Tele2, टैरिफ, प्रश्नों पर सहायता

मित्रो, आज कोई नोक-झोंक या भावुकता नहीं रहेगी। इसके बजाय, मैं तुम्हें 8वीं-9वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में सबसे दुर्जेय विरोधियों में से एक के साथ युद्ध में भेजूंगा, कोई सवाल नहीं पूछा जाएगा।

हाँ, आपने सब कुछ सही ढंग से समझा: हम मापांक के साथ असमानताओं के बारे में बात कर रहे हैं। हम चार बुनियादी तकनीकों पर गौर करेंगे जिनकी मदद से आप ऐसी लगभग 90% समस्याओं को हल करना सीखेंगे। शेष 10% के बारे में क्या? खैर, हम उनके बारे में एक अलग पाठ में बात करेंगे। :)

हालाँकि, किसी भी तकनीक का विश्लेषण करने से पहले, मैं आपको दो तथ्य याद दिलाना चाहूँगा जिन्हें आपको पहले से ही जानना आवश्यक है। अन्यथा, आप आज के पाठ की सामग्री को बिल्कुल भी न समझ पाने का जोखिम उठाते हैं।

जो आपको पहले से ही जानने की जरूरत है

कैप्टन ओब्विअसनेस संकेत देता प्रतीत होता है कि मापांक के साथ असमानताओं को हल करने के लिए आपको दो बातें जानने की आवश्यकता है:

1. असमानताओं का समाधान कैसे किया जाता है;
2. मॉड्यूल क्या है?

चलिए दूसरे बिंदु से शुरू करते हैं।

मॉड्यूल परिभाषा

यहां सब कुछ सरल है. इसकी दो परिभाषाएँ हैं: बीजगणितीय और ग्राफिकल। आरंभ करने के लिए - बीजगणितीय:

परिभाषा। किसी संख्या $x$ का मापांक या तो वह संख्या है, यदि वह गैर-ऋणात्मक है, या उसके विपरीत संख्या है, यदि मूल $x$ अभी भी ऋणात्मक है।

इसे इस प्रकार लिखा गया है:

\[\बाएं| x \दाएं|=\बाएं\( \begin(संरेखित) और x,\ x\ge 0, \\ और -x,\ x \lt 0. \\\end(संरेखित) \दाएं।\]

सरल शब्दों में, मापांक एक "बिना ऋण के संख्या" है। और यह ठीक इसी द्वंद्व में है (कुछ स्थानों पर आपको मूल संख्या के साथ कुछ भी नहीं करना है, लेकिन अन्य में आपको किसी प्रकार का ऋण हटाना होगा) यहीं पर शुरुआती छात्रों के लिए पूरी कठिनाई निहित है।

एक ज्यामितीय परिभाषा भी है. यह जानना भी उपयोगी है, लेकिन हम केवल जटिल और कुछ विशेष मामलों में ही इसकी ओर रुख करेंगे, जहां ज्यामितीय दृष्टिकोण बीजीय की तुलना में अधिक सुविधाजनक है (स्पॉइलर: आज नहीं)।

परिभाषा। मान लीजिए संख्या रेखा पर बिंदु $a$ अंकित है। फिर मॉड्यूल $\left| x-a \right|$ इस रेखा पर बिंदु $x$ से बिंदु $a$ तक की दूरी है।

यदि आप कोई चित्र बनाते हैं, तो आपको कुछ इस प्रकार प्राप्त होगा:

ग्राफ़िकल मॉड्यूल परिभाषा

एक तरह से या किसी अन्य, मॉड्यूल की परिभाषा से इसकी मुख्य संपत्ति तुरंत निम्नानुसार होती है: किसी संख्या का मापांक सदैव एक गैर-ऋणात्मक मात्रा होता है. यह तथ्य आज हमारी संपूर्ण कथा में एक लाल धागा बना रहेगा।

असमानताओं का समाधान. अंतराल विधि

अब आइए असमानताओं पर नजर डालें। उनमें से बहुत सारे हैं, लेकिन अब हमारा कार्य कम से कम उनमें से सबसे सरल को हल करने में सक्षम होना है। वे जो रैखिक असमानताओं के साथ-साथ अंतराल विधि को भी कम करते हैं।

इस विषय पर मेरे पास दो बड़े पाठ हैं (वैसे, बहुत, बहुत उपयोगी - मैं उनका अध्ययन करने की सलाह देता हूं):

1. असमानताओं के लिए अंतराल विधि (विशेषकर वीडियो देखें);
2. भिन्नात्मक तर्कसंगत असमानताएँ एक बहुत व्यापक पाठ है, लेकिन इसके बाद आपके पास कोई प्रश्न नहीं होगा।

यदि आप यह सब जानते हैं, यदि वाक्यांश "आइए असमानता से समीकरण की ओर बढ़ें" आपको दीवार के खिलाफ खुद को मारने की अस्पष्ट इच्छा नहीं देता है, तो आप तैयार हैं: पाठ के मुख्य विषय में नरक में आपका स्वागत है। :)

1. प्रपत्र की असमानताएं "मापांक फ़ंक्शन से कम है"

यह मॉड्यूल के साथ सबसे आम समस्याओं में से एक है। फॉर्म की असमानता को हल करना आवश्यक है:

\[\बाएं| f\दाएं| \ltg\]

फलन $f$ और $g$ कुछ भी हो सकते हैं, लेकिन आमतौर पर वे बहुपद होते हैं। ऐसी असमानताओं के उदाहरण:

\[\शुरू(संरेखित करें) और \बाएं| 2x+3 \दाएं| \lt x+7; \\ & \बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \दाएं|+3\बाएं(x+1 \दाएं) \lt 0; \\ & \बाएं| ((x)^(2))-2\left| x \दाएं|-3 \दाएं| \lt 2. \\\end(संरेखित करें)\]

उन सभी को निम्नलिखित योजना के अनुसार शाब्दिक रूप से एक पंक्ति में हल किया जा सकता है:

\[\बाएं| f\दाएं| \lt g\राइटएरो -g \lt f \lt g\quad \left(\राइटएरो \left\( \begin(संरेखित) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(संरेखित) \सही सही)\]

यह देखना आसान है कि हम मॉड्यूल से छुटकारा पा लेते हैं, लेकिन बदले में हमें दोहरी असमानता मिलती है (या, जो एक ही बात है, दो असमानताओं की एक प्रणाली)। लेकिन यह परिवर्तन बिल्कुल सभी संभावित समस्याओं को ध्यान में रखता है: यदि मापांक के अंतर्गत संख्या सकारात्मक है, तो विधि काम करती है; यदि नकारात्मक है, तो यह अभी भी काम करता है; और $f$ या $g$ के स्थान पर सबसे अपर्याप्त फ़ंक्शन के साथ भी, विधि अभी भी काम करेगी।

स्वाभाविक रूप से, सवाल उठता है: क्या यह आसान नहीं हो सकता? दुर्भाग्य से, यह संभव नहीं है. यह मॉड्यूल का संपूर्ण बिंदु है.

हालाँकि, दार्शनिकता के साथ पर्याप्त। आइए कुछ समस्याओं का समाधान करें:

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\बाएं| 2x+3 \दाएं| \lt x+7\]

समाधान। तो, हमारे सामने "मापांक कम है" के रूप में एक क्लासिक असमानता है - यहां तक ​​कि बदलने के लिए कुछ भी नहीं है। हम एल्गोरिथम के अनुसार काम करते हैं:

\[\शुरू(संरेखित करें) और \बाएं| f\दाएं| \lt g\राइटएरो -g \lt f \lt g; \\ & \बाएं| 2x+3 \दाएं| \lt x+7\दायां तीर -\बाएं(x+7 \दाएं) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(संरेखित)\]

"माइनस" से पहले वाले कोष्ठक को खोलने में जल्दबाजी न करें: यह बहुत संभव है कि आपकी जल्दबाजी के कारण आप कोई आपत्तिजनक गलती कर देंगे।

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\बाएं\( \begin(संरेखित) और -x-7 \lt 2x+3 \\ और 2x+3 \lt x+7 \\ \end(संरेखित) \दाएं।\]

\[\बाएँ\( \begin(संरेखित) और -3x \lt 10 \\ और x \lt 4 \\ \end(संरेखित) \दाएँ।\]

\[\left\( \begin(संरेखित) और x \gt -\frac(10)(3) \\ और x \lt 4 \\ \end(संरेखित) \दाएं।\]

समस्या को दो प्राथमिक असमानताओं तक सीमित कर दिया गया था। आइए हम समानांतर संख्या रेखाओं पर उनके समाधान नोट करें:

अनेकों का अंतर्विच्छेद

इन सेटों का प्रतिच्छेदन उत्तर होगा।

उत्तर: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \दाएं|+3\बाएं(x+1 \दाएं) \lt 0\]

समाधान। यह कार्य थोड़ा अधिक कठिन है. सबसे पहले, आइए दूसरे पद को दाईं ओर ले जाकर मॉड्यूल को अलग करें:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \right)\]

जाहिर है, हमारे पास फिर से "मॉड्यूल छोटा है" के रूप में असमानता है, इसलिए हम पहले से ज्ञात एल्गोरिदम का उपयोग करके मॉड्यूल से छुटकारा पाते हैं:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

अब ध्यान दें: कोई कहेगा कि मैं इन सभी कोष्ठकों के साथ थोड़ा विकृत हूं। लेकिन मैं आपको एक बार फिर याद दिला दूं कि हमारा मुख्य लक्ष्य है असमानता को सही ढंग से हल करें और उत्तर प्राप्त करें. बाद में, जब आपने इस पाठ में वर्णित हर चीज में पूरी तरह से महारत हासिल कर ली है, तो आप इसे अपनी इच्छानुसार विकृत कर सकते हैं: कोष्ठक खोलें, माइनस जोड़ें, आदि।

आरंभ करने के लिए, हम बाईं ओर के डबल माइनस से छुटकारा पा लेंगे:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\बाएं(x+1 \दाएं)\]

आइए अब दोहरी असमानता में सभी कोष्ठक खोलें:

आइए दोहरी असमानता की ओर आगे बढ़ें। इस बार गणना अधिक गंभीर होगी:

\[\left\( \begin(संरेखित) और ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(संरेखित करें) \दाएं।\]

\[\left\( \begin(संरेखित) और ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ और ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( सही संरेखित।\]

दोनों असमानताएं द्विघात हैं और अंतराल विधि द्वारा हल की जा सकती हैं (इसीलिए मैं कहता हूं: यदि आप नहीं जानते कि यह क्या है, तो अभी तक मॉड्यूल न लेना बेहतर है)। आइए पहली असमानता के समीकरण पर आगे बढ़ें:

\[\begin(संरेखित) और ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(संरेखित करें)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, आउटपुट एक अपूर्ण द्विघात समीकरण है, जिसे प्राथमिक तरीके से हल किया जा सकता है। अब व्यवस्था की दूसरी असमानता पर नजर डालते हैं। वहां आपको विएटा का प्रमेय लागू करना होगा:

\[\begin(संरेखित) और ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(संरेखित करें)\]

हम परिणामी संख्याओं को दो समानांतर रेखाओं पर अंकित करते हैं (पहली असमानता के लिए अलग और दूसरी के लिए अलग):

फिर, चूँकि हम असमानताओं की एक प्रणाली को हल कर रहे हैं, हम छायांकित सेटों के प्रतिच्छेदन में रुचि रखते हैं: $x\in \left(-5;-2 \right)$। यह उत्तर है.

उत्तर: $x\in \left(-5;-2 \right)$

मुझे लगता है कि इन उदाहरणों के बाद समाधान योजना बेहद स्पष्ट है:

1. अन्य सभी पदों को असमानता के विपरीत दिशा में ले जाकर मॉड्यूल को अलग करें। इस प्रकार हमें $\left| के रूप की एक असमानता प्राप्त होती है f\दाएं| \ltg$.
2. ऊपर वर्णित योजना के अनुसार मॉड्यूल से छुटकारा पाकर इस असमानता को हल करें। कुछ बिंदु पर, दोहरी असमानता से दो स्वतंत्र अभिव्यक्तियों की प्रणाली में जाना आवश्यक होगा, जिनमें से प्रत्येक को पहले से ही अलग से हल किया जा सकता है।
3. अंत में, जो कुछ बचा है वह इन दो स्वतंत्र अभिव्यक्तियों के समाधानों को प्रतिच्छेद करना है - और यही है, हमें अंतिम उत्तर मिलेगा।

एक समान एल्गोरिथ्म निम्नलिखित प्रकार की असमानताओं के लिए मौजूद है, जब मापांक फ़ंक्शन से बड़ा होता है। हालाँकि, कुछ गंभीर "किंतु" भी हैं। अब हम इन "लेकिन" के बारे में बात करेंगे।

2. "मापांक फलन से बड़ा है" के रूप में असमानताएँ

वे इस तरह दिखते हैं:

\[\बाएं| f\दाएं| \gtg\]

पिछले वाले के समान? जान पड़ता है। और फिर भी ऐसी समस्याओं को बिल्कुल अलग तरीके से हल किया जाता है। औपचारिक रूप से, योजना इस प्रकार है:

\[\बाएं| f\दाएं| \gt g\दायां तीर \बाएं[ \begin(संरेखित) और f \gt g, \\ और f \lt -g \\\end(संरेखित) \दाएं।\]

दूसरे शब्दों में, हम दो मामलों पर विचार करते हैं:

1. सबसे पहले, हम केवल मॉड्यूल को अनदेखा करते हैं और सामान्य असमानता को हल करते हैं;
2. फिर, संक्षेप में, हम ऋण चिह्न के साथ मॉड्यूल का विस्तार करते हैं, और फिर असमानता के दोनों पक्षों को -1 से गुणा करते हैं, जबकि मेरे पास चिह्न है।

इस मामले में, विकल्पों को एक वर्गाकार ब्रैकेट के साथ जोड़ा जाता है, अर्थात। हमारे सामने दो आवश्यकताओं का संयोजन है।

कृपया फिर से ध्यान दें: यह एक प्रणाली नहीं है, बल्कि समग्रता है उत्तर में समुच्चय प्रतिच्छेद करने के बजाय संयुक्त हैं. यह पिछले बिंदु से एक मूलभूत अंतर है!

सामान्य तौर पर, कई छात्र यूनियनों और अंतर्विरोधों को लेकर पूरी तरह से भ्रमित होते हैं, तो आइए इस मुद्दे को हमेशा के लिए सुलझा लें:

• "∪" एक संघ चिह्न है. वास्तव में, यह एक शैलीबद्ध अक्षर "यू" है, जो अंग्रेजी भाषा से हमारे पास आया है और यह "यूनियन" का संक्षिप्त रूप है, अर्थात। "संघ"।
• "∩" प्रतिच्छेदन चिन्ह है। यह बकवास कहीं से नहीं आई, बल्कि बस "∪" के प्रतिरूप के रूप में सामने आई।

इसे याद रखना और भी आसान बनाने के लिए, चश्मा बनाने के लिए बस इन संकेतों पर ध्यान दें (बस अब मुझ पर नशीली दवाओं की लत और शराब को बढ़ावा देने का आरोप न लगाएं: यदि आप गंभीरता से इस पाठ का अध्ययन कर रहे हैं, तो आप पहले से ही एक नशे की लत हैं):

समुच्चयों के प्रतिच्छेदन और मिलन के बीच अंतर

रूसी में अनुवादित, इसका अर्थ निम्नलिखित है: संघ (समग्रता) में दोनों सेटों के तत्व शामिल हैं, इसलिए यह किसी भी तरह से उनमें से प्रत्येक से कम नहीं है; लेकिन प्रतिच्छेदन (सिस्टम) में केवल वे तत्व शामिल हैं जो पहले सेट और दूसरे दोनों में एक साथ हैं। इसलिए, सेटों का प्रतिच्छेदन कभी भी स्रोत सेट से बड़ा नहीं होता है।

तो यह स्पष्ट हो गया? यह बहुत बढ़िया बात है। आइए अभ्यास की ओर आगे बढ़ें।

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\बाएं| 3x+1 \दाएं| \gt 5-4x\]

समाधान। हम योजना के अनुसार आगे बढ़ते हैं:

\[\बाएं| 3x+1 \दाएं| \gt 5-4x\दायां तीर \बाएं[ \शुरू(संरेखित) और 3x+1 \gt 5-4x \\ और 3x+1 \lt -\बाएं(5-4x \दाएं) \\\अंत(संरेखित) \ सही।\]

हम जनसंख्या में प्रत्येक असमानता का समाधान करते हैं:

\[\बाएँ[ \begin(संरेखित) और 3x+4x \gt 5-1 \\ और 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(संरेखित) \दाएँ।\]

\[\बाएं[ \शुरू(संरेखित) और 7x \gt 4 \\ और -x \lt -6 \\ \अंत(संरेखित) \दाएं।\]

\[\बाएं[ \begin(संरेखित) और x \gt 4/7\ \\ और x \gt 6 \\ \end(संरेखित) \दाएं।\]

हम प्रत्येक परिणामी सेट को संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं, और फिर उन्हें जोड़ते हैं:

समुच्चयों का संघ

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि उत्तर $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ होगा

उत्तर: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

समाधान। कुंआ? कुछ नहीं - सब कुछ वैसा ही है. हम मापांक वाली असमानता से दो असमानताओं के समुच्चय की ओर बढ़ते हैं:

\[\बाएं| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\दायां तीर \बाएं[ \begin(संरेखित करें) और ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ और ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(संरेखित करें) \दाएं।\]

हम हर असमानता का समाधान करते हैं। दुर्भाग्य से, वहाँ जड़ें बहुत अच्छी नहीं होंगी:

\[\begin(संरेखित) और ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(संरेखित करें)\]

दूसरी असमानता भी थोड़ी जंगली है:

\[\begin(संरेखित) और ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(संरेखित करें)\]

अब आपको इन संख्याओं को दो अक्षों पर अंकित करने की आवश्यकता है - प्रत्येक असमानता के लिए एक अक्ष। हालाँकि, आपको बिंदुओं को सही क्रम में चिह्नित करने की आवश्यकता है: संख्या जितनी बड़ी होगी, बिंदु उतना ही दाईं ओर चला जाएगा।

और यहां एक सेटअप हमारा इंतजार कर रहा है। यदि संख्याओं के साथ सब कुछ स्पष्ट है $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (पहले के अंश में पद अंश दूसरे के अंश में पदों से कम है, इसलिए योग भी कम है), संख्याओं के साथ $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ कोई कठिनाई नहीं होगी (सकारात्मक संख्या स्पष्ट रूप से नकारात्मक से अधिक है), फिर अंतिम जोड़े के साथ सब कुछ इतना स्पष्ट नहीं है। कौन सा बड़ा है: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ या $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? संख्या रेखाओं पर बिंदुओं का स्थान और वास्तव में उत्तर इस प्रश्न के उत्तर पर निर्भर करेगा।

तो आइए तुलना करें:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

हमने मूल को अलग कर दिया, असमानता के दोनों पक्षों पर गैर-ऋणात्मक संख्याएँ प्राप्त कीं, इसलिए हमें दोनों पक्षों का वर्ग करने का अधिकार है:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

मुझे लगता है कि यह कोई दिमाग लगाने वाली बात नहीं है कि $4\sqrt(13) \gt 3$, इसलिए $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, अक्षों पर अंतिम बिंदु इस प्रकार रखे जाएंगे:

बदसूरत जड़ों का मामला

मैं आपको याद दिला दूं कि हम एक सेट को हल कर रहे हैं, इसलिए उत्तर एक संघ होगा, न कि छायांकित सेटों का प्रतिच्छेदन।

उत्तर: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारी योजना सरल और बहुत कठिन दोनों समस्याओं के लिए बढ़िया काम करती है। इस दृष्टिकोण में एकमात्र "कमजोर बिंदु" यह है कि आपको अपरिमेय संख्याओं की सही ढंग से तुलना करने की आवश्यकता है (और मेरा विश्वास करें: ये केवल जड़ें नहीं हैं)। लेकिन एक अलग (और बहुत गंभीर) पाठ तुलनात्मक मुद्दों के लिए समर्पित होगा। और हम आगे बढ़ते हैं.

3. गैर-नकारात्मक "पूंछ" के साथ असमानताएं

अब हम सबसे दिलचस्प हिस्से पर आते हैं। ये प्रपत्र की असमानताएँ हैं:

\[\बाएं| f\दाएं| \gt\बाएं| जी\दाएं|\]

सामान्यतया, अब हम जिस एल्गोरिदम के बारे में बात करेंगे वह केवल मॉड्यूल के लिए सही है। यह उन सभी असमानताओं में काम करता है जहां बाएं और दाएं तरफ गैर-नकारात्मक अभिव्यक्ति की गारंटी होती है:

इन कार्यों का क्या करें? बस याद रखना:

गैर-नकारात्मक "पूंछ" वाली असमानताओं में, दोनों पक्षों को किसी भी प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाया जा सकता है। कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं होगा.

सबसे पहले, हमें चुकता करने में रुचि होगी - यह मॉड्यूल और जड़ों को जलाता है:

\[\begin(संरेखित करें) और ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(संरेखित करें)\]

बस इसे वर्ग का मूल लेने के साथ भ्रमित न करें:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \दाएं|\ne f\]

जब कोई छात्र मॉड्यूल स्थापित करना भूल गया तो अनगिनत गलतियाँ हुईं! लेकिन यह एक पूरी तरह से अलग कहानी है (ये, जैसे कि यह थे, अतार्किक समीकरण हैं), इसलिए हम अभी इसमें नहीं जाएंगे। आइए कुछ समस्याओं को बेहतर ढंग से हल करें:

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\बाएं| x+2 \दाएं|\ge \बाएं| 1-2x \दाएं|\]

समाधान। आइए तुरंत दो बातों पर ध्यान दें:

1. यह कोई सख्त असमानता नहीं है. संख्या रेखा पर बिंदु पंचर हो जायेंगे.
2. असमानता के दोनों पक्ष स्पष्ट रूप से गैर-नकारात्मक हैं (यह मॉड्यूल की एक संपत्ति है: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$)।

इसलिए, हम मापांक से छुटकारा पाने के लिए असमानता के दोनों पक्षों का वर्ग कर सकते हैं और सामान्य अंतराल विधि का उपयोग करके समस्या को हल कर सकते हैं:

\[\begin(संरेखित) और ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(संरेखित करें)\]

अंतिम चरण में, मैंने थोड़ा धोखा दिया: मैंने मॉड्यूल की समरूपता का लाभ उठाते हुए, शब्दों के अनुक्रम को बदल दिया (वास्तव में, मैंने अभिव्यक्ति $1-2x$ को −1 से गुणा कर दिया)।

\[\begin(संरेखित करें) और ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ दाएँ)\दाएँ)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(संरेखित)\]

हम अंतराल विधि का उपयोग करके हल करते हैं। आइए असमानता से समीकरण की ओर चलें:

\[\begin(संरेखित करें) और \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(संरेखित करें)\]

हम पाए गए मूलों को संख्या रेखा पर अंकित करते हैं। एक बार फिर: सभी बिंदु छायांकित हैं क्योंकि मूल असमानता सख्त नहीं है!

मापांक चिन्ह से छुटकारा पाना

मैं आपको उन लोगों के लिए याद दिला दूं जो विशेष रूप से जिद्दी हैं: हम अंतिम असमानता से संकेत लेते हैं, जो समीकरण पर आगे बढ़ने से पहले लिखा गया था। और हम उसी असमानता में आवश्यक क्षेत्रों पर चित्रित करते हैं। हमारे मामले में यह $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$ है।

ठीक है अब सब ख़त्म हो गया। समस्या सुलझ गई है।

उत्तर: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\बाएं| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \दाएं|\]

समाधान। हम सब कुछ वैसे ही करते हैं. मैं कोई टिप्पणी नहीं करूँगा - बस क्रियाओं के क्रम को देखूँगा।

इसे चौकोर करें:

\[\begin(संरेखित करें) और ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \दाएं| \दाएं))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \दाएं))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ दाएँ))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \दाएं)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(संरेखित)\]

अंतराल विधि:

\[\begin(संरेखित करें) और \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ दायां तीर x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\राइटएरो D=16-40 \lt 0\राइटएरो \varnothing। \\\end(संरेखित करें)\]

संख्या रेखा पर केवल एक मूल होता है:

उत्तर एक संपूर्ण अंतराल है

उत्तर: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

पिछले कार्य के बारे में एक छोटा सा नोट. जैसा कि मेरे एक छात्र ने सटीक रूप से नोट किया है, इस असमानता में दोनों सबमॉड्यूलर अभिव्यक्तियाँ स्पष्ट रूप से सकारात्मक हैं, इसलिए स्वास्थ्य को नुकसान पहुंचाए बिना मापांक चिह्न को छोड़ा जा सकता है।

लेकिन यह सोच का बिल्कुल अलग स्तर और एक अलग दृष्टिकोण है - इसे सशर्त रूप से परिणामों की विधि कहा जा सकता है। इसके बारे में - एक अलग पाठ में। आइए अब आज के पाठ के अंतिम भाग पर चलते हैं और एक सार्वभौमिक एल्गोरिदम को देखते हैं जो हमेशा काम करता है। तब भी जब पिछले सभी दृष्टिकोण शक्तिहीन थे। :)

4. विकल्पों की गणना की विधि

यदि ये सभी तकनीकें मदद न करें तो क्या होगा? यदि असमानता को गैर-नकारात्मक पूंछों तक कम नहीं किया जा सकता है, यदि मॉड्यूल को अलग करना असंभव है, यदि सामान्य तौर पर दर्द, उदासी, उदासी है?

तब सभी गणित का "भारी तोपखाना" दृश्य पर आता है - क्रूर बल विधि। मापांक के साथ असमानताओं के संबंध में यह इस प्रकार दिखता है:

1. सभी सबमॉड्यूलर अभिव्यक्तियाँ लिखें और उन्हें शून्य के बराबर सेट करें;
2. परिणामी समीकरणों को हल करें और एक संख्या रेखा पर पाए गए मूलों को चिह्नित करें;
3. सीधी रेखा को कई खंडों में विभाजित किया जाएगा, जिसके भीतर प्रत्येक मॉड्यूल का एक निश्चित चिह्न होता है और इसलिए यह विशिष्ट रूप से प्रकट होता है;
4. ऐसे प्रत्येक खंड पर असमानता को हल करें (विश्वसनीयता के लिए आप चरण 2 में प्राप्त मूल-सीमाओं पर अलग से विचार कर सकते हैं)। परिणामों को संयोजित करें - यही उत्तर होगा। :)

तो कैसे? कमज़ोर? आसानी से! केवल लंबे समय के लिए. आइए व्यवहार में देखें:

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\बाएं| x+2 \दाएं| \lt \बाएं| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

समाधान। यह बकवास $\left| जैसी असमानताओं तक सीमित नहीं है f\दाएं| \lt g$, $\बाएं| f\दाएं| \gt g$ या $\left| f\दाएं| \lt \बाएं| g \right|$, इसलिए हम आगे कार्य करते हैं।

हम सबमॉड्यूलर अभिव्यक्ति लिखते हैं, उन्हें शून्य के बराबर करते हैं और जड़ें ढूंढते हैं:

\[\begin(संरेखित) और x+2=0\दायां तीर x=-2; \\ & x-1=0\दायां तीर x=1. \\\end(संरेखित करें)\]

कुल मिलाकर, हमारे पास दो जड़ें हैं जो संख्या रेखा को तीन खंडों में विभाजित करती हैं, जिसके भीतर प्रत्येक मॉड्यूल विशिष्ट रूप से प्रकट होता है:

सबमॉड्यूलर फ़ंक्शंस के शून्य द्वारा संख्या रेखा का विभाजन

आइए प्रत्येक अनुभाग को अलग से देखें।

1. मान लीजिए $x \lt -2$. तब दोनों सबमॉड्यूलर अभिव्यक्तियाँ नकारात्मक हैं, और मूल असमानता को निम्नानुसार फिर से लिखा जाएगा:

\[\begin(संरेखित) और -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(संरेखित)\]

हमें काफी सरल सीमा मिल गई है। आइए इसे प्रारंभिक धारणा के साथ प्रतिच्छेद करें कि $x \lt -2$:

\[\बाएँ\( \begin(संरेखित) और x \lt -2 \\ और x \gt 1.5 \\\end(संरेखित) \दाएँ।\दायाँ तीर x\in \varnothing \]

जाहिर है, चर $x$ एक साथ −2 से कम और 1.5 से अधिक नहीं हो सकता। इस क्षेत्र में कोई समाधान नहीं हैं.

1.1. आइए हम सीमा रेखा मामले पर अलग से विचार करें: $x=-2$। आइए बस इस संख्या को मूल असमानता में प्रतिस्थापित करें और जांचें: क्या यह सच है?

\[\begin(संरेखित करें) और ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ और 0 \lt \बाएं| -3\दाएं|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\राइटएरो \varnothing . \\\end(संरेखित करें)\]

यह स्पष्ट है कि गणनाओं की श्रृंखला हमें गलत असमानता की ओर ले गई है। इसलिए, मूल असमानता भी झूठी है, और $x=-2$ उत्तर में शामिल नहीं है।

2. मान लीजिए अब $-2 \lt x \lt 1$। बायां मॉड्यूल पहले से ही "प्लस" के साथ खुलेगा, लेकिन दायां मॉड्यूल अभी भी "माइनस" के साथ खुलेगा। हमारे पास है:

\[\begin(संरेखित) और x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(संरेखित करें)\]

फिर से हम मूल आवश्यकता के साथ प्रतिच्छेद करते हैं:

\[\बाएँ\( \begin(संरेखित) और x \lt -2.5 \\ और -2 \lt x \lt 1 \\\end(संरेखित) \दाएँ।\दायाँ तीर x\in \varnothing \]

और फिर, समाधान का सेट खाली है, क्योंकि ऐसी कोई संख्या नहीं है जो −2.5 से कम और −2 से अधिक हो।

2.1. और फिर से एक विशेष मामला: $x=1$। हम मूल असमानता में स्थानापन्न करते हैं:

\[\begin(संरेखित) और ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ और \बाएं| 3\दाएं| \lt \बाएं| 0\दाएं|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0.5\राइटएरो \varnothing। \\\end(संरेखित करें)\]

पिछले "विशेष मामले" के समान, संख्या $x=1$ स्पष्ट रूप से उत्तर में शामिल नहीं है।

3. पंक्ति का अंतिम भाग: $x \gt 1$. यहां सभी मॉड्यूल प्लस चिह्न के साथ खोले गए हैं:

\[\begin(संरेखित) और x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ और x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ और x \gt 4.5 \\ \end(संरेखित)\ ]

और फिर से हम पाए गए सेट को मूल बाधा के साथ जोड़ते हैं:

/ ]

अंत में! हमें एक अंतराल मिला है जो उत्तर होगा।

उत्तर: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

अंत में, एक टिप्पणी जो आपको वास्तविक समस्याओं को हल करते समय मूर्खतापूर्ण गलतियों से बचा सकती है:

मापांक के साथ असमानताओं के समाधान आमतौर पर संख्या रेखा पर निरंतर सेट का प्रतिनिधित्व करते हैं - अंतराल और खंड। पृथक बिंदु बहुत कम आम हैं। और इससे भी कम बार, ऐसा होता है कि समाधान की सीमा (खंड का अंत) विचाराधीन सीमा की सीमा के साथ मेल खाती है।

परिणामस्वरूप, यदि सीमाएँ (समान "विशेष मामले") उत्तर में शामिल नहीं हैं, तो इन सीमाओं के बाएँ और दाएँ क्षेत्र लगभग निश्चित रूप से उत्तर में शामिल नहीं किए जाएंगे। और इसके विपरीत: सीमा उत्तर में प्रवेश कर गई, जिसका अर्थ है कि इसके आसपास के कुछ क्षेत्र भी उत्तर होंगे।

अपने समाधानों की समीक्षा करते समय इसे ध्यान में रखें।

लेकिन आज तर्कसंगत असमानताएं हर चीज़ का समाधान नहीं कर सकतीं। अधिक सटीक रूप से, न केवल हर कोई निर्णय ले सकता है। ऐसा बहुत कम लोग कर पाते हैं.
क्लिट्स्को

यह सबक कठिन होगा. इतना कठिन कि केवल चुने हुए लोग ही अंत तक पहुंचेंगे। इसलिए, पढ़ना शुरू करने से पहले, मैं महिलाओं, बिल्लियों, गर्भवती बच्चों और... को स्क्रीन से हटाने की सलाह देता हूं।

चलो, यह वास्तव में सरल है। मान लीजिए कि आपने अंतराल विधि में महारत हासिल कर ली है (यदि आपने इसमें महारत हासिल नहीं की है, तो मैं वापस जाकर इसे पढ़ने की सलाह देता हूं) और $P\left(x \right) \gt 0$ के रूप की असमानताओं को हल करना सीख लिया है, जहां $ P\left(x \right)$ कुछ बहुपद या बहुपदों का गुणनफल है।

मेरा मानना ​​है कि इसे हल करना आपके लिए मुश्किल नहीं होगा, उदाहरण के लिए, कुछ इस तरह (वैसे, इसे वार्म-अप के रूप में आज़माएँ):

\[\begin(संरेखित करें) और \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(संरेखित)\]

आइए अब समस्या को थोड़ा जटिल करें और न केवल बहुपदों पर विचार करें, बल्कि रूप के तथाकथित तर्कसंगत भिन्नों पर भी विचार करें:

जहां $P\left(x \right)$ और $Q\left(x \right)$ फॉर्म के समान बहुपद हैं $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, या ऐसे बहुपदों का गुणनफल।

यह एक तर्कसंगत असमानता होगी. मूल बिंदु हर में चर $x$ की उपस्थिति है। उदाहरण के लिए, ये तर्कसंगत असमानताएँ हैं:

\[\begin(संरेखित करें) और \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \दाएं))\ge 0. \\ \end(संरेखित)\]

और यह कोई तर्कसंगत असमानता नहीं है, बल्कि सबसे आम असमानता है, जिसे अंतराल विधि द्वारा हल किया जा सकता है:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

आगे देखते हुए, मैं तुरंत कहूंगा: तर्कसंगत असमानताओं को हल करने के कम से कम दो तरीके हैं, लेकिन वे सभी, एक तरह से या किसी अन्य, हमें पहले से ही ज्ञात अंतराल की विधि पर आते हैं। इसलिए, इससे पहले कि हम इन तरीकों का विश्लेषण करें, आइए पुराने तथ्यों को याद रखें, अन्यथा नई सामग्री से कोई मतलब नहीं होगा।

जो आपको पहले से ही जानने की जरूरत है

कभी भी बहुत सारे महत्वपूर्ण तथ्य नहीं होते. हमें वास्तव में केवल चार की आवश्यकता है।

संक्षिप्त गुणन सूत्र

हाँ, हाँ: वे पूरे स्कूली गणित पाठ्यक्रम के दौरान हमें परेशान करते रहेंगे। और विश्वविद्यालय में भी. इनमें से बहुत सारे सूत्र हैं, लेकिन हमें केवल निम्नलिखित की आवश्यकता है:

\[\begin(संरेखित करें) और ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2)) \दाएं); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\दाएं). \\ \end(संरेखित करें)\]

अंतिम दो सूत्रों पर ध्यान दें - ये घनों का योग और अंतर हैं (और योग या अंतर का घन नहीं!)। उन्हें याद रखना आसान है यदि आप देखते हैं कि पहले ब्रैकेट में चिह्न मूल अभिव्यक्ति में चिह्न के साथ मेल खाता है, और दूसरे में यह मूल अभिव्यक्ति में चिह्न के विपरीत है।

रेखीय समीकरण

ये $ax+b=0$ के रूप के सबसे सरल समीकरण हैं, जहां $a$ और $b$ साधारण संख्याएं हैं, और $a\ne 0$। इस समीकरण को सरलता से हल किया जा सकता है:

\[\begin(संरेखित) और ax+b=0; \\&ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(संरेखित करें)\]

मुझे ध्यान दें कि हमें गुणांक $a$ से विभाजित करने का अधिकार है, क्योंकि $a\ne 0$। यह आवश्यकता काफी तार्किक है, क्योंकि $a=0$ के लिए हमें यह मिलता है:

सबसे पहले, इस समीकरण में कोई चर $x$ नहीं है। आम तौर पर कहें तो इससे हमें भ्रमित नहीं होना चाहिए (ऐसा होता है, मान लीजिए, ज्यामिति में और अक्सर), लेकिन फिर भी, यह अब एक रैखिक समीकरण नहीं है।

दूसरे, इस समीकरण का समाधान पूरी तरह से गुणांक $b$ पर निर्भर करता है। यदि $b$ भी शून्य है, तो हमारे समीकरण का रूप $0=0$ है। यह समानता सदैव सत्य है; इसका मतलब है कि $x$ कोई भी संख्या है (आमतौर पर इसे इस तरह लिखा जाता है: $x\in \mathbb(R)$)। यदि गुणांक $b$ शून्य के बराबर नहीं है, तो समानता $b=0$ कभी संतुष्ट नहीं होती है, अर्थात। कोई उत्तर नहीं हैं ($x\in \varnothing $ लिखें और पढ़ें "समाधान सेट खाली है")।

इन सभी कठिनाइयों से बचने के लिए, हम बस $a\ne 0$ मान लेते हैं, जो हमें आगे की सोच में बिल्कुल भी सीमित नहीं करता है।

द्विघातीय समीकरण

मैं आपको याद दिला दूं कि इसे ही द्विघात समीकरण कहा जाता है:

यहां बाईं ओर दूसरी डिग्री का एक बहुपद है, और फिर से $a\ne 0$ (अन्यथा, एक द्विघात समीकरण के बजाय, हमें एक रैखिक समीकरण मिलेगा)। विवेचक के माध्यम से निम्नलिखित समीकरण हल किए जाते हैं:

1. यदि $D \gt 0$, तो हमें दो अलग-अलग मूल मिलते हैं;
2. यदि $D=0$, तो मूल वही होगा, लेकिन दूसरी बहुलता का (यह किस प्रकार की बहुलता है और इसे कैसे ध्यान में रखा जाए - उस पर बाद में और अधिक)। या हम कह सकते हैं कि समीकरण के दो समान मूल हैं;
3. $D \lt 0$ के लिए कोई मूल नहीं है, और किसी भी $x$ के लिए बहुपद $a((x)^(2))+bx+c$ का चिह्न गुणांक $a के चिह्न से मेल खाता है $. वैसे, यह एक बहुत ही उपयोगी तथ्य है, जिसके बारे में किसी कारण से वे बीजगणित पाठों में बात करना भूल जाते हैं।

जड़ों की गणना स्वयं प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

इसलिए, वैसे, विवेचक पर प्रतिबंध। आख़िरकार, किसी ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल मौजूद नहीं होता है। कई विद्यार्थियों के दिमाग में जड़ों को लेकर बहुत उलझन होती है, इसलिए मैंने विशेष रूप से एक पूरा पाठ लिखा: बीजगणित में जड़ क्या है और इसकी गणना कैसे करें - मैं इसे पढ़ने की अत्यधिक अनुशंसा करता हूं। :)

तर्कसंगत भिन्नों के साथ संचालन

यदि आपने अंतराल विधि का अध्ययन किया है तो आप ऊपर लिखी गई सभी बातें पहले से ही जानते हैं। लेकिन अब हम जो विश्लेषण करेंगे उसका अतीत में कोई एनालॉग नहीं है - यह एक बिल्कुल नया तथ्य है।

परिभाषा। एक परिमेय भिन्न रूप की अभिव्यक्ति है

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

जहां $P\left(x \right)$ और $Q\left(x \right)$ बहुपद हैं।

जाहिर है, ऐसे अंश से असमानता प्राप्त करना आसान है - आपको बस दाईं ओर "इससे अधिक" या "इससे कम" चिह्न जोड़ना होगा। और थोड़ा आगे हमें पता चलेगा कि ऐसी समस्याओं को हल करना एक खुशी की बात है, सब कुछ बहुत सरल है।

समस्याएँ तब शुरू होती हैं जब एक अभिव्यक्ति में ऐसे कई भिन्न होते हैं। उन्हें एक सामान्य विभाजक तक लाना होगा - और यही वह क्षण है जब बड़ी संख्या में आक्रामक गलतियाँ की जाती हैं।

इसलिए, तर्कसंगत समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको दो कौशलों को दृढ़ता से समझने की आवश्यकता है:

1. बहुपद का गुणनखंडन $P\left(x \right)$;
2. दरअसल, भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना।

बहुपद का गुणनखंड कैसे करें? बहुत सरल। आइए हमारे पास बहुपद का रूप है

हम इसे शून्य के बराबर करते हैं। हमें $n$th डिग्री का एक समीकरण प्राप्त होता है:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

मान लीजिए कि हमने इस समीकरण को हल किया और मूल प्राप्त किए $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (चिंतित न हों: ज्यादातर मामलों में होगा) इनमें से दो से अधिक जड़ें नहीं) . इस मामले में, हमारे मूल बहुपद को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

\[\begin(संरेखित) और P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \दाएं) \end(संरेखित करें)\]

बस इतना ही! कृपया ध्यान दें: अग्रणी गुणांक $((a)_(n))$ कहीं गायब नहीं हुआ है - यह कोष्ठक के सामने एक अलग गुणक होगा, और यदि आवश्यक हो, तो इसे इनमें से किसी भी कोष्ठक में डाला जा सकता है (अभ्यास से पता चलता है) कि $((a)_ (n))\ne \pm 1$ के साथ जड़ों के बीच लगभग हमेशा भिन्न होते हैं)।

काम। अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

समाधान। सबसे पहले, आइए हरों को देखें: वे सभी रैखिक द्विपद हैं, और यहां कारक के लिए कुछ भी नहीं है। तो आइए अंशों का गुणनखंड करें:

\[\begin(संरेखित) और ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3 \दाएं)\बाएं(x-1 \दाएं); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \दाएं)\बाएं(2-5x \दाएं)। \\\end(संरेखित करें)\]

कृपया ध्यान दें: दूसरे बहुपद में, अग्रणी गुणांक "2", हमारी योजना के अनुसार, पहले ब्रैकेट के सामने दिखाई दिया, और फिर पहले ब्रैकेट में शामिल किया गया, क्योंकि अंश वहां दिखाई दिया।

तीसरे बहुपद में भी यही हुआ, केवल वहाँ पदों का क्रम भी उलटा है। हालाँकि, गुणांक "-5" को दूसरे ब्रैकेट में शामिल किया गया (याद रखें: आप कारक को एक और केवल एक ब्रैकेट में दर्ज कर सकते हैं!), जिसने हमें भिन्नात्मक जड़ों से जुड़ी असुविधा से बचाया।

जहां तक ​​पहले बहुपद का सवाल है, सब कुछ सरल है: इसकी जड़ें या तो मानक रूप से विवेचक के माध्यम से या विएटा के प्रमेय का उपयोग करके खोजी जाती हैं।

आइए मूल अभिव्यक्ति पर वापस लौटें और इसे अंशों के गुणनखंडों के साथ फिर से लिखें:

\[\begin(matrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5) \दाएं)-\बाएं(x-1 \दाएं)-\बाएं(2-5x \दाएं)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(मैट्रिक्स)\]

उत्तर: $5x+4$.

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है। 7वीं-8वीं कक्षा का थोड़ा गणित और बस इतना ही। सभी परिवर्तनों का उद्देश्य एक जटिल और डरावनी अभिव्यक्ति से कुछ सरल और आसान काम प्राप्त करना है।

हालाँकि, ऐसा हमेशा नहीं होगा। तो अब हम एक और गंभीर समस्या पर गौर करेंगे।

लेकिन पहले, आइए जानें कि दो भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में कैसे लाया जाए। एल्गोरिथ्म अत्यंत सरल है:

1. दोनों हरों का गुणनखंड करें;
2. पहले हर पर विचार करें और इसमें ऐसे कारक जोड़ें जो दूसरे हर में मौजूद हैं, लेकिन पहले में नहीं। परिणामी उत्पाद सामान्य भाजक होगा;
3. पता लगाएँ कि प्रत्येक मूल भिन्न में कौन से गुणनखंड गायब हैं ताकि हर उभयनिष्ठ के बराबर हो जाएँ।

यह एल्गोरिदम आपको बस "बहुत सारे अक्षरों" वाले टेक्स्ट जैसा लग सकता है। इसलिए, आइए एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करके हर चीज़ को देखें।

काम। अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \दाएं)\]

समाधान। ऐसी बड़े पैमाने की समस्याओं को भागों में हल करना बेहतर है। आइए लिखें कि पहले ब्रैकेट में क्या है:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

पिछली समस्या के विपरीत, यहाँ हर इतने सरल नहीं हैं। आइए उनमें से प्रत्येक को गुणनखंडित करें।

वर्ग त्रिपद $((x)^(2))+2x+4$ को गुणनखंडित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि समीकरण $((x)^(2))+2x+4=0$ का कोई मूल नहीं है (विवेचक नकारात्मक है) ). हम इसे अपरिवर्तित छोड़ देते हैं.

दूसरा हर - घन बहुपद $((x)^(3))-8$ - सावधानीपूर्वक जांच करने पर घनों का अंतर होता है और संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके इसे आसानी से विस्तारित किया जाता है:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \दाएं)\]

और कुछ भी गुणनखंडित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि पहले ब्रैकेट में एक रैखिक द्विपद है, और दूसरे में एक ऐसी संरचना है जो पहले से ही हमारे लिए परिचित है, जिसकी कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

अंततः, तीसरा हर एक रैखिक द्विपद है जिसका विस्तार नहीं किया जा सकता। इस प्रकार, हमारा समीकरण इस प्रकार बनेगा:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \दाएं))-\frac(1)(x-2)\]

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि सामान्य हर बिल्कुल $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ होगा, और इसमें सभी भिन्नों को कम करना होगा पहले अंश को $\left(x-2 \right)$ से गुणा करना आवश्यक है, और अंतिम भिन्न को - $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ से गुणा करना आवश्यक है। फिर जो कुछ बचता है वह समान देना है:

\[\begin(matrix) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ दाएं))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \दाएं))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x )^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ बाएँ(((x)^(2))+2x+4 \दाएँ)). \\ \end(मैट्रिक्स)\]

दूसरी पंक्ति पर ध्यान दें: जब हर पहले से ही सामान्य है, यानी। तीन अलग-अलग भिन्नों के बजाय, हमने एक बड़ा भिन्न लिखा; आपको तुरंत कोष्ठक से छुटकारा नहीं पाना चाहिए। एक अतिरिक्त पंक्ति लिखना और ध्यान देना बेहतर है कि, मान लीजिए, तीसरे अंश से पहले एक ऋण था - और यह कहीं भी नहीं जाएगा, लेकिन कोष्ठक के सामने अंश में "लटका" रहेगा। इससे आप कई गलतियों से बच जायेंगे.

खैर, अंतिम पंक्ति में अंश का गुणनखंड करना उपयोगी है। इसके अलावा, यह एक सटीक वर्ग है, और संक्षिप्त गुणन सूत्र फिर से हमारी सहायता के लिए आते हैं। हमारे पास है:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

अब दूसरे ब्रैकेट से बिल्कुल इसी तरह निपटते हैं। यहां मैं सिर्फ समानताओं की एक श्रृंखला लिखूंगा:

\[\begin(matrix) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(मैट्रिक्स)\]

आइए मूल समस्या पर वापस लौटें और उत्पाद को देखें:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

उत्तर: \[\frac(1)(x+2)\].

इस कार्य का अर्थ पिछले कार्य के समान है: यह दिखाने के लिए कि यदि आप समझदारी से उनके परिवर्तन को अपनाएँ तो तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को कैसे सरल बनाया जा सकता है।

और अब जब आप यह सब जान गए हैं, तो आइए आज के पाठ के मुख्य विषय पर चलते हैं - भिन्नात्मक तर्कसंगत असमानताओं को हल करना। इसके अलावा, ऐसी तैयारी के बाद आप असमानताओं को पागलों की तरह स्वयं ही तोड़ देंगे। :)

तर्कसंगत असमानताओं को हल करने का मुख्य तरीका

तर्कसंगत असमानताओं को हल करने के लिए कम से कम दो दृष्टिकोण हैं। अब हम उनमें से एक को देखेंगे - वह जो आम तौर पर स्कूली गणित पाठ्यक्रम में स्वीकार किया जाता है।

लेकिन पहले, आइए एक महत्वपूर्ण विवरण पर ध्यान दें। सभी असमानताओं को दो प्रकारों में विभाजित किया गया है:

1. सख्त: $f\left(x \right) \gt 0$ या $f\left(x \right) \lt 0$;
2. लैक्स: $f\left(x \right)\ge 0$ या $f\left(x \right)\le 0$.

दूसरे प्रकार की असमानताओं को आसानी से पहले, साथ ही समीकरण में कम किया जा सकता है:

यह छोटा सा "जोड़" $f\left(x \right)=0$ भरे हुए बिंदुओं जैसी अप्रिय चीज़ की ओर ले जाता है - हम अंतराल विधि में उनसे परिचित हो गए। अन्यथा, सख्त और गैर-सख्त असमानताओं के बीच कोई अंतर नहीं है, तो आइए सार्वभौमिक एल्गोरिदम देखें:

1. सभी गैर-शून्य तत्वों को असमानता चिह्न के एक तरफ एकत्रित करें। उदाहरण के लिए, बाईं ओर;
2. सभी भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाएँ (यदि ऐसे कई भिन्न हैं), समान भिन्न लाएँ। फिर, यदि संभव हो, तो अंश और हर का गुणनखंड करें। किसी भी तरह, हमें $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$ के रूप में एक असमानता मिलेगी, जहां "टिक" असमानता का चिह्न है .
3. हम अंश को शून्य के बराबर करते हैं: $P\left(x \right)=0$. हम इस समीकरण को हल करते हैं और मूल प्राप्त करते हैं $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... फिर हमें आवश्यकता होती है कि हर शून्य के बराबर नहीं था: $Q\left(x \right)\ne 0$. बेशक, संक्षेप में हमें समीकरण $Q\left(x \right)=0$ को हल करना होगा, और हमें मूल $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*)$ मिलते हैं , $x_(3 )^(*)$, ... (वास्तविक समस्याओं में मुश्किल से तीन से अधिक ऐसी जड़ें होंगी)।
4. हम इन सभी जड़ों को (तारांकन के साथ और बिना दोनों) एक ही संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं, और बिना तारे वाली जड़ों को चित्रित किया जाता है, और तारों वाली जड़ों को छिद्रित किया जाता है।
5. हम "प्लस" और "माइनस" चिह्न लगाते हैं, उन अंतरालों का चयन करते हैं जिनकी हमें आवश्यकता होती है। यदि असमानता का रूप $f\left(x \right) \gt 0$ है, तो उत्तर "प्लस" से चिह्नित अंतराल होगा। यदि $f\left(x \right) \lt 0$, तो हम अंतरालों को "माइनस" के साथ देखते हैं।

अभ्यास से पता चलता है कि सबसे बड़ी कठिनाइयाँ बिंदु 2 और 4 के कारण होती हैं - सक्षम परिवर्तन और आरोही क्रम में संख्याओं की सही व्यवस्था। खैर, आखिरी चरण में, बेहद सावधान रहें: हम हमेशा संकेतों को आधार पर रखते हैं समीकरणों पर आगे बढ़ने से पहले लिखी गई अंतिम असमानता. यह एक सार्वभौमिक नियम है, जो अंतराल विधि से विरासत में मिला है।

तो, एक योजना है. का अभ्यास करते हैं।

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

समाधान। हमारे पास $f\left(x \right) \lt 0$ के रूप में एक सख्त असमानता है। जाहिर है, हमारी योजना के बिंदु 1 और 2 पहले ही पूरे हो चुके हैं: असमानता के सभी तत्व बाईं ओर एकत्र किए गए हैं, किसी भी चीज़ को एक सामान्य भाजक में लाने की कोई आवश्यकता नहीं है। इसलिए, चलिए सीधे तीसरे बिंदु पर चलते हैं।

हम अंश को शून्य के बराबर करते हैं:

\[\begin(संरेखित) और x-3=0; \\ & x=3. \end(संरेखित करें)\]

और हर:

\[\begin(संरेखित करें) और x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(संरेखित करें)\]

यह वह जगह है जहां बहुत से लोग फंस जाते हैं, क्योंकि सिद्धांत रूप में आपको $x+7\ne 0$ लिखना होगा, जैसा कि ODZ द्वारा आवश्यक है (आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते, बस इतना ही)। लेकिन भविष्य में हम हर से आए बिंदुओं को छांटेंगे, इसलिए आपकी गणनाओं को फिर से जटिल बनाने की कोई आवश्यकता नहीं है - हर जगह एक समान चिह्न लिखें और चिंता न करें। इसके लिए कोई भी अंक नहीं काटेगा। :)

चौथा बिंदु. हम परिणामी जड़ों को संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं:

चूँकि असमानता सख्त है, इसलिए सभी बिंदुओं को स्पष्ट कर दिया गया है

टिप्पणी: सभी बिंदुओं को स्पष्ट कर दिया गया है, क्योंकि मूल असमानता सख्त है. और यहां इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि ये बिंदु अंश से आए हैं या हर से।

खैर, आइए संकेतों पर नजर डालें। आइए कोई भी संख्या $((x)_(0)) \gt 3$ लें। उदाहरण के लिए, $((x)_(0))=100$ (लेकिन उसी सफलता के साथ कोई $((x)_(0))=3.1$ या $((x)_(0)) = ले सकता है 1\ 000\ 000$). हम पाते हैं:

तो, सभी जड़ों के दाईं ओर हमारे पास एक सकारात्मक क्षेत्र है। और प्रत्येक रूट से गुजरने पर, संकेत बदल जाता है (यह हमेशा मामला नहीं होगा, लेकिन बाद में उस पर अधिक जानकारी होगी)। इसलिए, आइए पांचवें बिंदु पर आगे बढ़ें: संकेतों को व्यवस्थित करें और जो आपको चाहिए उसे चुनें:

आइए अंतिम असमानता पर लौटते हैं जो समीकरणों को हल करने से पहले थी। दरअसल, यह मूल से मेल खाता है, क्योंकि हमने इस कार्य में कोई परिवर्तन नहीं किया है।

चूँकि हमें $f\left(x \right) \lt 0$ के रूप की असमानता को हल करने की आवश्यकता है, मैंने अंतराल $x\in \left(-7;3 \right)$ को छायांकित किया - यह एकमात्र चिह्नित है ऋण चिह्न के साथ. यह उत्तर है.

उत्तर: $x\in \left(-7;3 \right)$

बस इतना ही! क्या यह मुश्किल है? नहीं, यह मुश्किल नहीं है. सच है, काम आसान था. आइए अब मिशन को थोड़ा जटिल करें और अधिक "परिष्कृत" असमानता पर विचार करें। इसे हल करते समय, मैं अब इतनी विस्तृत गणना नहीं दूंगा - मैं केवल मुख्य बिंदुओं की रूपरेखा तैयार करूंगा। सामान्य तौर पर, हम इसे उसी तरह प्रारूपित करेंगे जैसे हम इसे स्वतंत्र कार्य या परीक्षा के दौरान प्रारूपित करेंगे। :)

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

समाधान। यह $f\left(x \right)\ge 0$ के रूप की एक गैर-सख्त असमानता है। सभी गैर-शून्य तत्व बाईं ओर एकत्र किए गए हैं, कोई अलग-अलग हर नहीं हैं। आइए समीकरणों पर चलते हैं।

अंश:

\[\begin(संरेखित) और \बाएं(7x+1 \दाएं)\बाएं(11x+2 \दाएं)=0 \\ और 7x+1=0\दायां तीर ((x)_(1))=-\ फ़्रेक(1)(7); \\ & 11x+2=0\दायां तीर ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(संरेखित करें)\]

भाजक:

\[\begin(संरेखित) और 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(संरेखित करें)\]

मुझे नहीं पता कि किस प्रकार के विकृत व्यक्ति ने यह समस्या पैदा की, लेकिन जड़ें बहुत अच्छी नहीं निकलीं: उन्हें संख्या रेखा पर रखना मुश्किल होगा। और यदि मूल $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ के साथ सब कुछ कमोबेश स्पष्ट है (यह एकमात्र सकारात्मक संख्या है - यह दाईं ओर होगी), तो $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ और $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ को अतिरिक्त शोध की आवश्यकता है: कौन सा बड़ा है?

उदाहरण के लिए, आप इसका पता इस प्रकार लगा सकते हैं:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) ))\]

मुझे आशा है कि यह समझाने की कोई आवश्यकता नहीं है कि संख्यात्मक भिन्न $-(2)/(14)\ क्यों है? \gt -(2)/(11)\;$? यदि आवश्यक हो, तो मैं यह याद रखने की सलाह देता हूं कि भिन्नों के साथ संचालन कैसे किया जाए।

और हम तीनों मूलों को संख्या रेखा पर अंकित करते हैं:

अंश से बिंदु भर दिए जाते हैं, हर से बिंदु छिद्रित हो जाते हैं

हम संकेत लगा रहे हैं. उदाहरण के लिए, आप $((x)_(0))=1$ ले सकते हैं और इस बिंदु पर संकेत ढूंढ सकते हैं:

\[\begin(संरेखित) और f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(संरेखित)\]

समीकरणों से पहले अंतिम असमानता $f\left(x \right)\ge 0$ थी, इसलिए हम धन चिह्न में रुचि रखते हैं।

हमें दो सेट मिले: एक सामान्य खंड है, और दूसरा संख्या रेखा पर एक खुली किरण है।

उत्तर: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

उन संख्याओं के बारे में एक महत्वपूर्ण टिप्पणी जिन्हें हम सबसे दाएँ अंतराल पर चिह्न ज्ञात करने के लिए प्रतिस्थापित करते हैं। सबसे दाहिनी जड़ के निकटतम संख्या को प्रतिस्थापित करना बिल्कुल आवश्यक नहीं है। आप अरबों या "प्लस-इन्फ़िनिटी" भी ले सकते हैं - इस मामले में, कोष्ठक, अंश या हर में बहुपद का चिह्न, केवल अग्रणी गुणांक के चिह्न द्वारा निर्धारित किया जाता है।

आइए अंतिम असमानता से फ़ंक्शन $f\left(x \right)$ को फिर से देखें:

इसके अंकन में तीन बहुपद शामिल हैं:

\[\begin(संरेखित करें) और ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\left(x \right)=13x-4. \end(संरेखित करें)\]

वे सभी रैखिक द्विपद हैं, और उनके सभी प्रमुख गुणांक (संख्या 7, 11 और 13) धनात्मक हैं। इसलिए, बहुत बड़ी संख्याओं को प्रतिस्थापित करते समय, बहुपद स्वयं भी सकारात्मक होंगे। :)

यह नियम अत्यधिक जटिल लग सकता है, लेकिन केवल शुरुआत में, जब हम बहुत आसान समस्याओं का विश्लेषण करते हैं। गंभीर असमानताओं में, "प्लस-इनफिनिटी" को प्रतिस्थापित करने से हमें मानक $((x)_(0))=100$ की तुलना में बहुत तेजी से संकेतों का पता लगाने की अनुमति मिलेगी।

हमें जल्द ही ऐसी चुनौतियों का सामना करना पड़ेगा।' लेकिन पहले, आइए आंशिक तर्कसंगत असमानताओं को हल करने का एक वैकल्पिक तरीका देखें।

वैकल्पिक तरीका

यह तकनीक मुझे मेरे एक छात्र ने सुझाई थी। मैंने स्वयं कभी इसका उपयोग नहीं किया है, लेकिन अभ्यास से पता चला है कि कई छात्रों को इस तरह से असमानताओं को हल करना वास्तव में अधिक सुविधाजनक लगता है।

तो, प्रारंभिक डेटा वही है। हमें भिन्नात्मक तर्कसंगत असमानता को हल करने की आवश्यकता है:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

आइए सोचें: बहुपद $Q\left(x \right)$ बहुपद $P\left(x \right)$ से "बदतर" क्यों है? हमें जड़ों के अलग-अलग समूहों (तारांकन के साथ और बिना) पर विचार क्यों करना पड़ता है, छिद्रित बिंदुओं आदि के बारे में क्यों सोचना पड़ता है? यह सरल है: एक भिन्न की परिभाषा का एक क्षेत्र होता है, जिसके अनुसार भिन्न का अर्थ तभी होता है जब उसका हर शून्य से भिन्न हो।

अन्यथा, अंश और हर के बीच कोई अंतर नहीं है: हम इसे शून्य के बराबर भी करते हैं, जड़ों की तलाश करते हैं, फिर उन्हें संख्या रेखा पर चिह्नित करते हैं। तो क्यों न भिन्नात्मक रेखा (वास्तव में, विभाजन चिह्न) को साधारण गुणन से बदल दिया जाए, और ODZ की सभी आवश्यकताओं को एक अलग असमानता के रूप में लिख दिया जाए? उदाहरण के लिए, इस तरह:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\राइटएरो \left\( \begin(संरेखित) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(संरेखित) \right.\]

कृपया ध्यान दें: यह दृष्टिकोण समस्या को अंतराल विधि तक कम कर देगा, लेकिन समाधान को बिल्कुल भी जटिल नहीं करेगा। आख़िरकार, हम अभी भी बहुपद $Q\left(x \right)$ को शून्य के बराबर करेंगे।

आइए देखें कि यह वास्तविक समस्याओं पर कैसे काम करता है।

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

समाधान। तो, चलिए अंतराल विधि पर चलते हैं:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\दायां तीर \left\( \begin(संरेखित) और \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(संरेखित) \दाएं।\]

पहली असमानता को प्राथमिक तरीके से हल किया जा सकता है। हम बस प्रत्येक कोष्ठक को शून्य के बराबर करते हैं:

\[\begin(संरेखित करें) और x+8=0\दायां तीर ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\दायां तीर ((x)_(2))=11. \\ \end(संरेखित करें)\]

दूसरी असमानता भी सरल है:

संख्या रेखा पर बिंदु $((x)_(1))$ और $((x)_(2))$ अंकित करें। चूंकि असमानता सख्त है, इसलिए उन सभी को बाहर कर दिया गया है:

सही बिंदु को दो बार बाहर निकाला गया। यह ठीक है।

बिंदु $x=11$ पर ध्यान दें। यह पता चला है कि यह "डबल-पंचर" है: एक तरफ, हम इसे असमानता की गंभीरता के कारण चुभते हैं, दूसरी तरफ, डीएल की अतिरिक्त आवश्यकता के कारण।

किसी भी स्थिति में, यह केवल एक छिद्रित बिंदु होगा। इसलिए, हम असमानता के लिए चिह्नों को व्यवस्थित करते हैं $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - आखिरी चिह्न जो हमने समीकरणों को हल करना शुरू करने से पहले देखा था:

हम सकारात्मक क्षेत्रों में रुचि रखते हैं, क्योंकि हम $f\left(x \right) \gt 0$ के रूप की असमानता को हल कर रहे हैं - हम उन्हें छायांकित करेंगे। जो कुछ बचा है वह उत्तर लिखना है।

उत्तर। $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

इस समाधान को एक उदाहरण के रूप में उपयोग करते हुए, मैं आपको शुरुआती छात्रों के बीच होने वाली एक सामान्य गलती के प्रति आगाह करना चाहूंगा। अर्थात्: असमानताओं में कोष्ठक कभी न खोलें! इसके विपरीत, हर चीज़ को ध्यान में रखने की कोशिश करें - इससे समाधान सरल हो जाएगा और आप कई समस्याओं से बच जाएंगे।

आइए अब कुछ अधिक जटिल प्रयास करें।

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

समाधान। यह $f\left(x \right)\le 0$ के रूप की एक गैर-सख्त असमानता है, इसलिए यहां आपको छायांकित बिंदुओं पर पूरा ध्यान देने की आवश्यकता है।

आइए अंतराल विधि पर आगे बढ़ें:

\[\left\( \begin(संरेखित) और \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(संरेखित करें) \right.\]

आइए समीकरण पर चलते हैं:

\[\begin(संरेखित) और \बाएं(2x-13 \दाएं)\बाएं(12x-9 \दाएं)\बाएं(15x+33 \दाएं)=0 \\ और 2x-13=0\दायां तीर ((x) )_(1))=6.5; \\ & 12x-9=0\दायां तीर ((x)_(2))=0.75; \\ & 15x+33=0\दायां तीर ((x)_(3))=-2.2. \\ \end(संरेखित करें)\]

हम अतिरिक्त आवश्यकता को ध्यान में रखते हैं:

हम सभी परिणामी मूलों को संख्या रेखा पर अंकित करते हैं:

यदि किसी बिंदु को छेदा और भरा गया है, तो इसे छेदा हुआ माना जाता है

फिर से, दो बिंदु एक दूसरे को "ओवरलैप" करते हैं - यह सामान्य है, यह हमेशा ऐसे ही रहेगा। केवल यह समझना महत्वपूर्ण है कि जिस बिंदु को छिद्रित और चित्रित दोनों के रूप में चिह्नित किया गया है वह वास्तव में एक छिद्रित बिंदु है। वे। "चुभन" "पेंटिंग" से अधिक सशक्त क्रिया है।

यह बिल्कुल तार्किक है, क्योंकि चुटकी बजाते हुए हम उन बिंदुओं को चिह्नित करते हैं जो फ़ंक्शन के संकेत को प्रभावित करते हैं, लेकिन स्वयं उत्तर में भाग नहीं लेते हैं। और अगर किसी बिंदु पर संख्या अब हमारे लिए उपयुक्त नहीं है (उदाहरण के लिए, यह ओडीजेड में नहीं आती है), तो हम इसे कार्य के अंत तक विचार से हटा देते हैं।

सामान्य तौर पर, दार्शनिकता बंद करो। हम उन अंतरालों पर संकेत लगाते हैं और पेंट करते हैं जो ऋण चिह्न से चिह्नित होते हैं:

उत्तर। $x\in \left(-\infty ;-2.2 \right)\bigcup \left[ 0.75;6.5 \right]$.

और फिर से मैं आपका ध्यान इस समीकरण की ओर आकर्षित करना चाहता हूं:

\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

एक बार फिर: ऐसे समीकरणों में कोष्ठक कभी न खोलें! आप केवल अपने लिए चीज़ों को और अधिक कठिन बना लेंगे। याद रखें: उत्पाद शून्य के बराबर होता है जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर होता है। नतीजतन, यह समीकरण बस कई छोटे समीकरणों में "टूट जाता है", जिसे हमने पिछली समस्या में हल किया था।

जड़ों की बहुलता को ध्यान में रखते हुए

पिछली समस्याओं से यह देखना आसान है कि गैर-सख्त असमानताएँ ही सबसे कठिन हैं, क्योंकि उनमें आपको छायांकित बिंदुओं पर नज़र रखनी होती है।

लेकिन दुनिया में इससे भी बड़ी बुराई है - असमानताओं की जड़ें। यहां अब आपको कुछ छायांकित बिंदुओं पर नज़र रखने की ज़रूरत नहीं है - यहां इन समान बिंदुओं से गुज़रने पर असमानता का संकेत अचानक नहीं बदल सकता है।

हमने अभी तक इस पाठ में ऐसा कुछ भी नहीं माना है (हालाँकि अंतराल विधि में अक्सर इसी तरह की समस्या का सामना करना पड़ता था)। इसलिए, हम एक नई परिभाषा प्रस्तुत करते हैं:

परिभाषा। समीकरण का मूल $((\left(x-a \right))^(n))=0$ $x=a$ के बराबर है और इसे $n$वें गुणन का मूल कहा जाता है।

दरअसल, हमें बहुलता के सटीक मूल्य में विशेष रुचि नहीं है। एकमात्र बात जो मायने रखती है वह यह है कि क्या यही संख्या $n$ सम है या विषम। क्योंकि:

1. यदि $x=a$ सम बहुलता का मूल है, तो इससे गुजरने पर फ़ंक्शन का चिह्न नहीं बदलता है;
2. और इसके विपरीत, यदि $x=a$ विषम बहुलता का मूल है, तो फ़ंक्शन का चिह्न बदल जाएगा।

इस पाठ में चर्चा की गई पिछली सभी समस्याएं विषम बहुलता की जड़ का एक विशेष मामला है: हर जगह बहुलता एक के बराबर है।

और आगे। इससे पहले कि हम समस्याओं को हल करना शुरू करें, मैं आपका ध्यान एक सूक्ष्मता की ओर आकर्षित करना चाहूंगा जो एक अनुभवी छात्र के लिए स्पष्ट लगती है, लेकिन कई शुरुआती लोगों को स्तब्ध कर देती है। अर्थात्:

बहुलता का मूल $n$ केवल उस स्थिति में उत्पन्न होता है जब संपूर्ण अभिव्यक्ति को इस शक्ति तक बढ़ाया जाता है: $((\left(x-a \right))^(n))$, न कि $\left(((x) ^( n))-ए \दाएं)$।

एक बार फिर: ब्रैकेट $((\left(x-a \right))^(n))$ हमें गुणन $n$ का मूल $x=a$ देता है, लेकिन ब्रैकेट $\left(((x)^( n)) -a \right)$ या, जैसा कि अक्सर होता है, $(a-((x)^(n)))$ हमें पहली बहुलता का एक मूल (या दो मूल, यदि $n$ सम है) देता है , भले ही $n$ के बराबर क्या हो।

तुलना करना:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\राइटएरो x=3\left(5k \right)\]

यहां सब कुछ स्पष्ट है: पूरे ब्रैकेट को पांचवीं शक्ति तक बढ़ा दिया गया था, इसलिए हमें जो आउटपुट मिला वह पांचवीं शक्ति का मूल था। और अब:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\राइटएरो ((x)^(2))=4\राइटएरो x=\pm 2\]

हमें दो जड़ें मिलीं, लेकिन दोनों में पहली बहुलता है। या यहाँ एक और है:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\राइटएरो ((x)^(10))=1024\राइटएरो x=\pm 2\]

और दसवीं डिग्री को परेशान न होने दें। मुख्य बात यह है कि 10 एक सम संख्या है, इसलिए आउटपुट पर हमारे पास दो जड़ें हैं, और उन दोनों में फिर से पहला गुणक है।

सामान्य तौर पर, सावधान रहें: बहुलता तभी होती है जब डिग्री संपूर्ण कोष्ठक को संदर्भित करती है, न कि केवल चर को.

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7) \दाएँ))^(5)))\ge 0\]

समाधान। आइए इसे वैकल्पिक तरीके से हल करने का प्रयास करें - भागफल से उत्पाद में संक्रमण के माध्यम से:

\[\left\( \begin(ign) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(संरेखित करें )\सही।\]

आइए अंतराल विधि का उपयोग करके पहली असमानता से निपटें:

\[\begin(संरेखित करें) और ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \दाएं))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\दायां तीर x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\राइटएरो x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\दायां तीर x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\राइटएरो x=-7\left(5k \right). \\ \end(संरेखित करें)\]

इसके अतिरिक्त, हम दूसरी असमानता का समाधान करते हैं। वास्तव में, हम इसे पहले ही हल कर चुके हैं, लेकिन समीक्षकों को समाधान में गलती न मिले, इसके लिए इसे फिर से हल करना बेहतर है:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\राइटएरो x\ne -7\]

कृपया ध्यान दें: अंतिम असमानता में कोई बहुलता नहीं है। वास्तव में: इससे क्या फर्क पड़ता है कि आप संख्या रेखा पर बिंदु $x=-7$ को कितनी बार काटते हैं? कम से कम एक बार, कम से कम पाँच बार, परिणाम एक ही होगा: एक छिद्रित बिंदु।

आइए हम जो कुछ भी प्राप्त करते हैं उसे संख्या रेखा पर अंकित करें:

जैसा कि मैंने कहा, बिंदु $x=-7$ अंततः छिद्रित हो जाएगा। अंतराल विधि का उपयोग करके असमानता को हल करने के आधार पर बहुलताओं को व्यवस्थित किया जाता है।

जो कुछ बचा है वह संकेत लगाना है:

चूँकि बिंदु $x=0$ सम बहुलता का मूल है, इससे गुजरने पर चिह्न नहीं बदलता है। शेष बिंदुओं में विषम बहुलता है, और उनके साथ सब कुछ सरल है।

उत्तर। $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

एक बार फिर, $x=0$ पर ध्यान दें। समान बहुलता के कारण, एक दिलचस्प प्रभाव उत्पन्न होता है: इसके बाईं ओर की हर चीज़ को चित्रित किया गया है, दाईं ओर की सभी चीज़ों को भी चित्रित किया गया है, और बिंदु स्वयं पूरी तरह से चित्रित किया गया है।

परिणामस्वरूप, उत्तर रिकॉर्ड करते समय इसे अलग करने की आवश्यकता नहीं होती है। वे। $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ जैसा कुछ लिखने की आवश्यकता नहीं है (हालाँकि औपचारिक रूप से ऐसा उत्तर भी सही होगा)। इसके बजाय, हम तुरंत $x\in \left[ -4;6 \right]$ लिखते हैं।

ऐसे प्रभाव केवल सम बहुलता की जड़ों के साथ ही संभव हैं। और अगली समस्या में हम इस प्रभाव की विपरीत "अभिव्यक्ति" का सामना करेंगे। तैयार?

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

समाधान। इस बार हम मानक योजना का पालन करेंगे। हम अंश को शून्य के बराबर करते हैं:

\[\begin(संरेखित) और ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\राइटएरो ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\दायां तीर ((x)_(2))=4. \\ \end(संरेखित करें)\]

और हर:

\[\begin(संरेखित) और ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\राइटएरो x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\राइटएरो x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(संरेखित करें)\]

चूँकि हम $f\left(x \right)\ge 0$ के रूप की एक गैर-सख्त असमानता को हल कर रहे हैं, इसलिए हर (जिसमें तारांकन चिह्न हैं) से मूल हटा दिए जाएंगे, और अंश से मूल को छायांकित कर दिया जाएगा।

हम चिन्ह लगाते हैं और "प्लस" से चिह्नित क्षेत्रों को छायांकित करते हैं:

बिंदु $x=3$ पृथक है। यह उत्तर का हिस्सा है

अंतिम उत्तर लिखने से पहले, आइए चित्र को ध्यान से देखें:

1. बिंदु $x=1$ में सम बहुलता है, लेकिन वह स्वयं छिद्रित है। नतीजतन, इसे उत्तर में अलग करना होगा: आपको $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ लिखना होगा, न कि $x\in \left(-\ infty ;2 \right)$.
2. बिंदु $x=3$ में भी सम बहुलता है और यह छायांकित है। संकेतों की व्यवस्था इंगित करती है कि बिंदु स्वयं हमारे लिए उपयुक्त है, लेकिन एक कदम बाएं या दाएं - और हम खुद को ऐसे क्षेत्र में पाते हैं जो निश्चित रूप से हमारे लिए उपयुक्त नहीं है। ऐसे बिंदुओं को पृथक कहा जाता है और इन्हें $x\in \left\( 3 \right\)$ के रूप में लिखा जाता है।

हम सभी प्राप्त टुकड़ों को एक सामान्य सेट में जोड़ते हैं और उत्तर लिखते हैं।

उत्तर: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

परिभाषा। असमानता को दूर करने का मतलब है इसके सभी समाधानों का समुच्चय ज्ञात कीजिए, या साबित करें कि यह सेट खाली है।

ऐसा प्रतीत होता है: यहाँ क्या समझ से बाहर हो सकता है? हाँ, सच तो यह है कि समुच्चयों को अलग-अलग तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है। आइए आखिरी समस्या का उत्तर फिर से लिखें:

हम वस्तुतः वही पढ़ते हैं जो लिखा गया है। चर "x" एक निश्चित सेट से संबंधित है, जिसे चार अलग-अलग सेटों ("U" चिह्न) के संयोजन से प्राप्त किया जाता है:

• अंतराल $\left(-\infty ;1 \right)$, जिसका शाब्दिक अर्थ है "एक से छोटी सभी संख्याएँ, लेकिन इकाई नहीं";
• अंतराल $\left(1;2 \right)$, अर्थात "1 से 2 तक की सीमा में सभी संख्याएँ, लेकिन संख्या 1 और 2 स्वयं नहीं";
• सेट $\left\( 3 \right\)$, जिसमें एक एकल संख्या शामिल है - तीन;
• अंतराल $\left[ 4;5 \right)$ जिसमें 4 से 5 तक की सीमा में सभी संख्याएं शामिल हैं, साथ ही चार भी, लेकिन पांच नहीं।

यहां तीसरा बिंदु दिलचस्प है। अंतरालों के विपरीत, जो संख्याओं के अनंत सेटों को परिभाषित करते हैं और केवल इन सेटों की सीमाओं को इंगित करते हैं, सेट $\left\( 3 \right\)$ गणना द्वारा सख्ती से एक संख्या निर्दिष्ट करता है।

यह समझने के लिए कि हम सेट में शामिल विशिष्ट संख्याओं को सूचीबद्ध कर रहे हैं (और सीमाएं या कुछ और निर्धारित नहीं कर रहे हैं), घुंघराले ब्रेसिज़ का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, अंकन $\left\( 1;2 \right\)$ का मतलब बिल्कुल "एक सेट है जिसमें दो संख्याएँ शामिल हैं: 1 और 2", लेकिन 1 से 2 तक का खंड नहीं। किसी भी परिस्थिति में इन अवधारणाओं को भ्रमित न करें .

गुणज जोड़ने का नियम

खैर, आज के पाठ के अंत में, पावेल बर्डोव का एक छोटा सा टिन। :)

चौकस छात्रों ने शायद पहले ही सोचा होगा: यदि अंश और हर की जड़ें समान हों तो क्या होगा? तो, निम्नलिखित नियम काम करता है:

समान जड़ों की बहुलताएँ जोड़ी जाती हैं। हमेशा। भले ही यह मूल अंश और हर दोनों में आता हो।

कभी-कभी बात करने की अपेक्षा निर्णय लेना बेहतर होता है। इसलिए, हम निम्नलिखित समस्या का समाधान करते हैं:

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \दाएं))\ge 0\]

\[\begin(संरेखित) और ((x)^(2))+6x+8=0 \\ और ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(संरेखित करें)\]

अभी कुछ खास नहीं. हम हर को शून्य के बराबर करते हैं:

\[\begin(संरेखित) और \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\दायां तीर x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\राइटएरो x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(संरेखित करें)\]

दो समान जड़ें खोजी गईं: $((x)_(1))=-2$ और $x_(4)^(*)=-2$। दोनों में प्रथम बहुलता है। इसलिए, हम उन्हें एक मूल $x_(4)^(*)=-2$ से प्रतिस्थापित करते हैं, लेकिन 1+1=2 की बहुलता के साथ।

इसके अलावा, समान जड़ें भी हैं: $((x)_(2))=-4$ और $x_(2)^(*)=-4$। वे भी पहली बहुलता के हैं, इसलिए केवल $x_(2)^(*)=-4$ गुणनफल 1+1=2 ही रहेगा।

कृपया ध्यान दें: दोनों मामलों में, हमने बिल्कुल "छिद्रित" जड़ को छोड़ दिया, और "चित्रित" को विचार से बाहर कर दिया। क्योंकि पाठ की शुरुआत में हम सहमत थे: यदि किसी बिंदु को छेद दिया गया है और उस पर रंग डाला गया है, तो हम अभी भी इसे छेदा हुआ मानते हैं।

परिणामस्वरूप, हमारे पास चार जड़ें हैं, और उन सभी को काट दिया गया:

\[\begin(संरेखित) और x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \right). \\ \end(संरेखित करें)\]

बहुलता को ध्यान में रखते हुए हम उन्हें संख्या रेखा पर अंकित करते हैं:

हम अपनी रुचि के क्षेत्रों पर संकेत लगाते हैं और पेंटिंग करते हैं:

सभी। कोई पृथक बिंदु या अन्य विकृतियाँ नहीं। आप उत्तर लिख सकते हैं.

उत्तर। $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

गुणजों को गुणा करने का नियम

कभी-कभी इससे भी अधिक अप्रिय स्थिति उत्पन्न होती है: एक समीकरण जिसमें कई जड़ें होती हैं वह स्वयं कुछ घात तक बढ़ जाता है। इस स्थिति में, सभी मूल जड़ों की बहुलता बदल जाती है।

यह दुर्लभ है, इसलिए अधिकांश छात्रों को ऐसी समस्याओं को हल करने का कोई अनुभव नहीं है। और यहाँ नियम है:

जब किसी समीकरण को $n$ घात तक बढ़ाया जाता है, तो उसके सभी मूलों की बहुलता भी $n$ गुना बढ़ जाती है।

दूसरे शब्दों में, एक घात तक बढ़ाने से गुणजों को उसी घात से गुणा किया जाता है। आइए एक उदाहरण का उपयोग करके इस नियम को देखें:

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

समाधान। हम अंश को शून्य के बराबर करते हैं:

जब कम से कम एक कारक शून्य हो तो उत्पाद शून्य होता है। पहले कारक से सब कुछ स्पष्ट है: $x=0$। लेकिन फिर समस्याएँ शुरू होती हैं:

\[\begin(संरेखित करें) और ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \& ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(संरेखित)\]

जैसा कि हम देखते हैं, समीकरण $((x)^(2))-6x+9=0$ में दूसरी बहुलता का एक ही मूल है: $x=3$। फिर यह पूरा समीकरण चुकता हो जाता है। इसलिए, मूल की बहुलता $2\cdot 2=4$ होगी, जिसे हमने अंततः लिखा है।

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\राइटएरो x=4\left(5k \right)\]

हर के साथ भी कोई समस्या नहीं है:

\[\begin(संरेखित) और ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\राइटएरो x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\राइटएरो x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \end(संरेखित करें)\]

कुल मिलाकर, हमें पाँच बिंदु मिले: दो छिद्रित और तीन चित्रित। अंश और हर में कोई संपाती मूल नहीं हैं, इसलिए हम उन्हें बस संख्या रेखा पर अंकित करते हैं:

हम अनेकताओं को ध्यान में रखते हुए संकेतों को व्यवस्थित करते हैं और उन अंतरालों पर चित्र बनाते हैं जिनमें हमारी रुचि होती है:

फिर से एक पृथक बिंदु और एक छिद्रित

सम बहुलता की जड़ों के कारण, हमें फिर से कुछ "गैर-मानक" तत्व मिले। यह $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ है, न कि $x\in \left[ 0;2 \right)$, और एक पृथक बिंदु भी $ x\in \left\( 3 \right\)$.

उत्तर। $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ इतना जटिल नहीं है। मुख्य बात है सावधानी। इस पाठ का अंतिम भाग परिवर्तनों के लिए समर्पित है - वही परिवर्तन जिनके बारे में हमने शुरुआत में चर्चा की थी।

पूर्व-रूपांतरण

इस खंड में हम जिन असमानताओं की जाँच करेंगे उन्हें जटिल नहीं कहा जा सकता। हालाँकि, पिछले कार्यों के विपरीत, यहां आपको परिमेय भिन्नों के सिद्धांत - गुणनखंडन और एक सामान्य हर में कमी के कौशल को लागू करना होगा।

हमने आज के पाठ की शुरुआत में ही इस मुद्दे पर विस्तार से चर्चा की। यदि आप निश्चित नहीं हैं कि आप समझ रहे हैं कि मैं किस बारे में बात कर रहा हूं, तो मैं दृढ़तापूर्वक अनुशंसा करता हूं कि वापस जाएं और इसे दोहराएं। क्योंकि यदि आप भिन्नों को परिवर्तित करने में "फ्लोट" करते हैं तो असमानताओं को हल करने के तरीकों को रटने का कोई मतलब नहीं है।

वैसे होमवर्क में भी इसी तरह के कई काम होंगे. इन्हें एक अलग उपधारा में रखा गया है. और वहां आपको बहुत ही गैर-तुच्छ उदाहरण मिलेंगे। लेकिन यह होमवर्क में होगा, और अब आइए ऐसी कुछ असमानताओं पर नजर डालें।

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

समाधान। सब कुछ बाईं ओर ले जाएँ:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

हम एक सामान्य हर को घटाते हैं, कोष्ठक खोलते हैं, और अंश में समान पद लाते हैं:

\[\begin(संरेखित करें) और \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ दाएं))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \ले 0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(संरेखित)\]

अब हमारे सामने एक शास्त्रीय भिन्नात्मक-तर्कसंगत असमानता है, जिसका समाधान अब कठिन नहीं है। मैं इसे एक वैकल्पिक विधि का उपयोग करके हल करने का प्रस्ताव करता हूं - अंतराल की विधि के माध्यम से:

\[\begin(संरेखित करें) और \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(संरेखित करें)\]

हर से आने वाली बाधा को न भूलें:

हम संख्या रेखा पर सभी संख्याओं और प्रतिबंधों को चिह्नित करते हैं:

सभी जड़ों में प्रथम बहुलता होती है। कोई बात नहीं। हम बस संकेत लगाते हैं और उन क्षेत्रों पर पेंट करते हैं जिनकी हमें आवश्यकता होती है:

यह सब है। आप उत्तर लिख सकते हैं.

उत्तर। $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

निःसंदेह, यह एक बहुत ही सरल उदाहरण था। तो अब आइए समस्या को अधिक गंभीरता से देखें। और वैसे, इस कार्य का स्तर 8वीं कक्षा में इस विषय पर स्वतंत्र और परीक्षण कार्य के साथ काफी सुसंगत है।

काम। असमानता का समाधान करें:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

समाधान। सब कुछ बाईं ओर ले जाएँ:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

दोनों भिन्नों को एक सामान्य हर में लाने से पहले, आइए इन हरों का गुणनखंड करें। यदि वही कोष्ठक बाहर आ जाएँ तो क्या होगा? पहले हर के साथ यह आसान है:

\[((x)^(2))+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]

दूसरा थोड़ा अधिक कठिन है. जिस कोष्ठक में भिन्न दिखाई देती है, उसमें बेझिझक एक अचर गुणनखंड जोड़ें। याद रखें: मूल बहुपद में पूर्णांक गुणांक थे, इसलिए इस बात की अच्छी संभावना है कि गुणनखंड में पूर्णांक गुणांक होंगे (वास्तव में, यह हमेशा होगा, जब तक कि विवेचक अपरिमेय न हो)।

\[\begin(संरेखित) और 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\बाएं(x-1 \दाएं)\बाएं(3x-2 \दाएं) \end(संरेखित)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक सामान्य ब्रैकेट है: $\left(x-1 \right)$. हम असमानता पर लौटते हैं और दोनों भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं:

\[\begin(संरेखित) और \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ बाएँ(3x-2 \दाएँ))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(संरेखित करें)\]

हम हर को शून्य के बराबर करते हैं:

\[\begin(संरेखित करें) और \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( संरेखित करें)\]

कोई गुणज या संपाती मूल नहीं. हम पंक्ति पर चार संख्याएँ अंकित करते हैं:

हम संकेत लगा रहे हैं:

हम उत्तर लिखते हैं.

उत्तर: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5.5;+\infty \right) $.

सभी! इस तरह, मैंने इस पंक्ति को पढ़ा। :)

असमानताओं को रैखिक कहा जाता हैजिसके बाएँ और दाएँ पक्ष अज्ञात मात्रा के संबंध में रैखिक फलन हैं। इनमें शामिल हैं, उदाहरण के लिए, असमानताएँ:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- एक्स< x + 5 .

1) सख्त असमानताएँ: कुल्हाड़ी +बी>0या कुल्हाड़ी+बी<0

2) गैर-सख्त असमानताएँ: कुल्हाड़ी +बी≤0या कुल्हाड़ी+बी≫ 0

आइए इस कार्य का विश्लेषण करें. समांतर चतुर्भुज की एक भुजा 7 सेमी है। दूसरी भुजा की लंबाई कितनी होनी चाहिए ताकि समांतर चतुर्भुज का परिमाप 44 सेमी से अधिक हो?

आवश्यक पक्ष होने दीजिए एक्ससेमी। इस मामले में, समांतर चतुर्भुज की परिधि को (14 + 2x) सेमी द्वारा दर्शाया जाएगा। असमानता 14 + 2x > 44 एक समांतर चतुर्भुज की परिधि की समस्या का गणितीय मॉडल है। यदि हम इस असमानता में वेरिएबल को प्रतिस्थापित करते हैं एक्सउदाहरण के लिए, संख्या 16 पर, तो हमें सही संख्यात्मक असमानता 14 + 32 > 44 प्राप्त होती है। इस मामले में, वे कहते हैं कि संख्या 16 असमानता 14 + 2x > 44 का एक समाधान है।

असमानता का समाधानकिसी चर के उस मान का नाम बताएं जो इसे वास्तविक संख्यात्मक असमानता में बदल देता है।

इसलिए, प्रत्येक संख्या 15.1 है; 20;73 असमानता 14 + 2x > 44 के समाधान के रूप में कार्य करता है, लेकिन उदाहरण के लिए, संख्या 10 इसका समाधान नहीं है।

असमानता का समाधान करेंइसका अर्थ है इसके सभी समाधान स्थापित करना या यह साबित करना कि कोई समाधान नहीं है।

असमानता के समाधान का सूत्रीकरण समीकरण के मूल के सूत्रीकरण के समान है। और फिर भी इसे "असमानता की जड़" नामित करने की प्रथा नहीं है।

संख्यात्मक समानता के गुणों ने हमें समीकरणों को हल करने में मदद की। इसी प्रकार, संख्यात्मक असमानताओं के गुण असमानताओं को हल करने में मदद करेंगे।

किसी समीकरण को हल करते समय, हम उसे दूसरे, सरल समीकरण से बदल देते हैं, लेकिन दिए गए समीकरण के बराबर। असमानताओं का उत्तर इसी प्रकार पाया जाता है। किसी समीकरण को समतुल्य समीकरण में बदलते समय, वे समीकरण के एक तरफ से शब्दों को विपरीत दिशा में स्थानांतरित करने और समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा करने के बारे में प्रमेय का उपयोग करते हैं। किसी असमानता को हल करते समय, उसके और समीकरण के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर होता है, जो इस तथ्य में निहित है कि किसी समीकरण के किसी भी समाधान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापन द्वारा सत्यापित किया जा सकता है। असमानताओं में, यह विधि अनुपस्थित है, क्योंकि मूल असमानता में अनगिनत समाधानों को प्रतिस्थापित करना संभव नहीं है। इसलिए, एक महत्वपूर्ण अवधारणा है, ये तीर<=>समतुल्य, या समतुल्य, परिवर्तनों का संकेत है। परिवर्तन कहा जाता है समकक्ष,या समकक्ष, यदि वे समाधानों के सेट को नहीं बदलते हैं।

असमानताओं को हल करने के लिए समान नियम।

यदि हम किसी पद को असमानता के एक भाग से दूसरे भाग में ले जाते हैं, उसके चिन्ह को विपरीत भाग से प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें इसके समतुल्य एक असमानता प्राप्त होती है।

यदि असमानता के दोनों पक्षों को एक ही सकारात्मक संख्या से गुणा (विभाजित) किया जाता है, तो हमें इसके बराबर एक असमानता प्राप्त होती है।

यदि असमानता के दोनों पक्षों को एक ही नकारात्मक संख्या से गुणा (विभाजित) किया जाता है, तो असमानता चिह्न को विपरीत संख्या से प्रतिस्थापित करने पर, हमें दी गई असमानता के बराबर एक असमानता प्राप्त होती है।

इनका उपयोग करना नियमआइए निम्नलिखित असमानताओं की गणना करें।

1) आइए असमानता का विश्लेषण करें 2x - 5 > 9.

यह रैखिक असमानता, हम इसका समाधान ढूंढेंगे और बुनियादी अवधारणाओं पर चर्चा करेंगे।

2x - 5 > 9<=>2x>14(5 को विपरीत चिह्न के साथ बाईं ओर ले जाया गया), फिर हमने हर चीज़ को 2 से विभाजित किया और हमारे पास है एक्स > 7. आइए हम समाधानों के समुच्चय को अक्ष पर आलेखित करें एक्स

हमें एक सकारात्मक दिशा वाली किरण प्राप्त हुई है। हम समाधानों के समुच्चय को या तो असमानता के रूप में नोट करते हैं एक्स > 7, या अंतराल x(7; ∞) के रूप में। इस असमानता का कोई विशेष समाधान क्या है? उदाहरण के लिए, एक्स = 10इस असमानता का एक विशेष समाधान है, एक्स = 12- यह भी इस असमानता का एक विशेष समाधान है।

कई आंशिक समाधान हैं, लेकिन हमारा काम सभी समाधान ढूंढना है। और आमतौर पर अनगिनत समाधान होते हैं।

आइए इसे सुलझाएं उदाहरण 2:

2) असमानता का समाधान करें 4ए - 11 > ए + 13.

आइए इसे हल करें: एइसे एक तरफ ले जाएं 11 इसे दूसरी तरफ ले जाएं, हमें 3a मिलता है< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 असमानता का रूप है ए<8 .

4ए - 11 > ए + 13<=>3 ए< 24 <=>ए< 8 .

हम सेट भी प्रदर्शित करेंगे ए< 8 , लेकिन पहले से ही धुरी पर ए.

हम उत्तर को या तो असमानता के रूप में लिखते हैं< 8, либо ए(-∞;8), 8 चालू नहीं होता.

अंतराल विधि- भिन्नात्मक तर्कसंगत असमानताओं को हल करने का एक सरल तरीका। यह परिमेय (या भिन्नात्मक-तर्कसंगत) अभिव्यक्तियों वाली असमानताओं का नाम है जो एक चर पर निर्भर करती हैं।

1. उदाहरण के लिए, निम्नलिखित असमानता पर विचार करें

अंतराल विधि आपको इसे कुछ मिनटों में हल करने की अनुमति देती है।

इस असमानता के बायीं ओर एक भिन्नात्मक परिमेय फलन है। तर्कसंगत क्योंकि इसमें मूल, ज्या या लघुगणक नहीं हैं - केवल तर्कसंगत अभिव्यक्तियाँ हैं। दाहिनी ओर शून्य है.

अंतराल विधि भिन्नात्मक परिमेय फलन के निम्नलिखित गुण पर आधारित है।

एक भिन्नात्मक परिमेय फलन केवल उन्हीं बिंदुओं पर चिह्न बदल सकता है जहां यह शून्य के बराबर है या अस्तित्व में नहीं है।

आइए हम याद करें कि एक द्विघात त्रिपद का गुणनखंडन कैसे किया जाता है, अर्थात रूप की अभिव्यक्ति।

द्विघात समीकरण की जड़ें कहाँ और हैं।

हम एक अक्ष बनाते हैं और उन बिंदुओं को रखते हैं जिन पर अंश और हर शून्य पर जाते हैं।

हर के शून्य और छिद्रित बिंदु हैं, क्योंकि इन बिंदुओं पर असमानता के बाईं ओर का फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है (आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते हैं)। अंश और - के शून्य छायांकित हैं, क्योंकि असमानता सख्त नहीं है। जब और हमारी असमानता संतुष्ट हो जाती है, चूँकि इसके दोनों पक्ष शून्य के बराबर होते हैं।

ये बिंदु अक्ष को अंतरालों में तोड़ देते हैं।

आइए इनमें से प्रत्येक अंतराल पर हमारी असमानता के बाईं ओर भिन्नात्मक तर्कसंगत फ़ंक्शन का चिह्न निर्धारित करें। हमें याद है कि एक भिन्नात्मक परिमेय फलन केवल उन्हीं बिंदुओं पर चिह्न बदल सकता है जहां यह शून्य के बराबर है या अस्तित्व में नहीं है। इसका मतलब यह है कि उन बिंदुओं के बीच प्रत्येक अंतराल पर जहां अंश या हर शून्य पर जाता है, असमानता के बाईं ओर अभिव्यक्ति का चिह्न स्थिर रहेगा - या तो "प्लस" या "माइनस"।

और इसलिए, ऐसे प्रत्येक अंतराल पर फ़ंक्शन का चिह्न निर्धारित करने के लिए, हम इस अंतराल से संबंधित कोई भी बिंदु लेते हैं। जो हमारे लिए सुविधाजनक हो.
. उदाहरण के लिए, असमानता के बाईं ओर अभिव्यक्ति के चिह्न की जाँच करें। प्रत्येक "कोष्ठक" नकारात्मक है। बायीं ओर एक चिन्ह है.

अगला अंतराल: . आइए साइन की जाँच करें। हमने पाया कि बायीं ओर का चिह्न बदल कर . हो गया है।

चलिए इसे लेते हैं. जब अभिव्यक्ति सकारात्मक होती है - इसलिए, यह पूरे अंतराल पर सकारात्मक होती है।

जब असमानता का बायां भाग ऋणात्मक हो।

और अंत में, class='tex' alt='x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

हमने पाया है कि किस अंतराल पर अभिव्यक्ति सकारात्मक है। जो कुछ बचा है वह उत्तर लिखना है:

उत्तर: ।

कृपया ध्यान दें: संकेत अंतरालों के बीच वैकल्पिक होते हैं। ऐसा इसलिए हुआ क्योंकि प्रत्येक बिंदु से गुजरते समय, रैखिक कारकों में से एक ने संकेत बदल दिया, जबकि बाकी ने इसे अपरिवर्तित रखा.

हम देखते हैं कि अंतराल विधि बहुत सरल है। अंतराल विधि का उपयोग करके भिन्नात्मक-तर्कसंगत असमानता को हल करने के लिए, हम इसे इस रूप में घटाते हैं:

या class='tex' alt='\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, या या ।

(बाईं ओर एक भिन्नात्मक परिमेय फलन है, दाईं ओर शून्य है)।

फिर हम संख्या रेखा पर उन बिंदुओं को अंकित करते हैं जिन पर अंश या हर शून्य पर जाता है।
ये बिंदु संपूर्ण संख्या रेखा को अंतरालों में विभाजित करते हैं, जिनमें से प्रत्येक पर भिन्नात्मक-तर्कसंगत फ़ंक्शन अपना चिह्न बनाए रखता है।
बस प्रत्येक अंतराल पर इसके संकेत का पता लगाना बाकी है।
हम किसी दिए गए अंतराल से संबंधित किसी भी बिंदु पर अभिव्यक्ति के चिह्न की जांच करके ऐसा करते हैं। उसके बाद हम उत्तर लिखते हैं। बस इतना ही।

लेकिन सवाल उठता है: क्या संकेत हमेशा बदलते रहते हैं? नहीं हमेशा नहीं! आपको सावधान रहना चाहिए और यंत्रवत् और बिना सोचे-समझे संकेत नहीं लगाने चाहिए।

2. आइए एक और असमानता पर विचार करें।

Class='tex' alt='\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ बाएँ(x-3 \दाएँ))>0"> !}

बिंदुओं को फिर से अक्ष पर रखें। बिंदु और छिद्रित हैं क्योंकि वे हर के शून्य हैं। चूँकि असमानता सख्त है, इसलिए बात भी काट दी गई है।

जब अंश धनात्मक होता है, तो हर के दोनों कारक ऋणात्मक होते हैं। किसी दिए गए अंतराल से कोई भी संख्या लेकर इसे आसानी से जांचा जा सकता है, उदाहरण के लिए,। बायीं ओर संकेत है:

जब अंश धनात्मक हो; हर में पहला कारक सकारात्मक है, दूसरा कारक नकारात्मक है। बायीं ओर संकेत है:

स्थिति वही है! अंश धनात्मक है, हर में पहला कारक धनात्मक है, दूसरा ऋणात्मक है। बायीं ओर संकेत है:

अंत में, class='tex' alt='x>3 के साथ"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

उत्तर: ।

संकेतों का प्रत्यावर्तन क्यों बाधित हुआ? क्योंकि किसी बिंदु से गुजरते समय गुणक इसके लिए "जिम्मेदार" होता है संकेत नहीं बदला. नतीजतन, हमारी असमानता के पूरे बाएँ हिस्से में कोई बदलाव नहीं आया।

निष्कर्ष: यदि रैखिक गुणक एक सम घात है (उदाहरण के लिए, वर्ग), तो एक बिंदु से गुजरने पर बाईं ओर अभिव्यक्ति का चिह्न नहीं बदलता है. विषम डिग्री के मामले में, संकेत, निश्चित रूप से बदल जाता है।

3. आइए एक अधिक जटिल मामले पर विचार करें। यह पिछले वाले से इस मायने में भिन्न है कि असमानता सख्त नहीं है:

बाईं ओर पिछली समस्या के समान ही है। चिन्हों का चित्र वैसा ही होगा:

शायद उत्तर भी वही होगा? नहीं! एक समाधान जोड़ा जाता है ऐसा इसलिए होता है क्योंकि असमानता के बाएँ और दाएँ दोनों पक्षों पर शून्य के बराबर है - इसलिए, यह बिंदु एक समाधान है।

उत्तर: ।

गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की समस्याओं में यह स्थिति अक्सर उत्पन्न होती है। यहीं पर आवेदक जाल में फंस जाते हैं और अंक गंवा देते हैं। ध्यान से!

4. यदि अंश या हर को रैखिक गुणनखंडों में विभाजित नहीं किया जा सकता तो क्या करें? इस असमानता पर विचार करें:

एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन नहीं किया जा सकता: विभेदक नकारात्मक है, कोई जड़ें नहीं हैं। लेकिन ये अच्छा है! इसका मतलब यह है कि अभिव्यक्ति का संकेत सभी के लिए समान है, और विशेष रूप से, सकारात्मक है। आप इसके बारे में द्विघात फलनों के गुण लेख में अधिक पढ़ सकते हैं।

और अब हम अपनी असमानता के दोनों पक्षों को उस मूल्य से विभाजित कर सकते हैं जो सभी के लिए सकारात्मक है। आइए हम एक समतुल्य असमानता पर पहुँचें:

जिसे अंतराल विधि से आसानी से हल किया जा सकता है।

कृपया ध्यान दें कि हमने असमानता के दोनों पक्षों को उस मूल्य से विभाजित किया है जिसके बारे में हम निश्चित रूप से जानते थे कि वह सकारात्मक था। बेशक, सामान्य तौर पर, आपको किसी असमानता को ऐसे चर से गुणा या विभाजित नहीं करना चाहिए जिसका चिह्न अज्ञात है।

5 . आइए एक और असमानता पर विचार करें, जो काफी सरल प्रतीत होती है:

मैं बस इसे इससे गुणा करना चाहता हूं। लेकिन हम पहले से ही स्मार्ट हैं और हम ऐसा नहीं करेंगे। आख़िरकार, यह सकारात्मक और नकारात्मक दोनों हो सकता है। और हम जानते हैं कि यदि असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक मान से गुणा किया जाए, तो असमानता का चिह्न बदल जाता है।

हम इसे अलग तरीके से करेंगे - हम सब कुछ एक हिस्से में इकट्ठा करेंगे और इसे एक सामान्य भाजक में लाएंगे। दाहिना भाग शून्य रहेगा:

क्लास='टेक्स' alt='\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

और उसके बाद - आवेदन करें अंतराल विधि.

असमानताओं को ऑनलाइन हल करना

असमानताओं को हल करने से पहले, आपको यह अच्छी तरह से समझना होगा कि समीकरणों को कैसे हल किया जाता है।

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि असमानता सख्त () है या गैर-सख्त (≤, ≥) है, पहला कदम असमानता चिह्न को समानता (=) से बदलकर समीकरण को हल करना है।

आइए हम बताएं कि असमानता को हल करने का क्या मतलब है?

समीकरणों का अध्ययन करने के बाद, छात्र के दिमाग में निम्नलिखित तस्वीर आती है: उसे चर के मान खोजने की आवश्यकता है ताकि समीकरण के दोनों पक्ष समान मान लें। दूसरे शब्दों में, उन सभी बिंदुओं को खोजें जिन पर समानता कायम है। सब कुछ सही है!

जब हम असमानताओं के बारे में बात करते हैं, तो हमारा मतलब उन अंतरालों (खंडों) को ढूंढना है जिन पर असमानता टिकी हुई है। यदि असमानता में दो चर हैं, तो समाधान अब अंतराल नहीं होगा, बल्कि समतल पर कुछ क्षेत्र होंगे। आप स्वयं अनुमान लगायें कि तीन चरों वाली असमानता का समाधान क्या होगा?

असमानताओं को कैसे हल करें?

असमानताओं को हल करने का एक सार्वभौमिक तरीका अंतराल की विधि (जिसे अंतराल की विधि के रूप में भी जाना जाता है) माना जाता है, जिसमें उन सभी अंतरालों को निर्धारित करना शामिल है जिनकी सीमाओं के भीतर दी गई असमानता संतुष्ट होगी।

असमानता के प्रकार में जाने के बिना, इस मामले में यह बात नहीं है, आपको संबंधित समीकरण को हल करने और इसकी जड़ें निर्धारित करने की आवश्यकता है, इसके बाद संख्या अक्ष पर इन समाधानों का पदनाम होना चाहिए।

किसी असमानता का समाधान सही ढंग से कैसे लिखें?

एक बार जब आप असमानता के लिए समाधान अंतराल निर्धारित कर लेते हैं, तो आपको समाधान को सही ढंग से लिखना होगा। एक महत्वपूर्ण बारीकियां है - क्या समाधान में अंतराल की सीमाएं शामिल हैं?

यहां सब कुछ सरल है. यदि समीकरण का समाधान ODZ को संतुष्ट करता है और असमानता सख्त नहीं है, तो अंतराल की सीमा असमानता के समाधान में शामिल है। अन्यथा, नहीं.

प्रत्येक अंतराल को ध्यान में रखते हुए, असमानता का समाधान अंतराल ही हो सकता है, या आधा-अंतराल (जब इसकी सीमाओं में से एक असमानता को संतुष्ट करता है), या एक खंड - इसकी सीमाओं के साथ अंतराल।

महत्वपूर्ण बिंदु

यह मत सोचिए कि केवल अंतराल, अर्ध-अंतराल और खंड ही असमानता को हल कर सकते हैं। नहीं, समाधान में अलग-अलग बिंदु भी शामिल हो सकते हैं.

उदाहरण के लिए, असमानता |x|≤0 का केवल एक ही समाधान है - यह बिंदु 0 है।

और असमानता |x|

आपको असमानता कैलकुलेटर की आवश्यकता क्यों है?

असमानता कैलकुलेटर सही अंतिम उत्तर देता है। अधिकांश मामलों में, किसी संख्या अक्ष या तल का चित्रण प्रदान किया जाता है। यह दिखाई देता है कि अंतराल की सीमाएं समाधान में शामिल हैं या नहीं - बिंदुओं को छायांकित या छिद्रित के रूप में प्रदर्शित किया जाता है।

ऑनलाइन असमानता कैलकुलेटर के लिए धन्यवाद, आप जांच सकते हैं कि क्या आपने समीकरण की जड़ों को सही ढंग से पाया है, उन्हें संख्या अक्ष पर चिह्नित किया है और अंतराल (और सीमाओं) पर असमानता की स्थिति की पूर्ति की जांच की है?

यदि आपका उत्तर कैलकुलेटर के उत्तर से भिन्न है, तो आपको निश्चित रूप से अपने समाधान की दोबारा जांच करने और गलती की पहचान करने की आवश्यकता है।