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यदि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए एन एक वास्तविक संख्या का मिलान करें एक , तो वे कहते हैं कि दिया गया है संख्या क्रम :

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . , एक , . . . .

तो, संख्या अनुक्रम प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है।

संख्या ए 1 बुलाया अनुक्रम का पहला सदस्य , संख्या ए 2 — अनुक्रम का दूसरा पद , संख्या ए 3 — तीसरा और इसी तरह। संख्या एक बुलाया अनुक्रम का nवाँ सदस्य , और एक प्राकृतिक संख्या एन — उसका नंबर .

दो निकटवर्ती सदस्यों से एक और एक +1 अनुक्रम सदस्य एक +1 बुलाया बाद का (की ओर एक ), ए एक — पहले का (की ओर एक +1 ).

अनुक्रम को परिभाषित करने के लिए, आपको एक विधि निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है जो आपको किसी भी संख्या के साथ अनुक्रम के सदस्य को ढूंढने की अनुमति देती है।

अक्सर अनुक्रम का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जाता है nवाँ पद सूत्र , अर्थात्, एक सूत्र जो आपको अनुक्रम के एक सदस्य को उसकी संख्या से निर्धारित करने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए,

सूत्र द्वारा सकारात्मक विषम संख्याओं का अनुक्रम दिया जा सकता है

एक= 2एन- 1,

और प्रत्यावर्तन का क्रम 1 और -1 - सूत्र

बीएन = (-1)एन +1 . ◄

क्रम निर्धारित किया जा सकता है आवर्तक सूत्र, यानी, एक सूत्र जो अनुक्रम के किसी भी सदस्य को, कुछ से शुरू करके, पिछले (एक या अधिक) सदस्यों के माध्यम से व्यक्त करता है।

उदाहरण के लिए,

अगर ए 1 = 1 , ए एक +1 = एक + 5

ए 1 = 1,

ए 2 = ए 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ए 3 = ए 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ए 4 = ए 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ए 5 = ए 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

अगर एक 1= 1, एक 2 = 1, एक +2 = एक + एक +1 , तब संख्यात्मक अनुक्रम के पहले सात पद निम्नानुसार स्थापित किए जाते हैं:

एक 1 = 1,

एक 2 = 1,

एक 3 = एक 1 + एक 2 = 1 + 1 = 2,

एक 4 = एक 2 + एक 3 = 1 + 2 = 3,

एक 5 = एक 3 + एक 4 = 2 + 3 = 5,

ए 6 = ए 4 + ए 5 = 3 + 5 = 8,

ए 7 = ए 5 + ए 6 = 5 + 8 = 13. ◄

अनुक्रम हो सकते हैं अंतिम और अनंत .

अनुक्रम कहा जाता है अंतिम , यदि इसके सदस्यों की संख्या सीमित है। अनुक्रम कहा जाता है अनंत , यदि इसमें अपरिमित रूप से अनेक सदस्य हों।

उदाहरण के लिए,

दो अंकों वाली प्राकृतिक संख्याओं का क्रम:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

अंतिम।

अभाज्य संख्याओं का क्रम:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

अनंत। ◄

अनुक्रम कहा जाता है की बढ़ती , यदि इसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले वाले से बड़ा है।

अनुक्रम कहा जाता है घटते , यदि इसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले वाले से छोटा है।

उदाहरण के लिए,

2, 4, 6, 8, . . . , 2एन, . . . — बढ़ता क्रम;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /एन, . . . -घटता क्रम. ◄

वह अनुक्रम जिसके तत्वों की संख्या बढ़ने पर घटती नहीं है, या, इसके विपरीत, बढ़ती नहीं है, कहलाता है नीरस क्रम .

मोनोटोनिक अनुक्रम, विशेष रूप से, बढ़ते क्रम और घटते क्रम हैं।

अंकगणितीय प्रगति

अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले वाले के बराबर होता है, जिसमें वही संख्या जोड़ी जाती है।

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . , एक, . . .

यदि किसी प्राकृत संख्या के लिए यह एक अंकगणितीय प्रगति है एन शर्त पूरी होती है:

एक +1 = एक + डी,

कहाँ डी - एक निश्चित संख्या.

इस प्रकार, किसी दिए गए अंकगणितीय प्रगति के अगले और पिछले पदों के बीच का अंतर हमेशा स्थिर रहता है:

एक 2 - ए 1 = एक 3 - ए 2 = . . . = एक +1 - एक = डी.

संख्या डी बुलाया अंकगणितीय प्रगति का अंतर.

एक अंकगणितीय प्रगति को परिभाषित करने के लिए, इसके पहले पद और अंतर को इंगित करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए,

अगर ए 1 = 3, डी = 4 , तो हम अनुक्रम के पहले पांच पद इस प्रकार पाते हैं:

एक 1 =3,

एक 2 = एक 1 + डी = 3 + 4 = 7,

एक 3 = एक 2 + डी= 7 + 4 = 11,

एक 4 = एक 3 + डी= 11 + 4 = 15,

ए 5 = ए 4 + डी= 15 + 4 = 19. ◄

पहले पद के साथ अंकगणितीय प्रगति के लिए ए 1 और अंतर डी उसकी एन

एक = एक 1 + (एन- 1)डी।

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति का तीसवाँ पद ज्ञात कीजिए

1, 4, 7, 10, . . .

एक 1 =1, डी = 3,

एक 30 = एक 1 + (30 - 1)डी = 1 + 29· 3 = 88. ◄

एक एन-1 = एक 1 + (एन- 2)डी,

एक= एक 1 + (एन- 1)डी,

एक +1 = ए 1 + रा,

तो जाहिर है

अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पूर्ववर्ती और बाद के सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

संख्याएँ a, b और c कुछ अंकगणितीय प्रगति के क्रमिक पद हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक अन्य दो के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

उदाहरण के लिए,

एक = 2एन- 7 , एक अंकगणितीय प्रगति है।

आइए उपरोक्त कथन का उपयोग करें। हमारे पास है:

एक = 2एन- 7,

एक एन-1 = 2(एन- 1) - 7 = 2एन- 9,

एक एन+1 = 2(एन+ 1) - 7 = 2एन- 5.

इस तरह,

◄

ध्यान दें कि एन अंकगणितीय प्रगति का वां पद न केवल के माध्यम से पाया जा सकता है ए 1 , लेकिन कोई पिछला भी एक क

एक = एक क + (एन- क)डी.

उदाहरण के लिए,

के लिए ए 5 लिखा जा सकता है

एक 5 = एक 1 + 4डी,

एक 5 = एक 2 + 3डी,

एक 5 = एक 3 + 2डी,

एक 5 = एक 4 + डी. ◄

एक = एक एन-के + केडी,

एक = ए एन+के - केडी,

तो जाहिर है

अंकगणितीय प्रगति का कोई भी सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, इस अंकगणितीय प्रगति के समान दूरी वाले सदस्यों के योग के आधे के बराबर होता है।

इसके अलावा, किसी भी अंकगणितीय प्रगति के लिए निम्नलिखित समानता है:

ए एम + ए एन = ए के + ए एल,

एम + एन = के + एल.

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति में

1) ए 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ए 9 + ए 11 )/2;

2) 28 = एक 10 = एक 3 + 7डी= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) एक 10= 28 = (19 + 37)/2 = (ए 7 + ए 13)/2;

4) ए 2 + ए 12 = ए 5 + ए 9, क्योंकि

ए 2 + ए 12= 4 + 34 = 38,

ए 5 + ए 9 = 13 + 25 = 38. ◄

एस एन= ए 1 + ए 2 + ए 3 +। . .+ एक,

पहला एन एक अंकगणितीय प्रगति के पद चरम पदों के आधे योग और पदों की संख्या के गुणनफल के बराबर होते हैं:

यहाँ से, विशेष रूप से, यह इस प्रकार है कि यदि आपको शर्तों का योग करने की आवश्यकता है

एक क, एक क +1 , . . . , एक,

तब पिछला सूत्र अपनी संरचना बरकरार रखता है:

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति में 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

एस 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = एस 10 - एस 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

यदि एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है, तो मात्राएँ ए 1 , एक, डी, एनऔरएस एन दो सूत्रों से जुड़ा:

इसलिए, यदि इनमें से तीन मात्राओं का मान दिया गया है, तो अन्य दो मात्राओं के संबंधित मान इन सूत्रों से निर्धारित किए जाते हैं, जिन्हें दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली में जोड़ा जाता है।

एक अंकगणितीय प्रगति एक मोनोटोनिक अनुक्रम है। जिसमें:

• अगर डी > 0 , तो यह बढ़ रहा है;
• अगर डी < 0 , तो यह घट रहा है;
• अगर डी = 0 , तो अनुक्रम स्थिर होगा।

ज्यामितीय अनुक्रम

ज्यामितीय अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, उसी संख्या से गुणा किए गए पिछले सदस्य के बराबर होता है।

बी 1 , बी 2 , बी 3 , . . . , बी एन, . . .

यदि किसी प्राकृतिक संख्या के लिए यह एक ज्यामितीय प्रगति है एन शर्त पूरी होती है:

बी एन +1 = बी एन · क्यू,

कहाँ क्यू ≠ 0 - एक निश्चित संख्या.

इस प्रकार, किसी दिए गए ज्यामितीय प्रगति के अगले पद का पिछले पद से अनुपात एक स्थिर संख्या है:

बी 2 / बी 1 = बी 3 / बी 2 = . . . = बी एन +1 / बी एन = क्यू.

संख्या क्यू बुलाया ज्यामितीय प्रगति का भाजक.

एक ज्यामितीय प्रगति को परिभाषित करने के लिए, इसके पहले पद और हर को इंगित करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए,

अगर बी 1 = 1, क्यू = -3 , तो हम अनुक्रम के पहले पांच पद इस प्रकार पाते हैं:

बी 1 = 1,

बी 2 = बी 1 · क्यू = 1 · (-3) = -3,

बी 3 = बी 2 · क्यू= -3 · (-3) = 9,

बी 4 = बी 3 · क्यू= 9 · (-3) = -27,

बी 5 = बी 4 · क्यू= -27 · (-3) = 81. ◄

बी 1 और हर क्यू उसकी एन वां पद सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

बी एन = बी 1 · क्यू.एन -1 .

उदाहरण के लिए,

ज्यामितीय प्रगति का सातवाँ पद ज्ञात कीजिए 1, 2, 4, . . .

बी 1 = 1, क्यू = 2,

बी 7 = बी 1 · क्यू 6 = 1 2 6 = 64. ◄

बी एन-1 = बी 1 · क्यू.एन -2 ,

बी एन = बी 1 · क्यू.एन -1 ,

बी एन +1 = बी 1 · क्यू.एन,

तो जाहिर है

बी एन 2 = बी एन -1 · बी एन +1 ,

ज्यामितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पूर्ववर्ती और बाद के सदस्यों के ज्यामितीय माध्य (आनुपातिक) के बराबर है।

चूँकि इसका विपरीत भी सत्य है, निम्नलिखित कथन सत्य है:

संख्याएँ a, b और c कुछ ज्यामितीय प्रगति के क्रमिक पद हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक का वर्ग अन्य दो के गुणनफल के बराबर है, अर्थात, संख्याओं में से एक अन्य दो का ज्यामितीय माध्य है।

उदाहरण के लिए,

आइए सिद्ध करें कि सूत्र द्वारा दिया गया क्रम बी एन= -3 2 एन , एक ज्यामितीय प्रगति है। आइए उपरोक्त कथन का उपयोग करें। हमारे पास है:

बी एन= -3 2 एन,

बी एन -1 = -3 2 एन -1 ,

बी एन +1 = -3 2 एन +1 .

इस तरह,

बी एन 2 = (-3 2 एन) 2 = (-3 2 एन -1 ) · (-3 · 2 एन +1 ) = बी एन -1 · बी एन +1 ,

जो वांछित कथन को सिद्ध करता है। ◄

ध्यान दें कि एन एक ज्यामितीय प्रगति का वां पद न केवल के माध्यम से पाया जा सकता है बी 1 , बल्कि कोई पिछला सदस्य भी बी के , जिसके लिए सूत्र का उपयोग करना पर्याप्त है

बी एन = बी के · क्यू.एन - क.

उदाहरण के लिए,

के लिए बी 5 लिखा जा सकता है

ख 5 = बी 1 · क्यू 4 ,

ख 5 = बी 2 · प्रश्न 3,

ख 5 = बी 3 · प्रश्न 2,

ख 5 = बी 4 · क्यू. ◄

बी एन = बी के · क्यू.एन - क,

बी एन = बी एन - क · क्यू के,

तो जाहिर है

बी एन 2 = बी एन - क· बी एन + क

किसी ज्यामितीय प्रगति के किसी भी पद का वर्ग, दूसरे से प्रारंभ करके, इस प्रगति के उससे समदूरस्थ पदों के गुणनफल के बराबर होता है।

इसके अलावा, किसी भी ज्यामितीय प्रगति के लिए समानता सत्य है:

बी एम· बी एन= बी के· बी एल,

एम+ एन= क+ एल.

उदाहरण के लिए,

ज्यामितीय प्रगति में

1) बी 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = बी 5 · बी 7 ;

2) 1024 = बी 11 = बी 6 · क्यू 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) बी 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = बी 4 · बी 8 ;

4) बी 2 · बी 7 = बी 4 · बी 5 , क्योंकि

बी 2 · बी 7 = 2 · 64 = 128,

बी 4 · बी 5 = 8 · 16 = 128. ◄

एस एन= बी 1 + बी 2 + बी 3 + . . . + बी एन

पहला एन हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्य क्यू ≠ 0 सूत्र द्वारा गणना:

और जब क्यू = 1 - सूत्र के अनुसार

एस एन= नायब 1

ध्यान दें कि यदि आपको शर्तों का योग करने की आवश्यकता है

बी के, बी के +1 , . . . , बी एन,

तब सूत्र का उपयोग किया जाता है:

उदाहरण के लिए,

ज्यामितीय प्रगति में 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

एस 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = एस 10 - एस 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

यदि एक ज्यामितीय प्रगति दी गई है, तो मात्राएँ बी 1 , बी एन, क्यू, एनऔर एस एन दो सूत्रों से जुड़ा:

इसलिए, यदि इनमें से किन्हीं तीन मात्राओं का मान दिया गया है, तो अन्य दो मात्राओं के संगत मान इन सूत्रों से निर्धारित किए जाते हैं, जिन्हें दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली में जोड़ा जाता है।

पहले पद के साथ ज्यामितीय प्रगति के लिए बी 1 और हर क्यू निम्नलिखित घटित होता है एकरसता के गुण :

• यदि निम्नलिखित में से कोई एक शर्त पूरी होती है तो प्रगति बढ़ रही है:

बी 1 > 0 और क्यू> 1;

बी 1 < 0 और 0 < क्यू< 1;

• यदि निम्नलिखित में से कोई एक शर्त पूरी होती है तो प्रगति कम हो रही है:

बी 1 > 0 और 0 < क्यू< 1;

बी 1 < 0 और क्यू> 1.

अगर क्यू< 0 , तो ज्यामितीय प्रगति बारी-बारी से होती है: विषम संख्याओं वाले इसके पदों का चिह्न इसके पहले पद के समान होता है, और सम संख्याओं वाले पदों का विपरीत चिह्न होता है। यह स्पष्ट है कि एक वैकल्पिक ज्यामितीय प्रगति मोनोटोनिक नहीं है।

पहले का उत्पाद एन ज्यामितीय प्रगति की शर्तों की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

पी एन= बी 1 · बी 2 · बी 3 · . . . · बी एन = (बी 1 · बी एन) एन / 2 .

उदाहरण के लिए,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति एक अनंत ज्यामितीय प्रगति कहलाती है जिसका हर मापांक कम होता है 1 , वह है

|क्यू| < 1 .

ध्यान दें कि अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति घटता क्रम नहीं हो सकता है। यह अवसर के अनुकूल है

1 < क्यू< 0 .

ऐसे हर के साथ, क्रम बदल रहा है। उदाहरण के लिए,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग उस संख्या का नाम बताएं जिस तक प्रथम संख्याओं का योग बिना किसी सीमा के पहुंचता है एन संख्या में असीमित वृद्धि के साथ एक प्रगति के सदस्य एन . यह संख्या सदैव परिमित होती है और सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है

उदाहरण के लिए,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति के बीच संबंध

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति निकट से संबंधित हैं। आइए केवल दो उदाहरण देखें।

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . डी , वह

बी ० ए 1 , बी ० ए 2 , बी ० ए 3 , . . . बी डी .

उदाहरण के लिए,

1, 3, 5, . . . - अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति 2 और

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - हर के साथ ज्यामितीय प्रगति 7 2 . ◄

बी 1 , बी 2 , बी 3 , . . . - हर के साथ ज्यामितीय प्रगति क्यू , वह

लॉग ए बी 1, लॉग ए बी 2, लॉग ए बी 3, . . . - अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति लॉग एक्यू .

उदाहरण के लिए,

2, 12, 72, . . . - हर के साथ ज्यामितीय प्रगति 6 और

एलजी 2, एलजी 12, एलजी 72, . . . - अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति एलजी 6 . ◄

संख्या अनुक्रम की अवधारणा का तात्पर्य है कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या कुछ वास्तविक मूल्य से मेल खाती है। संख्याओं की ऐसी श्रृंखला या तो मनमानी हो सकती है या इसमें कुछ निश्चित गुण हो सकते हैं - एक प्रगति। बाद वाले मामले में, अनुक्रम के प्रत्येक बाद के तत्व (सदस्य) की गणना पिछले वाले का उपयोग करके की जा सकती है।

अंकगणितीय प्रगति संख्यात्मक मानों का एक क्रम है जिसमें इसके पड़ोसी सदस्य एक ही संख्या से एक दूसरे से भिन्न होते हैं (श्रृंखला के सभी तत्व, दूसरे से शुरू होकर, समान संपत्ति रखते हैं)। यह संख्या - पिछले और बाद के पदों के बीच का अंतर - स्थिर है और इसे प्रगति अंतर कहा जाता है।

प्रगति अंतर: परिभाषा

j मानों वाले अनुक्रम पर विचार करें A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय N से संबंधित है। एक अंकगणित प्रगति, इसकी परिभाषा के अनुसार, एक अनुक्रम है, जिसमें a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – ए(जे-1) = डी. मान d इस प्रगति का वांछित अंतर है।

डी = ए(जे) – ए(जे-1).

प्रमुखता से दिखाना:

• एक बढ़ती हुई प्रगति, जिस स्थिति में d > 0. उदाहरण: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• घटती हुई प्रगति, फिर d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

अंतर प्रगति और उसके मनमाने तत्व

यदि प्रगति के 2 मनमाने पद ज्ञात हैं (i-th, k-th), तो किसी दिए गए अनुक्रम के लिए अंतर संबंध के आधार पर निर्धारित किया जा सकता है:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, जिसका अर्थ है d = (a(i) – a(k))/(i-k).

प्रगति का अंतर और उसका पहला पद

यह अभिव्यक्ति केवल उन मामलों में अज्ञात मान निर्धारित करने में मदद करेगी जहां अनुक्रम तत्व की संख्या ज्ञात है।

प्रगति अंतर और उसका योग

किसी प्रगति का योग उसके पदों का योग होता है। इसके पहले j तत्वों के कुल मूल्य की गणना करने के लिए, उपयुक्त सूत्र का उपयोग करें:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, लेकिन तब से a(j) = a(1) + d(j – 1), फिर S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(- 1))/2)*j.

माध्यमिक विद्यालय (9वीं कक्षा) में बीजगणित का अध्ययन करते समय, महत्वपूर्ण विषयों में से एक संख्यात्मक अनुक्रमों का अध्ययन है, जिसमें प्रगति - ज्यामितीय और अंकगणित शामिल हैं। इस लेख में हम अंकगणितीय प्रगति और समाधान के साथ उदाहरण देखेंगे।

अंकगणितीय प्रगति क्या है?

इसे समझने के लिए, प्रश्न में प्रगति को परिभाषित करना आवश्यक है, साथ ही बुनियादी सूत्र भी प्रदान करना आवश्यक है जिनका उपयोग बाद में समस्याओं को हल करने में किया जाएगा।

अंकगणित या बीजगणितीय प्रगति क्रमबद्ध तर्कसंगत संख्याओं का एक सेट है, जिसका प्रत्येक पद पिछले एक से कुछ स्थिर मान से भिन्न होता है। इस मान को अंतर कहा जाता है. अर्थात्, संख्याओं की क्रमबद्ध श्रृंखला के किसी भी सदस्य और अंतर को जानकर, आप संपूर्ण अंकगणितीय प्रगति को पुनर्स्थापित कर सकते हैं।

चलिए एक उदाहरण देते हैं. संख्याओं का निम्नलिखित क्रम एक अंकगणितीय प्रगति होगी: 4, 8, 12, 16, ..., क्योंकि इस मामले में अंतर 4 है (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12)। लेकिन संख्या 3, 5, 8, 12, 17 के समुच्चय को अब विचाराधीन प्रगति के प्रकार के लिए जिम्मेदार नहीं ठहराया जा सकता है, क्योंकि इसके लिए अंतर एक स्थिर मान नहीं है (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

महत्वपूर्ण सूत्र

आइए अब उन बुनियादी सूत्रों को प्रस्तुत करें जिनकी अंकगणितीय प्रगति का उपयोग करके समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यकता होगी। आइए हम अनुक्रम के nवें सदस्य को प्रतीक a n से निरूपित करें, जहाँ n एक पूर्णांक है। हम अंतर को लैटिन अक्षर d से दर्शाते हैं। तब निम्नलिखित अभिव्यक्तियाँ मान्य हैं:

1. nवें पद का मान निर्धारित करने के लिए, निम्नलिखित सूत्र उपयुक्त है: a n = (n-1)*d+a 1।
2. प्रथम n पदों का योग ज्ञात करने के लिए: S n = (a n +a 1)*n/2.

9वीं कक्षा में समाधान के साथ अंकगणितीय प्रगति के किसी भी उदाहरण को समझने के लिए, इन दो सूत्रों को याद रखना पर्याप्त है, क्योंकि विचाराधीन प्रकार की कोई भी समस्या उनके उपयोग पर आधारित है। आपको यह भी याद रखना चाहिए कि प्रगति अंतर सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: d = a n - a n-1।

उदाहरण #1: किसी अज्ञात सदस्य को ढूँढना

आइए अंकगणितीय प्रगति का एक सरल उदाहरण और इसे हल करने के लिए उपयोग किए जाने वाले सूत्रों का उदाहरण दें।

मान लीजिए कि अनुक्रम 10, 8, 6, 4, ... दिया गया है, आपको इसमें पाँच पद खोजने होंगे।

समस्या की स्थितियों से यह पहले से ही पता चलता है कि पहले 4 पद ज्ञात हैं। पाँचवें को दो प्रकार से परिभाषित किया जा सकता है:

1. आइए पहले अंतर की गणना करें। हमारे पास है: d = 8 - 10 = -2. इसी तरह, आप किन्हीं दो अन्य सदस्यों को एक-दूसरे के बगल में खड़ा ले सकते हैं। उदाहरण के लिए, d = 4 - 6 = -2. चूँकि यह ज्ञात है कि d = a n - a n-1, तो d = a 5 - a 4, जिससे हमें प्राप्त होता है: a 5 = a 4 + d। हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: a 5 = 4 + (-2) = 2।
2. दूसरी विधि के लिए भी प्रश्न में प्रगति के अंतर के ज्ञान की आवश्यकता होती है, इसलिए आपको पहले इसे ऊपर दिखाए अनुसार निर्धारित करने की आवश्यकता है (डी = -2)। यह जानते हुए कि पहला पद a 1 = 10 है, हम अनुक्रम की n संख्या के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं। हमारे पास है: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n। अंतिम व्यंजक में n = 5 प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: a 5 = 12-2 * 5 = 2।

जैसा कि आप देख सकते हैं, दोनों समाधानों का परिणाम एक ही था। ध्यान दें कि इस उदाहरण में प्रगति अंतर d एक ऋणात्मक मान है। ऐसे अनुक्रमों को घटते क्रम कहा जाता है, क्योंकि प्रत्येक अगला पद पिछले से छोटा होता है।

उदाहरण #2: प्रगति अंतर

अब कार्य को थोड़ा जटिल बनाते हैं, आइए एक उदाहरण देते हैं कि कैसे

यह ज्ञात है कि कुछ में पहला पद 6 के बराबर है, और 7वाँ पद 18 के बराबर है। अंतर ज्ञात करना और इस क्रम को 7वें पद पर पुनर्स्थापित करना आवश्यक है।

आइए अज्ञात पद निर्धारित करने के लिए सूत्र का उपयोग करें: a n = (n - 1) * d + a 1। आइए इसमें स्थिति से ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करें, यानी संख्याएं 1 और 7, हमारे पास है: 18 = 6 + 6 * डी। इस अभिव्यक्ति से आप आसानी से अंतर की गणना कर सकते हैं: d = (18 - 6) /6 = 2। इस प्रकार, हमने समस्या के पहले भाग का उत्तर दे दिया है।

अनुक्रम को 7वें पद पर पुनर्स्थापित करने के लिए, आपको बीजगणितीय प्रगति की परिभाषा का उपयोग करना चाहिए, अर्थात, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, इत्यादि। परिणामस्वरूप, हम पूरे अनुक्रम को पुनर्स्थापित करते हैं: ए 1 = 6, ए 2 = 6 + 2 = 8, ए 3 = 8 + 2 = 10, ए 4 = 10 + 2 = 12, ए 5 = 12 + 2 = 14 , ए 6 = 14 + 2 = 16, ए 7 = 18।

उदाहरण संख्या 3: एक प्रगति तैयार करना

चलिए समस्या को और भी जटिल बनाते हैं। अब हमें इस प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है कि अंकगणितीय प्रगति कैसे ज्ञात करें। निम्नलिखित उदाहरण दिया जा सकता है: दो संख्याएँ दी गई हैं, उदाहरण के लिए - 4 और 5। एक बीजगणितीय प्रगति बनाना आवश्यक है ताकि इनके बीच तीन और पद रखे जा सकें।

इससे पहले कि आप इस समस्या को हल करना शुरू करें, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि दी गई संख्याएँ भविष्य की प्रगति में किस स्थान पर कब्जा करेंगी। चूँकि उनके बीच तीन और पद होंगे, तो a 1 = -4 और a 5 = 5. इसे स्थापित करने के बाद, हम समस्या की ओर बढ़ते हैं, जो पिछले वाले के समान है। पुनः, nवें पद के लिए हम सूत्र का उपयोग करते हैं, हमें मिलता है: a 5 = a 1 + 4 * d। से: डी = (ए 5 - ए 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25। यहां हमें जो मिला वह अंतर का पूर्णांक मान नहीं है, बल्कि यह एक तर्कसंगत संख्या है, इसलिए बीजगणितीय प्रगति के सूत्र वही रहते हैं।

आइए अब पाए गए अंतर को 1 में जोड़ें और प्रगति के लुप्त पदों को पुनर्स्थापित करें। हमें मिलता है: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, जो संपाती है समस्या की शर्तों के साथ.

उदाहरण संख्या 4: प्रगति का पहला पद

आइए समाधानों के साथ अंकगणितीय प्रगति के उदाहरण देना जारी रखें। पिछली सभी समस्याओं में, बीजगणितीय प्रगति की पहली संख्या ज्ञात थी। आइए अब एक भिन्न प्रकार की समस्या पर विचार करें: मान लीजिए कि दो संख्याएँ दी गई हैं, जहाँ a 15 = 50 और a 43 = 37 है। यह पता लगाना आवश्यक है कि यह क्रम किस संख्या से शुरू होता है।

अब तक उपयोग किए गए सूत्र ए 1 और डी का ज्ञान मानते हैं। समस्या कथन में इन नंबरों के बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है। फिर भी, हम प्रत्येक पद के लिए व्यंजक लिखेंगे जिसके बारे में जानकारी उपलब्ध है: a 15 = a 1 + 14 * d और a 43 = a 1 + 42 * d। हमें दो समीकरण प्राप्त हुए जिनमें 2 अज्ञात मात्राएँ (a 1 और d) हैं। इसका मतलब यह है कि समस्या को रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने तक सीमित कर दिया गया है।

इस प्रणाली को हल करने का सबसे आसान तरीका प्रत्येक समीकरण में 1 व्यक्त करना और फिर परिणामी अभिव्यक्तियों की तुलना करना है। पहला समीकरण: ए 1 = ए 15 - 14 * डी = 50 - 14 * डी; दूसरा समीकरण: ए 1 = ए 43 - 42 * डी = 37 - 42 * डी। इन भावों को समान करने पर, हमें मिलता है: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, जहाँ से अंतर d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (केवल 3 दशमलव स्थान दिए गए हैं)।

d को जानने के बाद, आप 1 के लिए उपरोक्त 2 अभिव्यक्तियों में से किसी एक का उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, पहला: ए 1 = 50 - 14 * डी = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496।

यदि आपको प्राप्त परिणाम के बारे में संदेह है, तो आप इसकी जांच कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, प्रगति का 43वां पद निर्धारित कर सकते हैं, जो शर्त में निर्दिष्ट है। हमें मिलता है: ए 43 = ए 1 + 42 * डी = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008। छोटी सी त्रुटि इस तथ्य के कारण है कि गणना में हजारवें तक पूर्णांकन का उपयोग किया गया था।

उदाहरण संख्या 5: राशि

आइए अब अंकगणितीय प्रगति के योग के समाधान के साथ कई उदाहरण देखें।

मान लीजिए कि निम्नलिखित रूप की एक संख्यात्मक प्रगति दी गई है: 1, 2, 3, 4, ...,। इनमें से 100 संख्याओं का योग कैसे निकालें?

कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के विकास के लिए धन्यवाद, इस समस्या को हल करना संभव है, अर्थात, सभी संख्याओं को क्रमिक रूप से जोड़ना, जो कि कंप्यूटर तब करेगा जब कोई व्यक्ति एंटर कुंजी दबाएगा। हालाँकि, समस्या को मानसिक रूप से हल किया जा सकता है यदि आप ध्यान दें कि संख्याओं की प्रस्तुत श्रृंखला एक बीजगणितीय प्रगति है, और इसका अंतर 1 के बराबर है। योग के लिए सूत्र लागू करने पर, हमें मिलता है: एस एन = एन * (ए 1 + ए एन) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050।

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि इस समस्या को "गाऊसियन" कहा जाता है क्योंकि 18वीं शताब्दी की शुरुआत में प्रसिद्ध जर्मन, जो अभी भी केवल 10 वर्ष का था, इसे अपने दिमाग में कुछ ही सेकंड में हल करने में सक्षम था। लड़के को बीजगणितीय प्रगति के योग का सूत्र नहीं पता था, लेकिन उसने देखा कि यदि आप अनुक्रम के अंत में संख्याओं को जोड़े में जोड़ते हैं, तो आपको हमेशा एक ही परिणाम मिलता है, यानी 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., और चूँकि ये योग बिल्कुल 50 (100/2) होंगे, तो सही उत्तर पाने के लिए 50 को 101 से गुणा करना पर्याप्त है।

उदाहरण संख्या 6: n से m तक पदों का योग

अंकगणितीय प्रगति के योग का एक और विशिष्ट उदाहरण निम्नलिखित है: संख्याओं की एक श्रृंखला दी गई है: 3, 7, 11, 15, ..., आपको यह पता लगाना होगा कि 8 से 14 तक इसके पदों का योग किसके बराबर होगा .

समस्या का समाधान दो प्रकार से किया जाता है। उनमें से पहले में 8 से 14 तक अज्ञात पदों को ढूंढना और फिर उन्हें क्रमिक रूप से जोड़ना शामिल है। चूँकि इसमें कुछ शर्तें हैं, इसलिए यह विधि काफी श्रम-गहन नहीं है। फिर भी, इस समस्या को दूसरी विधि का उपयोग करके हल करने का प्रस्ताव है, जो अधिक सार्वभौमिक है।

विचार यह है कि पदों m और n के बीच बीजगणितीय प्रगति के योग के लिए एक सूत्र प्राप्त किया जाए, जहाँ n > m पूर्णांक हैं। दोनों मामलों के लिए, हम योग के लिए दो अभिव्यक्तियाँ लिखते हैं:

1. एस एम = एम * (ए एम + ए 1)/2.
2. एस एन = एन * (ए एन + ए 1) / 2।

चूँकि n > m, यह स्पष्ट है कि दूसरे योग में पहला भी शामिल है। अंतिम निष्कर्ष का अर्थ है कि यदि हम इन योगों के बीच का अंतर लेते हैं और इसमें a m शब्द जोड़ते हैं (अंतर लेने के मामले में, इसे योग S n से घटा दिया जाता है), तो हमें समस्या का आवश्यक उत्तर प्राप्त होगा। हमारे पास है: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * एन/2 + ए एम * (1- एम/2)। इस अभिव्यक्ति में a n और a m के लिए सूत्रों को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। तब हमें मिलता है: एस एमएन = ए 1 * (एन - एम) / 2 + एन * (ए 1 + (एन - 1) * डी) / 2 + (ए 1 + (एम - 1) * डी) * (1 - एम / 2) = ए 1 * (एन - एम + 1) + डी * एन * (एन - 1) / 2 + डी *(3 * एम - एम 2 - 2) / 2।

परिणामी सूत्र कुछ हद तक बोझिल है, हालाँकि, योग S mn केवल n, m, a 1 और d पर निर्भर करता है। हमारे मामले में, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8। इन संख्याओं को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: S mn = 301।

जैसा कि उपरोक्त समाधानों से देखा जा सकता है, सभी समस्याएं nवें पद के व्यंजक और पहले पदों के समुच्चय के योग के सूत्र के ज्ञान पर आधारित हैं। इनमें से किसी भी समस्या का समाधान शुरू करने से पहले, यह अनुशंसा की जाती है कि आप स्थिति को ध्यान से पढ़ें, स्पष्ट रूप से समझें कि आपको क्या खोजने की आवश्यकता है, और उसके बाद ही समाधान के साथ आगे बढ़ें।

एक और युक्ति सरलता के लिए प्रयास करना है, अर्थात, यदि आप जटिल गणितीय गणनाओं का उपयोग किए बिना किसी प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं, तो आपको बस यही करने की आवश्यकता है, क्योंकि इस मामले में गलती होने की संभावना कम है। उदाहरण के लिए, समाधान संख्या 6 के साथ अंकगणितीय प्रगति के उदाहरण में, कोई सूत्र S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, और सूत्र पर रुक सकता है। समग्र समस्या को अलग-अलग उपकार्यों में विभाजित करें (इस मामले में, पहले शब्द a n और a m खोजें)।

यदि आपको प्राप्त परिणाम के बारे में संदेह है, तो इसे जांचने की अनुशंसा की जाती है, जैसा कि दिए गए कुछ उदाहरणों में किया गया था। हमें पता चला कि अंकगणितीय प्रगति कैसे ज्ञात की जाती है। यदि आप इसे समझ लें तो यह उतना कठिन नहीं है।

या अंकगणित एक प्रकार का क्रमबद्ध संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसके गुणों का अध्ययन स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में किया जाता है। यह आलेख इस प्रश्न पर विस्तार से चर्चा करता है कि अंकगणितीय प्रगति का योग कैसे ज्ञात किया जाए।

यह किस प्रकार की प्रगति है?

प्रश्न पर आगे बढ़ने से पहले (अंकगणितीय प्रगति का योग कैसे ज्ञात करें), यह समझने लायक है कि हम किस बारे में बात कर रहे हैं।

वास्तविक संख्याओं का कोई भी क्रम जो प्रत्येक पिछली संख्या में कुछ मान जोड़ने (घटाने) से प्राप्त होता है, बीजगणितीय (अंकगणितीय) प्रगति कहलाता है। यह परिभाषा, जब गणितीय भाषा में अनुवादित की जाती है, तो यह रूप लेती है:

यहां i श्रृंखला के तत्व a i की क्रम संख्या है। इस प्रकार, केवल एक प्रारंभिक संख्या को जानकर, आप पूरी श्रृंखला को आसानी से पुनर्स्थापित कर सकते हैं। सूत्र में पैरामीटर d को प्रगति अंतर कहा जाता है।

यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि विचाराधीन संख्याओं की श्रृंखला के लिए निम्नलिखित समानता है:

ए एन = ए 1 + डी * (एन - 1)।

यानी क्रम से nवें तत्व का मान ज्ञात करने के लिए आपको अंतर d को पहले तत्व a में 1 n-1 बार जोड़ना चाहिए।

अंकगणितीय प्रगति का योग क्या है: सूत्र

संकेतित राशि का सूत्र देने से पहले, एक साधारण विशेष मामले पर विचार करना उचित है। 1 से 10 तक प्राकृतिक संख्याओं की प्रगति को देखते हुए, आपको उनका योग ज्ञात करना होगा। चूंकि प्रगति (10) में कुछ पद हैं, इसलिए समस्या को सीधे हल करना संभव है, यानी सभी तत्वों को क्रम में जोड़ना।

एस 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

एक दिलचस्प बात पर विचार करना उचित है: चूंकि प्रत्येक पद अगले से समान मान d = 1 से भिन्न होता है, तो पहले को दसवें के साथ, दूसरे को नौवें के साथ, और इसी तरह जोड़ीवार योग करने से समान परिणाम मिलेगा। वास्तव में:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

जैसा कि आप देख सकते हैं, इनमें से केवल 5 योग हैं, यानी श्रृंखला के तत्वों की संख्या से ठीक दो गुना कम। फिर योगों की संख्या (5) को प्रत्येक योग (11) के परिणाम से गुणा करने पर आप पहले उदाहरण में प्राप्त परिणाम पर पहुंचेंगे।

यदि हम इन तर्कों का सामान्यीकरण करें, तो हम निम्नलिखित अभिव्यक्ति लिख सकते हैं:

एस एन = एन * (ए 1 + ए एन) / 2।

यह अभिव्यक्ति दर्शाती है कि एक पंक्ति में सभी तत्वों का योग करना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है; यह पहले a 1 और अंतिम a n का मान, साथ ही शब्दों n की कुल संख्या जानने के लिए पर्याप्त है।

ऐसा माना जाता है कि गॉस ने पहली बार इस समानता के बारे में तब सोचा था जब वह अपने स्कूल शिक्षक द्वारा दी गई समस्या का समाधान ढूंढ रहे थे: पहले 100 पूर्णांकों का योग करें।

एम से एन तक तत्वों का योग: सूत्र

पिछले पैराग्राफ में दिया गया सूत्र इस प्रश्न का उत्तर देता है कि अंकगणितीय प्रगति (पहले तत्वों) का योग कैसे पाया जाए, लेकिन अक्सर समस्याओं में प्रगति के बीच में संख्याओं की एक श्रृंखला का योग करना आवश्यक होता है। इसे कैसे करना है?

इस प्रश्न का उत्तर देने का सबसे आसान तरीका निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करना है: मान लीजिए कि m-वें से n-वें तक पदों का योग ज्ञात करना आवश्यक है। समस्या को हल करने के लिए, आपको प्रगति के m से n तक दिए गए खंड को एक नई संख्या श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत करना चाहिए। इस प्रतिनिधित्व में, mवां पद a m पहला होगा, और a n को n-(m-1) क्रमांकित किया जाएगा। इस मामले में, योग के लिए मानक सूत्र लागू करने पर, निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त होगी:

एस एम एन = (एन - एम + 1) * (ए एम + ए एन) / 2।

सूत्रों का उपयोग करने का उदाहरण

अंकगणितीय प्रगति का योग कैसे ज्ञात करें, यह जानने के लिए उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करने के एक सरल उदाहरण पर विचार करना उचित है।

नीचे एक संख्यात्मक अनुक्रम दिया गया है, आपको इसके पदों का योग ज्ञात करना चाहिए, जो 5वें से शुरू होकर 12वें पर समाप्त होता है:

दी गई संख्याएं दर्शाती हैं कि अंतर d 3 के बराबर है। nवें तत्व के लिए अभिव्यक्ति का उपयोग करके, आप प्रगति के 5वें और 12वें पदों के मान पा सकते हैं। यह पता चला है:

ए 5 = ए 1 + डी * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

ए 12 = ए 1 + डी * 11 = -4 + 3 * 11 = 29।

विचाराधीन बीजगणितीय प्रगति के अंत में संख्याओं के मूल्यों को जानने के साथ-साथ यह जानने के साथ कि वे श्रृंखला में किन संख्याओं पर कब्जा करते हैं, आप पिछले पैराग्राफ में प्राप्त योग के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। यह निकलेगा:

एस 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148।

यह ध्यान देने योग्य है कि यह मान अलग-अलग तरीके से प्राप्त किया जा सकता है: पहले मानक सूत्र का उपयोग करके पहले 12 तत्वों का योग ज्ञात करें, फिर उसी सूत्र का उपयोग करके पहले 4 तत्वों के योग की गणना करें, फिर पहले योग से दूसरे को घटाएं।

आई. वी. याकोवलेव | गणित सामग्री | MathUs.ru

अंकगणितीय प्रगति

अंकगणितीय प्रगति एक विशेष प्रकार का अनुक्रम है। इसलिए, अंकगणितीय (और फिर ज्यामितीय) प्रगति को परिभाषित करने से पहले, हमें संख्या अनुक्रम की महत्वपूर्ण अवधारणा पर संक्षेप में चर्चा करने की आवश्यकता है।

परिणाम को

एक ऐसे उपकरण की कल्पना करें जिसकी स्क्रीन पर कुछ संख्याएँ एक के बाद एक प्रदर्शित होती हैं। मान लीजिए 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : संख्याओं का यह सेट वास्तव में अनुक्रम का एक उदाहरण है।

परिभाषा। संख्या अनुक्रम संख्याओं का एक समूह है जिसमें प्रत्येक संख्या को एक अद्वितीय संख्या दी जा सकती है (अर्थात्, एक प्राकृतिक संख्या से संबद्ध)1। संख्या n को अनुक्रम का nवाँ पद कहा जाता है।

तो, उपरोक्त उदाहरण में, पहली संख्या 2 है, यह अनुक्रम का पहला सदस्य है, जिसे a1 द्वारा दर्शाया जा सकता है; संख्या पाँच में संख्या 6 है जो अनुक्रम का पाँचवाँ पद है, जिसे a5 द्वारा दर्शाया जा सकता है। सामान्य तौर पर, किसी अनुक्रम का nवाँ पद a (या bn, cn, आदि) द्वारा दर्शाया जाता है।

एक बहुत ही सुविधाजनक स्थिति वह है जब अनुक्रम का nवाँ पद किसी सूत्र द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सूत्र a = 2n 3 अनुक्रम निर्दिष्ट करता है: 1; 1; 3; 5; 7; : : : सूत्र an = (1)n अनुक्रम निर्दिष्ट करता है: 1; 1; 1; 1; : : :

संख्याओं का प्रत्येक सेट एक क्रम नहीं है। इस प्रकार, एक खंड एक अनुक्रम नहीं है; इसमें पुनः क्रमांकित करने के लिए "बहुत अधिक" संख्याएँ हैं। सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R भी एक अनुक्रम नहीं है। ये तथ्य गणितीय विश्लेषण के दौरान सिद्ध होते हैं।

अंकगणितीय प्रगति: बुनियादी परिभाषाएँ

अब हम अंकगणितीय प्रगति को परिभाषित करने के लिए तैयार हैं।

परिभाषा। अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक पद (दूसरे से शुरू) पिछले पद और कुछ निश्चित संख्या के योग के बराबर होता है (जिसे अंकगणितीय प्रगति का अंतर कहा जाता है)।

उदाहरण के लिए, अनुक्रम 2; 5; 8; ग्यारह; : : : एक अंकगणितीय प्रगति है जिसका पहला पद 2 और अंतर 3 है। अनुक्रम 7; 2; 3; 8; : : : एक अंकगणितीय प्रगति है जिसका पहला पद 7 और अंतर 5 है। अनुक्रम 3; 3; 3; : : : एक अंकगणितीय प्रगति है जिसका अंतर शून्य के बराबर है।

समतुल्य परिभाषा: अनुक्रम a को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है यदि अंतर an+1 an एक स्थिर मान (n से स्वतंत्र) है।

एक अंकगणितीय प्रगति को बढ़ना कहा जाता है यदि इसका अंतर सकारात्मक है, और यदि इसका अंतर नकारात्मक है तो इसे घटना कहा जाता है।

1 लेकिन यहां एक अधिक संक्षिप्त परिभाषा है: अनुक्रम प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर परिभाषित एक फ़ंक्शन है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं का अनुक्रम एक फ़ंक्शन f: N है! आर।

डिफ़ॉल्ट रूप से, अनुक्रमों को अनंत माना जाता है, अर्थात, इसमें अनंत संख्या में संख्याएँ होती हैं। लेकिन कोई भी हमें परिमित अनुक्रमों पर विचार करने के लिए परेशान नहीं करता है; वास्तव में, संख्याओं के किसी भी परिमित समुच्चय को परिमित अनुक्रम कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, अंतिम क्रम 1 है; 2; 3; 4; 5 में पाँच संख्याएँ शामिल हैं।

अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के लिए सूत्र

यह समझना आसान है कि एक अंकगणितीय प्रगति पूरी तरह से दो संख्याओं द्वारा निर्धारित होती है: पहला पद और अंतर। इसलिए, सवाल उठता है: पहले पद और अंतर को जानकर, अंकगणितीय प्रगति का एक मनमाना पद कैसे खोजा जाए?

अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के लिए आवश्यक सूत्र प्राप्त करना कठिन नहीं है। चलो एक

समस्या 1. अंकगणितीय प्रगति 2 में; 5; 8; ग्यारह; : : : nवें पद का सूत्र ज्ञात करें और सौवें पद की गणना करें।

समाधान। सूत्र (1) के अनुसार हमारे पास है:

एक = 2 ​​+ 3(एन 1) = 3एन 1:

ए100 = 3 100 1 = 299:

अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति और संकेत

अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति. अंकगणितीय प्रगति में किसी के लिए

दूसरे शब्दों में, अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य (दूसरे से शुरू) उसके पड़ोसी सदस्यों का अंकगणितीय माध्य है।

जो कि आवश्यक था।

अधिक सामान्यतः, अंकगणितीय प्रगति समानता को संतुष्ट करती है

ए एन = ए एन के + ए एन+के

किसी भी n > 2 और किसी भी प्राकृतिक k के लिए< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

यह पता चलता है कि सूत्र (2) न केवल एक आवश्यक के रूप में बल्कि अनुक्रम के अंकगणितीय प्रगति के लिए पर्याप्त शर्त के रूप में भी कार्य करता है।

अंकगणितीय प्रगति चिह्न. यदि समानता (2) सभी n > 2 के लिए है, तो अनुक्रम एक अंकगणितीय प्रगति है।

सबूत। आइए सूत्र (2) को इस प्रकार पुनः लिखें:

ए एन ए एन 1 = ए एन+1 ए एन:

इससे हम देख सकते हैं कि अंतर an+1 an n पर निर्भर नहीं करता है, और इसका सटीक अर्थ यह है कि अनुक्रम a एक अंकगणितीय प्रगति है।

अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति और चिह्न को एक कथन के रूप में तैयार किया जा सकता है; सुविधा के लिए, हम इसे तीन संख्याओं के लिए करेंगे (यही स्थिति है जो अक्सर समस्याओं में होती है)।

अंकगणितीय प्रगति का लक्षण वर्णन. तीन संख्याएँ a, b, c एक अंकगणितीय प्रगति बनाती हैं यदि और केवल यदि 2b = a + c।

समस्या 2. (एमएसयू, अर्थशास्त्र संकाय, 2007) संकेतित क्रम में तीन संख्याएँ 8x, 3 x2 और 4 घटती अंकगणितीय प्रगति बनाती हैं। x ज्ञात कीजिए और इस प्रगति का अंतर बताइए।

समाधान। अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति से हमारे पास है:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; एक्स = 5:

यदि x = 1 है, तो हमें 6 के अंतर के साथ 8, 2, 4 की घटती हुई प्रगति मिलती है। यदि x = 5 है, तो हमें 40, 22, 4 की बढ़ती हुई प्रगति मिलती है; यह मामला उपयुक्त नहीं है.

उत्तर: x = 1, अंतर 6 है।

अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग

किंवदंती है कि एक दिन शिक्षक ने बच्चों को 1 से 100 तक की संख्याओं का योग निकालने को कहा और चुपचाप अखबार पढ़ने बैठ गये। हालांकि, कुछ ही मिनटों में एक लड़के ने कहा कि उसने समस्या का समाधान कर लिया है. यह 9 वर्षीय कार्ल फ्रेडरिक गॉस था, जो बाद में इतिहास के सबसे महान गणितज्ञों में से एक था।

लिटिल गॉस का विचार इस प्रकार था. होने देना

एस = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

आइए इस राशि को उल्टे क्रम में लिखें:

एस = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

और ये दो सूत्र जोड़ें:

2एस = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

कोष्ठक में प्रत्येक पद 101 के बराबर है, और इसलिए ऐसे कुल 100 पद हैं

2एस = 101 100 = 10100;

हम इस विचार का उपयोग योग सूत्र प्राप्त करने के लिए करते हैं

एस = ए1 + ए2 + : : : + एएन + एएनएन: (3)

यदि हम nवें पद a = a1 + (n 1)d के सूत्र को इसमें प्रतिस्थापित करते हैं तो सूत्र (3) का एक उपयोगी संशोधन प्राप्त होता है:

समस्या 3. 13 से विभाज्य सभी सकारात्मक तीन अंकों की संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान। तीन अंकों की संख्याएँ जो 13 के गुणज हैं, एक अंकगणितीय प्रगति बनाती हैं जिसका पहला पद 104 है और अंतर 13 है; इस प्रगति के nवें पद का रूप इस प्रकार है:

ए = 104 + 13(एन 1) = 91 + 13एन:

आइए जानें कि हमारी प्रगति में कितने पद शामिल हैं। ऐसा करने के लिए, हम असमानता को हल करते हैं:

एक 6 999; 91 + 13एन 6 999;

एन 6 908 13 = 6911 13; एन 6 69:

तो, हमारी प्रगति में 69 सदस्य हैं। सूत्र (4) का उपयोग करके हम आवश्यक राशि ज्ञात करते हैं:

एस = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2