Aiuto su Tele2, tariffe, domande

Dato che sei venuto qui, probabilmente sei già riuscito a vedere questa formula nel libro di testo

e fai una faccia così:

Amico, non preoccuparti! In effetti, tutto è semplice da disonorare. Capirai sicuramente tutto. Solo una richiesta: leggi l'articolo lentamente cercare di capire ogni passaggio. Ho scritto nel modo più semplice e chiaro possibile, ma devi ancora approfondire l'idea. E assicurati di risolvere i compiti dall'articolo.

Cos'è una funzione complessa?

Immagina di trasferirti in un altro appartamento e quindi di imballare le cose in grandi scatole. Lascia che sia necessario raccogliere alcuni piccoli oggetti, ad esempio cancelleria scolastica. Se li getti semplicemente in una scatola enorme, si perderanno tra le altre cose. Per evitare ciò, prima li metti, ad esempio, in un sacchetto, che poi metti in una grande scatola, dopodiché la chiudi. Questo processo "più difficile" è mostrato nel diagramma seguente:

Sembrerebbe, da dove viene la matematica? Inoltre, una funzione complessa si forma ESATTAMENTE NELLO STESSO modo! Solo noi "imballiamo" non quaderni e penne, ma \ (x \), mentre servono diversi "pacchetti" e "scatole".

Ad esempio, prendiamo x e "componiamolo" in una funzione:

Di conseguenza, otteniamo, ovviamente, \(\cos⁡x\). Questa è la nostra "borsa delle cose". E ora lo mettiamo in una "scatola" - lo impacchettamo, per esempio, in una funzione cubica.

Cosa succederà alla fine? Sì, esatto, ci sarà un "pacchetto con cose in una scatola", cioè "coseno di x al cubo".

La costruzione risultante è una funzione complessa. Differisce da quello semplice in questo DIVERSI "impatti" (pacchetti) vengono applicati a una X di fila e risulta, per così dire, "una funzione da una funzione" - "un pacchetto in un pacchetto".

Nel corso della scuola ci sono pochissime tipologie di questi stessi “pacchetti”, solo quattro:

Ora "impacchettamo" x prima in una funzione esponenziale con base 7, e poi in una funzione trigonometrica. Noi abbiamo:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

E ora "impacchettamo" x due volte in funzioni trigonometriche, prima in e poi in:

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

Semplice, vero?

Ora scrivi tu stesso le funzioni, dove x:
- prima viene “impacchettato” in un coseno, e poi in una funzione esponenziale con base \(3\);
- prima alla quinta potenza, e poi alla tangente;
- prima al logaritmo in base \(4\) , quindi alla potenza \(-2\).

Vedi le risposte a questa domanda alla fine dell'articolo.

Ma possiamo "impacchettare" x non due, ma tre volte? Nessun problema! E quattro, e cinque, e venticinque volte. Ecco, ad esempio, una funzione in cui x è "compressa" \(4\) volte:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Ma tali formule non si troveranno nella pratica scolastica (gli studenti sono più fortunati - possono essere più difficili☺).

"Disimballaggio" una funzione complessa

Guarda di nuovo la funzione precedente. Riesci a capire la sequenza di "imballaggio"? In cosa X è stato inserito prima, cosa poi e così via fino alla fine. Cioè, quale funzione è nidificata in quale? Prendi un pezzo di carta e scrivi quello che pensi. Puoi farlo con una catena di frecce, come abbiamo scritto sopra, o in qualsiasi altro modo.

Ora la risposta corretta è: prima x è stato "impacchettato" nella \(4\)esima potenza, poi il risultato è stato impacchettato nel seno, a sua volta, è stato posto nella base logaritmica \(2\), e in alla fine l'intera costruzione è stata spinta nei power five.

Cioè, è necessario svolgere la sequenza NELL'ORDINE INVERSO. Ed ecco un suggerimento su come farlo più facilmente: guarda la X - devi ballare da essa. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Ad esempio, ecco una funzione: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Guardiamo X: cosa gli succede prima? Preso da lui. Poi? Si prende la tangente del risultato. E la sequenza sarà la stessa:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Un altro esempio: \(y=\cos⁡((x^3))\). Analizziamo: prima x è stato al cubo, quindi il coseno è stato preso dal risultato. Quindi la sequenza sarà: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Fai attenzione, la funzione sembra essere simile alla primissima (dove con le immagini). Ma questa è una funzione completamente diversa: qui nel cubo x (cioè \(\cos⁡((x x x)))\), e lì nel cubo il coseno \(x\) (cioè \(\ cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Questa differenza deriva da diverse sequenze di "imballaggio".

L'ultimo esempio (con informazioni importanti): \(y=\sin⁡((2x+5))\). È chiaro che qui abbiamo prima eseguito operazioni aritmetiche con x, quindi il seno è stato preso dal risultato: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). E questo è un punto importante: nonostante il fatto che le operazioni aritmetiche non siano funzioni in sé, qui fungono anche da modo di "impacchettare". Analizziamo un po' più a fondo questa sottigliezza.

Come ho detto sopra, nelle funzioni semplici x è "impacchettato" una volta, e nelle funzioni complesse - due o più. Inoltre, qualsiasi combinazione di funzioni semplici (ovvero la loro somma, differenza, moltiplicazione o divisione) è anch'essa una funzione semplice. Ad esempio, \(x^7\) è una funzione semplice, così come \(ctg x\). Quindi, tutte le loro combinazioni sono funzioni semplici:

\(x^7+ ctg x\) - semplice,
\(x^7 ctg x\) è semplice,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) è semplice, e così via.

Tuttavia, se un'altra funzione viene applicata a tale combinazione, sarà già una funzione complessa, poiché ci saranno due "pacchetti". Vedi diagramma:

Ok, procediamo ora. Scrivi la sequenza delle funzioni "wrapping":
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arcog⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Le risposte sono di nuovo alla fine dell'articolo.

Funzioni interne ed esterne

Perché abbiamo bisogno di capire l'annidamento delle funzioni? Cosa ci dà questo? Il punto è che senza tale analisi non saremo in grado di trovare in modo affidabile le derivate delle funzioni discusse sopra.

E per andare avanti, avremo bisogno di altri due concetti: funzioni interne ed esterne. Questa è una cosa molto semplice, inoltre, infatti, li abbiamo già analizzati sopra: se ricordiamo la nostra analogia all'inizio, allora la funzione interna è il “pacchetto”, e quella esterna è la “scatola”. Quelli. ciò in cui X è "avvolto" per primo è una funzione interna, e ciò in cui l'interno è "avvolto" è già esterno. Bene, è comprensibile il motivo: è fuori, significa esterno.

In questo esempio: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), la funzione \(\log_2⁡x\) è interna e
- esterno.

E in questo: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) è interno, e
- esterno.

Esegui l'ultima pratica di analisi delle funzioni complesse e, infine, passiamo al punto per cui tutto è stato avviato: troveremo le derivate delle funzioni complesse:

Riempi gli spazi vuoti nella tabella:

Derivata di una funzione composta

Complimenti a noi, siamo ancora arrivati ​​al "capo" di questo argomento - in effetti, la derivata di una funzione complessa, e in particolare, a quella terribile formula dall'inizio dell'articolo.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Questa formula si legge così:

La derivata di una funzione complessa è uguale al prodotto della derivata della funzione esterna rispetto alla funzione interna costante e alla derivata della funzione interna.

E guarda subito lo schema di analisi "a parole" per capire a cosa relazionarti:

Spero che i termini "derivato" e "prodotto" non causino difficoltà. "Funzione complessa" - abbiamo già smantellato. L'inghippo sta nella "derivata di una funzione esterna rispetto a una costante funzione interna". Cos'è?

Risposta: questa è la solita derivata della funzione esterna, in cui cambia solo la funzione esterna, mentre quella interna rimane la stessa. Ancora poco chiaro? Ok, facciamo un esempio.

Diciamo che abbiamo una funzione \(y=\sin⁡(x^3)\). È chiaro che la funzione interna qui è \(x^3\) e quella esterna
. Troviamo ora la derivata dell'esterno rispetto alla costante interna.

L'operazione di trovare una derivata si chiama differenziazione.

Come risultato della risoluzione dei problemi di ricerca delle derivate delle funzioni più semplici (e non molto semplici) definendo la derivata come limite del rapporto tra incremento e incremento dell'argomento, è apparsa una tabella di derivate e regole di differenziazione definite con precisione . Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) furono i primi a lavorare nel campo della ricerca di derivati.

Pertanto, ai nostri tempi, per trovare la derivata di qualsiasi funzione, non è necessario calcolare il suddetto limite del rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento, ma è sufficiente utilizzare la tabella delle derivate e le regole di derivazione. Il seguente algoritmo è adatto per trovare la derivata.

Per trovare la derivata, è necessaria un'espressione sotto il segno del tratto scomporre semplici funzioni e determinare quali azioni (prodotto, somma, quoziente) queste funzioni sono correlate. Inoltre, troviamo le derivate delle funzioni elementari nella tabella delle derivate e le formule per le derivate del prodotto, somma e quoziente - nelle regole di differenziazione. La tabella delle derivate e le regole di differenziazione sono fornite dopo i primi due esempi.

Esempio 1 Trova la derivata di una funzione

Soluzione. Dalle regole di differenziazione scopriamo che la derivata della somma delle funzioni è la somma delle derivate delle funzioni, cioè

Dalla tabella delle derivate, scopriamo che la derivata di "X" è uguale a uno e la derivata del seno è coseno. Sostituiamo questi valori nella somma delle derivate e troviamo la derivata richiesta dalla condizione del problema:

Esempio 2 Trova la derivata di una funzione

Soluzione. Differenziare come derivata della somma, in cui il secondo termine con un fattore costante, può essere tolto dal segno della derivata:

Se ci sono ancora domande sulla provenienza di qualcosa, di norma diventano chiare dopo aver letto la tabella delle derivate e le più semplici regole di differenziazione. Stiamo andando da loro proprio ora.

Tabella delle derivate di funzioni semplici

1. Derivata di una costante (numero). Qualsiasi numero (1, 2, 5, 200...) presente nell'espressione della funzione. Sempre zero. Questo è molto importante da ricordare, poiché è richiesto molto spesso
2. Derivata della variabile indipendente. Molto spesso "x". Sempre uguale a uno. Anche questo è importante da ricordare
3. Derivata di laurea. Quando risolvi i problemi, devi convertire le radici non quadrate in una potenza.
4. Derivata di una variabile alla potenza di -1
5. Derivata della radice quadrata
6. Derivata sinusoidale
7. Derivata del coseno
8. Derivata tangente
9. Derivata di cotangente
10. Derivata dell'arcoseno
11. Derivata dell'arco coseno
12. Derivata di arcotangente
13. Derivata dell'inversa tangente
14. Derivata del logaritmo naturale
15. Derivata di una funzione logaritmica
16. Derivata dell'esponente
17. Derivata di funzione esponenziale

Regole di differenziazione

1. Derivata della somma o della differenza
2. Derivata di un prodotto
2a. Derivata di un'espressione moltiplicata per un fattore costante
3. Derivata del quoziente
4. Derivata di una funzione complessa

Regola 1Se funzioni

sono differenziabili ad un certo punto, quindi nello stesso punto le funzioni

E

quelli. la derivata della somma algebrica delle funzioni è uguale alla somma algebrica delle derivate di queste funzioni.

Conseguenza. Se due funzioni differenziabili differiscono per una costante, le loro derivate lo sono, cioè.

Regola 2Se funzioni

sono differenziabili ad un certo punto, allora anche il loro prodotto è differenziabile nello stesso punto

E

quelli. la derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla somma dei prodotti di ciascuna di queste funzioni e della derivata dell'altra.

Conseguenza 1. Il fattore costante può essere tolto dal segno della derivata:

Conseguenza 2. La derivata del prodotto di più funzioni differenziabili è uguale alla somma dei prodotti della derivata di ciascuno dei fattori e di tutti gli altri.

Ad esempio, per tre moltiplicatori:

Regola 3Se funzioni

differenziabile ad un certo punto E , allora a questo punto anche il loro quoziente è differenziabile.u/v e

quelli. la derivata di un quoziente di due funzioni è uguale a una frazione il cui numeratore è la differenza tra i prodotti del denominatore e la derivata del numeratore e il numeratore e la derivata del denominatore, e il denominatore è il quadrato dell'ex numeratore .

Dove cercare su altre pagine

Quando si trova la derivata del prodotto e il quoziente in problemi reali, è sempre necessario applicare più regole di differenziazione contemporaneamente, quindi nell'articolo sono presenti ulteriori esempi su queste derivate."La derivata di un prodotto e un quoziente".

Commento. Non bisogna confondere una costante (cioè un numero) con un termine nella somma e con un fattore costante! Nel caso di un termine, la sua derivata è uguale a zero e, nel caso di un fattore costante, viene tolto dal segno delle derivate. Questo è un tipico errore che si verifica nella fase iniziale dello studio delle derivate, ma poiché lo studente medio risolve diversi esempi a due componenti, lo studente medio non commette più questo errore.

E se, differenziando un prodotto o un quoziente, hai un termine tu"v, in quale tu- un numero, ad esempio 2 o 5, cioè una costante, quindi la derivata di questo numero sarà uguale a zero e, quindi, l'intero termine sarà uguale a zero (tale caso viene analizzato nell'esempio 10) .

Un altro errore comune è la soluzione meccanica della derivata di una funzione complessa come derivata di una funzione semplice. Ecco perché derivata di una funzione complessa dedicato ad un articolo a parte. Ma prima impareremo a trovare le derivate di funzioni semplici.

Lungo la strada, non puoi fare a meno delle trasformazioni delle espressioni. Per fare ciò, potrebbe essere necessario aprire i nuovi manuali di Windows Azioni con poteri e radici E Azioni con le frazioni .

Se stai cercando soluzioni a derivate con potenze e radici, cioè quando la funzione sembra , poi segui la lezione " Derivata della somma di frazioni con potenze e radici".

Se hai un compito come , allora sei nella lezione "Derivate di semplici funzioni trigonometriche".

Esempi passo passo - come trovare la derivata

Esempio 3 Trova la derivata di una funzione

Soluzione. Determiniamo le parti dell'espressione della funzione: l'intera espressione rappresenta il prodotto ei suoi fattori sono somme, nel secondo dei quali uno dei termini contiene un fattore costante. Applichiamo la regola di differenziazione del prodotto: la derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla somma dei prodotti di ciascuna di queste funzioni e della derivata dell'altra:

Successivamente, applichiamo la regola di differenziazione della somma: la derivata della somma algebrica delle funzioni è uguale alla somma algebrica delle derivate di queste funzioni. Nel nostro caso, in ogni somma, il secondo termine con segno meno. In ogni somma vediamo sia una variabile indipendente, la cui derivata è uguale a uno, sia una costante (numero), la cui derivata è uguale a zero. Quindi, "x" si trasforma in uno e meno 5 in zero. Nella seconda espressione, "x" è moltiplicato per 2, quindi moltiplichiamo due per la stessa unità della derivata di "x". Otteniamo i seguenti valori di derivate:

Sostituiamo le derivate trovate nella somma dei prodotti e otteniamo la derivata dell'intera funzione richiesta dalla condizione del problema:

E puoi controllare la soluzione del problema sulla derivata su .

Esempio 4 Trova la derivata di una funzione

Soluzione. Dobbiamo trovare la derivata del quoziente. Applichiamo la formula per differenziare un quoziente: la derivata di un quoziente di due funzioni è uguale a una frazione il cui numeratore è la differenza tra i prodotti del denominatore e la derivata del numeratore e il numeratore e la derivata del denominatore, e il denominatore è il quadrato del precedente numeratore. Noi abbiamo:

Abbiamo già trovato la derivata dei fattori al numeratore nell'esempio 2. Non dimentichiamo inoltre che il prodotto, che è il secondo fattore al numeratore nell'esempio corrente, è preso con un segno meno:

Se stai cercando soluzioni a tali problemi in cui devi trovare la derivata di una funzione, dove c'è un mucchio continuo di radici e gradi, come, ad esempio, allora benvenuto in classe "La derivata della somma di frazioni con potenze e radici" .

Se hai bisogno di saperne di più sulle derivate di seno, coseno, tangente e altre funzioni trigonometriche, cioè quando la funzione appare come , allora hai una lezione "Derivate di semplici funzioni trigonometriche" .

Esempio 5 Trova la derivata di una funzione

Soluzione. In questa funzione vediamo un prodotto, uno dei cui fattori è la radice quadrata della variabile indipendente, con la derivata di cui ci siamo familiarizzati nella tabella delle derivate. Secondo la regola di differenziazione del prodotto e il valore tabulare della derivata della radice quadrata, otteniamo:

Puoi controllare la soluzione del problema della derivata su calcolatore derivato online .

Esempio 6 Trova la derivata di una funzione

Soluzione. In questa funzione, vediamo il quoziente, il cui dividendo è la radice quadrata della variabile indipendente. Secondo la regola di differenziazione del quoziente, che abbiamo ripetuto e applicato nell'esempio 4, e il valore tabulare della derivata della radice quadrata, otteniamo:

Per eliminare la frazione al numeratore, moltiplica numeratore e denominatore per .

In questa lezione impareremo come trovare derivata di una funzione complessa. La lezione è una logica continuazione della lezione Come trovare la derivata?, su cui abbiamo analizzato le derivate più semplici e abbiamo anche familiarizzato con le regole di differenziazione e alcuni metodi tecnici per trovare le derivate. Pertanto, se non sei molto bravo con le derivate di funzioni o alcuni punti di questo articolo non sono del tutto chiari, leggi prima la lezione precedente. Per favore, sintonizzati su uno stato d'animo serio: il materiale non è facile, ma cercherò comunque di presentarlo in modo semplice e chiaro.

In pratica, devi occuparti della derivata di una funzione complessa molto spesso, direi quasi sempre, quando ti vengono affidati compiti per trovare le derivate.

Guardiamo nella tabella la regola (n. 5) per differenziare una funzione complessa:

Capiamo. Prima di tutto, diamo un'occhiata alla notazione. Qui abbiamo due funzioni - e , e la funzione, in senso figurato, è annidata nella funzione . Una funzione di questo tipo (quando una funzione è nidificata all'interno di un'altra) è detta funzione complessa.

Chiamerò la funzione funzione esterna, e la funzione – funzione interna (o nidificata)..

! Queste definizioni non sono teoriche e non dovrebbero comparire nella progettazione finale degli incarichi. Uso le espressioni informali "funzione esterna", funzione "interna" solo per facilitare la comprensione del materiale.

Per chiarire la situazione, considera:

Esempio 1

Trova la derivata di una funzione

Sotto il seno non abbiamo solo la lettera "x", ma l'intera espressione, quindi trovare la derivata immediatamente dalla tabella non funzionerà. Notiamo anche che qui è impossibile applicare le prime quattro regole, sembra esserci una differenza, ma il fatto è che è impossibile "fare a pezzi" il seno:

In questo esempio, già dalle mie spiegazioni, è intuitivamente chiaro che la funzione è una funzione complessa, e il polinomio è una funzione interna (incorporamento), e una funzione esterna.

Primo passo, che deve essere eseguita quando si trova la derivata di una funzione complessa è to capire quale funzione è interna e quale esterna.

Nel caso di esempi semplici, sembra chiaro che un polinomio è annidato sotto il seno. Ma cosa succede se non è ovvio? Come determinare esattamente quale funzione è esterna e quale interna? Per fare ciò, propongo di utilizzare la seguente tecnica, che può essere eseguita mentalmente o su bozza.

Immaginiamo di dover calcolare il valore dell'espressione con una calcolatrice (al posto di uno può esserci qualsiasi numero).

Cosa calcoliamo prima? Prima di tutto dovrai eseguire la seguente azione: , quindi il polinomio sarà una funzione interna:

In secondo luogo dovrai trovare, quindi il seno - sarà una funzione esterna:

Dopo che noi CAPIRE Con le funzioni interne ed esterne, è il momento di applicare la regola di differenziazione delle funzioni composte.

Iniziamo a decidere. Dalla lezione Come trovare la derivata? ricordiamo che il disegno della soluzione di qualsiasi derivata inizia sempre così - racchiudiamo l'espressione tra parentesi e mettiamo un tratto in alto a destra:

All'inizio troviamo la derivata della funzione esterna (seno), guardiamo la tabella delle derivate delle funzioni elementari e notiamo che . Tutte le formule tabulari sono applicabili anche se "x" è sostituito da un'espressione complessa, in questo caso:

Si noti che la funzione interna non è cambiato, non lo tocchiamo.

Beh, è ​​abbastanza ovvio che

Il risultato finale dell'applicazione della formula è simile al seguente:

Il fattore costante è solitamente posto all'inizio dell'espressione:

Se c'è qualche malinteso, scrivi la decisione su carta e rileggi le spiegazioni.

Esempio 2

Trova la derivata di una funzione

Esempio 3

Trova la derivata di una funzione

Come sempre scriviamo:

Scopriamo dove abbiamo una funzione esterna e dove è interna. Per fare ciò, proviamo (mentalmente o su una bozza) a calcolare il valore dell'espressione per . Cosa bisogna fare prima? Prima di tutto, devi calcolare a cosa è uguale la base:, il che significa che il polinomio è la funzione interna:

E, solo allora viene eseguita l'elevazione a potenza, quindi, la funzione di potenza è una funzione esterna:

Secondo la formula, devi prima trovare la derivata della funzione esterna, in questo caso il grado. Stiamo cercando la formula desiderata nella tabella:. Ripetiamo ancora: qualsiasi formula tabulare è valida non solo per "x", ma anche per un'espressione complessa. Pertanto, il risultato dell'applicazione della regola di derivazione di una funzione complessa è il seguente:

Sottolineo ancora una volta che quando prendiamo la derivata della funzione esterna, la funzione interna non cambia:

Ora resta da trovare una derivata molto semplice della funzione interna e "pettinare" un po' il risultato:

Esempio 4

Trova la derivata di una funzione

Questo è un esempio di auto-risoluzione (risposta alla fine della lezione).

Per consolidare la comprensione della derivata di una funzione complessa, darò un esempio senza commenti, proverò a capirlo da solo, ragione, dov'è la funzione esterna e dov'è la funzione interna, perché i compiti vengono risolti in questo modo?

Esempio 5

a) Trovare la derivata di una funzione

b) Trovare la derivata della funzione

Esempio 6

Trova la derivata di una funzione

Qui abbiamo una radice, e per differenziare la radice, deve essere rappresentata come un grado. Pertanto, per prima cosa portiamo la funzione nella forma corretta per la differenziazione:

Analizzando la funzione, arriviamo alla conclusione che la somma di tre termini è una funzione interna e l'elevamento a potenza è una funzione esterna. Applichiamo la regola di derivazione di una funzione complessa:

Il grado è di nuovo rappresentato come un radicale (radice), e per la derivata della funzione interna, applichiamo una semplice regola per differenziare la somma:

Pronto. Puoi anche portare l'espressione a un denominatore comune tra parentesi e scrivere tutto come una frazione. È bello, ovviamente, ma quando si ottengono derivate lunghe ingombranti, è meglio non farlo (è facile confondersi, commettere un errore inutile e sarà scomodo per l'insegnante controllare).

Esempio 7

Trova la derivata di una funzione

Questo è un esempio di auto-risoluzione (risposta alla fine della lezione).

È interessante notare che a volte, invece della regola per differenziare una funzione complessa, si può usare la regola per differenziare un quoziente , ma una soluzione del genere sembrerebbe una perversione divertente. Ecco un tipico esempio:

Esempio 8

Trova la derivata di una funzione

Qui puoi usare la regola di derivazione del quoziente , ma è molto più vantaggioso trovare la derivata attraverso la regola di derivazione di una funzione complessa:

Prepariamo la funzione per la differenziazione: eliminiamo il segno meno della derivata e alziamo il coseno al numeratore:

Il coseno è una funzione interna, l'elevamento a potenza è una funzione esterna.
Usiamo la nostra regola:

Troviamo la derivata della funzione interna, ripristiniamo il coseno:

Pronto. Nell'esempio considerato, è importante non confondersi nei segni. A proposito, prova a risolverlo con la regola , le risposte devono corrispondere.

Esempio 9

Trova la derivata di una funzione

Questo è un esempio di auto-risoluzione (risposta alla fine della lezione).

Finora abbiamo considerato casi in cui avevamo un solo annidamento in una funzione complessa. Nelle attività pratiche, puoi spesso trovare derivati ​​​​in cui, come le bambole nidificanti, una dentro l'altra, vengono annidate 3 o anche 4-5 funzioni contemporaneamente.

Esempio 10

Trova la derivata di una funzione

Comprendiamo gli allegati di questa funzione. Proviamo a valutare l'espressione utilizzando il valore sperimentale . Come faremmo a contare su una calcolatrice?

Per prima cosa devi trovare, il che significa che l'arcoseno è l'annidamento più profondo:

Questo arcoseno di unità dovrebbe quindi essere elevato al quadrato:

E infine, eleviamo il sette alla potenza:

Cioè, in questo esempio abbiamo tre diverse funzioni e due annidamenti, mentre la funzione più interna è l'arcoseno e la funzione più esterna è la funzione esponenziale.

Iniziamo a decidere

Secondo la regola, devi prima prendere la derivata della funzione esterna. Guardiamo la tabella delle derivate e troviamo la derivata della funzione esponenziale: l'unica differenza è che invece di "x" abbiamo un'espressione complessa, che non nega la validità di questa formula. Quindi, il risultato dell'applicazione della regola di derivazione di una funzione complessa è il seguente:

Sotto il cruscotto, abbiamo di nuovo una funzione complicata! Ma è già più facile. È facile vedere che la funzione interna è l'arcoseno e la funzione esterna è il grado. Secondo la regola di differenziazione di una funzione complessa, devi prima prendere la derivata del grado.

Se G(X) E F(tu) sono funzioni differenziabili dei loro argomenti, rispettivamente, nei punti X E tu= G(X), allora anche la funzione complessa è derivabile nel punto X e si trova con la formula

Un tipico errore nella risoluzione di problemi sulle derivate è il trasferimento automatico delle regole per differenziare funzioni semplici a funzioni complesse. Impareremo a evitare questo errore.

Esempio 2 Trova la derivata di una funzione

Soluzione sbagliata: calcola il logaritmo naturale di ogni termine tra parentesi e trova la somma delle derivate:

Soluzione corretta: ancora una volta determiniamo dov'è la "mela" e dov'è la "carne macinata". Qui, il logaritmo naturale dell'espressione tra parentesi è la "mela", cioè la funzione sull'argomento intermedio tu, e l'espressione tra parentesi è "carne macinata", cioè un argomento intermedio tu per variabile indipendente X.

Quindi (usando la formula 14 dalla tabella delle derivate)

In molti problemi reali, l'espressione con il logaritmo è un po' più complicata, motivo per cui c'è una lezione

Esempio 3 Trova la derivata di una funzione

Soluzione sbagliata:

Soluzione corretta. Ancora una volta determiniamo dove si trova la "mela" e dove la "carne macinata". Qui, il coseno dell'espressione tra parentesi (formula 7 nella tabella delle derivate) è "mela", è preparato in modalità 1, che riguarda solo esso, e l'espressione tra parentesi (la derivata del grado - numero 3 in la tabella dei derivati) è "carne macinata", viene cotta in modalità 2, interessando solo essa. E come sempre, colleghiamo due derivati ​​​​con un segno di prodotto. Risultato:

La derivata di una funzione logaritmica complessa è un compito frequente nei test, quindi ti consigliamo vivamente di visitare la lezione "Derivata di una funzione logaritmica".

I primi esempi riguardavano funzioni complesse, in cui l'argomento intermedio sulla variabile indipendente era una funzione semplice. Ma nei compiti pratici è spesso necessario trovare la derivata di una funzione complessa, dove l'argomento intermedio è esso stesso una funzione complessa o contiene tale funzione. Cosa fare in questi casi? Trova le derivate di tali funzioni utilizzando tabelle e regole di differenziazione. Quando viene trovata la derivata dell'argomento intermedio, viene semplicemente sostituita al posto giusto nella formula. Di seguito sono riportati due esempi di come ciò viene fatto.

Inoltre, è utile sapere quanto segue. Se una funzione complessa può essere rappresentata come una catena di tre funzioni

quindi la sua derivata dovrebbe essere trovata come prodotto delle derivate di ciascuna di queste funzioni:

Molti dei tuoi compiti a casa potrebbero richiedere l'apertura di tutorial in nuove finestre. Azioni con poteri e radici E Azioni con le frazioni .

Esempio 4 Trova la derivata di una funzione

Applichiamo la regola di derivazione di una funzione complessa, non dimenticando che nel risultante prodotto di derivate, l'argomento intermedio rispetto alla variabile indipendente X non cambia:

Prepariamo il secondo fattore del prodotto e applichiamo la regola per differenziare la somma:

Il secondo termine è la radice, quindi

Si è così ottenuto che l'argomento intermedio, che è la somma, contiene una funzione complessa come uno dei termini: l'elevamento a potenza è una funzione complessa, e ciò che viene elevato a potenza è un argomento intermedio di una variabile indipendente X.

Pertanto, applichiamo nuovamente la regola di differenziazione di una funzione complessa:

Trasformiamo il grado del primo fattore in una radice e, differenziando il secondo fattore, non dimentichiamo che la derivata della costante è uguale a zero:

Ora possiamo trovare la derivata dell'argomento intermedio necessario per calcolare la derivata della funzione complessa richiesta nella condizione del problema si:

Esempio 5 Trova la derivata di una funzione

Innanzitutto, usiamo la regola di differenziare la somma:

Ottieni la somma delle derivate di due funzioni complesse. Trova il primo:

Qui, elevare il seno a potenza è una funzione complessa, e il seno stesso è un argomento intermedio nella variabile indipendente X. Pertanto, usiamo la regola di differenziazione di una funzione complessa, lungo il percorso togliendo il moltiplicatore dalle parentesi :

Ora troviamo il secondo termine tra quelli che formano la derivata della funzione si:

Qui, elevare il coseno a una potenza è una funzione complessa F, e il coseno stesso è un argomento intermedio rispetto alla variabile indipendente X. Ancora una volta, usiamo la regola di derivazione di una funzione complessa:

Il risultato è la derivata richiesta:

Tabella delle derivate di alcune funzioni complesse

Per le funzioni complesse, in base alla regola di derivazione di una funzione complessa, la formula per la derivata di una funzione semplice assume una forma diversa.

1. Derivata di una funzione potenza complessa, dove tu X
2. Derivata della radice dell'espressione
3. Derivata della funzione esponenziale
4. Caso particolare della funzione esponenziale
5. Derivata di una funzione logaritmica con una base positiva arbitraria UN
6. Derivata di una funzione logaritmica complessa, dove tuè una funzione differenziabile dell'argomento X
7. Derivata sinusoidale
8. Derivata del coseno
9. Derivata tangente
10. Derivata di cotangente
11. Derivata dell'arcoseno
12. Derivata dell'arco coseno
13. Derivata di arcotangente
14. Derivata dell'inversa tangente

Se seguiamo la definizione, allora la derivata di una funzione in un punto è il limite del rapporto di incremento della funzione Δ si all'incremento dell'argomento Δ X:

Tutto sembra essere chiaro. Ma prova a calcolare con questa formula, diciamo, la derivata della funzione F(X) = X 2 + (2X+3) · e X peccato X. Se fai tutto per definizione, dopo un paio di pagine di calcoli ti addormenterai semplicemente. Pertanto, ci sono modi più semplici ed efficaci.

Per cominciare, notiamo che le cosiddette funzioni elementari possono essere distinte dall'intera varietà di funzioni. Si tratta di espressioni relativamente semplici, le cui derivate sono state a lungo calcolate e inserite nella tabella. Tali funzioni sono abbastanza facili da ricordare, insieme alle loro derivate.

Derivate di funzioni elementari

Le funzioni elementari sono tutte elencate di seguito. Le derivate di queste funzioni devono essere conosciute a memoria. Inoltre, non è difficile memorizzarli, ecco perché sono elementari.

Quindi, le derivate delle funzioni elementari:

Nome	Funzione	Derivato
Costante	F(X) = C, C ∈ R	0 (sì, sì, zero!)
Grado con esponente razionale	F(X) = X N	N · X N − 1
Seno	F(X) = peccato X	cos X
Coseno	F(X) = cos X	− peccato X(meno seno)
Tangente	F(X) = tg X	1/cos 2 X
Cotangente	F(X) = ctg X	− 1/peccato2 X
logaritmo naturale	F(X) = registro X	1/X
Logaritmo arbitrario	F(X) = registro UN X	1/(X ln UN)
Funzione esponenziale	F(X) = e X	e X(niente è cambiato)

Se una funzione elementare viene moltiplicata per una costante arbitraria, anche la derivata della nuova funzione viene facilmente calcolata:

(C · F)’ = C · F ’.

In generale, le costanti possono essere estratte dal segno della derivata. Per esempio:

(2X 3)' = 2 ( X 3)' = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Ovviamente le funzioni elementari possono essere sommate tra loro, moltiplicate, divise e molto altro. Appariranno così nuove funzioni, non più molto elementari, ma anch'esse differenziabili secondo determinate regole. Queste regole sono discusse di seguito.

Derivata di somma e differenza

Lasciamo le funzioni F(X) E G(X), i cui derivati ​​ci sono noti. Ad esempio, puoi prendere le funzioni elementari discusse sopra. Quindi puoi trovare la derivata della somma e della differenza di queste funzioni:

1. (F + G)’ = F ’ + G ’
2. (F − G)’ = F ’ − G ’

Quindi, la derivata della somma (differenza) di due funzioni è uguale alla somma (differenza) delle derivate. Potrebbero esserci più termini. Per esempio, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

A rigor di termini, non esiste il concetto di "sottrazione" in algebra. C'è un concetto di "elemento negativo". Pertanto, la differenza F − G può essere riscritto come somma F+ (-1) G, e quindi rimane solo una formula: la derivata della somma.

F(X) = X 2 + sinx; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funzione F(X) è la somma di due funzioni elementari, quindi:

F ’(X) = (X 2+ peccato X)’ = (X 2)' + (peccato X)’ = 2X+ cosx;

Discutiamo allo stesso modo per la funzione G(X). Solo che ci sono già tre termini (dal punto di vista dell'algebra):

G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Risposta:
F ’(X) = 2X+ cosx;
G ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivata di un prodotto

La matematica è una scienza logica, quindi molte persone credono che se la derivata della somma è uguale alla somma delle derivate, allora la derivata del prodotto sciopero"\u003e uguale al prodotto dei derivati. Ma fichi a te! La derivata del prodotto viene calcolata utilizzando una formula completamente diversa. Vale a dire:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

La formula è semplice, ma spesso dimenticata. E non solo scolari, ma anche studenti. Il risultato sono problemi risolti in modo errato.

Compito. Trova le derivate delle funzioni: F(X) = X 3 cosx; G(X) = (X 2 + 7X-7) · e X .

Funzione F(X) è un prodotto di due funzioni elementari, quindi tutto è semplice:

F ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3)' cos X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (-peccato X) = X 2 (3cos X − X peccato X)

Funzione G(X) il primo moltiplicatore è un po' più complicato, ma lo schema generale non cambia da questo. Ovviamente, il primo moltiplicatore della funzione G(X) è un polinomio e la sua derivata è la derivata della somma. Abbiamo:

G ’(X) = ((X 2 + 7X-7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · e X + (X 2 + 7X-7) ( e X)’ = (2X+7) · e X + (X 2 + 7X-7) · e X = e X(2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+9) · e X .

Risposta:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X peccato X);
G ’(X) = X(X+9) · e X .

Si noti che nell'ultimo passaggio, la derivata viene fattorizzata. Formalmente, questo non è necessario, ma la maggior parte delle derivate non viene calcolata da sola, ma per esplorare la funzione. Ciò significa che ulteriormente la derivata sarà equiparata a zero, i suoi segni verranno scoperti e così via. In tal caso, è meglio avere un'espressione scomposta in fattori.

Se ci sono due funzioni F(X) E G(X), E G(X) ≠ 0 sull'insieme di nostro interesse, possiamo definire una nuova funzione H(X) = F(X)/G(X). Per tale funzione, puoi anche trovare la derivata:

Non debole, vero? Da dove viene il meno? Perché G 2? E così! Questa è una delle formule più complesse: non puoi capirla senza una bottiglia. Pertanto, è meglio studiarlo con esempi specifici.

Compito. Trova le derivate delle funzioni:

Ci sono funzioni elementari nel numeratore e nel denominatore di ogni frazione, quindi tutto ciò di cui abbiamo bisogno è la formula per la derivata del quoziente:

Per tradizione, fattorizziamo il numeratore in fattori - questo semplificherà notevolmente la risposta:

Una funzione complessa non è necessariamente una formula lunga mezzo chilometro. Ad esempio, è sufficiente prendere la funzione F(X) = peccato X e sostituire la variabile X, diciamo, su X 2+ln X. Si scopre F(X) = peccato ( X 2+ln X) è una funzione complessa. Ha anche un derivato, ma non funzionerà per trovarlo secondo le regole discusse sopra.

Come essere? In tali casi, la sostituzione di una variabile e la formula per la derivata di una funzione complessa aiutano:

F ’(X) = F ’(T) · T', Se Xè sostituito da T(X).

Di norma, la situazione con la comprensione di questa formula è ancora più triste che con la derivata del quoziente. Pertanto, è anche meglio spiegarlo con esempi specifici, con una descrizione dettagliata di ogni passaggio.

Compito. Trova le derivate delle funzioni: F(X) = e 2X + 3 ; G(X) = peccato ( X 2+ln X)

Si noti che if nella funzione F(X) invece dell'espressione 2 X+ 3 sarà facile X, quindi otteniamo una funzione elementare F(X) = e X. Facciamo quindi una sostituzione: sia 2 X + 3 = T, F(X) = F(T) = e T. Stiamo cercando la derivata di una funzione complessa dalla formula:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’

E ora - attenzione! Esecuzione di una sostituzione inversa: T = 2X+ 3. Otteniamo:

F ’(X) = e T · T ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Ora diamo un'occhiata alla funzione G(X). Ovviamente da sostituire. X 2+ln X = T. Abbiamo:

G ’(X) = G ’(T) · T' = (peccato T)’ · T' = cos T · T ’

Sostituzione inversa: T = X 2+ln X. Poi:

G ’(X) = cos( X 2+ln X) · ( X 2+ln X)' = cos( X 2+ln X) · (2 X + 1/X).

È tutto! Come si vede dall'ultima espressione, l'intero problema è stato ridotto al calcolo della derivata della somma.

Risposta:
F ’(X) = 2 e 2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) cos( X 2+ln X).

Molto spesso nelle mie lezioni, invece del termine “derivato”, uso la parola “colpo”. Ad esempio, il tratto della somma è uguale alla somma dei tratti. È più chiaro? Va bene.

Pertanto, il calcolo della derivata si riduce all'eliminazione di questi stessi tratti secondo le regole discusse sopra. Come ultimo esempio, torniamo alla potenza derivata con un esponente razionale:

(X N)’ = N · X N − 1

Pochi lo sanno nel ruolo N potrebbe essere un numero frazionario. Ad esempio, la radice è X 0,5 . Ma cosa succede se c'è qualcosa di complicato sotto la radice? Ancora una volta, risulterà una funzione complessa: a loro piace fornire tali costruzioni nei test e negli esami.

Compito. Trova la derivata di una funzione:

Innanzitutto, riscriviamo la radice come una potenza con un esponente razionale:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Ora facciamo una sostituzione: let X 2 + 8X − 7 = T. Troviamo la derivata dalla formula:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)' T' = 0,5 T-0,5 T ’.

Facciamo una sostituzione inversa: T = X 2 + 8X− 7. Abbiamo:

F ’(X) = 0,5 ( X 2 + 8X− 7) −0,5 ( X 2 + 8X− 7)' = 0,5 (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Infine, torniamo alle radici: