युक्तिकरण विधि आपको जटिल घातीय, लघुगणक आदि वाली असमानता से आगे बढ़ने की अनुमति देती है। अभिव्यक्ति, एक समतुल्य सरल तर्कसंगत असमानता के लिए।

इसलिए, इससे पहले कि हम असमानताओं में युक्तिकरण के बारे में बात करना शुरू करें, आइए समतुल्यता के बारे में बात करें।

समानक

समतुल्य या समतुल्यऐसे समीकरण (असमानताएं) कहलाते हैं जिनके मूलों का समूह मेल खाता है। जिन समीकरणों (असमानताओं) का कोई मूल नहीं होता उन्हें भी समतुल्य माना जाता है।

उदाहरण 1समीकरण और समतुल्य हैं, क्योंकि उनके मूल समान हैं।

उदाहरण 2समीकरण और समतुल्य भी हैं, क्योंकि उनमें से प्रत्येक का समाधान खाली सेट है।

उदाहरण 3असमानताएँ और समतुल्य हैं, क्योंकि दोनों का समाधान समुच्चय है।

उदाहरण 4और असमान हैं. दूसरे समीकरण का हल केवल 4 है, और पहले समीकरण का हल 4 और 2 दोनों है।

उदाहरण 5असमानता असमानता के बराबर है, क्योंकि दोनों असमानताओं में समाधान 6 है।

अर्थात् दिखने में समतुल्य असमानताएँ (समीकरण) समानता से बहुत दूर हो सकती हैं।

वास्तव में, जब हम इस तरह के जटिल, लंबे समीकरणों (असमानताओं) को हल करते हैं, और उत्तर प्राप्त करते हैं, तो आखिरकार, हमारे हाथ में मूल समीकरण के बराबर एक समीकरण (असमानता) से ज्यादा कुछ नहीं होता है। रूप अलग है, लेकिन सार एक ही है!

उदाहरण 6आइए याद करें कि हमने असमानता का समाधान कैसे किया अंतराल की विधि से परिचित होने से पहले. हमने मूल असमानता को दो प्रणालियों के एक सेट से बदल दिया है:

अर्थात् असमानता और अंतिम समुच्चय एक दूसरे के समतुल्य हैं।

इसके अलावा, हम संग्रह को हाथ में रख सकते हैं

इसे असमानता से प्रतिस्थापित करें, जिसे अंतराल विधि द्वारा एक पल में हल किया जा सकता है।

हम लघुगणकीय असमानताओं में युक्तिकरण की विधि के करीब आ गए हैं।

लघुगणकीय असमानताओं में युक्तिकरण विधि

आइए असमानता पर विचार करें।

हम 4 को लघुगणक के रूप में दर्शाते हैं:

हम लघुगणक के एक चर आधार के साथ काम कर रहे हैं, इसलिए, इस पर निर्भर करते हुए कि लघुगणक का आधार 1 से अधिक है या 1 से कम है (अर्थात, हम बढ़ते या घटते फ़ंक्शन के साथ काम कर रहे हैं), असमानता चिह्न रहेगा या में बदलो ""। इसलिए, दो प्रणालियों का एक संयोजन (संयोजन) है:

लेकिन, ध्यान दें, इस प्रणाली को ODZ को ध्यान में रखते हुए हल किया जाना चाहिए! मैंने जानबूझकर ओडीजेड सिस्टम को लोड नहीं किया ताकि मुख्य विचार नष्ट न हो जाए।

देखिए, अब हम अपने सिस्टम को इस तरह से फिर से लिखेंगे (हम असमानता की प्रत्येक पंक्ति में सब कुछ बाईं ओर ले जाएंगे):

क्या यह आपको कुछ याद नहीं दिलाता? के अनुरूप उदाहरण 6हम सिस्टम के इस सेट को असमानता से बदल देंगे:

ODZ पर इस असमानता को हल करने के बाद, हमें असमानता का समाधान मिलेगा।

आइए सबसे पहले मूल असमानता का ODZ ज्ञात करें:

अब चलो फैसला करते हैं

ODZ को ध्यान में रखते हुए अंतिम असमानता का समाधान:

तो, यहाँ यह "जादुई" तालिका है:

ध्यान दें कि तालिका शर्त के तहत काम करती है

के कार्य कहां हैं,

- फ़ंक्शन या संख्या,

- पात्रों में से एक

यह भी ध्यान दें कि तालिका की दूसरी और तीसरी पंक्तियाँ पहली पंक्ति के परिणाम हैं। दूसरी पंक्ति में पहले 1 को इस रूप में दर्शाया गया है, और तीसरी पंक्ति में 0 को पहले इस रूप में दर्शाया गया है।

और कुछ और उपयोगी परिणाम (मुझे आशा है कि आप आसानी से समझ सकते हैं कि वे कहाँ से आते हैं):

के कार्य कहां हैं,

- फ़ंक्शन या संख्या,

- पात्रों में से एक

घातीय असमानताओं में युक्तिकरण विधि

आइए असमानता का समाधान करें.

मूल असमानता को हल करना असमानता को हल करने के बराबर है

उत्तर: ।

घातीय असमानताओं में युक्तिकरण के लिए तालिका:

- के कार्य, - कार्य या संख्या, - संकेतों में से एक तालिका शर्त के तहत काम करती है। साथ ही तीसरी, चौथी पंक्ति में - अतिरिक्त रूप से -

फिर, वास्तव में, आपको तालिका की पहली और तीसरी पंक्तियों को याद रखने की आवश्यकता है। दूसरी पंक्ति पहली का विशेष मामला है, और चौथी पंक्ति तीसरी का विशेष मामला है।

मापांक युक्त असमानताओं में युक्तिकरण विधि

प्रकार की असमानताओं के साथ काम करते हुए, जहां कुछ चर के कार्य होते हैं, हमें निम्नलिखित समकक्ष परिवर्तनों द्वारा निर्देशित किया जा सकता है:

आइए असमानता को हल करें ”।

एयहाँ और अधिक ऑफर करें "असमानताओं का युक्तिकरण" विषय पर कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

अनुभाग: अंक शास्त्र

अक्सर, लघुगणकीय असमानताओं को हल करते समय, लघुगणक के परिवर्तनीय आधार के साथ समस्याएं उत्पन्न होती हैं। तो, रूप की असमानता

यह एक मानक स्कूल असमानता है। एक नियम के रूप में, इसे हल करने के लिए, सिस्टम के समतुल्य सेट में संक्रमण का उपयोग किया जाता है:

इस पद्धति का नुकसान दो प्रणालियों और एक सेट की गिनती न करते हुए सात असमानताओं को हल करने की आवश्यकता है। यहां तक ​​कि दिए गए द्विघात कार्यों के साथ भी, जनसंख्या समाधान के लिए बहुत समय की आवश्यकता हो सकती है।

इस मानक असमानता को हल करने का एक वैकल्पिक, कम समय लेने वाला तरीका प्रस्तावित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित प्रमेय को ध्यान में रखते हैं।

प्रमेय 1. मान लीजिए कि एक सेट , कहाँ .

ध्यान दें: यदि सेट एक्स पर लगातार घटता हुआ फ़ंक्शन है, तो।

आइए असमानता पर वापस आएं। आइए दशमलव लघुगणक पर आगे बढ़ें (आप एक से अधिक स्थिर आधार वाले किसी भी लघुगणक पर जा सकते हैं)।

अब हम अंश में कार्यों की वृद्धि को ध्यान में रखते हुए प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं और हर में. तो यह सच है

परिणामस्वरूप, उत्तर तक पहुंचने वाली गणनाओं की संख्या लगभग आधी हो जाती है, जिससे न केवल समय की बचत होती है, बल्कि आपको संभावित रूप से कम अंकगणितीय और लापरवाह त्रुटियां करने की भी अनुमति मिलती है।

उदाहरण 1

(1) से तुलना करने पर हम पाते हैं , , .

(2) से आगे बढ़ते हुए हमारे पास होगा:

उदाहरण 2

(1) से तुलना करने पर हम पाते हैं , , .

(2) से आगे बढ़ते हुए हमारे पास होगा:

उदाहरण 3

चूँकि असमानता का बायाँ भाग और के लिए एक बढ़ता हुआ फलन है , तो उत्तर सेट है .

यदि टर्म 2 को ध्यान में रखा जाए तो उदाहरणों का सेट जिसमें टर्म 1 लागू किया जा सकता है, आसानी से विस्तारित किया जा सकता है।

चलो सेट पर एक्सफलन , , , परिभाषित हैं, और इस सेट पर चिह्न और संपाती हैं, अर्थात्, तो यह उचित होगा.

उदाहरण 4

उदाहरण 5

मानक दृष्टिकोण के साथ, उदाहरण को योजना के अनुसार हल किया जाता है: जब कारक विभिन्न संकेतों के होते हैं तो उत्पाद शून्य से कम होता है। वे। हम असमानताओं की दो प्रणालियों के एक सेट पर विचार करते हैं, जिसमें, जैसा कि शुरुआत में संकेत दिया गया था, प्रत्येक असमानता सात और में टूट जाती है।

यदि हम प्रमेय 2 को ध्यान में रखते हैं, तो प्रत्येक कारक, (2) को ध्यान में रखते हुए, किसी अन्य फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जिसका O.D.Z. के इस उदाहरण में समान चिह्न है।

प्रमेय 2 को ध्यान में रखते हुए, किसी फ़ंक्शन की वृद्धि को तर्क की वृद्धि के साथ बदलने की विधि, विशिष्ट C3 USE समस्याओं को हल करते समय बहुत सुविधाजनक साबित होती है।

उदाहरण 6

उदाहरण 7

. चलो निरूपित करें. पाना

. ध्यान दें कि प्रतिस्थापन का तात्पर्य है: . समीकरण पर लौटने पर, हमें मिलता है .

उदाहरण 8

हम जिन प्रमेयों का उपयोग करते हैं, उनमें कार्यों के वर्गों पर कोई प्रतिबंध नहीं है। इस लेख में, उदाहरण के तौर पर, लघुगणकीय असमानताओं के समाधान के लिए प्रमेयों को लागू किया गया था। निम्नलिखित कुछ उदाहरण अन्य प्रकार की असमानताओं को हल करने की विधि की संभावना को प्रदर्शित करेंगे।

नगर स्वायत्त शैक्षणिक संस्थान "यार्कोव्स्काया माध्यमिक विद्यालय"

शैक्षिक परियोजना

युक्तिकरण विधि द्वारा लघुगणकीय असमानताओं को हल करना

MAOU "यार्कोव्स्काया माध्यमिक विद्यालय"

शांसिख दरिया

नेता: गणित शिक्षक

MAOU "यार्कोव्स्काया माध्यमिक विद्यालय"

यारकोवो 2013

1) परिचय…………………………………………………….2

2) मुख्य भाग…………………………………………..3

3)निष्कर्ष………………………………………………..9

4) प्रयुक्त साहित्य की सूची…………….10

5) आवेदन……………………………………………………11-12

1. परिचय

अक्सर, भाग "सी" से यूएसई कार्यों को हल करते समय, और विशेष रूप से कार्य सी 3 में, लघुगणक के आधार पर अज्ञात के साथ लघुगणकीय अभिव्यक्तियों वाली असमानताएं होती हैं। यहाँ मानक असमानता का एक उदाहरण दिया गया है:

एक नियम के रूप में, ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए, शास्त्रीय पद्धति का उपयोग किया जाता है, अर्थात, सिस्टम के समतुल्य सेट में संक्रमण लागू किया जाता है।

मानक दृष्टिकोण के साथ, उदाहरण को योजना के अनुसार हल किया जाता है: जब कारक विभिन्न संकेतों के होते हैं तो उत्पाद शून्य से कम होता है। अर्थात्, असमानताओं की दो प्रणालियों का एक सेट माना जाता है, जिसमें प्रत्येक असमानता सात और में टूट जाती है। इसलिए, इस मानक असमानता को हल करने के लिए कम समय लेने वाली विधि प्रस्तावित की जा सकती है। यह एक युक्तिकरण विधि है जिसे गणितीय साहित्य में अपघटन के रूप में जाना जाता है।

परियोजना के कार्यान्वयन के दौरान, मैंने निम्नलिखित लक्ष्य निर्धारित किए: :

1) इस निर्णय तकनीक में महारत हासिल करें

2) 2013 में प्रशिक्षण और निदान कार्य से कार्य सी3 पर कौशल हल करने का अभ्यास करें।

परियोजना का ध्येययुक्तिकरण की विधि के सैद्धांतिक औचित्य का अध्ययन है।

प्रासंगिकताकार्य इस तथ्य में निहित है कि यह विधि आपको गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा के भाग सी3 की लघुगणकीय असमानताओं को सफलतापूर्वक हल करने की अनुमति देती है।

2. मुख्य हिस्सा

प्रपत्र की लघुगणकीय असमानता पर विचार करें

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; पंक्ति-ऊंचाई:150%">, (1)

जहां फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई:150%"> ऐसी असमानता को हल करने की मानक विधि में दो मामलों को स्वीकार्य असमानता मूल्यों के क्षेत्रों में पार्स करना शामिल है।

पहले मामले मेंजब लघुगणक के आधार शर्त को संतुष्ट करते हैं

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%">, असमानता चिह्न उलटा है: फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई:150%"> दूसरे मामले में जब आधार शर्त पर खरा उतरता है, असमानता चिह्न संरक्षित है: .

पहली नज़र में, सब कुछ तार्किक है, आइए दो मामलों पर विचार करें और फिर उत्तरों को संयोजित करें। सच है, दूसरे मामले पर विचार करते समय, एक निश्चित असुविधा उत्पन्न होती है - आपको पहले मामले से गणना को 90 प्रतिशत तक दोहराना होगा (रूपांतरित करें, सहायक समीकरणों की जड़ें ढूंढें, संकेत की एकरसता के अंतराल निर्धारित करें)। एक स्वाभाविक प्रश्न उठता है - क्या यह सब किसी तरह से जोड़ना संभव है?

इस प्रश्न का उत्तर निम्नलिखित प्रमेय में निहित है।

प्रमेय 1. लघुगणकीय असमानता

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई:150%">असमानताओं की निम्नलिखित प्रणाली के बराबर है :

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; पंक्ति-ऊंचाई:150%"> (2)

सबूत.

1. आइए इस तथ्य से शुरू करें कि सिस्टम की पहली चार असमानताएँ (2) मूल लघुगणकीय असमानता के स्वीकार्य मूल्यों के सेट को परिभाषित करती हैं। आइए अब अपना ध्यान पाँचवीं असमानता की ओर केन्द्रित करें। अगर फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%">, तो इस असमानता का पहला कारक नकारात्मक होगा। इससे कम करते समय आपको असमानता के चिह्न को विपरीत में बदलना होगा, तब आपको असमानता प्राप्त होगी .

अगर , वह पांचवीं असमानता का पहला कारक सकारात्मक है, हम असमानता चिह्न को बदले बिना इसे कम करते हैं,हमें असमानता मिलती हैफ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई: 150%">। इस प्रकार, सिस्टम की पांचवीं असमानता में पिछली पद्धति के दोनों मामले शामिल हैं।

शब्द सिद्ध हो चुका है.

युक्तिकरण विधि के सिद्धांत के मुख्य प्रावधान।

युक्तिकरण विधि में जटिल अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करना शामिल हैएफ(एक्स ) एक सरल अभिव्यक्ति के लिएजी(एक्स ) जिसके अंतर्गत असमानता हैजी(एक्स )EN-US" style='font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:Calibri'>F(एक्स )0 अभिव्यक्ति डोमेन मेंएफ(एक्स).

आइए कुछ अभिव्यक्तियों पर प्रकाश डालेंएफ और उनके अनुरूप तर्कसंगत अभिव्यक्तियाँजी, जहां यू, वी,, पी, क्यू - दो चर वाले भाव (यू > 0; यू ≠ 1; वी > 0, > 0), ए - निर्धारित अंक (ए > 0, ए ≠ 1).

सबूत

1. चलो लोगाव - लोगाφ > 0, वह है लोगाव > लोगाφ,और ए > 0, ए ≠ 1, वी > 0,

φ > 0.

यदि 0< ए < 1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем वी < φ . अत: असमानताओं की व्यवस्था कायम है

ए -1<0

वी – φ < 0

जहाँ से असमानता का अनुसरण होता है (ए – 1)( वी – φ ) > 0 अभिव्यक्ति के क्षेत्र पर सत्य हैएफ = लोगाव - लोगाφ.

अगर ए > 1, वह वी > φ . इसलिए, हमारे पास असमानता है ( ए – 1)( वी – φ )> 0. इसके विपरीत, यदि असमानता ( ए – 1)( वी – φ )> 0 स्वीकार्य मूल्यों की सीमा पर ( ए > 0, ए ≠ 1, वी> 0, φ > 0),फिर इस डोमेन पर यह दो प्रणालियों के संयोजन के बराबर है।

ए – 1<0 ए – 1 > 0

वी – φ < 0 वी – φ > 0

प्रत्येक प्रणाली का तात्पर्य असमानता से हैलोगाव > लोगाφ, वह है लोगाव - लोगाφ > 0.

इसी प्रकार, हम असमानताओं पर विचार करते हैंएफ< 0, F ≤ 0, F ≥ 0.

2. चलो कुछ संख्या ए> 0 और ए≠ 1, तो हमारे पास है

प्रतीक चिन्ह वी- loguφ = EN-US" style='font-size:14.0pt;line-height:150%'>v - 1)( यू- 1)(φ -यू).

4. असमानता से यूवी- यूφ > 0 चाहिए यूवी > यूφ. मान लीजिए संख्या a > 1 हैलोगा यूवी > लोगौφ या

( यू – φ) लोगा यू > 0.

इसलिए, परिवर्तन 1 बी और स्थिति को ध्यान में रखते हुएए > 1 हम पाते हैं

( वी – φ)( ए – 1)( यू – 1) > 0, ( वी – φ)( यू – 1) > 0. इसी प्रकार, हम असमानताओं को सिद्ध करते हैंएफ< 0,

एफ ≤ 0, एफ ≥ 0.

5. प्रमाण प्रमाण 4 के समान है।

6. प्रतिस्थापन 6 का प्रमाण असमानताओं की तुल्यता से होता है |पी | > | क्यू | और पी 2 > क्यू 2

(|पी|< | q | и p 2 < q 2 ).

आइए शास्त्रीय विधि और युक्तिकरण विधि द्वारा लघुगणक के आधार पर एक चर वाली असमानताओं को हल करने की मात्रा की तुलना करें

3. निष्कर्ष

मेरा मानना ​​है कि काम के निष्पादन में मैंने अपने लिए जो कार्य निर्धारित किए थे, उन्हें हासिल कर लिया गया है। परियोजना व्यावहारिक महत्व की है, क्योंकि कार्य में प्रस्तावित विधि लघुगणकीय असमानताओं के समाधान को महत्वपूर्ण रूप से सरल बनाना संभव बनाती है। परिणामस्वरूप, उत्तर तक पहुंचने वाली गणनाओं की संख्या लगभग आधी हो जाती है, जिससे न केवल समय की बचत होती है, बल्कि आपको संभावित रूप से कम अंकगणितीय और लापरवाह त्रुटियां करने की भी अनुमति मिलती है। अब, C3 समस्याओं को हल करते समय, मैं इस पद्धति का उपयोग करता हूँ।

4. प्रयुक्त साहित्य की सूची

1. , - एक चर के साथ असमानताओं को हल करने की विधियाँ। – 2011.

2. - गणित गाइड। - 1972.

3. - आवेदक के लिए गणित। मॉस्को: एमटीएसएनएमओ, 2008।

एज़ोवा ऐलेना सर्गेवना
नौकरी का नाम:गणित शिक्षक
शैक्षिक संस्था:एमओयू "स्कूल नंबर 77"
इलाका:सेराटोव
सामग्री नाम:व्यवस्थित विकास
विषय:परीक्षा की तैयारी में असमानताओं को हल करने में युक्तिकरण विधि "
प्रकाशन तिथि: 16.05.2018
अध्याय:पूर्ण शिक्षा

जाहिर है, एक ही असमानता को कई तरीकों से हल किया जा सकता है। किस्मत से

चुने हुए तरीके से या, जैसा कि हम कहते थे, तर्कसंगत तरीके से, कोई भी

असमानता जल्दी और आसानी से हल हो जाएगी, इसका समाधान सुंदर और दिलचस्प होगा।

मैं तथाकथित युक्तिकरण पद्धति पर अधिक विस्तार से विचार करना चाहूंगा

लघुगणक और घातांकीय असमानताओं को हल करना, साथ ही असमानताओं को भी हल करना

मॉड्यूल चिह्न के अंतर्गत चर.

विधि का मुख्य विचार.

कारकों को बदलने की विधि का उपयोग प्रपत्र में कम की गई असमानताओं को हल करने के लिए किया जाता है

प्रतीक कहाँ है

» चार संभावित असमानता संकेतों में से एक को दर्शाता है:

असमानता (1) को हल करते समय, हम केवल अंश में किसी कारक के चिह्न में रुचि रखते हैं

या हर, न कि इसका निरपेक्ष मान। इसलिए, यदि किसी कारण से हम

इस गुणक के साथ काम करना असुविधाजनक है, हम इसे दूसरे से बदल सकते हैं

असमानता की परिभाषा के क्षेत्र में इसके साथ मेल खाना और इस क्षेत्र में होना

वही जड़ें.

यह गुणक प्रतिस्थापन विधि का मुख्य विचार निर्धारित करता है। उसे ठीक करना ज़रूरी है

तथ्य यह है कि कारकों का प्रतिस्थापन केवल इस शर्त के तहत किया जाता है कि असमानता कम हो

फॉर्म (1) में, यानी जब उत्पाद की तुलना शून्य से करना आवश्यक हो।

प्रतिस्थापन का मुख्य भाग निम्नलिखित दो समतुल्य कथनों के कारण है।

कथन 1. फलन f(x) सख्ती से बढ़ रहा है यदि और केवल यदि के लिए

टी का कोई भी मूल्य

) के साथ मेल खाता है

अंतर के साथ हस्ताक्षर करें (f(t)

)), यानी, एफ<=>(टी

(↔ का अर्थ है साइन मैच)

कथन 2. फलन f(x) सख्ती से घट रहा है यदि और केवल यदि के लिए

टी का कोई भी मूल्य

फ़ंक्शन अंतर के डोमेन से (t

) के साथ मेल खाता है

अंतर के साथ हस्ताक्षर करें (f(t)

)), यानी, एफ ↓<=>(टी

इन दावों का औचित्य सीधे तौर पर सख्ती की परिभाषा से आता है

मोनोटोनिक फ़ंक्शन। इन कथनों के अनुसार यह स्थापित किया जा सकता है

एक ही आधार में डिग्री का अंतर हमेशा साइन के साथ मेल खाता है

इन डिग्री के संकेतकों और एकता से आधार के विचलन के बीच अंतर का उत्पाद,

एक ही आधार में लघुगणक का अंतर हमेशा चिह्न के साथ मेल खाता है

इन लघुगणक की संख्याओं के बीच अंतर और एकता से आधार के विचलन का गुणनफल

तथ्य यह है कि गैर-ऋणात्मक मात्राओं के अंतर में अंतर के समान ही चिह्न होता है

इन मानों के वर्ग, निम्नलिखित प्रतिस्थापन की अनुमति देते हैं:

असमानता का समाधान करें

समाधान।

आइए समतुल्य प्रणाली पर चलते हैं:

पहली असमानता से हमें प्राप्त होता है

दूसरी असमानता सभी के लिए है

तीसरी असमानता से हमें प्राप्त होता है

इस प्रकार, मूल असमानता के समाधान का सेट:

असमानता का समाधान करें

समाधान।

आइए असमानता को हल करें:

उत्तर: (−4; −3)

असमानता का समाधान करें

आइए हम असमानता को एक ऐसे रूप में लाएँ जिसमें लघुगणक के मानों के बीच का अंतर हो

आइए लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के मानों में अंतर को तर्क के मानों में अंतर से बदलें। में

अंश एक बढ़ता हुआ फलन है, और हर घटता हुआ फलन है, इसलिए असमानता का चिह्न

विपरीत में बदल जायेगा. यह महत्वपूर्ण है कि दायरे को ध्यान में रखना न भूलें

लघुगणकीय फ़ंक्शन, इसलिए यह असमानता असमानताओं की एक प्रणाली के बराबर है।

अंश मूल: 8; 8;

हर मूल: 1

असमानता का समाधान करें

आइए हम अंश में दो कार्यों के मॉड्यूल के बीच के अंतर को उनके वर्गों के बीच के अंतर से बदलें, और

हर लघुगणकीय फ़ंक्शन के मानों और तर्कों के बीच का अंतर है।

हर में, फ़ंक्शन घट रहा है, जिसका अर्थ है कि असमानता चिह्न बदल जाएगा

विलोम।

इस मामले में, लघुगणक की परिभाषा के क्षेत्र को ध्यान में रखना आवश्यक है

हम पहली असमानता को अंतराल विधि द्वारा हल करते हैं।

अंश मूल:

विभाजक जड़ें:

असमानता का समाधान करें

आइए अंश और हर में मोनोटोन फ़ंक्शन के मानों के बीच के अंतर को अंतर से बदलें

कार्यों की परिभाषा के क्षेत्र और एकरसता की प्रकृति को ध्यान में रखते हुए तर्कों के मूल्य।

अंश मूल:

विभाजक जड़ें:

सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला प्रतिस्थापन (ओ डी 3 को छोड़कर)।

ए) चिह्न-स्थिर गुणक का परिवर्तन।

बी) गैर-स्थिर कारकों को मापांक के साथ बदलना।

ग) गैर-स्थिर कारकों को घातीय और लघुगणक के साथ बदलना

भाव.

समाधान। ओडीजेड:

मल्टीप्लायरों को बदलना:

हमारे पास एक प्रणाली है:

इस असमानता में, कारक

अभिव्यक्ति 1 के बाद से, गैर-नकारात्मक मानों के अंतर के रूप में माना जाना चाहिए

ODZ सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान ले सकता है।

हमारे पास एक प्रणाली है:

मल्टीप्लायरों को बदलना:

हमारे पास एक प्रणाली है:

मल्टीप्लायरों को बदलना:

हमारे पास एक प्रणाली है:

मल्टीप्लायरों को बदलना:

हमारे पास एक प्रणाली है:

परिणामस्वरूप, हमारे पास है: x

युक्तिकरण विधि(अपघटन विधि, गुणक प्रतिस्थापन विधि, प्रतिस्थापन विधि

कार्य, संकेत नियम) में जटिल अभिव्यक्ति F(x) को और अधिक के साथ बदलना शामिल है

एक सरल अभिव्यक्ति G(x) जिसके लिए असमानता G(x)

0 असमानता F (x) के बराबर है

अभिव्यक्ति F(x) के क्षेत्र में 0।

अनुभाग: अंक शास्त्र

परीक्षा पत्रों की जाँच करने के अभ्यास से पता चलता है कि स्कूली बच्चों के लिए सबसे बड़ी कठिनाई पारलौकिक असमानताओं, विशेष रूप से परिवर्तनीय आधार वाली लघुगणकीय असमानताओं का समाधान है। इसलिए, आपके ध्यान में प्रस्तुत पाठ सारांश युक्तिकरण विधि (अन्य नाम अपघटन विधि (मोडेनोव वी.पी.), कारकों को बदलने की विधि (गोलूबेव वी.आई.)) की एक प्रस्तुति है, जो आपको जटिल लघुगणक, घातीय, संयुक्त को कम करने की अनुमति देता है सरल तर्कसंगत असमानताओं की प्रणाली में असमानताएँ। एक नियम के रूप में, जब तक "लघुगणकीय असमानताओं का समाधान" विषय का अध्ययन किया गया था तब तक तर्कसंगत असमानताओं पर लागू अंतराल की विधि अच्छी तरह से महारत हासिल कर ली गई थी और उस पर काम किया गया था। इसलिए, छात्र बड़ी रुचि और उत्साह के साथ उन तरीकों को समझते हैं जो उन्हें समाधान को सरल बनाने, इसे छोटा करने और अंततः, अन्य कार्यों को हल करने के लिए परीक्षा में समय बचाने की अनुमति देते हैं।

पाठ मकसद:

• शिक्षात्मक: लघुगणकीय असमानताओं को हल करते समय बुनियादी ज्ञान का वास्तविककरण; असमानताओं को हल करने के एक नए तरीके की शुरूआत; निर्णय कौशल में सुधार
• शिक्षात्मक: गणितीय क्षितिज, गणितीय भाषण, विश्लेषणात्मक सोच का विकास
• शिक्षात्मक: सटीकता और आत्म-नियंत्रण की शिक्षा।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण.अभिवादन। पाठ लक्ष्य निर्धारित करना.

2. प्रारंभिक चरण:

असमानताओं को हल करें:

3. होमवर्क की जाँच करना(संख्या 11.81*ए)

असमानता को हल करते समय

आपको परिवर्तनीय आधार के साथ लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए निम्नलिखित योजना का उपयोग करना होगा:

वे। विचार करने के लिए 2 मामले हैं: आधार 1 से बड़ा है या आधार 1 से कम है।

4. नई सामग्री की व्याख्या

अगर आप इन फॉर्मूलों को ध्यान से देखेंगे तो आपको अंतर का संकेत नजर आएगा जी(एक्स) – एच(एक्स) अंतर लॉग के चिह्न से मेल खाता है एफ(एक्स) जी(एक्स) - लकड़ी का लट्ठा एफ(एक्स) एच(एक्स) बढ़ते फ़ंक्शन के मामले में ( एफ(एक्स) > 1, अर्थात एफ(एक्स) – 1 > 0) और अंतर लॉग के चिह्न के विपरीत है एफ(एक्स) जी(एक्स) - लकड़ी का लट्ठा एफ(एक्स) एच(एक्स) घटते फलन के मामले में (0< एफ(एक्स) < 1, т.е. एफ(एक्स) – 1 < 0)

इसलिए, इस सेट को तर्कसंगत असमानताओं की एक प्रणाली में घटाया जा सकता है:

यह युक्तिकरण विधि का सार है - अधिक जटिल अभिव्यक्ति ए को सरल अभिव्यक्ति बी के साथ प्रतिस्थापित करना, जो तर्कसंगत है। इस मामले में, असमानता В V 0 अभिव्यक्ति А के डोमेन पर असमानता А V 0 के बराबर होगी।

उदाहरण 1आइए हम असमानता को तर्कसंगत असमानताओं की समकक्ष प्रणाली के रूप में फिर से लिखें।

मैं ध्यान देता हूं कि शर्तें (1)-(4) असमानता की परिभाषा के क्षेत्र के लिए शर्तें हैं, जिन्हें मैं समाधान की शुरुआत में खोजने की सलाह देता हूं।

उदाहरण 2असमानता को युक्तिकरण विधि द्वारा हल करें:

असमानता की परिभाषा का क्षेत्र शर्तों द्वारा दिया गया है:

हम पाते हैं:

असमानता लिखना बाकी है (5)

डोमेन के अधीन

उत्तर: (3;5)

5. अध्ययन की गई सामग्री का समेकन

I. असमानता को तर्कसंगत असमानताओं की एक प्रणाली के रूप में लिखें:

द्वितीय. असमानता के दाहिने पक्ष को वांछित आधार में लघुगणक के रूप में व्यक्त करें और समतुल्य प्रणाली पर जाएँ:

शिक्षक समूह I और II से सिस्टम लिखने वाले छात्रों को बोर्ड पर बुलाता है, और युक्तिकरण पद्धति का उपयोग करके घरेलू असमानता (नंबर 11.81 * ए) को हल करने के लिए सबसे मजबूत छात्रों में से एक को आमंत्रित करता है।

6. सत्यापन कार्य

विकल्प 1

विकल्प 2

1. असमानताओं को हल करने के लिए तर्कसंगत असमानताओं की एक प्रणाली लिखें:

2. असमानता को युक्तिकरण विधि द्वारा हल करें

ग्रेडिंग मापदंड:

3-4 अंक - "संतोषजनक";
5-6 अंक - "अच्छा";
7 अंक - "उत्कृष्ट"।

7. प्रतिबिम्ब

प्रश्न का उत्तर दें: परिवर्तनीय आधार के साथ लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए ज्ञात तरीकों में से कौन सा आपको परीक्षा में समय का बेहतर उपयोग करने की अनुमति देगा?

8. गृहकार्य:क्रमांक 11.80 * (ए, बी), 11.81 * (ए, बी), 11.84 * (ए, बी) को युक्तिकरण विधि से हल करें।

ग्रंथ सूची:

1. बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: प्रोक। 11 कोशिकाओं के लिए. सामान्य शिक्षा संस्थान /[एस.एम. निकोल्स्की, एम.के. पोटापोव, एन.एन. रेशेतनिकोव, ए.वी. शेवकिन] - 5वां संस्करण। - एम.: शिक्षा, जेएससी "मॉस्को पाठ्यपुस्तकें", 2006।
2. ए.जी. कोर्यानोव, ए.ए. प्रोकोफ़िएव. पाठ्यक्रम की सामग्री "परीक्षा के लिए अच्छे छात्रों और उत्कृष्ट छात्रों को तैयार करना": व्याख्यान 1-4। - एम.: पेडागोगिकल यूनिवर्सिटी "फर्स्ट ऑफ सितंबर", 2012।