. Қозғалыс перпендикуляр болғандықтан л, содан кейін бұл оған әсер ете алмады.

Үшбұрыш ABCекі жартыдан – гипотенузалары бірдей тік бұрышты үшбұрыштардан тұрады ABЖәне б.з.б.аяқтарына жалғануы керек Пифагор теоремасы бойынша. Аяқтардың бірі г, біз оны жаңа ғана есептедік, ал екінші аяғы s, ол арқылы жарық өтеді және біз де есептеп шығардық:

с 2 = л 2 +d 2

Бұл Пифагор теоремасы!

Құбылыс жұлдызды аберрация, 1729 жылы ашылған, аспан сферасындағы барлық жұлдыздар эллипстерді сипаттайды. Бұл эллипстердің жартылай үлкен осі Жерден 20,5 градус бұрышта байқалады. Бұл бұрыш Жердің Күнді айнала қозғалуымен сағатына 29,8 км жылдамдықпен байланысты. Қозғалыстағы Жерден жұлдызды байқау үшін жұлдыз қозғалысымен бірге телескоп түтігін алға қарай еңкейту керек, өйткені жарық телескоптың ұзындығы бойынша тараған кезде окуляр жермен бірге алға жылжиды. Жарық пен Жердің жылдамдығын қосу векторлық жолмен, деп аталатынды қолдана отырып жасалады.

Пифагор. U 2 =C 2 +V 2

С – жарық жылдамдығы

V-жер жылдамдығы

Телескоп түтігі

ХІХ ғасырдың аяғында Марстың адамға ұқсас тұрғындарының бар екендігі туралы әртүрлі болжамдар жасалды, бұл итальяндық астроном Шиапареллидің ашқан жаңалықтарының салдары болды (ол Марста бұрыннан жасанды деп саналған арналарды ашты). Әрине, бұл гипотетикалық тіршілік иелерімен жарық сигналдары арқылы байланысуға бола ма деген сұрақ қызу пікірталас тудырды. Париж Ғылым академиясы тіпті басқа аспан денесінің кез келген тұрғынымен байланыс орнатқан бірінші адамға 100 000 франк көлемінде сыйлық тағайындады; бұл жүлде әлі де бақытты жеңімпазды күтуде. Әзіл ретінде, мүлдем себепсіз болмаса да, Пифагор теоремасы түрінде Марс тұрғындарына сигнал беру туралы шешім қабылданды.

Мұны қалай жасау керектігі белгісіз; бірақ Пифагор теоремасы білдіретін математикалық факт барлық жерде орындалатыны бәріне анық, сондықтан бізге ұқсас басқа әлемнің тұрғындары мұндай сигналды түсінуі керек.

ұялы байланыс

Қазіргі әлемде ұялы телефонды кім пайдаланбайды? Әрбір ұялы телефон абоненті оның сапасына қызығушылық танытады. Ал сапа, өз кезегінде, ұялы байланыс операторының антеннасының биіктігіне байланысты. Берілуді қабылдауға болатын радиусты есептеу үшін біз пайдаланамыз Пифагор теоремасы.

R=200 км радиуста хабарларды қабылдау үшін ұялы байланыс операторының антеннасының максималды биіктігі қандай болуы керек? (Жердің радиусы 6380 км.)

Шешімі:

Болсын AB=x , BC=R=200 км , OC= r =6380 км.

OB=OA+ABOB=r + x.

Пифагор теоремасын қолданып, аламыз Жауабы: 2,3 км.

Үйлер мен коттедждерді салу кезінде, егер арқалықтар әлдеқашан жасалған болса, шатырға арналған тіректердің ұзындығы туралы сұрақ жиі туындайды. Мысалы: үйге төбе төбесін салу жоспарлануда (секциялық пішін). Егер арқалықтар AC=8 м, ал AB=BF болса, арқалықтардың ұзындығы қандай болуы керек.

Шешімі:

ADC үшбұрышы тең қабырғалы AB=BC=4 м, BF=4 м, егер FD=1,5 м деп алсақ, онда:

A) DBC үшбұрышынан: DB=2,5 м.

B) ABF үшбұрышынан:

Терезе

Ғимараттарда Готикалық және романеск стилітерезелердің үстіңгі бөліктері тас қабырғалармен бөлінген, олар тек ою-өрнек рөлін атқарып қана қоймайды, сонымен қатар терезелердің беріктігіне ықпал етеді. Суретте готикалық стильдегі мұндай терезенің қарапайым мысалы көрсетілген. Оны салу әдісі өте қарапайым: Суреттен радиустары тең алты шеңбер доғасының центрлерін табу оңай.

сыртқы аркалар үшін терезе ені (b).

жарты ені, (b/2) ішкі доғалар үшін

Төрт доғаға тиетін толық шеңбер қалады. Ол екі концентрлі шеңбердің арасында орналасқандықтан, оның диаметрі осы шеңберлер арасындағы қашықтыққа тең, яғни b/2, демек, радиусы b/4. Содан кейін ол анық болады және

оның орталығының орны.

IN романеск архитектурасыСуретте көрсетілген мотив жиі кездеседі. Егер b әлі де терезенің енін білдірсе, онда жарты шеңберлердің радиустары R = b / 2 және r = b / 4 болады. Ішкі шеңбердің p радиусын 3-суретте көрсетілген оң жақ үшбұрыштан есептеуге болады. нүктелі сызық Шеңберлердің жанама нүктесі арқылы өтетін бұл үшбұрыштың гипотенузасы b/4+p, бір қабырғасы b/4, ал екіншісі b/2-p тең. Пифагор теоремасы бойынша бізде:

(b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/4-p) 2

b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4 - bp/2 +p 2 ,

b-ге бөлу және ұқсас терминдерді келтірсек, біз мынаны аламыз:

(3/2)p=b/4, p=b/6.

Орман өнеркәсібінде: құрылыс қажеттіліктері үшін бөренелер бөренелерге кесіледі, ал негізгі міндет - мүмкіндігінше аз қалдықтарды алу. Ағаштың ең үлкен көлемі болған кезде қалдықтардың ең аз мөлшері болады. Бөлімде не болуы керек? Шешімнен көрініп тұрғандай, көлденең қимасы шаршы болуы керек, және Пифагор теоремасыжәне басқа да ойлар осындай қорытынды жасауға мүмкіндік береді.

Ең үлкен көлемді ағаш

Тапсырма

Цилиндрлік журналдан ең үлкен көлемді тікбұрышты пучокты кесу керек. Оның көлденең қимасы қандай пішінде болуы керек (23-сурет)?

Шешім

Егер тікбұрышты қиманың қабырғалары х және у болса, онда Пифагор теоремасы бойынша

x 2 + y 2 = d 2,

мұндағы d - журналдың диаметрі. Сәуленің көлемі оның көлденең қимасының ауданы ең үлкен болғанда, яғни xy ең үлкен мәнге жеткенде ең үлкен болады. Бірақ егер xy ең үлкен болса, онда x 2 y 2 көбейтіндісі де ең үлкен болады. x 2 + y 2 қосындысы өзгермегендіктен, бұрын дәлелденгенге сәйкес, x 2 y 2 көбейтіндісі ең үлкен болады:

x 2 = y 2 немесе x = y.

Сонымен, арқалықтың көлденең қимасы шаршы болуы керек.

Тасымалдау тапсырмалары(оңтайландыру мәселелері деп аталады; шешімі үлкен пайдаға жету үшін қаражатты қалай бөлуге болады деген сұраққа жауап беруге мүмкіндік беретін мәселелер)

Бір қарағанда, ерекше ештеңе жоқ: еденнен төбеге дейінгі биіктікті бірнеше нүктеде өлшеңіз, шкаф төбеге тірелмейтіндей етіп бірнеше сантиметрді алып тастаңыз. Осылайша, жиһазды жинау процесінде қиындықтар туындауы мүмкін. Өйткені, жиһаз жасаушылар шкафты көлденең күйге қою арқылы жақтауды жинайды, ал жақтау жиналған кезде оны тік күйге көтереді. Шкафтың бүйір қабырғасын қарастырайық. Шкафтың биіктігі еденнен төбеге дейінгі қашықтықтан 10 см аз болуы керек, бұл қашықтық 2500 мм-ден аспауы керек. Ал шкафтың тереңдігі 700 мм. Неліктен 5 см немесе 7 емес, 10 см және оған Пифагор теоремасының қандай қатысы бар?

Сонымен: бүйір қабырғасы 2500-100=2400 (мм) - құрылымның максималды биіктігі.

Жақтауды көтеру процесінде бүйір қабырға тігінен де, диагональ бойынша да еркін өтуі керек. Авторы Пифагор теоремасы

АС = √ AB 2 + BC 2

AC = √ 2400 2 + 700 2 = 2500 (мм)

Шкафтың биіктігі 50 мм-ге азайса не болады?

AC = √ 2450 2 + 700 2 = 2548 (мм)

Диагональ 2548 мм. Бұл сіз шкафты орната алмайтыныңызды білдіреді (төбені бұзуыңыз мүмкін).

Найзағай.

Найзағай өзінің табанынан қашықтығы биіктігінен екі есе аспайтын барлық заттарды найзағайдан қорғайтыны белгілі. Төменгі қол жетімді биіктігін қамтамасыз ете отырып, габельді төбедегі найзағайдың оңтайлы орналасуын анықтау қажет.

Пифагор теоремасы бойынша h 2 ≥a 2 +б 2 білдіреді h≥(а 2 +б 2) 1/2

Тез арада саяжайымызға көшеттерге арналған жылыжай жасау керек.

Тақталардан 1м1м шаршы жасалған. 1,5м1,5м өлшемді пленка қалдықтары бар. Пленка оны толығымен жабатындай етіп шаршының ортасында қандай биіктікте жолақты бекіту керек?

1) Жылыжай диагоналы d==1,4;0,7

2) Фильм диагоналы d 1= 2,12 1,06

3) Рельс биіктігі x= 0,7

Қорытынды

Зерттеу нәтижесінде мен Пифагор теоремасын қолданудың кейбір салаларын анықтадым. Бұл тақырыпта әдеби көздерден, интернеттен көптеген материалдар жинап, өңдедім. Мен Пифагор және оның теоремасы туралы кейбір тарихи мәліметтерді зерттедім. Иә, шынында да, Пифагор теоремасын қолдана отырып, сіз тек математикалық есептерді ғана емес шеше аласыз. Пифагор теоремасы құрылыста және сәулетте, ұялы байланыста және әдебиетте өзінің қолданылуын тапты.

Пифагор теоремасы туралы ақпарат көздерін зерттеу және талдау

көрсетті:

А) математиктер мен математика әуесқойларының теоремаға ерекше назар аударуы оның қарапайымдылығына, әдемілігіне және маңыздылығына негізделген;

б)көптеген ғасырлар бойы Пифагор теоремасы қызықты және маңызды математикалық ашылуларға (Фермат теоремасы, Эйнштейннің салыстырмалылық теориясы) түрткі болды;

В) Пифагор теоремасы – бүкіл әлемде жарамды математиканың әмбебап тілінің іске асуы;

Г) теореманың қолданылу аясы айтарлықтай кең және оны жеткілікті түрде толық көрсету мүмкін емес;

г) Пифагор теоремасының құпиялары адамзатты толғандырады, сондықтан әрқайсымызға олардың ашылуына қатысуға мүмкіндік беріледі.

Библиография

«Успехи Математических Наук», 1962, 17-том, № 6 (108).

Александр Данилович Александров (елу жасында),

Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 10 - 11 ұяшықтар. - М.: Білім, 1992 ж.

Атанасян Л.С. және т.б. Геометрия, 10 - 11 ұяшықтар. - М.: Білім, 1992 ж.

Владимиров Ю.С. Кеңістік – уақыт: айқын және жасырын өлшемдер. - М.: «Ғылым», 1989 ж.

Волошин А.В. Пифагор. - М.: Білім, 1993 ж.

«Математика» газеті, No21, 2006 ж.

«Математика» газеті, No28, 1995 ж.

Геометрия: Оқулық. 7-11 сыныптар үшін. орта мектеп/ Г.П. Бевз, В.Г. Бевз, Н.Г. Владимирова. - М.: Білім, 1992 ж.

Геометрия: 7 - 9 сыныптарға арналған оқулық. жалпы білім беру мекемелер/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев және басқалары - 6-шы басылым. - М.: Білім, 1996 ж.

Глейзер Г.И. Мектептегі математика тарихы: IX - X сыныптар. Мұғалімдерге арналған нұсқаулық. – М.: Білім, 1983 ж.

8-сынып мектеп оқулығына қосымша тараулар: Мектеп оқушыларына арналған оқулық. және тереңдетілген сыныптар оқыды математика / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев және басқалар - М.: Білім, 1996.

Еленский Щ Пифагордың ізімен. М., 1961 ж.

Киселев А.П., Рыбкин Н.А. Геометрия: Планиметрия: 7 - 9 сынып: Оқулық және есептер жинағы. - М.: Тоқаш, 1995 ж.

Klein M. Математика. Шындықты іздеу: Ағылшын тілінен аударма. / Ред. және алғы сөз ЖӘНЕ. Аршинова, Ю.В. Сачкова. - М.: Мир, 1998 ж.

Литурман В. Пифагор теоремасы. - М., 1960 ж.

Математика: Оқушылар мен студенттерге арналған анықтамалық / Б.Фрэнк және т.б.; Онымен аударма. - 3-ші басылым, стереотип. - М.: Бустард, 2003 ж.

Peltuer A. Сіз Пифагор кімсіз? – М.: Білім – күш, No12, 1994 ж.

Перельман Я. Көңілді математика. - М.: «Ғылым», 1976 ж.

Пономарева Т.Д. Ұлы ғалымдар. - М.: «Астрель» баспасы» ЖШС, 2002 ж.

Свешникова А. Математика тарихына саяхат. - М., 1995 ж.

Семенов Е.Е. Геометрияны оқу: кітап. 6-8 сынып оқушылары үшін. мектептегі орташа - М.: Білім, 1987 ж.

Смышляев В.К. Математика және математиктер туралы. - Марий кітап баспасы, 1977 ж.

Тучнин Н.П. Қалай сұрақ қою керек. - М.: Білім, 1993 ж.

Черкасов О.Ю. Қабылдау емтиханындағы планиметрия. - М.: Мәскеу лицейі, 1996 ж.

Жас математиктің энциклопедиялық сөздігі. Құрастыру. А.П. Савин. - М.: Педагогика, 1985 ж.

Балаларға арналған энциклопедия. T. 11. Математика. /Бөлім Ред. М.Д. Аксенов. - М.: Аванта +, 2001 ж.