Risolvere le disuguaglianze. Disponibile su come risolvere le disuguaglianze

Oggi, amici, non ci sarà moccio né sentimentalismo. Invece, ti manderò, senza fare domande, in battaglia con uno degli avversari più formidabili del corso di algebra dell'ottavo-nono anno.

Sì, hai capito bene: stiamo parlando di disuguaglianze con modulo. Esamineremo quattro tecniche di base con le quali imparerai a risolvere circa il 90% di tali problemi. E il restante 10%? Bene, ne parleremo in una lezione separata. :)

Tuttavia, prima di analizzare qualsiasi tecnica, vorrei ricordarti due fatti che devi già conoscere. Altrimenti rischi di non comprendere affatto il materiale della lezione di oggi.

Quello che devi già sapere

Captain Obviousness sembra suggerire che per risolvere le disuguaglianze con il modulo è necessario sapere due cose:

Come si risolvono le disuguaglianze;
Cos'è un modulo?

Cominciamo dal secondo punto.

Definizione del modulo

Tutto è semplice qui. Ci sono due definizioni: algebrica e grafica. Per cominciare - algebrico:

Definizione. Il modulo di un numero $x$ è il numero stesso, se non è negativo, oppure il numero opposto, se $x$ originale è ancora negativo.

E' scritto così:

\[\sinistra| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

In termini semplici, un modulo è un “numero senza segno meno”. Ed è in questa dualità (in alcuni punti non devi fare nulla con il numero originale, ma in altri devi rimuovere una sorta di segno meno) che sta tutta la difficoltà per gli studenti principianti.

C'è anche una definizione geometrica. È anche utile saperlo, ma ci rivolgeremo ad esso solo in casi complessi e in alcuni casi particolari, dove l'approccio geometrico è più conveniente di quello algebrico (spoiler: non oggi).

Definizione. Sia segnato il punto $a$ sulla linea numerica. Quindi il modulo $\left| x-a \right|$ è la distanza dal punto $x$ al punto $a$ su questa linea.

Se disegni un'immagine, otterrai qualcosa del genere:

Definizione del modulo grafico

In un modo o nell'altro, dalla definizione di un modulo segue immediatamente la sua proprietà chiave: il modulo di un numero è sempre una quantità non negativa. Questo fatto sarà un filo rosso che attraversa tutta la nostra narrazione oggi.

Risolvere le disuguaglianze. Metodo dell'intervallo

Consideriamo ora le disuguaglianze. Ce ne sono moltissimi, ma il nostro compito ora è riuscire a risolvere almeno il più semplice. Quelli che si riducono alle disuguaglianze lineari, nonché al metodo degli intervalli.

Ho due grandi lezioni su questo argomento (tra l'altro, molto, MOLTO utili - consiglio di studiarle):

Metodo degli intervalli per le disuguaglianze (in particolare guarda il video);
Le disuguaglianze razionali frazionarie sono una lezione molto ampia, ma dopo non avrai più alcuna domanda.

Se sai tutto questo, se la frase “passiamo dalla disuguaglianza all'equazione” non ti fa venire il vago desiderio di sbatterti contro il muro, allora sei pronto: benvenuto all'inferno nell'argomento principale della lezione. :)

1. Disuguaglianze della forma “Il modulo è inferiore alla funzione”

Questo è uno dei problemi più comuni con i moduli. Occorre risolvere una disuguaglianza della forma:

\[\sinistra| f\giusto| \ltg\]

Le funzioni $f$ e $g$ possono essere qualsiasi cosa, ma solitamente sono polinomi. Esempi di tali disuguaglianze:

Tutti possono essere risolti letteralmente in una riga secondo il seguente schema:

\[\sinistra| f\giusto| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \giusto giusto)\]

È facile vedere che ci liberiamo del modulo, ma in cambio otteniamo una doppia disuguaglianza (o, che è la stessa cosa, un sistema di due disuguaglianze). Ma questa transizione tiene conto assolutamente di tutti i possibili problemi: se il numero sotto il modulo è positivo, il metodo funziona; se negativo funziona ancora; e anche con la funzione più inadeguata al posto di $f$ o $g$, il metodo funzionerà comunque.

Sorge spontanea la domanda: non potrebbe essere più semplice? Sfortunatamente, non è possibile. Questo è il punto centrale del modulo.

Ma basta filosofare. Risolviamo un paio di problemi:

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\sinistra| 2x+3 \destra| \ltx+7\]

Soluzione. Quindi, abbiamo davanti a noi la classica disuguaglianza della forma "il modulo è inferiore" - non c'è nemmeno nulla da trasformare. Lavoriamo secondo l'algoritmo:

\[\begin(align) & \left| f\giusto| \lt g\Freccia destra -g \lt f \lt g; \\ & \sinistra| 2x+3 \destra| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Non affrettarti ad aprire le parentesi precedute da un “meno”: è del tutto possibile che a causa della fretta commetterai un errore offensivo.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Il problema si riduceva a due disuguaglianze elementari. Notiamo le loro soluzioni sulle rette parallele:
Intersezione di molti
L'intersezione di questi insiemi sarà la risposta.

Risposta: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\sinistra| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Soluzione. Questo compito è un po' più difficile. Per prima cosa isoliamo il modulo spostando il secondo termine a destra:

\[\sinistra| ((x)^(2))+2x-3 \destra| \lt -3\sinistra(x+1 \destra)\]

Ovviamente, abbiamo ancora una volta una disuguaglianza della forma “il modulo è più piccolo”, quindi eliminiamo il modulo utilizzando l'algoritmo già noto:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Ora attenzione: qualcuno dirà che sono un po' pervertito con tutte queste parentesi. Ma lasciate che vi ricordi ancora una volta che il nostro obiettivo principale è Risolvi correttamente la disuguaglianza e ottieni la risposta. Successivamente, quando avrai padroneggiato perfettamente tutto ciò che è descritto in questa lezione, puoi pervertirlo tu stesso come desideri: aprire parentesi, aggiungere meno, ecc.

Per cominciare, elimineremo semplicemente il doppio meno a sinistra:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\sinistra(x+1 \destra)\]

Ora apriamo tutte le parentesi nella doppia disuguaglianza:

Passiamo alla doppia disuguaglianza. Questa volta i calcoli saranno più seri:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(allineare) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( allinea)\destra.\]

Entrambe le disuguaglianze sono quadratiche e possono essere risolte utilizzando il metodo degli intervalli (per questo dico: se non sai di cosa si tratta, è meglio non affrontare ancora i moduli). Passiamo all'equazione nella prima disuguaglianza:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\sinistra(x+5 \destra)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\fine(allinea)\]

Come puoi vedere, il risultato è un'equazione quadratica incompleta, che può essere risolta in modo elementare. Consideriamo ora la seconda disuguaglianza del sistema. Lì dovrai applicare il teorema di Vieta:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \sinistra(x-3 \destra)\sinistra(x+2 \destra)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\fine(allinea)\]

Contrassegniamo i numeri risultanti su due linee parallele (separate per la prima disuguaglianza e separate per la seconda):
Ancora una volta, poiché stiamo risolvendo un sistema di disequazioni, siamo interessati all'intersezione degli insiemi ombreggiati: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Questa è la risposta.
Risposta: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Penso che dopo questi esempi lo schema della soluzione sia estremamente chiaro:

Isolare il modulo spostando tutti gli altri termini sul lato opposto della disuguaglianza. Si ottiene così una disuguaglianza della forma $\left| f\giusto| \ltg$.
Risolvi questa disuguaglianza eliminando il modulo secondo lo schema sopra descritto. Ad un certo punto sarà necessario passare dalla doppia disuguaglianza a un sistema di due espressioni indipendenti, ciascuna delle quali può già essere risolta separatamente.
Infine, non resta che intersecare le soluzioni di queste due espressioni indipendenti - e basta, otterremo la risposta finale.

Un algoritmo simile esiste per le disuguaglianze del tipo seguente, quando il modulo è maggiore della funzione. Tuttavia, ci sono un paio di “ma” seri. Parleremo ora di questi “ma”.

2. Disuguaglianze della forma “Il modulo è maggiore della funzione”

Sembrano così:

\[\sinistra| f\giusto| \gtg\]

Simile al precedente? Sembra. Eppure tali problemi vengono risolti in un modo completamente diverso. Formalmente lo schema è il seguente:

\[\sinistra| f\giusto| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

In altre parole, consideriamo due casi:

Per prima cosa ignoriamo semplicemente il modulo e risolviamo la solita disuguaglianza;
Quindi, in sostanza, espandiamo il modulo con il segno meno, quindi moltiplichiamo entrambi i lati della disuguaglianza per −1, finché ho il segno.

In questo caso le opzioni vengono combinate con parentesi quadre, ad es. Abbiamo davanti a noi una combinazione di due esigenze.

Si prega di notare ancora una volta: questo non è un sistema, ma una totalità, quindi nella risposta gli insiemi sono combinati anziché intersecati. Questa è una differenza fondamentale rispetto al punto precedente!

In generale, molti studenti sono completamente confusi con le unioni e gli incroci, quindi risolviamo la questione una volta per tutte:

"∪" è un segno di unione. In realtà, questa è una lettera stilizzata "U", che ci è arrivata dalla lingua inglese ed è l'abbreviazione di "Unione", ad es. "Associazioni".
"∩" è il segno dell'intersezione. Questa schifezza non veniva da nessuna parte, ma appariva semplicemente come contrappunto a “∪”.

Per renderlo ancora più facile da ricordare, basta avvicinare le gambe a questi segni per realizzare degli occhiali (ma non accusarmi ora di promuovere la tossicodipendenza e l'alcolismo: se stai studiando seriamente questa lezione, allora sei già un tossicodipendente):

Differenza tra intersezione e unione di insiemi

Tradotto in russo, ciò significa quanto segue: l'unione (totalità) comprende elementi di entrambi gli insiemi, quindi non è in alcun modo inferiore a ciascuno di essi; ma l'intersezione (sistema) comprende solo quegli elementi che sono contemporaneamente sia nel primo che nel secondo insieme. Pertanto, l'intersezione degli insiemi non è mai maggiore degli insiemi di origine.

Quindi è diventato più chiaro? È grandioso. Passiamo alla pratica.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\sinistra| 3x+1 \destra| \gt 5-4x\]

Soluzione. Procediamo secondo lo schema:

\[\sinistra| 3x+1 \destra| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ Giusto.\]

Risolviamo ogni disuguaglianza nella popolazione:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Contrassegniamo ciascun insieme risultante sulla linea numerica e quindi li combiniamo:
Unione di insiemi
È abbastanza ovvio che la risposta sarà $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Risposta: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\sinistra| ((x)^(2))+2x-3 \destra| \gt x\]

Soluzione. BENE? Niente: tutto è uguale. Passiamo da una disuguaglianza con modulo ad un insieme di due disuguaglianze:

\[\sinistra| ((x)^(2))+2x-3 \destra| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(allineare) \right.\]

Risolviamo ogni disuguaglianza. Sfortunatamente, le radici non saranno molto buone:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\fine(allinea)\]

Anche la seconda disuguaglianza è un po’ strana:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\fine(allinea)\]

Ora devi segnare questi numeri su due assi: un asse per ogni disuguaglianza. Tuttavia, è necessario contrassegnare i punti nell'ordine corretto: maggiore è il numero, più il punto si sposta verso destra.

E qui ci aspetta un setup. Se è tutto chiaro con i numeri $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (i termini al numeratore del primo frazione sono minori dei termini al numeratore del secondo , quindi anche la somma è minore), con i numeri $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt Anche (21))(2)$ non ci saranno difficoltà (numero positivo ovviamente più negativo), quindi con l'ultima coppia non è tutto così chiaro. Qual è maggiore: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ o $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Il posizionamento dei punti sulle linee numeriche e, di fatto, la risposta dipenderà dalla risposta a questa domanda.

Quindi confrontiamo:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrice)\]

Abbiamo isolato la radice, ottenuto numeri non negativi su entrambi i lati della disuguaglianza, quindi abbiamo il diritto di elevare al quadrato entrambi i lati:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\quadrato(13)+13\vee 21 \\ 4\quadrato(13)\vee 3 \\\end(matrice)\]

Penso che sia un gioco da ragazzi che $4\sqrt(13) \gt 3$, quindi $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, i punti finali sugli assi verranno posizionati in questo modo:
Un caso di brutte radici
Permettimi di ricordarti che stiamo risolvendo un insieme, quindi la risposta sarà un'unione, non un'intersezione di insiemi ombreggiati.

Risposta: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Come puoi vedere, il nostro schema funziona alla grande sia per problemi semplici che per quelli molto difficili. L'unico “punto debole” di questo approccio è che è necessario confrontare correttamente i numeri irrazionali (e credetemi: queste non sono solo radici). Ma una lezione a parte (e molto seria) sarà dedicata ai temi del confronto. E andiamo avanti.

3. Disuguaglianze a “code” non negative

Ora arriviamo alla parte più interessante. Queste sono disuguaglianze della forma:

\[\sinistra| f\giusto| \gt\sinistra| g\giusto|\]

In generale, l'algoritmo di cui parleremo ora è corretto solo per il modulo. Funziona in tutte le disuguaglianze in cui sono garantite espressioni non negative a sinistra e a destra:

Cosa fare con questi compiti? Ricorda:

Nelle disuguaglianze con “code” non negative, entrambe le parti possono essere elevate a qualsiasi potenza naturale. Non ci saranno ulteriori restrizioni.

Prima di tutto, saremo interessati alla quadratura: brucia moduli e radici:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\fine(allinea)\]

Basta non confonderlo con l'estrazione della radice di un quadrato:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\sinistra| f \destra|\ne f\]

Sono stati commessi innumerevoli errori quando uno studente ha dimenticato di installare un modulo! Ma questa è una storia completamente diversa (queste sono, per così dire, equazioni irrazionali), quindi non ne parleremo ora. Risolviamo meglio un paio di problemi:

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\sinistra| x+2 \destra|\ge \sinistra| 1-2x \destra|\]

Soluzione. Notiamo subito due cose:

Questa non è una disuguaglianza rigorosa. I punti sulla linea numerica verranno perforati.

Entrambi i lati della disuguaglianza sono ovviamente non negativi (questa è una proprietà del modulo: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Pertanto, possiamo elevare al quadrato entrambi i lati della disuguaglianza per eliminare il modulo e risolvere il problema utilizzando il consueto metodo dell'intervallo:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\fine(allinea)\]

Nell'ultimo passaggio ho barato un po': ho cambiato la sequenza dei termini, sfruttando l'uniformità del modulo (ho infatti moltiplicato l'espressione $1-2x$ per −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ destra)\destra)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Risolviamo utilizzando il metodo degli intervalli. Passiamo dalla disuguaglianza all'equazione:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\fine(allinea)\]

Contrassegniamo le radici trovate sulla linea numerica. Ancora una volta: tutti i punti sono ombreggiati perché la disuguaglianza originaria non è stretta!
Eliminazione del segno del modulo
Permettimi di ricordartelo per i più testardi: prendiamo i segni dell'ultima disuguaglianza, che è stata scritta prima di passare all'equazione. E dipingiamo sulle aree richieste con la stessa disuguaglianza. Nel nostro caso è $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, è tutto finito adesso. Il problema è risolto.

Risposta: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\sinistra| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \destra|\]

Soluzione. Facciamo tutto allo stesso modo. Non commenterò: guarda solo la sequenza delle azioni.

Quadralo:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ destra))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Metodo dell'intervallo:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Freccia destra x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varniente . \\\fine(allinea)\]

C'è solo una radice sulla linea numerica:
La risposta è un intero intervallo
Risposta: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Una piccola nota sull'ultimo compito. Come ha osservato accuratamente uno dei miei studenti, entrambe le espressioni submodulari in questa disuguaglianza sono ovviamente positive, quindi il segno del modulo può essere omesso senza danni alla salute.

Ma questo è un livello di pensiero completamente diverso e un approccio diverso: può essere condizionatamente chiamato il metodo delle conseguenze. A riguardo - in una lezione separata. Passiamo ora alla parte finale della lezione di oggi e guardiamo un algoritmo universale che funziona sempre. Anche quando tutti gli approcci precedenti erano impotenti. :)

4. Metodo di enumerazione delle opzioni

E se tutte queste tecniche non aiutassero? Se la disuguaglianza non si riduce a code non negative, se è impossibile isolare il modulo, se in generale c’è dolore, tristezza, malinconia?

Poi entra in scena “l’artiglieria pesante” di tutta la matematica: il metodo della forza bruta. In relazione alle disuguaglianze con modulo appare così:

Scrivi tutte le espressioni submodulari e impostale uguali a zero;
Risolvi le equazioni risultanti e segna le radici trovate su una linea numerica;
La retta sarà divisa in più tratti, all'interno dei quali ogni modulo ha un segno fisso e quindi si rivela univocamente;
Risolvi la disuguaglianza su ciascuna di queste sezioni (puoi considerare separatamente i confini delle radici ottenuti nel passaggio 2 - per affidabilità). Combina i risultati: questa sarà la risposta. :)

Così come? Debole? Facilmente! Solo per molto tempo. Vediamo in pratica:

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\sinistra| x+2 \destra| \lt \sinistra| x-1 \destra|+x-\frac(3)(2)\]

Soluzione. Questa schifezza non si riduce a disuguaglianze come $\left| f\giusto| \ltg$, $\sinistra| f\giusto| \gt g$ o $\sinistra| f\giusto| \lt \sinistra| g \right|$, quindi agiamo in anticipo.

Scriviamo espressioni submodulari, le equiparamo a zero e troviamo le radici:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Freccia destra x=1. \\\fine(allinea)\]

In totale, abbiamo due radici che dividono la linea numerica in tre sezioni, all'interno delle quali ogni modulo si rivela in modo univoco:
Partizionamento della retta numerica per zeri di funzioni submodulari
Diamo un'occhiata a ciascuna sezione separatamente.

1. Sia $x \lt -2$. Allora entrambe le espressioni submodulari sono negative e la disuguaglianza originale verrà riscritta come segue:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(allineare)\]

Abbiamo una limitazione abbastanza semplice. Intersechiamolo con l'ipotesi iniziale che $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Ovviamente la variabile $x$ non può essere contemporaneamente minore di −2 e maggiore di 1,5. Non ci sono soluzioni in questo settore.

1.1. Consideriamo separatamente il caso limite: $x=-2$. Sostituiamo semplicemente questo numero nella disuguaglianza originale e controlliamo: è vero?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \sinistra| -3\destra|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varniente . \\\fine(allinea)\]

È ovvio che la catena di calcoli ci ha portato a una disuguaglianza errata. Pertanto, anche la disuguaglianza originale è falsa e $x=-2$ non è inclusa nella risposta.

2. Sia ora $-2 \lt x \lt 1$. Il modulo di sinistra si aprirà già con un "più", ma quello di destra si aprirà comunque con un "meno". Abbiamo:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\fine(allineare)\]

Ancora una volta ci intersechiamo con il requisito originale:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

E ancora, l’insieme delle soluzioni è vuoto, poiché non ci sono numeri che siano contemporaneamente minori di −2,5 e maggiori di −2.

2.1. E ancora un caso speciale: $x=1$. Sostituiamo nella disuguaglianza originaria:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \sinistra| 3\destra| \lt \sinistra| 0\destra|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varniente . \\\fine(allinea)\]

Similmente al “caso speciale” precedente, il numero $x=1$ chiaramente non è incluso nella risposta.

3. L'ultimo pezzo della riga: $x \gt 1$. Qui tutti i moduli vengono aperti con un segno più:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

E ancora intersechiamo il set trovato con il vincolo originale:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Finalmente! Abbiamo trovato un intervallo che sarà la risposta.

Risposta: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Infine, un'osservazione che potrebbe salvarti da errori stupidi quando risolvi problemi reali:

Le soluzioni alle disuguaglianze con i moduli di solito rappresentano insiemi continui sulla linea numerica: intervalli e segmenti. I punti isolati sono molto meno comuni. E ancora meno spesso accade che il confine della soluzione (la fine del segmento) coincida con il confine dell'intervallo considerato.

Di conseguenza, se i confini (gli stessi “casi speciali”) non sono inclusi nella risposta, allora le aree a sinistra e a destra di questi confini quasi certamente non saranno incluse nella risposta. E viceversa: il confine è entrato nella risposta, il che significa che anche alcune aree circostanti saranno risposte.

Tienilo a mente quando esamini le tue soluzioni.

Ma oggi le disuguaglianze razionali non possono risolvere tutto. Più precisamente, non solo tutti possono decidere. Poche persone possono farlo.
Klitschko

Questa lezione sarà dura. Così dura che solo i Prescelti arriveranno alla fine. Pertanto, prima di iniziare la lettura, consiglio di togliere dagli schermi donne, gatti, bambini incinte e....

Dai, in realtà è semplice. Diciamo che hai imparato il metodo degli intervalli (se non lo hai imparato, ti consiglio di tornare indietro e leggerlo) e hai imparato come risolvere le disuguaglianze della forma $P\left(x \right) \gt 0$, dove $ P\left(x \right)$ è un polinomio o un prodotto di polinomi.

Credo che non sarà difficile per te risolvere, ad esempio, qualcosa del genere (a proposito, provalo come riscaldamento):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Ora complichiamo un po’ il problema e consideriamo non solo i polinomi, ma le cosiddette frazioni razionali della forma:

dove $P\left(x \right)$ e $Q\left(x \right)$ sono gli stessi polinomi della forma $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, o il prodotto di tali polinomi.

Questa sarà una disuguaglianza razionale. Il punto fondamentale è la presenza della variabile $x$ al denominatore. Ad esempio, queste sono disuguaglianze razionali:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(align)\]

E questa non è una disuguaglianza razionale, ma la disuguaglianza più comune, che può essere risolta con il metodo dell'intervallo:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Guardando al futuro, dirò subito: ci sono almeno due modi per risolvere le disuguaglianze razionali, ma tutti, in un modo o nell'altro, si riducono al metodo degli intervalli a noi già noto. Pertanto, prima di analizzare questi metodi, ricordiamo i vecchi fatti, altrimenti il nuovo materiale non avrà senso.

Quello che devi già sapere

I fatti importanti non sono mai troppi. Ce ne servono davvero solo quattro.

Formule di moltiplicazione abbreviate

Sì, sì: ci perseguiteranno durante tutto il curriculum scolastico di matematica. E anche all'università. Esistono molte di queste formule, ma abbiamo solo bisogno delle seguenti:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2)) \destra); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\destra). \\ \end(allinea)\]

Presta attenzione alle ultime due formule: queste sono la somma e la differenza dei cubi (e non il cubo della somma o della differenza!). Sono facili da ricordare se noti che il segno nella prima parentesi coincide con il segno nell'espressione originale, e nella seconda è opposto al segno nell'espressione originale.

Equazioni lineari

Queste sono le equazioni più semplici della forma $ax+b=0$, dove $a$ e $b$ sono numeri ordinari, e $a\ne 0$. Questa equazione può essere risolta semplicemente:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\&ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(allinea)\]

Faccio notare che abbiamo il diritto di dividere per il coefficiente $a$, perché $a\ne 0$. Questo requisito è abbastanza logico, poiché per $a=0$ otteniamo questo:

Innanzitutto, non esiste alcuna variabile $x$ in questa equazione. Questo, in generale, non dovrebbe confonderci (questo accade, ad esempio, in geometria, e abbastanza spesso), ma tuttavia questa non è più un'equazione lineare.

In secondo luogo, la soluzione di questa equazione dipende esclusivamente dal coefficiente $b$. Se anche $b$ è zero, la nostra equazione avrà la forma $0=0$. Questa uguaglianza è sempre vera; questo significa che $x$ è un numero qualsiasi (di solito scritto in questo modo: $x\in \mathbb(R)$). Se il coefficiente $b$ non è uguale a zero, allora l'uguaglianza $b=0$ non è mai soddisfatta, cioè non ci sono risposte (scrivi $x\in \varnothing $ e leggi “l'insieme delle soluzioni è vuoto”).

Per evitare tutte queste difficoltà, assumiamo semplicemente $a\ne 0$, il che non ci limita affatto a riflettere ulteriormente.

Equazioni quadratiche

Lascia che ti ricordi che questo è ciò che viene chiamata un'equazione quadratica:

Qui a sinistra c'è un polinomio di secondo grado, e ancora $a\ne 0$ (altrimenti, invece di un'equazione quadratica, ne otterremo una lineare). Le seguenti equazioni si risolvono attraverso il discriminante:

Se $D \gt 0$, otteniamo due radici diverse;
Se $D=0$, la radice sarà la stessa, ma della seconda molteplicità (che tipo di molteplicità è questa e come tenerne conto - ne parleremo più avanti). Oppure possiamo dire che l'equazione ha due radici identiche;
Per $D \lt 0$ non ci sono radici e il segno del polinomio $a((x)^(2))+bx+c$ per ogni $x$ coincide con il segno del coefficiente $a $. Questo, tra l'altro, è un fatto molto utile, di cui per qualche motivo dimenticano di parlare nelle lezioni di algebra.

Le radici stesse vengono calcolate utilizzando la formula ben nota:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Da qui, tra l'altro, le restrizioni sulla discriminante. Dopotutto, la radice quadrata di un numero negativo non esiste. Molti studenti hanno un terribile pasticcio in testa riguardo alle radici, quindi ho scritto appositamente un'intera lezione: cos'è una radice in algebra e come calcolarla - consiglio vivamente di leggerla. :)

Operazioni con frazioni razionali

Sai già tutto quello che è stato scritto sopra se hai studiato il metodo degli intervalli. Ma ciò che analizzeremo ora non ha analoghi nel passato: questo è un fatto completamente nuovo.

Definizione. Una frazione razionale è un'espressione della forma

\[\frac(P\sinistra(x \destra))(Q\sinistra(x \destra))\]

dove $P\left(x \right)$ e $Q\left(x \right)$ sono polinomi.

Ovviamente, è facile ottenere una disuguaglianza da una frazione del genere: devi solo aggiungere il segno “maggiore di” o “minore di” a destra. E poco oltre scopriremo che risolvere questi problemi è un piacere, tutto è molto semplice.

I problemi iniziano quando in un'espressione sono presenti diverse frazioni di questo tipo. Devono essere portati a un denominatore comune – ed è in questo momento che vengono commessi un gran numero di errori offensivi.

Pertanto, per risolvere con successo equazioni razionali, è necessario acquisire saldamente due abilità:

Fattorizzazione del polinomio $P\left(x \right)$;
In realtà, portare le frazioni a un denominatore comune.

Come fattorizzare un polinomio? Molto semplice. Consideriamo un polinomio della forma

Lo equiparamo a zero. Otteniamo un'equazione di $n$esimo grado:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Diciamo che abbiamo risolto questa equazione e ottenuto le radici $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (non allarmatevi: nella maggior parte dei casi ci saranno non più di due di queste radici). In questo caso, il nostro polinomio originale può essere riscritto come segue:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(allineare)\]

È tutto! Nota: il coefficiente iniziale $((a)_(n))$ non è scomparso da nessuna parte: sarà un moltiplicatore separato davanti alle parentesi e, se necessario, può essere inserito in una qualsiasi di queste parentesi (la pratica mostra che con $((a)_ (n))\ne \pm 1$ ci sono quasi sempre frazioni tra le radici).

Compito. Semplifica l'espressione:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Soluzione. Innanzitutto, diamo un'occhiata ai denominatori: sono tutti binomi lineari e non c'è nulla da fattorizzare qui. Quindi fattorizziamo i numeratori:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3 \destra)\sinistra(x-1 \destra); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\sinistra(x+2 \destra)\sinistra(x-\frac(2)(5) \destra)=\sinistra(x +2 \destra)\sinistra(2-5x \destra). \\\fine(allinea)\]

Nota: nel secondo polinomio, il coefficiente principale “2”, in piena conformità con il nostro schema, è apparso prima davanti alla parentesi, e poi è stato incluso nella prima parentesi, poiché lì appariva la frazione.

La stessa cosa è successa nel terzo polinomio, solo che anche lì l'ordine dei termini è invertito. Tuttavia, il coefficiente “−5” è finito per essere incluso nella seconda parentesi (ricorda: puoi inserire il fattore in una e una sola parentesi!), il che ci ha risparmiato dall’inconveniente associato alle radici frazionarie.

Per quanto riguarda il primo polinomio, tutto è semplice: le sue radici si cercano o standardmente tramite il discriminante oppure utilizzando il teorema di Vieta.

Torniamo all'espressione originale e riscriviamola con i numeratori fattorizzati:

\[\begin(matrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matrice)\]

Risposta: $5x+4$.

Come puoi vedere, niente di complicato. Un po’ di matematica di seconda media e basta. Lo scopo di tutte le trasformazioni è ottenere qualcosa di semplice e facile con cui lavorare da un'espressione complessa e spaventosa.

Tuttavia, questo non sarà sempre il caso. Quindi ora esamineremo un problema più serio.

Ma prima, vediamo come portare due frazioni a un denominatore comune. L'algoritmo è estremamente semplice:

Fattorizzare entrambi i denominatori;
Considera il primo denominatore e aggiungi ad esso i fattori presenti nel secondo denominatore, ma non nel primo. Il prodotto risultante sarà il denominatore comune;
Scopri quali fattori mancano a ciascuna delle frazioni originali in modo che i denominatori diventino uguali al comune.

Questo algoritmo potrebbe sembrarti semplicemente un testo con “molte lettere”. Pertanto, diamo un’occhiata a tutto utilizzando un esempio specifico.

Compito. Semplifica l'espressione:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \destra)\]

Soluzione. È meglio risolvere problemi su larga scala in parti. Scriviamo cosa c'è nella prima parentesi:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

A differenza del problema precedente, qui i denominatori non sono così semplici. Consideriamo ciascuno di essi.

Il trinomio quadrato $((x)^(2))+2x+4$ non può essere fattorizzato, poiché l'equazione $((x)^(2))+2x+4=0$ non ha radici (il discriminante è negativo ). Lo lasciamo invariato.

Il secondo denominatore - il polinomio cubico $((x)^(3))-8$ - dopo un attento esame è la differenza dei cubi e può essere facilmente espanso utilizzando le formule di moltiplicazione abbreviate:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \destra)\]

Nient'altro può essere fattorizzato, poiché nella prima parentesi c'è un binomio lineare, e nella seconda c'è una costruzione che ci è già familiare, che non ha radici reali.

Infine, il terzo denominatore è un binomio lineare che non può essere espanso. Pertanto la nostra equazione assumerà la forma:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)\]

È abbastanza ovvio che il denominatore comune sarà proprio $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$, e riducendo ad esso tutte le frazioni esso è necessario moltiplicare la prima frazione per $\left(x-2 \right)$, e l'ultima - per $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Quindi non resta che darne di simili:

\[\begin(matrix) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ destra))+\frac(((x)^(2))+8)(\sinistra(x-2 \destra)\sinistra(((x)^(2))+2x+4 \destra))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x )^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ sinistra(((x)^(2))+2x+4 \destra)). \\ \end(matrice)\]

Presta attenzione alla seconda riga: quando il denominatore è già comune, cioè Invece di tre frazioni separate, ne abbiamo scritta una grande; non dovresti eliminare subito le parentesi. È meglio scrivere una riga in più e notare che, diciamo, c'era un meno prima della terza frazione - e non andrà da nessuna parte, ma "si bloccherà" nel numeratore davanti alla parentesi. Questo ti salverà da molti errori.

Bene, nell’ultima riga è utile fattorizzare il numeratore. Inoltre, questo è un quadrato esatto e le formule di moltiplicazione abbreviate vengono nuovamente in nostro aiuto. Abbiamo:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Ora affrontiamo la seconda parentesi esattamente allo stesso modo. Qui scriverò semplicemente una catena di uguaglianze:

\[\begin(matrice) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(matrice)\]

Torniamo al problema originale e guardiamo il prodotto:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \destra)\sinistra(x+2 \destra))=\frac(1)(x+2)\]

Risposta: \[\frac(1)(x+2)\].

Il significato di questo compito è lo stesso del precedente: mostrare come le espressioni razionali possono essere semplificate se si affronta saggiamente la loro trasformazione.

E ora che sai tutto questo, passiamo all'argomento principale della lezione di oggi: risolvere le disuguaglianze razionali frazionarie. Inoltre, dopo tale preparazione risolverai le disuguaglianze stesse come matti. :)

Il modo principale per risolvere le disuguaglianze razionali

Esistono almeno due approcci per risolvere le disuguaglianze razionali. Ora ne considereremo uno, quello generalmente accettato nel corso di matematica scolastica.

Ma prima notiamo un dettaglio importante. Tutte le disuguaglianze sono divise in due tipi:

Rigoroso: $f\left(x \right) \gt 0$ oppure $f\left(x \right) \lt 0$;
Lax: $f\left(x \right)\ge 0$ oppure $f\left(x \right)\le 0$.

Le disuguaglianze del secondo tipo possono essere facilmente ridotte alla prima, così come l’equazione:

Questa piccola "addizione" $f\left(x \right)=0$ porta a qualcosa di spiacevole come i punti pieni - li abbiamo conosciuti nel metodo degli intervalli. Altrimenti, non ci sono differenze tra disuguaglianze strette e non strette, quindi diamo un'occhiata all'algoritmo universale:

Raccogli tutti gli elementi diversi da zero su un lato del segno di disuguaglianza. Ad esempio, a sinistra;

Riduci tutte le frazioni a un denominatore comune (se ce ne sono molte di tali frazioni), portane di simili. Quindi, se possibile, fattorizza il numeratore e il denominatore. In un modo o nell'altro, otterremo una disuguaglianza della forma $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, dove il “tick” è il segno di disuguaglianza .

Uguagliamo il numeratore a zero: $P\left(x \right)=0$. Risolviamo questa equazione e otteniamo le radici $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Quindi richiediamo che il denominatore non era uguale a zero: $Q\left(x \right)\ne 0$. Naturalmente, in sostanza dobbiamo risolvere l'equazione $Q\left(x \right)=0$, e otteniamo le radici $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*)$ , $x_(3 )^(*)$, ... (nei problemi reali difficilmente ci saranno più di tre radici di questo tipo).

Contrassegniamo tutte queste radici (sia con che senza asterischi) su un'unica linea numerica, e le radici senza stelle vengono dipinte sopra e quelle con stelle vengono perforate.

Inseriamo i segni “più” e “meno”, selezioniamo gli intervalli di cui abbiamo bisogno. Se la disuguaglianza ha la forma $f\left(x \right) \gt 0$, allora la risposta saranno gli intervalli contrassegnati con un “più”. Se $f\left(x \right) \lt 0$, allora consideriamo gli intervalli con i “meno”.

La pratica dimostra che le maggiori difficoltà sono causate dai punti 2 e 4: trasformazioni competenti e corretta disposizione dei numeri in ordine crescente. Bene, nell'ultimo passaggio, fai molta attenzione: posizioniamo sempre i segni in base a l'ultima disuguaglianza scritta prima di passare alle equazioni. Questa è una regola universale, ereditata dal metodo degli intervalli.

Quindi, c'è uno schema. Facciamo un pò di pratica.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Soluzione. Abbiamo una disuguaglianza rigorosa della forma $f\left(x \right) \lt 0$. Ovviamente i punti 1 e 2 del nostro schema sono già stati soddisfatti: tutti gli elementi di disuguaglianza sono raccolti a sinistra, non c'è bisogno di ricondurre nulla ad un denominatore comune. Andiamo dunque direttamente al terzo punto.

Uguagliamo il numeratore a zero:

\[\begin(allinea) & x-3=0; \\ &x=3. \end(allinea)\]

E il denominatore:

\[\begin(align) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(allinea)\]

È qui che molti si bloccano, perché in teoria bisogna scrivere $x+7\ne 0$, come richiesto dall'ODZ (non si può dividere per zero, tutto qui). Ma in futuro elimineremo i punti che provengono dal denominatore, quindi non c'è bisogno di complicare di nuovo i calcoli: scrivi il segno uguale ovunque e non preoccuparti. Nessuno detrarrà punti per questo. :)

Quarto punto. Contrassegniamo le radici risultanti sulla linea numerica:
Tutti i punti sono chiari, poiché la disuguaglianza è rigorosa
Nota: tutti i punti sono individuati, poiché la disuguaglianza originaria è stretta. E qui non importa se questi punti provenissero dal numeratore o dal denominatore.

Bene, diamo un'occhiata ai segnali. Prendiamo un numero qualsiasi $((x)_(0)) \gt 3$. Ad esempio, $((x)_(0))=100$ (ma con lo stesso successo si potrebbe prendere $((x)_(0))=3.1$ o $((x)_(0)) = 1\000\000$). Noi abbiamo:

Quindi, a destra di tutte le radici abbiamo una regione positiva. E quando passa attraverso ciascuna radice, il segno cambia (non sarà sempre così, ma ne parleremo più avanti). Passiamo quindi al quinto punto: disponiamo i cartelli e selezioniamo quello che ci occorre:

Torniamo all'ultima disuguaglianza che c'era prima della risoluzione delle equazioni. In realtà coincide con quello originale, perché in questo compito non abbiamo effettuato alcuna trasformazione.

Poiché dobbiamo risolvere una disuguaglianza della forma $f\left(x \right) \lt 0$, ho ombreggiato l'intervallo $x\in \left(-7;3 \right)$ - è l'unico contrassegnato con un segno meno. Questa è la risposta.

Risposta: $x\in \left(-7;3 \right)$

È tutto! È difficile? No, non è difficile. È vero, il compito era facile. Ora complichiamo un po’ la missione e consideriamo una disuguaglianza più “sofisticata”. Quando lo risolverò, non fornirò più calcoli così dettagliati: delineerò semplicemente i punti chiave. In generale, lo formatteremo nello stesso modo in cui lo formatteremmo durante un lavoro indipendente o un esame. :)

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Soluzione. Questa è una disuguaglianza non stretta della forma $f\left(x \right)\ge 0$. Tutti gli elementi diversi da zero sono raccolti a sinistra, non ci sono denominatori diversi. Passiamo alle equazioni.

Numeratore:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Frecciadestra ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(allinea)\]

Denominatore:

\[\begin(allinea) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(allinea)\]

Non so che tipo di pervertito abbia creato questo problema, ma le radici non sono venute molto bene: sarebbe difficile collocarle sulla linea dei numeri. E se con la radice $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ tutto è più o meno chiaro (questo è l'unico numero positivo - sarà a destra), allora $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ e $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ richiedono ulteriori ricerche: quale è più grande?

Puoi scoprirlo, ad esempio, in questo modo:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

Spero non ci sia bisogno di spiegare perché la frazione numerica $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Se necessario, consiglio di ricordare come eseguire operazioni con le frazioni.

E segniamo tutte e tre le radici sulla linea numerica:
I punti del numeratore sono riempiti, i punti del denominatore sono punteggiati
Stiamo affiggendo i cartelli. Ad esempio, puoi prendere $((x)_(0))=1$ e trovare il segno a questo punto:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

L'ultima disuguaglianza prima delle equazioni era $f\left(x \right)\ge 0$, quindi a noi interessa il segno più.

Abbiamo due insiemi: uno è un segmento ordinario e l'altro è un raggio aperto sulla linea numerica.

Risposta: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Una nota importante sui numeri che sostituiamo per trovare il segno dell'intervallo più a destra. Non è assolutamente necessario sostituire il numero più vicino alla radice più a destra. Puoi prendere miliardi o anche "più-infinito" - in questo caso, il segno del polinomio tra parentesi, numeratore o denominatore, è determinato esclusivamente dal segno del coefficiente principale.

Consideriamo ancora la funzione $f\left(x \right)$ dell'ultima disuguaglianza:

La sua notazione contiene tre polinomi:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\sinistra(x \destra)=11x+2; \\ & Q\sinistra(x \destra)=13x-4. \end(allinea)\]

Sono tutti binomi lineari e tutti i loro coefficienti principali (numeri 7, 11 e 13) sono positivi. Pertanto, quando si sostituiscono numeri molto grandi, anche i polinomi stessi saranno positivi. :)

Questa regola può sembrare eccessivamente complicata, ma solo all'inizio, quando analizziamo problemi molto semplici. Nelle disuguaglianze gravi, la sostituzione di “più-infinito” ci consentirà di individuare i segni molto più velocemente rispetto allo standard $((x)_(0))=100$.

Ci troveremo di fronte a tali sfide molto presto. Ma prima, esaminiamo un modo alternativo per risolvere le disuguaglianze razionali frazionarie.

Modo alternativo

Questa tecnica mi è stata suggerita da uno dei miei studenti. Io stesso non l'ho mai usato, ma la pratica ha dimostrato che molti studenti trovano davvero più conveniente risolvere le disuguaglianze in questo modo.

Quindi i dati iniziali sono gli stessi. Dobbiamo risolvere la disuguaglianza razionale frazionaria:

\[\frac(P\sinistra(x \destra))(Q\sinistra(x \destra)) \gt 0\]

Pensiamo: perché il polinomio $Q\left(x \right)$ è “peggiore” del polinomio $P\left(x \right)$? Perché dobbiamo considerare gruppi separati di radici (con e senza asterisco), pensare ai punti perforati, ecc.? È semplice: una frazione ha un dominio di definizione, secondo il quale la frazione ha senso solo quando il suo denominatore è diverso da zero.

Altrimenti non ci sono differenze tra numeratore e denominatore: lo uguagliamo anche a zero, cerchiamo le radici, quindi le segniamo sulla linea dei numeri. Allora perché non sostituire la linea frazionaria (in effetti, il segno di divisione) con la moltiplicazione ordinaria e annotare tutti i requisiti dell'ODZ sotto forma di una disuguaglianza separata? Ad esempio, in questo modo:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Nota: questo approccio ridurrà il problema al metodo dell'intervallo, ma non complicherà affatto la soluzione. Dopotutto, uguaglieremo comunque il polinomio $Q\left(x \right)$ a zero.

Vediamo come funziona su problemi reali.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Soluzione. Passiamo quindi al metodo dell'intervallo:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

La prima disuguaglianza può essere risolta in modo elementare. Semplicemente equiparamo ciascuna parentesi a zero:

\[\begin(align) & x+8=0\Freccia destra ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Freccia destra ((x)_(2))=11. \\ \end(allinea)\]

Anche la seconda disuguaglianza è semplice:

Segna i punti $((x)_(1))$ e $((x)_(2))$ sulla linea numerica. Vengono tutti eliminati, poiché la disuguaglianza è rigorosa:
Il punto giusto è stato cavato due volte. Questo va bene.
Presta attenzione al punto $x=11$. Si scopre che è “doppiamente forato”: da un lato lo pungiamo a causa della gravità della disuguaglianza, dall’altro a causa del requisito aggiuntivo del DL.

In ogni caso sarà solo un punto forato. Pertanto, disponiamo i segni della disuguaglianza $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - l'ultimo che abbiamo visto prima di iniziare a risolvere le equazioni:

Siamo interessati alle regioni positive, poiché stiamo risolvendo una disuguaglianza della forma $f\left(x \right) \gt 0$ - le ombreggiamo. Non resta che scrivere la risposta.

Risposta. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Usando questa soluzione come esempio, vorrei metterti in guardia contro un errore comune tra gli studenti principianti. Cioè: mai aprire parentesi nelle disuguaglianze! Al contrario, prova a fattorizzare tutto: questo semplificherà la soluzione e ti salverà da molti problemi.

Ora proviamo qualcosa di più complicato.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Soluzione. Questa è una disuguaglianza non stretta della forma $f\left(x \right)\le 0$, quindi qui devi prestare molta attenzione ai punti ombreggiati.

Passiamo al metodo degli intervalli:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Andiamo all'equazione:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Frecciadestra ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Freccia destra ((x)_(3))=-2.2. \\ \end(allinea)\]

Prendiamo in considerazione il requisito aggiuntivo:

Contrassegniamo tutte le radici risultanti sulla linea numerica:
Se un punto è sia punteggiato che compilato, è considerato punteggiato
Ancora una volta, due punti "si sovrappongono" l'uno all'altro: questo è normale, sarà sempre così. È importante solo capire che un punto contrassegnato sia come forato che come verniciato è in realtà un punto forato. Quelli. “pungere” è un’azione più forte di “dipingere”.

Questo è assolutamente logico, perché pizzicando segniamo i punti che influenzano il segno della funzione, ma non partecipano essi stessi alla risposta. E se a un certo punto il numero non ci soddisfa più (ad esempio, non rientra nell'ODZ), lo eliminiamo dalla considerazione fino alla fine dell'attività.

In generale, smettila di filosofare. Mettiamo segni e dipingiamo su quegli intervalli contrassegnati con un segno meno:

Risposta. $x\in \left(-\infty ;-2.2 \right)\bigcup \left[ 0.75;6.5 \right]$.

E ancora una volta volevo attirare la vostra attenzione su questa equazione:

\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

Ancora una volta: non aprire mai le parentesi in tali equazioni! Renderai solo le cose più difficili per te stesso. Ricorda: il prodotto è uguale a zero quando almeno uno dei fattori è uguale a zero. Di conseguenza, questa equazione semplicemente “si divide” in diverse equazioni più piccole, che abbiamo risolto nel problema precedente.

Tenendo conto della molteplicità delle radici

Dai problemi precedenti è facile vedere che sono le disuguaglianze non strette le più difficili, perché in esse bisogna tenere traccia dei punti ombreggiati.

Ma nel mondo esiste un male ancora più grande: le molteplici radici delle disuguaglianze. Qui non è più necessario tenere traccia di alcuni punti ombreggiati: qui il segno di disuguaglianza potrebbe non cambiare improvvisamente quando passa attraverso questi stessi punti.

Non abbiamo ancora considerato nulla di simile in questa lezione (sebbene un problema simile sia stato spesso riscontrato nel metodo dell'intervallo). Pertanto introduciamo una nuova definizione:

Definizione. La radice dell'equazione $((\left(x-a \right))^(n))=0$ è uguale a $x=a$ ed è chiamata radice della $n$esima molteplicità.

In realtà non siamo particolarmente interessati al valore esatto della molteplicità. L'unica cosa che conta è se lo stesso numero $n$ è pari o dispari. Perché:

Se $x=a$ è una radice di molteplicità pari, allora il segno della funzione non cambia quando la attraversa;
E viceversa, se $x=a$ è una radice di molteplicità dispari, allora il segno della funzione cambierà.

Tutti i problemi precedenti discussi in questa lezione sono un caso speciale di radice di molteplicità dispari: ovunque la molteplicità è uguale a uno.

E inoltre. Prima di iniziare a risolvere i problemi, vorrei attirare la vostra attenzione su una sottigliezza che sembra ovvia a uno studente esperto, ma porta allo stupore molti principianti. Vale a dire:

La radice della molteplicità $n$ si presenta solo nel caso in cui l'intera espressione sia elevata a questa potenza: $((\left(x-a \right))^(n))$, e non $\left((((x) ^( n))-a \right)$.

Ancora una volta: la parentesi $((\left(x-a \right))^(n))$ ci dà la radice $x=a$ della molteplicità $n$, ma la parentesi $\left(((x)^( n)) -a \right)$ o, come spesso accade, $(a-((x)^(n)))$ ci dà una radice (o due radici, se $n$ è pari) della prima molteplicità , indipendentemente da ciò che equivale a $n$.

Confrontare:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Frecciadestra x=3\left(5k \right)\]

Qui è tutto chiaro: l'intera parentesi è stata elevata alla quinta potenza, quindi il risultato che abbiamo ottenuto era la radice della quinta potenza. E adesso:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

Abbiamo due radici, ma entrambe hanno la prima molteplicità. Oppure eccone un altro:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

E non farti disturbare dal decimo grado. La cosa principale è che 10 è un numero pari, quindi in uscita abbiamo due radici ed entrambe hanno di nuovo il primo multiplo.

In generale, attenzione: la molteplicità si verifica solo quando il grado si riferisce all'intera parentesi, non solo alla variabile.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7 \right))^(5)))\ge 0\]

Soluzione. Proviamo a risolverlo in modo alternativo - attraverso il passaggio dal quoziente al prodotto:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\Giusto.\]

Affrontiamo la prima disuguaglianza utilizzando il metodo dell'intervallo:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \destra))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Frecciadestra x=0\sinistra(2k \destra); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Freccia destra x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \end(allinea)\]

Inoltre, risolviamo la seconda disuguaglianza. In effetti, l'abbiamo già risolto, ma affinché i revisori non trovino difetti nella soluzione, è meglio risolverlo di nuovo:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Freccia destra x\ne -7\]

Nota: non ci sono molteplicità nell'ultima disuguaglianza. Infatti: che differenza fa quante volte si cancella il punto $x=-7$ sulla linea numerica? Almeno una, almeno cinque volte, il risultato sarà lo stesso: un punto forato.

Contrassegniamo tutto ciò che abbiamo sulla linea dei numeri:

Come ho detto, il punto $x=-7$ prima o poi verrà forato. Le molteplicità sono organizzate in base alla risoluzione della disuguaglianza utilizzando il metodo dell'intervallo.

Non resta che posizionare i cartelli:

Poiché il punto $x=0$ è una radice di molteplicità pari, il segno non cambia quando lo attraversa. I punti rimanenti hanno una strana molteplicità e con essi tutto è semplice.

Risposta. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Ancora una volta, presta attenzione a $x=0$. A causa della molteplicità uniforme, si verifica un effetto interessante: tutto a sinistra viene dipinto, anche tutto a destra viene dipinto e il punto stesso è completamente dipinto.

Di conseguenza, non è necessario isolarlo durante la registrazione della risposta. Quelli. non è necessario scrivere qualcosa come $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (anche se formalmente anche una risposta del genere sarebbe corretta). Scriviamo invece immediatamente $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Tali effetti sono possibili solo con radici pari a molteplicità. E nel prossimo problema incontreremo la “manifestazione” inversa di questo effetto. Pronto?

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Soluzione. Questa volta seguiremo lo schema standard. Uguagliamo il numeratore a zero:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Freccia destra ((x)_(2))=4. \\ \end(allinea)\]

E il denominatore:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Freccia destra x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(allinea)\]

Poiché stiamo risolvendo una disuguaglianza non stretta della forma $f\left(x \right)\ge 0$, le radici del denominatore (che hanno asterischi) verranno eliminate e quelle del numeratore verranno ombreggiate.

Posizioniamo cartelli e ombreggiamo le aree contrassegnate con un “più”:
Il punto $x=3$ è isolato. Questa è parte della risposta
Prima di scrivere la risposta definitiva, diamo un'occhiata più da vicino all'immagine:

Il punto $x=1$ ha molteplicità pari, ma è esso stesso perforato. Di conseguenza bisognerà isolarlo nella risposta: occorre scrivere $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, e non $x\in \left(-\ infty ;2 \right)$.

Anche il punto $x=3$ ha molteplicità pari ed è ombreggiato. La disposizione dei segnali indica che il punto in sé è adatto a noi, ma un passo a sinistra oa destra - e ci troviamo in un'area che sicuramente non ci si addice. Tali punti si dicono isolati e si scrivono nella forma $x\in \left$ 3 \right$$.

Combiniamo tutti i pezzi ricevuti in un set comune e annotiamo la risposta.

Risposta: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left$ 3 \right$\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Definizione. Risolvere la disuguaglianza significa trovare l'insieme di tutte le sue soluzioni, o dimostrare che questo insieme è vuoto.

Sembrerebbe: cosa potrebbe esserci di incomprensibile qui? Sì, il nocciolo della questione è che gli insiemi possono essere definiti in diversi modi. Scriviamo di nuovo la risposta all'ultimo problema:

Leggiamo letteralmente ciò che è scritto. La variabile “x” appartiene ad un certo insieme, che si ottiene combinando (il segno “U”) quattro insiemi separati:

Intervallo $\left(-\infty ;1 \right)$, che letteralmente significa “tutti i numeri inferiori a uno, ma non l'unità stessa”;
Intervallo $\left(1;2 \right)$, ovvero “tutti i numeri nell'intervallo da 1 a 2, ma non i numeri 1 e 2 stessi”;
L'insieme $\left$ 3 \right$$, costituito da un singolo numero - tre;
L'intervallo $\left[ 4;5 \right)$ contenente tutti i numeri nell'intervallo da 4 a 5, nonché il quattro stesso, ma non il cinque.

Qui interessa il terzo punto. A differenza degli intervalli, che definiscono insiemi infiniti di numeri e indicano solo i confini di questi insiemi, l'insieme $\left$ 3 \right$$ specifica rigorosamente un numero per enumerazione.

Per capire che stiamo elencando numeri specifici inclusi nell'insieme (e non impostando limiti o altro), vengono utilizzate le parentesi graffe. Ad esempio, la notazione $\left$ 1;2 \right$$ significa esattamente "un insieme composto da due numeri: 1 e 2", ma non un segmento da 1 a 2. Non confondere questi concetti in nessun caso .

Regola per sommare multipli

Bene, alla fine della lezione di oggi, un piccolo barattolo di Pavel Berdov. :)

Gli studenti attenti probabilmente si sono già chiesti: cosa succederebbe se il numeratore e il denominatore avessero le stesse radici? Quindi vale la seguente regola:

Si sommano le molteplicità delle radici identiche. Sempre. Anche se questa radice si trova sia al numeratore che al denominatore.

A volte è meglio decidere che parlare. Pertanto, risolviamo il seguente problema:

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \destra))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(allinea)\]

Niente di speciale ancora. Uguagliamo il denominatore a zero:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Freccia destra x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Freccia destra x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(allinea)\]

Sono state scoperte due radici identiche: $((x)_(1))=-2$ e $x_(4)^(*)=-2$. Entrambi hanno la prima molteplicità. Pertanto, li sostituiamo con una radice $x_(4)^(*)=-2$, ma con una molteplicità di 1+1=2.

Inoltre, ci sono anche radici identiche: $((x)_(2))=-4$ e $x_(2)^(*)=-4$. Sono anche della prima molteplicità, quindi rimarranno solo $x_(2)^(*)=-4$ di molteplicità 1+1=2.

Nota: in entrambi i casi abbiamo lasciato esattamente la radice “bucata”, escludendo dalla considerazione quella “dipinta”. Perché all'inizio della lezione eravamo d'accordo: se un punto è sia forato che ridipinto, lo consideriamo comunque forato.

Di conseguenza, abbiamo quattro radici e tutte sono state tagliate:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\sinistra(2k \destra); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\sinistra(2k \destra). \\ \end(allinea)\]

Li segniamo sulla linea numerica, tenendo conto della molteplicità:

Posizioniamo cartelli e dipingiamo sulle aree di nostro interesse:

Tutto. Nessun punto isolato o altre perversioni. Puoi scrivere la risposta.

Risposta. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

Regola per moltiplicare i multipli

A volte si verifica una situazione ancora più spiacevole: un'equazione che ha più radici viene essa stessa elevata a una certa potenza. In questo caso, le molteplicità di tutte le radici originali cambiano.

Questo è raro, quindi la maggior parte degli studenti non ha esperienza nella risoluzione di tali problemi. E la regola qui è:

Quando un'equazione viene elevata alla potenza $n$, anche le molteplicità di tutte le sue radici aumentano di $n$ volte.

In altre parole, elevare a una potenza porta a moltiplicare i multipli per la stessa potenza. Diamo un'occhiata a questa regola usando un esempio:

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

Soluzione. Uguagliamo il numeratore a zero:

Il prodotto è zero quando almeno uno dei fattori è zero. Tutto è chiaro con il primo fattore: $x=0$. Ma poi iniziano i problemi:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\sinistra(2k \destra); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \& ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(align)\]

Come vediamo, l'equazione $((x)^(2))-6x+9=0$ ha un'unica radice della seconda molteplicità: $x=3$. L'intera equazione viene quindi elevata al quadrato. Pertanto, la molteplicità della radice sarà $2\cdot 2=4$, che è ciò che alla fine abbiamo scritto.

\[((\sinistra(x-4 \destra))^(5))=0\Frecciadestra x=4\sinistra(5k \destra)\]

Non ci sono problemi nemmeno con il denominatore:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \end(allinea)\]

In totale abbiamo ottenuto cinque punti: due forati e tre dipinti. Non ci sono radici coincidenti nel numeratore e nel denominatore, quindi le segniamo semplicemente sulla linea numerica:

Sistemiamo i segni tenendo conto delle molteplicità e dipingiamo sugli intervalli che ci interessano:
Ancora un punto isolato e uno forato
A causa delle radici della molteplicità, abbiamo ancora una volta ottenuto un paio di elementi "non standard". Questo è $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, e non $x\in \left[ 0;2 \right)$, e anche un punto isolato $ x\in \sinistra$ 3 \destra$$.

Risposta. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left$ 3 \right$\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Come puoi vedere, tutto non è così complicato. La cosa principale è l'attenzione. L'ultima sezione di questa lezione è dedicata alle trasformazioni, le stesse di cui abbiamo discusso all'inizio.

Pre-conversioni

Le disuguaglianze che esamineremo in questa sezione non possono essere definite complesse. Tuttavia, a differenza dei compiti precedenti, qui dovrai applicare le competenze della teoria delle frazioni razionali: fattorizzazione e riduzione a un denominatore comune.

Abbiamo discusso questo problema in dettaglio all'inizio della lezione di oggi. Se non sei sicuro di aver capito di cosa sto parlando, ti consiglio vivamente di tornare indietro e ripeterlo. Perché non ha senso stipare metodi per risolvere le disuguaglianze se si "fluttua" nella conversione delle frazioni.

Nei compiti, a proposito, ci saranno anche molti compiti simili. Sono inseriti in una sottosezione separata. E lì troverai esempi molto non banali. Ma questo sarà un compito a casa, e ora diamo un'occhiata ad un paio di queste disuguaglianze.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Soluzione. Sposta tutto a sinistra:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Riduciamo a un denominatore comune, apriamo le parentesi e portiamo termini simili al numeratore:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ destra))(x\cdot \sinistra(x-1 \destra))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Ora abbiamo davanti a noi una classica disuguaglianza frazionale-razionale, la cui soluzione non è più difficile. Propongo di risolverlo utilizzando un metodo alternativo - attraverso il metodo degli intervalli:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(allinea)\]

Non dimenticare il vincolo che deriva dal denominatore:

Contrassegniamo tutti i numeri e le restrizioni sulla linea numerica:

Tutte le radici hanno la prima molteplicità. Nessun problema. Mettiamo semplicemente i cartelli e dipingiamo sulle aree di cui abbiamo bisogno:

Questo è tutto. Puoi scrivere la risposta.

Risposta. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Naturalmente, questo era un esempio molto semplice. Quindi ora esaminiamo il problema più seriamente. E a proposito, il livello di questo compito è abbastanza coerente con il lavoro indipendente e di prova su questo argomento in terza media.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Soluzione. Sposta tutto a sinistra:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Prima di portare entrambe le frazioni a un denominatore comune, fattorizziamo questi denominatori. Cosa succede se escono le stesse parentesi? Con il primo denominatore è facile:

\[((x)^(2))+8x-9=\sinistra(x-1 \destra)\sinistra(x+9 \destra)\]

La seconda è un po’ più difficile. Sentiti libero di aggiungere un fattore costante nella parentesi in cui appare la frazione. Ricorda: il polinomio originale aveva coefficienti interi, quindi ci sono buone probabilità che la fattorizzazione abbia coefficienti interi (in effetti, lo avrà sempre, a meno che il discriminante non sia irrazionale).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\sinistra(x-1 \destra)\sinistra(3x-2 \destra) \end(allinea)\]

Come puoi vedere, esiste una parentesi comune: $\left(x-1 \right)$. Torniamo alla disuguaglianza e portiamo entrambe le frazioni a un denominatore comune:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ sinistra(3x-2 \destra))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right )\sinistra(3x-2 \destra))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(allinea)\]

Uguagliamo il denominatore a zero:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( allineare)\]

Non sono ammessi multipli o radici coincidenti. Segniamo quattro numeri sulla linea:

Stiamo posizionando i segnali:

Scriviamo la risposta.

Risposta: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5.5;+\infty \ right) $.

Tutto! In questo modo, ho letto questa riga. :)

Le disuguaglianze sono dette lineari i cui lati sinistro e destro sono funzioni lineari rispetto all'incognita. Questi includono, ad esempio, le disuguaglianze:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- X< x + 5 .

1) Disuguaglianze rigorose: ascia +b>0 O ascia+b<0

2) Disuguaglianze non strette: ax+b≤0 O ascia+b≫ 0

Analizziamo questo compito. Uno dei lati del parallelogramma misura 7 cm. Quale deve essere la lunghezza dell'altro lato affinché il perimetro del parallelogramma sia maggiore di 44 cm?

Sia il lato richiesto X cm. In questo caso il perimetro del parallelogramma sarà rappresentato da (14 + 2x) cm. La disuguaglianza 14 + 2x > 44 è un modello matematico del problema del perimetro di un parallelogramma. Se sostituiamo la variabile in questa disuguaglianza X sul numero 16, ad esempio, otteniamo la disuguaglianza numerica corretta 14 + 32 > 44. In questo caso si dice che il numero 16 è una soluzione della disuguaglianza 14 + 2x > 44.

Risolvere la disuguaglianza nominare il valore di una variabile che la trasforma in una vera disuguaglianza numerica.

Pertanto, ciascuno dei numeri è 15,1; 20;73 fungono da soluzione alla disuguaglianza 14 + 2x > 44, ma il numero 10, ad esempio, non ne è la soluzione.

Risolvere la disuguaglianza significa stabilire tutte le sue soluzioni o dimostrare che non esistono soluzioni.

La formulazione della soluzione della disuguaglianza è simile alla formulazione della radice dell'equazione. Eppure non è consuetudine designare la “radice della disuguaglianza”.

Le proprietà delle uguaglianze numeriche ci hanno aiutato a risolvere le equazioni. Allo stesso modo, le proprietà delle disuguaglianze numeriche aiuteranno a risolvere le disuguaglianze.

Quando risolviamo un'equazione, la sostituiamo con un'altra equazione più semplice, ma equivalente a quella data. La risposta alle disuguaglianze si trova in modo simile. Quando si cambia un'equazione in un'equazione equivalente, si usa il teorema sul trasferimento dei termini da un lato dell'equazione all'altro e sulla moltiplicazione di entrambi i lati dell'equazione per lo stesso numero diverso da zero. Quando si risolve una disuguaglianza, c'è una differenza significativa tra questa e un'equazione, che risiede nel fatto che qualsiasi soluzione di un'equazione può essere verificata semplicemente sostituendola nell'equazione originale. Nelle disuguaglianze questo metodo è assente, poiché non è possibile sostituire innumerevoli soluzioni alla disuguaglianza originaria. Pertanto, esiste un concetto importante, queste frecce<=>è un segno di trasformazioni equivalenti, o equivalenti. La trasformazione si chiama equivalente, O equivalente, se non cambiano l'insieme delle soluzioni.

Regole simili per risolvere le disuguaglianze.

Se spostiamo un termine qualsiasi da una parte all'altra della disuguaglianza, sostituendo il suo segno con quello opposto, otteniamo una disuguaglianza equivalente a questa.

Se entrambi i lati della disuguaglianza vengono moltiplicati (divisi) per lo stesso numero positivo, otteniamo una disuguaglianza equivalente a questa.

Se si moltiplicano (dividono) entrambi i lati della disuguaglianza per lo stesso numero negativo, sostituendo il segno di disuguaglianza con quello opposto, si ottiene una disuguaglianza equivalente a quella data.

Usando questi regole Calcoliamo le seguenti disuguaglianze.

1) Analizziamo la disuguaglianza 2x - 5 > 9.

Questo disuguaglianza lineare, troveremo la sua soluzione e discuteremo i concetti di base.

2x - 5 > 9<=>2x>14(il 5 è stato spostato a sinistra con il segno opposto), poi abbiamo diviso tutto per 2 ed abbiamo x > 7. Tracciamo l'insieme delle soluzioni sull'asse X

Abbiamo ottenuto un raggio diretto positivamente. Notiamo l'insieme delle soluzioni sotto forma di disuguaglianza x > 7, oppure nella forma dell'intervallo x(7; ∞). Qual è una soluzione particolare a questa disuguaglianza? Per esempio, x = 10è una soluzione particolare a questa disuguaglianza, x = 12- questa è anche una soluzione particolare a questa disuguaglianza.

Esistono molte soluzioni parziali, ma il nostro compito è trovare tutte le soluzioni. E di solito ci sono innumerevoli soluzioni.

Risolviamo la questione esempio 2:

2) Risolvere la disuguaglianza 4a - 11 > a + 13.

Risolviamolo: UN spostarlo da una parte 11 spostalo dall'altra parte, otteniamo 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 la disuguaglianza ha la forma UN<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>UN< 8 .

Mostreremo anche il set UN< 8 , ma già sull'asse UN.

Scriviamo la risposta sotto forma di disuguaglianza a< 8, либо UN(-∞;8), 8 non si accende.

Metodo dell'intervallo– un modo semplice per risolvere le disuguaglianze razionali frazionarie. Questo è il nome delle disuguaglianze contenenti espressioni razionali (o razionali frazionarie) che dipendono da una variabile.

1. Consideriamo, ad esempio, la seguente disuguaglianza

Il metodo dell'intervallo ti consente di risolverlo in un paio di minuti.

Sul lato sinistro di questa disuguaglianza c'è una funzione razionale frazionaria. Razionale perché non contiene radici, seni o logaritmi, ma solo espressioni razionali. A destra c'è zero.

Il metodo degli intervalli si basa sulla seguente proprietà di una funzione razionale frazionaria.

Una funzione razionale frazionaria può cambiare segno solo nei punti in cui è uguale a zero o non esiste.

Ricordiamo come viene scomposto un trinomio quadratico, cioè un'espressione della forma .

Dove e sono le radici dell'equazione quadratica.

Disegniamo un asse e posizioniamo i punti in cui il numeratore e il denominatore vanno a zero.

Gli zeri del denominatore e sono punti perforati, poiché in questi punti la funzione a sinistra della disuguaglianza non è definita (non è possibile dividere per zero). Gli zeri del numeratore e - sono ombreggiati, poiché la disuguaglianza non è rigorosa. Quando e la nostra disuguaglianza è soddisfatta, poiché entrambi i suoi membri sono uguali a zero.

Questi punti dividono l'asse in intervalli.

Determiniamo il segno della funzione razionale frazionaria sul lato sinistro della nostra disuguaglianza su ciascuno di questi intervalli. Ricordiamo che una funzione razionale frazionaria può cambiare segno solo nei punti in cui è uguale a zero o non esiste. Ciò significa che in ciascuno degli intervalli tra i punti in cui il numeratore o il denominatore va a zero, il segno dell'espressione sul lato sinistro della disuguaglianza sarà costante: "più" o "meno".

E quindi, per determinare il segno della funzione su ciascuno di questi intervalli, prendiamo qualsiasi punto appartenente a questo intervallo. Quello che ci fa comodo.
. Prendiamo, ad esempio, e controlliamo il segno dell'espressione a sinistra della disuguaglianza. Ciascuna delle "parentesi" è negativa. Il lato sinistro ha un segno.

Intervallo successivo: . Controlliamo il segno su . Troviamo che il lato sinistro ha cambiato segno in .

Prendiamolo. Quando l'espressione è positiva, quindi è positiva per tutto l'intervallo da a.

Quando il lato sinistro della disuguaglianza è negativo.

E infine, class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Abbiamo trovato in quali intervalli l'espressione è positiva. Non resta che scrivere la risposta:

Risposta: .

Nota: i segnali si alternano tra gli intervalli. Questo è successo perché passando per ogni punto esattamente uno dei fattori lineari cambiava segno, mentre gli altri lo mantenevano invariato.

Vediamo che il metodo dell'intervallo è molto semplice. Per risolvere la disuguaglianza frazionaria-razionale utilizzando il metodo degli intervalli, la riduciamo alla forma:

O class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, o o .

(a sinistra c'è una funzione razionale frazionaria, a destra c'è zero).

Quindi segniamo sulla linea numerica i punti in cui il numeratore o il denominatore va a zero.
Questi punti dividono l'intera linea numerica in intervalli, su ciascuno dei quali la funzione frazionaria-razionale mantiene il suo segno.
Non resta che scoprirne il segno ad ogni intervallo.
Lo facciamo controllando il segno dell'espressione in qualsiasi punto appartenente a un dato intervallo. Successivamente, scriviamo la risposta. È tutto.

Ma la domanda sorge spontanea: i segni si alternano sempre? No, non sempre! Devi stare attento e non posizionare i segnali meccanicamente e sconsideratamente.

2. Consideriamo un'altra disuguaglianza.

Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ sinistra(x-3 \destra))>0"> !}

Posiziona nuovamente i punti sull'asse. I punti e sono punteggiati perché sono zeri del denominatore. Anche il punto è tagliato, poiché la disuguaglianza è rigorosa.

Quando il numeratore è positivo, entrambi i fattori del denominatore sono negativi. Questo può essere facilmente verificato prendendo qualsiasi numero da un dato intervallo, ad esempio . Il lato sinistro ha il segno:

Quando il numeratore è positivo; Il primo fattore del denominatore è positivo, il secondo fattore è negativo. Il lato sinistro ha il segno:

La situazione è la stessa! Il numeratore è positivo, il primo fattore del denominatore è positivo, il secondo è negativo. Il lato sinistro ha il segno:

Infine, con class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Risposta: .

Perché l'alternanza dei segni è stata interrotta? Perché quando si passa per un punto il moltiplicatore ne è “responsabile”. non ha cambiato segno. Di conseguenza, l’intero lato sinistro della nostra disuguaglianza non ha cambiato segno.

Conclusione: se il moltiplicatore lineare è una potenza pari (ad esempio al quadrato), allora quando passa per un punto il segno dell'espressione sul lato sinistro non cambia. In caso di grado dispari, ovviamente, il segno cambia.

3. Consideriamo un caso più complesso. Si differenzia dalla precedente in quanto la disuguaglianza non è stretta:

Il lato sinistro è lo stesso del problema precedente. L'immagine dei segni sarà la stessa:

Forse la risposta sarà la stessa? NO! Viene aggiunta una soluzione Ciò accade perché entrambi i lati sinistro e destro della disuguaglianza sono uguali a zero, quindi questo punto è una soluzione.

Risposta: .

Questa situazione si verifica spesso nei problemi dell'Esame di Stato Unificato di matematica. È qui che i candidati cadono in una trappola e perdono punti. Stai attento!

4. Cosa fare se il numeratore o il denominatore non possono essere scomposti in fattori lineari? Consideriamo questa disuguaglianza:

Un trinomio quadrato non è fattorizzabile: il discriminante è negativo, non ci sono radici. Ma questo è buono! Ciò significa che il segno dell'espressione per tutti è lo stesso e, specificatamente, positivo. Puoi leggere di più a riguardo nell'articolo sulle proprietà delle funzioni quadratiche.

E ora possiamo dividere entrambi i lati della nostra disuguaglianza per un valore positivo per tutti. Arriviamo a una disuguaglianza equivalente:

Il che è facilmente risolvibile utilizzando il metodo degli intervalli.

Tieni presente che abbiamo diviso entrambi i lati della disuguaglianza per un valore che sapevamo per certo essere positivo. Naturalmente, in generale, non bisogna moltiplicare o dividere una disuguaglianza per una variabile di cui non si conosce il segno.

5 . Consideriamo un'altra disuguaglianza, apparentemente abbastanza semplice:

Voglio solo moltiplicarlo per . Ma siamo già intelligenti e non lo faremo. Dopotutto, può essere sia positivo che negativo. E sappiamo che se entrambi i lati della disuguaglianza vengono moltiplicati per un valore negativo, il segno della disuguaglianza cambia.

Lo faremo diversamente: raccoglieremo tutto in una parte e lo porteremo a un denominatore comune. Il lato destro rimarrà zero:

Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

E dopo, fai domanda metodo dell'intervallo.

Risolvere le disuguaglianze online

Prima di risolvere le disuguaglianze, è necessario avere una buona conoscenza di come vengono risolte le equazioni.

Non importa se la disuguaglianza è stretta () o non stretta (≤, ≥), il primo passo è risolvere l'equazione sostituendo il segno di disuguaglianza con l'uguaglianza (=).

Spieghiamo cosa significa risolvere una disuguaglianza?

Dopo aver studiato le equazioni, lo studente ha in testa la seguente immagine: ha bisogno di trovare i valori della variabile in modo tale che entrambi i lati dell'equazione assumano gli stessi valori. In altre parole, trova tutti i punti in cui vale l’uguaglianza. Tutto è corretto!

Quando parliamo di disuguaglianze, intendiamo trovare intervalli (segmenti) su cui vale la disuguaglianza. Se nella disuguaglianza ci sono due variabili, la soluzione non saranno più gli intervalli, ma alcune aree del piano. Indovina tu stesso quale sarà la soluzione a una disuguaglianza in tre variabili?

Come risolvere le disuguaglianze?

Un modo universale per risolvere le disuguaglianze è considerato il metodo degli intervalli (noto anche come metodo degli intervalli), che consiste nel determinare tutti gli intervalli entro i cui confini sarà soddisfatta una determinata disuguaglianza.

Senza entrare nel tipo di disuguaglianza, in questo caso non è questo il punto, è necessario risolvere l'equazione corrispondente e determinarne le radici, quindi designare queste soluzioni sull'asse dei numeri.

Come scrivere correttamente la soluzione di una disuguaglianza?

Una volta determinati gli intervalli di soluzione della disuguaglianza, è necessario scrivere correttamente la soluzione stessa. C'è una sfumatura importante: i confini degli intervalli sono inclusi nella soluzione?

Tutto è semplice qui. Se la soluzione dell'equazione soddisfa l'ODZ e la disuguaglianza non è stretta, il confine dell'intervallo è incluso nella soluzione della disuguaglianza. Altrimenti no.

Considerando ciascun intervallo, la soluzione alla disuguaglianza può essere l'intervallo stesso, o un semiintervallo (quando uno dei suoi confini soddisfa la disuguaglianza), o un segmento - l'intervallo insieme ai suoi confini.

Punto importante

Non pensare che solo intervalli, semiintervalli e segmenti possano risolvere la disuguaglianza. No, la soluzione può comprendere anche singoli punti.

Ad esempio, la disuguaglianza |x|≤0 ha una sola soluzione: il punto 0.

E la disuguaglianza |x|

Perché hai bisogno di un calcolatore di disuguaglianza?

Il calcolatore delle disuguaglianze fornisce la risposta finale corretta. Nella maggior parte dei casi viene fornita l'illustrazione di un asse o di un piano numerico. È visibile se i limiti degli intervalli sono inclusi o meno nella soluzione: i punti vengono visualizzati come ombreggiati o punteggiati.

Grazie al calcolatore di disuguaglianze online, puoi verificare se hai trovato correttamente le radici dell'equazione, le hai contrassegnate sull'asse dei numeri e hai verificato il rispetto della condizione di disuguaglianza sugli intervalli (e sui confini)?

Se la tua risposta differisce da quella fornita dalla calcolatrice, allora devi assolutamente ricontrollare la tua soluzione e identificare l’errore.