Tele2, टैरिफ, प्रश्नों पर सहायता

जब से आप यहां आए हैं, संभवतः आपने पाठ्यपुस्तक में यह सूत्र पहले ही देख लिया है

और इस तरह चेहरा बनाएं:

दोस्त, चिंता मत करो! वास्तव में, सब कुछ बिल्कुल अपमानजनक है। आप निश्चित रूप से सब कुछ समझ जायेंगे. बस एक अनुरोध - लेख पढ़ें धीरे से, हर कदम को समझने की कोशिश करें। मैंने यथासंभव सरल और स्पष्ट रूप से लिखा, लेकिन आपको अभी भी विचार को समझने की आवश्यकता है। और लेख से कार्यों को हल करना सुनिश्चित करें।

एक जटिल कार्य क्या है?

कल्पना करें कि आप दूसरे अपार्टमेंट में जा रहे हैं और इसलिए चीजों को बड़े बक्सों में पैक कर रहे हैं। मान लीजिए आपको कुछ छोटी-छोटी वस्तुएँ एकत्र करने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, स्कूल लेखन सामग्री। यदि आप उन्हें एक विशाल बक्से में फेंक देंगे, तो वे अन्य चीजों के बीच खो जायेंगे। इससे बचने के लिए आप सबसे पहले इन्हें उदाहरण के तौर पर एक बैग में रखें, जिसे बाद में आप एक बड़े डिब्बे में रख दें और उसके बाद इसे सील कर दें। यह "जटिल" प्रक्रिया नीचे दिए गए चित्र में प्रस्तुत की गई है:

ऐसा प्रतीत होता है, गणित का इससे क्या लेना-देना है? हां, इस तथ्य के बावजूद कि एक जटिल फ़ंक्शन बिल्कुल उसी तरह बनता है! केवल हम नोटबुक और पेन नहीं, बल्कि \(x\) "पैक" करते हैं, जबकि "पैकेज" और "बॉक्स" अलग-अलग हैं।

उदाहरण के लिए, आइए x लें और इसे एक फ़ंक्शन में "पैक" करें:

परिणामस्वरूप, हमें, निश्चित रूप से, \(\cos⁡x\) मिलता है। यह हमारा "चीज़ों का थैला" है। अब इसे एक "बॉक्स" में रखें - इसे पैक करें, उदाहरण के लिए, एक क्यूबिक फ़ंक्शन में।

आख़िर में क्या होगा? हां, यह सही है, "एक बॉक्स में चीजों का बैग" होगा, यानी, "एक्स क्यूब का कोसाइन।"

परिणामी डिज़ाइन एक जटिल कार्य है। इसमें यह साधारण से भिन्न है एक पंक्ति में एक X पर कई "प्रभाव" (पैकेज) लागू होते हैंऔर यह इस प्रकार निकलता है मानो "फ़ंक्शन से फ़ंक्शन" - "पैकेजिंग के भीतर पैकेजिंग"।

स्कूली पाठ्यक्रम में इन "पैकेजों" के बहुत कम प्रकार हैं, केवल चार:

आइए अब X को पहले आधार 7 वाले एक घातीय फलन में और फिर एक त्रिकोणमितीय फलन में "पैक" करें। हम पाते हैं:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

आइए अब x को त्रिकोणमितीय कार्यों में दो बार "पैक" करें, पहले अंदर और फिर इसमें:

\(x → syn⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

सरल, सही?

अब फ़ंक्शन स्वयं लिखें, जहां x:
- पहले इसे कोसाइन में "पैक" किया जाता है, और फिर आधार \(3\) के साथ एक घातीय फ़ंक्शन में;
- पहले पाँचवीं घात तक, और फिर स्पर्शरेखा तक;
- सबसे पहले आधार के लघुगणक तक \(4\) , फिर घात \(-2\) तक।

इस कार्य का उत्तर लेख के अंत में खोजें।

क्या हम X को दो नहीं, बल्कि तीन बार "पैक" कर सकते हैं? कोई बात नहीं! और चार, और पाँच, और पच्चीस बार। उदाहरण के लिए, यहां एक फ़ंक्शन है जिसमें x को \(4\) बार "पैक" किया गया है:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

लेकिन ऐसे सूत्र स्कूली अभ्यास में नहीं मिलेंगे (छात्र अधिक भाग्यशाली हैं - उनके सूत्र अधिक जटिल हो सकते हैं☺)।

एक जटिल कार्य को "अनपैक करना"।

पिछले फ़ंक्शन को फिर से देखें। क्या आप "पैकिंग" अनुक्रम का पता लगा सकते हैं? पहले क्या एक्स भरा गया, फिर क्या, और इसी तरह अंत तक। अर्थात् कौन सा कार्य किसके भीतर निहित है? कागज का एक टुकड़ा लें और आप जो सोचते हैं उसे लिख लें। जैसा कि हमने ऊपर लिखा है, आप इसे तीरों वाली एक श्रृंखला के साथ या किसी अन्य तरीके से कर सकते हैं।

अब सही उत्तर है: पहले, x को \(4\)वीं घात में "पैक" किया गया था, फिर परिणाम को एक साइन में पैक किया गया था, इसे, बदले में, आधार \(2\) के लघुगणक में रखा गया था , और अंत में इस पूरे निर्माण को पावर फाइव में भर दिया गया।

यानी आपको क्रम को उल्टे क्रम में खोलना होगा। और यहां इसे आसान तरीके से करने का संकेत दिया गया है: तुरंत एक्स को देखें - आपको उससे नृत्य करना चाहिए। आइए कुछ उदाहरण देखें.

उदाहरण के लिए, यहां निम्नलिखित फ़ंक्शन है: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). हम एक्स को देखते हैं - सबसे पहले इसका क्या होता है? उससे लिया गया. और तब? परिणाम का स्पर्शरेखा लिया जाता है. क्रम वही होगा:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

एक अन्य उदाहरण: \(y=\cos⁡((x^3))\). आइए विश्लेषण करें - पहले हमने X का घन निकाला, और फिर परिणाम की कोज्या ली। इसका मतलब है कि अनुक्रम होगा: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). ध्यान दें, यह फ़ंक्शन पहले वाले (जहां इसमें चित्र हैं) के समान प्रतीत होता है। लेकिन यह एक पूरी तरह से अलग फ़ंक्शन है: यहां घन में x है (अर्थात, \(\cos⁡((x·x·x))))\), और वहां घन में कोसाइन \(x\) है ( अर्थात्, \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). यह अंतर विभिन्न "पैकिंग" अनुक्रमों से उत्पन्न होता है।

अंतिम उदाहरण (इसमें महत्वपूर्ण जानकारी के साथ): \(y=\sin⁡((2x+5))\). यह स्पष्ट है कि यहां उन्होंने पहले x के साथ अंकगणितीय संक्रियाएं कीं, फिर परिणाम की ज्या ली: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). और यह एक महत्वपूर्ण बिंदु है: इस तथ्य के बावजूद कि अंकगणितीय परिचालन स्वयं में कार्य नहीं हैं, यहां वे "पैकिंग" के तरीके के रूप में भी कार्य करते हैं। आइए इस सूक्ष्मता में थोड़ा और गहराई से उतरें।

जैसा कि मैंने ऊपर कहा, सरल कार्यों में x एक बार "पैक" होता है, और जटिल कार्यों में - दो या अधिक। इसके अलावा, सरल कार्यों का कोई भी संयोजन (अर्थात् उनका योग, अंतर, गुणा या भाग) भी एक सरल कार्य है। उदाहरण के लिए, \(x^7\) एक सरल फ़ंक्शन है और \(ctg x\) भी है। इसका मतलब यह है कि उनके सभी संयोजन सरल कार्य हैं:

\(x^7+ ctg x\) - सरल,
\(x^7· खाट x\) – सरल,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) - सरल, आदि।

हालाँकि, यदि ऐसे संयोजन पर एक और फ़ंक्शन लागू किया जाता है, तो यह एक जटिल फ़ंक्शन बन जाएगा, क्योंकि इसमें दो "पैकेज" होंगे। आरेख देखें:

ठीक है, अब आगे बढ़ें. "रैपिंग" कार्यों का क्रम लिखें:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
उत्तर फिर से लेख के अंत में हैं।

आंतरिक और बाह्य कार्य

हमें फ़ंक्शन नेस्टिंग को समझने की आवश्यकता क्यों है? यह हमें क्या देता है? तथ्य यह है कि इस तरह के विश्लेषण के बिना हम ऊपर चर्चा किए गए कार्यों के डेरिवेटिव को विश्वसनीय रूप से नहीं ढूंढ पाएंगे।

और आगे बढ़ने के लिए, हमें दो और अवधारणाओं की आवश्यकता होगी: आंतरिक और बाहरी कार्य। यह एक बहुत ही सरल बात है, इसके अलावा, वास्तव में, हम पहले ही उनका विश्लेषण ऊपर कर चुके हैं: यदि हम शुरुआत में ही अपनी सादृश्यता को याद रखें, तो आंतरिक फ़ंक्शन एक "पैकेज" है, और बाहरी फ़ंक्शन एक "बॉक्स" है। वे। जो X पहले "लिपटा" है वह एक आंतरिक फ़ंक्शन है, और जो आंतरिक फ़ंक्शन "लिपटा हुआ" है वह पहले से ही बाहरी है। खैर, यह स्पष्ट है कि क्यों - वह बाहर है, इसका मतलब बाहरी है।

इस उदाहरण में: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), फ़ंक्शन \(\log_2⁡x\) आंतरिक है, और
- बाहरी।

और इसमें: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) आंतरिक है, और
- बाहरी।

जटिल कार्यों का विश्लेषण करने का अंतिम अभ्यास पूरा करें, और अंततः उस पर आगे बढ़ें जिसके लिए हम सभी शुरू हुए थे - हम जटिल कार्यों के व्युत्पन्न पाएंगे:

तालिका में रिक्त स्थान भरें:

एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

शाबाश, हम अंततः इस विषय के "बॉस" तक पहुंच गए - वास्तव में, एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न, और विशेष रूप से, लेख की शुरुआत से उस बहुत ही भयानक सूत्र तक।☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

यह सूत्र इस प्रकार पढ़ता है:

एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक स्थिर आंतरिक फ़ंक्शन के संबंध में बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और आंतरिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर होता है।

और यह समझने के लिए तुरंत "शब्द दर शब्द" पार्सिंग आरेख देखें कि क्या है:

मुझे आशा है कि "व्युत्पन्न" और "उत्पाद" शब्द कोई कठिनाई पैदा नहीं करेंगे। "जटिल कार्य" - हमने इसे पहले ही सुलझा लिया है। समस्या "निरंतर आंतरिक फ़ंक्शन के संबंध में बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न" में है। यह क्या है?

उत्तर: यह बाहरी फ़ंक्शन का सामान्य व्युत्पन्न है, जिसमें केवल बाहरी फ़ंक्शन बदलता है, और आंतरिक वही रहता है। अभी भी स्पष्ट नहीं? ठीक है, आइए एक उदाहरण का उपयोग करें।

आइए हमारे पास एक फ़ंक्शन \(y=\sin⁡(x^3)\) है। यह स्पष्ट है कि यहाँ आंतरिक कार्य \(x^3\) है, और बाहरी
. आइए अब हम स्थिर आंतरिक भाग के संबंध में बाहरी का व्युत्पन्न ज्ञात करें।

अवकलज ज्ञात करने की क्रिया को विभेदीकरण कहते हैं।

तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा के रूप में व्युत्पन्न को परिभाषित करके सबसे सरल (और बहुत सरल नहीं) कार्यों के डेरिवेटिव खोजने की समस्याओं को हल करने के परिणामस्वरूप, डेरिवेटिव की एक तालिका और भेदभाव के सटीक परिभाषित नियम सामने आए। . डेरिवेटिव खोजने के क्षेत्र में काम करने वाले पहले व्यक्ति आइजैक न्यूटन (1643-1727) और गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज (1646-1716) थे।

इसलिए, हमारे समय में, किसी भी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए, आपको फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि के अनुपात की उपर्युक्त सीमा की गणना करने की आवश्यकता नहीं है, बल्कि आपको केवल तालिका का उपयोग करने की आवश्यकता है व्युत्पन्न और विभेदीकरण के नियम। निम्नलिखित एल्गोरिदम व्युत्पन्न खोजने के लिए उपयुक्त है।

व्युत्पन्न खोजने के लिए, आपको मुख्य चिह्न के अंतर्गत एक अभिव्यक्ति की आवश्यकता है सरल कार्यों को घटकों में तोड़ेंऔर निर्धारित करें कि कौन से कार्य होंगे (उत्पाद, योग, भागफल)ये कार्य संबंधित हैं. इसके बाद, हम व्युत्पन्न की तालिका में प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न पाते हैं, और उत्पाद, योग और भागफल के व्युत्पन्न के लिए सूत्र - विभेदन के नियमों में पाते हैं। व्युत्पन्न तालिका और विभेदन नियम पहले दो उदाहरणों के बाद दिए गए हैं।

उदाहरण 1।किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। विभेदीकरण के नियमों से हमें पता चलता है कि कार्यों के योग का व्युत्पन्न कार्यों के व्युत्पन्नों का योग है, अर्थात।

व्युत्पन्न तालिका से हमें पता चलता है कि "x" का व्युत्पन्न एक के बराबर है, और साइन का व्युत्पन्न कोसाइन के बराबर है। हम इन मानों को डेरिवेटिव के योग में प्रतिस्थापित करते हैं और समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक व्युत्पन्न ढूंढते हैं:

उदाहरण 2.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। हम किसी योग के व्युत्पन्न के रूप में अंतर करते हैं जिसमें दूसरे पद का एक स्थिर कारक होता है; इसे व्युत्पन्न के चिह्न से निकाला जा सकता है:

यदि अभी भी इस बारे में प्रश्न उठते हैं कि कुछ कहां से आता है, तो वे आमतौर पर डेरिवेटिव की तालिका और भेदभाव के सबसे सरल नियमों से परिचित होने के बाद साफ़ हो जाते हैं। हम अभी उन पर आगे बढ़ रहे हैं।

सरल कार्यों के व्युत्पन्नों की तालिका

1. एक अचर (संख्या) का व्युत्पन्न। कोई भी संख्या (1, 2, 5, 200...) जो फ़ंक्शन अभिव्यक्ति में है। हमेशा शून्य के बराबर. यह याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसकी अक्सर आवश्यकता होती है
2. स्वतंत्र चर का व्युत्पन्न। बहुधा "एक्स"। सदैव एक के बराबर। इसे लंबे समय तक याद रखना भी जरूरी है
3. डिग्री का व्युत्पन्न. समस्याओं को हल करते समय, आपको गैर-वर्गमूलों को घातों में परिवर्तित करने की आवश्यकता होती है।
4. घात -1 के लिए एक चर का व्युत्पन्न
5. वर्गमूल का व्युत्पन्न
6. ज्या का व्युत्पन्न
7. कोसाइन का व्युत्पन्न
8. स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न
9. कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
10. आर्क्साइन की व्युत्पत्ति
11. आर्ककोसाइन का व्युत्पन्न
12. आर्कटेंजेंट का व्युत्पन्न
13. चाप कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
14. प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न
15. लघुगणक फलन का व्युत्पन्न
16. घातांक की व्युत्पत्ति
17. एक घातांकीय फलन का व्युत्पन्न

विभेदीकरण के नियम

1. किसी योग या अंतर की व्युत्पत्ति
2. उत्पाद का व्युत्पन्न
2ए. किसी अचर गुणनखंड से गुणा किये गये व्यंजक का व्युत्पन्न
3. भागफल का व्युत्पन्न
4. एक जटिल फलन का व्युत्पन्न

नियम 1।यदि कार्य

किसी बिंदु पर अवकलनीय हैं, तो फ़ंक्शन एक ही बिंदु पर अवकलनीय हैं

और

वे। कार्यों के बीजगणितीय योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्नों के बीजगणितीय योग के बराबर है।

परिणाम। यदि दो भिन्न-भिन्न फलनों में एक स्थिर पद का अंतर हो, तो उनके अवकलज बराबर होते हैं, अर्थात।

नियम 2.यदि कार्य

किसी बिंदु पर अवकलनीय हैं, तो उनका उत्पाद भी उसी बिंदु पर अवकलनीय है

और

वे। दो फलनों के उत्पाद का व्युत्पन्न इनमें से प्रत्येक फलन के उत्पाद और दूसरे के व्युत्पन्न के योग के बराबर होता है।

परिणाम 1. अचर गुणनखंड को अवकलज के चिह्न से निकाला जा सकता है:

परिणाम 2. कई भिन्न-भिन्न कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न प्रत्येक कारक और अन्य सभी के व्युत्पन्न के उत्पादों के योग के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, तीन गुणकों के लिए:

नियम 3.यदि कार्य

किसी बिंदु पर भिन्न और , तो फिर इस बिंदु पर उनका भागफल भी भिन्न हैयू/वी, और

वे। दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न एक अंश के बराबर होता है, जिसका अंश हर के गुणनफल और अंश के व्युत्पन्न और अंश और हर के व्युत्पन्न के बीच का अंतर होता है, और हर का वर्ग होता है पूर्व अंश.

अन्य पेजों पर चीज़ें कहां खोजें

किसी उत्पाद का व्युत्पन्न और वास्तविक समस्याओं में भागफल का पता लगाते समय, एक साथ कई विभेदीकरण नियमों को लागू करना हमेशा आवश्यक होता है, इसलिए लेख में इन व्युत्पन्नों पर अधिक उदाहरण हैं"उत्पाद का व्युत्पन्न और कार्यों का भागफल".

टिप्पणी।आपको किसी स्थिरांक (अर्थात् एक संख्या) को योग में एक पद और एक स्थिर गुणनखंड के रूप में भ्रमित नहीं करना चाहिए! किसी पद के मामले में, इसका व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है, और एक स्थिर कारक के मामले में, इसे व्युत्पन्न के चिह्न से बाहर कर दिया जाता है। यह एक सामान्य गलती है जो डेरिवेटिव के अध्ययन के प्रारंभिक चरण में होती है, लेकिन जैसा कि औसत छात्र कई एक- और दो-भाग वाले उदाहरणों को हल करता है, वह अब यह गलती नहीं करता है।

और यदि, किसी उत्पाद या भागफल को अलग करते समय, आपके पास एक शब्द है यू"वी, जिसमें यू- एक संख्या, उदाहरण के लिए, 2 या 5, यानी एक स्थिरांक, तो इस संख्या का व्युत्पन्न शून्य के बराबर होगा और इसलिए, संपूर्ण पद शून्य के बराबर होगा (इस मामले पर उदाहरण 10 में चर्चा की गई है)।

एक और आम गलती एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को एक साधारण फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में यांत्रिक रूप से हल करना है। इसीलिए एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्नएक अलग लेख समर्पित है. लेकिन पहले हम सरल फलनों के व्युत्पन्न खोजना सीखेंगे।

साथ ही, आप भावों को बदले बिना नहीं रह सकते। ऐसा करने के लिए, आपको नई विंडो में मैनुअल खोलने की आवश्यकता हो सकती है। शक्तियों और जड़ों के साथ क्रियाएँऔर भिन्नों के साथ संचालन .

यदि आप घातों और मूलों के साथ भिन्नों के व्युत्पन्नों के समाधान की तलाश कर रहे हैं, अर्थात, जब फ़ंक्शन कैसा दिखता है , फिर पाठ का अनुसरण करें "घातों और मूलों के साथ भिन्नों के योगों का व्युत्पन्न।"

यदि आपके पास कोई कार्य है जैसे , फिर आप "सरल त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्पन्न" पाठ लेंगे।

चरण-दर-चरण उदाहरण - व्युत्पन्न कैसे खोजें

उदाहरण 3.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। हम फ़ंक्शन अभिव्यक्ति के भागों को परिभाषित करते हैं: संपूर्ण अभिव्यक्ति एक उत्पाद का प्रतिनिधित्व करती है, और इसके कारक योग हैं, जिनमें से दूसरे में एक पद में एक स्थिर कारक होता है। हम उत्पाद विभेदन नियम लागू करते हैं: दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न दूसरे के व्युत्पन्न द्वारा इनमें से प्रत्येक कार्य के उत्पादों के योग के बराबर होता है:

इसके बाद, हम योग के विभेदन का नियम लागू करते हैं: कार्यों के बीजगणितीय योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्नों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है। हमारे मामले में, प्रत्येक योग में दूसरे पद में ऋण चिह्न होता है। प्रत्येक योग में हम एक स्वतंत्र चर, जिसका व्युत्पन्न एक के बराबर है, और एक स्थिरांक (संख्या) दोनों देखते हैं, जिसका व्युत्पन्न शून्य के बराबर है। तो, "X" एक में बदल जाता है, और माइनस 5 शून्य में बदल जाता है। दूसरी अभिव्यक्ति में, "x" को 2 से गुणा किया जाता है, इसलिए हम दो को "x" के व्युत्पन्न के समान इकाई से गुणा करते हैं। हमें निम्नलिखित व्युत्पन्न मान प्राप्त होते हैं:

हम पाए गए डेरिवेटिव को उत्पादों के योग में प्रतिस्थापित करते हैं और समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक संपूर्ण फ़ंक्शन का व्युत्पन्न प्राप्त करते हैं:

और आप व्युत्पन्न समस्या का समाधान यहां देख सकते हैं।

उदाहरण 4.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। हमें भागफल का अवकलज ज्ञात करना आवश्यक है। हम भागफल को अलग करने के लिए सूत्र लागू करते हैं: दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न एक भिन्न के बराबर होता है, जिसका अंश हर के गुणनफल और अंश के व्युत्पन्न और अंश और व्युत्पन्न के बीच का अंतर होता है। हर, और हर पूर्व अंश का वर्ग है। हम पाते हैं:

हमने उदाहरण 2 में अंश में गुणनखंडों का व्युत्पन्न पहले ही पा लिया है। हमें यह भी नहीं भूलना चाहिए कि गुणनफल, जो वर्तमान उदाहरण में अंश में दूसरा गुणनखंड है, ऋण चिह्न के साथ लिया गया है:

यदि आप उन समस्याओं का समाधान ढूंढ रहे हैं जिनमें आपको किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता है, जहां जड़ों और शक्तियों का निरंतर ढेर होता है, जैसे, उदाहरण के लिए, , फिर कक्षा में आपका स्वागत है "घातों और मूलों के साथ भिन्नों के योगों का व्युत्पन्न" .

यदि आपको साइन, कोसाइन, टेंगेंट और अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के डेरिवेटिव के बारे में अधिक जानने की ज़रूरत है, यानी, जब फ़ंक्शन कैसा दिखता है , तो आपके लिए एक सबक "सरल त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्पन्न" .

उदाहरण 5.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। इस फ़ंक्शन में हम एक उत्पाद देखते हैं, जिसका एक कारक स्वतंत्र चर का वर्गमूल है, जिसके व्युत्पन्न से हमने व्युत्पन्न की तालिका में खुद को परिचित किया है। गुणनफल और वर्गमूल के अवकलज के सारणीबद्ध मान को विभेदित करने के नियम का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

आप व्युत्पन्न समस्या का समाधान यहां देख सकते हैं ऑनलाइन डेरिवेटिव कैलकुलेटर .

उदाहरण 6.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। इस फ़ंक्शन में हम एक भागफल देखते हैं जिसका लाभांश स्वतंत्र चर का वर्गमूल है। भागफल के विभेदन के नियम का उपयोग करते हुए, जिसे हमने दोहराया और उदाहरण 4 में लागू किया, और वर्गमूल के व्युत्पन्न का सारणीबद्ध मान, हम प्राप्त करते हैं:

अंश में भिन्न से छुटकारा पाने के लिए, अंश और हर को से गुणा करें।

इस पाठ में हम सीखेंगे कि कैसे खोजना है एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न. पाठ पाठ की तार्किक निरंतरता है व्युत्पन्न कैसे खोजें?, जिसमें हमने सबसे सरल डेरिवेटिव की जांच की, और विभेदीकरण के नियमों और डेरिवेटिव खोजने के लिए कुछ तकनीकी तकनीकों से भी परिचित हुए। इस प्रकार, यदि आप फ़ंक्शंस के डेरिवेटिव के साथ बहुत अच्छे नहीं हैं या इस लेख में कुछ बिंदु पूरी तरह से स्पष्ट नहीं हैं, तो पहले उपरोक्त पाठ पढ़ें। कृपया गंभीर मूड में आएँ - सामग्री सरल नहीं है, लेकिन फिर भी मैं इसे सरल और स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करने का प्रयास करूँगा।

व्यवहार में, आपको अक्सर एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से निपटना पड़ता है, मैं यहां तक ​​​​कहूंगा, लगभग हमेशा, जब आपको व्युत्पन्न खोजने के लिए कार्य दिए जाते हैं।

हम एक जटिल फ़ंक्शन को अलग करने के लिए नियम (संख्या 5) की तालिका को देखते हैं:

आइए इसका पता लगाएं। सबसे पहले, आइए प्रवेश पर ध्यान दें। यहां हमारे पास दो फ़ंक्शन हैं - और, और फ़ंक्शन, लाक्षणिक रूप से बोलते हुए, फ़ंक्शन के भीतर निहित है। इस प्रकार का एक फ़ंक्शन (जब एक फ़ंक्शन दूसरे में निहित होता है) को जटिल फ़ंक्शन कहा जाता है।

मैं फ़ंक्शन को कॉल करूंगा बाह्य कार्य, और फ़ंक्शन - आंतरिक (या नेस्टेड) ​​फ़ंक्शन.

! ये परिभाषाएँ सैद्धांतिक नहीं हैं और इन्हें असाइनमेंट के अंतिम डिज़ाइन में प्रदर्शित नहीं किया जाना चाहिए। मैं आपके लिए सामग्री को समझना आसान बनाने के लिए अनौपचारिक अभिव्यक्तियों "बाहरी कार्य", "आंतरिक" कार्य का उपयोग करता हूं।

स्थिति स्पष्ट करने के लिए, विचार करें:

उदाहरण 1

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

साइन के अंतर्गत हमारे पास केवल अक्षर "X" नहीं है, बल्कि एक संपूर्ण अभिव्यक्ति है, इसलिए तालिका से तुरंत व्युत्पन्न ढूँढना काम नहीं करेगा। हमने यह भी देखा कि पहले चार नियमों को यहां लागू करना असंभव है, इसमें अंतर प्रतीत होता है, लेकिन तथ्य यह है कि साइन को "टुकड़ों में नहीं तोड़ा जा सकता":

इस उदाहरण में, मेरे स्पष्टीकरणों से यह पहले से ही सहज रूप से स्पष्ट है कि एक फ़ंक्शन एक जटिल फ़ंक्शन है, और बहुपद एक आंतरिक फ़ंक्शन (एम्बेडिंग) और एक बाहरी फ़ंक्शन है।

पहला कदमकिसी जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ज्ञात करते समय आपको क्या करने की आवश्यकता है समझें कि कौन सा कार्य आंतरिक है और कौन सा बाह्य है.

सरल उदाहरणों के मामले में, यह स्पष्ट प्रतीत होता है कि ज्या के नीचे एक बहुपद अंतर्निहित है। लेकिन क्या होगा अगर सब कुछ स्पष्ट नहीं है? सटीक रूप से कैसे निर्धारित करें कि कौन सा कार्य बाहरी है और कौन सा आंतरिक है? ऐसा करने के लिए, मैं निम्नलिखित तकनीक का उपयोग करने का सुझाव देता हूं, जिसे मानसिक रूप से या ड्राफ्ट में किया जा सकता है।

आइए कल्पना करें कि हमें कैलकुलेटर पर अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है (एक के बजाय कोई भी संख्या हो सकती है)।

हम पहले क्या गणना करेंगे? सबसे पहलेआपको निम्नलिखित क्रिया करने की आवश्यकता होगी: इसलिए बहुपद एक आंतरिक कार्य होगा:

दूसरेखोजने की आवश्यकता होगी, इसलिए साइन - एक बाहरी कार्य होगा:

हमारे बाद बिक गयाआंतरिक और बाह्य कार्यों के साथ, जटिल कार्यों के विभेदन के नियम को लागू करने का समय आ गया है।

आइए निर्णय लेना शुरू करें. कक्षा से व्युत्पन्न कैसे खोजें?हमें याद है कि किसी भी व्युत्पन्न के समाधान का डिज़ाइन हमेशा इस तरह से शुरू होता है - हम अभिव्यक्ति को कोष्ठक में संलग्न करते हैं और शीर्ष दाईं ओर एक स्ट्रोक लगाते हैं:

सर्वप्रथमहम बाहरी फलन (साइन) का व्युत्पन्न पाते हैं, प्राथमिक फलन के व्युत्पन्न की तालिका को देखते हैं और ध्यान देते हैं कि। यदि "x" को एक जटिल अभिव्यक्ति से बदल दिया जाए तो सभी तालिका सूत्र भी लागू होते हैं, इस मामले में:

कृपया ध्यान दें कि आंतरिक कार्य नहीं बदला है, हम इसे नहीं छूते.

ख़ैर, यह बिल्कुल स्पष्ट है कि

सूत्र को लागू करने का अंतिम परिणाम इस प्रकार दिखता है:

स्थिरांक कारक आमतौर पर अभिव्यक्ति की शुरुआत में रखा जाता है:

यदि कोई ग़लतफ़हमी है, तो समाधान को कागज़ पर लिखें और स्पष्टीकरणों को दोबारा पढ़ें।

उदाहरण 2

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

उदाहरण 3

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

हमेशा की तरह, हम लिखते हैं:

आइए जानें कि कहां हमारा बाहरी कार्य है और कहां हमारा आंतरिक कार्य है। ऐसा करने के लिए, हम पर अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने के लिए (मानसिक रूप से या ड्राफ्ट में) प्रयास करते हैं। आपको पहले क्या करना चाहिए? सबसे पहले, आपको यह गणना करने की आवश्यकता है कि आधार किसके बराबर है: इसलिए, बहुपद आंतरिक कार्य है:

और केवल तभी घातांक निष्पादित किया जाता है, इसलिए, पावर फ़ंक्शन एक बाहरी फ़ंक्शन है:

सूत्र के अनुसार, आपको सबसे पहले बाहरी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढना होगा, इस मामले में, डिग्री। हम तालिका में आवश्यक सूत्र की तलाश करते हैं:। हम फिर दोहराते हैं: कोई भी सारणीबद्ध सूत्र न केवल "एक्स" के लिए मान्य है, बल्कि एक जटिल अभिव्यक्ति के लिए भी मान्य है. इस प्रकार, एक जटिल फलन को विभेदित करने के नियम को लागू करने का परिणाम इस प्रकार है:

मैं फिर से इस बात पर जोर देता हूं कि जब हम बाहरी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लेते हैं, तो हमारा आंतरिक फ़ंक्शन नहीं बदलता है:

अब जो कुछ बचा है वह आंतरिक फ़ंक्शन का एक बहुत ही सरल व्युत्पन्न ढूंढना है और परिणाम को थोड़ा बदलना है:

उदाहरण 4

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यह आपके लिए स्वयं हल करने के लिए एक उदाहरण है (पाठ के अंत में उत्तर दें)।

एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बारे में आपकी समझ को मजबूत करने के लिए, मैं बिना किसी टिप्पणी के एक उदाहरण दूंगा, इसे स्वयं समझने का प्रयास करूंगा, कारण बताऊंगा कि बाहरी फ़ंक्शन कहां है और आंतरिक फ़ंक्शन कहां है, कार्यों को इस तरह से क्यों हल किया जाता है?

उदाहरण 5

ए) फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

बी) फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

उदाहरण 6

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यहां हमारे पास एक जड़ है, और जड़ को अलग करने के लिए, इसे एक शक्ति के रूप में दर्शाया जाना चाहिए। इस प्रकार, सबसे पहले हम फ़ंक्शन को विभेदन के लिए उपयुक्त रूप में लाते हैं:

फ़ंक्शन का विश्लेषण करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि तीन पदों का योग एक आंतरिक फ़ंक्शन है, और एक घात तक बढ़ाना एक बाहरी फ़ंक्शन है। हम जटिल कार्यों के विभेदन का नियम लागू करते हैं:

हम फिर से डिग्री को एक रेडिकल (रूट) के रूप में दर्शाते हैं, और आंतरिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए हम योग को अलग करने के लिए एक सरल नियम लागू करते हैं:

तैयार। आप व्यंजक को कोष्ठक में एक सामान्य हर तक भी छोटा कर सकते हैं और सब कुछ एक भिन्न के रूप में लिख सकते हैं। बेशक, यह सुंदर है, लेकिन जब आपको बोझिल लंबे डेरिवेटिव मिलते हैं, तो ऐसा न करना बेहतर है (भ्रमित होना आसान है, अनावश्यक गलती करना, और शिक्षक के लिए इसे जांचना असुविधाजनक होगा)।

उदाहरण 7

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यह आपके लिए स्वयं हल करने के लिए एक उदाहरण है (पाठ के अंत में उत्तर दें)।

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि कभी-कभी किसी जटिल फ़ंक्शन को अलग करने के नियम के बजाय, आप भागफल को अलग करने के लिए नियम का उपयोग कर सकते हैं , लेकिन ऐसा समाधान एक हास्यास्पद विकृति जैसा लगेगा। यहाँ एक विशिष्ट उदाहरण है:

उदाहरण 8

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यहां आप भागफल के विभेदन के नियम का उपयोग कर सकते हैं , लेकिन किसी जटिल फलन के विभेदन के नियम के माध्यम से व्युत्पन्न ज्ञात करना कहीं अधिक लाभदायक है:

हम विभेदन के लिए फ़ंक्शन तैयार करते हैं - हम व्युत्पन्न चिह्न से ऋण को हटाते हैं, और कोसाइन को अंश में बढ़ाते हैं:

कोसाइन एक आंतरिक कार्य है, घातांक एक बाहरी कार्य है।
आइए हमारे नियम का उपयोग करें:

हम आंतरिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढते हैं और कोसाइन को वापस नीचे रीसेट करते हैं:

तैयार। विचार किए गए उदाहरण में, यह महत्वपूर्ण है कि संकेतों में भ्रमित न हों। वैसे, नियम का उपयोग करके इसे हल करने का प्रयास करें , उत्तर मेल खाने चाहिए।

उदाहरण 9

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यह आपके लिए स्वयं हल करने के लिए एक उदाहरण है (पाठ के अंत में उत्तर दें)।

अब तक हमने ऐसे मामलों को देखा है जहां हमारे पास एक जटिल फ़ंक्शन में केवल एक नेस्टिंग थी। व्यावहारिक कार्यों में, आप अक्सर डेरिवेटिव पा सकते हैं, जहां घोंसले बनाने वाली गुड़िया की तरह, एक दूसरे के अंदर 3 या यहां तक ​​कि 4-5 फ़ंक्शन एक साथ निहित होते हैं।

उदाहरण 10

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

आइए इस फ़ंक्शन के अनुलग्नकों को समझें। आइए प्रयोगात्मक मान का उपयोग करके अभिव्यक्ति की गणना करने का प्रयास करें। हम कैलकुलेटर पर कैसे भरोसा करेंगे?

सबसे पहले आपको खोजने की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है कि आर्क्साइन सबसे गहरी एम्बेडिंग है:

किसी के इस आर्कसाइन को तब चुकता किया जाना चाहिए:

और अंत में, हम सात को एक घात तक बढ़ाते हैं:

अर्थात्, इस उदाहरण में हमारे पास तीन अलग-अलग फ़ंक्शन और दो एम्बेडिंग हैं, जबकि सबसे भीतरी फ़ंक्शन आर्क्साइन है, और सबसे बाहरी फ़ंक्शन घातीय फ़ंक्शन है।

आइए निर्णय लेना शुरू करें

नियम के अनुसार, आपको सबसे पहले बाहरी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लेना होगा। हम डेरिवेटिव की तालिका को देखते हैं और घातीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को ढूंढते हैं: एकमात्र अंतर यह है कि "x" के बजाय हमारे पास एक जटिल अभिव्यक्ति है, जो इस सूत्र की वैधता को अस्वीकार नहीं करती है। तो, एक जटिल फ़ंक्शन को विभेदित करने के लिए नियम लागू करने का परिणाम इस प्रकार है:

स्ट्रोक के तहत हमारे पास फिर से एक जटिल कार्य है! लेकिन यह पहले से आसान है. यह सत्यापित करना आसान है कि आंतरिक कार्य आर्क्साइन है, बाहरी कार्य डिग्री है। किसी जटिल फलन को विभेदित करने के नियम के अनुसार, आपको सबसे पहले घात का अवकलज लेना होगा।

अगर जी(एक्स) और एफ(यू) - बिंदुओं पर क्रमशः उनके तर्कों के भिन्न-भिन्न कार्य एक्सऔर यू= जी(एक्स), तब जटिल फलन भी बिंदु पर अवकलनीय होता है एक्सऔर सूत्र द्वारा पाया जाता है

व्युत्पन्न समस्याओं को हल करते समय एक सामान्य गलती सरल कार्यों को जटिल कार्यों में विभेदित करने के नियमों को यांत्रिक रूप से स्थानांतरित करना है। आइये इस गलती से बचना सीखें।

उदाहरण 2.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

ग़लत समाधान:कोष्ठक में प्रत्येक पद के प्राकृतिक लघुगणक की गणना करें और व्युत्पन्नों का योग देखें:

सही समाधान:फिर से हम यह निर्धारित करते हैं कि "सेब" कहाँ है और "कीमा बनाया हुआ मांस" कहाँ है। यहां कोष्ठक में अभिव्यक्ति का प्राकृतिक लघुगणक एक "सेब" है, यानी, मध्यवर्ती तर्क पर एक फ़ंक्शन यू, और कोष्ठक में अभिव्यक्ति "कीमा बनाया हुआ मांस" है, जो एक मध्यवर्ती तर्क है यूस्वतंत्र चर द्वारा एक्स.

फिर (व्युत्पन्न तालिका से सूत्र 14 का उपयोग करके)

वास्तविक जीवन की कई समस्याओं में, लघुगणक के साथ अभिव्यक्ति कुछ अधिक जटिल हो सकती है, यही कारण है कि एक सबक है

उदाहरण 3.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

ग़लत समाधान:

सही समाधान.एक बार फिर हम यह निर्धारित करते हैं कि "सेब" कहाँ है और "कीमा" कहाँ है। यहां, कोष्ठक में अभिव्यक्ति का कोसाइन (व्युत्पन्न की तालिका में सूत्र 7) एक "सेब" है, इसे मोड 1 में तैयार किया गया है, जो केवल इसे प्रभावित करता है, और कोष्ठक में अभिव्यक्ति (डिग्री का व्युत्पन्न संख्या 3 है) डेरिवेटिव की तालिका में) "कीमा बनाया हुआ मांस" है, इसे मोड 2 के तहत तैयार किया जाता है, जो केवल इसे प्रभावित करता है। और हमेशा की तरह, हम दो डेरिवेटिव को उत्पाद चिह्न से जोड़ते हैं। परिणाम:

जटिल लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न परीक्षणों में एक लगातार कार्य है, इसलिए हम दृढ़ता से अनुशंसा करते हैं कि आप "लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न" पाठ में भाग लें।

पहले उदाहरण जटिल कार्यों पर थे, जिसमें स्वतंत्र चर पर मध्यवर्ती तर्क एक सरल कार्य था। लेकिन व्यावहारिक कार्यों में अक्सर एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढना आवश्यक होता है, जहां मध्यवर्ती तर्क या तो स्वयं एक जटिल फ़ंक्शन होता है या इसमें ऐसा कोई फ़ंक्शन होता है। ऐसे मामलों में क्या करें? तालिकाओं और विभेदीकरण नियमों का उपयोग करके ऐसे कार्यों के व्युत्पन्न खोजें। जब मध्यवर्ती तर्क का व्युत्पन्न पाया जाता है, तो इसे सूत्र में सही स्थान पर प्रतिस्थापित कर दिया जाता है। यह कैसे किया जाता है इसके दो उदाहरण नीचे दिए गए हैं।

इसके अतिरिक्त, निम्नलिखित जानना उपयोगी है। यदि एक जटिल फ़ंक्शन को तीन कार्यों की श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है

तो इसके व्युत्पन्न को इनमें से प्रत्येक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के रूप में पाया जाना चाहिए:

आपके कई होमवर्क असाइनमेंट के लिए आपको अपनी मार्गदर्शिकाएँ नई विंडो में खोलने की आवश्यकता हो सकती है। शक्तियों और जड़ों के साथ क्रियाएँऔर भिन्नों के साथ संचालन .

उदाहरण 4.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

हम एक जटिल फ़ंक्शन के भेदभाव के नियम को लागू करते हैं, यह नहीं भूलते कि डेरिवेटिव के परिणामी उत्पाद में स्वतंत्र चर के संबंध में एक मध्यवर्ती तर्क होता है एक्सबदलना मत:

हम उत्पाद का दूसरा कारक तैयार करते हैं और योग को अलग करने के लिए नियम लागू करते हैं:

दूसरा पद मूल है, इसलिए

इस प्रकार, हमने पाया कि मध्यवर्ती तर्क, जो एक योग है, में एक पद के रूप में एक जटिल कार्य शामिल है: एक शक्ति तक बढ़ाना एक जटिल कार्य है, और जिसे एक शक्ति तक बढ़ाया जा रहा है वह स्वतंत्र के संबंध में एक मध्यवर्ती तर्क है चर एक्स.

इसलिए, हम एक जटिल फ़ंक्शन को अलग करने के लिए नियम को फिर से लागू करते हैं:

हम पहले कारक की डिग्री को मूल में बदलते हैं, और दूसरे कारक को विभेदित करते समय, यह न भूलें कि स्थिरांक का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है:

अब हम समस्या कथन में आवश्यक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए आवश्यक मध्यवर्ती तर्क का व्युत्पन्न पा सकते हैं य:

उदाहरण 5.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

सबसे पहले, हम योग को अलग करने के लिए नियम का उपयोग करते हैं:

हमने दो जटिल फलनों के अवकलजों का योग प्राप्त किया। आइए पहला खोजें:

यहां, साइन को घात तक बढ़ाना एक जटिल कार्य है, और साइन स्वयं स्वतंत्र चर के लिए एक मध्यवर्ती तर्क है एक्स. इसलिए, हम रास्ते में एक जटिल फलन के विभेदन के नियम का उपयोग करेंगे गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना :

अब हम फलन के अवकलजों का दूसरा पद ज्ञात करते हैं य:

यहां कोसाइन को घात तक बढ़ाना एक जटिल कार्य है एफ, और कोसाइन स्वयं स्वतंत्र चर में एक मध्यवर्ती तर्क है एक्स. आइए हम एक जटिल फ़ंक्शन को अलग करने के लिए फिर से नियम का उपयोग करें:

परिणाम आवश्यक व्युत्पन्न है:

कुछ जटिल कार्यों के व्युत्पन्नों की तालिका

जटिल कार्यों के लिए, एक जटिल कार्य के विभेदीकरण के नियम के आधार पर, एक सरल कार्य के व्युत्पन्न का सूत्र एक अलग रूप लेता है।

1. एक जटिल शक्ति फ़ंक्शन का व्युत्पन्न, जहां यू एक्स
2. अभिव्यक्ति के मूल की व्युत्पत्ति
3. एक घातांकीय फलन का व्युत्पन्न
4. घातांकीय फलन का विशेष मामला
5. एक मनमाना सकारात्मक आधार के साथ एक लघुगणकीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ए
6. एक जटिल लघुगणकीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न, जहां यू- तर्क का विभेद्य कार्य एक्स
7. साइन का व्युत्पन्न
8. कोसाइन का व्युत्पन्न
9. स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न
10. कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
11. आर्क्साइन की व्युत्पत्ति
12. आर्क कोसाइन का व्युत्पन्न
13. आर्कटेंजेंट का व्युत्पन्न
14. चाप कोटैंजेंट का व्युत्पन्न

यदि आप परिभाषा का पालन करते हैं, तो किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा है Δ यतर्क वृद्धि के लिए Δ एक्स:

सब कुछ साफ नजर आ रहा है. लेकिन फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए इस सूत्र का उपयोग करने का प्रयास करें एफ(एक्स) = एक्स 2 + (2एक्स+3) · इ एक्सपाप एक्स. यदि आप सब कुछ परिभाषा के अनुसार करते हैं, तो गणना के कुछ पृष्ठों के बाद आप बस सो जाएंगे। इसलिए, सरल और अधिक प्रभावी तरीके हैं।

आरंभ करने के लिए, हम ध्यान दें कि कार्यों की संपूर्ण विविधता से हम तथाकथित प्राथमिक कार्यों को अलग कर सकते हैं। ये अपेक्षाकृत सरल अभिव्यक्तियाँ हैं, जिनके व्युत्पन्नों की गणना और सारणीबद्धता लंबे समय से की गई है। ऐसे कार्यों को याद रखना काफी आसान है - उनके डेरिवेटिव के साथ।

प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न

प्राथमिक कार्य वे सभी नीचे सूचीबद्ध हैं। इन कार्यों के व्युत्पन्नों को हृदय से जानना चाहिए। इसके अलावा, उन्हें याद रखना बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है - यही कारण है कि वे प्राथमिक हैं।

तो, प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न:

नाम	समारोह	यौगिक
स्थिर	एफ(एक्स) = सी, सी ∈ आर	0 (हाँ, शून्य!)
तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ शक्ति	एफ(एक्स) = एक्स एन	एन · एक्स एन − 1
साइनस	एफ(एक्स) = पाप एक्स	ओल एक्स
कोज्या	एफ(एक्स) = क्योंकि एक्स	−पाप एक्स(शून्य से साइन)
स्पर्शरेखा	एफ(एक्स) = टीजी एक्स	1/cos 2 एक्स
कोटैंजेंट	एफ(एक्स) = सीटीजी एक्स	− 1/पाप 2 एक्स
प्राकृतिक	एफ(एक्स) = लॉग एक्स	1/एक्स
मनमाना लघुगणक	एफ(एक्स) = लॉग ए एक्स	1/(एक्सएल.एन ए)
घातांक प्रकार्य	एफ(एक्स) = इ एक्स	इ एक्स(कुछ भी नहीं बदला)

यदि किसी प्राथमिक फ़ंक्शन को एक मनमाना स्थिरांक से गुणा किया जाता है, तो नए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना भी आसानी से की जाती है:

(सी · एफ)’ = सी · एफ ’.

सामान्य तौर पर, स्थिरांक को व्युत्पन्न के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है। उदाहरण के लिए:

(2एक्स 3)' = 2 · ( एक्स 3)' = 2 3 एक्स 2 = 6एक्स 2 .

जाहिर है, प्राथमिक कार्यों को एक-दूसरे से जोड़ा जा सकता है, गुणा किया जा सकता है, विभाजित किया जा सकता है - और भी बहुत कुछ। इस प्रकार नए कार्य प्रकट होंगे, जो अब विशेष रूप से प्राथमिक नहीं होंगे, बल्कि कुछ नियमों के अनुसार विभेदित भी होंगे। इन नियमों पर नीचे चर्चा की गई है।

योग और अंतर का व्युत्पन्न

फ़ंक्शंस दिए जाएं एफ(एक्स) और जी(एक्स), जिसके व्युत्पन्न हमें ज्ञात हैं। उदाहरण के लिए, आप ऊपर चर्चा किए गए प्राथमिक कार्यों को ले सकते हैं। फिर आप इन कार्यों के योग और अंतर का व्युत्पन्न पा सकते हैं:

1. (एफ + जी)’ = एफ ’ + जी ’
2. (एफ − जी)’ = एफ ’ − जी ’

तो, दो कार्यों के योग (अंतर) का व्युत्पन्न, व्युत्पन्नों के योग (अंतर) के बराबर है। और भी शर्तें हो सकती हैं. उदाहरण के लिए, ( एफ + जी + एच)’ = एफ ’ + जी ’ + एच ’.

कड़ाई से कहें तो, बीजगणित में "घटाव" की कोई अवधारणा नहीं है। "नकारात्मक तत्व" की एक अवधारणा है। इसलिए अंतर है एफ − जीयोग के रूप में पुनः लिखा जा सकता है एफ+ (−1) जी, और तब केवल एक सूत्र बचता है - योग का व्युत्पन्न।

एफ(एक्स) = एक्स 2 + पाप एक्स; जी(एक्स) = एक्स 4 + 2एक्स 2 − 3.

समारोह एफ(एक्स) दो प्राथमिक कार्यों का योग है, इसलिए:

एफ ’(एक्स) = (एक्स 2 + पाप एक्स)’ = (एक्स 2)' + (पाप) एक्स)’ = 2एक्स+ क्योंकि x;

हम फ़ंक्शन के लिए इसी तरह तर्क करते हैं जी(एक्स). केवल पहले से ही तीन पद हैं (बीजगणित के दृष्टिकोण से):

जी ’(एक्स) = (एक्स 4 + 2एक्स 2 − 3)’ = (एक्स 4 + 2एक्स 2 + (−3))’ = (एक्स 4)’ + (2एक्स 2)’ + (−3)’ = 4एक्स 3 + 4एक्स + 0 = 4एक्स · ( एक्स 2 + 1).

उत्तर:
एफ ’(एक्स) = 2एक्स+ क्योंकि x;
जी ’(एक्स) = 4एक्स · ( एक्स 2 + 1).

उत्पाद का व्युत्पन्न

गणित एक तार्किक विज्ञान है, इसलिए बहुत से लोग मानते हैं कि यदि किसी योग का व्युत्पन्न, व्युत्पन्नों के योग के बराबर है, तो उत्पाद का व्युत्पन्न हड़ताल">डेरिवेटिव के उत्पाद के बराबर। लेकिन भाड़ में जाओ! किसी उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना पूरी तरह से अलग सूत्र का उपयोग करके की जाती है। अर्थात्:

(एफ · जी) ’ = एफ ’ · जी + एफ · जी ’

सूत्र सरल है, लेकिन इसे अक्सर भुला दिया जाता है। और न केवल स्कूली बच्चे, बल्कि छात्र भी। परिणाम गलत तरीके से हल की गई समस्याएं हैं।

काम। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें: एफ(एक्स) = एक्स 3 क्योंकि x; जी(एक्स) = (एक्स 2 + 7एक्स− 7)· इ एक्स .

समारोह एफ(एक्स) दो प्राथमिक कार्यों का उत्पाद है, इसलिए सब कुछ सरल है:

एफ ’(एक्स) = (एक्स 3 कोस एक्स)’ = (एक्स 3)' क्योंकि एक्स + एक्स 3 (को एक्स)’ = 3एक्स 2 कोस एक्स + एक्स 3 (- पाप एक्स) = एक्स 2 (3cos एक्स − एक्सपाप एक्स)

समारोह जी(एक्स) पहला गुणक थोड़ा अधिक जटिल है, लेकिन सामान्य योजना नहीं बदलती है। जाहिर है, फ़ंक्शन का पहला कारक जी(एक्स) एक बहुपद है और इसका व्युत्पन्न योग का व्युत्पन्न है। हमारे पास है:

जी ’(एक्स) = ((एक्स 2 + 7एक्स− 7)· इ एक्स)’ = (एक्स 2 + 7एक्स− 7)' · इ एक्स + (एक्स 2 + 7एक्स− 7) · ( इ एक्स)’ = (2एक्स+7) · इ एक्स + (एक्स 2 + 7एक्स− 7)· इ एक्स = इ एक्स· (2 एक्स + 7 + एक्स 2 + 7एक्स −7) = (एक्स 2 + 9एक्स) · इ एक्स = एक्स(एक्स+9) · इ एक्स .

उत्तर:
एफ ’(एक्स) = एक्स 2 (3cos एक्स − एक्सपाप एक्स);
जी ’(एक्स) = एक्स(एक्स+9) · इ एक्स .

कृपया ध्यान दें कि अंतिम चरण में व्युत्पन्न को गुणनखंडित किया जाता है। औपचारिक रूप से, ऐसा करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन अधिकांश डेरिवेटिव की गणना स्वयं नहीं की जाती है, बल्कि फ़ंक्शन की जांच करने के लिए की जाती है। इसका मतलब यह है कि आगे व्युत्पन्न को शून्य के बराबर किया जाएगा, इसके संकेत निर्धारित किए जाएंगे, इत्यादि। ऐसे मामले के लिए, अभिव्यक्ति को गुणनखंडित करना बेहतर है।

यदि दो कार्य हैं एफ(एक्स) और जी(एक्स), और जी(एक्स) ≠ 0 जिस सेट में हमारी रुचि है, हम एक नया फ़ंक्शन परिभाषित कर सकते हैं एच(एक्स) = एफ(एक्स)/जी(एक्स). ऐसे फ़ंक्शन के लिए आप व्युत्पन्न भी पा सकते हैं:

कमज़ोर नहीं, हुह? माइनस कहां से आया? क्यों जी 2? और इस तरह! यह सबसे जटिल फ़ार्मुलों में से एक है - आप इसे बोतल के बिना नहीं समझ सकते। इसलिए, विशिष्ट उदाहरणों के साथ इसका अध्ययन करना बेहतर है।

काम। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

प्रत्येक भिन्न के अंश और हर में प्रारंभिक कार्य होते हैं, इसलिए हमें भागफल के व्युत्पन्न के लिए केवल सूत्र की आवश्यकता होती है:

परंपरा के अनुसार, आइए अंश का गुणनखंड करें - इससे उत्तर बहुत सरल हो जाएगा:

एक जटिल फ़ंक्शन आवश्यक रूप से आधा किलोमीटर लंबा सूत्र नहीं है। उदाहरण के लिए, यह फ़ंक्शन लेने के लिए पर्याप्त है एफ(एक्स) = पाप एक्सऔर वेरिएबल को बदलें एक्स, कहो, पर एक्स 2 + एल.एन एक्स. हो जाएगा एफ(एक्स) = पाप ( एक्स 2 + एल.एन एक्स) - यह एक जटिल कार्य है। इसका एक व्युत्पन्न भी है, लेकिन ऊपर चर्चा किए गए नियमों का उपयोग करके इसे ढूंढना संभव नहीं होगा।

मुझे क्या करना चाहिए? ऐसे मामलों में, किसी जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए एक चर और सूत्र को बदलने से मदद मिलती है:

एफ ’(एक्स) = एफ ’(टी) · टी', अगर एक्सद्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है टी(एक्स).

एक नियम के रूप में, इस सूत्र को समझने की स्थिति भागफल के व्युत्पन्न से भी अधिक दुखद है। इसलिए, प्रत्येक चरण के विस्तृत विवरण के साथ, विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके इसे समझाना भी बेहतर है।

काम। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें: एफ(एक्स) = इ 2एक्स + 3 ; जी(एक्स) = पाप ( एक्स 2 + एल.एन एक्स)

ध्यान दें कि यदि फ़ंक्शन में एफ(एक्स) अभिव्यक्ति 2 के स्थान पर एक्स+3 आसान होगा एक्स, तो हमें एक प्राथमिक कार्य मिलता है एफ(एक्स) = इ एक्स. इसलिए, हम एक प्रतिस्थापन करते हैं: चलो 2 एक्स + 3 = टी, एफ(एक्स) = एफ(टी) = इ टी. हम सूत्र का उपयोग करके एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश करते हैं:

एफ ’(एक्स) = एफ ’(टी) · टी ’ = (इ टी)’ · टी ’ = इ टी · टी ’

और अब - ध्यान! हम उलटा प्रतिस्थापन करते हैं: टी = 2एक्स+3. हमें मिलता है:

एफ ’(एक्स) = इ टी · टी ’ = इ 2एक्स+3(2 एक्स + 3)’ = इ 2एक्स+ 3 2 = 2 इ 2एक्स + 3

अब आइए फ़ंक्शन पर नजर डालें जी(एक्स). जाहिर है इसे बदलने की जरूरत है एक्स 2 + एल.एन एक्स = टी. हमारे पास है:

जी ’(एक्स) = जी ’(टी) · टी' = (पाप टी)’ · टी' = क्योंकि टी · टी ’

उलटा प्रतिस्थापन: टी = एक्स 2 + एल.एन एक्स. तब:

जी ’(एक्स) = क्योंकि ( एक्स 2 + एल.एन एक्स) · ( एक्स 2 + एल.एन एक्स)' = क्योंकि ( एक्स 2 + एल.एन एक्स) · (2 एक्स + 1/एक्स).

बस इतना ही! जैसा कि अंतिम अभिव्यक्ति से देखा जा सकता है, पूरी समस्या व्युत्पन्न योग की गणना करने के लिए कम हो गई है।

उत्तर:
एफ ’(एक्स) = 2· इ 2एक्स + 3 ;
जी ’(एक्स) = (2एक्स + 1/एक्स) क्योंकि ( एक्स 2 + एल.एन एक्स).

मैं अक्सर अपने पाठों में "व्युत्पन्न" शब्द के बजाय "प्राइम" शब्द का उपयोग करता हूँ। उदाहरण के लिए, योग का स्ट्रोक स्ट्रोक के योग के बराबर होता है। क्या यह अधिक स्पष्ट है? अच्छा, यह तो अच्छी बात है।

इस प्रकार, ऊपर चर्चा किए गए नियमों के अनुसार व्युत्पन्न की गणना इन्हीं स्ट्रोक से छुटकारा पाने के लिए आती है। अंतिम उदाहरण के रूप में, आइए एक तर्कसंगत घातांक के साथ व्युत्पन्न शक्ति पर वापस लौटें:

(एक्स एन)’ = एन · एक्स एन − 1

इस भूमिका के बारे में कम ही लोग जानते हैं एनयह एक भिन्नात्मक संख्या भी हो सकती है। उदाहरण के लिए, जड़ है एक्स 0.5. अगर जड़ के नीचे कुछ फैंसी हो तो क्या होगा? फिर, परिणाम एक जटिल कार्य होगा - वे परीक्षणों और परीक्षाओं में ऐसे निर्माण देना पसंद करते हैं।

काम। फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

सबसे पहले, आइए मूल को एक तर्कसंगत घातांक के साथ घात के रूप में फिर से लिखें:

एफ(एक्स) = (एक्स 2 + 8एक्स − 7) 0,5 .

अब हम एक प्रतिस्थापन करते हैं: चलो एक्स 2 + 8एक्स − 7 = टी. हम सूत्र का उपयोग करके व्युत्पन्न पाते हैं:

एफ ’(एक्स) = एफ ’(टी) · टी ’ = (टी 0.5)' · टी' = 0.5 · टी−0.5 · टी ’.

आइए उलटा प्रतिस्थापन करें: टी = एक्स 2 + 8एक्स− 7. हमारे पास है:

एफ ’(एक्स) = 0.5 · ( एक्स 2 + 8एक्स− 7) −0.5 · ( एक्स 2 + 8एक्स− 7)' = 0.5 · (2 एक्स+8)( एक्स 2 + 8एक्स − 7) −0,5 .

अंत में, जड़ों की ओर वापस जाएँ: