कार्य की उत्तलता. उत्तल दिशा
किसी फ़ंक्शन की उत्तलता की अवधारणा
फ़ंक्शन \(y = f\left(x \right),\) पर विचार करें, जिसे अंतराल \(\left[ (a,b) \right]\) पर निरंतर माना जाता है। फ़ंक्शन \(y = f\ बाएँ(x \दाएँ )\) कहा जाता है नीचे उत्तल (या केवल उत्तल), यदि \(\left[ (a,b) \right]\) से किसी भी बिंदु \((x_1)\) और \((x_2)\) के लिए असमानता \ यदि यह असमानता किसी भी \(( के लिए सख्त है) x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\) जिससे कि \((x_1) \ne (x_2),\) तो फ़ंक्शन \(f\left(x \right) \) कहा जाता है कड़ाई से नीचे की ओर उत्तल
एक उर्ध्व उत्तल फ़ंक्शन को इसी तरह परिभाषित किया गया है। फ़ंक्शन को \(f\left(x \right)\) कहा जाता है उत्तल (या नतोदर), यदि खंड के किसी भी बिंदु \((x_1)\) और \((x_2)\) के लिए \(\left[ (a,b) \right]\) असमानता \ यदि यह असमानता किसी भी \ के लिए सख्त है (( x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\) इस प्रकार कि \((x_1) \ne (x_2),\) तो फ़ंक्शन \(f\left(x \ दाएँ) \) कहलाते हैं कड़ाई से ऊपर की ओर उत्तल खंड पर \(\left[ (a,b) \right].\)
किसी फ़ंक्शन की उत्तलता की ज्यामितीय व्याख्या
उत्तल फ़ंक्शन की प्रस्तुत परिभाषाओं में एक सरल ज्यामितीय व्याख्या है।
समारोह के लिए, नीचे उत्तल (चित्र \(1\)), किसी भी तार का मध्यबिंदु \(B\) \((A_1)(A_2)\) स्थित है उच्च
इसी प्रकार, समारोह के लिए, उत्तल (चित्र \(2\)), किसी भी तार का मध्यबिंदु \(B\) \((A_1)(A_2)\) स्थित है नीचेफ़ंक्शन ग्राफ़ का संगत बिंदु \((A_0)\) या इस बिंदु से मेल खाता है।
उत्तल फ़ंक्शंस में एक और दृश्य गुण होता है, जो स्थान से संबंधित होता है स्पर्शरेखा फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर. फ़ंक्शन \(f\left(x \right)\) है नीचे उत्तल खंड \(\left[ (a,b) \right]\) पर यदि और केवल यदि इसका ग्राफ खंड \(\left) के किसी भी बिंदु \((x_0)\) पर खींची गई स्पर्शरेखा से कम नहीं है [(a ,b) \right]\) (चित्र \(3\)).
तदनुसार, फ़ंक्शन \(f\left(x \right)\) है उत्तल खंड \(\left[ (a,b) \right]\) पर यदि और केवल यदि इसका ग्राफ खंड \(\left) के किसी भी बिंदु \((x_0)\) पर खींची गई स्पर्शरेखा से अधिक नहीं है [(a ,b) \right]\) (चित्र \(4\)). ये गुण एक प्रमेय का निर्माण करते हैं और किसी फ़ंक्शन की उत्तलता की परिभाषा का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।
उत्तलता के लिए पर्याप्त स्थितियाँ
मान लीजिए कि फ़ंक्शन \(f\left(x \right)\) का पहला व्युत्पन्न \(f"\left(x \right)\) अंतराल \(\left[ (a,b) \right] पर मौजूद है, \) और दूसरा व्युत्पन्न \(f""\left(x \right)\) - अंतराल पर \(\left((a,b) \right).\) तब उत्तलता के लिए निम्नलिखित पर्याप्त मानदंड मान्य हैं:
यदि \(f""\left(x \right) \ge 0\) सभी \(x \in \left((a,b) \right),\) के लिए तो फ़ंक्शन \(f\left(x \ सही )\) नीचे उत्तल खंड पर \(\left[ (a,b) \right];\)
यदि \(f""\left(x \right) \le 0\) सभी \(x \in \left((a,b) \right),\) के लिए तो फ़ंक्शन \(f\left(x \ सही )\) ऊपर की ओर उत्तल खंड पर \(\left[ (a,b) \right].\)
आइए हम नीचे की ओर उत्तल फलन के मामले के लिए उपरोक्त प्रमेय को सिद्ध करें। मान लीजिए कि फ़ंक्शन \(f\left(x \right)\) में अंतराल \(\left((a,b) \right):\) \(f""\left(x) पर एक गैर-नकारात्मक दूसरा व्युत्पन्न है \दाएं) \ge 0.\) आइए हम खंड के मध्य बिंदु को \((x_0)\) से निरूपित करें \(\left[ ((x_1),(x_2)) \right].\) मान लें कि की लंबाई यह खंड \(2h.\) के बराबर है, फिर निर्देशांक \((x_1)\) और \((x_2)\) को इस प्रकार लिखा जा सकता है: \[(x_1) = (x_0) - h,\;\; (x_2) = (x_0) + h.\] आइए बिंदु \((x_0)\) पर फ़ंक्शन \(f\left(x \right)\) को लैग्रेंज फॉर्म में शेष पद के साथ टेलर श्रृंखला में विस्तारित करें . हमें निम्नलिखित अभिव्यक्तियाँ मिलती हैं: \[ (f\left(((x_1)) \right) = f\left(((x_0) - h) \right) ) = (f\left(((x_0)) \right ) - f"\left(((x_0)) \right)h + \frac((f""\left(((\xi _1)) \right)(h^2)))((2},}
\]
\[
{f\left({{x_2}} \right) = f\left({{x_0} + h} \right) }
= {f\left({{x_0}} \right) + f"\left({{x_0}} \right)h + \frac{{f""\left({{\xi _2}} \right){h^2}}}{{2!}},}
\]
где \({x_0} - h !}
आइए दोनों समानताएं जोड़ें: \[ (f\left(((x_1)) \right) + f\left(((x_2)) \right) ) = (2f\left(((x_0)) \right) + \ frac (((h^2)))(2)\left[ (f""\left(((\xi _1)) \right) + f""\left(((\xi _2)) \right) ) \दाएं].) \] चूंकि \((\xi _1),(\xi _2) \in \left((a,b) \right),\) तो दाईं ओर दूसरा व्युत्पन्न गैर-नकारात्मक है . इसलिए, \ या \ अर्थात, परिभाषा के अनुसार, फ़ंक्शन \(f\left(x \right)\) नीचे उत्तल
.
ध्यान दें कि किसी फ़ंक्शन की उत्तलता के लिए आवश्यक शर्त (यानी, एक प्रत्यक्ष प्रमेय जिसमें, उदाहरण के लिए, उत्तलता की स्थिति से नीचे की ओर यह अनुसरण करती है कि \(f""\left(x \right) \ge 0\)) केवल गैर-सख्त असमानताओं के लिए संतुष्ट है। सख्त उत्तलता के मामले में, आवश्यक शर्त, आम तौर पर, संतुष्ट नहीं होती है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन \(f\left(x \right) = (x^4)\) सख्ती से नीचे की ओर उत्तल है। हालाँकि, बिंदु \(x = 0\) पर इसका दूसरा अवकलज शून्य के बराबर है, अर्थात। सख्त असमानता \(f""\left(x \right) \gt 0\) इस मामले में लागू नहीं होती है।
उत्तल फलनों के गुण
आइए हम उत्तल फलनों के कुछ गुणों को सूचीबद्ध करें, यह मानते हुए कि सभी फलन परिभाषित हैं और अंतराल \(\left[ (a,b) \right]\) पर निरंतर हैं।
यदि फ़ंक्शन \(f\) और \(g\) नीचे (ऊपर की ओर) उत्तल हैं, तो उनमें से कोई भी रैखिक संयोजन \(af + bg,\) जहां \(a\), \(b\) सकारात्मक वास्तविक संख्याएं हैं, वह भी नीचे की ओर (ऊपर की ओर) उत्तल है।
यदि फ़ंक्शन \(u = g\left(x \right)\) नीचे की ओर उत्तल है, और फ़ंक्शन \(y = f\left(u \right)\) नीचे की ओर उत्तल है और घटता नहीं है, तो जटिल कार्य \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) भी नीचे की ओर उत्तल होगा।
यदि फ़ंक्शन \(u = g\left(x \right)\) ऊपर की ओर उत्तल है, और फ़ंक्शन \(y = f\left(u \right)\) नीचे की ओर उत्तल है और बढ़ता नहीं है, तो जटिल कार्य \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) नीचे की ओर उत्तल होगा।
स्थानीय अधिकतम अंतराल \(\left[ (a,b) \right],\) पर परिभाषित उर्ध्व उत्तल फलन भी इसका है उच्चतम मूल्य इस खंड पर.
स्थानीय न्यूनतम अंतराल \(\left[ (a,b) \right],\) पर परिभाषित नीचे की ओर उत्तल फ़ंक्शन भी इसका है सबसे कम मूल्य इस खंड पर.
किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ य=एफ(एक्स)बुलाया उत्तलअंतराल पर (ए; बी), यदि यह इस अंतराल पर अपनी किसी स्पर्शरेखा के नीचे स्थित है।
किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ य=एफ(एक्स)बुलाया नतोदरअंतराल पर (ए; बी), यदि यह इस अंतराल पर अपनी किसी स्पर्शरेखा के ऊपर स्थित है।
चित्र एक वक्र दिखाता है जो उत्तल है (ए; बी)और अवतल पर (बी;सी).
उदाहरण।
आइए एक पर्याप्त मानदंड पर विचार करें जो हमें यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि किसी दिए गए अंतराल में किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ उत्तल होगा या अवतल।
प्रमेय. होने देना य=एफ(एक्स)पर भिन्न (ए; बी). यदि अंतराल के सभी बिंदुओं पर (ए; बी)फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न य = एफ(एक्स)नकारात्मक, यानी एफ ""(एक्स) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же एफ""(एक्स) > 0 – अवतल.
सबूत. आइए हम निश्चितता के लिए मान लें कि एफ""(एक्स) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.
आइए ग्राफ़ पर फ़ंक्शंस लें वाई = एफ(एक्स)मनमाना बिंदु एम 0एब्सिस्सा के साथ एक्स 0 Î ( ए; बी) और बिंदु के माध्यम से ड्रा करें एम 0स्पर्शरेखा उसका समीकरण. हमें यह दिखाना होगा कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ चालू है (ए; बी)इस स्पर्शरेखा के नीचे स्थित है, अर्थात उसी मूल्य पर एक्सवक्र का समन्वय वाई = एफ(एक्स)स्पर्शरेखा की कोटि से कम होगा.
तो, वक्र का समीकरण है वाई = एफ(एक्स). आइए हम भुज के संगत स्पर्शरेखा की कोटि को निरूपित करें एक्स. तब । नतीजतन, समान मान के लिए वक्र के निर्देशांक और स्पर्शरेखा के बीच का अंतर एक्सइच्छा ।
अंतर एफ(एक्स) – एफ(एक्स 0)लैग्रेंज प्रमेय के अनुसार परिवर्तन, जहां सीबीच में एक्सऔर एक्स 0.
इस प्रकार,
हम फिर से लैग्रेंज के प्रमेय को वर्गाकार कोष्ठक में अभिव्यक्ति पर लागू करते हैं:, जहां सी 1बीच में सी0और एक्स 0. प्रमेय की शर्तों के अनुसार एफ ""(एक्स) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.
इस प्रकार, वक्र पर कोई भी बिंदु सभी मानों के लिए वक्र की स्पर्शरेखा से नीचे होता है एक्सऔर एक्स 0 Î ( ए; बी), जिसका अर्थ है कि वक्र उत्तल है। प्रमेय का दूसरा भाग भी इसी प्रकार सिद्ध होता है।
उदाहरण.
किसी सतत फलन के ग्राफ पर वह बिंदु जो उसके उत्तल भाग को अवतल भाग से अलग करता है, कहलाता है संक्रमण का बिन्दु.
जाहिर है, विभक्ति बिंदु पर, स्पर्शरेखा, यदि मौजूद है, तो वक्र को काटती है, क्योंकि इस बिंदु के एक तरफ वक्र स्पर्शरेखा के नीचे स्थित है, और दूसरी तरफ - इसके ऊपर।
आइए हम इस तथ्य के लिए पर्याप्त स्थितियाँ निर्धारित करें कि वक्र का दिया गया बिंदु एक विभक्ति बिंदु है।
प्रमेय. मान लीजिए कि वक्र को समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है वाई = एफ(एक्स). अगर एफ ""(एक्स 0) = 0 या एफ ""(एक्स 0) मान से गुजरने पर भी अस्तित्व में नहीं है एक्स = एक्स 0यौगिक एफ ""(एक्स) चिह्न बदलता है, फिर भुज के साथ फ़ंक्शन के ग्राफ़ में बिंदु एक्स = एक्स 0एक विभक्ति बिंदु है.
सबूत. होने देना एफ ""(एक्स) < 0 при एक्स < एक्स 0और एफ ""(एक्स) > 0 पर एक्स > एक्स 0. तो फिर एक्स < एक्स 0वक्र उत्तल है, और कब एक्स > एक्स 0– अवतल. इसलिए, बात ए, वक्र पर लेटा हुआ, भुज के साथ एक्स 0एक विभक्ति बिंदु है. दूसरे मामले पर भी इसी तरह विचार किया जा सकता है, जब एफ ""(एक्स) > 0 पर एक्स < एक्स 0और एफ ""(एक्स) < 0 при एक्स > एक्स 0.
इस प्रकार, विभक्ति बिंदु केवल उन बिंदुओं के बीच मांगे जाने चाहिए जहां दूसरा व्युत्पन्न गायब हो जाता है या मौजूद नहीं होता है।
उदाहरण।विभक्ति बिंदु खोजें और वक्रों की उत्तलता और अवतलता के अंतराल निर्धारित करें।
फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शोन्मुख
किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करते समय, उसके ग्राफ़ के आकार को मूल बिंदु से ग्राफ़ बिंदु की असीमित दूरी पर स्थापित करना महत्वपूर्ण है।
विशेष रुचि का मामला वह होता है जब किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़, जब उसका चर बिंदु अनंत तक हटा दिया जाता है, अनिश्चित काल तक एक निश्चित सीधी रेखा तक पहुंचता है।
सीधी रेखा कहलाती है अनंतस्पर्शीफ़ंक्शन ग्राफ़िक्स य = एफ(एक्स), यदि चर बिंदु से दूरी एमकिसी बिंदु को हटाते समय इस पंक्ति पर ग्राफ़िक्स एमअनंत की ओर शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, अर्थात्। किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक बिंदु, चूंकि यह अनंत की ओर जाता है, इसे अनिश्चित काल तक अनंतस्पर्शी तक पहुंचना चाहिए।
एक वक्र अपने अनंतस्पर्शी तक पहुंच सकता है, इसके एक तरफ या अलग-अलग तरफ रहकर, अनंतस्पर्शी को अनंत बार पार करके एक तरफ से दूसरी तरफ जा सकता है।
यदि हम बिंदु से दूरी को d से निरूपित करें एमअनंतस्पर्शी की ओर वक्र, तो यह स्पष्ट है कि जैसे-जैसे बिंदु दूर जाता है d शून्य की ओर प्रवृत्त होता है एमअनंत की ओर।
हम आगे ऊर्ध्वाधर और तिरछे अनंतस्पर्शी के बीच अंतर करेंगे।
लंबवत स्पर्शोन्मुख
चलो पर एक्स→ एक्स 0किसी भी साइड फंक्शन से य = एफ(एक्स)निरपेक्ष मूल्य में असीमित रूप से वृद्धि होती है, अर्थात या या 
. फिर अनंतस्पर्शी की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि सीधी रेखा एक्स = एक्स 0एक स्पर्शोन्मुख है. यदि रेखा हो तो विपरीत भी स्पष्ट है एक्स = एक्स 0एक स्पर्शोन्मुख है, अर्थात .
इस प्रकार, फ़ंक्शन के ग्राफ़ का लंबवत अनंतस्पर्शी वाई = एफ(एक्स)सीधी रेखा कहलाती है यदि एफ(एक्स)→ ∞ कम से कम एक शर्त के तहत एक्स→ एक्स 0– 0 या एक्स → एक्स 0 + 0, एक्स = एक्स 0
इसलिए, फ़ंक्शन के ग्राफ़ के ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी खोजने के लिए य = एफ(एक्स)उन मूल्यों को खोजने की जरूरत है एक्स = एक्स 0, जिस पर फ़ंक्शन अनंत तक चला जाता है (अनंत असंततता से ग्रस्त होता है)। फिर ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी समीकरण है एक्स = एक्स 0.
उदाहरण।
तिरछा स्पर्शोन्मुख
चूँकि अनंतस्पर्शी एक सीधी रेखा है, तो यदि वक्र है य = एफ(एक्स)एक तिरछा अनंतस्पर्शी है, तो इसका समीकरण होगा य = केएक्स + बी. हमारा कार्य गुणांक ज्ञात करना है कऔर बी.
प्रमेय. सीधा य = केएक्स + बीपर एक परोक्ष अनंतस्पर्शी के रूप में कार्य करता है एक्स→ +∞ फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए य
= एफ(एक्स)तब और केवल जब 
. एक समान कथन सत्य है एक्स → –∞.
सबूत. होने देना एमपी- खंड की लंबाई बिंदु से दूरी के बराबर एमस्पर्शोन्मुख करने के लिए. शर्त के अनुसार. आइए हम अक्ष पर अनंतस्पर्शी के झुकाव के कोण को φ से निरूपित करें बैल. फिर से ΔMNPउसका अनुसरण करता है। चूँकि φ एक स्थिर कोण (φ ≠ π/2) है, तो, लेकिन
एक निश्चित अंतराल पर किसी फ़ंक्शन की उत्तलता (अवतलता) निर्धारित करने के लिए, आप निम्नलिखित प्रमेयों का उपयोग कर सकते हैं।
प्रमेय 1.मान लीजिए कि फ़ंक्शन परिभाषित है और अंतराल पर निरंतर है और एक परिमित व्युत्पन्न है। किसी फ़ंक्शन के उत्तल (अवतल) होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इस अंतराल पर इसका व्युत्पन्न घटता (बढ़ता) है।
प्रमेय 2.फ़ंक्शन को इसके व्युत्पन्न के साथ परिभाषित और निरंतर होने दें और अंदर एक निरंतर दूसरा व्युत्पन्न रखें। किसी फलन की उत्तलता (कॉन्कैविटी) के लिए उसके अंदर का होना आवश्यक एवं पर्याप्त है
आइए उत्तल फलन के मामले के लिए प्रमेय 2 सिद्ध करें।
आवश्यकता. आइए एक मनमाना बिंदु लें। आइए टेलर श्रृंखला में एक बिंदु के आसपास फ़ंक्शन का विस्तार करें
भुज वाले बिंदु पर वक्र की स्पर्शरेखा का समीकरण:
तब बिंदु पर स्पर्शरेखा पर वक्र का आधिक्य बराबर होता है
इस प्रकार, शेषफल बिंदु पर स्पर्शरेखा पर वक्र के आधिक्य की मात्रा के बराबर है। निरंतरता के कारण, यदि 
, फिर बिंदु के पर्याप्त छोटे पड़ोस से संबंधित के लिए भी, और इसलिए, जाहिर है, संकेतित पड़ोस से संबंधित किसी भी मूल्य से भिन्न के लिए।
इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ स्पर्शरेखा के ऊपर स्थित है और वक्र एक मनमाना बिंदु पर उत्तल है।
पर्याप्तता. मान लीजिए अंतराल पर वक्र उत्तल है। आइए एक मनमाना बिंदु लें।
पिछले वाले की तरह, हम टेलर श्रृंखला में एक बिंदु के आसपास फ़ंक्शन का विस्तार करते हैं
अभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित भुज वाले बिंदु पर स्पर्शरेखा पर वक्र का आधिक्य बराबर होता है
चूँकि बिंदु के पर्याप्त छोटे पड़ोस के लिए आधिक्य धनात्मक है, दूसरा व्युत्पन्न भी धनात्मक है। जैसे ही हम प्रयास करते हैं, हमें वह एक मनमाना बिंदु मिल जाता है .
उदाहरण।उत्तलता (अवतलता) के लिए फ़ंक्शन की जांच करें।
इसका व्युत्पन्न 
संपूर्ण संख्या रेखा पर वृद्धि होती है, जिसका अर्थ है, प्रमेय 1 के अनुसार, फलन अवतल है।
इसका दूसरा व्युत्पन्न 
, इसलिए, प्रमेय 2 के अनुसार, फलन अवतल है।
3.4.2.2 विभक्ति बिंदु
परिभाषा। संक्रमण का बिन्दुएक सतत फ़ंक्शन का ग्राफ़ उन अंतरालों को अलग करने वाला बिंदु है जिसमें फ़ंक्शन उत्तल और अवतल होता है।
इस परिभाषा से यह पता चलता है कि विभक्ति बिंदु पहले व्युत्पन्न के चरम बिंदु हैं। इसका तात्पर्य विभक्ति के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तों के लिए निम्नलिखित कथनों से है।
प्रमेय (विभक्ति के लिए आवश्यक शर्त). एक बिंदु के लिए दो बार भिन्न फ़ंक्शन का विभक्ति बिंदु होने के लिए, यह आवश्यक है कि इस बिंदु पर इसका दूसरा व्युत्पन्न शून्य के बराबर हो ( 
) या अस्तित्व में नहीं था.
प्रमेय (विभक्ति के लिए पर्याप्त शर्त)।यदि दो बार भिन्न फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न एक निश्चित बिंदु से गुजरते समय संकेत बदलता है, तो एक विभक्ति बिंदु होता है।
ध्यान दें कि बिंदु पर दूसरा व्युत्पन्न मौजूद नहीं हो सकता है।
विभक्ति बिंदुओं की ज्यामितीय व्याख्या चित्र में दिखाई गई है। 3.9
एक बिंदु के पड़ोस में, फ़ंक्शन उत्तल होता है और इसका ग्राफ इस बिंदु पर खींची गई स्पर्शरेखा के नीचे होता है। किसी बिंदु के पड़ोस में, फ़ंक्शन अवतल होता है और इसका ग्राफ़ इस बिंदु पर खींची गई स्पर्शरेखा के ऊपर स्थित होता है। विभक्ति बिंदु पर, स्पर्शरेखा फ़ंक्शन के ग्राफ़ को उत्तल और अवतल क्षेत्रों में विभाजित करती है।
3.4.2.3 उत्तलता और विभक्ति बिंदुओं की उपस्थिति के लिए फ़ंक्शन की जांच
1. दूसरा व्युत्पन्न ज्ञात कीजिए।
2. उन बिंदुओं को ढूंढें जिन पर दूसरा व्युत्पन्न मौजूद है या मौजूद नहीं है।
चावल। 3.9.
3. पाए गए बिंदुओं के बाएं और दाएं दूसरे व्युत्पन्न के चिह्न की जांच करें और उत्तलता या अवतलता के अंतराल और विभक्ति बिंदुओं की उपस्थिति के बारे में निष्कर्ष निकालें।
उदाहरण। उत्तलता और विभक्ति बिंदुओं की उपस्थिति के लिए फ़ंक्शन की जांच करें।
2. दूसरा अवकलज शून्य के बराबर है।
3. दूसरा व्युत्पन्न परिवर्तन चिह्न पर है, जिसका अर्थ है कि बिंदु एक विभक्ति बिंदु है।
अंतराल पर, तो इस अंतराल पर फलन उत्तल होता है।
अंतराल पर, जिसका अर्थ है कि इस अंतराल पर फलन अवतल है।
3.4.2.4 फ़ंक्शंस का अध्ययन करने और ग्राफ़ बनाने की सामान्य योजना
किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करते समय और उसका ग्राफ़ बनाते समय, निम्नलिखित योजना का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है:
- फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र खोजें.
- समता-विषमता के लिए फलन की जाँच करें। याद रखें कि एक सम फ़ंक्शन का ग्राफ़ कोटि अक्ष के बारे में सममित होता है, और एक विषम फ़ंक्शन का ग्राफ़ मूल बिंदु के बारे में सममित होता है।
- लंबवत अनंतस्पर्शी खोजें।
- अनंत पर किसी फ़ंक्शन के व्यवहार की जांच करें, क्षैतिज या तिरछी अनंतस्पर्शी खोजें।
- फ़ंक्शन की एकरसता के चरम और अंतराल का पता लगाएं।
- फलन की उत्तलता और विभक्ति बिंदुओं के अंतराल ज्ञात कीजिए।
- निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।
फ़ंक्शन का अध्ययन उसके ग्राफ़ के निर्माण के साथ-साथ किया जाता है।
उदाहरण। फ़ंक्शन का अन्वेषण करें 
और इसकी साजिश रचें.
1. फ़ंक्शन का डोमेन है।
2. अध्ययनाधीन फलन सम है 
, इसलिए इसका ग्राफ कोटि के प्रति सममित है।
3. फ़ंक्शन का हर शून्य पर चला जाता है, इसलिए फ़ंक्शन के ग्राफ़ में लंबवत अनंतस्पर्शी और होते हैं।
बिंदु दूसरे प्रकार के असंततता बिंदु हैं, क्योंकि इन बिंदुओं पर बाईं और दाईं ओर की सीमाएं होती हैं।
4. अनन्त पर फलन का व्यवहार।
इसलिए, फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक क्षैतिज अनंतस्पर्शी है।
5. एक्स्ट्रेमा और एकरसता अंतराल। पहला व्युत्पन्न ढूँढना
इसलिए, जब इन अंतरालों में फ़ंक्शन कम हो जाता है।
इसलिए, इन अंतरालों में फ़ंक्शन बढ़ता है।
अत: यह बिंदु एक महत्वपूर्ण बिंदु है।
दूसरा व्युत्पन्न ढूँढना
चूँकि, तब बिंदु फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है।
6. उत्तलता अंतराल और विभक्ति बिंदु।
समारोह में 
, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन इस अंतराल पर अवतल है।
के लिए फ़ंक्शन, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन इन अंतरालों पर उत्तल है।
फ़ंक्शन कहीं भी गायब नहीं होता है, जिसका अर्थ है कि कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं।
7. निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु।
समीकरण का एक समाधान है, जिसका अर्थ है कोटि अक्ष (0, 1) के साथ फ़ंक्शन के ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु।
समीकरण का कोई हल नहीं है, जिसका अर्थ है कि x-अक्ष के साथ कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है।
किए गए शोध को ध्यान में रखते हुए, फ़ंक्शन की योजना बनाना संभव है
किसी फ़ंक्शन का योजनाबद्ध ग्राफ़ 
चित्र में दिखाया गया है 3.10.
चावल। 3.10.
3.4.2.5 किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शोन्मुख
परिभाषा। अनंतस्पर्शीकिसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ को एक सीधी रेखा कहा जाता है जिसमें यह गुण होता है कि बिंदु () से इस सीधी रेखा की दूरी 0 हो जाती है क्योंकि ग्राफ़ बिंदु मूल से अनिश्चित काल तक चलता है।
अंतराल (ए, बी) पर अवकलनीय है। फिर किसी भी बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा होती है 
यह चार्ट ( 
), और स्पर्शरेखा ओए अक्ष के समानांतर नहीं है, क्योंकि इसका कोणीय गुणांक बराबर है 
, बिल्कुल।
दृढ़ निश्चय
(ए, बी) पर एक रिलीज नीचे (ऊपर की ओर) निर्देशित होती है यदि यह (ए, बी) पर फ़ंक्शन के ग्राफ के किसी भी स्पर्शरेखा से नीचे (ऊपर नहीं) स्थित है। 
(
) इस अंतराल के सभी बिंदुओं पर, तो वक्र जो फ़ंक्शन का ग्राफ है वह इस अंतराल पर उत्तल (अवतल) होता है।
किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ का विभक्ति बिंदु कहा जाता है यदि बिंदु पर 
ग्राफ़ में एक स्पर्शरेखा होती है, और बिंदु का ऐसा पड़ोस होता है 
, जिसके भीतर बिंदु के बाएँ और दाएँ फ़ंक्शन के ग्राफ़ में उत्तलता की अलग-अलग दिशाएँ होती हैं।
यह स्पष्ट है कि विभक्ति बिंदु पर स्पर्शरेखा फ़ंक्शन के ग्राफ को काटती है, क्योंकि इस बिंदु के एक तरफ ग्राफ स्पर्शरेखा के ऊपर होता है, और दूसरी तरफ - इसके नीचे, यानी विभक्ति बिंदु के आसपास के क्षेत्र में फ़ंक्शन का ग्राफ़ ज्यामितीय रूप से स्पर्शरेखा के एक तरफ से दूसरे तक जाता है और उस पर "झुकता" है। यहीं से "विभक्ति बिंदु" नाम आता है।
निरंतर दूसरा व्युत्पन्न. तब 
.
हालाँकि, (0, 0) पर कोई विभक्ति बिंदु नहीं है 
पर 
. इसलिए, शून्य के दूसरे व्युत्पन्न की समानता विभक्ति के लिए केवल एक आवश्यक शर्त है। 
बिंदु के बाएँ और दाएँ अलग-अलग चिह्न हैं, तो ग्राफ़ में बिंदु पर विभक्ति होती है। 
बिंदु के अपवाद के साथ, बिंदु के कुछ पड़ोस में दूसरा व्युत्पन्न होता है, और बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए एक स्पर्शरेखा होती है 
. फिर, यदि निर्दिष्ट पड़ोस के भीतर बिंदु के बाईं और दाईं ओर अलग-अलग संकेत हैं, तो फ़ंक्शन के ग्राफ़ में बिंदु पर एक विभक्ति होती है। 
उत्तलता, अवतलता, विभक्ति बिंदुओं के लिए। 
, 
=
अस्तित्व में नहीं है जब 
)
)
या दूसरे प्रकार के असंततता के बिंदुओं के निकट, अक्सर यह पता चलता है कि किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ किसी दी गई रेखा के जितना वांछित हो उतना करीब पहुंचता है। इन्हें सीधी रेखाएँ कहा जाता है।
परिभाषा 1.
इसे वक्र L का अनंतस्पर्शी कहा जाता है यदि वक्र पर एक बिंदु से इस रेखा की दूरी शून्य हो जाती है क्योंकि बिंदु वक्र के साथ अनंत की ओर दूर चला जाता है। अनंतस्पर्शी तीन प्रकार के होते हैं: ऊर्ध्वाधर, क्षैतिज, तिरछा। 
किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ का ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी कहा जाता है यदि एकतरफा सीमाओं में से कम से कम एक के बराबर है 
, यानी या 
एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है 
, क्योंकि 
, ए 
.
अगर 
.
.
(
) को फ़ंक्शन के ग्राफ़ का तिरछा अनंतस्पर्शी कहा जाता है 
अगर 
; 
.
; x=0 – ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी
.
- तिरछा अनंतस्पर्शी. 
और इसकी साजिश रचें. 
फलन न तो सम है और न ही विषम है-
-
+
+
य
-4
टी आर.
0
निष्कर्ष।
मानी गई विधि की एक महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि यह मुख्य रूप से वक्र के व्यवहार में विशिष्ट विशेषताओं का पता लगाने और अध्ययन पर आधारित है। जिन स्थानों पर कार्य सुचारू रूप से बदलता है, उनका विशेष विस्तार से अध्ययन नहीं किया जाता है, और ऐसे अध्ययन की कोई आवश्यकता नहीं है। लेकिन वे स्थान जहां फ़ंक्शन के व्यवहार में कोई ख़ासियत है, पूर्ण शोध और सबसे सटीक चित्रमय प्रतिनिधित्व के अधीन हैं। ये विशेषताएं अधिकतम, न्यूनतम, फ़ंक्शन के असंततता के बिंदु आदि हैं।
अवतलता और विभक्तियों की दिशा निर्धारित करने के साथ-साथ स्पर्शोन्मुख खोजने की निर्दिष्ट विधि, कार्यों का और भी अधिक विस्तार से अध्ययन करना और उनके ग्राफ़ का अधिक सटीक विचार प्राप्त करना संभव बनाती है।
निर्देश
किसी फ़ंक्शन के विभक्ति बिंदु उसकी परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित होने चाहिए, जिसे पहले पाया जाना चाहिए। किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक रेखा है जो निरंतर हो सकती है या जिसमें असंततता हो सकती है, नीरस रूप से घट या बढ़ सकती है, न्यूनतम या अधिकतम बिंदु (स्पर्शोन्मुख) हो सकती है, उत्तल या अवतल हो सकती है। अंतिम दो अवस्थाओं में तीव्र परिवर्तन को विभक्ति बिंदु कहा जाता है।
किसी फलन के विभक्ति के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त यह है कि दूसरा विभक्ति शून्य के बराबर हो। इस प्रकार, फ़ंक्शन को दो बार विभेदित करके और परिणामी अभिव्यक्ति को शून्य के बराबर करके, हम संभावित विभक्ति बिंदुओं का भुज पा सकते हैं।
यह स्थिति किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की उत्तलता और अवतलता के गुणों की परिभाषा से अनुसरण करती है, अर्थात। दूसरे व्युत्पन्न के नकारात्मक और सकारात्मक मूल्य। विभक्ति बिंदु पर इन गुणों में तीव्र परिवर्तन होता है, जिसका अर्थ है कि व्युत्पन्न शून्य चिह्न से गुजरता है। हालाँकि, शून्य के बराबर होना विभक्ति को इंगित करने के लिए अभी तक पर्याप्त नहीं है।
इस तथ्य के लिए दो पर्याप्त स्थितियाँ हैं कि पिछले चरण में पाया गया भुज विभक्ति बिंदु से संबंधित है: इस बिंदु के माध्यम से कोई व्यक्ति फ़ंक्शन के लिए एक स्पर्शरेखा खींच सकता है। दूसरे व्युत्पन्न में कथित विभक्ति बिंदु के दाईं और बाईं ओर अलग-अलग संकेत हैं। इस प्रकार, बिंदु पर इसका अस्तित्व स्वयं आवश्यक नहीं है; यह निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है कि इस पर यह संकेत बदलता है। फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, लेकिन तीसरा नहीं है।
पहली पर्याप्त स्थिति सार्वभौमिक है और इसका उपयोग दूसरों की तुलना में अधिक बार किया जाता है। एक उदाहरणात्मक उदाहरण पर विचार करें: y = (3 x + 3) ∛(x - 5)।
समाधान: परिभाषा का क्षेत्र ज्ञात कीजिए। इस मामले में कोई प्रतिबंध नहीं है, इसलिए, यह वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण स्थान है। पहले अवकलज की गणना करें: y' = 3 ∛(x - 5) + (3 x + 3)/∛(x - 5)²।
भिन्न की उपस्थिति पर ध्यान दें. इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि व्युत्पन्न की परिभाषा का क्षेत्र सीमित है। बिंदु x = 5 छिद्रित है, जिसका अर्थ है कि एक स्पर्शरेखा इसके माध्यम से गुजर सकती है, जो आंशिक रूप से पर्याप्त विभक्ति के पहले संकेत से मेल खाती है।
x → 5 – 0 और x → 5 + 0 के लिए परिणामी अभिव्यक्ति के लिए एक तरफा सीमाएं निर्धारित करें। वे -∞ और +∞ हैं। आपने सिद्ध कर दिया है कि एक ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा बिंदु x=5 से होकर गुजरती है। यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है, लेकिन पहले दूसरे व्युत्पन्न की गणना करें: Y'' = 1/∛(x - 5)² + 3/∛(x - 5)² – 2/3 (3 x + 3)/∛ (x - 5)^5 = (2 x - 22)/∛(x - 5)^5.
हर को हटा दें क्योंकि आप पहले ही बिंदु x = 5 को ध्यान में रख चुके हैं। समीकरण 2 x - 22 = 0 को हल करें। इसका एक ही मूल x = 11 है। अंतिम चरण यह पुष्टि करना है कि बिंदु x = 5 और x = 11 विभक्ति बिंदु हैं। उनके आसपास के क्षेत्र में दूसरे व्युत्पन्न के व्यवहार का विश्लेषण करें। जाहिर है, बिंदु x = 5 पर यह चिह्न "+" से "-" में बदल जाता है, और बिंदु x = 11 पर - इसके विपरीत। निष्कर्ष: दोनों बिंदु विभक्ति बिंदु हैं। पहली पर्याप्त शर्त पूरी हो गई है.
