T coseni. Teorema del coseno
Enunciato del teorema del coseno
Per un triangolo piano con lati a,b,c e angolo α opposto al lato a vale la seguente relazione:
Formule utili del teorema del coseno:
Come si può vedere da quanto sopra, utilizzando il teorema del coseno, puoi trovare non solo il lato di un triangolo mediante due lati e l'angolo tra loro, puoi, conoscendo le dimensioni di tutti i lati del triangolo, determinare i coseni di tutti angoli e calcola anche la dimensione di qualsiasi angolo del triangolo. Calcolare qualsiasi angolo di un triangolo dai suoi lati è una conseguenza della trasformazione della formula del teorema del coseno.
Dimostrazione del teorema del coseno
Consideriamo un triangolo arbitrario ABC. Supponiamo di conoscere la dimensione del lato AC (è uguale a un certo numero b), la dimensione del lato AB (è uguale a un certo numero c) e l'angolo compreso tra questi lati, il cui valore è uguale ad α. Troviamo la dimensione del lato BC (che ne indica la lunghezza tramite la variabile a)
Per prova teoremi del coseno Eseguiamo costruzioni aggiuntive. Dal vertice C al lato AB abbassiamo l'altezza CD.
Troviamo la lunghezza del lato AB. Come si può vedere dalla figura, a seguito della costruzione aggiuntiva possiamo dirlo
AB = AD + BD
Troviamo la lunghezza del segmento AD. Partendo dal fatto che il triangolo ADC è rettangolo, conosciamo la lunghezza della sua ipotenusa (b) e dell'angolo (α), quindi la dimensione del lato AD può essere trovata dal rapporto tra i suoi lati, utilizzando le proprietà delle funzioni trigonometriche in un triangolo rettangolo:
AD/AC = cosα
Dove
AD = AC cos α
AD = b cos α
Troviamo la lunghezza del lato BD come differenza tra AB e AD:
BD = AB-AD
BD = c − b cos α
Ora scriviamo il teorema di Pitagora per due triangoli rettangoli ADC e BDC:
per il triangolo BDC
CD2 + BD2 = BC2
per il triangolo ADC
CD2 + AD2 = AC2
Notiamo che entrambi i triangoli hanno un lato comune: CD. Determiniamo la sua lunghezza per ciascun triangolo: mettiamo il suo valore sul lato sinistro dell'espressione e il resto a destra.
CD2= BC 2 - BD 2
CD2= AC2 - AD2
Poiché i lati sinistri delle equazioni (il quadrato del lato CD) sono uguali, uguagliamo i lati destri delle equazioni:
BC 2 - BD 2 = AC 2 - AD 2
In base ai calcoli fatti in precedenza, sappiamo già che:
AD = b cos α
BD = c − b cos α
AC. = b(per condizione)
E indichiamo il valore del lato BC come UN.
a.C.=a
(Questo è ciò che dobbiamo trovare)
BC 2 - BD 2 = AC 2 - AD 2
Sostituiamo le designazioni delle lettere dei lati con i risultati dei nostri calcoli
un 2 - ( c - b cos α ) 2 = b 2 - ( b cos α ) 2
sposta il valore incognito (a) a sinistra e le restanti parti dell'equazione a destra
a 2 = (c − b cos α ) 2 + b 2 - (b cos α ) 2
apriamo le parentesi
a 2 = b 2 + c 2 - 2c b cos α + (b cos α) 2 - (b cos α) 2
noi abbiamo
a2 = b2 + c2 - 2bc cos α
Il teorema del coseno è stato dimostrato.
Non tutti gli scolari, e soprattutto gli adulti, sanno che il teorema del coseno è direttamente correlato al teorema di Pitagora. Più precisamente, quest'ultimo è un caso particolare del primo. Questo punto, così come due modi per dimostrare il teorema del coseno, ti aiuteranno a diventare una persona più informata. Inoltre, la pratica nell'esprimere quantità dalle espressioni iniziali sviluppa bene il pensiero logico. La lunga formula del teorema studiato ti costringerà sicuramente a lavorare sodo e a migliorare.
Iniziare una conversazione: introduzione alla notazione
Questo teorema è formulato e dimostrato per un triangolo arbitrario. Pertanto si può usare sempre, in qualunque situazione, se sono dati due lati, e in alcuni casi tre, e un angolo, e non necessariamente tra di loro. Qualunque sia il tipo di triangolo, il teorema funzionerà sempre.
E ora sulla designazione delle quantità in tutte le espressioni. È meglio concordare subito, per non doversi spiegare più volte in seguito. A questo scopo è stata compilata la seguente tabella.
Formulazione e notazione matematica
Quindi, il teorema del coseno è formulato come segue:
Il quadrato di un lato di qualsiasi triangolo è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati meno il doppio del prodotto di questi stessi lati e del coseno dell'angolo compreso tra loro.
Certo, è lungo, ma se ne capisci l'essenza, sarà facile da ricordare. Puoi anche immaginare di disegnare un triangolo. È sempre più facile da ricordare visivamente.
La formula di questo teorema sarà simile a questa:
Un po' lungo, ma tutto è logico. Se guardi un po’ più da vicino, puoi vedere che le lettere si ripetono, il che significa che non è difficile da ricordare.
Dimostrazione comune del teorema
Poiché è vero per tutti i triangoli, puoi scegliere uno qualsiasi dei tipi per il ragionamento. Lascia che sia una figura con tutti gli angoli acuti. Consideriamo un triangolo arbitrario ad angolo acuto il cui angolo C è maggiore dell'angolo B. Dal vertice con questo angolo grande, è necessario abbassare una perpendicolare al lato opposto. L'altezza disegnata dividerà il triangolo in due rettangolari. Ciò sarà richiesto come prova.
Il lato verrà diviso in due segmenti: x, y. Devono essere espressi in termini di quantità note. La parte che termina in un triangolo con ipotenusa uguale a b verrà espressa mediante la notazione:
x = b * cos A.
L'altro sarà uguale a questa differenza:
y = c - in * cos A.
Ora devi scrivere il teorema di Pitagora per i due triangoli rettangoli risultanti, prendendo l'altezza come valore sconosciuto. Queste formule saranno simili a queste:
n 2 = in 2 - (in * cos A) 2,
n 2 = a 2 - (c - b * cos A) 2.
Queste uguaglianze contengono le stesse espressioni a sinistra. Ciò significa che anche i loro lati destri saranno uguali. È facile scriverlo. Ora devi aprire le parentesi:
in 2 - in 2 * (cos A) 2 = a 2 - c 2 + 2 c * in * cos A - in 2 * (cos A) 2.
Se eseguiamo qui il trasferimento e la riduzione di termini simili, otterremo la formula iniziale, che è scritta dopo la formulazione, cioè il teorema del coseno. La dimostrazione è completa.
Dimostrazione del teorema mediante vettori
È molto più breve del precedente. E se conosci le proprietà dei vettori, il teorema del coseno per un triangolo verrà dimostrato semplicemente.
Se i lati a, b, c sono designati rispettivamente dai vettori BC, AC e AB, allora vale l’uguaglianza:
BC = AC-AB.
Ora devi fare alcuni passaggi. Il primo di questi è il quadrato di entrambi i lati dell'uguaglianza:
BC2 = AC2 + AB2 - 2AC*AB.
Quindi l'uguaglianza deve essere riscritta in forma scalare, tenendo conto che il prodotto dei vettori è uguale al coseno dell'angolo compreso tra loro e ai loro valori scalari:
BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB * cos A.
Non resta che tornare alla vecchia notazione e ancora una volta otteniamo il teorema del coseno:
a2 = b2 + c2 - 2 * b * c * cos A.
Formule per gli altri lati e tutti gli angoli
Per trovare il lato, devi prendere la radice quadrata del teorema del coseno. La formula per i quadrati di uno degli altri lati sarà simile a questa:
c 2 = a 2 + b 2 - 2 * a * b * cos C.
Scrivere l'espressione del quadrato di un lato V, è necessario sostituire nell'uguaglianza precedente Con SU V, e viceversa, e metti l'angolo B sotto il coseno.
Dalla formula base del teorema possiamo esprimere il valore del coseno dell'angolo A:
cos A = (in 2 + c 2 - a 2) / (2 in * c).
Le formule per altri angoli vengono derivate in modo simile. È buona norma provare a scriverli tu stesso.
Naturalmente non è necessario memorizzare queste formule. È sufficiente comprendere il teorema e saper ricavare queste espressioni dalla sua notazione principale.
La formula originale del teorema permette di trovare il lato se l'angolo non è compreso tra due angoli noti. Ad esempio, devi trovare V, quando vengono forniti i valori: a, c, A. O sconosciuto Con, ma ci sono significati a, b, A.
In questa situazione, devi spostare tutti i termini della formula a sinistra. Ottieni la seguente uguaglianza:
c 2 - 2 * c * c * cos A + b 2 - a 2 = 0.
Riscriviamolo in una forma leggermente diversa:
c 2 - (2 * in * cos A) * c + (in 2 - a 2) = 0.
Puoi facilmente vedere l'equazione quadratica. C'è una quantità sconosciuta in esso - Con, e tutto il resto è dato. Pertanto è sufficiente risolverlo utilizzando un discriminante. In questo modo verrà trovato il lato sconosciuto.
La formula per il secondo lato si ottiene in modo simile:
in 2 - (2 * c * cos A) * in + (c 2 - a 2) = 0.
Da altre espressioni, tali formule sono anche facili da ottenere indipendentemente.
Come puoi scoprire il tipo di angolo senza calcolare il coseno?
Se osservi attentamente la formula dell'angolo coseno derivata in precedenza, noterai quanto segue:
- il denominatore di una frazione è sempre un numero positivo, perché contiene il prodotto di lati che non possono essere negativi;
- il valore dell'angolo dipenderà dal segno del numeratore.
L'angolo A sarà:
- acuto in una situazione in cui il numeratore è maggiore di zero;
- stupido se questa espressione è negativa;
- diretto quando è uguale a zero.
A proposito, quest'ultima situazione trasforma il teorema del coseno nel teorema di Pitagora. Perché per un angolo di 90º il suo coseno è zero e l'ultimo termine scompare.
Primo compito
Condizione
L'angolo ottuso di un triangolo arbitrario è 120º. Per quanto riguarda i lati da cui è limitato, è noto che uno di essi è 8 cm più grande dell'altro. La lunghezza del terzo lato è nota, è di 28 cm. È necessaria per trovare il perimetro del triangolo.
Soluzione
Per prima cosa devi contrassegnare uno dei lati con la lettera "x". In questo caso l'altro sarà uguale a (x + 8). Poiché esistono espressioni per tutti e tre i lati, possiamo utilizzare la formula fornita dal teorema del coseno:
28 2 = (x + 8) 2 + x 2 - 2 * (x + 8) * x * cos 120º.
Nelle tabelle dei coseni bisogna trovare il valore corrispondente a 120 gradi. Questo sarà il numero 0,5 con un segno meno. Ora devi aprire le parentesi, seguendo tutte le regole, e riportare termini simili:
784 = x2 + 16x + 64 + x2 - 2x * (-0,5) * (x + 8);
784 = 2x2 + 16x + 64 + x2 + 8x;
3x2 + 24x - 720 = 0.
Questa equazione quadratica si risolve trovando il discriminante, che sarà uguale a:
D = 24 2 - 4 * 3 * (- 720) = 9216.
Poiché il suo valore è maggiore di zero, l'equazione ha due soluzioni di radice.
x 1 = ((-24) + √(9216)) / (2 * 3) = 12;
x 2 = ((-24) - √(9216)) / (2 * 3) = -20.
L'ultima radice non può essere la risposta al problema, perché il lato deve essere positivo.
Qual è il teorema del coseno? Immagina questo... Teorema di Pitagora per un triangolo arbitrario.
Il teorema del coseno: formulazione.
Il teorema del coseno afferma: il quadrato di un lato qualsiasi di un triangolo è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati del triangolo meno il doppio del prodotto di questi lati e del coseno dell'angolo formato da essi.
E ora ti spiego perché è così e cosa c’entra il teorema di Pitagora.
Dopotutto, cosa dice il teorema di Pitagora?
Cosa succede se, diciamo, è piccante?
E se fossi stupido?
Ora lo scopriremo, o meglio, lo formuleremo prima e poi lo dimostreremo.
Quindi, per ogni triangolo (acuto, ottuso e anche rettangolare!), è vero quanto segue: teorema del coseno.
Teorema del coseno:
Cos'è e?
può essere espresso da un triangolo (rettangolare!).
Ed eccolo qui (di nuovo).
Sostituiamo:
Riveliamo:
Usiamo quello che abbiamo e...il gioco è fatto!
2 Caso: lett.
Quindi, cioè, stupido.
E ora, attenzione, la differenza!
Questo viene da, che ora è fuori, e
Ricordiamolo
(leggi l'argomento se hai completamente dimenticato il motivo per cui è così).
Quindi è tutto! La differenza è finita!
Così com'era, cioè:
Bene, c'è ancora un ultimo caso.
3 Caso: lett.
COSÌ, . Ma poi il teorema del coseno si trasforma semplicemente nel teorema di Pitagora:
In quali problemi è utile il teorema del coseno?
Bene, per esempio, se lo hai dati due lati di un triangolo e l'angolo compreso tra essi, allora tu subito puoi trovare una terza parte.
O se tu sono dati tutti e tre i lati, allora lo troverai subito coseno qualsiasi angolo secondo la formula
E anche se tu dati due lati e un angolo NON compreso tra di loro, allora il terzo membro può essere trovato anche risolvendo un'equazione quadratica. È vero, in questo caso, a volte ottieni due risposte e devi capire quale scegliere, oppure lasciarle entrambe.
Prova ad usarlo e non aver paura: il teorema del coseno è facile da usare quasi quanto il teorema di Pitagora.
TEOREMA DEI COSENI. BREVEMENTE SULLE COSE PRINCIPALI
Teorema del coseno: Il quadrato di un lato di un triangolo è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati meno il doppio del prodotto di questi lati e del coseno dell'angolo compreso tra loro:
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Centrato in un punto UN.
α
- angolo espresso in radianti.
Definizione
Seno (seno α)è una funzione trigonometrica dipendente dall'angolo α tra l'ipotenusa e il cateto di un triangolo rettangolo, pari al rapporto tra la lunghezza del cateto opposto |BC| alla lunghezza dell'ipotenusa |AC|.
Coseno (cos α)è una funzione trigonometrica dipendente dall'angolo α tra l'ipotenusa e il cateto di un triangolo rettangolo, pari al rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente |AB| alla lunghezza dell'ipotenusa |AC|.
Notazioni accettate
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Grafico della funzione seno, y = sin x
Grafico della funzione coseno, y = cos x
Proprietà di seno e coseno
Periodicità
Funzioni y = peccato x e y = cos x periodico con periodo 2π.
Parità
La funzione seno è dispari. La funzione coseno è pari.
Dominio delle definizioni e dei valori, estremi, aumento, diminuzione
Le funzioni seno e coseno sono continue nel loro dominio di definizione, cioè per tutti gli x (vedi prova di continuità). Le loro proprietà principali sono presentate nella tabella (n - intero).
| y= peccato x | y= cos x | |
| Portata e continuità | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Intervallo di valori | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Crescente | ||
| Discendente | ||
| Massimi, y = 1 | ||
| Minimi, y = - 1 | ||
| Zeri, y = 0 | ||
| Punti di intercetta con l'asse delle ordinate, x = 0 | y= 0 | y= 1 |
Formule di base
Somma dei quadrati di seno e coseno
Formule per seno e coseno da somma e differenza
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;
Formule per il prodotto di seni e coseni
Formule di somma e differenza
Esprimere seno attraverso coseno
;
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Esprimere coseno attraverso seno
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Espressione attraverso la tangente
; .
Quando abbiamo:
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A :
;
.
Tavola dei seni e coseni, tangenti e cotangenti
Questa tabella mostra i valori di seno e coseno per determinati valori dell'argomento. 
Espressioni attraverso variabili complesse
;
La formula di Eulero
Espressioni mediante funzioni iperboliche
;
;
Derivati
; . Formule di derivazione > > >
Derivati dell'ennesimo ordine:
{ -∞ <
x < +∞ }
Secante, cosecante
Funzioni inverse
Le funzioni inverse di seno e coseno sono rispettivamente arcoseno e arcocoseno.
Arcoseno, arcoseno
Arcocoseno, arccos
Riferimenti:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti universitari, “Lan”, 2009.
Teorema del cosenoè un teorema della geometria euclidea che generalizza il teorema di Pitagora.
Teorema del coseno:
Per un triangolo piano i cui lati UN, B, C e angolo α , che è opposto al lato UN, vale la seguente relazione:
UN 2 = B 2 + C 2 - 2 avanti Cristo cosα.
Il quadrato di un lato di un triangolo è uguale alla somma dei quadrati degli altri 2 lati meno il doppio del prodotto di questi lati e del coseno dell'angolo formato da essi.
Corollario del teorema del coseno.
- Per determinarlo si usa il teorema del coseno cos angolo del triangolo:
Essere specifici:
- Quando B 2 + C 2 - UN 2 > 0 , angolo α sarà piccante;
- Quando B 2 + C 2 - UN 2 = 0 , angolo α sarà dritto (quando l'angolo α è diretto, il che significa che il teorema del coseno entra nel teorema di Pitagora);
- Quando B 2 + C 2 - UN 2 < 0 , angolo α sarà stupido.
Dimostrazione classica del teorema del coseno.
Sia presente un triangolo ABC. Dall'alto C di fianco AB abbassato l'altezza CD. Significa:
AD = b cos α,
DB = c - b cos α
Scriviamo il teorema di Pitagora per 2 triangoli rettangoli ADC E BDC:
h 2 = b 2 - (b cos α) 2 (1)
h 2 = a 2 - (c - b cos α) 2 (2)
Uguagliamo i lati destri delle equazioni (1) e (2):
b 2 - (b cos α) 2 = a 2 - (c - b cos α) 2
a2 = b2 + c2 - 2bc cos α.
Se 1 degli angoli alla base è ottuso (l'altezza poggia sulla continuazione della base), è del tutto simile a quello discusso sopra.
Determinare le parti B E C:
b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos β
c2 = a2 + b2 - 2ab cos γ.
