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उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति \(x>5\) एक असमानता है।

असमानताओं के प्रकार:

यदि \(a\) और \(b\) संख्याएँ या हैं, तो असमिका कहलाती है न्यूमेरिकल. वास्तव में, यह केवल दो संख्याओं की तुलना है। इन असमानताओं में विभाजित हैं ईमानदारऔर अनफेथफुल.

उदाहरण के लिए:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) एक अमान्य संख्यात्मक असमानता है क्योंकि \(17+3=20\) और \(20\) \(115\) से कम है (इससे बड़ा या बराबर नहीं)।

अगर \(a\) और \(b\) वेरिएबल वाले व्यंजक हैं, तो हमारे पास है चर के साथ असमानता. इस तरह की असमानताओं को सामग्री के आधार पर प्रकारों में विभाजित किया गया है:

असमानता का समाधान क्या है?

यदि किसी संख्या को एक चर के बजाय असमानता में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो वह संख्या में बदल जाएगी।

यदि x के लिए दिया गया मान मूल असमिका को सत्य संख्यात्मक बनाता है, तो इसे कहते हैं असमानता को हल करना. यदि नहीं, तो यह मान समाधान नहीं है। और करने के लिए असमानता को हल करें- आपको इसके सभी समाधान खोजने की जरूरत है (या दिखाएं कि वे मौजूद नहीं हैं)।

उदाहरण के लिए,यदि हम रैखिक असमानता \(x+6>10\) में हैं, तो हम x के बजाय संख्या \(7\) को प्रतिस्थापित करते हैं, हमें सही संख्यात्मक असमानता मिलती है: \(13>10\)। और अगर हम \(2\) को प्रतिस्थापित करते हैं, तो एक गलत संख्यात्मक असमानता \(8>10\) होगी। अर्थात, \(7\) मूल असमानता का समाधान है, लेकिन \(2\) नहीं है।

हालाँकि, असमानता \(x+6>10\) के अन्य समाधान हैं। वास्तव में, और \(5\), और \(12\), और \(138\) ... को प्रतिस्थापित करने पर हमें सही संख्यात्मक असमानताएं मिलेंगी ... और हम सभी संभावित समाधान कैसे खोज सकते हैं? ऐसा करने के लिए, हमारे मामले के लिए उपयोग करें, हमारे पास:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

यानी हम चार से बड़ी किसी भी संख्या का इस्तेमाल कर सकते हैं। अब हमें उत्तर लिखना है। असमानताओं के समाधान, एक नियम के रूप में, संख्यात्मक रूप से लिखे गए हैं, इसके अतिरिक्त संख्यात्मक अक्ष पर उन्हें हैचिंग के साथ चिह्नित किया गया है। हमारे मामले के लिए हमारे पास है:

उत्तर: \(x\in(4;+\infty)\)

असमानता में चिन्ह कब बदलता है?

असमानताओं में एक बड़ा जाल है, जिसमें छात्र वास्तव में "पसंद" करते हैं:

असमानता को एक ऋणात्मक संख्या से गुणा (या विभाजित) करते समय, इसे उलट दिया जाता है ("से बड़ा" से "कम", "से बड़ा या बराबर" से "कम या बराबर", और इसी तरह)

ऐसा क्यों हो रहा है? इसे समझने के लिए, आइए संख्यात्मक असमानता \(3>1\) के रूपांतरणों को देखें। यह सही है, त्रिक वास्तव में एक से अधिक है। सबसे पहले, आइए इसे किसी सकारात्मक संख्या से गुणा करने का प्रयास करें, उदाहरण के लिए, दो:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

जैसा कि आप देख सकते हैं, गुणन के बाद, असमानता सत्य रहती है। और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस सकारात्मक संख्या को गुणा करते हैं, हमें हमेशा सही असमानता मिलेगी। और अब एक ऋणात्मक संख्या से गुणा करने का प्रयास करते हैं, उदाहरण के लिए, ऋण तीन:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

यह एक गलत असमानता निकली, क्योंकि माइनस नौ माइनस तीन से कम है! अर्थात्, असमानता को सच होने के लिए (जिसका अर्थ है कि ऋणात्मक द्वारा गुणा का परिवर्तन "कानूनी" था), आपको तुलना चिह्न को इस तरह फ़्लिप करने की आवश्यकता है: \(−9<− 3\).
विभाजन के साथ, यह उसी तरह निकलेगा, आप इसे स्वयं देख सकते हैं।

ऊपर लिखा गया नियम सभी प्रकार की असमानताओं पर लागू होता है, न कि केवल संख्यात्मक असमानताओं पर।

उत्तर: \(x\in(-1;\infty)\)

असमानताएं और डीएचएस

असमानताओं, साथ ही समीकरणों पर, यानी x के मूल्यों पर प्रतिबंध हो सकता है। तदनुसार, वे मान जो ODZ के अनुसार अस्वीकार्य हैं, उन्हें समाधान अंतराल से बाहर रखा जाना चाहिए।

उदाहरण: असमानता को हल करें \(\sqrt(x+1)<3\)

समाधान: यह स्पष्ट है कि बाईं ओर \(3\) से कम होने के लिए, मूल अभिव्यक्ति \(9\) से कम होनी चाहिए (आखिरकार, \(9\) से \(3\))। हम पाते हैं:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(एक्स<8\)

सभी? \(8\) से कम x का कोई मान हमें सूट करेगा? नहीं! क्योंकि, उदाहरण के लिए, यदि हम मान \(-5\) लेते हैं जो आवश्यकता के अनुरूप प्रतीत होता है, तो यह मूल असमानता का समाधान नहीं होगा, क्योंकि यह हमें ऋणात्मक संख्या की जड़ की गणना करने के लिए प्रेरित करेगा।

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

इसलिए, हमें x के मानों पर प्रतिबंधों को भी ध्यान में रखना चाहिए - यह ऐसा नहीं हो सकता है कि जड़ के नीचे एक ऋणात्मक संख्या हो। इस प्रकार, हमारे पास x के लिए दूसरी आवश्यकता है:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

और x को एक अंतिम समाधान होने के लिए, इसे एक ही बार में दोनों आवश्यकताओं को पूरा करना होगा: यह \(8\) (एक समाधान होने के लिए) से कम होना चाहिए और \(-1\) से अधिक होना चाहिए (सिद्धांत में मान्य होने के लिए)। संख्या रेखा पर आलेखन करने पर, हमारे पास अंतिम उत्तर है:

उत्तर: \(\बाएं[-1;8\दाएं)\)

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उनके लिए जो "बहुत अधिक ...")

क्या हुआ है "वर्ग असमानता"?कोई सवाल नहीं!) अगर आप लेते हैं कोईद्विघात समीकरण और इसमें चिह्न बदलें "=" (बराबर) किसी भी असमानता आइकन के लिए ( > ≥ < ≤ ≠ ), हमें एक द्विघात असमानता मिलती है। उदाहरण के लिए:

1. x2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 + 3x > 0

3. x2 ≤ 4

खैर, आप विचार समझ गए...)

मैंने जानबूझकर यहां समीकरणों और असमानताओं को जोड़ा है। तथ्य यह है कि हल करने में पहला कदम है कोईवर्ग असमानता - उस समीकरण को हल करें जिससे यह असमानता बनी है।इस कारण से - द्विघात समीकरणों को हल करने में असमर्थता स्वचालित रूप से असमानताओं में पूर्ण विफलता की ओर ले जाती है। क्या संकेत स्पष्ट है?) यदि कुछ है, तो किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने का तरीका देखें। वहां सब कुछ विस्तृत है। और इस पाठ में हम असमानताओं से निपटेंगे।

समाधान के लिए तैयार असमानता का रूप है: बायां - चौकोर ट्रिनोमियल कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी, दाईं ओर - शून्य।असमानता का चिन्ह बिल्कुल कुछ भी हो सकता है। पहले दो उदाहरण यहाँ हैं निर्णय के लिए तैयार हैं।तीसरा उदाहरण अभी तैयार करने की जरूरत है।

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आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

दोस्तों आज कोई नोकझोंक और भावुकता नहीं रहेगी। इसके बजाय, मैं आपको आगे के प्रश्नों के बिना 8वीं-9वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में सबसे दुर्जेय विरोधियों में से एक के साथ लड़ाई में भेजूंगा।

हां, आपने सब कुछ सही समझा: हम एक मापांक के साथ असमानताओं के बारे में बात कर रहे हैं। हम चार बुनियादी तकनीकों पर गौर करेंगे जिनसे आप इनमें से लगभग 90% समस्याओं को हल करना सीखेंगे। बाकी 10% का क्या? खैर, हम उनके बारे में एक अलग पाठ में बात करेंगे। :)

हालाँकि, वहाँ किसी भी तरकीब का विश्लेषण करने से पहले, मैं दो तथ्यों को याद करना चाहूँगा जिन्हें आपको पहले से ही जानना आवश्यक है। अन्यथा, आप आज के पाठ की सामग्री को बिल्कुल भी नहीं समझने का जोखिम उठाते हैं।

जो आपको पहले से ही जानने की जरूरत है

कैप्टन एविडेंस, जैसा कि यह था, संकेत देता है कि एक मापांक के साथ असमानताओं को हल करने के लिए, आपको दो बातें जानने की जरूरत है:

1. असमानताओं का समाधान कैसे किया जाता है?
2. एक मॉड्यूल क्या है।

दूसरे बिंदु से शुरू करते हैं।

मॉड्यूल परिभाषा

यहाँ सब कुछ सरल है। दो परिभाषाएँ हैं: बीजगणितीय और ग्राफिक। आइए बीजगणित से शुरू करें:

परिभाषा। संख्या $x$ का मॉड्यूल या तो स्वयं संख्या है, यदि यह गैर-ऋणात्मक है, या इसके विपरीत संख्या है, यदि मूल $x$ अभी भी ऋणात्मक है।

यह इस प्रकार लिखा गया है:

\[\बाएं| x \दाएं|=\बायां\( \शुरू(संरेखित करें) और x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\अंत(संरेखित करें) \दाएं.\]

सरल शब्दों में, मॉड्यूलस "शून्य के बिना एक संख्या" है। और यह इस द्वैत में है (कहीं आपको मूल संख्या के साथ कुछ भी करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन कहीं आपको वहां से कुछ ऋण निकालना होगा) और नौसिखिए छात्रों के लिए सारी कठिनाई निहित है।

एक ज्यामितीय परिभाषा भी है। इसे जानना भी उपयोगी है, लेकिन हम इसे केवल जटिल और कुछ विशेष मामलों में संदर्भित करेंगे, जहां ज्यामितीय दृष्टिकोण बीजगणितीय की तुलना में अधिक सुविधाजनक है (बिगाड़ने वाला: आज नहीं)।

परिभाषा। बता दें कि बिंदु $a$ को वास्तविक रेखा पर चिह्नित किया गया है। फिर मॉड्यूल $\बाएं| x-a \right|$ इस रेखा पर बिंदु $x$ से बिंदु $a$ की दूरी है।

यदि आप चित्र बनाते हैं, तो आपको कुछ ऐसा मिलता है:

एक तरह से या किसी अन्य, इसकी प्रमुख संपत्ति तुरंत मॉड्यूल की परिभाषा से अनुसरण करती है: किसी संख्या का मापांक हमेशा एक गैर-ऋणात्मक मान होता है. यह तथ्य आज हमारी पूरी कहानी में एक लाल धागा होगा।

असमानताओं का समाधान। अंतराल विधि

अब असमानताओं से निपटते हैं। उनमें से बहुत सारे हैं, लेकिन अब हमारा काम उनमें से कम से कम सबसे सरल को हल करने में सक्षम होना है। वे जो रैखिक असमानताओं के साथ-साथ अंतराल की विधि के लिए कम हो जाते हैं।

मेरे पास इस विषय पर दो बड़े ट्यूटोरियल हैं (वैसे, बहुत, बहुत उपयोगी - मैं अध्ययन करने की सलाह देता हूं):

1. असमानताओं के लिए अंतराल विधि (विशेष रूप से वीडियो देखें);
2. आंशिक-तर्कसंगत असमानताएं एक बहुत बड़ा पाठ है, लेकिन इसके बाद आपके पास कोई प्रश्न नहीं बचेगा।

यदि आप यह सब जानते हैं, यदि वाक्यांश "चलो असमानता से समीकरण की ओर बढ़ते हैं" आपको अस्पष्ट रूप से दीवार के खिलाफ खुद को मारना नहीं चाहते हैं, तो आप तैयार हैं: पाठ के मुख्य विषय में नरक में आपका स्वागत है। :)

1. फॉर्म की असमानताएं "फ़ंक्शन से कम मॉड्यूल"

यह मॉड्यूल के साथ सबसे अधिक सामना किए जाने वाले कार्यों में से एक है। फॉर्म की असमानता को हल करना आवश्यक है:

\[\बाएं| च\सही| \ltg\]

कुछ भी कार्य $f$ और $g$ के रूप में कार्य कर सकता है, लेकिन आमतौर पर वे बहुपद हैं। ऐसी असमानताओं के उदाहरण:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं| 2x+3\दाएं| \ltx+7; \\ & \बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \दाएं|+3\बाएं(x+1 \दाएं) \lt 0; \\ & \बाएं| ((x)^(2))-2\बाएं| एक्स \राइट|-3 \राइट| \lt 2. \\\अंत (संरेखित करें)\]

उन सभी को योजना के अनुसार शाब्दिक रूप से एक पंक्ति में हल किया गया है:

\[\बाएं| च\सही| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(Align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(Align) \सही सही)\]

यह देखना आसान है कि हम मॉड्यूल से छुटकारा पा लेते हैं, लेकिन इसके बजाय हमें एक दोहरी असमानता मिलती है (या, जो एक ही चीज़ है, दो असमानताओं की एक प्रणाली)। लेकिन यह संक्रमण पूरी तरह से सभी संभावित समस्याओं को ध्यान में रखता है: यदि मॉड्यूल के तहत संख्या धनात्मक है, तो विधि काम करती है; अगर नकारात्मक है, यह अभी भी काम करता है; और $f$ या $g$ के स्थान पर सबसे अपर्याप्त कार्य के साथ भी, विधि अभी भी काम करेगी।

स्वाभाविक रूप से, सवाल उठता है: क्या यह आसान नहीं है? दुर्भाग्य से, आप नहीं कर सकते। यह मॉड्यूल का पूरा बिंदु है।

लेकिन पर्याप्त दार्शनिकता। आइए कुछ समस्याओं का समाधान करें:

काम। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| 2x+3\दाएं| \ltx+7\]

समाधान। तो, हमारे पास "मॉड्यूल से कम है" के रूप की शास्त्रीय असमानता है - यहां तक ​​​​कि बदलने के लिए कुछ भी नहीं है। हम एल्गोरिथम के अनुसार काम करते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं| च\सही| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \बाएं| 2x+3\दाएं| \lt x+7\Rightarrow -\बाएं (x+7 \दाएं) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(संरेखित करें)\]

"माइनस" से पहले वाले कोष्ठक खोलने में जल्दबाजी न करें: यह बहुत संभव है कि जल्दबाजी के कारण आप एक आक्रामक गलती करेंगे।

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित करें) और -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(संरेखित करें) \दाएं.\]

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित करें) और -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(संरेखित करें) \दाएं.\]

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित करें) और x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \अंत(संरेखित करें) \दाएं.\]

समस्या को दो प्राथमिक असमानताओं तक कम कर दिया गया है। हम समानांतर वास्तविक रेखाओं पर उनके समाधान नोट करते हैं:

बहुतों का चौराहा

इन समुच्चयों का प्रतिच्छेदन उत्तर होगा।

उत्तर: $x\in \बाएं(-\frac(10)(3);4 \दाएं)$

काम। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \दाएं|+3\बाएं(x+1 \दाएं) \lt 0\]

समाधान। यह कार्य थोड़ा अधिक कठिन है। आरंभ करने के लिए, हम दूसरे पद को दाईं ओर ले जाकर मॉड्यूल को अलग करते हैं:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\बाएं (x+1 \दाएं)\]

जाहिर है, हमारे पास फिर से "मॉड्यूल कम है" फॉर्म की असमानता है, इसलिए हम पहले से ही ज्ञात एल्गोरिथम के अनुसार मॉड्यूल से छुटकारा पा लेते हैं:

\[-\बाएं(-3\बाएं(x+1 \दाएं) \दाएं) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\बाएं(x+1 \दाएं)\]

अब ध्यान दें: कोई कहेगा कि मैं इन सभी कोष्ठकों के साथ थोड़ा विकृत हूँ। लेकिन एक बार फिर मैं आपको याद दिलाता हूं कि हमारा प्रमुख लक्ष्य है असमानता को सही ढंग से हल करें और उत्तर प्राप्त करें. बाद में, जब आपने इस पाठ में वर्णित हर चीज में पूरी तरह से महारत हासिल कर ली है, तो आप अपने आप को जैसे चाहें विकृत कर सकते हैं: कोष्ठक खोलें, घटाव जोड़ें, आदि।

और शुरुआत करने वालों के लिए, हम बाईं ओर डबल माइनस से छुटकारा पा लेते हैं:

\[-\बाएं(-3\बाएं(x+1 \दाएं) \दाएं)=\बाएं(-1 \दाएं)\cdot \बाएं(-3 \दाएं)\cdot \बाएं (x+1 \दाएं) =3\बाएं(x+1\दाएं)\]

अब हम सभी कोष्ठकों को दोहरी असमानता में खोलते हैं:

चलिए दोहरी असमानता की ओर बढ़ते हैं। इस बार गणना अधिक गंभीर होगी:

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित करें) और ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(संरेखित करें) \दाएं।\]

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित करें) और ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( सही संरेखित।\]

दोनों असमानताएँ वर्ग हैं और अंतराल विधि द्वारा हल की जाती हैं (इसीलिए मैं कहता हूँ: यदि आप नहीं जानते कि यह क्या है, तो बेहतर है कि अभी तक मॉड्यूल न लें)। हम पहली असमानता में समीकरण पास करते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\बाएं(x+5 \दाएं)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\अंत (संरेखित करें)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, आउटपुट अधूरा द्विघात समीकरण निकला, जो प्राथमिक रूप से हल हो गया है। अब सिस्टम की दूसरी असमानता से निपटते हैं। वहां आपको वीटा के प्रमेय को लागू करना होगा:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \बाएं(x-3 \दाएं)\बाएं(x+2 \दाएं)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\अंत (संरेखित करें)\]

हम प्राप्त संख्याओं को दो समानांतर रेखाओं पर चिह्नित करते हैं (पहली असमानता के लिए अलग और दूसरी के लिए अलग):

दोबारा, चूंकि हम असमानताओं की एक प्रणाली को हल कर रहे हैं, हम छायांकित सेटों के प्रतिच्छेदन में रुचि रखते हैं: $x\in \left(-5;-2 \right)$। यह उत्तर है।

उत्तर: $x\in \बाएं(-5;-2 \दाएं)$

मुझे लगता है कि इन उदाहरणों के बाद समाधान योजना बहुत स्पष्ट है:

1. अन्य सभी शब्दों को असमानता के विपरीत दिशा में ले जाकर मॉड्यूल को अलग करें। इस प्रकार हमें $\left| के रूप की असमानता मिलती है च\सही| \ltg$।
2. ऊपर वर्णित मॉड्यूल से छुटकारा पाकर इस असमानता को हल करें। किसी बिंदु पर, दोहरी असमानता से दो स्वतंत्र अभिव्यक्तियों की प्रणाली में जाना आवश्यक होगा, जिनमें से प्रत्येक को पहले से ही अलग से हल किया जा सकता है।
3. अंत में, यह केवल इन दो स्वतंत्र अभिव्यक्तियों के समाधान को पार करने के लिए बनी हुई है - और यही वह है, हमें अंतिम उत्तर मिलेगा।

निम्न प्रकार की असमानताओं के लिए एक समान एल्गोरिथ्म मौजूद है, जब मापांक फ़ंक्शन से अधिक होता है। हालाँकि, कुछ गंभीर "लेकिन" हैं। अब हम इन "लेकिन" के बारे में बात करेंगे।

2. फॉर्म की असमानताएं "मॉड्यूल फ़ंक्शन से अधिक है"

वे इस तरह दिखते हैं:

\[\बाएं| च\सही| \जीटी जी\]

पिछले वाले के समान? जान पड़ता है। हालाँकि, ऐसे कार्यों को पूरी तरह से अलग तरीके से हल किया जाता है। औपचारिक रूप से, योजना इस प्रकार है:

\[\बाएं| च\सही| \gt g\Rightarrow \बाएं[ \शुरू(संरेखित करें) और f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(संरेखित करें) \दाएं.\]

दूसरे शब्दों में, हम दो मामलों पर विचार करते हैं:

1. सबसे पहले, हम केवल मॉड्यूल को अनदेखा करते हैं - हम सामान्य असमानता को हल करते हैं;
2. फिर, वास्तव में, हम मॉड्यूल को माइनस साइन के साथ खोलते हैं, और फिर हम असमानता के दोनों हिस्सों को एक चिन्ह के साथ -1 से गुणा करते हैं।

इस मामले में, विकल्पों को एक वर्ग कोष्ठक के साथ जोड़ा जाता है, अर्थात। हमारे पास दो आवश्यकताओं का संयोजन है।

फिर से ध्यान दें: हमारे सामने एक प्रणाली नहीं है, लेकिन एक समुच्चय है, इसलिए उत्तर में, समुच्चय संयुक्त होते हैं, प्रतिच्छेदित नहीं. यह पिछले पैराग्राफ से मूलभूत अंतर है!

सामान्य तौर पर, कई छात्रों को यूनियनों और चौराहों के साथ बहुत भ्रम होता है, इसलिए आइए इस मुद्दे पर हमेशा के लिए गौर करें:

• "∪" एक संयोजन चिह्न है। वास्तव में, यह एक शैलीबद्ध अक्षर "U" है, जो अंग्रेजी भाषा से हमारे पास आया है और "संघ" का संक्षिप्त नाम है, अर्थात। "एसोसिएशन"।
• "∩" चौराहा चिह्न है। यह बकवास कहीं से नहीं आया था, बल्कि केवल "∪" के विरोध के रूप में प्रकट हुआ था।

इसे याद रखना और भी आसान बनाने के लिए, चश्मा बनाने के लिए बस इन संकेतों में पैर जोड़ें (अभी मुझ पर मादक पदार्थों की लत और शराब को बढ़ावा देने का आरोप न लगाएं: यदि आप गंभीरता से इस पाठ का अध्ययन कर रहे हैं, तो आप पहले से ही एक ड्रग एडिक्ट हैं):

रूसी में अनुवादित, इसका अर्थ निम्न है: संघ (संग्रह) में दोनों सेटों के तत्व शामिल हैं, इसलिए, उनमें से प्रत्येक से कम नहीं; लेकिन चौराहे (सिस्टम) में केवल वे तत्व शामिल हैं जो पहले सेट में और दूसरे में दोनों हैं। इसलिए, सेट का प्रतिच्छेदन कभी भी स्रोत सेट से अधिक नहीं होता है।

तो यह स्पष्ट हो गया? यह बहुत बढ़िया बात है। चलिए अभ्यास के लिए आगे बढ़ते हैं।

काम। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| 3x+1 \दाहिना| \gt 5-4x\]

समाधान। हम योजना के अनुसार कार्य करते हैं:

\[\बाएं| 3x+1 \दाहिना| \gt 5-4x\Rightarrow \बाएं[ \शुरू (संरेखित) और 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\बाएं (5-4x \दाएं) \\\अंत (संरेखित करें) \ सही।\]

हम प्रत्येक जनसंख्या असमानता को हल करते हैं:

\[\बाएं[ \शुरू(संरेखित करें) और 3x+4x \gt 5-1 \\ और 3x-4x \lt -5-1 \\ \अंत(संरेखित करें) \दाएं.\]

\[\बाएं[ \शुरू (संरेखित करें) और 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(संरेखित करें) \दाएं.\]

\[\बाएं[ \शुरू (संरेखित करें) और x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \अंत(संरेखित करें) \दाएं.\]

हम प्रत्येक परिणामी सेट को संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं, और फिर उन्हें जोड़ते हैं:

सेट का संघ

स्पष्ट रूप से उत्तर है $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

उत्तर: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

काम। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gtx\]

समाधान। कुंआ? नहीं, यह सब वही है। हम एक असमानता से मापांक के साथ दो असमानताओं के एक सेट से गुजरते हैं:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \बाएं[ \शुरू(संरेखित करें) और ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(संरेखित करें) \दाएं।\]

हम प्रत्येक असमानता को हल करते हैं। दुर्भाग्य से, वहाँ जड़ें बहुत अच्छी नहीं होंगी:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\अंत (संरेखित करें)\]

दूसरी असमानता में भी थोड़ा सा खेल है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\अंत (संरेखित करें)\]

अब हमें इन संख्याओं को दो अक्षों पर अंकित करने की आवश्यकता है - प्रत्येक असमानता के लिए एक अक्ष। हालाँकि, आपको बिंदुओं को सही क्रम में चिह्नित करने की आवश्यकता है: संख्या जितनी बड़ी होगी, बिंदु उतना ही दाईं ओर शिफ्ट होगा।

और यहां हम एक सेटअप की प्रतीक्षा कर रहे हैं। यदि संख्याओं के साथ सब कुछ स्पष्ट है $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (पहले के अंश में पद अंश दूसरे के अंश में शब्दों से कम है, इसलिए योग भी छोटा है), संख्याओं के साथ $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ भी कोई कठिनाई नहीं होगी (एक सकारात्मक संख्या स्पष्ट रूप से अधिक नकारात्मक), लेकिन अंतिम जोड़े के साथ, सब कुछ इतना सरल नहीं है। कौन सा बड़ा है: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ या $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? संख्या रेखाओं पर बिंदुओं की व्यवस्था और वास्तव में उत्तर इस प्रश्न के उत्तर पर निर्भर करेगा।

तो चलिए तुलना करते हैं:

\[\begin(मैट्रिक्स) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ वी -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(मैट्रिक्स)\]

हमने जड़ को अलग कर दिया, असमानता के दोनों पक्षों पर गैर-ऋणात्मक संख्याएँ प्राप्त कीं, इसलिए हमें दोनों पक्षों को वर्ग करने का अधिकार है:

\[\begin(मैट्रिक्स) ((\बाएं(2+\sqrt(13) \दाएं))^(2))\vee ((\बाएं(\sqrt(21) \दाएं))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(मैट्रिक्स)\]

मुझे लगता है कि यह कोई दिमाग नहीं है कि $4\sqrt(13) \gt 3$, इसलिए $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2) $, अंत में कुल्हाड़ियों पर बिंदुओं को इस तरह व्यवस्थित किया जाएगा:

बदसूरत जड़ों का मामला

मैं आपको याद दिला दूं कि हम एक समुच्चय को हल कर रहे हैं, इसलिए उत्तर संघ होगा, न कि छायांकित समुच्चयों का प्रतिच्छेदन।

उत्तर: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारी योजना सरल कार्यों और बहुत कठिन कार्यों दोनों के लिए बढ़िया काम करती है। इस दृष्टिकोण में एकमात्र "कमजोर स्थान" यह है कि आपको अपरिमेय संख्याओं की सही तुलना करने की आवश्यकता है (और मेरा विश्वास करें: ये केवल जड़ें नहीं हैं)। लेकिन एक अलग (और बहुत गंभीर सबक) तुलना के सवालों के लिए समर्पित होगा। और हम आगे बढ़ते हैं।

3. गैर-नकारात्मक "पूंछ" वाली असमानताएं

तो हम सबसे दिलचस्प हो गए। ये प्रपत्र की असमानताएं हैं:

\[\बाएं| च\सही| \जीटी\बाएं| जी\दाएं|\]

सामान्यतया, अब हम जिस एल्गोरिथम के बारे में बात करने जा रहे हैं, वह केवल मॉड्यूल के लिए सही है। यह उन सभी असमानताओं में काम करता है जहाँ बाएँ और दाएँ गैर-नकारात्मक अभिव्यक्ति की गारंटी है:

इन कामों का क्या करें? बस याद रखना:

गैर-नकारात्मक पूंछ वाली असमानताओं में, दोनों पक्षों को किसी भी प्राकृतिक शक्ति तक उठाया जा सकता है। कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं होगा।

सबसे पहले, हमें स्क्वायरिंग में दिलचस्पी होगी - यह मॉड्यूल और जड़ों को जलाता है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((\बाएं(\बाएं| च \दाएं| \दाएं))^(2))=((च)^(2)); \\ & ((\बाएं(\sqrt(च) \दाएं))^(2))=च। \\\अंत (संरेखित करें)\]

वर्ग का मूल निकालने के साथ इसे भ्रमित न करें:

\[\sqrt(((च)^(2)))=\बाएं| f \right|\ne f\]

अनगिनत गलतियाँ की गईं जब एक छात्र एक मॉड्यूल स्थापित करना भूल गया! लेकिन यह एक पूरी तरह से अलग कहानी है (ये तर्कहीन समीकरण हैं), इसलिए अब हम इसमें नहीं जाएंगे। आइए बेहतर तरीके से कुछ समस्याओं का समाधान करें:

काम। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| x+2 \दाएं|\ge \बाएं| 1-2x \सही|\]

समाधान। हम तुरंत दो बातों पर ध्यान देते हैं:

1. यह एक गैर-सख्त असमानता है। संख्या रेखा पर बिंदुओं को पंच किया जाएगा।
2. असमानता के दोनों पक्ष स्पष्ट रूप से गैर-नकारात्मक हैं (यह मॉड्यूल की एक संपत्ति है: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$)।

इसलिए, हम मॉड्यूलस से छुटकारा पाने और सामान्य अंतराल विधि का उपयोग करके समस्या को हल करने के लिए असमानता के दोनों पक्षों को स्क्वायर कर सकते हैं:

\[\शुरू करें(संरेखित करें) & ((\बाएं(\बाएं| x+2 \दाएं| \दाएं))^(2))\ge ((\बाएं(\बाएं| 1-2x \दाएं| \दाएं) )^(2)); \\ & ((\बाएं(x+2 \दाएं))^(2))\ge ((\बाएं(2x-1 \दाएं))^(2)). \\\अंत (संरेखित करें)\]

अंतिम चरण में, मैंने थोड़ा धोखा दिया: मैंने मापांक की समानता का उपयोग करके शब्दों के अनुक्रम को बदल दिया (वास्तव में, मैंने $1-2x$ अभिव्यक्ति को -1 से गुणा किया)।

\[\शुरू करें(संरेखित करें) & ((\बाएं(2x-1 \दाएं))^(2))-((\बाएं(x+2 \दाएं))^(2))\le 0; \\ & \बाएं(\बाएं(2x-1 \दाएं)-\बाएं(x+2 \दाएं) \दाएं)\cdot \बाएं(\बाएं(2x-1 \दाएं)+\बाएं(x+2 \\ दाएँ)\दाएँ)\ले 0; \\ & \बाएं(2x-1-x-2 \दाएं)\cdot \बाएं(2x-1+x+2 \दाएं)\le 0; \\ & \बाएं(x-3 \दाएं)\cdot \बाएं(3x+1 \दाएं)\le 0. \\\अंत(संरेखित करें)\]

हम अंतराल विधि से हल करते हैं। आइए असमानता से समीकरण की ओर बढ़ते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं(x-3 \दाएं)\बाएं (3x+1 \दाएं)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\अंत (संरेखित करें)\]

हम संख्या रेखा पर पाई गई जड़ों को चिह्नित करते हैं। एक बार फिर: सभी बिंदु छायांकित हैं क्योंकि मूल असमानता सख्त नहीं है!

मॉड्यूल साइन से छुटकारा

मुझे आपको विशेष रूप से जिद्दी के लिए याद दिलाना चाहिए: हम पिछली असमानता से संकेत लेते हैं, जो समीकरण पर आगे बढ़ने से पहले लिखा गया था। और हम समान असमानता में आवश्यक क्षेत्रों पर पेंट करते हैं। हमारे मामले में, यह $\बाएं(x-3 \दाएं)\बाएं(3x+1 \दाएं)\le 0$ है।

ठीक है अब सब खत्म हो गया। समस्या हल हो गई।

उत्तर: $x\in \बाएं[ -\frac(1)(3);3 \right]$।

काम। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \बाएं| ((x)^(2))+3x+4 \दाएं|\]

समाधान। हम सब कुछ वैसा ही करते हैं। मैं कोई टिप्पणी नहीं करूंगा - बस क्रियाओं के क्रम को देखें।

आइए इसे स्क्वायर करें:

\[\शुरू करें(संरेखित करें) और ((\बाएं(\बाएं| ((x)^(2))+x+1 \दाएं| \दाएं))^(2))\ले ((\बाएं(\बाएं | ((x)^(2))+3x+4 \दाएं| \दाएं))^(2)); \\ & ((\बाएं(((x)^(2))+x+1 \दाएं))^(2))\le ((\बाएं((x)^(2))+3x+4 \दाएं))^(2)); \\ & ((\बाएं(((x)^(2))+x+1 \दाएं))^(2))-((\बाएं(((x)^(2))+3x+4 \\ दाएं))^(2))\le 0; \\ & \बाएं(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \दाएं)\times \\ & \times \बाएं (((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \बाएं(-2x-3 \दाएं)\बाएं(2((x)^(2))+4x+5 \दाएं)\le 0. \\\end(संरेखित करें)\]

अंतराल विधि:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \बाएं(-2x-3 \दाएं)\बाएं(2((x)^(2))+4x+5 \दाएं)=0 \\ और -2x-3=0\ राइटएरो x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\अंत (संरेखित करें)\]

संख्या रेखा पर केवल एक मूल होता है:

उत्तर एक पूरी श्रृंखला है

उत्तर: $x\in \बाएं[ -1.5;+\infty \right)$।

अंतिम कार्य के बारे में एक छोटा नोट। जैसा कि मेरे छात्रों में से एक ने सटीक रूप से उल्लेख किया है, इस असमानता में दोनों सबमॉड्यूल अभिव्यक्ति स्पष्ट रूप से सकारात्मक हैं, इसलिए स्वास्थ्य को नुकसान पहुंचाए बिना मापांक चिह्न को छोड़ा जा सकता है।

लेकिन यह पहले से ही पूरी तरह से अलग स्तर की सोच और एक अलग दृष्टिकोण है - इसे सशर्त रूप से परिणामों का तरीका कहा जा सकता है। उसके बारे में - एक अलग पाठ में। और अब चलिए आज के पाठ के अंतिम भाग की ओर बढ़ते हैं और एक सार्वभौमिक एल्गोरिथम पर विचार करते हैं जो हमेशा काम करता है। तब भी जब पिछले सभी दृष्टिकोण शक्तिहीन थे। :)

4. विकल्पों की गणना की विधि

क्या होगा अगर ये सभी तरकीबें काम न करें? यदि असमानता गैर-नकारात्मक पूंछों तक कम नहीं होती है, यदि मॉड्यूल को अलग करना असंभव है, यदि सभी दर्द-उदासी-लालसा?

तब सभी गणित का "भारी तोपखाना" दृश्य में प्रवेश करता है - गणना पद्धति। मापांक के साथ असमानताओं के संबंध में, ऐसा दिखता है:

1. सभी सबमॉड्यूल भावों को लिखें और उन्हें शून्य के बराबर करें;
2. परिणामी समीकरणों को हल करें और प्राप्त जड़ों को एक संख्या रेखा पर चिह्नित करें;
3. सीधी रेखा को कई खंडों में विभाजित किया जाएगा, जिसके भीतर प्रत्येक मॉड्यूल का एक निश्चित चिन्ह होता है और इसलिए स्पष्ट रूप से फैलता है;
4. ऐसे प्रत्येक खंड पर असमानता को हल करें (आप अलग से पैरा 2 में प्राप्त सीमा जड़ों पर विचार कर सकते हैं - विश्वसनीयता के लिए)। परिणामों को मिलाएं - यह उत्तर होगा। :)

कितनी अच्छी तरह से? कमज़ोर? आसानी से! केवल लंबे समय के लिए। आइए व्यवहार में देखें:

काम। असमानता को हल करें:

\[\बाएं| x+2 \दाहिना| \lt\बाएं| x-1 \दाएं|+x-\frac(3)(2)\]

समाधान। यह बकवास $\बाएं| जैसी असमानताओं तक सीमित नहीं है च\सही| \lt g$, $\बाएं| च\सही| \gt g$ या $\बाएं| च\सही| \lt\बाएं| g \right|$, तो चलिए आगे बढ़ते हैं।

हम सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन लिखते हैं, उन्हें शून्य के बराबर करते हैं और जड़ें ढूंढते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x+2=0\दायां तीर x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\अंत (संरेखित करें)\]

कुल मिलाकर, हमारे पास दो जड़ें हैं जो संख्या रेखा को तीन खंडों में विभाजित करती हैं, जिसके अंदर प्रत्येक मॉड्यूल विशिष्ट रूप से प्रकट होता है:

सबमॉड्यूलर फ़ंक्शंस के शून्य द्वारा संख्या रेखा को विभाजित करना

आइए प्रत्येक अनुभाग पर अलग से विचार करें।

1. माना $x \lt -2$। फिर दोनों सबमॉड्यूल एक्सप्रेशंस नेगेटिव हैं, और मूल असमानता को फिर से लिखा गया है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और -\बाएं (x+2 \दाएं) \lt -\बाएं (x-1 \दाएं)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(संरेखित करें)\]

हमें काफी सरल बाधा मिली। आइए इसे मूल धारणा के साथ प्रतिच्छेद करें कि $x \lt -2$:

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित करें) और x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(संरेखित करें) \दाएं.\दायां तीर x\in \varnothing \]

जाहिर है, चर $x$ एक साथ -2 से कम लेकिन 1.5 से अधिक नहीं हो सकता। इस क्षेत्र में कोई समाधान नहीं हैं।

1.1। आइए सीमा मामले पर अलग से विचार करें: $x=-2$। आइए इस संख्या को मूल असमानता में बदलें और जांचें: क्या यह सही है?

\[\शुरू करें(संरेखित करें) & ((\बाएं. \बाएं| x+2 \दाएं| \lt \बाएं| x-1 \दाएं|+x-1,5 \दाएं|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \बाएं| -3 \सही|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing । \\\अंत (संरेखित करें)\]

जाहिर है, गणनाओं की श्रृंखला ने हमें गलत असमानता की ओर अग्रसर किया है। इसलिए, मूल असमानता भी झूठी है, और $x=-2$ उत्तर में शामिल नहीं है।

2. अब $-2 \lt x \lt 1$। बायाँ मॉड्यूल पहले से ही "प्लस" के साथ खुलेगा, लेकिन दाहिना मॉड्यूल अभी भी "माइनस" के साथ है। अपने पास:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x+2 \lt -\बाएं(x-1 \दाएं)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\अंत (संरेखित करें)\]

हम फिर से मूल आवश्यकता के साथ प्रतिच्छेद करते हैं:

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित करें) और x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(संरेखित करें) \दाएं। \दायां तीर x\in \varnothing \]

और फिर, समाधानों का खाली सेट, क्योंकि ऐसी कोई संख्या नहीं है जो -2.5 से कम और -2 से अधिक हो।

2.1। और फिर से एक विशेष मामला: $x=1$। हम मूल असमानता में स्थानापन्न करते हैं:

\[\शुरू(संरेखित) और ((\बाएं। \बाएं| x+2 \दाएं| \lt \बाएं| x-1 \दाएं|+x-1,5 \दाएं|)_(x=1)) \\ & \बाएं| 3\सही| \lt\बाएं| 0 \दाएं|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing । \\\अंत (संरेखित करें)\]

पिछले "विशेष मामले" के समान, संख्या $x=1$ स्पष्ट रूप से उत्तर में शामिल नहीं है।

3. पंक्ति का अंतिम भाग: $x \gt 1$। यहां सभी मॉड्यूल एक प्लस चिह्न के साथ विस्तारित किए गए हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \अंत (संरेखित)\ ]

और फिर से हम मूल बाधा के साथ पाए गए सेट को काटते हैं:

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित करें) और x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\अंत(संरेखित करें) \दाएं।\दाएं तीर x\in \बाएं(4,5;+\infty) \सही)\]

आखिरकार! हमने अंतराल ढूंढ लिया है, जो उत्तर होगा।

उत्तर: $x\in \बाएं(4,5;+\infty \right)$

अंत में, एक नोट जो आपको वास्तविक समस्याओं को हल करते समय मूर्खतापूर्ण गलतियों से बचा सकता है:

मॉड्यूल के साथ असमानताओं के समाधान आमतौर पर संख्या रेखा - अंतराल और खंडों पर निरंतर सेट होते हैं। पृथक बिंदु बहुत दुर्लभ हैं। और इससे भी कम, ऐसा होता है कि समाधान की सीमाएं (खंड का अंत) विचाराधीन सीमा की सीमा के साथ मेल खाती हैं।

इसलिए, यदि सीमाएं (वे बहुत ही "विशेष मामले") उत्तर में शामिल नहीं हैं, तो इन सीमाओं के बाएं-दाएं क्षेत्रों को लगभग निश्चित रूप से उत्तर में शामिल नहीं किया जाएगा। और इसके विपरीत: सीमा ने प्रतिक्रिया में प्रवेश किया, जिसका अर्थ है कि इसके आसपास के कुछ क्षेत्र भी प्रतिक्रियात्मक होंगे।

अपने समाधान की जाँच करते समय इसे ध्यान में रखें।

सबसे पहले, कुछ गीत उस समस्या को महसूस करने के लिए जो अंतराल विधि हल करती है। मान लीजिए हमें निम्नलिखित असमानता को हल करने की आवश्यकता है:

(एक्स - 5) (एक्स + 3)> 0

विकल्प क्या हैं? अधिकांश छात्रों के लिए पहली बात जो मन में आती है वह नियम है "प्लस गुना प्लस प्लस बनाता है" और "माइनस गुना माइनस प्लस बनाता है।" इसलिए, यह उस स्थिति पर विचार करने के लिए पर्याप्त है जब दोनों कोष्ठक धनात्मक हैं: x − 5 > 0 और x + 3 > 0। फिर हम उस स्थिति पर भी विचार करते हैं जब दोनों कोष्ठक ऋणात्मक हैं: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

अधिक उन्नत छात्रों को याद होगा (शायद) कि बाईं ओर एक द्विघात फलन है जिसका ग्राफ एक परवलय है। इसके अलावा, यह परवलय OX अक्ष को बिंदुओं x = 5 और x = -3 पर काटता है। आगे के काम के लिए आपको ब्रैकेट खोलने की जरूरत है। अपने पास:

x 2 − 2x − 15 > 0

अब यह स्पष्ट है कि परबोला की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित हैं, क्योंकि गुणांक a = 1 > 0. आइए इस परवलय का आरेख बनाने का प्रयास करें:

फ़ंक्शन शून्य से बड़ा होता है जहां यह OX अक्ष के ऊपर से गुजरता है। हमारे मामले में, ये अंतराल हैं (−∞ −3) और (5; +∞) - यह उत्तर है।

कृपया ध्यान दें कि चित्र बिल्कुल दिखाता है समारोह आरेख, उसका शेड्यूल नहीं। क्योंकि एक वास्तविक ग्राफ के लिए, आपको निर्देशांक की गणना करने, ऑफ़सेट और अन्य बकवास की गणना करने की आवश्यकता होती है, जिसकी हमें अब बिल्कुल भी आवश्यकता नहीं है।

ये तरीके अप्रभावी क्यों हैं?

इसलिए, हमने समान असमानता के दो समाधानों पर विचार किया है। वे दोनों बहुत बोझिल निकले। पहला निर्णय आता है - जरा सोचो! असमानताओं की प्रणालियों का एक समूह है। दूसरा समाधान भी बहुत आसान नहीं है: आपको पैराबोला ग्राफ और अन्य छोटे तथ्यों का एक गुच्छा याद रखना होगा।

यह एक बहुत ही साधारण असमानता थी। इसमें केवल 2 गुणक हैं। अब कल्पना कीजिए कि 2 गुणक नहीं होंगे, लेकिन कम से कम 4 होंगे। उदाहरण के लिए:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

ऐसी असमानता को कैसे हल करें? पेशेवरों और विपक्षों के सभी संभावित संयोजनों को देखें? हां, हम समाधान खोजने की तुलना में तेजी से सो जाएंगे। एक ग्राफ बनाना भी एक विकल्प नहीं है, क्योंकि यह स्पष्ट नहीं है कि इस तरह का फ़ंक्शन समन्वय विमान पर कैसे व्यवहार करता है।

ऐसी असमानताओं के लिए एक विशेष समाधान एल्गोरिथम की आवश्यकता होती है, जिस पर हम आज विचार करेंगे।

अंतराल विधि क्या है

अंतराल विधि एक विशेष एल्गोरिथ्म है जिसे f (x) > 0 और f (x) के रूप की जटिल असमानताओं को हल करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. समीकरण f (x) \u003d 0 को हल करें। इस प्रकार, एक असमानता के बजाय, हमें एक समीकरण मिलता है जिसे हल करना बहुत आसान है;
2. सभी प्राप्त जड़ों को समन्वय रेखा पर चिह्नित करें। इस प्रकार, सीधी रेखा को कई अंतरालों में विभाजित किया जाएगा;
3. सबसे दाहिने अंतराल पर फलन f (x) का चिह्न (प्लस या माइनस) ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, f (x) में किसी भी संख्या को प्रतिस्थापित करने के लिए पर्याप्त है जो सभी चिह्नित जड़ों के दाईं ओर होगा;
4. अन्य अंतरालों पर निशान लगाएं। ऐसा करने के लिए, यह याद रखना पर्याप्त है कि प्रत्येक जड़ से गुजरते समय, संकेत बदल जाता है।

बस इतना ही! उसके बाद, यह केवल उन अंतरालों को लिखने के लिए रहता है जो हमें रुचिकर लगते हैं। यदि असमानता f (x) > 0 के रूप की थी, या असमानता f (x) के रूप की थी, तो उन्हें "+" चिन्ह से चिह्नित किया गया था।< 0.

पहली नज़र में ऐसा लग सकता है कि अंतराल विधि किसी प्रकार का टिन है। लेकिन व्यवहार में सब कुछ बहुत आसान हो जाएगा। इसमें थोड़ा अभ्यास होता है - और सब कुछ स्पष्ट हो जाएगा। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और अपने लिए देखें:

काम। असमानता को हल करें:

(एक्स - 2) (एक्स + 7)< 0

हम अंतराल की विधि पर काम करते हैं। चरण 1: असमानता को एक समीकरण से बदलें और इसे हल करें:

(एक्स - 2) (एक्स + 7) = 0

उत्पाद शून्य के बराबर है अगर और केवल अगर कारकों में से कम से कम एक शून्य के बराबर है:

x - 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = -7।

दो जड़ें मिलीं। चरण 2 पर जाएं: इन जड़ों को निर्देशांक रेखा पर चिह्नित करें। अपने पास:

अब चरण 3: हम सबसे दाहिने अंतराल पर (चिन्हित बिंदु x = 2 के दाईं ओर) फलन का चिह्न पाते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको कोई भी संख्या लेने की आवश्यकता है जो संख्या x = 2 से अधिक हो। उदाहरण के लिए, आइए x = 3 लें (लेकिन कोई भी x = 4, x = 10, और यहाँ तक कि x = 10,000 लेने से मना नहीं करता है)। हम पाते हैं:

एफ (एक्स) = (एक्स - 2) (एक्स + 7);
एक्स = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

हमें वह f (3) = 10 > 0 मिलता है, इसलिए हम सबसे दाहिने अंतराल में धन चिह्न लगाते हैं।

हम अंतिम बिंदु पर जाते हैं - शेष अंतरालों पर संकेतों को नोट करना आवश्यक है। याद रखें कि प्रत्येक जड़ से गुजरते समय, चिन्ह को बदलना चाहिए। उदाहरण के लिए, रूट x = 2 के दाईं ओर एक प्लस है (हमने पिछले चरण में यह सुनिश्चित किया था), इसलिए बाईं ओर एक माइनस होना चाहिए।

यह माइनस पूरे अंतराल (−7; 2) तक फैला हुआ है, इसलिए रूट x = −7 के दाईं ओर एक माइनस है। इसलिए, मूल x = −7 के बाईं ओर एक जोड़ है। इन संकेतों को समन्वय अक्ष पर चिह्नित करना बाकी है। अपने पास:

आइए मूल असमानता पर लौटते हैं, जो इस तरह दिखती थी:

(एक्स - 2) (एक्स + 7)< 0

तो समारोह शून्य से कम होना चाहिए। इसका अर्थ है कि हम ऋण चिह्न में रुचि रखते हैं, जो केवल एक अंतराल पर होता है: (−7; 2)। यही उत्तर होगा।

काम। असमानता को हल करें:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

चरण 1: बाईं ओर शून्य के बराबर करें:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x - 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1।

याद रखें: उत्पाद शून्य होता है जब कम से कम एक कारक शून्य होता है। यही कारण है कि हमारे पास प्रत्येक व्यक्तिगत ब्रैकेट को शून्य करने का अधिकार है।

चरण 2: सभी जड़ों को समन्वय रेखा पर चिह्नित करें:

चरण 3: सबसे दायीं ओर के गैप के चिन्ह का पता लगाएं। हम ऐसी कोई भी संख्या लेते हैं जो x = 1 से बड़ी हो। उदाहरण के लिए, हम x = 10 ले सकते हैं। हमारे पास है:

एफ (एक्स) \u003d (एक्स + 9) (एक्स - 3) (1 - एक्स);
एक्स = 10;
f (10) = (10 + 9) (10 - 3) (1 - 10) = 19 7 (−9) = - 1197;
एफ(10) = -1197< 0.

चरण 4: बाकी चिन्हों को रखें। याद रखें कि प्रत्येक जड़ से गुजरने पर, चिन्ह बदल जाता है। नतीजतन, हमारी तस्वीर इस तरह दिखेगी:

बस इतना ही। केवल उत्तर लिखना शेष रह गया है। मूल असमानता पर एक और नज़र डालें:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

यह f (x) के रूप की असमानता है< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

यह उत्तर है।

फ़ंक्शन संकेतों के बारे में एक नोट

अभ्यास से पता चलता है कि अंतराल विधि में सबसे बड़ी कठिनाइयाँ अंतिम दो चरणों में उत्पन्न होती हैं, अर्थात संकेत देते समय। कई छात्र भ्रमित होने लगते हैं: कौन सी संख्या लेनी है और कहां चिन्ह लगाना है।

अंत में अंतराल विधि को समझने के लिए, दो टिप्पणियों पर विचार करें जिन पर यह बनाया गया है:

1. एक निरंतर फलन केवल बिंदुओं पर चिन्ह बदलता है जहां यह शून्य के बराबर है. ऐसे बिंदु निर्देशांक अक्ष को टुकड़ों में तोड़ देते हैं, जिसके भीतर फलन का चिह्न कभी नहीं बदलता है। इसलिए हम समीकरण f (x) \u003d 0 को हल करते हैं और पाई गई जड़ों को एक सीधी रेखा पर चिह्नित करते हैं। पाई गई संख्याएँ "सीमा" बिंदु हैं जो प्लसस को माइनस से अलग करती हैं।
2. किसी भी अंतराल पर किसी फ़ंक्शन के चिह्न का पता लगाने के लिए, इस अंतराल से फ़ंक्शन में किसी भी संख्या को प्रतिस्थापित करने के लिए पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, अंतराल (−5; 6) के लिए हम चाहें तो x = −4, x = 0, x = 4 और यहाँ तक कि x = 1.29374 भी ले सकते हैं। यह महत्वपूर्ण क्यों है? हां, क्योंकि कई छात्रों को संदेह होने लगता है। जैसे, क्या होगा यदि x = −4 के लिए हमें एक जोड़ मिलता है, और x = 0 के लिए हमें एक ऋण मिलता है? ऐसा कुछ भी कभी नहीं होगा। एक ही अंतराल में सभी बिंदु समान चिह्न देते हैं। यह याद रखना।

अंतराल विधि के बारे में आपको बस इतना ही पता होना चाहिए। बेशक, हमने इसे इसके सरलतम रूप में नष्ट कर दिया है। अधिक जटिल असमानताएँ हैं - गैर-सख्त, भिन्नात्मक और बार-बार जड़ों वाली। उनके लिए, आप अंतराल विधि भी लागू कर सकते हैं, लेकिन यह एक अलग बड़े पाठ का विषय है।

अब मैं एक उन्नत तरकीब का विश्लेषण करना चाहूंगा जो अंतराल पद्धति को बहुत सरल करती है। अधिक सटीक रूप से, सरलीकरण केवल तीसरे चरण को प्रभावित करता है - रेखा के सबसे दाहिने हिस्से पर चिन्ह की गणना। किसी कारण से, यह तकनीक स्कूलों में आयोजित नहीं की जाती है (कम से कम किसी ने मुझे यह नहीं समझाया)। लेकिन व्यर्थ - वास्तव में, यह एल्गोरिथम बहुत सरल है।

तो, फ़ंक्शन का चिह्न संख्यात्मक अक्ष के दाहिने भाग पर है। इस टुकड़े का रूप (a; +∞) है, जहाँ a समीकरण f (x) = 0 की सबसे बड़ी जड़ है। हमारे दिमाग को उड़ाने के लिए, एक विशिष्ट उदाहरण पर विचार करें:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
एफ (एक्स) \u003d (एक्स - 1) (2 + एक्स) (7 - एक्स);
(x − 1)(2 + x )(7 − x ) = 0;
x - 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = -2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

हमें 3 जड़ें मिलीं। हम उन्हें आरोही क्रम में सूचीबद्ध करते हैं: x = −2, x = 1 और x = 7। जाहिर है, सबसे बड़ा मूल x = 7 है।

उन लोगों के लिए जिन्हें रेखांकन करना आसान लगता है, मैं इन जड़ों को निर्देशांक रेखा पर चिह्नित करूँगा। चलो देखते हैं क्या होता हैं:

सबसे दाहिने अंतराल पर फलन f (x) का चिन्ह ज्ञात करना आवश्यक है, अर्थात पर (7; + ∞)। लेकिन जैसा कि हमने पहले ही नोट किया है, संकेत निर्धारित करने के लिए आप इस अंतराल से कोई भी संख्या ले सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप x = 8, x = 150, आदि ले सकते हैं। और अब - वही तकनीक जो स्कूलों में नहीं सिखाई जाती है: आइए अनंत को एक संख्या के रूप में लें। ज्यादा ठीक, प्लस अनंत, अर्थात। + ∞।

"क्या तुम शराबी हो? आप अनंतता को एक समारोह में कैसे बदल सकते हैं? शायद, तुम पूछो। लेकिन इसके बारे में सोचें: हमें फ़ंक्शन के मूल्य की आवश्यकता नहीं है, हमें केवल संकेत की आवश्यकता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, मान f (x) = −1 और f (x) = −938 740 576 215 का मतलब एक ही है: इस अंतराल पर फ़ंक्शन नकारात्मक है। इसलिए, आपके लिए वह सब आवश्यक है जो अनंत पर होने वाले चिह्न को खोजना है, न कि फलन के मान को।

वास्तव में, अनंत को प्रतिस्थापित करना बहुत आसान है। आइए अपने कार्य पर वापस जाएं:

f(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

कल्पना कीजिए कि x एक बहुत बड़ी संख्या है। एक अरब या एक खरब भी। अब देखते हैं कि प्रत्येक कोष्ठक में क्या होता है।

पहला कोष्ठक: (x − 1). यदि आप एक अरब से एक घटाते हैं तो क्या होता है? परिणाम एक ऐसी संख्या होगी जो एक बिलियन से अधिक भिन्न नहीं होगी, और यह संख्या धनात्मक होगी। इसी प्रकार दूसरे ब्रैकेट के साथ: (2 + x)। यदि हम एक बिलियन में दो जोड़ते हैं, तो हमें कोपेक के साथ एक बिलियन प्राप्त होता है - यह एक धनात्मक संख्या है। अंत में, तीसरा कोष्ठक: (7 − x ). यहां माइनस एक बिलियन होगा, जिसमें से सात के रूप में एक दयनीय टुकड़ा "कुतर गया"। वे। परिणामी संख्या माइनस एक बिलियन से अधिक भिन्न नहीं होगी - यह ऋणात्मक होगी।

यह पूरे काम का संकेत खोजने के लिए बनी हुई है। चूंकि हमारे पास पहले ब्रैकेट में प्लस और आखिरी ब्रैकेट में माइनस था, इसलिए हमें निम्नलिखित निर्माण मिलता है:

(+) · (+) · (−) = (−)

अंतिम चिन्ह माइनस है! इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि फ़ंक्शन का मूल्य क्या है। मुख्य बात यह है कि यह मान ऋणात्मक है, अर्थात सबसे दाहिने अंतराल पर एक ऋण चिह्न होता है। यह अंतराल विधि के चौथे चरण को पूरा करने के लिए बना हुआ है: सभी संकेतों को व्यवस्थित करें। अपने पास:

मूल असमानता दिखती थी:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

इसलिए, हम एक ऋण चिह्न के साथ चिह्नित अंतराल में रुचि रखते हैं। हम उत्तर लिखते हैं:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

वह पूरी तरकीब है जो मैं बताना चाहता था। अंत में, एक और असमानता है, जिसे अंतराल विधि द्वारा अनंत का उपयोग करके हल किया जाता है। समाधान को नेत्रहीन रूप से छोटा करने के लिए, मैं चरण संख्या और विस्तृत टिप्पणियाँ नहीं लिखूंगा। मैं केवल वही लिखूंगा जो वास्तविक समस्याओं को हल करते समय वास्तव में लिखने की आवश्यकता है:

काम। असमानता को हल करें:

एक्स (2x + 8) (एक्स - 3)> 0

हम असमानता को एक समीकरण से प्रतिस्थापित करते हैं और इसे हल करते हैं:

एक्स (2x + 8) (एक्स - 3) = 0;
एक्स = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = -4;
x - 3 = 0 ⇒ x = 3।

हम सभी तीन जड़ों को समन्वय रेखा पर चिह्नित करते हैं (तुरंत संकेतों के साथ):

निर्देशांक अक्ष के दायीं ओर एक धन चिह्न होता है, क्योंकि समारोह ऐसा दिखता है:

एफ (एक्स) = एक्स (2x + 8) (एक्स - 3)

और अगर हम इन्फिनिटी (उदाहरण के लिए, एक अरब) को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें तीन सकारात्मक कोष्ठक मिलते हैं। चूंकि मूल अभिव्यक्ति शून्य से अधिक होनी चाहिए, हम केवल धन में रुचि रखते हैं। उत्तर लिखना बाकी है:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)