Convexité de la fonction. Direction convexe

Le concept de convexité d'une fonction

Considérons la fonction \(y = f\left(x \right),\) qui est supposée continue sur l'intervalle \(\left[ (a,b) \right].\) Fonction \(y = f\ left(x \right )\) est appelé convexe vers le bas (ou simplement convexe), si pour des points \((x_1)\) et \((x_2)\) de \(\left[ (a,b) \right]\) l'inégalité \ Si cette inégalité est stricte pour tout \(( x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\) tel que \((x_1) \ne (x_2),\) puis la fonction \(f\left(x \right) \) sont appelés strictement convexe vers le bas

Une fonction convexe vers le haut est définie de la même manière. La fonction \(f\left(x \right)\) est appelée convexe vers le haut (ou concave), si pour des points quelconques \((x_1)\) et \((x_2)\) du segment \(\left[ (a,b) \right]\) l'inégalité \ Si cette inégalité est stricte pour tout \ (( x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\) tel que \((x_1) \ne (x_2),\) puis la fonction \(f\left(x \ à droite) \) sont appelés strictement convexe vers le haut sur le segment \(\left[ (a,b) \right].\)

Interprétation géométrique de la convexité d'une fonction

Les définitions introduites d'une fonction convexe ont une interprétation géométrique simple.

Pour la fonction, convexe vers le bas (Figure \(1\)), le milieu \(B\) de tout accord \((A_1)(A_2)\) se trouve plus haut

De même, pour la fonction, convexe vers le haut (Figure \(2\)), le milieu \(B\) de toute corde \((A_1)(A_2)\) se trouve ci-dessous le point correspondant \((A_0)\) du graphe de fonction ou coïncide avec ce point.

Les fonctions convexes ont une autre propriété visuelle, liée à l'emplacement tangente au graphique de la fonction. La fonction \(f\left(x \right)\) est convexe vers le bas sur le segment \(\left[ (a,b) \right]\) si et seulement si son graphe n'est pas inférieur à la tangente qui lui est tracée en tout point \((x_0)\) du segment \(\left [ (a ,b) \right]\) (Figure \(3\)).

En conséquence, la fonction \(f\left(x \right)\) est convexe vers le haut sur le segment \(\left[ (a,b) \right]\) si et seulement si son graphe ne se situe pas plus haut que la tangente qui lui est tracée en tout point \((x_0)\) du segment \(\left [ (a ,b) \right]\) (Figure \(4\)). Ces propriétés constituent un théorème et peuvent être prouvées en utilisant la définition de la convexité d'une fonction.

Conditions suffisantes pour la convexité

Laissez la fonction \(f\left(x \right)\) avoir sa dérivée première \(f"\left(x \right)\) exister sur l'intervalle \(\left[ (a,b) \right], \) et la dérivée seconde \(f""\left(x \right)\) - sur l'intervalle \(\left((a,b) \right).\) Alors les critères suffisants de convexité suivants sont valides :

Si \(f""\left(x \right) \ge 0\) pour tout \(x \in \left((a,b) \right),\) alors la fonction \(f\left(x \ c'est vrai)\) convexe vers le bas sur le segment \(\left[ (a,b) \right];\)

Si \(f""\left(x \right) \le 0\) pour tout \(x \in \left((a,b) \right),\) alors la fonction \(f\left(x \ c'est vrai)\) convexe vers le haut sur le segment \(\left[ (a,b) \right].\)

Dans les cas où la dérivée seconde est strictement supérieure (inférieure à) zéro, on parle respectivement de convexité stricte vers le bas (ou en haut ).

Démontrons le théorème ci-dessus pour le cas d'une fonction convexe vers le bas. Soit la fonction \(f\left(x \right)\) avoir une dérivée seconde non négative sur l'intervalle \(\left((a,b) \right):\) \(f""\left(x \right) \ge 0.\) Notons \((x_0)\) le milieu du segment \(\left[ ((x_1),(x_2)) \right].\) Supposons que la longueur de ce segment est égal à \(2h.\) Alors les coordonnées \((x_1)\) et \((x_2)\) peuvent s'écrire : \[(x_1) = (x_0) - h,\;\; (x_2) = (x_0) + h.\] Développons la fonction \(f\left(x \right)\) au point \((x_0)\) en une série de Taylor avec un terme restant sous forme de Lagrange . On obtient les expressions suivantes : \[ (f\left(((x_1)) \right) = f\left(((x_0) - h) \right) ) = (f\left(((x_0)) \right ) - f"\left(((x_0)) \right)h + \frac((f""\left(((\xi _1)) \right)(h^2)))((2},} \] \[ {f\left({{x_2}} \right) = f\left({{x_0} + h} \right) } = {f\left({{x_0}} \right) + f"\left({{x_0}} \right)h + \frac{{f""\left({{\xi _2}} \right){h^2}}}{{2!}},} \] где \({x_0} - h !}
Ajoutons les deux égalités : \[ (f\left(((x_1)) \right) + f\left(((x_2)) \right) ) = (2f\left(((x_0)) \right) + \ frac (((h^2)))(2)\left[ (f""\left(((\xi _1)) \right) + f""\left(((\xi _2)) \right) ) \right].) \] Puisque \((\xi _1),(\xi _2) \in \left((a,b) \right),\) alors les dérivées secondes du côté droit sont non négatives . Donc \ ou \ soit, conformément à la définition, la fonction \(f\left(x \right)\) convexe vers le bas .

Notez que la condition nécessaire à la convexité d'une fonction (c'est-à-dire un théorème direct dans lequel, par exemple, de la condition de convexité vers le bas, il s'ensuit que \(f""\left(x \right) \ge 0\)) n'est satisfait que pour les inégalités non strictes. Dans le cas d’une convexité stricte, la condition nécessaire n’est en général pas satisfaite. Par exemple, la fonction \(f\left(x \right) = (x^4)\) est strictement convexe vers le bas. Cependant, au point \(x = 0\) sa dérivée seconde est égale à zéro, c'est-à-dire l'inégalité stricte \(f""\left(x \right) \gt 0\) ne tient pas dans ce cas.

Propriétés des fonctions convexes

Listons quelques propriétés des fonctions convexes, en supposant que toutes les fonctions sont définies et continues sur l'intervalle \(\left[ (a,b) \right].\)

Si les fonctions \(f\) et \(g\) sont convexes vers le bas (vers le haut), alors l'une d'entre elles combinaison linéaire \(af + bg,\) où \(a\), \(b\) sont des nombres réels positifs, est également convexe vers le bas (vers le haut).

Si la fonction \(u = g\left(x \right)\) est convexe vers le bas et que la fonction \(y = f\left(u \right)\) est convexe vers le bas et non décroissante, alors fonction complexe \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) sera également convexe vers le bas.

Si la fonction \(u = g\left(x \right)\) est convexe vers le haut et que la fonction \(y = f\left(u \right)\) est convexe vers le bas et non croissante, alors fonction complexe \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) sera convexe vers le bas.

Maximum local la fonction convexe vers le haut définie sur l'intervalle \(\left[ (a,b) \right],\) est aussi sa valeur la plus élevée sur ce segment.

Minimum local la fonction convexe vers le bas définie sur l'intervalle \(\left[ (a,b) \right],\) est aussi sa valeur la plus basse sur ce segment.

Graphique d'une fonction oui=f(x) appelé convexe sur l'intervalle (un B), s'il est situé en dessous de l'une de ses tangentes sur cet intervalle.

Graphique d'une fonction oui=f(x) appelé concave sur l'intervalle (un B), s'il est situé au-dessus de l'une de ses tangentes sur cet intervalle.

La figure montre une courbe convexe à (un B) et concave sur (avant JC).

Exemples.

Considérons un critère suffisant qui permet de déterminer si le graphique d'une fonction dans un intervalle donné sera convexe ou concave.

Théorème. Laisser oui=f(x) différenciable sur (un B). Si en tous points de l'intervalle (un B) dérivée seconde de la fonction oui = f(x) négatif, c'est-à-dire F ""(X) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же F""(X) > 0 – concave.

Preuve. Supposons avec certitude que F""(X) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Prenons les fonctions sur le graphique y = f(x) point arbitraire M0 en abscisse x0 Î ( un; b) et tracez par le point M0 tangente. Son équation. Il faut montrer que le graphe de la fonction sur (un B) se situe en dessous de cette tangente, c'est-à-dire à la même valeur X ordonnée de la courbe y = f(x) sera inférieur à l'ordonnée de la tangente.

L’équation de la courbe est donc y = f(x). Notons l'ordonnée de la tangente correspondant à l'abscisse X. Alors . Par conséquent, la différence entre les ordonnées de la courbe et la tangente pour une même valeur X volonté .

Différence f(x) – f(x 0) transformer selon le théorème de Lagrange, où c entre X Et x0.

Ainsi,

On applique à nouveau le théorème de Lagrange à l’expression entre crochets : , où c1 entre c 0 Et x0. D'après les conditions du théorème F ""(X) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Ainsi, tout point de la courbe se situe en dessous de la tangente à la courbe pour toutes les valeurs X Et x0 Î ( un; b), ce qui signifie que la courbe est convexe. La deuxième partie du théorème se démontre de la même manière.

Exemples.

Le point sur le graphique d'une fonction continue qui sépare sa partie convexe de la partie concave est appelé point d'inflexion.

Évidemment, au point d'inflexion, la tangente, si elle existe, coupe la courbe, car d'un côté de ce point, la courbe se situe sous la tangente et de l'autre côté, au-dessus.

Déterminons les conditions suffisantes pour qu'un point donné de la courbe soit un point d'inflexion.

Théorème. Laissez la courbe être définie par l'équation y = f(x). Si F ""(X 0) = 0 ou F ""(X 0) n'existe pas même en passant par la valeur X = x0 dérivé F ""(X) change de signe, puis le point du graphique de la fonction en abscisse X = x0 il y a un point d’inflexion.

Preuve. Laisser F ""(X) < 0 при X < x0 Et F ""(X) > 0 à X > x0. Puis à X < x0 la courbe est convexe, et quand X > x0– concave. Par conséquent, le point UN, allongé sur la courbe, en abscisse x0 il y a un point d’inflexion. Le deuxième cas peut être considéré de la même manière, lorsque F ""(X) > 0 à X < x0 Et F ""(X) < 0 при X > x0.

Ainsi, les points d'inflexion ne doivent être recherchés que parmi les points où la dérivée seconde disparaît ou n'existe pas.

Exemples. Trouvez les points d'inflexion et déterminez les intervalles de convexité et de concavité des courbes.

ASYMPTOTES DU GRAPHIQUE DE LA FONCTION

Lors de l'étude d'une fonction, il est important d'établir la forme de son graphique à une distance illimitée du point du graphique par rapport à l'origine.

Le cas est particulièrement intéressant lorsque le graphique d'une fonction, lorsque son point variable est éloigné à l'infini, se rapproche indéfiniment d'une certaine ligne droite.

La ligne droite s'appelle asymptote graphiques de fonctions oui = f(x), si la distance du point variable M graphiques sur cette ligne lors de la suppression d'un point M vers l'infini tend vers zéro, c'est-à-dire un point du graphique d'une fonction, comme il tend vers l'infini, doit indéfiniment se rapprocher de l'asymptote.

Une courbe peut s'approcher de son asymptote, en restant d'un côté ou sur des côtés différents, en traversant l'asymptote un nombre infini de fois et en se déplaçant d'un côté à l'autre.

Si on note d la distance du point M courbe vers l'asymptote, alors il est clair que d tend vers zéro à mesure que le point s'éloigne Mà l'infini.

Nous distinguerons davantage les asymptotes verticales et obliques.

ASYMPTOTES VERTICALES

Laissez à X→ x0 de n'importe quelle fonction secondaire oui = f(x) augmente de manière illimitée en valeur absolue, c'est-à-dire ou ou . Alors de la définition d'une asymptote il résulte que la droite X = x0 est une asymptote. L’inverse est également évident si la ligne X = x0 est une asymptote, c'est-à-dire .

Ainsi, l'asymptote verticale du graphique de la fonction y = f(x) s'appelle une ligne droite si f(x)→ ∞ dans au moins une des conditions X→ x0– 0 ou X → x0 + 0, X = x0

Par conséquent, pour trouver les asymptotes verticales du graphique de la fonction oui = f(x) il faut trouver ces valeurs X = x0, auquel la fonction va vers l'infini (soit une discontinuité infinie). Alors l'asymptote verticale a l'équation X = x0.

Exemples.

ASYMPTOTES INCLINÉES

Puisque l’asymptote est une droite, alors si la courbe oui = f(x) a une asymptote oblique, alors son équation sera oui = kx + b. Notre tâche est de trouver les coefficients k Et b.

Théorème. Droit oui = kx + b sert d'asymptote oblique à X→ +∞ pour le graphique de la fonction oui = f(x) alors et seulement quand . Une affirmation similaire est vraie pour X → –∞.

Preuve. Laisser Député– longueur d'un segment égale à la distance du point Mà asymptote. Par condition. Notons φ l'angle d'inclinaison de l'asymptote par rapport à l'axe Bœuf. Puis à partir de ΔMNP suit cela. Puisque φ est un angle constant (φ ≠ π/2), alors , mais

Pour déterminer la convexité (concavité) d'une fonction sur un certain intervalle, vous pouvez utiliser les théorèmes suivants.

Théorème 1. Soit la fonction définie et continue sur l'intervalle et ayant une dérivée finie. Pour qu'une fonction soit convexe (concave) dans , il faut et il suffit que sa dérivée diminue (augmente) sur cet intervalle.

Théorème 2. Laissez la fonction être définie et continue avec sa dérivée et avoir une dérivée seconde continue à l'intérieur. Pour la convexité (concavité) d'une fonction dans il est nécessaire et suffisant qu'à l'intérieur

Démontrons le théorème 2 pour le cas d'une fonction convexe.

Nécessité. Prenons un point arbitraire. Développons la fonction autour d'un point d'une série de Taylor

Équation d'une tangente à une courbe en un point ayant une abscisse :

Alors l'excédent de la courbe sur la tangente à celle-ci au point est égal à

Ainsi, le reste est égal à l'excédent de la courbe sur la tangente à celle-ci au point . Par souci de continuité, si , puis aussi pour , appartenant à un voisinage suffisamment petit du point , et donc, évidemment, pour toute valeur différente de , appartenant au voisinage indiqué.

Cela signifie que le graphique de la fonction se situe au-dessus de la tangente et que la courbe est convexe en un point arbitraire.

Adéquation. Soit la courbe convexe sur l'intervalle. Prenons un point arbitraire.

De la même manière que la précédente, nous développons la fonction autour d'un point d'une série de Taylor

L'excédent de la courbe sur la tangente à celle-ci en un point ayant une abscisse définie par l'expression est égal à

Puisque l’excès est positif pour un voisinage suffisamment petit du point, la dérivée seconde est également positive. En nous efforçant, nous constatons que pour un point arbitraire .

Exemple. Examinez la fonction de convexité (concavité).

Son dérivé augmente sur toute la droite numérique, ce qui signifie que, d'après le théorème 1, la fonction est concave sur .

Sa dérivée seconde , donc, d'après le théorème 2, la fonction est concave sur .

3.4.2.2 Points d'inflexion

Définition. Point d'inflexion Le graphique d'une fonction continue est le point séparant les intervalles dans lesquels la fonction est convexe et concave.

De cette définition il résulte que les points d'inflexion sont les points extremum de la dérivée première. Cela implique les déclarations suivantes pour les conditions nécessaires et suffisantes pour l'inflexion.

Théorème (condition nécessaire à la flexion). Pour qu'un point soit un point d'inflexion d'une fonction deux fois différentiable, il faut que sa dérivée seconde en ce point soit égale à zéro ( ) ou n'existait pas.

Théorème (condition suffisante pour la flexion). Si la dérivée seconde d'une fonction deux fois différentiable change de signe lorsqu'elle passe par un certain point, alors il existe un point d'inflexion.

Notez qu'au point lui-même, la dérivée seconde peut ne pas exister.

L'interprétation géométrique des points d'inflexion est illustrée sur la Fig. 3.9

Au voisinage d'un point, la fonction est convexe et son graphique se situe en dessous de la tangente tracée en ce point. Au voisinage d'un point, la fonction est concave et son graphique se situe au-dessus de la tangente tracée en ce point. Au point d'inflexion, la tangente divise le graphique de la fonction en régions convexes et concaves.

3.4.2.3 Examen de la fonction de convexité et de présence de points d'inflexion

1. Trouvez la dérivée seconde.

2. Trouvez les points auxquels la dérivée seconde ou n'existe pas.

Riz. 3.9.

3. Recherchez le signe de la dérivée seconde à gauche et à droite des points trouvés et tirez une conclusion sur les intervalles de convexité ou de concavité et la présence de points d'inflexion.

Exemple. Examinez la fonction pour la convexité et la présence de points d'inflexion.

2. La dérivée seconde est égale à zéro en .

3. La dérivée seconde change de signe en , ce qui signifie que le point est un point d'inflexion.

Sur l'intervalle, alors la fonction est convexe sur cet intervalle.

Sur l'intervalle , ce qui signifie que la fonction est concave sur cet intervalle.

3.4.2.4 Schéma général d'étude des fonctions et de tracé d'un graphe

Lors de l'étude d'une fonction et du tracé de son graphique, il est recommandé d'utiliser le schéma suivant :

Trouvez le domaine de définition de la fonction.
Étudiez la fonction de parité - bizarrerie. Rappelons que le graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et que le graphique d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.
Trouvez des asymptotes verticales.
Étudier le comportement d'une fonction à l'infini, trouver des asymptotes horizontales ou obliques.
Trouver les extrema et les intervalles de monotonie de la fonction.
Trouvez les intervalles de convexité de la fonction et les points d'inflexion.
Trouvez les points d'intersection avec les axes de coordonnées.

L'étude de la fonction s'effectue simultanément à la construction de son graphe.

Exemple. Fonction Explorer et tracez-le.

1. Le domaine de la fonction est .

2. La fonction étudiée est paire , donc son graphique est symétrique par rapport à l'ordonnée.

3. Le dénominateur de la fonction tend vers zéro en , donc le graphique de la fonction a des asymptotes verticales et .

Les points sont des points de discontinuité du deuxième type, puisque les limites à gauche et à droite en ces points tendent vers .

4. Comportement de la fonction à l'infini.

Par conséquent, le graphique de la fonction a une asymptote horizontale.

5. Intervalles extrêmes et de monotonie. Trouver la dérivée première

Quand , donc, dans ces intervalles, la fonction diminue.

Par conséquent, à , dans ces intervalles, la fonction augmente.

En , le point est donc un point critique.

Trouver la dérivée seconde

Puisque , alors le point est le point minimum de la fonction.

6. Intervalles de convexité et points d'inflexion.

Fonction à , ce qui signifie que la fonction est concave sur cet intervalle.

La fonction pour , ce qui signifie que la fonction est convexe sur ces intervalles.

La fonction ne disparaît nulle part, ce qui signifie qu’il n’y a aucun point d’inflexion.

7. Points d'intersection avec les axes de coordonnées.

L'équation a une solution, c'est-à-dire le point d'intersection du graphique de la fonction avec l'axe des ordonnées (0, 1).

L’équation n’a pas de solution, ce qui signifie qu’il n’y a pas de points d’intersection avec l’axe des x.

Compte tenu des recherches effectuées, il est possible de tracer la fonction

Graphique schématique d'une fonction montré sur la fig. 3.10.

Riz. 3.10.

3.4.2.5 Asymptotes du graphe d'une fonction

Définition. Asymptote Le graphique d'une fonction est appelé une ligne droite qui a la propriété que la distance du point () à cette ligne droite tend vers 0 lorsque le point du graphique s'éloigne indéfiniment de l'origine.

Schéma général d'étude de la fonction et de tracé du graphique.
1. Etude de la fonction de convexité et de concavité.

Asymptotes du graphique d'une fonction.

Introduction.

Dans votre cours de mathématiques à l'école, vous avez déjà rencontré le besoin de construire des graphiques de fonctions. Dans , vous avez utilisé la méthode point par point. Il convient de noter qu’il s’agit d’un concept simple et qu’il mène relativement rapidement à l’objectif. Dans les cas où la fonction est continue et évolue de manière assez fluide, cette méthode peut fournir le degré de précision nécessaire dans la représentation graphique. Pour ce faire, vous devez prendre plus de points pour atteindre une certaine densité de leur placement.

Supposons maintenant que la fonction présente à certains endroits des particularités dans son « comportement » : soit ses valeurs quelque part dans une petite zone changent brusquement, soit il y a des discontinuités. Les parties les plus significatives du graphique peuvent ne pas être détectées de cette manière.

Cette circonstance réduit l'intérêt de la méthode « point par point » de construction d'un graphique.

Il existe une deuxième manière de construire des graphiques, basée sur l’étude analytique des fonctions. Elle se compare favorablement à la méthode discutée dans le cours de mathématiques à l'école.

1. Etude de fonction pour la convexité et la concavité .

Laissez la fonction
est différentiable sur l'intervalle (a, b). Alors il existe une tangente au graphique de la fonction en tout point
ce tableau (
), et la tangente n'est pas parallèle à l'axe OY, puisque son coefficient angulaire est égal à
, bien sûr.

À PROPOS
détermination On dira que le graphe de la fonction
sur (a, b) a un dégagement dirigé vers le bas (vers le haut) s'il se situe ni en dessous (ni au dessus) de toute tangente au graphe de la fonction sur (a, b).

a) courbe concave b) courbe convexe

Théorème 1 (une condition nécessaire à la convexité (concavité) de la courbe).

Si le graphique d'une fonction deux fois différentiable est une courbe convexe (concave), alors la dérivée seconde sur l'intervalle (a, b) est négative (positive) sur cet intervalle.

Théorème 2(une condition suffisante pour la convexité (concavité) d'une courbe).

Si une fonction est deux fois différentiable sur (a, b) et
(
) en tous points de cet intervalle, alors la courbe qui est le graphique de la fonction est convexe (concave) sur cet intervalle.

Points d'inflexion d'un graphe de fonctions.

Définition Point
est appelé le point d'inflexion du graphique d'une fonction si au point
le graphique a une tangente, et il existe un tel voisinage du point , à l'intérieur duquel le graphique de la fonction à gauche et à droite du point a des directions de convexité différentes.

À PROPOS Il est évident qu'au point d'inflexion la tangente coupe le graphique de la fonction, puisque d'un côté de ce point le graphique se trouve au-dessus de la tangente, et de l'autre en dessous, c'est-à-dire à proximité du point d'inflexion le Le graphique de la fonction passe géométriquement d'un côté de la tangente à l'autre et "se plie" dessus. C’est de là que vient le nom de « point d’inflexion ».

Théorème 3(une condition nécessaire pour le point d’inflexion). Laissez le graphique d'une fonction avoir un point d'inflexion en un point et laissez la fonction avoir un point d'inflexion en un point

dérivée seconde continue. Alors

.
Tous les points ne constituent pas un point d’inflexion. Par exemple, le graphique d'une fonction

n'a pas de point d'inflexion en (0, 0), bien que

. Par conséquent, l’égalité de la dérivée seconde à zéro n’est qu’une condition nécessaire à l’inflexion.

Graphiquer les points pour lesquels il est appelé points critiquesII-villes. Il est nécessaire d'approfondir la question de la présence de plis à chaque point critique.

Théorème 4(condition suffisante pour le point d'inflexion). Supposons que la fonction ait une dérivée seconde dans un certain voisinage du point. Ensuite, si dans le quartier spécifié
a des signes différents à gauche et à droite du point, alors le graphique a une inflexion au point.
Commentaire. Le théorème reste vrai si
a une dérivée seconde dans un certain voisinage du point, à l'exception du point lui-même, et il y a une tangente au graphique de la fonction au point
. Ensuite, si dans le voisinage spécifié il a des signes différents à gauche et à droite du point, alors le graphique de la fonction a une inflexion au point.
Schéma d'étude de la fonction des points de convexité, de concavité et d'inflexion.

Exemple. Fonction Explorer
pour la convexité, la concavité, les points d'inflexion.
1.

2.
,
=

3. n'existe pas quand

)	1	(1, +)
-		+
	1

Asymptotes du graphique d'une fonction.

Lors de l'étude du comportement d'une fonction à
ou à proximité de points de discontinuité de 2e espèce, il s'avère souvent que le graphique d'une fonction se rapproche autant qu'on le souhaite d'une droite donnée. C’est ce qu’on appelle des lignes droites.

À PROPOS définition 1. Droit

est appelée asymptote d'une courbe L si la distance d'un point de la courbe à cette ligne tend vers zéro à mesure que le point s'éloigne le long de la courbe jusqu'à l'infini. Il existe trois types d'asymptotes : verticale, horizontale, oblique.

Définition 2. Droit
est appelée asymptote verticale du graphique d'une fonction si au moins une des limites unilatérales est égale à
, c'est-à-dire ou

Par exemple, le graphique d'une fonction
a une asymptote verticale
, parce que
, UN
.

Définition 3. La droite y=A est appelée l'asymptote horizontale du graphique de la fonction en

Par exemple, le graphique d’une fonction a une asymptote horizontale y=0, car
.

Définition 4. Droit

(

) est appelée l'asymptote inclinée du graphique de la fonction à

;

Si au moins une des limites n’existe pas, alors la courbe n’a pas d’asymptote. Si, alors nous devrions rechercher ces limites séparément, avec et
.

Par exemple. Trouver les asymptotes du graphique d'une fonction

; x=0 – asymptote verticale

;
.

- asymptote oblique.
4. Schéma d'une étude complète de la fonction et tracé d'un graphique.

Considérons un schéma approximatif selon lequel il convient d'étudier le comportement d'une fonction et de construire son graphique.

Exemple. Fonction Explorer

et tracez-le.

1. sauf x=-1.

2.
la fonction n'est ni paire ni impaire

-

-

+

+

oui

-4

t r.

0

Conclusion.
Une caractéristique importante de la méthode considérée est qu'elle repose principalement sur la détection et l'étude de caractéristiques dans le comportement de la courbe. Les endroits où la fonction change en douceur ne sont pas étudiés de manière particulièrement détaillée et une telle étude n'est pas nécessaire. Mais les endroits où la fonction présente des particularités de comportement font l'objet d'une recherche complète et de la représentation graphique la plus précise. Ces caractéristiques sont des points de maximum, de minimum, des points de discontinuité de la fonction, etc.

La détermination de la direction de la concavité et des inflexions, ainsi que la méthode spécifiée de recherche des asymptotes, permettent d'étudier les fonctions encore plus en détail et d'obtenir une idée plus précise de leurs graphiques.

Instructions

Les points d'inflexion d'une fonction doivent appartenir au domaine de sa définition, qu'il faut trouver en premier. Le graphique d'une fonction est une ligne qui peut être continue ou présenter des discontinuités, diminuer ou augmenter de manière monotone, avoir des points minimum ou maximum (asymptotes), être convexe ou concave. Un changement brusque dans les deux derniers états est appelé point d’inflexion.

Une condition nécessaire pour l’existence d’une inflexion d’une fonction est que la seconde soit égale à zéro. Ainsi, en différenciant la fonction deux fois et en assimilant l'expression résultante à zéro, nous pouvons trouver l'abscisse des points d'inflexion possibles.

Cette condition découle de la définition des propriétés de convexité et de concavité du graphe d'une fonction, c'est-à-dire valeurs négatives et positives de la dérivée seconde. Au point d'inflexion, ces propriétés changent brusquement, ce qui signifie que la dérivée passe la barre zéro. Cependant, être égal à zéro ne suffit pas encore à indiquer une inflexion.

Il y a deux conditions suffisantes pour que l'abscisse trouvée à l'étape précédente appartienne au point d'inflexion : Par ce point on peut tracer une tangente à la fonction. La dérivée seconde a des signes différents à droite et à gauche du point d’inflexion supposé. Ainsi, son existence au point lui-même n'est pas nécessaire, il suffit de déterminer qu'en ce point elle change de signe. La dérivée seconde de la fonction est égale à zéro, mais la troisième ne l'est pas.

La première condition suffisante est universelle et est utilisée plus souvent que les autres. Prenons un exemple illustratif : y = (3 x + 3) ∛(x - 5).

Solution : Trouvez le domaine de définition. Dans ce cas, il n’y a aucune restriction, c’est donc tout l’espace des nombres réels. Calculez la dérivée première : y’ = 3 ∛(x - 5) + (3 x + 3)/∛(x - 5)².

Remarquez l'apparence de la fraction. Il s'ensuit que le domaine de définition de la dérivée est limité. Le point x = 5 est perforé, ce qui signifie qu'une tangente peut le traverser, ce qui correspond en partie au premier signe d'inflexion suffisante.

Déterminez les limites unilatérales de l’expression résultante pour x → 5 – 0 et x → 5 + 0. Ce sont -∞ et +∞. Vous avez prouvé qu'une tangente verticale passe par le point x=5. Ce point peut être un point d'inflexion, mais calculez d'abord la dérivée seconde : Y'' = 1/∛(x - 5)² + 3/∛(x - 5)² – 2/3 (3 x + 3)/∛ (x - 5)^5 = (2 x – 22)/∛(x - 5)^5.

Omettez le dénominateur puisque vous avez déjà pris en compte le point x = 5. Résolvez l'équation 2 x – 22 = 0. Elle a une racine unique x = 11. La dernière étape consiste à confirmer que les points x = 5 et x = 11 sont des points d'inflexion. Analyser le comportement de la dérivée seconde dans leur voisinage. Évidemment, au point x = 5, il change de signe de « + » à « - », et au point x = 11 - vice versa. Conclusion : les deux points sont des points d’inflexion. La première condition suffisante est satisfaite.