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जो लोग पाइथागोरस प्रमेय के इतिहास में रुचि रखते हैं, जिसका अध्ययन स्कूली पाठ्यक्रम में किया जाता है, वे 1940 में इस सरल प्रतीत होने वाले प्रमेय के तीन सौ सत्तर प्रमाणों वाली पुस्तक के प्रकाशन जैसे तथ्य के बारे में भी उत्सुक होंगे। लेकिन इसने विभिन्न युगों के कई गणितज्ञों और दार्शनिकों के दिमाग को कौतूहल में डाल दिया। गिनीज बुक ऑफ रिकॉर्ड्स में यह सर्वाधिक प्रमाणों वाली प्रमेय के रूप में दर्ज है।

पाइथागोरस प्रमेय का इतिहास

पाइथागोरस के नाम से जुड़ा यह प्रमेय महान दार्शनिक के जन्म से बहुत पहले से ज्ञात था। इस प्रकार, मिस्र में, संरचनाओं के निर्माण के दौरान, पांच हजार साल पहले एक समकोण त्रिभुज के पहलू अनुपात को ध्यान में रखा गया था। बेबीलोनियाई ग्रंथों में पाइथागोरस के जन्म से 1200 साल पहले एक समकोण त्रिभुज के समान पक्षानुपात का उल्लेख है।

सवाल उठता है कि फिर इतिहास यह क्यों कहता है कि पाइथागोरस प्रमेय की उत्पत्ति उसी से हुई है? इसका केवल एक ही उत्तर हो सकता है - उन्होंने त्रिभुज में भुजाओं के अनुपात को सिद्ध किया। उन्होंने वह किया जो अनुभव द्वारा स्थापित पहलू अनुपात और कर्ण का उपयोग करने वालों ने सदियों पहले नहीं किया था।

पाइथागोरस के जीवन से

भविष्य के महान वैज्ञानिक, गणितज्ञ, दार्शनिक का जन्म 570 ईसा पूर्व में समोस द्वीप पर हुआ था। ऐतिहासिक दस्तावेज़ों में पाइथागोरस के पिता के बारे में जानकारी संरक्षित है, जो एक कीमती पत्थर पर नक्काशी करते थे, लेकिन उनकी माँ के बारे में कोई जानकारी नहीं है। उन्होंने जन्म लेने वाले लड़के के बारे में कहा कि वह एक असाधारण बच्चा था जिसमें बचपन से ही संगीत और कविता के प्रति जुनून था। इतिहासकारों में युवा पाइथागोरस के शिक्षकों के रूप में सिरोस के हर्मोडामास और फेरेसिडेस शामिल हैं। पहले ने लड़के को म्यूज़ की दुनिया से परिचित कराया, और दूसरे ने, एक दार्शनिक और इटालियन स्कूल ऑफ़ फिलॉसफी के संस्थापक होने के नाते, युवक की नज़र लोगो की ओर निर्देशित की।

22 वर्ष (548 ईसा पूर्व) की उम्र में, पाइथागोरस मिस्रवासियों की भाषा और धर्म का अध्ययन करने के लिए नौक्रैटिस गए। इसके बाद, उनका रास्ता मेम्फिस में था, जहां, पुजारियों के लिए धन्यवाद, उनके सरल परीक्षणों से गुजरने के बाद, उन्होंने मिस्र की ज्यामिति को समझा, जिसने, शायद, जिज्ञासु युवक को पाइथागोरस प्रमेय को साबित करने के लिए प्रेरित किया। इतिहास बाद में प्रमेय को यह नाम देगा।

बेबीलोन के राजा की कैद

हेलस के घर जाते समय, पाइथागोरस को बेबीलोन के राजा ने पकड़ लिया। लेकिन कैद में रहने से महत्वाकांक्षी गणितज्ञ के जिज्ञासु दिमाग को फायदा हुआ कि उसे बहुत कुछ सीखना था; दरअसल, उन वर्षों में बेबीलोन में गणित मिस्र की तुलना में अधिक विकसित था। उन्होंने गणित, ज्यामिति और जादू का अध्ययन करते हुए बारह साल बिताए। और, शायद, यह बेबीलोनियाई ज्यामिति थी जो एक त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के प्रमाण और प्रमेय की खोज के इतिहास में शामिल थी। पाइथागोरस के पास इसके लिए पर्याप्त ज्ञान और समय था। लेकिन इस बात की कोई दस्तावेजी पुष्टि या खंडन नहीं है कि बेबीलोन में ऐसा हुआ था।

530 ईसा पूर्व में. पाइथागोरस कैद से भागकर अपनी मातृभूमि में आ जाता है, जहाँ वह अर्ध-दास की स्थिति में अत्याचारी पॉलीक्रेट्स के दरबार में रहता है। पाइथागोरस ऐसे जीवन से संतुष्ट नहीं है, और वह समोस की गुफाओं में सेवानिवृत्त हो जाता है, और फिर इटली के दक्षिण में चला जाता है, जहां उस समय क्रोटन की ग्रीक कॉलोनी स्थित थी।

गुप्त मठ व्यवस्था

इस उपनिवेश के आधार पर, पाइथागोरस ने एक गुप्त मठवासी व्यवस्था का आयोजन किया, जो एक ही समय में एक धार्मिक संघ और एक वैज्ञानिक समाज था। इस समाज का अपना चार्टर था, जिसमें जीवन के एक विशेष तरीके का पालन करने की बात कही गई थी।

पाइथागोरस ने तर्क दिया कि ईश्वर को समझने के लिए, एक व्यक्ति को बीजगणित और ज्यामिति जैसे विज्ञानों को जानना चाहिए, खगोल विज्ञान को जानना चाहिए और संगीत को समझना चाहिए। अनुसंधान कार्य संख्याओं और दर्शन के रहस्यमय पक्ष के ज्ञान तक सीमित हो गया। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उस समय पाइथागोरस द्वारा प्रचारित सिद्धांत वर्तमान समय में अनुकरण करने योग्य हैं।

पाइथागोरस के छात्रों द्वारा की गई कई खोजों का श्रेय उन्हीं को दिया गया। हालाँकि, संक्षेप में, उस समय के प्राचीन इतिहासकारों और जीवनीकारों द्वारा पाइथागोरस प्रमेय के निर्माण का इतिहास सीधे इस दार्शनिक, विचारक और गणितज्ञ के नाम से जुड़ा हुआ है।

पाइथागोरस की शिक्षाएँ

शायद प्रमेय और पाइथागोरस के नाम के बीच संबंध का विचार महान यूनानी के इस कथन से प्रेरित था कि हमारे जीवन की सभी घटनाएं कुख्यात त्रिभुज में उसके पैरों और कर्ण के साथ एन्क्रिप्टेड हैं। और यह त्रिकोण सभी उभरती समस्याओं को हल करने की "कुंजी" है। महान दार्शनिक ने कहा कि आपको त्रिकोण देखना चाहिए, तो आप मान सकते हैं कि समस्या दो-तिहाई हल हो गई है।

पाइथागोरस ने अपने शिक्षण के बारे में अपने छात्रों को केवल मौखिक रूप से बताया, बिना कोई नोट्स बनाए, इसे गुप्त रखा। दुर्भाग्य से, महानतम दार्शनिक की शिक्षाएँ आज तक जीवित नहीं हैं। इसमें से कुछ तो लीक हुआ, लेकिन जो पता चला उसमें कितना सच है और कितना झूठ, यह कहना नामुमकिन है। पाइथागोरस प्रमेय के इतिहास के साथ भी, सब कुछ निश्चित नहीं है। गणित के इतिहासकार पाइथागोरस के लेखकत्व पर संदेह करते हैं, उनकी राय में, प्रमेय का प्रयोग उनके जन्म से कई शताब्दियों पहले किया गया था।

पाइथागोरस प्रमेय

यह अजीब लग सकता है, लेकिन पाइथागोरस द्वारा स्वयं प्रमेय को साबित करने वाले कोई ऐतिहासिक तथ्य नहीं हैं - न तो अभिलेखागार में और न ही किसी अन्य स्रोत में। आधुनिक संस्करण में यह माना जाता है कि यह किसी और का नहीं बल्कि स्वयं यूक्लिड का है।

गणित के सबसे महान इतिहासकारों में से एक, मोरिट्ज़ कैंटर का प्रमाण है, जिन्होंने बर्लिन संग्रहालय में संग्रहीत एक पपीरस पर खोज की थी, जिसे लगभग 2300 ईसा पूर्व मिस्रवासियों ने लिखा था। इ। समानता, जो पढ़ती है: 3² + 4² = 5²।

पाइथागोरस प्रमेय का संक्षिप्त इतिहास

अनुवाद में यूक्लिडियन "सिद्धांतों" से प्रमेय का सूत्रीकरण, आधुनिक व्याख्या के समान ही लगता है। उसके पढ़ने में कुछ भी नया नहीं है: समकोण के विपरीत भुजा का वर्ग समकोण के निकटवर्ती भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। तथ्य यह है कि भारत और चीन की प्राचीन सभ्यताओं ने प्रमेय का उपयोग किया था, इसकी पुष्टि "झोउ-बी सुआन जिन" ग्रंथ से होती है। इसमें मिस्र के त्रिकोण के बारे में जानकारी है, जो पहलू अनुपात को 3:4:5 के रूप में वर्णित करता है।

एक और चीनी गणितीय पुस्तक, "चू पेई" भी कम दिलचस्प नहीं है, जिसमें स्पष्टीकरण और रेखाचित्रों के साथ पाइथागोरस त्रिकोण का भी उल्लेख है जो बशारा द्वारा हिंदू ज्यामिति के रेखाचित्रों से मेल खाता है। त्रिभुज के बारे में ही पुस्तक कहती है कि यदि एक समकोण को उसके घटक भागों में विघटित किया जा सकता है, तो भुजाओं के सिरों को जोड़ने वाली रेखा पाँच के बराबर होगी यदि आधार तीन के बराबर है और ऊँचाई चार के बराबर है .

भारतीय ग्रंथ "सुल्वा सूत्र", लगभग 7वीं-5वीं शताब्दी ईसा पूर्व का है। ई., मिस्र के त्रिकोण का उपयोग करके एक समकोण बनाने की बात करता है।

प्रमेय का प्रमाण

मध्य युग में, छात्र किसी प्रमेय को सिद्ध करना बहुत कठिन मानते थे। कमजोर विद्यार्थियों ने प्रमाण का अर्थ समझे बिना, प्रमेयों को कंठस्थ कर लिया। इस संबंध में, उन्हें "गधे" उपनाम मिला, क्योंकि पाइथागोरस प्रमेय उनके लिए एक गधे के लिए पुल की तरह एक दुर्गम बाधा थी। मध्य युग में, छात्र इस प्रमेय के विषय पर एक हास्य कविता लेकर आए।

पाइथागोरस प्रमेय को सबसे आसान तरीके से साबित करने के लिए, आपको प्रमाण में क्षेत्रों की अवधारणा का उपयोग किए बिना, बस इसके पक्षों को मापना चाहिए। समकोण के विपरीत भुजा की लंबाई c है, और a और b इसके समीप हैं, परिणामस्वरूप हमें समीकरण प्राप्त होता है: a 2 + b 2 = c 2। यह कथन, जैसा कि ऊपर बताया गया है, एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई मापकर सत्यापित किया जाता है।

यदि हम प्रमेय का प्रमाण त्रिभुज की भुजाओं पर बने आयतों के क्षेत्रफल पर विचार करके प्रारंभ करें, तो हम संपूर्ण आकृति का क्षेत्रफल निर्धारित कर सकते हैं। यह भुजा (a+b) वाले एक वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर होगा, और दूसरी ओर, चार त्रिभुजों और आंतरिक वर्ग के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होगा।

(ए + बी) 2 = 4 एक्स एबी/2 + सी 2;

ए 2 + 2एबी + बी 2 ;

सी 2 = ए 2 + बी 2, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

पाइथागोरस प्रमेय का व्यावहारिक महत्व यह है कि इसका उपयोग खंडों को मापे बिना उनकी लंबाई ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है। संरचनाओं के निर्माण के दौरान, दूरी, समर्थन और बीम की नियुक्ति की गणना की जाती है, और गुरुत्वाकर्षण के केंद्र निर्धारित किए जाते हैं। पाइथागोरस प्रमेय को सभी आधुनिक प्रौद्योगिकियों में भी लागू किया जाता है। 3डी-6डी आयामों में फिल्में बनाते समय वे प्रमेय के बारे में नहीं भूले, जहां उन तीन आयामों के अलावा जिनका हम उपयोग करते हैं: ऊंचाई, लंबाई, चौड़ाई, समय, गंध और स्वाद को ध्यान में रखा जाता है। आप पूछते हैं, स्वाद और गंध प्रमेय से कैसे संबंधित हैं? सब कुछ बहुत सरल है - फिल्म दिखाते समय, आपको यह गणना करने की आवश्यकता है कि सभागार में कहां और किस गंध और स्वाद को निर्देशित करना है।

यह तो केवल शुरुआत है. नई तकनीकों की खोज और निर्माण की असीमित गुंजाइश जिज्ञासु दिमागों की प्रतीक्षा कर रही है।

पाइथागोरस प्रमेय- यूक्लिडियन ज्यामिति के मौलिक प्रमेयों में से एक, संबंध स्थापित करना

एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच.

ऐसा माना जाता है कि इसे यूनानी गणितज्ञ पाइथागोरस ने सिद्ध किया था, जिनके नाम पर इसका नाम रखा गया।

पाइथागोरस प्रमेय का ज्यामितीय सूत्रीकरण।

प्रमेय मूल रूप से इस प्रकार तैयार किया गया था:

एक समकोण त्रिभुज में कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल वर्गों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है,

पैरों पर बनाया गया.

पाइथागोरस प्रमेय का बीजगणितीय सूत्रीकरण।

एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है।

अर्थात् त्रिभुज के कर्ण की लंबाई को इससे निरूपित करना सी, और पैरों की लंबाई के माध्यम से एऔर बी:

दोनों सूत्रीकरण पाइथागोरस प्रमेयसमतुल्य हैं, लेकिन दूसरा सूत्रीकरण अधिक प्राथमिक है, ऐसा नहीं है

क्षेत्रफल की अवधारणा की आवश्यकता है। अर्थात् दूसरे कथन को क्षेत्र के बारे में कुछ भी जाने बिना सत्यापित किया जा सकता है

एक समकोण त्रिभुज की केवल भुजाओं की लंबाई मापकर।

पाइथागोरस प्रमेय का व्युत्क्रम।

यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, तो

सही त्रिकोण।

या, दूसरे शब्दों में:

धनात्मक संख्याओं के प्रत्येक त्रिक के लिए ए, बीऔर सी, ऐसा है कि

पैरों के साथ एक समकोण त्रिभुज है एऔर बीऔर कर्ण सी.

समद्विबाहु त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय।

एक समबाहु त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय।

पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण.

वर्तमान में, इस प्रमेय के 367 प्रमाण वैज्ञानिक साहित्य में दर्ज किए गए हैं। संभवतः प्रमेय

पाइथागोरस एकमात्र प्रमेय है जिसके प्रमाणों की इतनी प्रभावशाली संख्या है। इतनी विविधता

ज्यामिति के लिए प्रमेय के मूलभूत महत्व द्वारा ही समझाया जा सकता है।

बेशक, वैचारिक रूप से उन सभी को कम संख्या में वर्गों में विभाजित किया जा सकता है। उनमें से सबसे प्रसिद्ध:

सबूत क्षेत्र विधि, सिद्धऔर विदेशी साक्ष्य(उदाहरण के लिए,

का उपयोग करके विभेदक समीकरण).

1. समान त्रिभुजों का उपयोग करके पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण।

बीजगणितीय सूत्रीकरण का निम्नलिखित प्रमाण निर्मित प्रमाणों में सबसे सरल है

सीधे स्वयंसिद्धों से। विशेष रूप से, यह किसी आकृति के क्षेत्रफल की अवधारणा का उपयोग नहीं करता है।

होने देना एबीसीसमकोण वाला एक समकोण त्रिभुज है सी. आइए से ऊँचाई खींचिए सीऔर निरूपित करें

इसकी नींव के माध्यम से एच.

त्रिकोण आकएक त्रिकोण के समान अबदो कोनों पर सी. इसी तरह, त्रिकोण सीबीएचसमान एबीसी.

संकेतन का परिचय देकर:

हम पाते हैं:

,

जो मेल खाता है -

मुड़ा हुआ ए 2 और बी 2, हमें मिलता है:

या, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

2. क्षेत्र विधि का उपयोग करके पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण।

नीचे दिए गए प्रमाण, अपनी स्पष्ट सरलता के बावजूद, बिल्कुल भी इतने सरल नहीं हैं। उन सभी को

क्षेत्रफल के गुणों का उपयोग करें, जिनके प्रमाण पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण से भी अधिक जटिल हैं।

• समपूरकता के माध्यम से प्रमाण।

आइए चार समान आयताकारों की व्यवस्था करें

त्रिभुज जैसा कि चित्र में दिखाया गया है

दायी ओर।

भुजाओं वाला चतुर्भुज सी- वर्ग,

चूँकि दो न्यून कोणों का योग 90° होता है, और

खुला कोण - 180°.

एक ओर, संपूर्ण आकृति का क्षेत्रफल बराबर है

भुजा वाले एक वर्ग का क्षेत्रफल ( ए+बी), और दूसरी ओर, चार त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग और

क्यू.ई.डी.

3. इनफिनिटसिमल विधि द्वारा पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण।

​

चित्र में दिखाए गए चित्र को देखते हुए और

पक्ष बदलते हुए देखनाए, हम कर सकते हैं

अपरिमित के लिए निम्नलिखित संबंध लिखिए

छोटा पार्श्व वृद्धिसाथऔर ए(समानता का उपयोग करते हुए

त्रिभुज):

परिवर्तनीय पृथक्करण विधि का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:

दोनों तरफ वृद्धि के मामले में कर्ण में परिवर्तन के लिए एक अधिक सामान्य अभिव्यक्ति:

इस समीकरण को एकीकृत करने और प्रारंभिक शर्तों का उपयोग करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

इस प्रकार हम वांछित उत्तर पर पहुँचते हैं:

जैसा कि देखना आसान है, अंतिम सूत्र में द्विघात निर्भरता रैखिक के कारण प्रकट होती है

त्रिभुज की भुजाओं और वृद्धि के बीच आनुपातिकता, जबकि योग स्वतंत्र से संबंधित है

विभिन्न पैरों की वृद्धि से योगदान.

एक सरल प्रमाण प्राप्त किया जा सकता है यदि हम मान लें कि पैरों में से किसी एक में वृद्धि का अनुभव नहीं होता है

(इस मामले में पैर बी). फिर एकीकरण स्थिरांक के लिए हमें प्राप्त होता है:

कहानी

चू-पेई 500-200 ई.पू. बाईं ओर शिलालेख है: ऊंचाई और आधार की लंबाई के वर्गों का योग कर्ण की लंबाई का वर्ग है।

प्राचीन चीनी पुस्तक चू-पेई में ( अंग्रेज़ी) (चीनी 周髀算經) 3, 4 और 5 भुजाओं वाले पाइथागोरस त्रिभुज के बारे में बात करता है। वही पुस्तक एक चित्र प्रस्तुत करती है जो बशारा के हिंदू ज्यामिति के चित्रों में से एक से मेल खाता है।

लगभग 400 ई.पू. ईसा पूर्व, प्रोक्लस के अनुसार, प्लेटो ने बीजगणित और ज्यामिति को मिलाकर पायथागॉरियन त्रिक खोजने की एक विधि दी। लगभग 300 ई.पू. इ। पाइथागोरस प्रमेय का सबसे पुराना स्वयंसिद्ध प्रमाण यूक्लिड के तत्वों में दिखाई दिया।

योगों

ज्यामितीय सूत्रीकरण:

प्रमेय मूल रूप से इस प्रकार तैयार किया गया था:

बीजगणितीय सूत्रीकरण:

अर्थात्, त्रिभुज के कर्ण की लंबाई को , और पैरों की लंबाई को और द्वारा निरूपित करना:

प्रमेय के दोनों सूत्रीकरण समतुल्य हैं, लेकिन दूसरा सूत्रीकरण अधिक प्राथमिक है, इसमें क्षेत्रफल की अवधारणा की आवश्यकता नहीं है; अर्थात्, दूसरे कथन को क्षेत्रफल के बारे में कुछ भी जाने बिना और केवल एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई मापकर सत्यापित किया जा सकता है।

व्युत्क्रम पाइथागोरस प्रमेय:

सकारात्मक संख्याओं के प्रत्येक त्रिक के लिए, और, जैसे कि, पैरों और और कर्ण के साथ एक समकोण त्रिभुज मौजूद होता है।

सबूत

फिलहाल, इस प्रमेय के 367 प्रमाण वैज्ञानिक साहित्य में दर्ज किए गए हैं। संभवतः, पाइथागोरस प्रमेय इतनी प्रभावशाली संख्या में प्रमाणों वाला एकमात्र प्रमेय है। ऐसी विविधता को केवल ज्यामिति के लिए प्रमेय के मूलभूत महत्व द्वारा ही समझाया जा सकता है।

बेशक, वैचारिक रूप से उन सभी को कम संख्या में वर्गों में विभाजित किया जा सकता है। उनमें से सबसे प्रसिद्ध: क्षेत्र विधि द्वारा प्रमाण, स्वयंसिद्ध और विदेशी प्रमाण (उदाहरण के लिए, अंतर समीकरणों का उपयोग करके)।

समरूप त्रिभुजों के माध्यम से

बीजगणितीय सूत्रीकरण का निम्नलिखित प्रमाण, स्वयंसिद्धों से सीधे निर्मित, सबसे सरल प्रमाण है। विशेष रूप से, यह किसी आकृति के क्षेत्रफल की अवधारणा का उपयोग नहीं करता है।

होने देना एबीसीसमकोण वाला एक समकोण त्रिभुज है सी. आइए से ऊँचाई खींचिए सीऔर इसके आधार को निरूपित करें एच. त्रिकोण आकएक त्रिकोण के समान एबीसीदो कोनों पर. इसी तरह, त्रिकोण सीबीएचसमान एबीसी. संकेतन का परिचय देकर

हम पाते हैं

समतुल्य क्या है

इसे जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है

, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है

क्षेत्र विधि का उपयोग कर प्रमाण

नीचे दिए गए प्रमाण, अपनी स्पष्ट सरलता के बावजूद, बिल्कुल भी इतने सरल नहीं हैं। वे सभी क्षेत्रफल के गुणों का उपयोग करते हैं, जिसका प्रमाण पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण से भी अधिक जटिल है।

समपूरकता के माध्यम से प्रमाण

1. आइए चित्र 1 में दिखाए अनुसार चार समान समकोण त्रिभुजों की व्यवस्था करें।
2. भुजाओं वाला चतुर्भुज सीएक वर्ग है, क्योंकि दो न्यून कोणों का योग 90° होता है, और सीधा कोण 180° होता है।
3. संपूर्ण आकृति का क्षेत्रफल, एक ओर, भुजा (a + b) वाले एक वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है, और दूसरी ओर, चारों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है और भीतरी वर्ग का क्षेत्रफल.

क्यू.ई.डी.

यूक्लिड का प्रमाण

यूक्लिड के प्रमाण का विचार इस प्रकार है: आइए यह सिद्ध करने का प्रयास करें कि कर्ण पर बने वर्ग का आधा क्षेत्रफल पैरों पर बने वर्ग के आधे क्षेत्रफल के योग के बराबर है, और फिर क्षेत्रफल बड़े और दो छोटे वर्ग बराबर हैं।

आइए बाईं ओर के चित्र को देखें। इस पर हमने एक समकोण त्रिभुज के किनारों पर वर्ग बनाए और समकोण C के शीर्ष से कर्ण AB के लंबवत एक किरण s खींची, यह कर्ण पर बने वर्ग ABIK को दो आयतों - BHJI और HAKJ में काटती है, क्रमश। इससे पता चलता है कि इन आयतों का क्षेत्रफल संबंधित पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल के बिल्कुल बराबर है।

आइए यह सिद्ध करने का प्रयास करें कि वर्ग DECA का क्षेत्रफल आयत AHJK के क्षेत्रफल के बराबर है। ऐसा करने के लिए, हम एक सहायक अवलोकन का उपयोग करेंगे: समान ऊँचाई और आधार वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल दिया गया आयत दिए गए आयत के क्षेत्रफल के आधे के बराबर है। यह एक त्रिभुज के क्षेत्रफल को आधार और ऊँचाई के आधे गुणनफल के रूप में परिभाषित करने का परिणाम है। इस अवलोकन से यह निष्कर्ष निकलता है कि त्रिभुज ACK का क्षेत्रफल त्रिभुज AHK के क्षेत्रफल के बराबर है (आकृति में नहीं दिखाया गया है), जो बदले में आयत AHJK के क्षेत्रफल के आधे के बराबर है।

आइए अब सिद्ध करें कि त्रिभुज ACK का क्षेत्रफल भी वर्ग DECA के आधे क्षेत्रफल के बराबर है। इसके लिए केवल एक ही काम करना है वह है त्रिभुज ACK और BDA की समानता सिद्ध करना (चूँकि त्रिभुज BDA का क्षेत्रफल उपरोक्त संपत्ति के अनुसार वर्ग के आधे क्षेत्रफल के बराबर है)। यह समानता स्पष्ट है: त्रिभुजों की दोनों भुजाएँ और उनके बीच का कोण बराबर होता है। अर्थात् - AB=AK, AD=AC - कोण CAK और BAD की समानता को गति की विधि से सिद्ध करना आसान है: हम त्रिभुज CAK को 90° वामावर्त घुमाते हैं, तो यह स्पष्ट है कि दोनों त्रिभुजों की संगत भुजाएँ प्रश्न संपाती होगा (इस तथ्य के कारण कि वर्ग के शीर्ष पर कोण 90° है)।

वर्ग बीसीएफजी और आयत बीएचजीआई के क्षेत्रफलों की समानता का तर्क पूरी तरह समान है।

इस प्रकार, हमने साबित किया कि कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल से बना होता है। इस प्रमाण के पीछे का विचार ऊपर दिए गए एनीमेशन द्वारा और भी स्पष्ट किया गया है।

लियोनार्डो दा विंची का प्रमाण

प्रमाण के मुख्य तत्व समरूपता और गति हैं।

आइए ड्राइंग पर विचार करें, जैसा कि समरूपता से देखा जा सकता है, खंड वर्ग को दो समान भागों में काटता है (क्योंकि त्रिकोण निर्माण में समान हैं)।

बिंदु के चारों ओर 90-डिग्री वामावर्त घुमाव का उपयोग करके, हम छायांकित आकृतियों की समानता देखते हैं।

अब यह स्पष्ट है कि जिस आकृति को हमने छायांकित किया है उसका क्षेत्रफल छोटे वर्गों (पैरों पर बने) के आधे क्षेत्रफल और मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल के योग के बराबर है। दूसरी ओर, यह बड़े वर्ग (कर्ण पर निर्मित) के आधे क्षेत्रफल और मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है। इस प्रकार, छोटे वर्गों के क्षेत्रफलों का आधा योग बड़े वर्ग के आधे क्षेत्रफल के बराबर होता है, और इसलिए पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफलों का योग पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल के बराबर होता है कर्ण.

अनन्तिमल विधि से प्रमाण

विभेदक समीकरणों का उपयोग करते हुए निम्नलिखित प्रमाण का श्रेय अक्सर प्रसिद्ध अंग्रेजी गणितज्ञ हार्डी को दिया जाता है, जो 20वीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध में रहते थे।

चित्र में दिखाए गए चित्र को देखें और पार्श्व में परिवर्तन का अवलोकन करें ए, हम अपरिमित पार्श्व वृद्धि के लिए निम्नलिखित संबंध लिख सकते हैं साथऔर ए(त्रिभुज समानता का उपयोग करके):

चरों को अलग करने की विधि का उपयोग करके, हम पाते हैं

दोनों तरफ वृद्धि के मामले में कर्ण में परिवर्तन के लिए एक अधिक सामान्य अभिव्यक्ति

इस समीकरण को एकीकृत करने और प्रारंभिक शर्तों का उपयोग करने पर, हम प्राप्त करते हैं

इस प्रकार हम वांछित उत्तर पर पहुँचते हैं

जैसा कि देखना आसान है, अंतिम सूत्र में द्विघात निर्भरता त्रिभुज की भुजाओं और वेतन वृद्धि के बीच रैखिक आनुपातिकता के कारण प्रकट होती है, जबकि योग विभिन्न पैरों की वृद्धि से स्वतंत्र योगदान से जुड़ा होता है।

एक सरल प्रमाण प्राप्त किया जा सकता है यदि हम मान लें कि पैरों में से एक में वृद्धि का अनुभव नहीं होता है (इस मामले में पैर)। फिर एकीकरण स्थिरांक के लिए हमें प्राप्त होता है

विविधताएं और सामान्यीकरण

तीन तरफ समान ज्यामितीय आकृतियाँ

समरूप त्रिभुजों के लिए सामान्यीकरण, हरी आकृतियों का क्षेत्रफल A + B = नीले C का क्षेत्रफल

समान समकोण त्रिभुजों का उपयोग करते हुए पाइथागोरस प्रमेय

यूक्लिड ने अपने काम में पाइथागोरस प्रमेय का सामान्यीकरण किया शुरुआत, समान ज्यामितीय आकृतियों के किनारों पर वर्गों के क्षेत्रों का विस्तार करना:

यदि हम एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं पर समान ज्यामितीय आकृतियाँ (यूक्लिडियन ज्यामिति देखें) बनाते हैं, तो दो छोटी आकृतियों का योग बड़ी आकृति के क्षेत्रफल के बराबर होगा।

इस सामान्यीकरण का मुख्य विचार यह है कि ऐसी ज्यामितीय आकृति का क्षेत्रफल उसके किसी भी रैखिक आयाम के वर्ग और विशेष रूप से, किसी भी भुजा की लंबाई के वर्ग के समानुपाती होता है। इसलिए, क्षेत्रफल वाले समान आंकड़ों के लिए ए, बीऔर सीलम्बाई के साथ किनारों पर निर्मित ए, बीऔर सी, हमारे पास है:

लेकिन, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, ए 2 + बी 2 = सी 2 तो ए + बी = सी.

इसके विपरीत, यदि हम यह सिद्ध कर सकें ए + बी = सीपाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किए बिना तीन समान ज्यामितीय आकृतियों के लिए, हम विपरीत दिशा में चलते हुए, प्रमेय को स्वयं सिद्ध कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, प्रारंभिक केंद्र त्रिभुज को त्रिभुज के रूप में पुन: उपयोग किया जा सकता है सीकर्ण पर, और दो समान समकोण त्रिभुज ( एऔर बी), अन्य दो भुजाओं पर निर्मित, जो केंद्रीय त्रिभुज को उसकी ऊंचाई से विभाजित करके बनाई गई हैं। इस प्रकार, दो छोटे त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग स्पष्ट रूप से तीसरे के क्षेत्रफल के बराबर होता है ए + बी = सीऔर, पिछले प्रमाण को विपरीत क्रम में निष्पादित करते हुए, हम पाइथागोरस प्रमेय a 2 + b 2 = c 2 प्राप्त करते हैं।

कोसाइन प्रमेय

पाइथागोरस प्रमेय अधिक सामान्य कोसाइन प्रमेय का एक विशेष मामला है, जो एक मनमाना त्रिभुज में भुजाओं की लंबाई से संबंधित है:

जहाँ θ भुजाओं के बीच का कोण है एऔर बी.

यदि θ 90 डिग्री है तो cos θ = 0 और सूत्र सामान्य पायथागॉरियन प्रमेय को सरल बनाता है।

मुक्त त्रिभुज

भुजाओं वाले एक मनमाना त्रिभुज के किसी भी चयनित कोने पर ए, बी, सीआइए हम एक समद्विबाहु त्रिभुज को इस प्रकार अंकित करें कि इसके आधार θ पर समान कोण चुने गए कोण के बराबर हों। आइए मान लें कि चयनित कोण θ निर्दिष्ट पक्ष के विपरीत स्थित है सी. परिणामस्वरूप, हमें कोण θ वाला त्रिभुज ABD प्राप्त हुआ, जो भुजा के विपरीत स्थित है एऔर पार्टियां आर. दूसरा त्रिभुज कोण θ से बनता है, जो भुजा के विपरीत स्थित है बीऔर पार्टियां साथलंबाई एस, जैसा कि चित्र पर दिखाया गया है। थाबित इब्न कुर्रा ने तर्क दिया कि इन तीन त्रिभुजों की भुजाएँ इस प्रकार संबंधित हैं:

जैसे-जैसे कोण θ π/2 के करीब पहुंचता है, समद्विबाहु त्रिभुज का आधार छोटा होता जाता है और दोनों भुजाएँ r और s एक-दूसरे को कम और कम ओवरलैप करते हैं। जब θ = π/2, ADB एक समकोण त्रिभुज बन जाता है, आर + एस = सीऔर हम प्रारंभिक पाइथागोरस प्रमेय प्राप्त करते हैं।

आइए एक तर्क पर विचार करें। त्रिभुज ABC के कोण त्रिभुज ABD के समान हैं, लेकिन विपरीत क्रम में। (दो त्रिभुजों के शीर्ष B पर एक उभयनिष्ठ कोण है, दोनों का एक कोण θ है और त्रिभुज के कोणों के योग के आधार पर तीसरा कोण भी समान है) तदनुसार, ABC त्रिभुज DBA के प्रतिबिंब ABD के समान है, जैसे निचले चित्र में दिखाया गया है। आइए हम सम्मुख भुजाओं और कोण θ के निकटवर्ती भुजाओं के बीच संबंध लिखें,

साथ ही एक अन्य त्रिभुज का प्रतिबिंब,

आइए भिन्नों को गुणा करें और इन दो अनुपातों को जोड़ें:

क्यू.ई.डी.

समांतर चतुर्भुज के माध्यम से मनमाना त्रिभुजों के लिए सामान्यीकरण

मनमाना त्रिभुजों के लिए सामान्यीकरण,
हरित क्षेत्र प्लॉट = क्षेत्रफलनीला

थीसिस का प्रमाण उपरोक्त चित्र में है

आइए वर्गों के बजाय तीन तरफ समांतर चतुर्भुज का उपयोग करके गैर-समकोण त्रिभुजों के लिए एक और सामान्यीकरण करें। (वर्ग एक विशेष मामला है।) शीर्ष आकृति से पता चलता है कि एक न्यून त्रिभुज के लिए, लंबी भुजा पर समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर समांतर चतुर्भुज के योग के बराबर होता है, बशर्ते कि लंबी भुजा पर समांतर चतुर्भुज जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, किनारे का निर्माण किया गया है (तीर द्वारा दर्शाए गए आयाम समान हैं और निचले समांतर चतुर्भुज के किनारों को निर्धारित करते हैं)। समांतर चतुर्भुज के साथ वर्गों का यह प्रतिस्थापन पाइथागोरस के प्रारंभिक प्रमेय से स्पष्ट समानता रखता है, जिसके बारे में माना जाता है कि इसे 4 ईस्वी में अलेक्जेंड्रिया के पप्पस द्वारा तैयार किया गया था। इ।

निचला आंकड़ा प्रमाण की प्रगति को दर्शाता है। आइए त्रिभुज के बाईं ओर देखें। बाएं हरे समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल नीले समांतर चतुर्भुज के बाईं ओर के समान है क्योंकि उनका आधार समान है बीऔर ऊंचाई एच. इसके अतिरिक्त, बाएं हरे समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल शीर्ष चित्र में बाएं हरे समांतर चतुर्भुज के समान है क्योंकि वे एक सामान्य आधार (त्रिभुज के शीर्ष बाईं ओर) और त्रिभुज के उस तरफ लंबवत एक सामान्य ऊंचाई साझा करते हैं। त्रिभुज की दाईं ओर के समान तर्क का उपयोग करते हुए, हम साबित करेंगे कि निचले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल दो हरे समांतर चतुर्भुजों के समान है।

जटिल आंकड़े

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में दो बिंदुओं के बीच की दूरी खोजने के लिए किया जाता है, और यह प्रमेय सभी वास्तविक निर्देशांकों के लिए मान्य है: दूरी एसदो बिंदुओं के बीच ( ए, बी) और ( सी,डी) बराबर है

यदि सम्मिश्र संख्याओं को वास्तविक घटकों वाले सदिशों के रूप में माना जाए तो सूत्र में कोई समस्या नहीं है एक्स + मैं y = (एक्स, य). . उदाहरण के लिए, दूरी एस 0 + 1 के बीच मैंऔर 1 + 0 मैंवेक्टर के मापांक के रूप में गणना की गई (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), या

हालाँकि, जटिल निर्देशांक वाले वैक्टर के साथ संचालन के लिए, पाइथागोरस सूत्र में कुछ सुधार करना आवश्यक है। सम्मिश्र संख्याओं वाले बिंदुओं के बीच की दूरी ( ए, बी) और ( सी, डी); ए, बी, सी, और डीसभी जटिल, हम निरपेक्ष मानों का उपयोग करके तैयार करते हैं। दूरी एसवेक्टर अंतर के आधार पर (ए − सी, बी − डी) निम्नलिखित रूप में: अंतर बताएं ए − सी = पी+मैं क्यू, कहाँ पी- अंतर का वास्तविक हिस्सा, क्यूकाल्पनिक भाग है, और i = √(−1). वैसे ही चलो बी − डी = आर+मैं एस. तब:

के लिए सम्मिश्र संयुग्म संख्या कहाँ है? उदाहरण के लिए, बिंदुओं के बीच की दूरी (ए, बी) = (0, 1) और (सी, डी) = (मैं, 0) , आइए अंतर की गणना करें (ए − सी, बी − डी) = (−मैं, 1) और यदि जटिल संयुग्मों का उपयोग नहीं किया गया तो परिणाम 0 होगा। इसलिए, बेहतर सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

मॉड्यूल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

स्टीरियोमेट्री

त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लिए पाइथागोरस प्रमेय का एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण डी गोय का प्रमेय है, जिसका नाम जे.-पी के नाम पर रखा गया है। डे गोइस: यदि एक चतुष्फलक में एक समकोण है (जैसे कि एक घन में), तो समकोण के विपरीत फलक के क्षेत्रफल का वर्ग अन्य तीन फलकों के क्षेत्रफलों के वर्गों के योग के बराबर होता है। इस निष्कर्ष को संक्षेप में " एन-आयामी पाइथागोरस प्रमेय":

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में पाइथागोरस प्रमेय विकर्ण AD को तीन भुजाओं से जोड़ता है।

एक और सामान्यीकरण: पाइथागोरस प्रमेय को निम्नलिखित रूप में स्टीरियोमेट्री पर लागू किया जा सकता है। चित्र में दिखाए अनुसार एक आयताकार समांतर चतुर्भुज पर विचार करें। आइए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके विकर्ण BD की लंबाई ज्ञात करें:

जहां तीन भुजाएं एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं। हम विकर्ण AD की लंबाई ज्ञात करने के लिए क्षैतिज विकर्ण BD और ऊर्ध्वाधर किनारे AB का उपयोग करते हैं, इसके लिए हम फिर से पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं:

या, यदि हम सब कुछ एक समीकरण में लिखें:

यह परिणाम वेक्टर के परिमाण को निर्धारित करने के लिए एक त्रि-आयामी अभिव्यक्ति है वी(विकर्ण AD), इसके लंबवत घटकों के संदर्भ में व्यक्त किया गया ( वी k ) (तीन परस्पर लंबवत भुजाएँ):

इस समीकरण को बहुआयामी अंतरिक्ष के लिए पाइथागोरस प्रमेय के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है। हालाँकि, परिणाम वास्तव में पाइथागोरस प्रमेय को क्रमिक रूप से लंबवत विमानों में समकोण त्रिभुजों के अनुक्रम में बार-बार लागू करने से ज्यादा कुछ नहीं है।

सदिश स्थल

सदिशों की ऑर्थोगोनल प्रणाली के मामले में, एक समानता होती है, जिसे पाइथागोरस प्रमेय भी कहा जाता है:

यदि - ये समन्वय अक्षों पर वेक्टर के प्रक्षेपण हैं, तो यह सूत्र यूक्लिडियन दूरी के साथ मेल खाता है - और इसका मतलब है कि वेक्टर की लंबाई इसके घटकों के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर है।

सदिशों की अनंत प्रणाली के मामले में इस समानता के अनुरूप को पार्सेवल की समानता कहा जाता है।

गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति

पाइथागोरस प्रमेय यूक्लिडियन ज्यामिति के सिद्धांतों से लिया गया है और वास्तव में, गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए उस रूप में मान्य नहीं है जिस रूप में यह ऊपर लिखा गया है। (अर्थात्, पाइथागोरस प्रमेय एक प्रकार से यूक्लिड के समांतरता के अभिधारणा के समतुल्य है) दूसरे शब्दों में, गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में एक त्रिभुज की भुजाओं के बीच का संबंध आवश्यक रूप से पाइथागोरस प्रमेय से भिन्न रूप में होगा। उदाहरण के लिए, गोलाकार ज्यामिति में, एक समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाएँ (मान लीजिए ए, बीऔर सी), जो इकाई गोले के अष्टक (आठवें भाग) को सीमित करता है, उसकी लंबाई π/2 है, जो पाइथागोरस प्रमेय का खंडन करता है, क्योंकि ए 2 + बी 2 ≠ सी 2 .

आइए यहां गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के दो मामलों पर विचार करें - गोलाकार और अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति; दोनों मामलों में, समकोण त्रिभुजों के लिए यूक्लिडियन स्थान के लिए, परिणाम, जो पाइथागोरस प्रमेय को प्रतिस्थापित करता है, कोसाइन प्रमेय से होता है।

हालाँकि, पाइथागोरस प्रमेय हाइपरबोलिक और अण्डाकार ज्यामिति के लिए मान्य रहता है यदि आवश्यकता है कि त्रिभुज आयताकार है, इस शर्त से प्रतिस्थापित किया जाता है कि त्रिभुज के दो कोणों का योग तीसरे के बराबर होना चाहिए, मान लीजिए ए+बी = सी. तब भुजाओं के बीच का संबंध इस प्रकार दिखता है: व्यास वाले वृत्तों के क्षेत्रफलों का योग एऔर बीव्यास वाले वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर सी.

गोलाकार ज्यामिति

त्रिज्या वाले गोले पर किसी समकोण त्रिभुज के लिए आर(उदाहरण के लिए, यदि किसी त्रिभुज में कोण γ समकोण है) भुजाओं के साथ ए, बी, सीपार्टियों के बीच संबंध इस तरह दिखेगा:

इस समानता को गोलाकार कोसाइन प्रमेय के एक विशेष मामले के रूप में प्राप्त किया जा सकता है, जो सभी गोलाकार त्रिकोणों के लिए मान्य है:

जहां cosh हाइपरबोलिक कोसाइन है। यह सूत्र हाइपरबोलिक कोसाइन प्रमेय का एक विशेष मामला है, जो सभी त्रिकोणों के लिए मान्य है:

जहां γ वह कोण है जिसका शीर्ष भुजा के विपरीत है सी.

कहाँ जी आईजेमीट्रिक टेंसर कहा जाता है. यह पद का कार्य हो सकता है. ऐसे घुमावदार स्थानों में सामान्य उदाहरण के रूप में रीमानियन ज्यामिति शामिल है। वक्रीय निर्देशांक का उपयोग करते समय यह सूत्रीकरण यूक्लिडियन अंतरिक्ष के लिए भी उपयुक्त है। उदाहरण के लिए, ध्रुवीय निर्देशांक के लिए:

वेक्टर कलाकृति

पाइथागोरस प्रमेय एक वेक्टर उत्पाद के परिमाण के लिए दो अभिव्यक्तियों को जोड़ता है। एक क्रॉस उत्पाद को परिभाषित करने के लिए एक दृष्टिकोण के लिए आवश्यक है कि यह समीकरण को संतुष्ट करे:

यह सूत्र डॉट उत्पाद का उपयोग करता है। समीकरण के दाएँ पक्ष को ग्राम निर्धारक कहा जाता है एऔर बी, जो इन दोनों सदिशों से बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है। इस आवश्यकता के आधार पर, साथ ही यह आवश्यकता कि वेक्टर उत्पाद अपने घटकों के लंबवत हो एऔर बीइसका तात्पर्य यह है कि, 0- और 1-आयामी स्थान से तुच्छ मामलों को छोड़कर, क्रॉस उत्पाद को केवल तीन और सात आयामों में परिभाषित किया गया है। हम कोण की परिभाषा का उपयोग करते हैं एन-आयामी स्थान:

किसी क्रॉस उत्पाद का यह गुण उसका परिमाण इस प्रकार बताता है:

पाइथागोरस की मौलिक त्रिकोणमितीय पहचान के माध्यम से हमें इसका मान लिखने का एक और रूप प्राप्त होता है:

किसी क्रॉस उत्पाद को परिभाषित करने का एक वैकल्पिक तरीका इसके परिमाण के लिए एक अभिव्यक्ति का उपयोग करना है। फिर, विपरीत क्रम में तर्क करते हुए, हम अदिश गुणनफल के साथ एक संबंध प्राप्त करते हैं:

यह सभी देखें

टिप्पणियाँ

1. इतिहास विषय: बेबीलोनियाई गणित में पाइथागोरस का प्रमेय
2. ( , पृ. 351) पृ. 351
3. ( , खंड I, पृष्ठ 144)
4. (, पृ. 351) पृ. 351 में ऐतिहासिक तथ्यों की चर्चा दी गयी है
5. कर्ट वॉन फ्रिट्ज़ (अप्रैल, 1945)। "मेटापोंटम के हिप्पासस द्वारा असंगति की खोज"। गणित के इतिहास, दूसरी श्रृंखला(गणित के इतिहास) 46 (2): 242–264.
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9. यूक्लिड का तत्वों: पुस्तक VI, प्रस्ताव VI 31: "समकोण त्रिभुजों में समकोण को अंतरित करने वाली भुजा पर बनी आकृति समकोण वाली भुजा पर समान और समान रूप से वर्णित आकृतियों के बराबर होती है।"
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16. अर्लेन ब्राउन, कार्ल एम. पियर्सीवस्तु सी: मनमाना के लिए आदर्श एन-टुपल... // विश्लेषण का परिचय। - स्प्रिंगर, 1995. - पी. 124. - आईएसबीएन 0387943692पृष्ठ 47-50 भी देखें।
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19. स्टीफन डब्ल्यू हॉकिंग उद्धृत कार्य. - 2005. - पी. 4. - आईएसबीएन 0762419229

प्रमेय

एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है (चित्र 1):

$c^(2)=a^(2)+b^(2)$

पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण

माना त्रिभुज $A B C$ समकोण $C$ वाला एक समकोण त्रिभुज है (चित्र 2)।

आइए हम शीर्ष $C$ से कर्ण $A B$ तक ऊंचाई खींचें, और ऊंचाई के आधार को $H$ के रूप में निरूपित करें।

समकोण त्रिभुज $A C H$ दो कोणों पर त्रिभुज $A B C$ के समान है ($\कोण A C B=\कोण C H A=90^(\circ)$, $\कोण A$ उभयनिष्ठ है)। इसी प्रकार, त्रिभुज $C B H$ $A B C$ के समान है।

संकेतन का परिचय देकर

$$बी सी=ए, ए सी=बी, ए बी=सी$$

त्रिभुजों की समानता से हमें वह प्राप्त होता है

$$\frac(a)(c)=\frac(H B)(a), \frac(b)(c)=\frac(A H)(b)$$

यहां से हमारे पास वह है

$$a^(2)=c \cdot H B, b^(2)=c \cdot A H$$

परिणामी समानताएँ जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot H B+c \cdot A H$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot(H B+A H)$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot A B$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot c$$

$$a^(2)+b^(2)=c^(2)$$

क्यू.ई.डी.

पाइथागोरस प्रमेय का ज्यामितीय सूत्रीकरण

प्रमेय

एक समकोण त्रिभुज में कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल पैरों पर बने वर्ग के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है (चित्र 2):

समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण

व्यायाम।एक समकोण त्रिभुज $A B C$ दिया गया है, जिसकी भुजाएँ 6 सेमी और 8 सेमी हैं। इस त्रिभुज का कर्ण ज्ञात कीजिए।

समाधान।पैर की स्थिति के अनुसार $a=6$ सेमी, $b=8$ सेमी, फिर, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, कर्ण का वर्ग

$c^(2)=a^(2)+b^(2)=6^(2)+8^(2)=36+64=100$

इससे हमें वांछित कर्ण प्राप्त होता है

$c=\sqrt(100)=10$ (सेमी)

उत्तर। 10 सेमी

उदाहरण

व्यायाम।एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि यह ज्ञात हो कि इसका एक पैर दूसरे से 5 सेमी बड़ा है और कर्ण 25 सेमी है।

समाधान।मान लीजिए $x$ सेमी छोटे पैर की लंबाई है, तो $(x+5)$ सेमी बड़े पैर की लंबाई है। फिर, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, हमारे पास है:

$$x^(2)+(x+5)^(2)=25^(2)$$

हम कोष्ठक खोलते हैं, समान को छोटा करते हैं और परिणामी द्विघात समीकरण को हल करते हैं:

$x^(2)+5 x-300=0$

विएटा के प्रमेय के अनुसार, हम उसे प्राप्त करते हैं

$x_(1)=15$ (सेमी) , $x_(2)=-20$ (सेमी)

मूल्य $x_(2)$ समस्या की शर्तों को पूरा नहीं करता है, जिसका अर्थ है कि छोटा पैर 15 सेमी है, और बड़ा पैर 20 सेमी है।

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके पैरों की लंबाई के आधे गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात

$$S=\frac(15 \cdot 20)(2)=15 \cdot 10=150\left(\mathrm(cm)^(2)\right)$$

उत्तर।$S=150\left(\mathrm(cm)^(2)\right)$

ऐतिहासिक सन्दर्भ

पाइथागोरस प्रमेय- यूक्लिडियन ज्यामिति के मूलभूत प्रमेयों में से एक, जो एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच संबंध स्थापित करता है।

प्राचीन चीनी पुस्तक "झोउ बी जुआन जिंग" 3, 4 और 5 भुजाओं वाले पाइथागोरस त्रिकोण के बारे में बात करती है। गणित के प्रमुख जर्मन इतिहासकार, मोरिट्ज़ कैंटर (1829 - 1920) का मानना ​​है कि समानता $3^(2)+4^ (2)=5^ (2) $ के बारे में मिस्रवासी 2300 ईसा पूर्व के आसपास पहले से ही जानते थे। वैज्ञानिक के अनुसार, बिल्डरों ने 3, 4 और 5 भुजाओं वाले समकोण त्रिभुजों का उपयोग करके समकोण बनाए। बेबीलोनियों के बीच पाइथागोरस प्रमेय के बारे में कुछ अधिक ज्ञात है। एक पाठ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के कर्ण की अनुमानित गणना देता है।

वर्तमान में, इस प्रमेय के 367 प्रमाण वैज्ञानिक साहित्य में दर्ज किए गए हैं। संभवतः, पाइथागोरस प्रमेय इतनी प्रभावशाली संख्या में प्रमाणों वाला एकमात्र प्रमेय है। ऐसी विविधता को केवल ज्यामिति के लिए प्रमेय के मूलभूत महत्व द्वारा ही समझाया जा सकता है।

कार्य का पाठ छवियों और सूत्रों के बिना पोस्ट किया गया है।
कार्य का पूर्ण संस्करण पीडीएफ प्रारूप में "कार्य फ़ाइलें" टैब में उपलब्ध है

परिचय

एक स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके केवल गणितीय समस्याओं को हल किया जाता है। दुर्भाग्य से, पाइथागोरस प्रमेय के व्यावहारिक अनुप्रयोग के प्रश्न पर विचार नहीं किया गया है।

इस संबंध में, मेरे काम का उद्देश्य पाइथागोरस प्रमेय के अनुप्रयोग के क्षेत्रों का पता लगाना था।

वर्तमान में, यह आम तौर पर मान्यता प्राप्त है कि विज्ञान और प्रौद्योगिकी के कई क्षेत्रों के विकास की सफलता गणित के विभिन्न क्षेत्रों के विकास पर निर्भर करती है। उत्पादन दक्षता बढ़ाने के लिए एक महत्वपूर्ण शर्त प्रौद्योगिकी और राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था में गणितीय तरीकों का व्यापक परिचय है, जिसमें गुणात्मक और मात्रात्मक अनुसंधान के नए, प्रभावी तरीकों का निर्माण शामिल है जो अभ्यास द्वारा उत्पन्न समस्याओं को हल करने की अनुमति देते हैं।

मैं पाइथागोरस प्रमेय के व्यावहारिक अनुप्रयोग के उदाहरणों पर विचार करूंगा। मैं प्रमेय के उपयोग के सभी उदाहरण देने का प्रयास नहीं करूंगा - यह शायद ही संभव होगा। प्रमेय का दायरा काफी व्यापक है और आम तौर पर इसे पर्याप्त पूर्णता के साथ इंगित नहीं किया जा सकता है।

परिकल्पना:

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, आप न केवल गणितीय समस्याओं को हल कर सकते हैं।

इस शोध कार्य के लिए निम्नलिखित लक्ष्य की पहचान की गई है:

पाइथागोरस प्रमेय के अनुप्रयोग के क्षेत्रों का पता लगाएं।

उपरोक्त लक्ष्य के आधार पर निम्नलिखित कार्यों की पहचान की गई:

विभिन्न स्रोतों में पाइथागोरस प्रमेय के व्यावहारिक अनुप्रयोग के बारे में जानकारी एकत्र करें और प्रमेय के अनुप्रयोग के क्षेत्रों का निर्धारण करें।

पाइथागोरस और उसके प्रमेय के बारे में कुछ ऐतिहासिक जानकारी का अध्ययन करें।

ऐतिहासिक समस्याओं को हल करने में प्रमेय का अनुप्रयोग दिखाएँ।

विषय पर एकत्रित डेटा को संसाधित करें।

मैं जानकारी खोजने और एकत्र करने में लगा हुआ था - मुद्रित सामग्री का अध्ययन करना, इंटरनेट पर सामग्री के साथ काम करना, एकत्रित डेटा को संसाधित करना।

अनुसंधान क्रियाविधि:

सैद्धांतिक सामग्री का अध्ययन.

अनुसंधान विधियों का अध्ययन.

अध्ययन का व्यावहारिक कार्यान्वयन.

संचारी (माप विधि, प्रश्नावली)।

परियोजना प्रकार:सूचना और अनुसंधान. खाली समय में काम किया जाता था.

पाइथागोरस के बारे में.

पाइथागोरस - प्राचीन यूनानी दार्शनिक, गणितज्ञ, खगोलशास्त्री। उन्होंने ज्यामितीय आकृतियों के कई गुणों की पुष्टि की, संख्याओं और उनके अनुपात का गणितीय सिद्धांत विकसित किया। उन्होंने खगोल विज्ञान और ध्वनि विज्ञान के विकास में महत्वपूर्ण योगदान दिया। गोल्डन वर्सेज़ के लेखक, क्रोटन में पाइथागोरस स्कूल के संस्थापक।

किंवदंती के अनुसार, पाइथागोरस का जन्म लगभग 580 ईसा पूर्व हुआ था। इ। समोस द्वीप पर एक धनी व्यापारी परिवार में। उनकी मां, पाइफैसिस को उनका नाम अपोलो की पुजारिन पाइथिया के सम्मान में मिला था। पाइथिया ने मेन्सार्कस और उसकी पत्नी को बेटे के जन्म की भविष्यवाणी की थी, बेटे का नाम भी पाइथिया के नाम पर रखा गया था। कई प्राचीन साक्ष्यों के अनुसार, लड़का बेहद सुंदर था और जल्द ही उसने अपनी असाधारण क्षमताएं दिखाईं। उन्हें अपना पहला ज्ञान अपने पिता मेन्सार्कस, जो एक जौहरी और कीमती पत्थर तराशने वाले थे, से प्राप्त हुआ, जिन्होंने सपना देखा था कि उनका बेटा अपना व्यवसाय जारी रखेगा। लेकिन जिंदगी ने कुछ और ही फैसला किया. भविष्य के दार्शनिक ने विज्ञान के लिए महान क्षमताएँ दिखाईं। पाइथागोरस के शिक्षकों में सिरोस के फेरेसीडेस और बड़े हर्मोडामेंट थे। पहले ने लड़के में विज्ञान के प्रति प्रेम पैदा किया, और दूसरे ने - संगीत, चित्रकला और कविता के प्रति। इसके बाद, पाइथागोरस ने मिलिटस के प्रसिद्ध दार्शनिक और गणितज्ञ थेल्स से मुलाकात की और उनकी सलाह पर, उस समय वैज्ञानिक और अनुसंधान गतिविधि के केंद्र मिस्र गए। मिस्र में 22 साल और बेबीलोन में 12 साल रहने के बाद, वह समोस द्वीप पर लौट आए, फिर अज्ञात कारणों से इसे छोड़ दिया और दक्षिणी इटली के क्रोटन शहर में चले गए। यहां उन्होंने पाइथागोरस स्कूल (संघ) बनाया, जिसमें दर्शन और गणित के विभिन्न मुद्दों का अध्ययन किया जाता था। लगभग 60 वर्ष की आयु में, पाइथागोरस ने अपने छात्रों में से एक थीनो से विवाह किया। उनके तीन बच्चे हैं, जो सभी अपने पिता के अनुयायी बन जाते हैं। उस समय की ऐतिहासिक परिस्थितियों की विशेषता अभिजात वर्ग की सत्ता के विरुद्ध लोकतंत्रों का एक व्यापक आंदोलन था। लोकप्रिय गुस्से की लहरों से भागकर, पाइथागोरस और उनके छात्र टैरेंटम शहर में चले गए। एक संस्करण के अनुसार: किलोन, एक अमीर और दुष्ट व्यक्ति, नशे में भाईचारे में शामिल होने की इच्छा से उसके पास आया। मना करने पर सिलोन ने पाइथागोरस से लड़ना शुरू कर दिया। आग लगने के दौरान छात्रों ने अपने खर्च पर शिक्षक की जान बचाई. पाइथागोरस दुखी हो गया और जल्द ही उसने आत्महत्या कर ली।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह उनकी जीवनी के विकल्पों में से एक है। उनके जन्म और मृत्यु की सटीक तारीखें स्थापित नहीं की गई हैं, उनके जीवन के बारे में कई तथ्य विरोधाभासी हैं। लेकिन एक बात स्पष्ट है: यह व्यक्ति जीवित रहा और अपने वंशजों को एक महान दार्शनिक और गणितीय विरासत के साथ छोड़ गया।

पाइथागोरस प्रमेय।

पाइथागोरस प्रमेय ज्यामिति का सबसे महत्वपूर्ण कथन है। प्रमेय इस प्रकार तैयार किया गया है: एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल उसके पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है।

इस कथन की खोज का श्रेय समोस के पाइथागोरस (12वीं शताब्दी ईसा पूर्व) को दिया जाता है।

बेबीलोनियाई क्यूनिफॉर्म गोलियों और प्राचीन चीनी पांडुलिपियों (और भी प्राचीन पांडुलिपियों की प्रतियां) के एक अध्ययन से पता चला है कि प्रसिद्ध प्रमेय पाइथागोरस से बहुत पहले से जाना जाता था, शायद उससे कई हजार साल पहले।

(लेकिन एक धारणा यह भी है कि पाइथागोरस ने इसका पूरा प्रमाण दिया था)

लेकिन एक और राय है: पाइथागोरस स्कूल में शायद कुछ मामलों को छोड़कर, सभी गुणों का श्रेय पाइथागोरस को देने और खोजकर्ताओं की महिमा का श्रेय खुद को न देने का एक अद्भुत रिवाज था।

(इम्बलिचस-सीरियाई ग्रीक भाषी लेखक, "द लाइफ ऑफ पाइथागोरस" ग्रंथ के लेखक। (दूसरी शताब्दी ईस्वी)

इस प्रकार, जर्मन गणितीय इतिहासकार कैंटर का मानना ​​है कि समानता 3 2 + 4 2 = 5 2 थी

लगभग 2300 ईसा पूर्व मिस्रवासियों को ज्ञात था। इ। राजा अमेनेहमत के समय में (बर्लिन संग्रहालय के पपीरस 6619 के अनुसार)। कुछ का मानना ​​है कि पाइथागोरस ने प्रमेय को पूर्ण प्रमाण दिया, जबकि अन्य ने उन्हें इस योग्यता से इनकार किया।

कुछ लोग यूक्लिड द्वारा अपने एलिमेंट्स में दिए गए प्रमाण का श्रेय पाइथागोरस को देते हैं। दूसरी ओर, प्रोक्लस (गणितज्ञ, 5वीं शताब्दी) का दावा है कि तत्वों में प्रमाण स्वयं यूक्लिड का था, अर्थात, गणित के इतिहास ने पाइथागोरस की गणितीय गतिविधि के बारे में लगभग कोई विश्वसनीय डेटा संरक्षित नहीं किया है। गणित में, शायद, कोई अन्य प्रमेय नहीं है जो सभी प्रकार की तुलनाओं के योग्य हो।

यूक्लिड के तत्वों की कुछ सूचियों में, मधुमक्खी, तितली ("तितली प्रमेय") के साथ चित्र की समानता के लिए इस प्रमेय को "निम्फ प्रमेय" कहा गया था, जिसे ग्रीक में अप्सरा कहा जाता था। यूनानियों ने इस शब्द का उपयोग कुछ अन्य देवी-देवताओं, साथ ही युवा महिलाओं और दुल्हनों के नाम के लिए किया था। अरबी अनुवादक ने चित्र पर ध्यान नहीं दिया और “अप्सरा” शब्द का अनुवाद “दुल्हन” कर दिया। इस तरह स्नेहपूर्ण नाम "दुल्हन का प्रमेय" प्रकट हुआ। एक किंवदंती है कि जब समोस के पाइथागोरस ने अपना प्रमेय सिद्ध किया, तो उसने 100 बैलों की बलि देकर देवताओं को धन्यवाद दिया। इसलिए दूसरा नाम - "सौ बैलों का प्रमेय"।

अंग्रेजी बोलने वाले देशों में इसे कहा जाता था: "पवनचक्की", "मोर पूंछ", "दुल्हन की कुर्सी", "गधा पुल" (यदि छात्र इसे "पार" नहीं कर सका, तो वह असली "गधा" था)

पूर्व-क्रांतिकारी रूस में, समद्विबाहु त्रिभुज के मामले के लिए पाइथागोरस प्रमेय के चित्रण को "पाइथागोरसियन पैंट" कहा जाता था।

ये "पैंट" तब दिखाई देते हैं जब आप समकोण त्रिभुज के प्रत्येक तरफ बाहर की ओर वर्ग बनाते हैं।

पाइथागोरस प्रमेय के कितने भिन्न प्रमाण हैं?

पाइथागोरस के समय से, उनमें से 350 से अधिक प्रमेय को गिनीज बुक ऑफ रिकॉर्ड्स में शामिल किया गया था। यदि हम प्रमेय के प्रमाणों का विश्लेषण करते हैं, तो वे कुछ मौलिक रूप से भिन्न विचारों का उपयोग करते हैं।

प्रमेय के अनुप्रयोग के क्षेत्र.

इसे हल करने में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है ज्यामितिककार्य.

इसकी सहायता से आप ज्यामितीय रूप से पूर्णांकों के वर्गमूलों का मान ज्ञात कर सकते हैं:

ऐसा करने के लिए, हम इकाई पैरों के साथ एक समकोण त्रिभुज AOB (कोण A 90° है) बनाते हैं। तो इसका कर्ण √2 है। फिर हम एक इकाई खंड BC का निर्माण करते हैं, BC OB पर लंबवत है, कर्ण OC की लंबाई = √3, आदि।

(यह विधि हमें यूक्लिड और एफ. किरेन्स्की में मिलती है)।

कार्य जानने में भौतिकविदोंउच्च विद्यालयों को पाइथागोरस प्रमेय के ज्ञान की आवश्यकता होती है।

ये वेगों के योग से संबंधित समस्याएँ हैं।

स्लाइड पर ध्यान दें: 9वीं कक्षा की भौतिकी पाठ्यपुस्तक से एक समस्या। व्यावहारिक अर्थ में, इसे इस प्रकार तैयार किया जा सकता है: शेड्यूल को पूरा करने के लिए घाटों के बीच यात्रियों को ले जाने वाली नाव को नदी के प्रवाह के किस कोण पर चलना चाहिए (घाट नदी के विपरीत किनारों पर हैं)

जब एक बायैथलीट किसी लक्ष्य पर गोली चलाता है, तो वह "हवा के अनुसार समायोजन" करता है। यदि हवा दाहिनी ओर से चल रही है, और एथलीट सीधी गोली चलाता है, तो गोली बायीं ओर जायेगी। लक्ष्य पर प्रहार करने के लिए, आपको गोली के विस्थापित होने की दूरी के अनुसार दृष्टि को दाईं ओर ले जाना होगा। उनके लिए विशेष तालिकाएँ संकलित की गई हैं (पाइथागोरस के परिणामों पर आधारित)। बायैथलीट जानता है कि हवा की गति ज्ञात होने पर दृष्टि को किस कोण पर ले जाना है।

खगोल विज्ञान -प्रमेय के अनुप्रयोग के लिए एक विस्तृत क्षेत्र भी प्रकाश किरण का पथ.चित्र से प्रकाश किरण का मार्ग दर्शाया गया है एबी और वापस. स्पष्टता के लिए किरण पथ को एक घुमावदार तीर के साथ दिखाया गया है, वास्तव में, प्रकाश किरण सीधी है;

किरण कौन सा मार्ग अपनाती है?? प्रकाश एक ही मार्ग से आगे-पीछे यात्रा करता है। किरण द्वारा तय की गई दूरी की आधी दूरी क्या है? यदि हम खंड को नामित करते हैं अबप्रतीक एल, आधे समय की तरह टी, और अक्षर से प्रकाश की गति को भी निरूपित करते हैं सी, तो हमारा समीकरण रूप ले लेगा

सी * टी = एल

यह बिताए गए समय और गति का उत्पाद है!

आइए अब एक ही घटना को संदर्भ के एक अलग फ्रेम से देखने का प्रयास करें, उदाहरण के लिए, एक अंतरिक्ष यान एक तेज गति से चलती हुई किरण के पार उड़ रहा है वी. इस तरह के अवलोकन से, सभी पिंडों की गति बदल जाएगी, और स्थिर पिंड तेज गति से चलने लगेंगे वीविपरीत दिशा में। मान लेते हैं कि जहाज बाईं ओर जा रहा है। फिर वे दो बिंदु जिनके बीच बन्नी दौड़ता है, उसी गति से दाईं ओर चलना शुरू कर देगा। इसके अलावा, जब खरगोश अपना रास्ता चलाता है, तो शुरुआती बिंदु एबदलाव होता है और किरण एक नए बिंदु पर लौट आती है सी.

प्रश्न: प्रकाश किरण के चलते समय बिंदु को हिलने (बिंदु C में बदलने) में कितना समय लगता है?अधिक सटीक: इस विस्थापन का आधा हिस्सा क्या है? यदि हम किरण के आधे यात्रा समय को अक्षर द्वारा निरूपित करते हैं टी", और आधी दूरी एसी।पत्र डी, तो हमें अपना समीकरण इस रूप में मिलता है:

वी * टी" = डी

पत्र वीअंतरिक्ष यान की गति को इंगित करता है।

दूसरा प्रश्न: प्रकाश किरण कितनी दूर तक यात्रा करेगी?(अधिक सटीक रूप से, इस पथ का आधा भाग क्या है? अज्ञात वस्तु से दूरी क्या है?)

यदि हम प्रकाश पथ की आधी लंबाई को अक्षर s से निरूपित करें, तो हमें समीकरण मिलता है:

सी * टी"=एस

यहाँ सीप्रकाश की गति है, और टी"- यह वही समय है जिसकी ऊपर चर्चा की गई है।

अब त्रिभुज पर विचार करें एबीसी. यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसकी ऊंचाई है एल, जिसे हमने एक निश्चित दृष्टिकोण से प्रक्रिया पर विचार करते समय पेश किया था। चूँकि गति लंबवत है एल, तो इसका उस पर कोई प्रभाव नहीं पड़ सकता।

त्रिकोण एबीसीदो हिस्सों से बना है - समान समकोण त्रिभुज, जिसके कर्ण हैं अबऔर ईसा पूर्वपैरों से जुड़ा होना चाहिए पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार. एक पैर है डी, जिसकी हमने अभी गणना की है, और दूसरा चरण s है, जिससे प्रकाश गुजरता है, और जिसकी हमने गणना भी की है:

एस 2 = एल 2 + डी 2

यह है पाइथागोरस प्रमेय!

घटना तारकीय विपथन, 1729 में खोजे गए तथ्य यह है कि आकाशीय क्षेत्र के सभी तारे दीर्घवृत्त का वर्णन करते हैं। इन दीर्घवृत्तों की अर्धप्रमुख धुरी पृथ्वी से 20.5 डिग्री के कोण पर देखी जाती है। यह कोण 29.8 किमी प्रति घंटे की गति से सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की गति से जुड़ा है। चलती पृथ्वी से किसी तारे का निरीक्षण करने के लिए, तारे की गति के साथ दूरबीन ट्यूब को आगे की ओर झुकाना आवश्यक है, क्योंकि जब प्रकाश दूरबीन की लंबाई तक यात्रा करता है, तो नेत्रिका पृथ्वी के साथ-साथ आगे बढ़ती है। तथाकथित का उपयोग करते हुए, प्रकाश और पृथ्वी की गति का जोड़ वेक्टर रूप से किया जाता है।

पाइथागोरस. यू 2 =सी 2 +वी 2

सी-प्रकाश की गति

वी-ग्राउंड स्पीड

टेलीस्कोप ट्यूब

उन्नीसवीं सदी के अंत में, मंगल ग्रह पर मानव जैसे निवासियों के अस्तित्व के बारे में विभिन्न धारणाएँ बनाई गईं, यह इतालवी खगोलशास्त्री शिआपरेल्ली की खोजों का परिणाम था (उन्होंने मंगल ग्रह पर नहरों की खोज की थी जिन्हें लंबे समय से कृत्रिम माना जाता था)। स्वाभाविक रूप से, यह सवाल कि क्या प्रकाश संकेतों का उपयोग करके इन काल्पनिक प्राणियों के साथ संवाद करना संभव है, एक जीवंत चर्चा का कारण बना है। पेरिस एकेडमी ऑफ साइंसेज ने किसी अन्य खगोलीय पिंड के किसी भी निवासी के साथ संपर्क स्थापित करने वाले पहले व्यक्ति के लिए 100,000 फ़्रैंक का पुरस्कार भी स्थापित किया; यह पुरस्कार अभी भी भाग्यशाली विजेता का इंतजार कर रहा है। एक मजाक के रूप में, हालांकि पूरी तरह से अकारण नहीं, पाइथागोरस प्रमेय के रूप में मंगल के निवासियों को एक संकेत प्रसारित करने का निर्णय लिया गया।

यह कैसे करना है यह ज्ञात नहीं है; लेकिन यह सभी के लिए स्पष्ट है कि पाइथागोरस प्रमेय द्वारा व्यक्त गणितीय तथ्य हर जगह लागू होता है, और इसलिए हमारे जैसे किसी अन्य दुनिया के निवासियों को इस तरह के संकेत को समझना चाहिए।

मोबाइल कनेक्शन

आधुनिक दुनिया में कौन सेल फोन का उपयोग नहीं करता? प्रत्येक मोबाइल फोन ग्राहक इसकी गुणवत्ता में रुचि रखता है। और गुणवत्ता, बदले में, मोबाइल ऑपरेटर के एंटीना की ऊंचाई पर निर्भर करती है। उस त्रिज्या की गणना करने के लिए जिसके भीतर संचरण प्राप्त किया जा सकता है, हम उपयोग करते हैं पाइथागोरस प्रमेय.

R=200 किमी के दायरे में प्रसारण प्राप्त करने के लिए मोबाइल ऑपरेटर के एंटीना की अधिकतम ऊंचाई कितनी होनी चाहिए? (पृथ्वी की त्रिज्या 6380 किमी है।)

समाधान:

होने देना एबी=x , BC=R=200 किमी , ओसी=आर=6380 किमी.

OB=OA+ABOB=r + x.

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं उत्तर: 2.3 किमी.

घर और कॉटेज बनाते समय, छत के लिए राफ्टर्स की लंबाई के बारे में अक्सर सवाल उठता है, अगर बीम पहले ही बनाए जा चुके हैं। उदाहरण के लिए: यह एक घर (अनुभागीय आकार) पर एक विशाल छत बनाने की योजना बनाई गई है। यदि बीम AC=8 मीटर और AB=BF बने हों तो राफ्टरों की लंबाई कितनी होनी चाहिए।

समाधान:

त्रिभुज ADC समद्विबाहु है AB=BC=4 m, BF=4 m यदि हम मान लें कि FD=1.5 m, तो:

ए) त्रिभुज डीबीसी से: डीबी=2.5 मीटर।

बी) त्रिकोण एबीएफ से:

खिड़की

इमारतों में गॉथिक और रोमनस्क्यू शैलीखिड़कियों के ऊपरी हिस्से पत्थर की पसलियों से विभाजित हैं, जो न केवल आभूषण की भूमिका निभाते हैं, बल्कि खिड़कियों की मजबूती में भी योगदान देते हैं। यह चित्र गॉथिक शैली में ऐसी खिड़की का एक सरल उदाहरण दिखाता है। इसे बनाने की विधि बहुत सरल है: चित्र से छह वृत्तों के चापों के केंद्र ढूंढना आसान है जिनकी त्रिज्याएँ समान हैं

बाहरी मेहराबों के लिए खिड़की की चौड़ाई (बी)।

आंतरिक चापों के लिए आधी चौड़ाई, (बी/2)।

चार चापों को छूता हुआ एक पूर्ण वृत्त रहता है। चूँकि यह दो संकेंद्रित वृत्तों के बीच घिरा हुआ है, इसका व्यास इन वृत्तों के बीच की दूरी के बराबर है, अर्थात b/2 और, इसलिए, त्रिज्या b/4 है। और तब यह स्पष्ट हो जाता है और

इसके केंद्र की स्थिति.

में रोमनस्क वास्तुकलाचित्र में दिखाया गया रूपांकन अक्सर पाया जाता है। यदि b अभी भी खिड़की की चौड़ाई को दर्शाता है, तो अर्धवृत्त की त्रिज्या R = b / 2 और r = b / 4 होगी। आंतरिक वृत्त की त्रिज्या p की गणना चित्र में दिखाए गए समकोण त्रिभुज से की जा सकती है। बिंदुयुक्त रेखा वृत्तों के स्पर्श बिंदु से गुजरने वाले इस त्रिभुज का कर्ण, b/4+p के बराबर है, एक भुजा b/4 के बराबर है, और दूसरी भुजा b/2-p के बराबर है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार हमारे पास है:

(बी/4+पी) 2 =(बी/4) 2 +(बी/4-पी) 2

बी 2 /16+ बीपी/2+पी 2 =बी 2 /16+बी 2 /4 - बीपी/2 +पी 2 ,

b से विभाजित करने और समान पद लाने पर, हमें प्राप्त होता है:

(3/2)पी=बी/4, पी=बी/6।

वन उद्योग में: निर्माण आवश्यकताओं के लिए, लॉग को बीम में काटा जाता है, और मुख्य कार्य जितना संभव हो उतना कम अपशिष्ट प्राप्त करना है। जब लकड़ी की मात्रा सबसे अधिक होगी तो अपशिष्ट की मात्रा सबसे कम होगी। अनुभाग में क्या होना चाहिए? जैसा कि समाधान से देखा जा सकता है, क्रॉस सेक्शन वर्गाकार होना चाहिए, और पाइथागोरस प्रमेयऔर अन्य विचार हमें ऐसा निष्कर्ष निकालने की अनुमति देते हैं।

सबसे बड़ी मात्रा में लकड़ी

काम

एक बेलनाकार लॉग से आपको सबसे बड़ी मात्रा का एक आयताकार बीम काटने की जरूरत है। इसका क्रॉस-सेक्शन किस आकार का होना चाहिए (चित्र 23)?

समाधान

यदि एक आयताकार खंड की भुजाएँ x और y हैं, तो पाइथागोरस प्रमेय द्वारा

एक्स 2 + वाई 2 = डी 2,

जहाँ d लॉग का व्यास है। किसी बीम का आयतन तब सबसे बड़ा होता है जब उसका क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र सबसे बड़ा होता है, यानी, जब xy अपने सबसे बड़े मूल्य तक पहुंचता है। लेकिन यदि xy सबसे बड़ा है, तो गुणनफल x 2 y 2 भी सबसे बड़ा होगा। चूंकि योग x 2 + y 2 अपरिवर्तित है, तो, जो पहले सिद्ध किया गया था उसके अनुसार, उत्पाद x 2 y 2 सबसे बड़ा है जब

एक्स 2 = वाई 2 या एक्स = वाई।

तो, बीम का क्रॉस-सेक्शन वर्गाकार होना चाहिए।

परिवहन कार्य(तथाकथित अनुकूलन समस्याएं; समस्याएं, जिनका समाधान हमें इस प्रश्न का उत्तर देने की अनुमति देता है: महान लाभ प्राप्त करने के लिए धन कैसे आवंटित किया जाए)

पहली नज़र में, कुछ खास नहीं: फर्श से छत तक की ऊंचाई को कई बिंदुओं पर मापें, कुछ सेंटीमीटर घटाएं ताकि कैबिनेट छत पर न टिके। ऐसा करने से फर्नीचर असेंबल करने की प्रक्रिया में दिक्कतें आ सकती हैं। आखिरकार, फर्नीचर निर्माता कैबिनेट को क्षैतिज स्थिति में रखकर फ्रेम को इकट्ठा करते हैं, और जब फ्रेम को इकट्ठा किया जाता है, तो वे इसे ऊर्ध्वाधर स्थिति में उठाते हैं। आइए कैबिनेट की साइड की दीवार पर नजर डालें। कैबिनेट की ऊंचाई फर्श से छत तक की दूरी से 10 सेमी कम होनी चाहिए, बशर्ते कि यह दूरी 2500 मिमी से अधिक न हो। और कैबिनेट की गहराई 700 मिमी है। 10 सेमी क्यों, 5 सेमी या 7 नहीं, और पाइथागोरस प्रमेय का इससे क्या लेना-देना है?

तो: साइड की दीवार 2500-100=2400 (मिमी) - संरचना की अधिकतम ऊंचाई।

फ़्रेम को उठाने की प्रक्रिया के दौरान, साइड की दीवार को लंबवत और तिरछे दोनों तरह से स्वतंत्र रूप से गुजरना चाहिए। द्वारा पाइथागोरस प्रमेय

एसी = √ एबी 2 + बीसी 2

एसी = √ 2400 2 + 700 2 = 2500 (मिमी)

यदि कैबिनेट की ऊंचाई 50 मिमी कम कर दी जाए तो क्या होगा?

एसी = √ 2450 2 + 700 2 = 2548 (मिमी)

विकर्ण 2548 मिमी. इसका मतलब है कि आप एक कोठरी स्थापित नहीं कर सकते (आप छत को बर्बाद कर सकते हैं)।

तड़ित - चालक।

यह ज्ञात है कि एक बिजली की छड़ उन सभी वस्तुओं को बिजली से बचाती है जिनकी आधार से दूरी इसकी ऊंचाई से दोगुनी से अधिक नहीं होती है। एक विशाल छत पर बिजली की छड़ की इष्टतम स्थिति निर्धारित करना आवश्यक है, जिससे इसकी न्यूनतम सुलभ ऊंचाई सुनिश्चित हो सके।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार एच 2 ≥ए 2 +बी 2 का मतलब है h≥(a 2 +बी 2) 1/2

हमें तत्काल अपने ग्रीष्मकालीन कुटीर में रोपाई के लिए ग्रीनहाउस बनाने की आवश्यकता है।

बोर्डों से 1m1m वर्ग बनाया जाता है। 1.5m1.5m मापने वाले फिल्म अवशेष हैं। वर्ग के केंद्र में किस ऊंचाई पर पट्टी लगाई जानी चाहिए ताकि फिल्म इसे पूरी तरह से कवर कर सके?

1) ग्रीनहाउस विकर्ण d==1.4;0.7

2) फिल्म विकर्ण डी 1= 2,12 1,06

3) रेल की ऊंचाई एक्स= 0,7

निष्कर्ष

शोध के परिणामस्वरूप, मुझे पाइथागोरस प्रमेय के अनुप्रयोग के कुछ क्षेत्रों का पता चला। मैंने इस विषय पर साहित्यिक स्रोतों और इंटरनेट से बहुत सारी सामग्री एकत्र और संसाधित की है। मैंने पाइथागोरस और उसके प्रमेय के बारे में कुछ ऐतिहासिक जानकारी का अध्ययन किया। हाँ, वास्तव में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके आप न केवल गणितीय समस्याओं को हल कर सकते हैं। पाइथागोरस प्रमेय ने निर्माण और वास्तुकला, मोबाइल संचार और साहित्य में अपना आवेदन पाया है।

पाइथागोरस प्रमेय के बारे में जानकारी के स्रोतों का अध्ययन और विश्लेषण

पता चला है कि:

ए) प्रमेय पर गणितज्ञों और गणित प्रेमियों का विशेष ध्यान इसकी सादगी, सुंदरता और महत्व पर आधारित है;

बी)कई शताब्दियों तक, पाइथागोरस प्रमेय ने दिलचस्प और महत्वपूर्ण गणितीय खोजों (फर्मेट के प्रमेय, आइंस्टीन के सापेक्षता के सिद्धांत) के लिए एक प्रेरणा के रूप में कार्य किया है;

वी) पाइथागोरस प्रमेय - गणित की सार्वभौमिक भाषा का अवतार है, जो दुनिया भर में मान्य है;

जी) प्रमेय का दायरा काफी व्यापक है और आम तौर पर इसे पर्याप्त पूर्णता के साथ इंगित नहीं किया जा सकता है;

डी) पाइथागोरस प्रमेय के रहस्य मानवता को उत्साहित करते रहते हैं और इसलिए हममें से प्रत्येक को उनकी खोज में शामिल होने का मौका दिया जाता है।

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