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Ad esempio, la disuguaglianza è l'espressione \(x>5\).

Tipi di disuguaglianze:

Se \(a\) e \(b\) sono numeri o , allora viene chiamata la disuguaglianza numerico. In realtà si tratta solo di confrontare due numeri. Tali disuguaglianze sono suddivise in fedele E infedele.

Per esempio:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) è una disuguaglianza numerica errata, poiché \(17+3=20\), e \(20\) è inferiore a \(115\) (e non maggiore o uguale a) .

Se \(a\) e \(b\) sono espressioni contenenti una variabile, allora abbiamo disuguaglianza con variabile. Tali disuguaglianze sono suddivise in tipologie a seconda del contenuto:

Qual è la soluzione a una disuguaglianza?

Se sostituisci un numero anziché una variabile in una disuguaglianza, questa diventerà numerica.

Se un dato valore di x trasforma la disuguaglianza originaria in una vera disuguaglianza numerica, allora viene chiamata soluzione alla disuguaglianza. In caso contrario, questo valore non è una soluzione. E a risolvere la disuguaglianza– devi trovare tutte le sue soluzioni (o dimostrare che non ce ne sono).

Per esempio, se sostituiamo il numero \(7\) nella disuguaglianza lineare \(x+6>10\), otteniamo la disuguaglianza numerica corretta: \(13>10\). E se sostituiamo \(2\), ci sarà una disuguaglianza numerica errata \(8>10\). Cioè, \(7\) è una soluzione alla disuguaglianza originale, ma \(2\) non lo è.

Tuttavia, la disuguaglianza \(x+6>10\) ha altre soluzioni. In effetti, otterremo le disuguaglianze numeriche corrette sostituendo \(5\), e \(12\), e \(138\)... E come possiamo trovare tutte le soluzioni possibili? Per questo usano. Nel nostro caso abbiamo:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Cioè, qualsiasi numero maggiore di quattro è adatto a noi. Ora devi scrivere la risposta. Le soluzioni alle disuguaglianze sono solitamente scritte numericamente, contrassegnandole inoltre sull'asse dei numeri con un'ombreggiatura. Per il nostro caso abbiamo:

Risposta: \(x\in(4;+\infty)\)

Quando cambia il segno di una disuguaglianza?

C’è una grande trappola nelle disuguaglianze in cui gli studenti “amano” davvero cadere:

Quando si moltiplica (o si divide) una disuguaglianza per un numero negativo, viene invertita (“più” per “meno”, “più o uguale” per “minore o uguale” e così via)

Perché sta succedendo? Per capirlo, consideriamo le trasformazioni della disuguaglianza numerica \(3>1\). È corretto, tre è infatti maggiore di uno. Innanzitutto, proviamo a moltiplicarlo per qualsiasi numero positivo, ad esempio due:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Come possiamo vedere, dopo la moltiplicazione la disuguaglianza rimane vera. E non importa per quale numero positivo moltiplichiamo, otterremo sempre la disuguaglianza corretta. Ora proviamo a moltiplicare per un numero negativo, ad esempio meno tre:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Il risultato è una disuguaglianza errata, perché meno nove è inferiore a meno tre! Cioè, affinché la disuguaglianza diventi vera (e quindi la trasformazione della moltiplicazione per negativo fosse “legale”), è necessario invertire il segno di confronto, in questo modo: \(−9<− 3\).
Con la divisione funzionerà allo stesso modo, puoi verificarlo tu stesso.

La regola scritta sopra si applica a tutti i tipi di diseguaglianze, non solo a quelle numeriche.

Risposta: \(x\in(-1;\infty)\)

Disuguaglianze e disabilità

Le disuguaglianze, proprio come le equazioni, possono avere restrizioni su , cioè sui valori di x. Di conseguenza, i valori inaccettabili secondo la DZ dovrebbero essere esclusi dalla gamma di soluzioni.

Esempio: Risolvi la disuguaglianza \(\sqrt(x+1)<3\)

Soluzione: È chiaro che affinché il lato sinistro sia inferiore a \(3\), l'espressione radicale deve essere inferiore a \(9\) (dopo tutto, da \(9\) è solo \(3\)). Noi abbiamo:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(X<8\)

Tutto? Qualsiasi valore di x inferiore a \(8\) è adatto a noi? NO! Perché se prendiamo, ad esempio, il valore \(-5\) che sembra soddisfare il requisito, non sarà una soluzione alla disuguaglianza originaria, poiché ci porterà a calcolare la radice di un numero negativo.

\(\quadrato(-5+1)<3\)
\(\quadrato(-4)<3\)

Pertanto, dobbiamo anche tenere conto delle restrizioni sul valore di X: non può essere tale che sotto la radice ci sia un numero negativo. Pertanto, abbiamo il secondo requisito per x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

E affinché x sia la soluzione finale, deve soddisfare entrambi i requisiti contemporaneamente: deve essere minore di \(8\) (per essere una soluzione) e maggiore di \(-1\) (per essere ammissibile in linea di principio). Tracciandolo sulla linea numerica, abbiamo la risposta finale:

Risposta: \(\sinistra[-1;8\destra)\)

Attenzione!
Ce ne sono altri
materiali della Parte Speciale 555.
Per coloro che sono molto "non molto..."
E per chi “moltissimo…”)

Che è successo "disuguaglianza quadratica"? Nessuna domanda!) Se prendi Qualunque equazione quadratica e sostituisci il segno in essa "=" (uguale) a qualsiasi segno di disuguaglianza ( > ≥ < ≤ ≠ ), otteniamo una disuguaglianza quadratica. Per esempio:

1. x2 -8x+12 ≥ 0

2. -x2+3x > 0

3. x2 ≤ 4

Beh, hai capito...)

Non per niente ho collegato qui equazioni e disuguaglianze. Il punto è che il primo passo verso la soluzione Qualunque disuguaglianza quadratica - risolvere l'equazione da cui è composta questa disuguaglianza. Per questo motivo, l’incapacità di risolvere equazioni quadratiche porta automaticamente al completo fallimento delle disuguaglianze. Il suggerimento è chiaro?) Semmai, guarda come risolvere eventuali equazioni quadratiche. Tutto è descritto lì in dettaglio. E in questa lezione ci occuperemo delle disuguaglianze.

La disuguaglianza pronta per essere risolta ha la forma: a sinistra c'è un trinomio quadratico ascia 2 +bx+c, a destra - zero. Il segno di disuguaglianza può essere assolutamente qualsiasi cosa. I primi due esempi sono qui sono già pronti a prendere una decisione. Il terzo esempio deve ancora essere preparato.

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Oggi, amici, non ci sarà moccio né sentimentalismo. Invece, ti manderò, senza fare domande, in battaglia con uno degli avversari più formidabili del corso di algebra dell'ottavo-nono grado.

Sì, hai capito bene: stiamo parlando di disuguaglianze con modulo. Esamineremo quattro tecniche di base con le quali imparerai a risolvere circa il 90% di tali problemi. E il restante 10%? Bene, ne parleremo in una lezione separata :).

Tuttavia, prima di analizzare qualsiasi tecnica, vorrei ricordarti due fatti che devi già conoscere. Altrimenti rischi di non comprendere affatto il materiale della lezione di oggi.

Quello che devi già sapere

Captain Obviousness sembra suggerire che per risolvere le disuguaglianze con il modulo è necessario sapere due cose:

1. Come si risolvono le disuguaglianze;
2. Cos'è un modulo?

Cominciamo dal secondo punto.

Definizione del modulo

Tutto è semplice qui. Ci sono due definizioni: algebrica e grafica. Per cominciare - algebrico:

Definizione. Il modulo di un numero $x$ è il numero stesso, se non è negativo, oppure il numero opposto, se $x$ originale è ancora negativo.

E' scritto così:

\[\sinistra| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

In termini semplici, un modulo è un “numero senza segno meno”. Ed è in questa dualità (in alcuni punti non devi fare nulla con il numero originale, ma in altri dovrai rimuovere una sorta di segno meno) che sta tutta la difficoltà per gli studenti principianti.

C'è anche una definizione geometrica. È anche utile saperlo, ma ci rivolgeremo ad esso solo in casi complessi e in alcuni casi particolari, dove l'approccio geometrico è più conveniente di quello algebrico (spoiler: non oggi).

Definizione. Sia segnato il punto $a$ sulla retta numerica. Quindi il modulo $\left| x-a \right|$ è la distanza dal punto $x$ al punto $a$ su questa linea.

Se disegni un'immagine, otterrai qualcosa del genere:

In un modo o nell'altro, dalla definizione di un modulo segue immediatamente la sua proprietà chiave: il modulo di un numero è sempre una quantità non negativa. Questo fatto sarà un filo rosso che attraversa tutta la nostra narrazione oggi.

Risolvere le disuguaglianze. Metodo dell'intervallo

Consideriamo ora le disuguaglianze. Ce ne sono moltissimi, ma il nostro compito ora è riuscire a risolvere almeno il più semplice. Quelli che si riducono alle disuguaglianze lineari, nonché al metodo degli intervalli.

Ho due grandi lezioni su questo argomento (tra l'altro, molto, MOLTO utili - consiglio di studiarle):

1. Metodo degli intervalli per le disuguaglianze (in particolare guarda il video);
2. Le disuguaglianze razionali frazionarie sono una lezione molto ampia, ma dopo non avrai più alcuna domanda.

Se sai tutto questo, se la frase “passiamo dalla disuguaglianza all'equazione” non ti fa venire una vaga voglia di sbatterti contro il muro, allora sei pronto: benvenuto all'inferno all'argomento principale della lezione :).

1. Disuguaglianze della forma “Il modulo è inferiore alla funzione”

Questo è uno dei problemi più comuni con i moduli. Occorre risolvere una disuguaglianza della forma:

\[\sinistra| f\giusto| \ltg\]

Le funzioni $f$ e $g$ possono essere qualsiasi cosa, ma solitamente sono polinomi. Esempi di tali disuguaglianze:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \destra| \ltx+7; \\ & \sinistra| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \sinistra| ((x)^(2))-2\sinistra| x \destra|-3 \destra| \lt 2. \\\end(allineare)\]

Tutti possono essere risolti letteralmente in una riga secondo il seguente schema:

\[\sinistra| f\giusto| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \giusto giusto)\]

È facile vedere che ci liberiamo del modulo, ma in cambio otteniamo una doppia disuguaglianza (o, che è la stessa cosa, un sistema di due disuguaglianze). Ma questa transizione tiene conto assolutamente di tutti i possibili problemi: se il numero sotto il modulo è positivo, il metodo funziona; se negativo funziona ancora; e anche con la funzione più inadeguata al posto di $f$ o $g$, il metodo funzionerà comunque.

Sorge spontanea la domanda: non potrebbe essere più semplice? Sfortunatamente, non è possibile. Questo è il punto centrale del modulo.

Comunque basta filosofare. Risolviamo un paio di problemi:

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\sinistra| 2x+3 \destra| \ltx+7\]

Soluzione. Quindi, abbiamo davanti a noi la classica disuguaglianza della forma "il modulo è inferiore" - non c'è nemmeno nulla da trasformare. Lavoriamo secondo l'algoritmo:

\[\begin(align) & \left| f\giusto| \lt g\Freccia destra -g \lt f \lt g; \\ & \sinistra| 2x+3 \destra| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Non affrettarti ad aprire le parentesi precedute da un “meno”: è del tutto possibile che nella fretta commetterai un errore offensivo.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Il problema si riduceva a due disuguaglianze elementari. Notiamo le loro soluzioni sulle rette parallele:

Intersezione di molti

L'intersezione di questi insiemi sarà la risposta.

Risposta: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\sinistra| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Soluzione. Questo compito è un po' più difficile. Per prima cosa isoliamo il modulo spostando il secondo termine a destra:

\[\sinistra| ((x)^(2))+2x-3 \destra| \lt -3\sinistra(x+1 \destra)\]

Ovviamente, abbiamo ancora una volta una disuguaglianza della forma “il modulo è più piccolo”, quindi eliminiamo il modulo utilizzando l'algoritmo già noto:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Ora attenzione: qualcuno dirà che sono un po' pervertito con tutte queste parentesi. Ma lasciate che vi ricordi ancora una volta che il nostro obiettivo principale è Risolvi correttamente la disuguaglianza e ottieni la risposta. Successivamente, quando avrai padroneggiato perfettamente tutto ciò che è descritto in questa lezione, potrai pervertirti come desideri: aprire parentesi, aggiungere meno, ecc.

Per cominciare, elimineremo semplicemente il doppio meno a sinistra:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\sinistra(x+1 \destra)\]

Ora apriamo tutte le parentesi nella doppia disuguaglianza:

Passiamo alla doppia disuguaglianza. Questa volta i calcoli saranno più seri:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( allinea)\destra.\]

Entrambe le disuguaglianze sono quadratiche e possono essere risolte utilizzando il metodo degli intervalli (per questo dico: se non sai di cosa si tratta, è meglio non affrontare ancora i moduli). Passiamo all'equazione nella prima disuguaglianza:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\sinistra(x+5 \destra)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\fine(allinea)\]

Come puoi vedere, il risultato è un'equazione quadratica incompleta, che può essere risolta in modo elementare. Consideriamo ora la seconda disuguaglianza del sistema. Lì dovrai applicare il teorema di Vieta:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \sinistra(x-3 \destra)\sinistra(x+2 \destra)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\fine(allinea)\]

Contrassegniamo i numeri risultanti su due linee parallele (separate per la prima disuguaglianza e separate per la seconda):

Ancora una volta, poiché stiamo risolvendo un sistema di disequazioni, siamo interessati all'intersezione degli insiemi ombreggiati: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Questa è la risposta.

Risposta: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Penso che dopo questi esempi lo schema della soluzione sia estremamente chiaro:

1. Isolare il modulo spostando tutti gli altri termini sul lato opposto della disuguaglianza. Si ottiene così una disuguaglianza della forma $\left| f\giusto| \ltg$.
2. Risolvi questa disuguaglianza eliminando il modulo secondo lo schema sopra descritto. Ad un certo punto sarà necessario passare dalla doppia disuguaglianza a un sistema di due espressioni indipendenti, ciascuna delle quali può già essere risolta separatamente.
3. Infine, non resta che intersecare le soluzioni di queste due espressioni indipendenti - e basta, otterremo la risposta finale.

Un algoritmo simile esiste per le disuguaglianze del tipo seguente, quando il modulo è maggiore della funzione. Tuttavia, ci sono un paio di “ma” seri. Parleremo ora di questi “ma”.

2. Disuguaglianze della forma “Il modulo è maggiore della funzione”

Sembrano così:

\[\sinistra| f\giusto| \gtg\]

Simile al precedente? Sembra. Eppure tali problemi vengono risolti in un modo completamente diverso. Formalmente lo schema è il seguente:

\[\sinistra| f\giusto| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

In altre parole, consideriamo due casi:

1. Per prima cosa ignoriamo semplicemente il modulo e risolviamo la solita disuguaglianza;
2. Quindi, in sostanza, espandiamo il modulo con il segno meno, quindi moltiplichiamo entrambi i lati della disuguaglianza per −1, finché ho il segno.

In questo caso le opzioni vengono combinate con parentesi quadre, ad es. Abbiamo davanti a noi una combinazione di due esigenze.

Si prega di notare ancora una volta: questo non è un sistema, ma una totalità, quindi nella risposta gli insiemi sono combinati anziché intersecati. Questa è una differenza fondamentale rispetto al punto precedente!

In generale, molti studenti sono completamente confusi con le unioni e gli incroci, quindi risolviamo la questione una volta per tutte:

• "∪" è un segno di unione. In realtà, questa è una lettera stilizzata "U", che ci è arrivata dalla lingua inglese ed è l'abbreviazione di "Unione", ad es. "Associazioni".
• "∩" è il segno dell'intersezione. Questa schifezza non veniva da nessuna parte, ma appariva semplicemente come contrappunto a “∪”.

Per renderlo ancora più facile da ricordare, basta avvicinare le gambe a questi segni per realizzare degli occhiali (ma non accusarmi ora di promuovere la tossicodipendenza e l'alcolismo: se stai studiando seriamente questa lezione, allora sei già un tossicodipendente):

Tradotto in russo, ciò significa quanto segue: l'unione (totalità) comprende elementi di entrambi gli insiemi, quindi non è in alcun modo inferiore a ciascuno di essi; ma l'intersezione (sistema) comprende solo quegli elementi che sono contemporaneamente sia nel primo che nel secondo insieme. Pertanto, l'intersezione degli insiemi non è mai maggiore degli insiemi di origine.

Quindi è diventato più chiaro? È grandioso. Passiamo alla pratica.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\sinistra| 3x+1 \destra| \gt 5-4x\]

Soluzione. Procediamo secondo lo schema:

\[\sinistra| 3x+1 \destra| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ Giusto.\]

Risolviamo ogni disuguaglianza nella popolazione:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Contrassegniamo ciascun insieme risultante sulla linea numerica e quindi li combiniamo:

Unione di insiemi

È abbastanza ovvio che la risposta sarà $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Risposta: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\sinistra| ((x)^(2))+2x-3 \destra| \gtx\]

Soluzione. BENE? Niente: tutto è uguale. Passiamo da una disuguaglianza con modulo ad un insieme di due disuguaglianze:

\[\sinistra| ((x)^(2))+2x-3 \destra| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Risolviamo ogni disuguaglianza. Sfortunatamente, le radici non saranno molto buone:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\fine(allinea)\]

Anche la seconda disuguaglianza è un po’ selvaggia:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\fine(allinea)\]

Ora devi segnare questi numeri su due assi: un asse per ogni disuguaglianza. Tuttavia, è necessario contrassegnare i punti nell'ordine corretto: maggiore è il numero, più il punto si sposta verso destra.

E qui ci aspetta un setup. Se è tutto chiaro con i numeri $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (i termini al numeratore del primo frazione sono minori dei termini al numeratore del secondo , quindi anche la somma è minore), con i numeri $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt Anche (21))(2)$ non ci saranno difficoltà (numero positivo ovviamente più negativo), quindi con l'ultima coppia non è tutto così chiaro. Qual è maggiore: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ o $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Il posizionamento dei punti sulle linee numeriche e, di fatto, la risposta dipenderà dalla risposta a questa domanda.

Quindi confrontiamo:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrice)\]

Abbiamo isolato la radice, ottenuto numeri non negativi su entrambi i lati della disuguaglianza, quindi abbiamo il diritto di elevare al quadrato entrambi i lati:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\quadrato(13)+13\vee 21 \\ 4\quadrato(13)\vee 3 \\\end(matrice)\]

Penso che sia un gioco da ragazzi che $4\sqrt(13) \gt 3$, quindi $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, i punti finali sugli assi verranno posizionati in questo modo:

Un caso di brutte radici

Permettimi di ricordarti che stiamo risolvendo una raccolta, quindi la risposta sarà un'unione, non un'intersezione di insiemi ombreggiati.

Risposta: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Come puoi vedere, il nostro schema funziona alla grande sia per problemi semplici che per quelli molto difficili. L'unico “punto debole” di questo approccio è che è necessario confrontare correttamente i numeri irrazionali (e credetemi: queste non sono solo radici). Ma una lezione a parte (e molto seria) sarà dedicata ai temi del confronto. E andiamo avanti.

3. Disuguaglianze a “code” non negative

Ora arriviamo alla parte più interessante. Queste sono disuguaglianze della forma:

\[\sinistra| f\giusto| \gt \sinistra| g\giusto|\]

In generale, l'algoritmo di cui parleremo ora è corretto solo per il modulo. Funziona in tutte le disuguaglianze in cui sono garantite espressioni non negative a sinistra e a destra:

Cosa fare con questi compiti? Ricorda:

Nelle disuguaglianze con “code” non negative, entrambe le parti possono essere elevate a qualsiasi potenza naturale. Non ci saranno ulteriori restrizioni.

Prima di tutto, saremo interessati alla quadratura: brucia moduli e radici:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\fine(allinea)\]

Basta non confonderlo con l'estrazione della radice di un quadrato:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\sinistra| f \destra|\ne f\]

Sono stati commessi innumerevoli errori quando uno studente ha dimenticato di installare un modulo! Ma questa è una storia completamente diversa (queste sono, per così dire, equazioni irrazionali), quindi non ne parleremo ora. Risolviamo meglio un paio di problemi:

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\sinistra| x+2 \destra|\ge \sinistra| 1-2x \destra|\]

Soluzione. Notiamo subito due cose:

1. Questa non è una disuguaglianza rigorosa. I punti sulla linea numerica verranno perforati.
2. Entrambi i lati della disuguaglianza sono ovviamente non negativi (questa è una proprietà del modulo: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Pertanto, possiamo elevare al quadrato entrambi i lati della disuguaglianza per eliminare il modulo e risolvere il problema utilizzando il consueto metodo dell'intervallo:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\fine(allinea)\]

Nell'ultimo passaggio ho barato un po': ho cambiato la sequenza dei termini, sfruttando l'uniformità del modulo (ho infatti moltiplicato l'espressione $1-2x$ per −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ destra)\destra)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Risolviamo utilizzando il metodo degli intervalli. Passiamo dalla disuguaglianza all'equazione:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\fine(allinea)\]

Contrassegniamo le radici trovate sulla linea numerica. Ancora una volta: tutti i punti sono ombreggiati perché la disuguaglianza originaria non è stretta!

Eliminazione del segno del modulo

Permettimi di ricordarlo, per i più testardi: prendiamo i segni dell'ultima disuguaglianza, che è stata scritta prima di passare all'equazione. E dipingiamo sulle aree richieste con la stessa disuguaglianza. Nel nostro caso è $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, è tutto finito adesso. Il problema è risolto.

Risposta: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\sinistra| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \destra|\]

Soluzione. Facciamo tutto allo stesso modo. Non commenterò: guarda solo la sequenza delle azioni.

Quadralo:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left |. ((x)^(2))+3x+4 \destra|. \destra))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ destra))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Metodo dell'intervallo:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Freccia destra x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varniente . \\\fine(allinea)\]

C'è solo una radice sulla linea numerica:

La risposta è un intero intervallo

Risposta: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Una piccola nota sull'ultimo compito. Come ha osservato accuratamente uno dei miei studenti, entrambe le espressioni submodulari in questa disuguaglianza sono ovviamente positive, quindi il segno del modulo può essere omesso senza danni alla salute.

Ma questo è un livello di pensiero completamente diverso e un approccio diverso: può essere condizionatamente chiamato il metodo delle conseguenze. A riguardo - in una lezione separata. Passiamo ora alla parte finale della lezione di oggi e guardiamo un algoritmo universale che funziona sempre. Anche quando tutti gli approcci precedenti erano impotenti :).

4. Metodo di enumerazione delle opzioni

E se tutte queste tecniche non aiutassero? Se la disuguaglianza non si riduce a code non negative, se è impossibile isolare il modulo, se in generale c’è dolore, tristezza, malinconia?

Poi entra in scena “l’artiglieria pesante” di tutta la matematica: il metodo della forza bruta. In relazione alle disuguaglianze con modulo appare così:

1. Scrivi tutte le espressioni submodulari e impostale uguali a zero;
2. Risolvi le equazioni risultanti e segna le radici trovate su una linea numerica;
3. La retta sarà divisa in più tratti, all'interno dei quali ogni modulo ha un segno fisso e quindi si rivela univocamente;
4. Risolvi la disuguaglianza su ciascuna di queste sezioni (puoi considerare separatamente i confini delle radici ottenuti nel passaggio 2 - per affidabilità). Combina i risultati: questa sarà la risposta :).

Così come? Debole? Facilmente! Solo per molto tempo. Vediamo in pratica:

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\sinistra| x+2 \destra| \lt \sinistra| x-1 \destra|+x-\frac(3)(2)\]

Soluzione. Questa schifezza non si riduce a disuguaglianze come $\left| f\giusto| \ltg$, $\sinistra| f\giusto| \gt g$ o $\sinistra| f\giusto| \lt \sinistra| g \right|$, quindi agiamo in anticipo.

Scriviamo espressioni submodulari, le equiparamo a zero e troviamo le radici:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Freccia destra x=1. \\\fine(allinea)\]

In totale, abbiamo due radici che dividono la linea numerica in tre sezioni, all'interno delle quali ogni modulo si rivela in modo univoco:

Partizionamento della retta numerica per zeri di funzioni submodulari

Diamo un'occhiata a ciascuna sezione separatamente.

1. Sia $x \lt -2$. Allora entrambe le espressioni submodulari sono negative e la disuguaglianza originale verrà riscritta come segue:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(allineare)\]

Abbiamo una limitazione abbastanza semplice. Intersechiamolo con l'ipotesi iniziale che $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Ovviamente la variabile $x$ non può essere contemporaneamente minore di −2 e maggiore di 1,5. Non ci sono soluzioni in questo settore.

1.1. Consideriamo separatamente il caso limite: $x=-2$. Sostituiamo semplicemente questo numero nella disuguaglianza originale e controlliamo: è vero?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \sinistra| -3\destra|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varniente . \\\fine(allinea)\]

È ovvio che la catena di calcoli ci ha portato a una disuguaglianza errata. Pertanto, anche la disuguaglianza originale è falsa e $x=-2$ non è inclusa nella risposta.

2. Sia ora $-2 \lt x \lt 1$. Il modulo di sinistra si aprirà già con un "più", ma quello di destra si aprirà comunque con un "meno". Abbiamo:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\fine(allineare)\]

Ancora una volta ci intersechiamo con il requisito originale:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

E ancora, l’insieme delle soluzioni è vuoto, poiché non ci sono numeri che siano contemporaneamente minori di −2,5 e maggiori di −2.

2.1. E ancora un caso speciale: $x=1$. Sostituiamo nella disuguaglianza originaria:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \sinistra| 3\destra| \lt \sinistra| 0 \destra|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varniente . \\\fine(allinea)\]

Similmente al “caso speciale” precedente, il numero $x=1$ chiaramente non è incluso nella risposta.

3. L'ultimo pezzo della riga: $x \gt 1$. Qui tutti i moduli vengono aperti con un segno più:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

E ancora intersechiamo il set trovato con il vincolo originale:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Finalmente! Abbiamo trovato un intervallo che sarà la risposta.

Risposta: $x\in \left(4.5;+\infty \right)$

Infine, un'osservazione che potrebbe salvarti da errori stupidi quando risolvi problemi reali:

Le soluzioni alle disuguaglianze con i moduli di solito rappresentano insiemi continui sulla linea numerica: intervalli e segmenti. I punti isolati sono molto meno comuni. E ancora meno spesso accade che il confine della soluzione (la fine del segmento) coincida con il confine dell'intervallo considerato.

Di conseguenza, se i confini (gli stessi “casi speciali”) non sono inclusi nella risposta, allora le aree a sinistra e a destra di questi confini quasi certamente non saranno incluse nella risposta. E viceversa: il confine è entrato nella risposta, il che significa che anche alcune aree circostanti saranno risposte.

Tienilo a mente quando esamini le tue soluzioni.

Innanzitutto, alcuni testi per avere un'idea del problema risolto dal metodo dell'intervallo. Diciamo che dobbiamo risolvere la seguente disuguaglianza:

(x − 5)(x + 3) > 0

Quali sono le opzioni? La prima cosa che viene in mente alla maggior parte degli studenti sono le regole “più su più dà più” e “meno su meno dà più”. Pertanto è sufficiente considerare il caso in cui entrambe le parentesi sono positive: x − 5 > 0 e x + 3 > 0. Consideriamo poi anche il caso in cui entrambe le parentesi sono negative: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Gli studenti più avanzati ricorderanno (forse) che a sinistra c'è una funzione quadratica il cui grafico è una parabola. Inoltre, questa parabola interseca l'asse OX nei punti x = 5 ex = −3. Per ulteriori lavori, è necessario aprire le parentesi. Abbiamo:

x2 − 2x − 15 > 0

Ora è chiaro che i rami della parabola sono diretti verso l'alto, perché coefficiente a = 1 > 0. Proviamo a disegnare un diagramma di questa parabola:

La funzione è maggiore di zero dove passa sopra l'asse OX. Nel nostro caso, questi sono gli intervalli (−∞ −3) e (5; +∞) - questa è la risposta.

Nota: l'immagine mostra esattamente diagramma delle funzioni, non il suo programma. Perché per un grafico reale bisogna contare le coordinate, calcolare gli spostamenti e altre stronzate che per ora non ci servono assolutamente.

Perché questi metodi sono inefficaci?

Quindi, abbiamo considerato due soluzioni alla stessa disuguaglianza. Entrambi si sono rivelati piuttosto ingombranti. La prima decisione sorge: pensaci! — un insieme di sistemi di disuguaglianze. Anche la seconda soluzione non è particolarmente semplice: bisogna ricordare il grafico della parabola e un mucchio di altri piccoli fatti.

Era una disuguaglianza molto semplice. Ha solo 2 moltiplicatori. Ora immagina che non ci saranno 2, ma almeno 4 moltiplicatori. Ad esempio:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Come risolvere tale disuguaglianza? Passare attraverso tutte le possibili combinazioni di pro e contro? Sì, ci addormenteremo più velocemente di quanto troviamo una soluzione. Anche disegnare un grafico non è un'opzione, poiché non è chiaro come si comporti tale funzione sul piano delle coordinate.

Per tali disuguaglianze è necessario uno speciale algoritmo risolutivo, che considereremo oggi.

Qual è il metodo dell'intervallo

Il metodo degli intervalli è uno speciale algoritmo progettato per risolvere disuguaglianze complesse della forma f (x) > 0 e f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Risolvi l'equazione f (x) = 0. Quindi, invece di una disuguaglianza, otteniamo un'equazione molto più semplice da risolvere;
2. Segna tutte le radici ottenute sulla linea delle coordinate. Pertanto la retta verrà divisa in più intervalli;
3. Trova il segno (più o meno) della funzione f (x) nell'intervallo più a destra. Per fare ciò è sufficiente sostituire in f (x) un numero qualsiasi che si troverà a destra di tutte le radici marcate;
4. Segna i segni negli intervalli rimanenti. Per fare ciò, ricorda solo che quando si passa attraverso ciascuna radice, il segno cambia.

È tutto! Dopodiché non resta che annotare gli intervalli che ci interessano. Sono contrassegnati con il segno “+” se la disuguaglianza era della forma f (x) > 0, oppure con il segno “−” se la disuguaglianza era della forma f (x)< 0.

A prima vista, può sembrare che il metodo dell'intervallo sia una specie di cosa metallica. Ma in pratica tutto sarà molto semplice. Basta fare un po' di pratica e tutto diventerà più chiaro. Dai un'occhiata agli esempi e verifica tu stesso:

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

(x − 2)(x + 7)< 0

Lavoriamo utilizzando il metodo dell'intervallo. Passaggio 1: sostituisci la disuguaglianza con un'equazione e risolvila:

(x − 2)(x + 7) = 0

Il prodotto è uguale a zero se e solo se almeno uno dei fattori è uguale a zero:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Abbiamo due radici. Passiamo al passaggio 2: segnamo queste radici sulla linea delle coordinate. Abbiamo:

Ora passaggio 3: trova il segno della funzione nell'intervallo più a destra (a destra del punto contrassegnato x = 2). Per fare ciò, devi prendere qualsiasi numero maggiore del numero x = 2. Ad esempio, prendiamo x = 3 (ma nessuno vieta di prendere x = 4, x = 10 e anche x = 10.000). Noi abbiamo:

f(x) = (x − 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Troviamo che f (3) = 10 > 0, quindi inseriamo un segno più nell'intervallo più a destra.

Passiamo all'ultimo punto: dobbiamo notare i segni sugli intervalli rimanenti. Ricordiamo che passando per ciascuna radice il segno deve cambiare. Ad esempio, a destra della radice x = 2 c'è un più (ne abbiamo accertato il passaggio precedente), quindi a sinistra deve esserci un meno.

Questo meno si estende all'intero intervallo (−7; 2), quindi c'è un meno a destra della radice x = −7. Pertanto a sinistra della radice x = −7 c'è un più. Resta da segnare questi segni sull'asse delle coordinate. Abbiamo:

Torniamo alla disuguaglianza originaria, che aveva la forma:

(x − 2)(x + 7)< 0

Quindi la funzione deve essere minore di zero. Ciò significa che a noi interessa il segno meno, che compare solo su un intervallo: (−7; 2). Questa sarà la risposta.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Passaggio 1: imposta il lato sinistro su zero:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Ricorda: il prodotto è uguale a zero quando almeno uno dei fattori è uguale a zero. Ecco perché abbiamo il diritto di equiparare ogni singola fascia a zero.

Passaggio 2: segna tutte le radici sulla linea delle coordinate:

Passaggio 3: scopri il segno dello spazio più a destra. Prendiamo qualsiasi numero maggiore di x = 1. Ad esempio, possiamo prendere x = 10. Abbiamo:

f(x) = (x + 9)(x − 3)(1 − x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f(10) = −1197< 0.

Passaggio 4: posizionamento dei restanti cartelli. Ricordiamo che passando per ciascuna radice il segno cambia. Di conseguenza, la nostra immagine sarà simile a questa:

È tutto. Non resta che scrivere la risposta. Diamo un’altra occhiata alla disuguaglianza originale:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Questa è una disuguaglianza della forma f(x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Questa è la risposta.

Una nota sui segni di funzione

La pratica dimostra che le maggiori difficoltà nel metodo dell'intervallo sorgono negli ultimi due passaggi, ad es. quando si posizionano i segnali. Molti studenti iniziano a essere confusi: quali numeri prendere e dove mettere i cartelli.

Per comprendere finalmente il metodo degli intervalli, consideriamo due osservazioni su cui si basa:

1. Una funzione continua cambia segno solo in quei punti dove è uguale a zero. Tali punti dividono l'asse delle coordinate in pezzi, all'interno dei quali il segno della funzione non cambia mai. Ecco perché risolviamo l'equazione f (x) = 0 e segniamo le radici trovate sulla retta. I numeri trovati sono punti “borderline” che separano i pro dai contro.
2. Per trovare il segno di una funzione su qualsiasi intervallo, è sufficiente sostituire nella funzione un numero qualsiasi di questo intervallo. Ad esempio, per l'intervallo (−5; 6) abbiamo il diritto di prendere x = −4, x = 0, x = 4 e anche x = 1,29374 se vogliamo. Perché è importante? Sì, perché i dubbi cominciano a rodere molti studenti. Ad esempio, cosa succederebbe se per x = −4 otteniamo un più e per x = 0 otteniamo un meno? Ma niente del genere accadrà mai. Tutti i punti sullo stesso intervallo danno lo stesso segno. Ricorda questo.

Questo è tutto ciò che devi sapere sul metodo dell'intervallo. Naturalmente lo abbiamo analizzato nella sua forma più semplice. Esistono disuguaglianze più complesse: non rigorose, frazionarie e con radici ripetute. Puoi anche utilizzare il metodo dell'intervallo per loro, ma questo è un argomento per una grande lezione separata.

Ora vorrei esaminare una tecnica avanzata che semplifica notevolmente il metodo dell'intervallo. Più precisamente, la semplificazione riguarda solo il terzo passaggio: calcolare il segno sul tratto più a destra della linea. Per qualche motivo questa tecnica non viene insegnata nelle scuole (almeno nessuno me lo ha spiegato). Ma invano, perché in realtà questo algoritmo è molto semplice.

Quindi, il segno della funzione si trova sulla parte destra della linea numerica. Questo pezzo ha la forma (a ; +∞), dove a è la radice più grande dell'equazione f (x) = 0. Per non stupirti, consideriamo un esempio specifico:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x);
(x − 1)(2 + x)(7 − x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Abbiamo 3 radici. Elenchiamoli in ordine crescente: x = −2, x = 1 e x = 7. Ovviamente la radice più grande è x = 7.

Per chi trova più semplice ragionare graficamente segnerò queste radici sulla linea coordinata. Vediamo cosa succede:

È necessario trovare il segno della funzione f (x) nell'intervallo più a destra, ovvero a (7; +∞). Ma come abbiamo già notato, per determinare il segno puoi prendere qualsiasi numero da questo intervallo. Ad esempio, puoi prendere x = 8, x = 150, ecc. E ora la stessa tecnica che non viene insegnata a scuola: prendiamo l'infinito come numero. Più precisamente, più infinito, cioè. +∞.

“Sei fatto? Come puoi sostituire l’infinito in una funzione?” - potresti chiedere. Ma pensaci: non abbiamo bisogno del valore della funzione stessa, ci serve solo il segno. Pertanto, ad esempio, i valori f (x) = −1 e f (x) = −938 740 576 215 significano la stessa cosa: la funzione su questo intervallo è negativa. Pertanto, tutto ciò che ti viene richiesto è trovare il segno che appare all'infinito e non il valore della funzione.

In effetti, sostituire l'infinito è molto semplice. Torniamo alla nostra funzione:

f(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Immagina che x sia un numero molto grande. Miliardi o addirittura trilioni. Ora vediamo cosa succede in ciascuna parentesi.

Prima parentesi: (x − 1). Cosa succede se sottrai uno da un miliardo? Il risultato sarà un numero non molto diverso da un miliardo, e questo numero sarà positivo. Allo stesso modo con la seconda parentesi: (2 + x). Se aggiungi un miliardo a due, ottieni un miliardo e un centesimo: questo è un numero positivo. Infine, la terza parentesi: (7 − x). Qui ci sarà un miliardo in meno, da cui è stato “rosicchiato via un patetico pezzo a forma di sette”. Quelli. il numero risultante non differirà molto da meno un miliardo: sarà negativo.

Non resta che trovare il segno dell’intera opera. Poiché nelle prime parentesi abbiamo un più e nell'ultima un meno, otteniamo la seguente costruzione:

(+) · (+) · (−) = (−)

Il segno finale è meno! E non importa quale sia il valore della funzione stessa. La cosa principale è che questo valore è negativo, cioè l'intervallo più a destra ha un segno meno. Resta da completare il quarto passaggio del metodo dell'intervallo: disporre tutti i segni. Abbiamo:

La disuguaglianza originaria era:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

A noi interessano quindi gli intervalli contrassegnati dal segno meno. Scriviamo la risposta:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Questo è il trucco che volevo dirti. In conclusione, ecco un'altra disuguaglianza che può essere risolta con il metodo dell'intervallo utilizzando l'infinito. Per abbreviare visivamente la soluzione, non scriverò i numeri dei passaggi e i commenti dettagliati. Scriverò solo ciò di cui hai veramente bisogno di scrivere quando risolvi problemi reali:

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

x(2x + 8)(x − 3) > 0

Sostituiamo la disuguaglianza con un'equazione e risolviamola:

x(2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Contrassegniamo tutte e tre le radici sulla linea delle coordinate (con i segni contemporaneamente):

C'è un più sul lato destro dell'asse delle coordinate, perché la funzione è simile a:

f(x) = x(2x + 8)(x − 3)

E se sostituiamo l'infinito (ad esempio un miliardo), otteniamo tre parentesi positive. Poiché l'espressione originale deve essere maggiore di zero, a noi interessano solo i valori positivi. Non resta che scrivere la risposta:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)