Vari modi per dimostrare il teorema di Pitagora. Diversi modi per dimostrare il teorema di Pitagora: esempi, descrizioni e recensioni Il primo teorema di Pitagora

Coloro che sono interessati alla storia del teorema di Pitagora, studiato nel curriculum scolastico, saranno anche curiosi di un fatto come la pubblicazione nel 1940 di un libro con trecentosettanta dimostrazioni di questo teorema apparentemente semplice. Ma ha incuriosito le menti di molti matematici e filosofi di epoche diverse. Nel Guinness dei primati, è registrato come teorema con il numero massimo di prove.

Storia del teorema di Pitagora

Associato al nome di Pitagora, il teorema era noto molto prima della nascita del grande filosofo. Quindi, in Egitto, durante la costruzione delle strutture, cinquemila anni fa è stato preso in considerazione il rapporto tra i lati di un triangolo rettangolo. I testi babilonesi menzionano lo stesso rapporto dei lati di un triangolo rettangolo 1200 anni prima della nascita di Pitagora.

Sorge la domanda perché allora la storia dice: l'emergere del teorema di Pitagora gli appartiene? Può esserci solo una risposta: ha dimostrato il rapporto tra i lati nel triangolo. Ha fatto quello che secoli fa non ha fatto chi usava semplicemente le proporzioni e l'ipotenusa, stabilite dall'esperienza.

Dalla vita di Pitagora

Il futuro grande scienziato, matematico, filosofo nacque sull'isola di Samos nel 570 a.C. I documenti storici conservavano informazioni sul padre di Pitagora, che era un intagliatore di gemme, ma non ci sono informazioni su sua madre. Hanno detto del ragazzo nato che era un bambino eccezionale che ha mostrato passione per la musica e la poesia fin dall'infanzia. Gli storici attribuiscono Hermodamant e Pherekides di Syros ai maestri del giovane Pitagora. Il primo ha introdotto il ragazzo nel mondo delle Muse, e il secondo, essendo un filosofo e fondatore della scuola filosofica italiana, ha diretto lo sguardo del giovane sul logos.

All'età di 22 anni (548 aC), Pitagora si recò a Naucrati per studiare la lingua e la religione degli egiziani. Inoltre, il suo percorso era a Menfi, dove, grazie ai sacerdoti, dopo aver superato le loro ingegnose prove, comprese la geometria egiziana, che, forse, spinse il giovane curioso a dimostrare il teorema di Pitagora. La storia attribuirà in seguito questo nome al teorema.

Catturato dal re di Babilonia

Sulla via del ritorno in Grecia, Pitagora viene catturato dal re di Babilonia. Ma essere in cattività ha giovato alla mente curiosa del matematico alle prime armi, aveva molto da imparare. In effetti, in quegli anni, la matematica in Babilonia era più sviluppata che in Egitto. Ha trascorso dodici anni a studiare matematica, geometria e magia. E, forse, è stata la geometria babilonese ad essere coinvolta nella dimostrazione del rapporto tra i lati del triangolo e nella storia della scoperta del teorema. Pitagora aveva abbastanza conoscenza e tempo per questo. Ma che ciò sia accaduto a Babilonia, non vi è alcuna conferma documentaria o confutazione di ciò.

Nel 530 a.C Pitagora fugge dalla prigionia in patria, dove vive alla corte del tiranno Policrate in condizione di semischiavo. Una vita del genere non si addice a Pitagora, che si ritira nelle grotte di Samos, quindi si reca nel sud dell'Italia, dove a quel tempo si trovava la colonia greca di Crotone.

Ordine monastico segreto

Sulla base di questa colonia, Pitagora organizzò un ordine monastico segreto, che era allo stesso tempo un'unione religiosa e una società scientifica. Questa società aveva il suo statuto, che parlava dell'osservanza di uno stile di vita speciale.

Pitagora sosteneva che per comprendere Dio, una persona deve conoscere scienze come l'algebra e la geometria, conoscere l'astronomia e comprendere la musica. Il lavoro di ricerca si è ridotto alla conoscenza del lato mistico dei numeri e della filosofia. Va notato che i principi predicati a quel tempo da Pitagora hanno senso nell'imitazione al momento attuale.

A lui furono attribuite molte delle scoperte fatte dai discepoli di Pitagora. Tuttavia, insomma, la storia della creazione del teorema di Pitagora da parte di antichi storici e biografi dell'epoca è direttamente associata al nome di questo filosofo, pensatore e matematico.

Gli insegnamenti di Pitagora

Forse gli storici si sono ispirati all'affermazione del grande greco secondo cui il proverbiale triangolo con le sue gambe e l'ipotenusa codificava tutti i fenomeni della nostra vita. E questo triangolo è la "chiave" per risolvere tutti i problemi che si presentano. Il grande filosofo ha detto che si dovrebbe vedere un triangolo, quindi possiamo presumere che il problema sia risolto per due terzi.

Pitagora raccontava il suo insegnamento solo oralmente ai suoi studenti, senza prendere appunti, mantenendolo segreto. Sfortunatamente, gli insegnamenti del più grande filosofo non sono sopravvissuti fino ad oggi. Parte è trapelata, ma è impossibile dire quanto sia vero e quanto falso in quanto si è saputo. Anche con la storia del teorema di Pitagora, non tutto è certo. Gli storici della matematica dubitano della paternità di Pitagora, secondo loro il teorema fu usato molti secoli prima della sua nascita.

teorema di Pitagora

Può sembrare strano, ma non ci sono fatti storici della dimostrazione del teorema da parte dello stesso Pitagora - né negli archivi, né in altre fonti. Nella versione moderna, si ritiene che appartenga nientemeno che allo stesso Euclide.

Ci sono testimonianze di uno dei più grandi storici della matematica, Moritz Cantor, che scoprì su un papiro conservato nel Museo di Berlino, scritto dagli egizi intorno al 2300 a.C. e. uguaglianza, che recita: 3² + 4² = 5².

Brevemente dalla storia del teorema di Pitagora

La formulazione del teorema degli "Inizi" euclidei nella traduzione suona come nell'interpretazione moderna. Non c'è nulla di nuovo nella sua lettura: il quadrato del lato opposto all'angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati adiacenti all'angolo retto. Il fatto che le antiche civiltà dell'India e della Cina usassero il teorema è confermato dal trattato Zhou Bi Suan Jin. Contiene informazioni sul triangolo egiziano, che descrive le proporzioni come 3:4:5.

Non meno interessante è un altro libro di matematica cinese "Chu-pei", che menziona anche il triangolo pitagorico con una spiegazione e disegni che coincidono con i disegni della geometria indù di Baskhara. Riguardo al triangolo stesso, il libro dice che se un angolo retto può essere scomposto nelle sue parti componenti, allora la linea che collega le estremità dei lati sarà uguale a cinque, se la base è tre e l'altezza è quattro.

Il trattato indiano "Sulva Sutra", risalente al VII-V secolo a.C. e., racconta la costruzione di un angolo retto usando il triangolo egiziano.

Dimostrazione del teorema

Nel Medioevo, gli studenti consideravano la dimostrazione di un teorema troppo difficile. Gli studenti deboli imparavano i teoremi a memoria, senza comprendere il significato della dimostrazione. A questo proposito ricevettero il soprannome di "asini", perché il teorema di Pitagora era per loro un ostacolo insormontabile, come un ponte per un asino. Nel Medioevo, gli studenti inventarono un verso giocoso sull'argomento di questo teorema.

Per dimostrare il teorema di Pitagora nel modo più semplice, dovresti semplicemente misurarne i lati, senza utilizzare il concetto di aree nella dimostrazione. La lunghezza del lato opposto all'angolo retto è c, e aeb adiacente ad esso, di conseguenza otteniamo l'equazione: a 2 + b 2 \u003d c 2. Questa affermazione, come accennato in precedenza, è verificata misurando le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo.

Se iniziamo la dimostrazione del teorema considerando l'area dei rettangoli costruiti sui lati del triangolo, possiamo determinare l'area dell'intera figura. Sarà uguale all'area di un quadrato con un lato (a + b) e, d'altra parte, alla somma delle aree di quattro triangoli e del quadrato interno.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2 ;

un 2 + 2ab + b 2 ;

c 2 = a 2 + b 2 , che doveva essere dimostrato.

Il significato pratico del teorema di Pitagora è che può essere utilizzato per trovare le lunghezze dei segmenti senza misurarle. Durante la costruzione di strutture, vengono calcolate le distanze, il posizionamento di supporti e travi, vengono determinati i baricentri. Il teorema di Pitagora è applicato anche in tutte le moderne tecnologie. Non hanno dimenticato il teorema durante la creazione di filmati in dimensioni 3D-6D, dove, oltre ai soliti 3 valori, vengono presi in considerazione: altezza, lunghezza, larghezza, tempo, odore e gusto. Come sono i sapori e gli odori legati al teorema, chiedi? Tutto è molto semplice: quando si proietta un film, è necessario calcolare dove e quali odori e sapori dirigere nell'auditorium.

È solo l'inizio. Illimitate possibilità di scoprire e creare nuove tecnologie attendono menti curiose.

teorema di Pitagora- uno dei teoremi fondamentali della geometria euclidea, che stabilisce la relazione

tra i lati di un triangolo rettangolo.

Si ritiene che sia stato dimostrato dal matematico greco Pitagora, da cui prende il nome.

Formulazione geometrica del teorema di Pitagora.

Il teorema è stato originariamente formulato come segue:

In un triangolo rettangolo, l'area del quadrato costruita sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati,

costruito su cateteri.

Formulazione algebrica del teorema di Pitagora.

In un triangolo rettangolo, il quadrato della lunghezza dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle lunghezze dei cateti.

Cioè, indicando la lunghezza dell'ipotenusa del triangolo attraverso C, e le lunghezze delle gambe attraverso UN E B:

Entrambe le formulazioni teoremi di pitagora sono equivalenti, ma la seconda formulazione è più elementare, non lo è

richiede il concetto di area. Cioè, la seconda affermazione può essere verificata senza sapere nulla dell'area e

misurando solo le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo.

Il teorema inverso di Pitagora.

Se il quadrato di un lato di un triangolo è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, allora

triangolo è rettangolare.

O, in altre parole:

Per ogni tripla di numeri positivi UN, B E C, tale che

c'è un triangolo rettangolo con le gambe UN E B e ipotenusa C.

Il teorema di Pitagora per un triangolo isoscele.

Teorema di Pitagora per un triangolo equilatero.

Dimostrazioni del teorema di Pitagora.

Al momento, nella letteratura scientifica sono state registrate 367 dimostrazioni di questo teorema. Probabilmente il teorema

Pitagora è l'unico teorema con un numero così impressionante di dimostrazioni. Tale diversità

può essere spiegato solo dal significato fondamentale del teorema per la geometria.

Naturalmente, concettualmente, tutti possono essere suddivisi in un piccolo numero di classi. Il più famoso di loro:

prova metodo dell'area, assiomatico E testimonianze esotiche(Per esempio,

usando equazioni differenziali).

1. Dimostrazione del teorema di Pitagora in termini di triangoli simili.

La seguente dimostrazione della formulazione algebrica è la più semplice delle dimostrazioni costruite

direttamente dagli assiomi. In particolare, non utilizza il concetto di area di una figura.

Permettere ABC c'è un triangolo rettangolo C. Disegniamo un'altezza da C e denotare

la sua fondazione attraverso H.

Triangolo ACH simile a un triangolo AB C su due angoli. Allo stesso modo, il triangolo CBH simile ABC.

Introducendo la notazione:

noi abbiamo:

che corrisponde -

Dopo aver piegato UN 2 e B 2, otteniamo:

o , che doveva essere dimostrato.

2. Dimostrazione del teorema di Pitagora con il metodo delle aree.

Le seguenti dimostrazioni, nonostante la loro apparente semplicità, non lo sono affatto. Tutti loro

usa le proprietà dell'area, la cui dimostrazione è più complicata della dimostrazione del teorema di Pitagora stesso.

Dimostrazione tramite equicomplementazione.

Disporre quattro rettangoli uguali

triangolo come mostrato in figura

sulla destra.

Quadrilatero con lati C- piazza,

poiché la somma di due angoli acuti è di 90°, e

l'angolo sviluppato è di 180°.

L'area dell'intera figura è, da un lato,

area di un quadrato di lato ( a+b), e d'altra parte, la somma delle aree di quattro triangoli e

Q.E.D.

3. Dimostrazione del teorema di Pitagora con il metodo infinitesimale.

Considerando il disegno mostrato in figura, e

guardando il lato cambiareUN, noi possiamo

scrivi la seguente relazione per infinito

piccolo incrementi lateraliCon E UN(usando la somiglianza

triangoli):

Usando il metodo di separazione delle variabili, troviamo:

Un'espressione più generale per cambiare l'ipotenusa nel caso di incrementi di entrambe le gambe:

Integrando questa equazione e utilizzando le condizioni iniziali, otteniamo:

Arriviamo così alla risposta desiderata:

Come è facile vedere, la dipendenza quadratica nella formula finale appare dovuta al lineare

proporzionalità tra i lati del triangolo e gli incrementi, mentre la somma è relativa all'indipendente

contributi dall'incremento di diverse gambe.

Una dimostrazione più semplice può essere ottenuta se assumiamo che una delle gambe non subisca un incremento

(in questo caso, la gamba B). Quindi per la costante di integrazione otteniamo:

Storia

Chu-pei 500-200 a.C. A sinistra è l'iscrizione: la somma dei quadrati delle lunghezze dell'altezza e della base è il quadrato della lunghezza dell'ipotenusa.

Nell'antico libro cinese Chu-pei ( Inglese) (cinese 周髀算經) parla di un triangolo pitagorico di lati 3, 4 e 5. Nello stesso libro viene proposto un disegno che coincide con uno dei disegni della geometria indù di Baskhara.

Intorno al 400 a.C. e., secondo Proclo, Platone fornì un metodo per trovare le triple pitagoriche, combinando algebra e geometria. Intorno al 300 a.C. e. Gli Elementi di Euclide contengono la più antica dimostrazione assiomatica del teorema di Pitagora.

Formulazione

Formulazione geometrica:

Il teorema è stato originariamente formulato come segue:

Formulazione algebrica:

Cioè, indicando la lunghezza dell'ipotenusa del triangolo attraverso e le lunghezze delle gambe attraverso e:

Entrambe le formulazioni del teorema sono equivalenti, ma la seconda formulazione è più elementare, non richiede il concetto di area. Cioè, la seconda affermazione può essere verificata senza sapere nulla dell'area e misurando solo le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo.

Teorema inverso di Pitagora:

Per ogni tripla di numeri positivi , e , tale che , esiste un triangolo rettangolo con cateti e e ipotenusa .

Prova

Al momento, nella letteratura scientifica sono state registrate 367 dimostrazioni di questo teorema. Probabilmente, il teorema di Pitagora è l'unico teorema con un numero così impressionante di dimostrazioni. Una tale varietà può essere spiegata solo dal significato fondamentale del teorema per la geometria.

Naturalmente, concettualmente, tutti possono essere suddivisi in un piccolo numero di classi. I più famosi: dimostrazioni con il metodo dell'area, dimostrazioni assiomatiche ed esotiche (ad esempio, utilizzando equazioni differenziali).

Attraverso triangoli simili

La seguente dimostrazione della formulazione algebrica è la più semplice delle dimostrazioni costruite direttamente dagli assiomi. In particolare, non utilizza il concetto di area della figura.

Permettere ABC c'è un triangolo rettangolo C. Disegniamo un'altezza da C e denota la sua base con H. Triangolo ACH simile a un triangolo ABC ai due angoli. Allo stesso modo, il triangolo CBH simile ABC. Introduzione alla notazione

noi abbiamo

Cosa è equivalente

Aggiungendo, otteniamo

, che doveva essere dimostrato

Prove sul territorio

Le seguenti dimostrazioni, nonostante la loro apparente semplicità, non lo sono affatto. Tutti usano le proprietà dell'area, la cui dimostrazione è più complicata della dimostrazione del teorema di Pitagora stesso.

Dimostrazione tramite equivalenza

Disporre quattro triangoli rettangoli uguali come mostrato nella Figura 1.
Quadrilatero con lati Cè un quadrato perché la somma di due angoli acuti è di 90° e l'angolo piatto è di 180°.
L'area dell'intera figura è uguale, da un lato, all'area di un quadrato con un lato (a + b) e, dall'altro, alla somma delle aree di quattro triangoli e dell'area della piazza interna.

Q.E.D.

La dimostrazione di Euclide

L'idea della dimostrazione di Euclide è la seguente: proviamo a dimostrare che metà dell'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle mezze aree dei quadrati costruiti sulle gambe, e quindi le aree di i quadrati grandi e due piccoli sono uguali.

Considera il disegno a sinistra. Abbiamo costruito quadrati sui lati di un triangolo rettangolo su di esso e disegnato un raggio s dal vertice dell'angolo retto C perpendicolare all'ipotenusa AB, taglia il quadrato ABIK, costruito sull'ipotenusa, in due rettangoli: BHJI e HAKJ , rispettivamente. Si scopre che le aree di questi rettangoli sono esattamente uguali alle aree dei quadrati costruiti sulle gambe corrispondenti.

Proviamo a dimostrare che l'area del quadrato DECA è uguale all'area del rettangolo AHJK Per fare ciò, usiamo un'osservazione ausiliaria: l'area di un triangolo con la stessa altezza e base del dato rettangolo è uguale alla metà dell'area del rettangolo dato. Questa è una conseguenza della definizione dell'area di un triangolo come metà del prodotto della base e dell'altezza. Da questa osservazione segue che l'area del triangolo ACK è uguale all'area del triangolo AHK (non mostrato), che, a sua volta, è uguale alla metà dell'area del rettangolo AHJK.

Dimostriamo ora che anche l'area del triangolo ACK è uguale alla metà dell'area del quadrato DECA. L'unica cosa da fare per questo è dimostrare l'uguaglianza dei triangoli ACK e BDA (poiché l'area del triangolo BDA è uguale alla metà dell'area del quadrato per la proprietà di cui sopra). Questa uguaglianza è ovvia: i triangoli sono uguali in due lati e nell'angolo tra loro. Vale a dire - AB=AK, AD=AC - l'uguaglianza degli angoli CAK e BAD è facile da dimostrare con il metodo del movimento: ruotiamo il triangolo CAK di 90 ° in senso antiorario, quindi è ovvio che i lati corrispondenti dei due triangoli considerati coincideranno (dovuto al fatto che l'angolo al vertice del quadrato è di 90°).

Del tutto analogo è il discorso sull'uguaglianza delle aree del quadrato BCFG e del rettangolo BHJI.

Pertanto, abbiamo dimostrato che l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è la somma delle aree dei quadrati costruiti sulle gambe. L'idea alla base di questa dimostrazione è ulteriormente illustrata con l'animazione sopra.

Prova di Leonardo da Vinci

Gli elementi principali della dimostrazione sono simmetria e movimento.

Considera il disegno, come si può vedere dalla simmetria, il segmento taglia il quadrato in due parti identiche (poiché i triangoli e sono uguali nella costruzione).

Usando una rotazione antioraria di 90 gradi attorno al punto, vediamo l'uguaglianza delle figure ombreggiate e .

Ora è chiaro che l'area della figura che abbiamo ombreggiato è uguale alla somma della metà delle aree dei quadratini (costruiti sulle gambe) e dell'area del triangolo originale. D'altra parte, è uguale alla metà dell'area del quadrato grande (costruito sull'ipotenusa) più l'area del triangolo originario. Pertanto, metà della somma delle aree dei quadrati piccoli è uguale alla metà dell'area del quadrato grande, e quindi la somma delle aree dei quadrati costruiti sulle gambe è uguale all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa.

Dimostrazione con il metodo infinitesimale

La seguente dimostrazione mediante equazioni differenziali è spesso attribuita al famoso matematico inglese Hardy, vissuto nella prima metà del XX secolo.

Considerando il disegno riportato in figura ed osservando il cambio di lato UN, possiamo scrivere la seguente relazione per incrementi laterali infinitesimi Con E UN(usando triangoli simili):

Utilizzando il metodo di separazione delle variabili, troviamo

Un'espressione più generale per cambiare l'ipotenusa nel caso di incrementi di entrambi i cateti

Integrando questa equazione e utilizzando le condizioni iniziali, otteniamo

Arriviamo così alla risposta desiderata

Come è facile vedere, la dipendenza quadratica nella formula finale appare dovuta alla proporzionalità lineare tra i lati del triangolo e gli incrementi, mentre la somma è dovuta ai contributi indipendenti dall'incremento delle diverse gambe.

Una dimostrazione più semplice può essere ottenuta se assumiamo che una delle gambe non subisca un incremento (in questo caso, la gamba). Quindi per la costante di integrazione otteniamo

Variazioni e generalizzazioni

Forme geometriche simili su tre lati

Generalizzazione per triangoli simili, area delle figure verdi A + B = area delle C blu

Teorema di Pitagora usando triangoli rettangoli simili

Una generalizzazione del teorema di Pitagora è stata fatta da Euclide nel suo lavoro Inizi, espandendo le aree dei quadrati sui lati alle aree di forme geometriche simili:

Se costruiamo figure geometriche simili (vedi geometria euclidea) sui lati di un triangolo rettangolo, allora la somma delle due figure più piccole sarà uguale all'area della figura più grande.

L'idea principale di questa generalizzazione è che l'area di una tale figura geometrica è proporzionale al quadrato di una qualsiasi delle sue dimensioni lineari e, in particolare, al quadrato della lunghezza di qualsiasi lato. Pertanto, per figure simili con aree UN, B E C costruito su lati con lunghezza UN, B E C, abbiamo:

Ma, secondo il teorema di Pitagora, UN 2 + B 2 = C 2, quindi UN + B = C.

Al contrario, se possiamo dimostrarlo UN + B = C per tre figure geometriche simili senza usare il teorema di Pitagora, allora possiamo dimostrare il teorema stesso, muovendoci nella direzione opposta. Ad esempio, il triangolo centrale iniziale può essere riutilizzato come triangolo C sull'ipotenusa, e due triangoli rettangoli simili ( UN E B) costruita sugli altri due lati, che si formano dividendo il triangolo centrale per la sua altezza. La somma delle due aree minori dei triangoli è quindi ovviamente uguale all'area del terzo, quindi UN + B = C e, eseguendo le dimostrazioni precedenti in ordine inverso, otteniamo il teorema di Pitagora a 2 + b 2 = c 2 .

Teorema del coseno

Il teorema di Pitagora è un caso speciale del più generale teorema del coseno che mette in relazione le lunghezze dei lati in un triangolo arbitrario:

dove θ è l'angolo tra i lati UN E B.

Se θ è di 90 gradi allora cos θ = 0 e la formula è semplificata al solito teorema di Pitagora.

Triangolo arbitrario

A qualsiasi angolo scelto di un triangolo arbitrario con i lati a, b, c inscriviamo un triangolo isoscele in modo tale che angoli uguali alla sua base θ siano uguali all'angolo scelto. Supponiamo che l'angolo scelto θ si trovi opposto al lato indicato C. Di conseguenza, abbiamo ottenuto un triangolo ABD con angolo θ, che si trova di fronte al lato UN e feste R. Il secondo triangolo è formato dall'angolo θ, che è opposto al lato B e feste Con lungo S, come mostrato nella foto. Thabit Ibn Qurra ha affermato che i lati di questi tre triangoli sono correlati come segue:

Man mano che l'angolo θ si avvicina a π/2, la base del triangolo isoscele diminuisce ei due lati r e s si sovrappongono sempre meno. Quando θ = π/2, ADB si trasforma in un triangolo rettangolo, R + S = C e otteniamo il teorema iniziale di Pitagora.

Diamo un'occhiata a uno degli argomenti. Il triangolo ABC ha gli stessi angoli del triangolo ABD, ma in ordine inverso. (I due triangoli hanno un angolo comune al vertice B, entrambi hanno angolo θ, e hanno anche lo stesso terzo angolo, per la somma degli angoli del triangolo) Di conseguenza, ABC è simile alla riflessione ABD del triangolo DBA, come mostrato nella figura inferiore. Scriviamo la relazione tra i lati opposti e quelli adiacenti all'angolo θ,

Così è il riflesso di un altro triangolo,

Moltiplica le frazioni e aggiungi questi due rapporti:

Q.E.D.

Generalizzazione per triangoli arbitrari tramite parallelogrammi

Generalizzazione per triangoli arbitrari,
zona di verde trama = area blu

Dimostrazione della tesi che nella figura sopra

Facciamo un'ulteriore generalizzazione per i triangoli non rettangolari, utilizzando i parallelogrammi su tre lati invece dei quadrati. (i quadrati sono un caso speciale.) La figura in alto mostra che per un triangolo ad angolo acuto, l'area del parallelogramma sul lato lungo è uguale alla somma dei parallelogrammi sugli altri due lati, a condizione che il parallelogramma su il lato lungo è costruito come in figura (le dimensioni indicate con le frecce sono le stesse e determinano i lati del parallelogramma inferiore). Questa sostituzione dei quadrati con i parallelogrammi ha una chiara somiglianza con il teorema di Pitagora iniziale e si ritiene che sia stata formulata da Pappo di Alessandria nel 4 d.C. e.

La figura in basso mostra lo stato di avanzamento della dimostrazione. Diamo un'occhiata al lato sinistro del triangolo. Il parallelogramma verde sinistro ha la stessa area del lato sinistro del parallelogramma blu perché hanno la stessa base B e altezza H. Inoltre, il riquadro verde sinistro ha la stessa area del riquadro verde sinistro nell'immagine in alto perché hanno una base comune (lato superiore sinistro del triangolo) e un'altezza comune perpendicolare a quel lato del triangolo. Argomentando in modo simile per il lato destro del triangolo, dimostriamo che il parallelogramma inferiore ha la stessa area dei due parallelogrammi verdi.

Numeri complessi

Il teorema di Pitagora è usato per trovare la distanza tra due punti in un sistema di coordinate cartesiane, e questo teorema è vero per tutte le vere coordinate: distanza S tra due punti ( a, b) E ( CD) equivale

Non ci sono problemi con la formula se i numeri complessi sono trattati come vettori con componenti reali X + io e = (X, si). . Ad esempio, la distanza S tra 0 + 1 io e 1 + 0 io calcolare come modulo del vettore (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), O

Tuttavia, per operazioni con vettori con coordinate complesse, è necessario apportare un certo miglioramento alla formula pitagorica. Distanza tra punti con numeri complessi ( UN, B) E ( C, D); UN, B, C, E D tutto complesso, formuliamo utilizzando valori assoluti. Distanza S in base alla differenza vettoriale (UN − C, B − D) nella seguente forma: facciamo la differenza UN − C = P+io Q, Dove Pè la vera parte della differenza, Qè la parte immaginaria, e i = √(−1). Allo stesso modo, lascia B − D = R+io S. Poi:

dove è il complesso coniugato di . Ad esempio, la distanza tra i punti (UN, B) = (0, 1) E (C, D) = (io, 0) , calcola la differenza (UN − C, B − D) = (−io, 1) e il risultato sarebbe 0 se non si usassero coniugati complessi. Pertanto, utilizzando la formula migliorata, otteniamo

Il modulo è definito così:

Stereometria

Una significativa generalizzazione del teorema di Pitagora per lo spazio tridimensionale è il teorema di de Gua, che prende il nome da J.-P. de Gua: se un tetraedro ha un angolo retto (come in un cubo), allora il quadrato dell'area della faccia opposta all'angolo retto è uguale alla somma dei quadrati delle aree delle altre tre facce. Questa conclusione può essere riassunta come " N-teorema di pitagora dimensionale":

Il teorema di Pitagora in tre dimensioni mette in relazione la diagonale AD con tre lati.

Un'altra generalizzazione: il teorema di Pitagora può essere applicato alla stereometria nella forma seguente. Considera una scatola rettangolare, come mostrato in figura. Trova la lunghezza della diagonale BD usando il teorema di Pitagora:

dove tre lati formano un triangolo rettangolo. Usa la diagonale orizzontale BD e il bordo verticale AB per trovare la lunghezza della diagonale AD, sempre usando il teorema di Pitagora:

oppure, se tutto è scritto in un'equazione:

Questo risultato è un'espressione 3D per determinare la grandezza del vettore v(diagonale AD) espressa in termini delle sue componenti perpendicolari ( v k) (tre lati reciprocamente perpendicolari):

Questa equazione può essere vista come una generalizzazione del teorema di Pitagora per uno spazio multidimensionale. Tuttavia, il risultato in realtà non è altro che la ripetuta applicazione del teorema di Pitagora a una successione di triangoli rettangoli in piani successivamente perpendicolari.

spazio vettoriale

Nel caso di un sistema ortogonale di vettori, si verifica un'uguaglianza, che è anche chiamata teorema di Pitagora:

Se - queste sono proiezioni del vettore sugli assi delle coordinate, allora questa formula coincide con la distanza euclidea - e significa che la lunghezza del vettore è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle sue componenti.

L'analogo di questa uguaglianza nel caso di un sistema infinito di vettori è chiamato uguaglianza di Parseval.

Geometria non euclidea

Il teorema di Pitagora è derivato dagli assiomi della geometria euclidea e, infatti, non è valido per la geometria non euclidea, nella forma in cui è scritto sopra. (Cioè, il teorema di Pitagora risulta essere una sorta di equivalente del postulato del parallelismo di Euclide) In altre parole, nella geometria non euclidea, il rapporto tra i lati del triangolo sarà necessariamente in una forma diversa dal teorema di Pitagora . Ad esempio, nella geometria sferica, tutti e tre i lati di un triangolo rettangolo (diciamo UN, B E C) che delimitano l'ottante (un ottavo) della sfera unitaria hanno lunghezza π/2, il che contraddice il teorema di Pitagora perché UN 2 + B 2 ≠ C 2 .

Considera qui due casi di geometria non euclidea: geometria sferica e iperbolica; in entrambi i casi, come per lo spazio euclideo dei triangoli rettangoli, dal teorema del coseno segue il risultato che sostituisce il teorema di Pitagora.

Tuttavia, il teorema di Pitagora rimane valido per la geometria iperbolica ed ellittica se il requisito che il triangolo sia rettangolo è sostituito dalla condizione che la somma di due angoli del triangolo deve essere uguale al terzo, diciamo UN+B = C. Quindi il rapporto tra i lati si presenta così: la somma delle aree dei cerchi con diametri UN E B uguale all'area di un cerchio con un diametro C.

geometria sferica

Per qualsiasi triangolo rettangolo su una sfera con raggio R(ad esempio, se l'angolo γ nel triangolo è retto) con i lati UN, B, C il rapporto tra le parti sarà così:

Questa uguaglianza può essere derivata come un caso speciale del teorema del coseno sferico, che è valido per tutti i triangoli sferici:

dove cosh è il coseno iperbolico. Questa formula è un caso speciale del teorema del coseno iperbolico, valido per tutti i triangoli:

dove γ è l'angolo il cui vertice è opposto al lato C.

Dove G ijè chiamato tensore metrico. Può essere una funzione di posizione. Tali spazi curvilinei includono la geometria riemanniana come esempio comune. Questa formulazione è adatta anche per lo spazio euclideo quando si utilizzano coordinate curvilinee. Ad esempio, per le coordinate polari:

prodotto vettoriale

Il teorema di Pitagora collega due espressioni per la grandezza di un prodotto vettoriale. Un approccio alla definizione di un prodotto incrociato richiede che soddisfi l'equazione:

questa formula utilizza il prodotto scalare. La parte destra dell'equazione è chiamata determinante di Gram per UN E B, che è uguale all'area del parallelogramma formato da questi due vettori. Sulla base di questo requisito, nonché del requisito che il prodotto vettoriale sia perpendicolare alle sue componenti UN E B ne consegue che, ad eccezione dei casi banali di spazio 0 e 1 dimensionale, il prodotto vettoriale è definito solo in tre e sette dimensioni. Usiamo la definizione dell'angolo in N spazio dimensionale:

questa proprietà del prodotto vettoriale dà il suo valore nella seguente forma:

Attraverso la fondamentale identità trigonometrica di Pitagora, otteniamo un'altra forma di scrittura del suo valore:

Un approccio alternativo alla definizione di un prodotto incrociato utilizza un'espressione per la sua grandezza. Quindi, ragionando in ordine inverso, otteniamo una connessione con il prodotto scalare:

Guarda anche

Appunti

Argomento storico: il teorema di Pitagora nella matematica babilonese
( , p. 351) p. 351
( , Vol I, p. 144)
Una discussione dei fatti storici è data in (, p. 351) p. 351
Kurt Von Fritz (aprile 1945). "La scoperta dell'incommensurabilità da parte di Ippaso di Metaponto". Gli Annali della Matematica, seconda serie(Annali di matematica) 46 (2): 242–264.
Lewis Carroll, "La storia con i nodi", M., Mir, 1985, p. 7
Asger Aboe Episodi della storia antica della matematica. - Mathematical Association of America, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
Proposizione pitagorica di Elisha Scott Loomis
di Euclide Elementi: Libro VI, Proposizione VI 31: "Nei triangoli rettangoli la figura del lato che sottende l'angolo retto è uguale alle figure simili e similmente descritte dei lati che contengono l'angolo retto."
Lawrence S.Leff opera citata. - Serie educativa di Barron - P. 326. - ISBN 0764128922
Howard Whitley Eva§4.8:...generalizzazione del teorema di Pitagora // Grandi momenti della matematica (prima del 1650) . - Mathematical Association of America, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
Tâbit ibn Qorra (nome completo Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 d.C.) era un medico residente a Baghdad che scrisse ampiamente sugli Elementi di Euclide e su altri argomenti matematici.
Aydin Sayili (marzo 1960). "La generalizzazione del teorema di Pitagora di Thâbit ibn Qurra". Iside 51 (1): 35-37. DOI:10.1086/348837.
Judith D. Sally, Paul Sally Esercizio 2.10(ii) // Lavoro citato . - P. 62. - ISBN 0821844032
Per i dettagli di una tale costruzione, cfr George Jennings Figura 1.32: Il teorema di Pitagora generalizzato // Geometria moderna con applicazioni: con 150 figure . - 3°. - Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X
Arlen Brown, Carl M. Pearcy articolo C: Norma per un arbitrario N-tuple ... // Un'introduzione all'analisi . - Springer, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692 Vedi anche pagine 47-50.
Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Moderna geometria differenziale di curve e superfici con Mathematica . - 3°. - CRC Press, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
Rajendra Bhatia analisi matriciale. - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
Stephen W. Hawking opera citata. - 2005. - P. 4. - ISBN 0762419229

Teorema

In un triangolo rettangolo, il quadrato della lunghezza dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle lunghezze delle gambe (Fig. 1):

$c^(2)=a^(2)+b^(2)$

Dimostrazione del teorema di Pitagora

Sia il triangolo $A B C$ un triangolo rettangolo con angolo retto $C$ (Fig. 2).

Tracciamo un'altezza dal vertice $C$ all'ipotenusa $A B$, indichiamo la base dell'altezza come $H$ .

Il triangolo rettangolo $A C H$ è simile al triangolo $A B C$ in due angoli ($\angolo A C B=\angolo C H A=90^(\circ)$, $\angolo A$ è comune). Allo stesso modo, il triangolo $C B H$ è simile a $A B C$ .

Introduzione alla notazione

$$B DO=la, LA DO=si, LA SI=do$$

dalla somiglianza dei triangoli lo otteniamo

$$\frac(a)(c)=\frac(H B)(a), \frac(b)(c)=\frac(A H)(b)$$

Quindi abbiamo quello

$$a^(2)=c \cdot H B, b^(2)=c \cdot A H$$

Sommando le uguaglianze ottenute, otteniamo

$$a^(2)+b^(2)=c \cpunto H B+c \cpunto A H$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot(H B+A H)$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot A B$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot c$$

$$a^(2)+b^(2)=c^(2)$$

Q.E.D.

Formulazione geometrica del teorema di Pitagora

Teorema

In un triangolo rettangolo, l'area del quadrato costruita sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sulle gambe (Fig. 2):

Esempi di risoluzione dei problemi

Esempio

Esercizio. Ti viene dato un triangolo rettangolo $A B C$ i cui cateti misurano 6 cm e 8 cm. Trova l'ipotenusa di questo triangolo.

Soluzione. Secondo la condizione del cateto $a=6$ cm, $b=8$ cm Quindi, secondo il teorema di Pitagora, il quadrato dell'ipotenusa

$c^(2)=a^(2)+b^(2)=6^(2)+8^(2)=36+64=100$

Quindi otteniamo l'ipotenusa richiesta

$c=\sqrt(100)=10$ (cm)

Risposta. 10 cm

Esempio

Esercizio. Trova l'area di un triangolo rettangolo se sai che una delle sue gambe è 5 cm più lunga dell'altra e l'ipotenusa è di 25 cm.

Soluzione. Sia $x$ cm la lunghezza della gamba più piccola, quindi $(x+5)$ cm sia la lunghezza di quella più grande. Allora, per il teorema di Pitagora, abbiamo:

$$x^(2)+(x+5)^(2)=25^(2)$$

Apriamo le parentesi, riduciamo quelle simili e risolviamo l'equazione quadratica risultante:

$x^(2)+5x-300=0$

Secondo il teorema di Vieta, lo otteniamo

$x_(1)=15$ (cm) , $x_(2)=-20$ (cm)

Il valore di $x_(2)$ non soddisfa la condizione del problema, il che significa che la gamba più piccola è di 15 cm e quella più grande è di 20 cm.

L'area di un triangolo rettangolo è la metà del prodotto delle lunghezze delle sue gambe, cioè

$$S=\frac(15 \cdot 20)(2)=15 \cdot 10=150\sinistra(\mathrm(cm)^(2)\destra)$$

Risposta.$S=150\sinistra(\mathrm(cm)^(2)\destra)$

Riferimento storico

teorema di Pitagora- uno dei teoremi fondamentali della geometria euclidea, che stabilisce la relazione tra i lati di un triangolo rettangolo.

L'antico libro cinese "Zhou bi suan jing" parla di un triangolo pitagorico con i lati 3, 4 e 5. Il più grande storico tedesco della matematica Moritz Kantor (1829 - 1920) ritiene che l'uguaglianza $3^(2)+4^(2 )=5^ (2) $ era già noto agli egiziani intorno al 2300 a.C. Secondo lo scienziato, i costruttori hanno quindi costruito angoli retti usando triangoli rettangoli con i lati 3, 4 e 5. Si sa qualcosa di più sul teorema di Pitagora tra i babilonesi. Un testo fornisce un calcolo approssimativo dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele.

Il testo dell'opera è posto senza immagini e formule.
La versione completa dell'opera è disponibile nella scheda "File di lavoro" in formato PDF

introduzione

Nel corso scolastico di geometria, utilizzando il teorema di Pitagora, vengono risolti solo problemi matematici. Sfortunatamente, la questione dell'applicazione pratica del teorema di Pitagora non viene considerata.

A questo proposito, lo scopo del mio lavoro era scoprire la portata del teorema di Pitagora.

Allo stato attuale, è generalmente riconosciuto che il successo dello sviluppo di molte aree della scienza e della tecnologia dipende dallo sviluppo di varie aree della matematica. Una condizione importante per aumentare l'efficienza della produzione è l'introduzione diffusa di metodi matematici nella tecnologia e nell'economia nazionale, che comporta la creazione di nuovi ed efficaci metodi di ricerca qualitativa e quantitativa che consentano di risolvere i problemi proposti dalla pratica.

Prenderò in considerazione esempi dell'applicazione pratica del teorema di Pitagora. Non cercherò di fornire tutti gli esempi sull'uso del teorema: difficilmente sarebbe possibile. L'ambito di applicazione del teorema è piuttosto esteso e generalmente non può essere indicato con sufficiente completezza.

Ipotesi:

Usando il teorema di Pitagora, puoi risolvere non solo problemi matematici.

Per questo lavoro di ricerca, è definito il seguente obiettivo:

Scopri la portata del teorema di Pitagora.

Sulla base dell'obiettivo di cui sopra, sono stati individuati i seguenti compiti:

Raccogli informazioni sull'applicazione pratica del teorema di Pitagora in varie fonti e determina le aree di applicazione del teorema.

Impara alcune informazioni storiche su Pitagora e il suo teorema.

Mostra l'applicazione del teorema nella risoluzione di problemi storici.

Elaborare i dati raccolti sull'argomento.

Ero impegnato nella ricerca e nella raccolta di informazioni: studiavo materiale stampato, lavoravo con materiale su Internet ed elaboravo i dati raccolti.

Metodologia di ricerca:

Lo studio del materiale teorico.

Lo studio dei metodi di ricerca.

Implementazione pratica dello studio.

Comunicativo (metodo di misurazione, domande).

Tipo di progetto: ricerca informativa. Il lavoro è stato svolto nel mio tempo libero.

A proposito di Pitagora.

Pitagora è un antico filosofo, matematico e astronomo greco. Ha confermato molte proprietà delle figure geometriche, ha sviluppato la teoria matematica dei numeri e le loro proporzioni. Ha dato un contributo significativo allo sviluppo dell'astronomia e dell'acustica. Autore dei "Versetti d'oro", fondatore della scuola pitagorica di Crotone.

Secondo la leggenda, Pitagora nacque intorno al 580 a.C. e. sull'isola di Samos in una ricca famiglia di mercanti. Sua madre, Pitasi, prese il suo nome in onore della Pizia, la sacerdotessa di Apollo. La Pizia predisse a Mnesarco e sua moglie la nascita di un figlio, il figlio prese anche il nome dalla Pizia. Secondo molte antiche testimonianze, il ragazzo era favolosamente bello e presto mostrò le sue eccezionali capacità. Ha ricevuto la sua prima conoscenza da suo padre Mnesarco, gioielliere e intagliatore di gemme, che sognava che suo figlio avrebbe continuato il suo lavoro. Ma la vita ha giudicato diversamente. Il futuro filosofo mostrò grande attitudine per le scienze. Tra gli insegnanti di Pitagora c'erano Pherekides di Syros e l'anziano Germodamant. Il primo ha instillato nel ragazzo l'amore per la scienza, e il secondo per la musica, la pittura e la poesia. Successivamente, Pitagora incontrò il famoso filosofo - matematico Talete di Mileto e, su suo consiglio, si recò in Egitto - centro dell'allora attività scientifica e di ricerca. Dopo aver vissuto 22 anni in Egitto e 12 anni a Babilonia, tornò nell'isola di Samos, poi la lasciò per motivi sconosciuti e si trasferì nella città di Crotone, nell'Italia meridionale. Qui ha creato la scuola pitagorica (unione), che ha studiato varie questioni di filosofia e matematica. All'età di circa 60 anni, Pitagora sposò Theano, uno dei suoi studenti. Hanno tre figli e diventano tutti seguaci del padre. Le condizioni storiche di quel tempo sono caratterizzate da un ampio movimento del demos contro il potere degli aristocratici. In fuga dalle ondate di rabbia popolare, Pitagora ei suoi studenti si trasferirono nella città di Tarentum. Secondo una versione: Kilon, un uomo ricco e malvagio, andò da lui, volendo unirsi ubriaco alla confraternita. Essendo stato rifiutato, Cylon iniziò una lotta con Pitagora. Durante l'incendio, gli studenti a loro spese hanno salvato la vita all'insegnante. Pitagora ebbe nostalgia di casa e presto si suicidò.

Va notato che questa è una delle varianti della sua biografia. Le date esatte della sua nascita e morte non sono state stabilite, molti fatti della sua vita sono contraddittori. Ma una cosa è certa: quest'uomo è vissuto e ha lasciato ai suoi discendenti una grande eredità filosofica e matematica.

Teorema di Pitagora.

Il teorema di Pitagora è l'affermazione più importante della geometria. Il teorema è formulato come segue: l'area di un quadrato costruito sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sulle sue gambe.

La scoperta di questa affermazione è attribuita a Pitagora di Samo (XII secolo a.C.)

Lo studio delle tavolette cuneiformi babilonesi e degli antichi manoscritti cinesi (copie di manoscritti ancora più antichi) ha dimostrato che il famoso teorema era noto molto prima di Pitagora, forse diversi millenni prima di lui.

(Ma si presume che Pitagora le abbia dato una prova completa)

Ma c'è un'altra opinione: nella scuola pitagorica era una meravigliosa usanza attribuire tutti i meriti a Pitagora e in qualche modo non appropriarsi della gloria degli scopritori, tranne forse in pochi casi.

(Giamblico-Scrittore siriaco di lingua greca, autore del trattato "La vita di Pitagora". (II secolo d.C.)

Quindi lo storico tedesco della matematica Kantor ritiene che l'uguaglianza 3 2 + 4 2= 5 2 fosse

noto agli egiziani intorno al 2300 a.C. e. durante il tempo del re Amenechmet (secondo il papiro 6619 del Museo di Berlino). Alcuni credono che Pitagora abbia dato al teorema una dimostrazione completa, mentre altri gli negano questo merito.

Alcuni attribuiscono a Pitagora la dimostrazione data da Euclide nei suoi Elementi. D'altra parte, Proclo (matematico, V secolo) afferma che la dimostrazione nei "Principi" apparteneva allo stesso Euclide, cioè la storia della matematica non ha quasi dati affidabili sull'attività matematica di Pitagora. In matematica, forse, non c'è nessun altro teorema che meriti tutti i tipi di paragoni.

In alcuni elenchi degli "Inizi" di Euclide, questo teorema era chiamato "teorema della ninfa" per la somiglianza del disegno con un'ape, farfalla ("teorema della farfalla"), che in greco era chiamata ninfa. I greci chiamavano questa parola anche alcune altre dee, oltre a giovani donne e spose. Il traduttore arabo non ha prestato attenzione al disegno e ha tradotto la parola "ninfa" come "sposa". È così che è apparso il nome affettuoso "il teorema della sposa". C'è una leggenda che quando Pitagora di Samo dimostrò il suo teorema, ringraziò gli dei sacrificando 100 tori. Da qui un altro nome: "teorema dei cento tori".

Nei paesi di lingua inglese si chiamava: "mulino a vento", "coda di pavone", "sedia della sposa", "ponte dell'asino" (se lo studente non poteva "attraversarlo", allora era un vero "asino")

Nella Russia pre-rivoluzionaria, il disegno del teorema di Pitagora per il caso di un triangolo isoscele era chiamato "pantaloni pitagorici".

Questi "pantaloni" compaiono quando, su ogni lato di un triangolo rettangolo, costruiscono dei quadrati verso l'esterno.

Quante diverse dimostrazioni del teorema di Pitagora ci sono?

Dai tempi di Pitagora ne sono apparsi più di 350. Il teorema è stato incluso nel Guinness dei primati. Se analizziamo le dimostrazioni del teorema, allora usano poche idee fondamentalmente diverse.

Ambiti di applicazione del teorema.

È ampiamente usato nella risoluzione geometrico compiti.

È con il suo aiuto che puoi trovare geometricamente i valori delle radici quadrate degli interi:

Per fare ciò, costruiamo un triangolo rettangolo AOB (l'angolo A è di 90 °) con le gambe unitarie. Allora la sua ipotenusa è √2. Quindi costruiamo un singolo segmento BC, BC è perpendicolare a OB, la lunghezza dell'ipotenusa OS=√3, ecc.

(questo metodo si trova in Euclide e F. Kirensky).

Compiti nel corso fisica il liceo richiede la conoscenza del teorema di Pitagora.

Questi sono compiti relativi all'addizione di velocità.

Presta attenzione alla diapositiva: un compito da un libro di testo di fisica della nona elementare. In senso pratico, può essere formulato come segue: a quale angolo rispetto al flusso del fiume dovrebbe muoversi una barca che trasporta passeggeri tra i moli per rispettare l'orario? (I moli si trovano sulle sponde opposte del fiume)

Quando un biatleta spara a un bersaglio, esegue una "correzione del vento". Se il vento soffia da destra e l'atleta spara in linea retta, il proiettile andrà a sinistra. Per colpire il bersaglio, devi spostare il mirino a destra della distanza di spostamento del proiettile. Per loro sono state compilate tabelle speciali (basate sulle conseguenze del compagno Pitagora). Il biatleta sa a quale angolo spostare il mirino a una velocità del vento nota.

Astronomia - anche un'ampia area di applicazione del teorema percorso del raggio luminoso. La figura mostra il percorso di un raggio di luce da UN in B e ritorno. Il percorso del raggio è indicato con una freccia curva per chiarezza, infatti il raggio luminoso è rettilineo.

Qual è il percorso del raggio? La luce viaggia avanti e indietro allo stesso modo. Qual è la metà del percorso percorso dal raggio? Se contrassegniamo il segmento AB simbolo l, metà del tempo come T, e denota anche la velocità della luce con la lettera C, allora la nostra equazione assumerà la forma

c*t=l

Questo è il prodotto del tempo speso sulla velocità!

Ora proviamo a osservare lo stesso fenomeno da un altro sistema di riferimento, ad esempio da un veicolo spaziale che vola accanto a un raggio mobile con una velocità v. Con tale osservazione, le velocità di tutti i corpi cambieranno e i corpi stazionari inizieranno a muoversi con una velocità v nella direzione opposta. Supponiamo che la nave si muova verso sinistra. Quindi i due punti tra i quali corre il coniglio si sposteranno a destra con la stessa velocità. Inoltre, mentre il coniglietto corre, il punto di partenza UN si sposta e il raggio ritorna in un nuovo punto C.

Domanda: per quanto tempo si sposterà il punto (per trasformarsi nel punto C) durante il viaggio del raggio di luce? Più precisamente: a quanto equivale la metà di questo offset? Se indichiamo con la lettera metà del tempo di percorrenza del raggio T", e metà della distanza AC lettera D, quindi otteniamo la nostra equazione nella forma:

v * t" = d

lettera v indica la velocità del veicolo spaziale.

Altra domanda: quale percorso percorrerà il raggio di luce in questo caso?(Più precisamente, qual è la metà di questo percorso? Qual è la distanza dall'oggetto sconosciuto?)

Se indichiamo metà della lunghezza del percorso della luce con la lettera s, otteniamo l'equazione:

c*t" = S

Qui Cè la velocità della luce, e T"è lo stesso tempo discusso sopra.

Consideriamo ora il triangolo ABC. È un triangolo isoscele la cui altezza è l, che abbiamo introdotto considerando il processo da un punto di vista fisso. Poiché il movimento è perpendicolare l, quindi non poteva influenzarla.

Triangolo ABC composto da due metà: triangoli rettangoli identici, le cui ipotenuse AB E AVANTI CRISTO deve essere collegato con le gambe secondo il teorema di Pitagora. Una delle gambe è D, che abbiamo appena calcolato, e la seconda gamba è s, attraverso la quale passa la luce, e che abbiamo anche calcolato. Otteniamo l'equazione:

S 2 = l 2 + d 2

Questo è teorema di Pitagora!

Fenomeno aberrazione stellare, scoperta nel 1729, sta nel fatto che tutte le stelle della sfera celeste descrivono ellissi. Il semiasse maggiore di queste ellissi è osservato dalla Terra con un angolo di 20,5 gradi. Questo angolo è associato al movimento della Terra attorno al Sole a una velocità di 29,8 km all'ora. Per osservare una stella da una Terra in movimento, è necessario inclinare il tubo del telescopio in avanti lungo il movimento della stella, poiché mentre la luce percorre la lunghezza del telescopio, l'oculare si sposta in avanti insieme alla terra. L'addizione delle velocità della luce e della Terra avviene in modo vettoriale, utilizzando il cosiddetto.

Pitagora. U 2 \u003d C 2 + V 2

C è la velocità della luce

Velocità al suolo V

tubo del telescopio

Alla fine dell'Ottocento furono fatte varie ipotesi sull'esistenza di abitanti di Marte simili agli umani, questo fu il risultato delle scoperte dell'astronomo italiano Schiaparelli (aprì canali su Marte che furono a lungo considerati artificiali) . Naturalmente, la questione se sia possibile comunicare con queste ipotetiche creature con l'ausilio di segnali luminosi ha provocato una vivace discussione. L'Accademia delle scienze di Parigi stabilì addirittura un premio di 100.000 franchi per la prima persona che stabilisse un contatto con qualche abitante di un altro corpo celeste; questo premio sta ancora aspettando il fortunato. Per scherzo, anche se non del tutto irragionevole, si decise di inviare un segnale agli abitanti di Marte sotto forma del teorema di Pitagora.

Non si sa come farlo; ma è ovvio a tutti che il fatto matematico espresso dal teorema di Pitagora si verifica ovunque, e quindi gli abitanti di un altro mondo come noi dovrebbero capire un tale segnale.

connessione mobile

Chi nel mondo di oggi non usa un cellulare? Ogni abbonato mobile è interessato alla sua qualità. E la qualità, a sua volta, dipende dall'altezza dell'antenna dell'operatore di telefonia mobile. Per calcolare in quale raggio può essere ricevuta una trasmissione, usiamo il teorema di Pitagora.

Qual è l'altezza massima dell'antenna dell'operatore di telefonia mobile per ricevere una trasmissione entro un raggio di R=200 km? (Il raggio terrestre è 6380 km.)

Soluzione:

Permettere AB=x , BC=R=200 km , OC= r = 6380 km.

OB=OA+ABOB=r+x.

Usando il teorema di Pitagora, otteniamo Risposta: 2,3 km.

Quando si costruiscono case e cottage, spesso sorge la domanda sulla lunghezza delle travi per il tetto, se le travi sono già state realizzate. Ad esempio: si prevede di costruire un tetto a due falde in una casa (forma in sezione). Che lunghezza debbono essere le travi se le travi sono fatte AC=8 m., e AB=BF.

Soluzione:

Il triangolo ADC è isoscele AB=BC=4 m, BF=4 m Se assumiamo che FD=1,5 m, allora:

A) Dal triangolo DBC: DB=2,5 m.

B) Dal triangolo ABF:

Finestra

Negli edifici Stile gotico e romanico le parti superiori delle finestre sono divise da nervature in pietra, che non solo svolgono il ruolo di ornamento, ma contribuiscono anche alla solidità delle finestre. La figura mostra un semplice esempio di tale finestra in stile gotico. Il metodo per costruirlo è molto semplice: Dalla figura è facile trovare i centri di sei archi di circonferenza, i cui raggi sono uguali a

larghezza finestra (b) per archi esterni

metà larghezza, (b/2) per archi interni

C'è ancora un cerchio completo che tocca i quattro archi. Essendo racchiuso tra due cerchi concentrici, il suo diametro è uguale alla distanza tra questi cerchi, cioè b/2 e, quindi, il raggio è uguale a b/4. E poi diventa chiaro

la posizione del suo centro.

IN Architettura romanica si trova spesso il motivo mostrato nella figura. Se b indica ancora la larghezza della finestra, i raggi dei semicerchi saranno uguali a R = b / 2 e r = b / 4. Il raggio p del cerchio interno può essere calcolato dal triangolo rettangolo mostrato in fig. linea tratteggiata. L'ipotenusa di questo triangolo, passante per il punto tangente dei cerchi, è uguale a b/4+p, un cateto è uguale a b/4 e l'altro è b/2-p. Per il teorema di Pitagora abbiamo:

(b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/4-p) 2

b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4 - bp / 2 + p 2,

Dividendo per b e portando termini simili, otteniamo:

(3/2)p=b/4, p=b/6.

Nell'industria forestale: per le esigenze di costruzione, i tronchi vengono segati in legname, mentre il compito principale è quello di ottenere meno scarti possibile. La quantità minima di rifiuti si avrà quando la trave ha il volume maggiore. Cosa dovrebbe esserci nella sezione? Come si può vedere dalla soluzione, la sezione trasversale deve essere quadrata e teorema di Pitagora e altre considerazioni consentono di trarre una tale conclusione.

Barra del volume più grande

Compito

Da un tronco cilindrico è necessario tagliare una trave rettangolare del volume più grande. Quale forma dovrebbe avere la sua sezione trasversale (Fig. 23)?

Soluzione

Se i lati di una sezione rettangolare sono x e y, allora per il teorema di Pitagora

x 2 + y 2 \u003d d 2,

dove d è il diametro del tronco. Il volume del legno è massimo quando la sua sezione trasversale è massima, cioè quando xy raggiunge il suo valore massimo. Ma se xy è il più grande, anche il prodotto x 2 y 2 sarà il più grande. Poiché la somma x 2 + y 2 è invariata, allora, secondo quanto dimostrato in precedenza, il prodotto x 2 y 2 è il massimo quando

x 2 \u003d y 2 o x \u003d y.

Quindi, la sezione trasversale della trave dovrebbe essere quadrata.

Attività di trasporto(i cosiddetti compiti di ottimizzazione; compiti, la cui soluzione consente di rispondere alla domanda: come disporre di fondi per ottenere grandi benefici)

A prima vista niente di speciale: misurare l'altezza dal pavimento al soffitto in più punti, sottrarre qualche centimetro in modo che il mobile non appoggi al soffitto. Fatto ciò, nel processo di assemblaggio dei mobili possono sorgere difficoltà. Dopotutto, i mobilieri assemblano il telaio posizionando l'armadio in posizione orizzontale e, quando il telaio è assemblato, lo sollevano in posizione verticale. Considera la parete laterale dell'armadio. L'altezza dell'armadio deve essere inferiore di 10 cm rispetto alla distanza dal pavimento al soffitto, a condizione che tale distanza non superi i 2500 mm. E la profondità dell'armadio è di 700 mm. Perché 10 cm, e non 5 cm o 7, e cosa c'entra il teorema di Pitagora?

Quindi: parete laterale 2500-100=2400(mm) - l'altezza massima della struttura.

La parete laterale nel processo di sollevamento del telaio deve passare liberamente sia in altezza che in diagonale. Di il teorema di Pitagora

AC \u003d √ AB 2 + BC 2

CA= √ 2400 2 + 700 2 = 2500 (mm)

Cosa succede se l'altezza del mobile viene ridotta di 50 mm?

CA= √ 2450 2 + 700 2 = 2548 (mm)

Diagonale 2548 mm. Quindi, non puoi mettere un armadio (puoi rovinare il soffitto).

Parafulmine.

È noto che un parafulmine protegge tutti gli oggetti dai fulmini, la cui distanza dalla sua base non supera la sua altezza raddoppiata. È necessario determinare la posizione ottimale del parafulmine su un tetto a due falde, fornendo l'altezza più bassa disponibile.

Secondo il teorema di Pitagora H 2 ≥ a 2 + b 2 mezzi h≥(a 2 + b 2) 1/2

Urgentemente nel loro cottage estivo è necessario realizzare una serra per le piantine.

Dalle assi abbattuto un quadrato 1m1m. Ci sono resti di un film che misura 1,5 m1,5 m. A che altezza al centro del quadrato va fissato il binario in modo che il film lo copra completamente?

1) Diagonale della serra d == 1.4; 0.7

2) Diagonale pellicola d 1= 2,12 1,06

3) Altezza binario x= 0,7

Conclusione

Come risultato della ricerca, ho scoperto alcune aree di applicazione del teorema di Pitagora. Ho raccolto ed elaborato molto materiale da fonti letterarie e Internet su questo argomento. Ho studiato alcune informazioni storiche su Pitagora e il suo teorema. Sì, in effetti, usando il teorema di Pitagora, puoi risolvere non solo problemi matematici. Il teorema di Pitagora ha trovato la sua applicazione nell'edilizia e nell'architettura, nelle comunicazioni mobili e nella letteratura.

Studio e analisi delle fonti di informazione sul teorema di Pitagora

ha mostrato che:

UN) l'attenzione esclusiva di matematici e matematici al teorema si basa sulla sua semplicità, bellezza e significato;

B) il teorema di Pitagora per molti secoli funge da impulso per interessanti e importanti scoperte matematiche (teorema di Fermat, teoria della relatività di Einstein);

v) il teorema di Pitagora - è l'incarnazione del linguaggio universale della matematica, valido in tutto il mondo;

G) la portata del teorema è piuttosto estesa e generalmente non può essere indicata con sufficiente completezza;

D) i segreti del teorema di Pitagora continuano ad eccitare l'umanità e quindi a ciascuno di noi viene data la possibilità di essere coinvolto nella loro divulgazione.

Bibliografia

Uspekhi matematicheskikh nauk, 1962, vol.17, n.6 (108).

Alexander Danilovich Alexandrov (nel giorno del suo cinquantesimo compleanno),

Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometria, 10 - 11 celle. - M.: Illuminismo, 1992.

Atanasyan L.S. ecc. Geometria, 10 - 11 celle. - M.: Illuminismo, 1992.

Vladimirov Yu.S. Spazio - tempo: dimensioni esplicite e nascoste. -M.: "Nauka", 1989.

Voloshin A.V. Pitagora. - M.: Illuminismo, 1993.

Giornale "Matematica", n. 21, 2006.

Giornale "Matematica", n. 28, 1995.

Geometria: Proc. Per 7 - 11 celle. scuola media / G.P. Bevz, V.G. Bevz, N.G. Vladimirova. - M.: Illuminismo, 1992.

Geometria: libro di testo per 7 - 9 celle. educazione generale Istituzioni/ L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev e altri - 6a ed. - M.: Illuminismo, 1996.

Glazer G.I. Storia della matematica a scuola: IX - Xcl. Una guida per gli insegnanti. - M.: Illuminismo, 1983.

Capitoli aggiuntivi al libro di testo scolastico 8a elementare: libro di testo per studenti delle scuole. e lezioni con approfondimento. studio matematica / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev e altri - M.: Istruzione, 1996.

Yelensky Sh.Sulle orme di Pitagora. M., 1961.

Kiselev A.P., Rybkin N.A. Geometria: Planimetria: 7 - 9 celle: libro di testo e libro dei problemi. - M.: Otarda, 1995.

Kline M. Matematica. Cerca la verità: traduzione dall'inglese. /Ed. e prefazione. IN E. Arshinova, Yu.V. Sachkov. - M.: Mir, 1998.

Liturman V. Il teorema di Pitagora. - M., 1960.

Matematica: manuale di scolari e studenti / B. Frank e altri; Traduzione da lui. - 3a ed., stereotipo. - M.: Otarda, 2003.

Peltwer A. Chi sei Pitagora? - M.: La conoscenza è potere, n. 12, 1994.

Perelman Ya. I. Matematica divertente. - M.: "Scienza", 1976.

Ponomareva T.D. Grandi scienziati. - M.: LLC Casa editrice Astrel, 2002.

Sveshnikova A. Viaggio nella storia della matematica. - M., 1995.

Semenov E.E. Studiamo la geometria: Libro. Per studenti 6 - 8 celle. scuole medie - M.: Illuminismo, 1987.

Smyshlyaev V.K. A proposito di matematica e matematici. - Casa editrice di libri Mari, 1977.

Tuchnin N.P. Come fare una domanda. - M.: Illuminismo, 1993.

Cherkasov O.Yu. Planimetria all'esame di ammissione. - M.: Liceo di Mosca, 1996.

Dizionario enciclopedico di un giovane matematico. comp. AP Savino. - M.: Pedagogia, 1985.

Enciclopedia per bambini. T. 11. Matematica. /Cap. ed. MD Aksenova. - M.: Avanta+, 2001.