Espressioni, conversione di espressioni

Come liberarsi dall'irrazionalità al denominatore? Metodi, esempi, soluzioni

In terza media, durante le lezioni di algebra, nell'ambito del tema della trasformazione delle espressioni irrazionali, la conversazione si concentra su liberazione dall'irrazionalità nel denominatore di una frazione. In questo articolo analizzeremo di che tipo di trasformazione si tratta, considereremo quali azioni ti permettono di liberarti dall'irrazionalità nel denominatore di una frazione e forniremo soluzioni ad esempi tipici con spiegazioni dettagliate.

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Cosa significa liberarsi dall'irrazionalità nel denominatore di una frazione?

Per prima cosa devi capire cos'è l'irrazionalità nel denominatore e cosa significa liberarsi dall'irrazionalità nel denominatore di una frazione. Le informazioni contenute nei libri di testo scolastici ci aiuteranno in questo. Meritano attenzione i seguenti punti.

Quando la notazione di una frazione contiene un segno di radice (radicale) nel denominatore, allora si dice che il denominatore contiene irrazionalità. Ciò è probabilmente dovuto al fatto che i numeri scritti utilizzando i segni radice sono spesso . Ad esempio, diamo le frazioni , , , ovviamente, i denominatori di ciascuno di essi contengono il segno della radice, e quindi dell'irrazionalità. Al liceo è inevitabile incontrare frazioni, la cui irrazionalità nei denominatori è introdotta non solo dai segni delle radici quadrate, ma anche dai segni delle radici cubiche, delle radici quarte, ecc. Ecco alcuni esempi di tali frazioni: , .

Considerando le informazioni fornite e il significato della parola “gratuito”, risulta del tutto naturale la seguente definizione:

Definizione.

Liberazione dall'irrazionalità nel denominatore di una frazioneè una trasformazione in cui una frazione con un'irrazionalità al denominatore viene sostituita da una frazione identicamente uguale che non contiene segni di radice al denominatore.

Spesso si sente dire non di liberarsi, ma di liberarsi dell'irrazionalità del denominatore della frazione. Il significato non cambia.

Se ad esempio passiamo da una frazione ad una frazione il cui valore è uguale al valore della frazione originaria e il cui denominatore non contiene il segno di radice, allora possiamo affermare che ci siamo liberati dall'irrazionalità nel denominatore di la frazione. Un altro esempio: sostituire una frazione con una frazione identica c'è una liberazione dall'irrazionalità nel denominatore della frazione.

Quindi, le prime informazioni sono state ricevute. Resta da scoprire cosa bisogna fare per liberarci dall'irrazionalità al denominatore della frazione.

Modi per liberarsi dall'irrazionalità, esempi

Di solito, per eliminare l'irrazionalità, si usa due al denominatore di una frazione. conversioni di frazioni: Moltiplicazione del numeratore e del denominatore per un numero o un'espressione diversa da zero e trasformazione dell'espressione nel denominatore. Di seguito vedremo come queste conversioni di frazioni vengono utilizzate in modi semplici per rimuovere l'irrazionalità dal denominatore di una frazione. Tocchiamo i seguenti casi.

Nei casi più semplici è sufficiente trasformare l'espressione nel denominatore. Un esempio è una frazione il cui denominatore è la radice di nove. In questo caso, sostituendolo con il valore 3 libera il denominatore dall'irrazionalità.

In casi più complessi, devi prima moltiplicare il numeratore e il denominatore della frazione per un numero o un'espressione diversa da zero, che successivamente ti consentirà di convertire il denominatore della frazione in una forma che non contenga segni radicali. Ad esempio, dopo aver moltiplicato numeratore e denominatore di una frazione per , la frazione assume la forma , e quindi l'espressione al denominatore può essere sostituita da un'espressione senza segni delle radici x+1. Così, dopo essere stata liberata dall'irrazionalità al denominatore, la frazione assume la forma .

Se parliamo del caso generale, per eliminare l'irrazionalità nel denominatore di una frazione, è necessario ricorrere a varie trasformazioni consentite, a volte piuttosto specifiche.

E ora nel dettaglio.

Convertire un'espressione nel denominatore di una frazione

Come già notato, un modo per eliminare l'irrazionalità nel denominatore di una frazione è trasformare il denominatore. Vediamo le soluzioni degli esempi.

Esempio.

Sbarazzarsi dell'irrazionalità nel denominatore di una frazione .

Soluzione.

Aprendo le parentesi al denominatore si arriva all'espressione . Quindi ti permettono di passare alle frazioni . Avendo calcolato i valori sotto i segni delle radici, abbiamo . Ovviamente nell'espressione risultante è possibile che dia una frazione pari a 1/16. In questo modo ci siamo sbarazzati dell'irrazionalità nel denominatore.

Di solito la soluzione viene scritta brevemente senza spiegazione, poiché le azioni eseguite sono abbastanza semplici:

Risposta:

.

Esempio.

Soluzione.

Quando abbiamo parlato di trasformare le espressioni irrazionali utilizzando le proprietà delle radici, abbiamo notato che per qualsiasi espressione A con n pari (nel nostro caso n=2) l'espressione può essere sostituita dall'espressione |A| sull'intero ODZ di variabili per l'espressione originale. Pertanto, è possibile eseguire la seguente trasformazione di una data frazione: , che ci libera dall'irrazionalità al denominatore.

Risposta:

.

Moltiplicare il numeratore e il denominatore per la radice

Quando l'espressione al denominatore di una frazione ha la forma , dove l'espressione A non contiene segni di radice, moltiplicare il numeratore e il denominatore per consente di eliminare l'irrazionalità nel denominatore. Questa azione è possibile perché non svanisce sulle variabili variabili per l'espressione originale. In questo caso il denominatore produce un'espressione che può essere facilmente convertita in una forma senza segni radicali: . Dimostriamo l’applicazione di questo approccio con degli esempi.

Esempio.

Liberati dall'irrazionalità nel denominatore della frazione: a) , b) .

Soluzione.

a) Moltiplicando il numeratore e il denominatore della frazione per la radice quadrata di tre, otteniamo .

b) Per eliminare il segno della radice quadrata nel denominatore, moltiplicare il numeratore e il denominatore della frazione per , quindi eseguire le trasformazioni al denominatore:

Risposta:

a) , b) .

Nel caso in cui il denominatore contenga fattori o , dove m e n sono alcuni numeri naturali, il numeratore e il denominatore devono essere moltiplicati per un fattore tale che successivamente l'espressione nel denominatore possa essere convertita nella forma o , dove k è qualche numero naturale, rispettivamente. Quindi è facile passare a una frazione senza irrazionalità al denominatore. Dimostriamo l'applicazione del metodo descritto per eliminare l'irrazionalità nel denominatore utilizzando esempi.

Esempio.

Liberati dall'irrazionalità nel denominatore della frazione: a) , b) .

Soluzione.

a) Il numero naturale più vicino maggiore di 3 e divisibile per 5 è 5. Affinché l'esponente di sei diventi uguale a cinque, l'espressione al denominatore deve essere moltiplicata per. Di conseguenza, la liberazione dall'irrazionalità nel denominatore di una frazione sarà facilitata dall'espressione per cui bisogna moltiplicare numeratore e denominatore:

b) Ovviamente, il numero naturale più vicino che supera 15 ed è divisibile per 4 senza resto è 16. Per fare in modo che l'esponente del denominatore diventi uguale a 16, devi moltiplicare l'espressione per. Pertanto, moltiplicando il numeratore e il denominatore della frazione originale per (nota, il valore di questa espressione non è uguale a zero per qualsiasi x reale) eliminerà l'irrazionalità nel denominatore:

Risposta:

UN) , B) .

Moltiplicando per il suo coniugato

Il seguente metodo per eliminare l'irrazionalità nel denominatore di una frazione copre i casi in cui il denominatore contiene espressioni della forma , , , o . In questi casi, per liberarsi dall'irrazionalità nel denominatore della frazione, è necessario moltiplicare numeratore e denominatore della frazione per il cosiddetto espressione coniugata.

Resta da scoprire quali espressioni sono coniugate a quanto sopra. Per un'espressione, l'espressione coniugata è , mentre per un'espressione l'espressione coniugata è . Allo stesso modo, per un'espressione il coniugato è , e per un'espressione il coniugato è . E per un'espressione il coniugato è , e per un'espressione il coniugato è . Quindi l'espressione coniugata a questa espressione differisce da essa per il segno che precede il secondo termine.

Vediamo cosa si ottiene moltiplicando un'espressione per il suo coniugato. Consideriamo ad esempio il lavoro . Si può sostituire con la differenza dei quadrati, cioè , da dove poi si può passare all'espressione a−b, che non contiene segni di radice.

Ora diventa chiaro come moltiplicare il numeratore e il denominatore di una frazione per l'espressione coniugata al denominatore consente di liberarsi dall'irrazionalità nel denominatore della frazione. Diamo un'occhiata alle soluzioni per esempi tipici.

Esempio.

Immagina l'espressione come una frazione il cui denominatore non contiene un radicale: a) , b) .

Soluzione.

a) L'espressione coniugata al denominatore è . Moltiplichiamo per esso il numeratore e il denominatore, che ci permetterà di liberarci dall'irrazionalità nel denominatore della frazione:

b) La coniugata dell'espressione è . Moltiplicando numeratore e denominatore per esso, otteniamo

È stato possibile rimuovere prima il segno meno dal denominatore e solo dopo moltiplicare il numeratore e il denominatore per l'espressione coniugata al denominatore:

Risposta:

UN) , B) .

Nota: quando si moltiplica il numeratore e il denominatore di una frazione per un'espressione con variabili coniugate al denominatore, bisogna fare attenzione che non si annulli per nessun insieme di valori delle variabili dell'ODZ per l'espressione originale.

Esempio.

Liberati dall'irrazionalità nel denominatore di una frazione.

Soluzione.

Innanzitutto, troviamo l'intervallo di valori consentiti (APV) della variabile x. È determinato dalle condizioni x≥0 e , dalle quali concludiamo che l'ODZ è l'insieme x≥0.

L'espressione coniugata al denominatore è . Possiamo moltiplicare il numeratore e il denominatore della frazione per esso, a condizione che , che sull'ODZ equivale alla condizione x≠16. In questo caso abbiamo

E in x=16 abbiamo .

Pertanto, per tutti i valori della variabile x dell'ODZ, eccetto x=16, , e per x=16 abbiamo .

Risposta:

Utilizzo delle formule per la somma dei cubi e la differenza dei cubi

Dal paragrafo precedente, abbiamo imparato che la moltiplicazione del numeratore e del denominatore di una frazione per l'espressione coniugata al denominatore viene eseguita per applicare successivamente la formula della differenza dei quadrati e quindi liberarci dall'irrazionalità del denominatore. In alcuni casi, altre formule di moltiplicazione abbreviate sono utili per eliminare l'irrazionalità nel denominatore. Ad esempio, la formula per la differenza dei cubi a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) ti permette di sbarazzarti dell'irrazionalità quando il denominatore di una frazione contiene espressioni con radici cubiche della forma o , dove A e B sono alcuni numeri o espressioni. Per fare ciò, il numeratore e il denominatore della frazione vengono moltiplicati per il quadrato parziale della somma o dalla differenza, rispettivamente. La formula per la somma dei cubi viene utilizzata allo stesso modo. a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2).

Esempio.

Liberati dall'irrazionalità al denominatore della frazione: a) , b) .

Soluzione.

a) È facile intuire che in questo caso, moltiplicare il numeratore e il denominatore per il quadrato incompleto della somma dei numeri ti permette di liberarti dall'irrazionalità del denominatore, poiché in futuro questo ti permetterà di trasformare l'espressione al denominatore utilizzando la formula della differenza di cubi:

b) Espressione al denominatore della frazione può essere rappresentato nella forma , da cui si vede chiaramente che si tratta di un quadrato incompleto della differenza tra i numeri 2 e . Pertanto, se il numeratore e il denominatore di una frazione vengono moltiplicati per la somma, il denominatore può essere convertito utilizzando la formula della somma dei cubi, che ci libererà dall'irrazionalità del denominatore della frazione. Questo può essere fatto sotto la condizione che è equivalente alla condizione ulteriore x≠−8:

E sostituendo x=−8 nella frazione originale abbiamo .

Pertanto, per tutti gli x dell'ODZ per la frazione originale (in questo caso questo è l'insieme R), eccetto x=−8, abbiamo , e per x=8 abbiamo .

Risposta:

Utilizzando metodi diversi

Negli esempi più complessi, di solito non è possibile liberarsi dall'irrazionalità del denominatore in un'unica azione, ma è necessario applicare in modo coerente metodo dopo metodo, compresi quelli discussi sopra. A volte potrebbero essere necessarie alcune soluzioni non standard. Compiti piuttosto interessanti sull'argomento in discussione possono essere trovati nel libro di testo scritto da Yu. N. Kolyagin. Bibliografia.

1. Algebra: manuale per l'ottavo grado. educazione generale istituzioni / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; a cura di S. A. Telyakovsky. - 16a ed. - M.: Educazione, 2008. - 271 p. : malato. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Mordkovich A.G. Algebra. 8 ° grado. In 2 ore Parte 1. Libro di testo per studenti di istituti di istruzione generale / A. G. Mordkovich. - 11a edizione, cancellata. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
3. Algebra e l'inizio dell'analisi matematica. 10a elementare: libro di testo. per l'istruzione generale istituzioni: nozioni di base e profilo. livelli / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; a cura di A. B. Zhizhchenko. - 3a ed. - M.: Educazione, 2010.- 368 p. : illustrazione - ISBN 978-5-09-022771-1.

Danny Peric Campana

Un altro libro interessante per gli scolari interessati, purtroppo non tradotto in russo, è il libro “Le avventure matematiche di Daniel” (Las Aventuras Matemáticas de Daniel) dell’insegnante di matematica cileno Danny Perich Campana, una persona davvero straordinaria e interessante. Non solo insegna ai bambini, ma scrive anche canzoni e pubblica su Internet vari materiali didattici sulla matematica. Si trovano su YouTube e sul sito http://www.sectormatematica.cl/ (ovviamente tutto il materiale è in spagnolo).

Qui sto pubblicando un capitolo del libro di Danni Peric. L'ho trovato piuttosto interessante e utile per gli scolari. Per far capire di cosa stiamo parlando dico che Daniel e Camila lavorano a scuola, sono insegnanti.

Il segreto per liberarsi dall’irrazionalità

"Camila, ho molti problemi adesso quando cerco di spiegare perché viene utilizzato ciò che stiamo esaminando in classe", ha detto Daniel.

- Non capisco davvero di cosa stai parlando.

— Sto parlando di quello che c’è in tutti i libri di testo scolastici e anche in quelli universitari. Ho ancora dei dubbi: perché è necessario eliminare l'irrazionalità nel denominatore? E odio dire alla gente quello che non ho capito per così tanto tempo”, si è lamentato Daniel.

“Inoltre non so da dove provenga e perché sia ​​necessario, ma deve esserci una spiegazione logica per questo.

— Una volta ho letto su una rivista scientifica che eliminando l'irrazionalità nel denominatore si ottiene il risultato con maggiore precisione, ma non l'ho mai più visto e non sono sicuro che sia vero.

- Perché non controlliamo? - chiese Camila.

"Hai ragione", concordò Daniel. — Invece di lamentarti, dovresti provare a trarre le tue conclusioni. Allora aiutami...

- Certo, ora mi interessa anch'io.

"Dobbiamo prendere alcune espressioni ed eliminare l'irrazionalità nel denominatore, quindi sostituire la radice con il suo valore e trovare il risultato dell'espressione prima e dopo eliminare l'irrazionalità nel denominatore e vedere se cambia qualcosa."

"Certamente", concordò Camila. - Facciamolo.

"Prendi, ad esempio, l'espressione", disse Daniel e prese un pezzo di carta per scrivere quello che stava succedendo. - Moltiplica il numeratore e il denominatore per e ottieni .

“Sarà corretto e può aiutarci a trarre conclusioni se consideriamo altre espressioni irrazionali uguali a questa”, ha suggerito Camila.

"Sono d'accordo", disse Daniel, "dividerò il numeratore e il denominatore per , e tu li moltiplicherai per ."

- Sono riuscito . E tu?

"Sì", rispose Daniel. - Ora calcoliamo l'espressione originale e quelle risultanti, sostituendole con il suo valore con tutte le cifre decimali fornite dalla calcolatrice. Noi abbiamo:

“Non vedo niente di speciale”, ha detto Camila. "Mi aspettavo una sorta di differenza che giustificasse l'eliminazione dell'irrazionalità."

“Come ti ho già detto, una volta ne ho letto in relazione all'approccio. Che ne dici se lo sostituiamo con un numero meno preciso, come ?

- Proviamo a vedere cosa succede.

Risoluzione di equazioni con le frazioni Diamo un'occhiata agli esempi. Gli esempi sono semplici ed illustrativi. Con il loro aiuto sarai in grado di capire nel modo più comprensibile.
Ad esempio, devi risolvere la semplice equazione x/b + c = d.

Un'equazione di questo tipo è chiamata lineare, perché Il denominatore contiene solo numeri.

La soluzione viene eseguita moltiplicando entrambi i membri dell'equazione per b, quindi l'equazione assume la forma x = b*(d – c), cioè il denominatore della frazione a sinistra si annulla.

Ad esempio, come risolvere un'equazione frazionaria:
x/5+4=9
Moltiplichiamo entrambi i membri per 5. Otteniamo:
x+20=45
x=45-20=25

Un altro esempio in cui l'incognita è al denominatore:

Equazioni di questo tipo sono chiamate frazionarie-razionali o semplicemente frazionarie.

Risolveremo un'equazione frazionaria eliminando le frazioni, dopodiché questa equazione, molto spesso, si trasforma in un'equazione lineare o quadratica, che viene risolta nel solito modo. Devi solo considerare i seguenti punti:

• il valore di una variabile che porta il denominatore a 0 non può essere una radice;
• Non è possibile dividere o moltiplicare un'equazione per l'espressione =0.

È qui che entra in vigore il concetto di regione dei valori ammissibili (ADV): ​​questi sono i valori delle radici dell'equazione per cui l'equazione ha senso.

Pertanto, quando si risolve l'equazione, è necessario trovare le radici e quindi verificarne la conformità con l'ODZ. Sono escluse dalla risposta quelle radici che non corrispondono alla nostra ODZ.

Ad esempio, devi risolvere un'equazione frazionaria:

In base alla regola di cui sopra, x non può essere = 0, cioè ODZ in questo caso: x – qualsiasi valore diverso da zero.

Ci liberiamo del denominatore moltiplicando tutti i termini dell'equazione per x

E risolviamo la solita equazione

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Risposta: x = 1/3

Risolviamo un'equazione più complicata:

ODZ è presente anche qui: x -2.

Quando risolviamo questa equazione, non sposteremo tutto da una parte e porteremo le frazioni a un denominatore comune. Moltiplicheremo immediatamente entrambi i lati dell'equazione per un'espressione che annullerà tutti i denominatori contemporaneamente.

Per ridurre i denominatori, devi moltiplicare il lato sinistro per x+2 e il lato destro per 2. Ciò significa che entrambi i lati dell'equazione devono essere moltiplicati per 2(x+2):

Questa è la moltiplicazione delle frazioni più comune, di cui abbiamo già discusso sopra.

Scriviamo la stessa equazione, ma in modo leggermente diverso

Il lato sinistro viene ridotto di (x+2) e quello destro di 2. Dopo la riduzione, otteniamo la solita equazione lineare:

x = 4 – 2 = 2, che corrisponde al nostro ODZ

Risposta: x = 2.

Risoluzione di equazioni con le frazioni non così difficile come potrebbe sembrare. In questo articolo lo abbiamo dimostrato con degli esempi. In caso di difficoltà con come risolvere equazioni con le frazioni, quindi annulla l'iscrizione nei commenti.

In questo argomento considereremo tutti e tre i gruppi di limiti con irrazionalità sopra elencati. Cominciamo con i limiti contenenti incertezza della forma $\frac(0)(0)$.

Divulgazione dell'incertezza $\frac(0)(0)$.

La soluzione ad esempi standard di questo tipo consiste solitamente in due passaggi:

• Ci liberiamo dell'irrazionalità che ha causato l'incertezza moltiplicando per la cosiddetta espressione “coniugata”;
• Se necessario, fattorizzare l'espressione al numeratore o al denominatore (o entrambi);
• Riduciamo i fattori che portano all'incertezza e calcoliamo il valore desiderato del limite.

Il termine "espressione coniugata" utilizzato sopra verrà spiegato in dettaglio negli esempi. Per ora non c’è motivo di soffermarsi nel dettaglio. In generale, puoi andare dall'altra parte, senza usare l'espressione coniugata. A volte una sostituzione ben scelta può eliminare l’irrazionalità. Tali esempi sono rari nei test standard, quindi considereremo solo l'esempio n. 6 per l'uso della sostituzione (vedere la seconda parte di questo argomento).

Avremo bisogno di diverse formule, che scriverò di seguito:

\begin(equation) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(equation) \begin(equation) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \end(equation) \begin(equation) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(equation) \begin (equazione) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(equazione)

Inoltre, presupponiamo che il lettore conosca le formule per risolvere le equazioni quadratiche. Se $x_1$ e $x_2$ sono le radici del trinomio quadratico $ax^2+bx+c$, allora può essere fattorizzato utilizzando la seguente formula:

\begin(equation) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(equation)

Le formule (1)-(5) sono più che sufficienti per risolvere i problemi standard, ai quali passeremo ora.

Esempio n. 1

Trova $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Poiché $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ e $\lim_(x\to 3) (x-3)=3-3=0$, allora nel limite dato abbiamo un'incertezza della forma $\frac(0)(0)$. La differenza $\sqrt(7-x)-2$ ci impedisce di rivelare questa incertezza. Per eliminare tali irrazionalità si usa la moltiplicazione per la cosiddetta “espressione coniugata”. Vedremo ora come funziona tale moltiplicazione. Moltiplica $\sqrt(7-x)-2$ per $\sqrt(7-x)+2$:

$$(\quadrato(7-x)-2)(\quadrato(7-x)+2)$$

Per aprire le parentesi, applicare , sostituendo $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ nella parte destra della formula menzionata:

$$(\quadrato(7-x)-2)(\quadrato(7-x)+2)=(\quadrato(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Come puoi vedere, se moltiplichi il numeratore per $\sqrt(7-x)+2$, la radice (cioè l'irrazionalità) nel numeratore scomparirà. Questa espressione $\sqrt(7-x)+2$ sarà coniugare all'espressione $\sqrt(7-x)-2$. Tuttavia, non possiamo semplicemente moltiplicare il numeratore per $\sqrt(7-x)+2$, perché questo cambierà la frazione $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$, che è sotto il limite. Devi moltiplicare sia il numeratore che il denominatore contemporaneamente:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Ora ricorda che $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ e apri le parentesi. E dopo aver aperto le parentesi e una piccola trasformazione $3-x=-(x-3)$, riduciamo la frazione di $x-3$:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\to 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

L'incertezza $\frac(0)(0)$ è scomparsa. Ora puoi facilmente ottenere la risposta di questo esempio:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Noto che l'espressione coniugata può cambiare la sua struttura, a seconda del tipo di irrazionalità che deve rimuovere. Negli esempi n. 4 e n. 5 (vedi la seconda parte di questo argomento) verrà utilizzato un diverso tipo di espressione coniugata.

Risposta: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Esempio n.2

Trova $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Poiché $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ e $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, allora noi hanno a che fare con l'incertezza della forma $\frac(0)(0)$. Liberiamoci dall'irrazionalità nel denominatore di questa frazione. Per fare ciò, aggiungiamo sia il numeratore che il denominatore della frazione $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ al espressione $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ coniugata al denominatore:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sinistra|\frac(0 )(0)\right|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Ancora una volta, come nell'esempio n. 1, è necessario utilizzare le parentesi per espandere. Sostituendo $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ nella parte destra della formula menzionata, otteniamo la seguente espressione per il denominatore:

$$ \sinistra(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\destra)\sinistra(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ destra)=\\ =\sinistra(\sqrt(x^2+5)\destra)^2-\sinistra(\sqrt(7x^2-19)\destra)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Torniamo al nostro limite:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

Nell'esempio n. 1, quasi immediatamente dopo la moltiplicazione per l'espressione coniugata, la frazione è stata ridotta. Qui, prima della riduzione, dovrai fattorizzare le espressioni $3x^2-5x-2$ e $x^2-4$, e solo dopo procedere alla riduzione. Per fattorizzare l'espressione $3x^2-5x-2$ è necessario utilizzare . Innanzitutto, risolviamo l'equazione quadratica $3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(allineato) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(allineato) $$

Sostituendo $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ in , avremo:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\sinistra(x-\sinistra(-\frac(1)(3)\destra)\destra)(x-2)=3\cdot\sinistra(x+\ frac(1)(3)\destra)(x-2)=\sinistra(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\destra)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

Ora è il momento di fattorizzare l'espressione $x^2-4$. Usiamo , sostituendo $a=x$, $b=2$:

$$x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Usiamo i risultati ottenuti. Poiché $x^2-4=(x-2)(x+2)$ e $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, allora:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2 -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x ^2+5)+\quadrato(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

Riducendo per la parentesi $x-2$ otteniamo:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\quadrato(7x^2-19)))(x+2). $$

Tutto! L'incertezza è scomparsa. Ancora un passo e arriviamo alla risposta:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2 ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Risposta: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4)$.

Nell'esempio seguente, considera il caso in cui le irrazionalità saranno presenti sia al numeratore che al denominatore della frazione.

Esempio n.3

Trova $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))$.

Poiché $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ e $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, allora abbiamo un'incertezza della forma $ \frac(0)(0)$. Poiché in questo caso le radici sono presenti sia al denominatore che al numeratore, per eliminare l'incertezza dovrai moltiplicare per due parentesi contemporaneamente. Innanzitutto all'espressione $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ coniugata al numeratore. E in secondo luogo, all'espressione $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ coniugata al denominatore.

$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2 -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2 -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(allineato) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(aligned) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

Per l'espressione $x^2-8x+15$ otteniamo:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(allineato) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(allineato)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Sostituendo le espansioni risultanti $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ e $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ nel limite in esame, avrà:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\to 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Risposta: $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=-6$.

Nella prossima (seconda) parte considereremo un altro paio di esempi in cui l'espressione coniugata avrà una forma diversa rispetto ai problemi precedenti. La cosa principale da ricordare è che lo scopo dell'utilizzo di un'espressione coniugata è eliminare l'irrazionalità che causa incertezza.

Quando si studiano le trasformazioni di un'espressione irrazionale, una domanda molto importante è come eliminare l'irrazionalità nel denominatore di una frazione. Lo scopo di questo articolo è spiegare questa azione utilizzando problemi di esempio specifici. Nel primo paragrafo esamineremo le regole di base di questa trasformazione e nel secondo esempi tipici con spiegazioni dettagliate.

Il concetto di liberazione dall'irrazionalità al denominatore

Cominciamo spiegando qual è il significato di tale trasformazione. Per fare ciò, ricorda le seguenti disposizioni.

Possiamo parlare di irrazionalità nel denominatore di una frazione se c'è un radicale, noto anche come segno della radice. I numeri scritti con questo segno sono spesso irrazionali. Gli esempi sarebbero 1 2, - 2 x + 3, x + y x - 2 · x · y + 1, 11 7 - 5. Le frazioni con denominatori irrazionali includono anche quelle che hanno segni di radici di vario grado (quadrate, cubiche, ecc.), ad esempio 3 4 3, 1 x + x · y 4 + y. Dovresti eliminare l'irrazionalità per semplificare l'espressione e facilitare ulteriori calcoli. Formuliamo la definizione di base:

Definizione 1

Liberati dall'irrazionalità nel denominatore di una frazione- significa trasformarlo sostituendolo con una frazione identicamente uguale, il cui denominatore non contiene radici né potenze.

Tale azione può essere chiamata liberazione o eliminazione dell'irrazionalità, ma il significato rimane lo stesso. Quindi, il passaggio da 1 2 a 2 2, cioè a una frazione con un valore uguale senza segno di radice al denominatore e sarà l'azione di cui abbiamo bisogno. Facciamo un altro esempio: abbiamo una frazione x x - y. Effettuiamo le trasformazioni necessarie e otteniamo una frazione x · x + y x - y identicamente uguale, liberandoci dall'irrazionalità del denominatore.

Dopo aver formulato la definizione, possiamo procedere direttamente allo studio della sequenza di azioni che devono essere eseguite per tale trasformazione.

Passaggi fondamentali per eliminare l'irrazionalità nel denominatore di una frazione

Per eliminare le radici, è necessario eseguire due successive trasformazioni della frazione: moltiplicare entrambe le parti della frazione per un numero diverso da zero, quindi trasformare l'espressione ottenuta nel denominatore. Consideriamo i casi principali.

Nel caso più semplice, puoi cavartela trasformando il denominatore. Ad esempio, possiamo prendere una frazione con denominatore uguale alla radice di 9. Dopo aver calcolato 9, scriviamo 3 al denominatore e quindi ci liberiamo dell'irrazionalità.

Molto più spesso però è necessario prima moltiplicare numeratore e denominatore per un numero che permetterà poi di portare il denominatore alla forma desiderata (senza radici). Quindi, se moltiplichiamo 1 x + 1 per x + 1, otteniamo la frazione x + 1 x + 1 x + 1 e possiamo sostituire l'espressione al denominatore con x + 1. Quindi abbiamo trasformato 1 x + 1 in x + 1 x + 1, eliminando l'irrazionalità.

A volte le trasformazioni che devi eseguire sono piuttosto specifiche. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi illustrativi.

Come convertire un'espressione al denominatore di una frazione

Come abbiamo detto, il modo più semplice per farlo è convertire il denominatore.

Esempio 1

Condizione: liberare la frazione 1 2 · 18 + 50 dall'irrazionalità al denominatore.

Soluzione

Per prima cosa apriamo le parentesi e otteniamo l'espressione 1 2 18 + 2 50. Utilizzando le proprietà di base delle radici, passiamo all'espressione 1 2 18 + 2 50. Calcoliamo i valori di entrambe le espressioni sotto le radici e otteniamo 1 36 + 100. Qui puoi già estrarre le radici. Di conseguenza, abbiamo ottenuto la frazione 1 6 + 10, pari a 1 16. La trasformazione può essere completata qui.

Scriviamo lo stato di avanzamento dell'intera soluzione senza commenti:

1 2 18 + 50 = 1 2 18 + 2 50 = 1 2 18 + 2 50 = 1 36 + 100 = 1 6 + 10 = 1 16

Risposta: 1 2 18 + 50 = 1 16.

Esempio 2

Condizione: data la frazione 7 - x (x + 1) 2. Sbarazzarsi dell'irrazionalità nel denominatore.

Soluzione

In precedenza nell'articolo dedicato alle trasformazioni di espressioni irrazionali utilizzando le proprietà delle radici, abbiamo menzionato che per qualsiasi A e anche n possiamo sostituire l'espressione A n n con | A | sull'intero intervallo di valori consentiti delle variabili. Pertanto nel nostro caso possiamo scriverlo così: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1. In questo modo ci siamo liberati dall'irrazionalità del denominatore.

Risposta: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1.

Sbarazzarsi dell'irrazionalità moltiplicando per la radice

Se il denominatore di una frazione contiene un'espressione della forma A e l'espressione A stessa non ha segni di radice, allora possiamo liberarci dall'irrazionalità semplicemente moltiplicando entrambi i lati della frazione originale per A. La possibilità di questa azione è determinata dal fatto che A non tornerà a 0 nell'intervallo di valori accettabili. Dopo la moltiplicazione, il denominatore conterrà un'espressione della forma A · A, di cui è facile eliminare le radici: A · A = A 2 = A. Vediamo come applicare correttamente questo metodo nella pratica.

Esempio 3

Condizione: date le frazioni x 3 e - 1 x 2 + y - 4. Sbarazzarsi dell'irrazionalità nei loro denominatori.

Soluzione

Moltiplichiamo la prima frazione per la seconda radice di 3. Otteniamo quanto segue:

x3 = x333 = x332 = x33

Nel secondo caso dobbiamo moltiplicare per x 2 + y - 4 e trasformare l'espressione risultante al denominatore:

1 x 2 + y - 4 = - 1 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 = = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 2 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4

Risposta: x 3 = x · 3 3 e - 1 x 2 + y - 4 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 .

Se il denominatore della frazione originale contiene espressioni della forma A n m o A m n (soggetto a m e n naturali), dobbiamo scegliere un fattore tale che l'espressione risultante possa essere convertita in A n n k o A n k n (soggetto a naturale k). Dopodiché sarà facile liberarsi dell’irrazionalità. Diamo un'occhiata a questo esempio.

Esempio 4

Condizione: date le frazioni 7 6 3 5 e x x 2 + 1 4 15. Sbarazzarsi dell'irrazionalità nei denominatori.

Soluzione

Dobbiamo prendere un numero naturale che può essere diviso per cinque e deve essere maggiore di tre. Affinché l'esponente 6 diventi uguale a 5, dobbiamo moltiplicare per 6 2 5. Dovremo quindi moltiplicare entrambe le parti della frazione originale per 6 2 5:

7 6 3 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 = 7 6 2 5 6 5 5 = 7 6 2 5 6 = 7 36 5 6

Nel secondo caso occorre un numero maggiore di 15, che può essere diviso per 4 senza resto. Ne prendiamo 16. Per ottenere tale esponente al denominatore, dobbiamo prendere x 2 + 1 4 come fattore. Chiariamo che il valore di questa espressione non sarà in ogni caso 0. Calcoliamo:

x x 2 + 1 4 15 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 15 x 2 + 1 4 = = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 16 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 4 4 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4

Risposta: 7 6 3 5 = 7 · 36 5 6 e x x 2 + 1 4 15 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 .

Eliminare l'irrazionalità moltiplicando per l'espressione coniugata

Il seguente metodo è adatto per quei casi in cui il denominatore della frazione originale contiene le espressioni a + b, a - b, a + b, a - b, a + b, a - b. In questi casi, dobbiamo prendere come fattore l'espressione coniugata. Spieghiamo il significato di questo concetto.

Per la prima espressione a + b il coniugato sarà a - b, per la seconda a - b – a + b. Per a + b – a - b, per a - b – a + b, per a + b – a - b e per a - b – a + b. In altre parole, un'espressione coniugata è un'espressione in cui il segno opposto compare prima del secondo termine.

Diamo un'occhiata a cos'è esattamente questo metodo. Diciamo che abbiamo un prodotto della forma a - b · a + b. Può essere sostituito dalla differenza dei quadrati a - b · a + b = a 2 - b 2, dopodiché si passa all'espressione a - b, priva di radicali. Ci siamo quindi liberati dall'irrazionalità nel denominatore della frazione moltiplicando per l'espressione coniugata. Facciamo un paio di esempi illustrativi.

Esempio 5

Condizione: eliminare l'irrazionalità nelle espressioni 3 7 - 3 e x - 5 - 2.

Soluzione

Nel primo caso prendiamo l'espressione coniugata pari a 7+3. Ora moltiplichiamo entrambe le parti della frazione originale per esso:

3 7 - 3 = 3 7 + 3 7 - 3 7 + 3 = 3 7 + 3 7 2 - 3 2 = = 3 7 + 3 7 - 9 = 3 7 + 3 - 2 = - 3 7 + 3 2

Nel secondo caso abbiamo bisogno dell'espressione - 5 + 2, che è il coniugato dell'espressione - 5 - 2. Moltiplica numeratore e denominatore per esso e ottieni:

x - 5 - 2 = x · - 5 + 2 - 5 - 2 · - 5 + 2 = = x · - 5 + 2 - 5 2 - 2 2 = x · - 5 + 2 5 - 2 = x · 2 - 5 3

È anche possibile effettuare una trasformazione prima della moltiplicazione: se prima togliamo il meno al denominatore, sarà più conveniente calcolare:

x - 5 - 2 = - x 5 + 2 = - x 5 - 2 5 + 2 5 - 2 = = - x 5 - 2 5 2 - 2 2 = - x 5 - 2 5 - 2 = - x · 5 - 2 3 = = x · 2 - 5 3

Risposta: 3 7 - 3 = - 3 7 + 3 2 e x - 5 - 2 = x 2 - 5 3.

È importante prestare attenzione al fatto che l'espressione ottenuta come risultato della moltiplicazione non va a 0 per nessuna variabile nell'intervallo di valori accettabili per questa espressione.

Esempio 6

Condizione: data la frazione x x + 4. Trasformalo in modo che non ci siano espressioni irrazionali al denominatore.

Soluzione

Cominciamo trovando l'intervallo di valori accettabili per la variabile x. È definito dalle condizioni x ≥ 0 e x + 4 ≠ 0. Da essi possiamo concludere che l'area desiderata è un insieme x ≥ 0.

Il coniugato del denominatore è x - 4 . Quando possiamo moltiplicarlo? Solo se x - 4 ≠ 0. Nell'intervallo di valori accettabili, ciò sarà equivalente alla condizione x≠16. Di conseguenza, otteniamo quanto segue:

x x + 4 = x x - 4 x + 4 x - 4 = = x x - 4 x 2 - 4 2 = x x - 4 x - 16

Se x è uguale a 16, otteniamo:

x x + 4 = 16 16 + 4 = 16 4 + 4 = 2

Pertanto x x + 4 = x · x - 4 x - 16 per tutti i valori di x appartenenti all'intervallo dei valori accettabili, ad eccezione di 16. A x = 16 otteniamo x x + 4 = 2.

Risposta: x x + 4 = x · x - 4 x - 16 , x ∈ [ 0 , 16) ∪ (16 , + ∞) 2 , x = 16 .

Convertire frazioni con irrazionalità al denominatore utilizzando le formule di somma e differenza di cubi

Nel paragrafo precedente abbiamo moltiplicato per le espressioni coniugate per poi utilizzare la formula per la differenza dei quadrati. A volte, per eliminare l'irrazionalità del denominatore, è utile utilizzare altre formule di moltiplicazione abbreviate, ad esempio la differenza di cubi un 3 - b 3 = (a - b) (un 2 + un b + b 2). Questa formula è conveniente da usare se il denominatore della frazione originale contiene espressioni con radici di terzo grado della forma A 3 - B 3, A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2. eccetera. Per applicarlo dobbiamo moltiplicare il denominatore della frazione per il quadrato parziale della somma A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 o per la differenza A 3 - B 3. La formula della somma può essere applicata allo stesso modo un 3 + b 3 = (a) (un 2 − un b + b 2).

Esempio 7

Condizione: trasforma le frazioni 1 7 3 - 2 3 e 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 in modo da eliminare l'irrazionalità del denominatore.

Soluzione

Per la prima frazione, dobbiamo utilizzare il metodo di moltiplicare entrambe le parti per il quadrato parziale della somma 7 3 e 2 3, poiché possiamo quindi convertire utilizzando la formula della differenza di cubi:

1 7 3 - 2 3 = 1 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 - 2 3 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 = = 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 3 - 2 3 3 = 7 2 3 + 7 2 3 + 2 2 3 7 - 2 = = 49 3 + 14 3 + 4 3 5

Nella seconda frazione rappresentiamo il denominatore come 2 2 - 2 x 3 + x 3 2. Questa espressione mostra il quadrato incompleto della differenza 2 e x 3, il che significa che possiamo moltiplicare entrambe le parti della frazione per la somma 2 + x 3 e utilizzare la formula per la somma dei cubi. Per fare ciò deve essere soddisfatta la condizione 2 + x 3 ≠ 0, equivalente a x 3 ≠ - 2 e x ≠ − 8:

3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 = = 3 2 + x 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 2 + x 3 = 6 + 3 x 3 2 3 + x 3 3 = = 6 + 3 x 3 8 + x

Sostituiamo 8 nella frazione e troviamo il valore:

3 4 - 2 8 3 + 8 2 3 = 3 4 - 2 2 + 4 = 3 4

Riassumiamo. Per tutti gli x compresi nell'intervallo di valori della frazione originale (insieme R), ad eccezione di - 8, otteniamo 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x. Se x = 8, allora 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 4.

Risposta: 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x, x ≠ 8 3 4, x = - 8.

Applicazione coerente di diversi metodi di conversione

Spesso nella pratica ci sono esempi più complessi in cui non riusciamo a liberarci dall'irrazionalità del denominatore utilizzando un solo metodo. Per loro, è necessario eseguire costantemente diverse trasformazioni o selezionare soluzioni non standard. Prendiamo uno di questi problemi.

Esempio N

Condizione: converti 5 7 4 - 2 4 per eliminare i segni delle radici nel denominatore.

Soluzione

Moltiplichiamo entrambi i lati della frazione originale per l'espressione coniugata 7 4 + 2 4 con un valore diverso da zero. Otteniamo quanto segue:

5 7 4 - 2 4 = 5 7 4 + 2 4 7 4 - 2 4 7 4 + 2 4 = = 5 7 4 + 2 4 7 4 2 - 2 4 2 = 5 7 4 + 2 4 7 - 2

Ora usiamo di nuovo lo stesso metodo:

5 7 4 + 2 4 7 - 2 = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 - 2 7 + 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 2 - 2 2 = 5 7 4 + 7 4 7 + 2 7 - 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 5 = 7 4 + 2 4 7 + 2

Risposta: 5 7 4 - 2 4 = 7 4 + 2 4 · 7 + 2.

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