भाव, अभिव्यक्ति रूपांतरण

भाजक में तर्कहीनता से कैसे छुटकारा पाएं? तरीके, उदाहरण, समाधान

8 वीं कक्षा में, बीजगणित के पाठों में, तर्कहीन भावों के परिवर्तन के विषय के ढांचे के भीतर, एक बातचीत शुरू होती है भिन्न के हर में अपरिमेयता से मुक्ति. इस लेख में, हम विश्लेषण करेंगे कि यह किस प्रकार का परिवर्तन है, इस बात पर विचार करें कि कौन सी कार्रवाइयाँ हमें एक अंश के भाजक में तर्कहीनता से छुटकारा पाने की अनुमति देती हैं, और विस्तृत उदाहरणों के साथ विशिष्ट उदाहरणों का समाधान देती हैं।

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किसी भिन्न के हर में अपरिमेयता से छुटकारा पाने का क्या अर्थ है?

पहले आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि भाजक में अपरिमेयता क्या है और अंश के भाजक में अपरिमेयता से छुटकारा पाने का क्या अर्थ है। स्कूल की पाठ्यपुस्तकों की जानकारी से हमें इसमें मदद मिलेगी। निम्नलिखित बिंदु ध्यान देने योग्य हैं।

जब अंश रिकॉर्ड में भाजक में मूल चिह्न (मूल) होता है, तो वे कहते हैं कि भाजक में शामिल है तर्कहीनता. यह शायद इस तथ्य के कारण है कि मूल चिह्नों के साथ लिखी गई संख्याएँ अक्सर होती हैं। एक उदाहरण के रूप में, आइए भिन्नों को लें, , जाहिर है, उनमें से प्रत्येक के भाजक में जड़ का चिह्न होता है, और इसलिए तर्कहीनता होती है। हाई स्कूल में, अंशों के साथ एक बैठक अपरिहार्य है, जिसके भाजक की तर्कहीनता को न केवल वर्गमूल के संकेतों से, बल्कि घनमूल, चौथी डिग्री की जड़ों आदि के संकेतों से भी परिचित कराया जाता है। यहाँ ऐसे अंशों के उदाहरण दिए गए हैं: .

उपरोक्त जानकारी और "मुक्ति" शब्द के अर्थ को ध्यान में रखते हुए, निम्नलिखित परिभाषा को बहुत स्वाभाविक रूप से माना जाता है:

परिभाषा।

भिन्न के हर में अपरिमेयता से छूट- यह एक परिवर्तन है जिसमें भाजक में अपरिमेयता के साथ एक अंश को समान रूप से समान भिन्न द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है जिसमें भाजक में मूल चिह्न नहीं होते हैं।

आप अक्सर सुन सकते हैं कि वे खुद को मुक्त करने के लिए नहीं, बल्कि अंश के भाजक में तर्कहीनता से छुटकारा पाने के लिए कहते हैं। अर्थ नहीं बदलता।

उदाहरण के लिए, यदि हम एक भिन्न से भिन्न की ओर बढ़ते हैं जिसका मान मूल भिन्न के मान के बराबर होता है और जिसके हर में मूल चिन्ह नहीं होता है, तो हम कह सकते हैं कि भिन्न के हर में हमने स्वयं को अपरिमेयता से मुक्त कर लिया है। . एक अन्य उदाहरण: एक भिन्न को एक समान समान भिन्न से बदलना भिन्न के हर में अपरिमेयता से मुक्ति मिलती है।

तो, प्रारंभिक जानकारी प्राप्त होती है। यह पता लगाना बाकी है कि अंश के भाजक में तर्कहीनता से छुटकारा पाने के लिए क्या किया जाना चाहिए।

खुद को तर्कहीनता से मुक्त करने के तरीके, उदाहरण

आमतौर पर, भिन्न के हर में अपरिमेयता से छुटकारा पाने के लिए, दो अंश रूपांतरण: अंश और हर को एक शून्येतर संख्या या व्यंजक से गुणा करें और व्यंजक को हर में बदल दें। नीचे हम देखेंगे कि अंश के हर में अपरिमेयता से छुटकारा पाने के मुख्य तरीकों के हिस्से के रूप में इन अंश परिवर्तनों का उपयोग कैसे किया जाता है। आइए निम्नलिखित मामलों पर विचार करें।

सबसे सरल मामलों में, अभिव्यक्ति को भाजक में बदलने के लिए पर्याप्त है। एक उदाहरण एक भिन्न है जिसका हर नौ का मूल है। इस मामले में, इसे 3 के मान से बदलने पर भाजक अपरिमेय होने से मुक्त हो जाता है।

अधिक जटिल मामलों में, कुछ गैर-शून्य संख्या या अभिव्यक्ति द्वारा अंश के अंश और भाजक को पूर्व-गुणा करना आवश्यक है, जो बाद में आपको अंश के भाजक को एक ऐसे रूप में बदलने की अनुमति देता है जिसमें मूल चिह्न नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, किसी भिन्न के अंश और हर को से गुणा करने पर भिन्न बन जाती है , और फिर हर में व्यंजक को मूल x+1 के चिह्नों के बिना व्यंजक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। इस प्रकार, हर में अपरिमेयता से मुक्त होने के बाद, भिन्न का रूप ले लेता है।

यदि हम सामान्य मामले के बारे में बात करते हैं, तो भिन्न के भाजक में तर्कहीनता से छुटकारा पाने के लिए, विभिन्न स्वीकार्य परिवर्तनों का सहारा लेना पड़ता है, कभी-कभी काफी विशिष्ट।

और अब विस्तार से।

किसी व्यंजक को भिन्न के हर में बदलना

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, भिन्न के हर में अपरिमेयता से छुटकारा पाने का एक तरीका हर को बदलना है। आइए उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण।

भिन्न के हर में अपरिमेयता से छुटकारा पाएं .

समाधान।

भाजक में कोष्ठकों का विस्तार करते हुए, हम व्यंजक पर पहुँचते हैं . चलिए भिन्नों की ओर बढ़ते हैं . जड़ों के संकेतों के तहत मूल्यों की गणना करना, हमारे पास है . जाहिर है, परिणामी अभिव्यक्ति में यह संभव है, जो एक अंश देता है, जो 1/16 के बराबर है। इसलिए हमने भाजक में तर्कहीनता से छुटकारा पा लिया।

आमतौर पर समाधान बिना किसी स्पष्टीकरण के संक्षेप में लिखा जाता है, क्योंकि किए गए कार्य काफी सरल होते हैं:

उत्तर:

.

उदाहरण।

समाधान।

जब हमने जड़ों के गुणों का उपयोग करके अपरिमेय व्यंजकों के रूपांतरण के बारे में बात की, तो हमने देखा कि किसी भी व्यंजक A के लिए भी n के लिए (हमारे मामले में n=2 ) व्यंजक को |A| मूल व्यंजक के चरों के पूरे ODZ पर। इसलिए, आप दिए गए भिन्न का निम्न परिवर्तन कर सकते हैं: , जो भाजक में तर्कहीनता से मुक्त करता है।

उत्तर:

.

अंश और हर को मूल से गुणा करना

जब किसी भिन्न के हर में व्यंजक का रूप हो, जहाँ व्यंजक A में मूल चिह्न नहीं हों, तब अंश और हर को इससे गुणा करने पर हर में अपरिमेयता समाप्त हो जाती है। यह क्रिया संभव है, क्योंकि यह मूल अभिव्यक्ति के चरों के ODZ पर लुप्त नहीं होती है। इस मामले में, भाजक में, एक अभिव्यक्ति प्राप्त की जाती है जो मूल संकेतों के बिना रूप में परिवर्तित करना आसान है: . हम उदाहरणों के साथ इस दृष्टिकोण का अनुप्रयोग दिखाते हैं।

उदाहरण।

अंश के भाजक में तर्कहीनता से छुटकारा पाएं: ए), बी)।

समाधान।

a) भिन्न के अंश और हर को तीन के वर्गमूल से गुणा करने पर, हम पाते हैं .

बी) भाजक में वर्गमूल चिन्ह से छुटकारा पाने के लिए, हम अंश के अंश और भाजक को गुणा करते हैं, जिसके बाद हम हर में परिवर्तन करते हैं:

उत्तर:

ए), बी) .

ऐसे मामले में जब भाजक में कारक होते हैं या जहां एम और एन कुछ प्राकृतिक संख्याएं होती हैं, अंश और हर को ऐसे कारक से गुणा किया जाना चाहिए ताकि उसके बाद भाजक में अभिव्यक्ति को रूप में परिवर्तित किया जा सके या जहां के है कुछ प्राकृतिक संख्या, क्रमशः। तब भाजक में अपरिमेयता के बिना एक अंश को पास करना आसान होता है। हम उदाहरणों की सहायता से हर में अपरिमेयता से छुटकारा पाने की वर्णित विधि के अनुप्रयोग को दिखाएंगे।

उदाहरण।

एक अंश के भाजक में तर्कहीनता से छुटकारा पाएं: ए), बी)।

समाधान।

a) 3 से बड़ी और 5 से विभाज्य निकटतम प्राकृतिक संख्या 5 है। छह के सूचक को पांच के बराबर होने के लिए, भाजक में अभिव्यक्ति को गुणा किया जाना चाहिए। नतीजतन, अंश के भाजक में तर्कहीनता से मुक्ति उस अभिव्यक्ति से सुगम होगी जिसके द्वारा अंश और भाजक को गुणा किया जाना चाहिए:

बी) यह स्पष्ट है कि निकटतम प्राकृतिक संख्या जो 15 से अधिक है और शेष के बिना 4 से विभाज्य है, 16 है। भाजक में घातांक को 16 के बराबर करने के लिए, आपको वहां स्थित व्यंजक को गुणा करना होगा। इस प्रकार, मूल अंश के अंश और हर को गुणा करके (ध्यान दें कि इस अभिव्यक्ति का मान शून्य के बराबर नहीं है जिसके लिए वास्तविक x) भाजक में अपरिमेयता से छुटकारा दिलाएगा:

उत्तर:

ए) , बी) .

आसन्न व्यंजक द्वारा गुणन

अंश के हर में अपरिमेयता से छुटकारा पाने का अगला तरीका उन मामलों को शामिल करता है जहां भाजक में , , , या के भाव होते हैं। इन मामलों में, अंश के हर में अपरिमेयता से छुटकारा पाने के लिए, अंश के अंश और भाजक को तथाकथित से गुणा करना आवश्यक है संयुग्मित अभिव्यक्ति.

यह पता लगाना बाकी है कि उपरोक्त के लिए कौन से भाव संयुग्मित हैं। किसी व्यंजक के लिए, संलग्न व्यंजक है, और किसी व्यंजक के लिए, संलग्न व्यंजक है। इसी प्रकार, एक व्यंजक के लिए, संयुग्मी है, और एक व्यंजक के लिए, संयुग्मी है। और व्यंजक के लिए, संयुग्मी है, और व्यंजक के लिए, संयुग्मी है। अतः, इस व्यंजक के संयुग्मी व्यंजक दूसरे पद से पहले के चिह्न से भिन्न है।

आइए देखें कि किसी व्यंजक को उसके संयुग्मी व्यंजक से गुणा करने पर क्या परिणाम मिलता है। उदाहरण के लिए, उत्पाद पर विचार करें . इसे वर्गों के अंतर से प्रतिस्थापित किया जा सकता है, अर्थात, जहां से आप अभिव्यक्ति a−b तक आगे बढ़ सकते हैं, जिसमें मूल चिह्न नहीं होते हैं।

अब यह स्पष्ट हो जाता है कि अंश के अंश और भाजक को हर के संयुग्मित अभिव्यक्ति से गुणा करने से आप अंश के हर में अपरिमेयता से कैसे छुटकारा पा सकते हैं। आइए विशिष्ट उदाहरणों के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

अभिव्यक्ति को एक अंश के रूप में व्यक्त करें, जिसके हर में एक कट्टरपंथी नहीं है: ए), बी)।

समाधान।

क) हर के संयुग्मी व्यंजक है। हम इसके द्वारा अंश और भाजक को गुणा करते हैं, जो हमें भिन्न के भाजक में अपरिमेयता से छुटकारा पाने की अनुमति देगा:

बी) अभिव्यक्ति के लिए, संयुग्म है। अंश और हर को इससे गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है

पहले भाजक से ऋण चिह्न को हटाना संभव था, और उसके बाद ही अंश और भाजक को अभिव्यक्ति संयुग्मित भाजक से गुणा करें:

उत्तर:

ए) , बी) .

कृपया ध्यान दें: अंश के अंश और भाजक को चर के साथ एक अभिव्यक्ति द्वारा गुणा करते समय, ध्यान रखा जाना चाहिए कि यह मूल अभिव्यक्ति के लिए DPV से चर मानों के किसी भी सेट के लिए गायब न हो।

उदाहरण।

भिन्न के हर में अपरिमेयता से छुटकारा पाएं।

समाधान।

आरंभ करने के लिए, आइए चर x के स्वीकार्य मानों (ODZ) का क्षेत्रफल ज्ञात करें। यह स्थितियों x≥0 और , से निर्धारित होता है, जिससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि ODZ समुच्चय x≥0 है।

भाजक के संयुग्मी व्यंजक है। हम भिन्न के अंश और हर को इससे गुणा कर सकते हैं, बशर्ते कि , जो ODZ पर स्थिति x≠16 के समतुल्य हो। साथ ही, हमारे पास है

और x=16 के लिए हमारे पास है .

इस प्रकार, ODZ से चर x के सभी मानों के लिए, x=16 को छोड़कर, , और x=16 के लिए हमारे पास है।

उत्तर:

क्यूब्स के योग और क्यूब्स के अंतर के फार्मूले का उपयोग करना

पिछले पैराग्राफ से, हमने सीखा है कि एक अंश के अंश और हर का गुणन हर के संयुग्मित अभिव्यक्ति द्वारा किया जाता है ताकि वर्ग सूत्र के अंतर को आगे लागू किया जा सके और इस तरह भाजक में तर्कहीनता से छुटकारा पाया जा सके। कुछ मामलों में, अन्य संक्षिप्त गुणन सूत्र भी भाजक में तर्कहीनता से छुटकारा पाने के लिए उपयोगी होते हैं। उदाहरण के लिए, घनों के अंतर का सूत्र a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+b 2)आपको तर्कहीनता से छुटकारा पाने की अनुमति देता है जब एक अंश के भाजक में फॉर्म के घनमूल के साथ भाव होते हैं या , जहाँ A और B कुछ संख्याएँ या व्यंजक हैं। ऐसा करने के लिए, भिन्न के अंश और हर को योग के अधूरे वर्ग से गुणा किया जाता है या अंतर, क्रमशः। इसी तरह क्यूब फॉर्मूले का योग पर आजमाया जाता है a 3 +b 3 =(a+b) (a 2 −a b+b 2).

उदाहरण।

एक अंश के भाजक में तर्कहीनता से छुटकारा पाएं: ए), बी) .

समाधान।

ए) यह अनुमान लगाना आसान है कि इस मामले में, भाजक में अपरिमेयता से छुटकारा पाने से अंश और भाजक को संख्याओं के योग के अधूरे वर्ग से गुणा करने की अनुमति मिलती है और , क्योंकि भविष्य में यह हमें अभिव्यक्ति को बदलने की अनुमति देगा घन के सूत्र अंतर के अनुसार भाजक:

बी) एक अंश के हर में अभिव्यक्ति के रूप में दर्शाया जा सकता है , जिससे यह स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है कि यह संख्या 2 और के बीच के अंतर का एक अधूरा वर्ग है। इस प्रकार, यदि अंश के अंश और भाजक को योग से गुणा किया जाता है, तो भाजक को घनों के सूत्र योग के अनुसार परिवर्तित किया जा सकता है, जिससे आप भिन्न के हर में तर्कहीनता से छुटकारा पा सकेंगे। यह शर्त के तहत किया जा सकता है, जो शर्त के बराबर है और आगे x≠−8 :

और x=−8 को मूल भिन्न में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है .

इस प्रकार, मूल भिन्न के लिए ODZ से सभी x के लिए (इस स्थिति में, यह समुच्चय R है), x=−8 को छोड़कर, हमारे पास है , और x=8 के लिए हमारे पास है .

उत्तर:

विभिन्न विधियों का उपयोग करना

अधिक जटिल उदाहरणों में, यह आम तौर पर हर में तर्कहीनता से छुटकारा पाने के लिए एक क्रिया में काम नहीं करता है, लेकिन आपको ऊपर चर्चा की गई विधियों सहित, विधि के बाद विधि को लगातार लागू करना होगा। कभी-कभी कुछ गैर-मानक समाधानों की आवश्यकता हो सकती है। चर्चा के तहत विषय पर काफी दिलचस्प कार्य यू.एन. कोलयागिन द्वारा लिखित पाठ्यपुस्तक में पाए जा सकते हैं। ग्रंथ सूची।

1. बीजगणित:पाठयपुस्तक 8 कोशिकाओं के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थान / [यू। एन मकारचेव, एन जी मिंड्युक, के आई नेशकोव, एस बी सुवोरोवा]; ईडी। एस ए Telyakovsky। - 16वाँ संस्करण। - एम। : शिक्षा, 2008. - 271 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-019243-9।
2. मोर्डकोविच ए जी।बीजगणित। 8 वीं कक्षा। दोपहर 2 बजे भाग 1. शैक्षिक संस्थानों / ए जी मोर्डकोविच के छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक। - 11वां संस्करण, मिटा दिया गया। - एम .: मेनमोज़िना, 2009. - 215 पी .: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-01155-2।
3. बीजगणितऔर गणितीय विश्लेषण की शुरुआत। ग्रेड 10: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थान: बुनियादी और प्रोफ़ाइल। स्तर / [यू। एम. कोलयागिन, एम.वी. तकाचेवा, एन.ई. फेडोरोवा, एम.आई. शाबुनिन]; ईडी। ए बी झिझचेंको। - तीसरा संस्करण। - एम .: ज्ञानोदय, 2010.- 368 पी। : बीमार - आईएसबीएन 978-5-09-022771-1।

डैनी पेरिक कैंपाना

रुचि रखने वाले स्कूली बच्चों के लिए एक और दिलचस्प किताब, दुर्भाग्य से रूसी में अनुवादित नहीं है, चिली के गणित शिक्षक डैनी पेरिच कैम्पाना द्वारा "डैनियल मैथमेटिकल एडवेंचर्स" (लास एवेंटुरास मेटमैटिकस डी डैनियल) पुस्तक है, जो एक बहुत ही असाधारण और दिलचस्प व्यक्ति है। वह न केवल बच्चों को पढ़ाते हैं, बल्कि गाने भी लिखते हैं, इंटरनेट पर गणित की विभिन्न शिक्षण सामग्री डालते हैं। वे यूट्यूब और साइट http://www.sectormatematica.cl/ पर मिल सकते हैं (बेशक, सभी सामग्री स्पेनिश में हैं)।

यहाँ मैं डैनी पेरिक की किताब का एक अध्याय पोस्ट कर रहा हूँ। यह मुझे स्कूली बच्चों के लिए काफी रोचक और उपयोगी लगा। यह स्पष्ट करने के लिए कि हम किस बारे में बात कर रहे हैं, मैं कहूंगा कि डेनियल और कैमिला एक स्कूल में काम करते हैं, वे शिक्षक हैं।

तर्कहीनता से छुटकारा पाने का रहस्य

डैनियल ने कहा, "कैमिला, मुझे अब बहुत सारी समस्याएं हैं जब मैं यह समझाने की कोशिश करता हूं कि पाठ में हम किस चीज का उपयोग कर रहे हैं।"

"मैं वास्तव में समझ नहीं पा रहा हूं कि आप किस बारे में बात कर रहे हैं।

- मैं बात कर रहा हूं कि सभी स्कूल पाठ्यपुस्तकों और यहां तक ​​​​कि विश्वविद्यालय स्तर पर किताबों में क्या है। मुझे अभी भी कोई संदेह नहीं है: हमें भाजक में तर्कहीनता से छुटकारा पाने की आवश्यकता क्यों है? और मुझे यह बताने से नफरत है कि मुझे इतने लंबे समय तक क्या समझ में नहीं आया, डैनियल ने शिकायत की।

"मैं यह भी नहीं जानता कि यह कहाँ से आता है और इसकी आवश्यकता क्यों है, लेकिन इसके लिए कुछ तार्किक व्याख्या होनी चाहिए।

- एक बार मैंने एक वैज्ञानिक पत्रिका में पढ़ा कि भाजक में तर्कहीनता से छुटकारा पाने से आप अधिक सटीकता के साथ परिणाम प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन मैंने इसे फिर कभी नहीं देखा और मुझे यकीन नहीं है कि यह मामला है।

हम इसकी जांच क्यों नहीं करते? कैमिला ने पूछा।

"आप सही कह रहे हैं," डेनियल ने सहमति व्यक्त की। "शिकायत करने के बजाय, आपको अपने निष्कर्ष निकालने की कोशिश करनी चाहिए। फिर मेरी मदद करो...

"बेशक, अब मुझे खुद इसमें दिलचस्पी है।

"हमें कुछ भाव लेने चाहिए और भाजक में तर्कहीनता से छुटकारा पाना चाहिए, फिर जड़ को उसके मूल्य से बदलना चाहिए और हर में तर्कहीनता से छुटकारा पाने से पहले और बाद में अभिव्यक्ति का परिणाम खोजना चाहिए और देखें कि क्या कुछ बदलता है।

"बेशक," कैमिला ने सहमति व्यक्त की। - चलो उसे करते हैं।

"उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति लें," डैनियल ने कहा और जो कुछ हो रहा था उसे लिखने के लिए एक कागज़ लिया। - अंश और हर को गुणा करें और प्राप्त करें।

कैमिला ने सुझाव दिया, "यह सही होगा और निष्कर्ष निकालने में हमारी मदद कर सकता है अगर हम इसके बराबर अन्य तर्कहीन भावों पर विचार करें।"

- मैं सहमत हूं, - डैनियल ने कहा, - मैं अंश और भाजक को से विभाजित करूंगा, और आप उन्हें गुणा करेंगे।

- मैं कामयाब । और आप?

"मेरे पास है," डैनियल ने उत्तर दिया। - अब हम मूल अभिव्यक्ति और परिणामी अभिव्यक्ति की गणना करते हैं, इसे कैलकुलेटर द्वारा दिए गए सभी दशमलव स्थानों के साथ इसके मूल्य के साथ बदलते हैं। हम पाते हैं:

कैमिला ने कहा, "मुझे कुछ भी असामान्य नहीं दिख रहा है।" "मैं किसी तरह के अंतर की उम्मीद कर रहा था जो तर्कहीनता से छुटकारा पाने का औचित्य साबित करेगा।

"जैसा कि मैंने आपको बताया, मैंने एक बार दृष्टिकोण के संबंध में इसके बारे में पढ़ा। आप क्या कहेंगे यदि हम कम परिशुद्ध संख्या में बदल जाएं, जैसे ?

आइए कोशिश करें और देखें कि क्या होता है।

भिन्नों के साथ समीकरणों को हल करनाआइए उदाहरण देखें। उदाहरण सरल और व्याख्यात्मक हैं। उनकी मदद से आप सबसे अधिक समझने योग्य तरीके से समझ सकते हैं।
उदाहरण के लिए, आपको एक साधारण समीकरण x/b + c = d को हल करने की आवश्यकता है।

इस प्रकार के समीकरण को रैखिक कहा जाता है, क्योंकि भाजक में केवल संख्याएँ होती हैं।

समीकरण के दोनों पक्षों को b से गुणा करके हल किया जाता है, फिर समीकरण x = b*(d – c) का रूप ले लेता है, अर्थात बायीं ओर के भिन्न का हर घटाया गया है।

उदाहरण के लिए, भिन्नात्मक समीकरण को कैसे हल करें:
एक्स/5+4=9
हम दोनों भागों को 5 से गुणा करते हैं। हम पाते हैं:
एक्स+20=45
एक्स=45-20=25

एक और उदाहरण जहां अज्ञात भाजक में है:

इस प्रकार के समीकरणों को भिन्नात्मक परिमेय या केवल भिन्नात्मक कहा जाता है।

हम अंशों से छुटकारा पाकर एक भिन्नात्मक समीकरण को हल करेंगे, जिसके बाद यह समीकरण, सबसे अधिक बार, एक रेखीय या द्विघात में बदल जाता है, जिसे सामान्य तरीके से हल किया जाता है। आपको केवल निम्नलिखित बिंदुओं को ध्यान में रखना चाहिए:

• एक चर का मान जो भाजक को 0 में बदल देता है, वह मूल नहीं हो सकता;
• आप समीकरण =0 द्वारा समीकरण को विभाजित या गुणा नहीं कर सकते।

अनुमेय मूल्यों के क्षेत्र (ODZ) के रूप में ऐसी अवधारणा यहाँ लागू होती है - ये समीकरण की जड़ों के मान हैं जिनके लिए समीकरण समझ में आता है।

इस प्रकार, समीकरण को हल करने के लिए, जड़ों को खोजना आवश्यक है, और फिर ODZ के अनुपालन के लिए उनकी जाँच करें। वे जड़ें जो हमारे डीएचएस के अनुरूप नहीं हैं, उन्हें उत्तर से बाहर रखा गया है।

उदाहरण के लिए, आपको एक भिन्नात्मक समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

उपरोक्त नियम के आधार पर, x = 0 नहीं हो सकता, अर्थात इस मामले में ODZ: x - शून्य के अलावा कोई भी मान।

हम समीकरण के सभी पदों को x से गुणा करके भाजक से छुटकारा पा लेते हैं

और सामान्य समीकरण को हल करें

5x - 2x = 1
3x = 1
एक्स = 1/3

उत्तर: एक्स = 1/3

आइए समीकरण को और अधिक जटिल हल करें:

ODZ भी यहाँ मौजूद है: x -2।

इस समीकरण को हल करते हुए, हम सब कुछ एक दिशा में स्थानांतरित नहीं करेंगे और अंशों को एक सामान्य भाजक में लाएंगे। हम तुरंत समीकरण के दोनों पक्षों को एक ऐसे व्यंजक से गुणा करते हैं जो एक ही बार में सभी हरों को कम कर देगा।

हर को कम करने के लिए, आपको बाईं ओर x + 2 से और दाईं ओर 2 से गुणा करना होगा। इसलिए, समीकरण के दोनों पक्षों को 2 (x + 2) से गुणा करना होगा:

यह भिन्नों का सबसे सामान्य गुणन है, जिसके बारे में हम पहले ही ऊपर चर्चा कर चुके हैं।

हम एक ही समीकरण लिखते हैं, लेकिन थोड़े अलग तरीके से।

बाईं ओर (x + 2) से घटाया जाता है, और दाईं ओर से 2 घटाया जाता है। कमी के बाद, हमें सामान्य रैखिक समीकरण मिलता है:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, जो हमारे ODZ से मेल खाता है

उत्तर: एक्स = 2।

भिन्नों के साथ समीकरणों को हल करनाजितना मुश्किल लग सकता है उतना मुश्किल नहीं है। इस लेख में हमने इसे उदाहरणों के साथ दिखाया है। अगर आपको कोई परेशानी हो रही है अंशों के साथ समीकरणों को कैसे हल करें, फिर टिप्पणियों में सदस्यता समाप्त करें।

इस विषय में, हम अपरिमेयता के साथ सीमाओं के उपरोक्त तीनों समूहों पर विचार करेंगे। चलिए $\frac(0)(0)$ के रूप की अनिश्चितता वाली सीमाओं से शुरू करते हैं।

अनिश्चितता प्रकटीकरण $\frac(0)(0)$।

इस प्रकार के मानक उदाहरणों को हल करने की योजना में आमतौर पर दो चरण होते हैं:

• हम उस अतार्किकता से छुटकारा पा लेते हैं जो तथाकथित "संलग्न" अभिव्यक्ति से गुणा करके अनिश्चितता का कारण बनती है;
• यदि आवश्यक हो, तो हम अंश या भाजक (या दोनों) में अभिव्यक्ति को कारकों में विघटित करते हैं;
• हम उन कारकों को कम करते हैं जो अनिश्चितता की ओर ले जाते हैं और सीमा के वांछित मूल्य की गणना करते हैं।

ऊपर प्रयुक्त "संलग्न अभिव्यक्ति" शब्द को उदाहरणों में विस्तार से समझाया जाएगा। अब तक, इस पर विस्तार से रहने का कोई कारण नहीं है। सामान्य तौर पर, आप संयुग्म अभिव्यक्ति का उपयोग किए बिना, दूसरे तरीके से जा सकते हैं। कभी-कभी एक अच्छी तरह से चुने गए प्रतिस्थापन से तर्कहीनता से छुटकारा मिल सकता है। मानक परीक्षणों में ऐसे उदाहरण दुर्लभ हैं, इसलिए हम प्रतिस्थापन का उपयोग करने के लिए केवल एक उदाहरण संख्या 6 पर विचार करेंगे (इस विषय का दूसरा भाग देखें)।

हमें कुछ सूत्रों की आवश्यकता होगी, जिन्हें मैं नीचे लिखूंगा:

\begin(equation) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(equation) \begin(equation) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2) +ab+b^2) \end(समीकरण) \begin(equation) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(समीकरण) \begin (समीकरण) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(समीकरण)

इसके अलावा, हम मानते हैं कि पाठक द्विघात समीकरणों को हल करने के सूत्र जानता है। अगर $x_1$ और $x_2$ वर्ग ट्रिनोमियल $ax^2+bx+c$ की जड़ें हैं, तो इसे निम्न सूत्र का उपयोग करके कारक बनाया जा सकता है:

\begin(equation) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(समीकरण)

सूत्र (1)-(5) मानक समस्याओं को हल करने के लिए काफी हैं, जिसकी ओर अब हम चलते हैं।

उदाहरण 1

खोजें $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$।

चूंकि $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ और $\lim_(x\ से 3) (x-3)=3-3=0$, तो दी गई सीमा में हमारे पास $\frac(0)(0)$ के रूप की अनिश्चितता है। $\sqrt(7-x)-2$ का अंतर हमें इस अनिश्चितता को प्रकट करने से रोकता है। ऐसी तर्कहीनताओं से छुटकारा पाने के लिए, तथाकथित "संलग्न अभिव्यक्ति" द्वारा गुणा किया जाता है। अब हम विचार करेंगे कि ऐसा गुणन कैसे कार्य करता है। $\sqrt(7-x)-2$ को $\sqrt(7-x)+2$ से गुणा करें:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

कोष्ठक का विस्तार करने के लिए, हम $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ को उल्लेखित सूत्र के दाईं ओर प्रतिस्थापित करते हुए लागू करते हैं:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x $$

जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि आप अंश को $\sqrt(7-x)+2$ से गुणा करते हैं, तो अंश में मूल (अर्थात अपरिमेयता) गायब हो जाता है। यह व्यंजक $\sqrt(7-x)+2$ होगा संयुग्मव्यंजक $\sqrt(7-x)-2$ के लिए। हालाँकि, हम केवल अंश को $\sqrt(7-x)+2$ से नहीं ले सकते हैं और गुणा नहीं कर सकते हैं, क्योंकि यह अंश $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$ को बदल देगा, जो सीमा के अंतर्गत है। आपको एक ही समय में अंश और भाजक दोनों को गुणा करना होगा:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \बाएं|\frac(0)(0)\दाएं|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

अब याद रखें $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ और कोष्ठक का विस्तार करें। और कोष्ठक खोलने और थोड़ा परिवर्तन $3-x=-(x-3)$ के बाद, हम अंश को $x-3$ से कम करते हैं:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\to 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

अनिश्चितता $\frac(0)(0)$ चली गई है। अब आप इस उदाहरण का उत्तर आसानी से प्राप्त कर सकते हैं:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

मैं ध्यान देता हूं कि संयुग्म अभिव्यक्ति इसकी संरचना को बदल सकती है - यह इस बात पर निर्भर करता है कि इसे किस प्रकार की तर्कहीनता को दूर करना चाहिए। उदाहरण #4 और #5 में (इस विषय का दूसरा भाग देखें), एक भिन्न प्रकार की संयुग्मी अभिव्यक्ति का उपयोग किया जाएगा।

उत्तर: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$।

उदाहरण #2

खोजें $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$।

चूँकि $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ तथा $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, तो हम हम $\frac(0)(0)$ के रूप की अनिश्चितता से निपट रहे हैं। आइए इस अंश के हर में अपरिमेयता से छुटकारा पाएं। ऐसा करने के लिए, अंश $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ में अंश और हर दोनों को जोड़ें। व्यंजक $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ हर के संयुग्मी:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\बाएं|\frac(0 )(0)\दाएं|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) $$

दोबारा, उदाहरण संख्या 1 के रूप में, आपको विस्तार करने के लिए कोष्ठकों का उपयोग करने की आवश्यकता है। उल्लिखित सूत्र के दाईं ओर $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें हर के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति मिलती है:

$$ \बाएं(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\दाएं)\बाएं(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ दाएं)=\\ =\बाएं(\sqrt(x^2+5)\दाएं)^2-\बाएं(\sqrt(7x^2-19)\दाएं)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

आइए अपनी सीमा पर वापस जाएं:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(एक्स^2-4) $$

उदाहरण संख्या 1 में, संयुग्मी व्यंजक से गुणा करने के लगभग तुरंत बाद, अंश कम हो गया था। यहां, कटौती से पहले, $3x^2-5x-2$ और $x^2-4$ के भावों को कारक बनाना आवश्यक है, और उसके बाद ही कमी के लिए आगे बढ़ें। एक्सप्रेशन $3x^2-5x-2$ को गुणनखंडित करने के लिए आपको उपयोग करने की आवश्यकता है। सबसे पहले, आइए द्विघात समीकरण $3x^2-5x-2=0$ को हल करें:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \शुरू (संरेखित) और डी=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ और x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(गठबंधन) $$

$x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ में , हमारे पास है:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\right)(x-2)=\left(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\right)(x-2) =(3x+1)( एक्स-2). $$

अब एक्सप्रेशन $x^2-4$ को फैक्टर करने का समय आ गया है। $a=x$, $b=2$ को इसमें प्रतिस्थापित करते हुए , का उपयोग करते हैं:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

आइए प्राप्त परिणामों का उपयोग करें। चूंकि $x^2-4=(x-2)(x+2)$ और $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, फिर:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2) -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x) ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

कोष्ठक $x-2$ से घटाने पर हमें मिलता है:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^) 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

सभी! अनिश्चितता दूर हो गई है। एक और कदम और हम जवाब पर आते हैं:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2 ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

उत्तर: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4)$।

निम्नलिखित उदाहरण में, उस मामले पर विचार करें जब एक भिन्न के अंश और हर दोनों में अपरिमेयता मौजूद होगी।

उदाहरण #3

खोजें $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))$।

चूंकि $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ और $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, तो हमारे पास $ रूप की अनिश्चितता है \frac (0)(0)$। चूंकि इस मामले में जड़ें भाजक और अंश दोनों में मौजूद हैं, अनिश्चितता से छुटकारा पाने के लिए, आपको एक बार में दो कोष्ठकों से गुणा करना होगा। सबसे पहले, अभिव्यक्ति के लिए $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ अंश से संयुग्मित करें। और दूसरी बात, व्यंजक $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ हर से संयुग्मित करें।

$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=\बाएं|\frac(0)(0)\दाएं|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))((\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2) -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(aligned) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(संरेखित) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

अभिव्यक्ति के लिए $x^2-8x+15$ हमें मिलता है:

$$ x^2-8x+15=0; 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10) (2) = 5। \end(संरेखित)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

प्राप्त विस्तार को प्रतिस्थापित करना $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ तथा $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ माना सीमा, होगा:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\to 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5) \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

उत्तर: $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=-6$.

अगले (दूसरे) भाग में, हम कुछ और उदाहरणों पर विचार करेंगे जिनमें संयुग्मी व्यंजक का रूप पिछली समस्याओं से भिन्न होगा। याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि संयुग्म अभिव्यक्ति का उपयोग करने का उद्देश्य उस अतार्किकता से छुटकारा पाना है जो अनिश्चितता का कारण बनती है।

एक तर्कहीन अभिव्यक्ति के परिवर्तनों का अध्ययन करते समय, भिन्न के भाजक में तर्कहीनता से कैसे छुटकारा पाया जाए, यह प्रश्न बहुत महत्वपूर्ण है। इस लेख का उद्देश्य इस क्रिया को विशिष्ट कार्य उदाहरणों के साथ समझाना है। पहले पैराग्राफ में, हम इस परिवर्तन के बुनियादी नियमों पर विचार करेंगे, और दूसरे में - विस्तृत उदाहरणों के साथ विशिष्ट उदाहरण।

भाजक में तर्कहीनता से मुक्ति की अवधारणा

आइए एक स्पष्टीकरण के साथ शुरू करें कि इस तरह के परिवर्तन का अर्थ सामान्य रूप से क्या है। इसके लिए, हम निम्नलिखित प्रावधानों को याद करते हैं।

हम भिन्न के हर में अपरिमेयता के बारे में बात कर सकते हैं यदि वहां पर कोई मूलांक मौजूद हो, जो मूल का चिन्ह भी है। इस चिह्न से लिखी गई संख्याएँ प्राय: अपरिमेय होती हैं। उदाहरण होंगे 1 2 , - 2 x + 3 , x + y x - 2 · x · y + 1 , 11 7 - 5 । अपरिमेय भाजक वाले अंशों में वे भिन्न भी शामिल हैं जिनकी जड़ें वहाँ विभिन्न डिग्री (वर्ग, घन, आदि) हैं, उदाहरण के लिए, 3 4 3, 1 x + x y 4 + y। तर्कहीनता से छुटकारा पाने के लिए अभिव्यक्ति को सरल बनाना और आगे की गणना को सुविधाजनक बनाना चाहिए। आइए मुख्य परिभाषा तैयार करें:

परिभाषा 1

भिन्न के हर में अपरिमेयता से छुटकारा पाएं- इसका अर्थ है इसे बदलना, इसे समान रूप से समान अंश के साथ बदलना, जिसके भाजक में जड़ें और डिग्री नहीं होती हैं।

इस तरह की कार्रवाई को मुक्ति या तर्कहीनता से छुटकारा कहा जा सकता है, जबकि अर्थ वही रहता है। इस प्रकार, 1 2 से 2 2 में संक्रमण, अर्थात हर में मूल चिह्न के बिना एक समान मान के साथ एक अंश और वह क्रिया होगी जिसकी हमें आवश्यकता है। आइए एक और उदाहरण दें: हमारे पास एक भिन्न x x - y है। चलो आवश्यक परिवर्तन करते हैं और अंश x · x + y x - y प्राप्त करते हैं जो समान रूप से इसके बराबर है, खुद को भाजक में तर्कहीनता से मुक्त करता है।

परिभाषा तैयार करने के बाद, हम इस तरह के परिवर्तन के लिए किए जाने वाले कार्यों के अनुक्रम के अध्ययन के लिए सीधे आगे बढ़ सकते हैं।

भिन्न के हर में अपरिमेयता से छुटकारा पाने के लिए बुनियादी कदम

जड़ों से छुटकारा पाने के लिए, आपको लगातार दो अंश परिवर्तन करने की आवश्यकता है: अंश के दोनों भागों को शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करें, और फिर भाजक में प्राप्त अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें। आइए मुख्य मामलों पर विचार करें।

सबसे सरल मामले में, आप भाजक के परिवर्तन से प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, हम 9 के मूल के बराबर भाजक के साथ एक भिन्न ले सकते हैं। 9 की गणना करने के बाद, हम 3 को भाजक में लिखते हैं और इस प्रकार अपरिमेयता से छुटकारा पा लेते हैं।

हालाँकि, बहुत अधिक बार आपको अंश और हर को एक संख्या से पूर्व-गुणा करना पड़ता है जो तब आपको भाजक को वांछित रूप में लाने की अनुमति देगा (बिना जड़ों के)। इसलिए, यदि हम 1 x + 1 को x + 1 से गुणा करते हैं, तो हमें भिन्न x + 1 x + 1 x + 1 प्राप्त होता है और हम इसके हर में x + 1 के साथ व्यंजक को बदल सकते हैं। इसलिए हमने तर्कहीनता से छुटकारा पाने के लिए 1 x + 1 को x + 1 x + 1 में बदल दिया।

कभी-कभी किए जाने वाले परिवर्तन काफी विशिष्ट होते हैं। आइए कुछ निदर्शी उदाहरण देखें।

किसी व्यंजक को भिन्न के हर में कैसे बदलें

जैसा कि हमने कहा, सबसे आसान काम है हर को बदलना।

उदाहरण 1

स्थिति:भिन्न 1 2 18 + 50 को हर में अपरिमेयता से मुक्त करें।

समाधान

आरंभ करने के लिए, आइए कोष्ठक खोलें और व्यंजक 1 2 18 + 2 50 प्राप्त करें। जड़ों के मूलभूत गुणों का उपयोग करते हुए, आइए व्यंजक 1 2 · 18 + 2 · 50 पर चलते हैं। हम जड़ों के नीचे दोनों भावों के मूल्यों की गणना करते हैं और 1 36 + 100 प्राप्त करते हैं। यहां आप पहले से ही जड़ें निकाल सकते हैं। परिणामस्वरूप, हमें 1 6 + 10 का अंश मिला, जो 1 16 के बराबर है। यह परिवर्तन को पूरा करता है।

हम बिना किसी टिप्पणी के संपूर्ण समाधान का क्रम लिखते हैं:

1 2 18 + 50 = 1 2 18 + 2 50 = = 1 2 18 + 2 50 = 1 36 + 100 = 1 6 + 10 = 1 16

उत्तर: 1 2 18 + 50 = 1 16 .

उदाहरण 2

स्थिति:एक भिन्न 7 - x (x + 1) 2 दिया है। भाजक में तर्कहीनता से छुटकारा पाएं।

समाधान

जड़ों के गुणों का उपयोग करके अपरिमेय व्यंजकों के रूपांतरण पर लेख में पहले, हमने उल्लेख किया था कि किसी भी A और यहां तक ​​कि n के लिए, हम व्यंजक A n n को | से प्रतिस्थापित कर सकते हैं। ए | चर के स्वीकार्य मूल्यों की पूरी श्रृंखला पर। इसलिए, हमारे मामले में, हम इसे इस तरह लिख सकते हैं: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1। इस तरह, हमने खुद को भाजक में तर्कहीनता से मुक्त कर लिया।

उत्तर: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1।

जड़ से गुणा करके तर्कहीनता से छुटकारा पाना

यदि भिन्न के हर में A के रूप का व्यंजक होता है और व्यंजक A में मूल चिह्न नहीं होते हैं, तो हम मूल भिन्न के दोनों भागों को A से गुणा करके अपरिमेयता से छुटकारा पा सकते हैं। इस क्रिया की संभावना इस तथ्य से निर्धारित होती है कि मान्य मानों की सीमा पर A 0 में नहीं बदलेगा। गुणन के बाद, भाजक में A · A की अभिव्यक्ति होगी, जो जड़ों से छुटकारा पाना आसान है: A · A \u003d A 2 \u003d A। आइए देखें कि इस पद्धति को व्यवहार में कैसे लागू किया जाए।

उदाहरण 3

स्थिति:भिन्न x 3 और - 1 x 2 + y - 4 दिए गए हैं। उनके denominators में तर्कहीनता से छुटकारा पाएं।

समाधान

आइए पहले भिन्न को 3 के दूसरे मूल से गुणा करें। हमें निम्नलिखित मिलते हैं:

एक्स 3 = एक्स 3 3 3 = एक्स 3 3 2 = एक्स 3 3

दूसरे मामले में, हमें x 2 + y - 4 से गुणा करना होगा और परिणामी अभिव्यक्ति को भाजक में बदलना होगा:

1 x 2 + y - 4 = - 1 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 = = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 2 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4

उत्तर: x 3 = x 3 3 और - 1 x 2 + y - 4 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4।

यदि मूल भिन्न के हर में A n m या A m n (यह मानते हुए कि m और n प्राकृतिक हैं) के भाव हैं, तो हमें एक कारक चुनने की आवश्यकता है ताकि परिणामी अभिव्यक्ति को A n n k या A n k n में परिवर्तित किया जा सके (यदि k है प्राकृतिक)। उसके बाद तर्कहीनता से छुटकारा पाना मुश्किल नहीं होगा। आइए एक उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण 4

स्थिति:दिए गए अंश 7 6 3 5 और x x 2 + 1 4 15। भाजक में तर्कहीनता से छुटकारा पाएं।

समाधान

हमें एक प्राकृतिक संख्या लेने की आवश्यकता है जिसे पाँच से विभाजित किया जा सकता है, जबकि यह तीन से अधिक होनी चाहिए। घातांक 6 को 5 के बराबर करने के लिए, हमें 6 2 5 से गुणा करना होगा। इसलिए, हमें मूल भिन्न के दोनों भागों को 6 2 5 से गुणा करना होगा:

7 6 3 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 = 7 6 2 5 6 5 5 = = 7 6 2 5 6 = 7 36 5 6

दूसरे मामले में, हमें 15 से बड़ी संख्या की आवश्यकता है, जिसे शेष के बिना 4 से विभाजित किया जा सकता है। हम 16 लेते हैं। हर में ऐसा घातांक प्राप्त करने के लिए, हमें x 2 + 1 4 को गुणनखंड के रूप में लेना होगा। आइए स्पष्ट करें कि इस अभिव्यक्ति का मान किसी भी स्थिति में 0 नहीं होगा। हम गणना करते हैं:

x x 2 + 1 4 15 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 15 x 2 + 1 4 = = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 16 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 4 4 = एक्स एक्स 2 + 1 4 एक्स 2 + 1 4

उत्तर: 7 6 3 5 = 7 36 5 6 और x x 2 + 1 4 15 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4।

आसन्न व्यंजक से गुणा करके तर्कहीनता से छुटकारा पाना

निम्नलिखित विधि उन मामलों के लिए उपयुक्त है जब मूल भिन्न के हर में भाव a + b, a - b, a + b, a - b, a + b, a - b हों। ऐसे मामलों में, हमें आसन्न अभिव्यक्ति को एक कारक के रूप में लेने की जरूरत है। आइए हम इस अवधारणा का अर्थ समझाते हैं।

पहली अभिव्यक्ति a + b के लिए संयुग्म a - b होगा, दूसरे a - b - a + b के लिए। ए + बी - ए - बी के लिए, ए - बी - ए + बी के लिए, ए + बी - ए - बी के लिए, और ए - बी - ए + बी के लिए। दूसरे शब्दों में, संयुग्मी व्यंजक वह व्यंजक है जिसमें दूसरे पद के सामने विपरीत चिन्ह होता है।

आइए देखें कि वास्तव में यह तरीका क्या है। मान लें कि हमारे पास a - b · a + b के रूप का गुणनफल है। इसे वर्ग अंतर a - b · a + b = a 2 - b 2 से बदला जा सकता है, जिसके बाद हम बिना मूलांक वाले व्यंजक a − b को पास करते हैं। इस प्रकार, हमने संयुग्मी व्यंजक से गुणा करके भिन्न के हर में अपरिमेयता से छुटकारा पा लिया। आइए कुछ उदाहरण उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण 5

स्थिति:व्यंजक 3 7 - 3 और x - 5 - 2 में अपरिमेयता से छुटकारा पाएं।

समाधान

पहली स्थिति में, हम संयुग्मी व्यंजक को 7 + 3 के बराबर लेते हैं। अब हम मूल भिन्न के दोनों भागों को इससे गुणा करते हैं:

3 7 - 3 = 3 7 + 3 7 - 3 7 + 3 = 3 7 + 3 7 2 - 3 2 = = 3 7 + 3 7 - 9 = 3 7 + 3 - 2 = - 3 7 + 3 2

दूसरे मामले में, हमें अभिव्यक्ति - 5 + 2 की आवश्यकता है, जो अभिव्यक्ति - 5 - 2 का संयुग्म है। अंश और भाजक को इससे गुणा करें और प्राप्त करें:

x - 5 - 2 = x - 5 + 2 - 5 - 2 - 5 + 2 = = x - 5 + 2 - 5 2 - 2 2 = x - 5 + 2 5 - 2 = x 2 - 5 3

गुणन से पहले रूपांतरण करना भी संभव है: यदि हम पहले भाजक से ऋण हटाते हैं, तो यह गिनना अधिक सुविधाजनक होगा:

x - 5 - 2 = - x 5 + 2 = - x 5 - 2 5 + 2 5 - 2 = = - x 5 - 2 5 2 - 2 2 = - x 5 - 2 5 - 2 = - x 5 - 2 3 = = x 2 - 5 3

उत्तर: 3 7 - 3 = - 3 7 + 3 2 और x - 5 - 2 = x 2 - 5 3।

इस तथ्य पर ध्यान देना महत्वपूर्ण है कि गुणन के परिणामस्वरूप प्राप्त अभिव्यक्ति इस अभिव्यक्ति के लिए मान्य मानों की सीमा से किसी भी चर के लिए 0 नहीं हो जाती है।

उदाहरण 6

स्थिति:एक अंश x x + 4 दिया। इसे रूपांतरित करें ताकि हर में कोई अपरिमेय व्यंजक न हो।

समाधान

आइए x के लिए मान्य मानों की श्रेणी ज्ञात करके प्रारंभ करें। इसे शर्तों x ≥ 0 और x + 4 ≠ 0 द्वारा परिभाषित किया गया है। उनसे, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि वांछित क्षेत्र एक समुच्चय x ≥ 0 है।

हर का संयुग्म x - 4 है। हम इस पर गुणा कब कर सकते हैं? केवल अगर x - 4 ≠ 0। स्वीकार्य मूल्यों की सीमा पर, यह शर्त x≠16 के समतुल्य होगा। परिणामस्वरूप, हम निम्नलिखित प्राप्त करेंगे:

x x + 4 = x x - 4 x + 4 x - 4 = = x x - 4 x 2 - 4 2 = x x - 4 x - 16

यदि x 16 के बराबर है, तो हम प्राप्त करते हैं:

x x + 4 = 16 16 + 4 = 16 4 + 4 = 2

इसलिए, x x + 4 = x · x - 4 x - 16 x के सभी मानों के लिए जो मान्य मानों की श्रेणी से संबंधित हैं, 16 को छोड़कर। x = 16 के लिए हमें x x + 4 = 2 प्राप्त होता है।

उत्तर: x x + 4 = x x - 4 x - 16 , x ∈ [ 0 , 16) ∪ (16 , + ∞) 2 , x = 16 ।

घनों के योग और अंतर के सूत्रों का उपयोग करके हर में अपरिमेयता वाले भिन्नों को परिवर्तित करना

पिछले पैराग्राफ में, हमने वर्ग सूत्र के अंतर का उपयोग करने के लिए संयुग्मित भावों द्वारा गुणा किया। कभी-कभी, भाजक में तर्कहीनता से छुटकारा पाने के लिए, अन्य संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करना उपयोगी होता है, उदाहरण के लिए, क्यूब्स का अंतर ए 3 - बी 3 \u003d (ए - बी) (ए 2 + ए बी + बी 2). यह सूत्र उपयोग करने के लिए सुविधाजनक है यदि मूल अंश के हर में A 3 - B 3 , A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 के रूप की तीसरी डिग्री की जड़ें हैं। वगैरह। इसे लागू करने के लिए, हमें भिन्न के हर को A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 या अंतर A 3 - B 3 के अधूरे वर्ग से गुणा करना होगा। इसी तरह, आप योग सूत्र लागू कर सकते हैं ए 3 + बी 3 \u003d (ए) (ए 2 - ए बी + बी 2).

उदाहरण 7

स्थिति:भिन्न 1 7 3 - 2 3 और 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 को परिवर्तित करें ताकि हर में अपरिमेयता से छुटकारा मिल सके।

समाधान

पहले भिन्न के लिए, हमें 7 3 और 2 3 के योग के अधूरे वर्ग से दोनों भागों को गुणा करने की विधि का उपयोग करने की आवश्यकता है, क्योंकि तब हम घन अंतर सूत्र का उपयोग करके रूपांतरण कर सकते हैं:

1 7 3 - 2 3 = 1 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 - 2 3 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 = = 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 3 - 2 3 3 = 7 2 3 + 7 2 3 + 2 2 3 7 - 2 = = 49 3 + 14 3 + 4 3 5

दूसरे भिन्न में, हम हर को 2 2 - 2 · x 3 + x 3 2 के रूप में निरूपित करते हैं। इस व्यंजक में अंतर 2 और x 3 का अधूरा वर्ग दिखाई देता है, जिसका अर्थ है कि हम भिन्न के दोनों भागों को योग 2 + x 3 से गुणा कर सकते हैं और घनों के योग के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। इसके लिए शर्त 2 + x 3 ≠ 0 को पूरा करना होगा, जो x 3 ≠ - 2 और x ≠ - 8 के बराबर है:

3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 = = 3 2 + x 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 2 + x 3 = 6 + 3 x 3 2 3 + x 3 3 = = 6 + 3 x 3 8 + x

एक भिन्न - 8 में स्थानापन्न करें और मान ज्ञात करें:

3 4 - 2 8 3 + 8 2 3 = 3 4 - 2 2 + 4 = 3 4

आइए संक्षेप करते हैं। - 8 के अपवाद के साथ मूल अंश (सेट आर) की सीमा में शामिल सभी एक्स के लिए, हमें 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x मिलता है। अगर x = 8, तो 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 4।

उत्तर: 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 \u003d 6 + 3 x 3 8 + x, x ≠ 8 3 4, x \u003d - 8।

विभिन्न परिवर्तन विधियों का लगातार अनुप्रयोग

अक्सर व्यवहार में अधिक जटिल उदाहरण होते हैं जब हम केवल एक विधि का उपयोग करके भाजक में तर्कहीनता से छुटकारा नहीं पा सकते हैं। उनके लिए, आपको क्रमिक रूप से कई परिवर्तन करने या गैर-मानक समाधान चुनने की आवश्यकता है। आइए ऐसी ही एक समस्या लेते हैं।

उदाहरण एन

स्थिति:हर में मूल चिह्नों से छुटकारा पाने के लिए 5 7 4 - 2 4 को बदलें।

समाधान

आइए मूल भिन्न के दोनों भागों को गैर-शून्य मान के साथ संयुग्मी व्यंजक 7 4 + 2 4 से गुणा करें। हमें निम्नलिखित मिलते हैं:

5 7 4 - 2 4 = 5 7 4 + 2 4 7 4 - 2 4 7 4 + 2 4 = = 5 7 4 + 2 4 7 4 2 - 2 4 2 = 5 7 4 + 2 4 7 - 2

और अब हम उसी विधि को फिर से लागू करते हैं:

5 7 4 + 2 4 7 - 2 = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 - 2 7 + 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 2 - 2 2 = 5 7 4 + 7 4 7 + 2 7 - 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 5 = 7 4 + 2 4 7 + 2

उत्तर: 5 7 4 - 2 4 = 7 4 + 2 4 7 + 2 ।

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