dérivés complexes. dérivée logarithmique

Depuis que vous êtes venu ici, vous avez probablement déjà réussi à voir cette formule dans le manuel

et faire un visage comme celui-ci:

Ami, ne t'inquiète pas ! En fait, tout est simple à déshonorer. Vous comprendrez certainement tout. Une seule demande - lire l'article lentement essayez de comprendre chaque étape. J'ai écrit aussi simplement et clairement que possible, mais vous devez encore approfondir l'idée. Et assurez-vous de résoudre les tâches de l'article.

Qu'est-ce qu'une fonction complexe ?

Imaginez que vous déménagez dans un autre appartement et que vous emballez donc des choses dans de grandes boîtes. Qu'il soit nécessaire de collecter quelques petits objets, par exemple des fournitures scolaires. Si vous les jetez simplement dans une énorme boîte, ils se perdront entre autres. Pour éviter cela, vous les mettez d'abord, par exemple, dans un sac, que vous mettez ensuite dans une grande boîte, après quoi vous la scellez. Ce processus "le plus difficile" est illustré dans le schéma ci-dessous :

Il semblerait, d'où viennent les mathématiques? Et en plus, une fonction complexe se forme EXACTEMENT DE LA MÊME manière ! Seulement nous «emballons» non pas des cahiers et des stylos, mais \ (x \), tandis que différents «paquets» et «boîtes» servent.

Par exemple, prenons x et "emballons-le" dans une fonction :

En conséquence, nous obtenons, bien sûr, \(\cos⁡x\). C'est notre "sac de choses". Et maintenant, nous le mettons dans une "boîte" - nous l'emballons, par exemple, dans une fonction cubique.

Que se passera-t-il à la fin ? Oui, c'est vrai, il y aura un "paquet avec des choses dans une boîte", c'est-à-dire "cosinus de x au cube".

La construction résultante est une fonction complexe. Il diffère du simple en ce que PLUSIEURS « impacts » (forfaits) sont appliqués à un X à la suite et il s'avère, pour ainsi dire, "une fonction à partir d'une fonction" - "un paquet dans un paquet".

Dans le cursus scolaire, il existe très peu de types de ces mêmes « packages », seulement quatre :

"Emballons" maintenant x d'abord dans une fonction exponentielle de base 7, puis dans une fonction trigonométrique. On a:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Et maintenant, "emballons" x deux fois dans des fonctions trigonométriques, d'abord dans puis dans :

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

Simple, non ?

Maintenant, écrivez vous-même les fonctions, où x :
- il est d'abord « emballé » dans un cosinus, puis dans une fonction exponentielle de base \(3\) ;
- d'abord à la puissance cinq, puis à la tangente ;
- premier au logarithme de base \(4\) , puis à la puissance \(-2\).

Voir les réponses à cette question à la fin de l'article.

Mais peut-on « emballer » x non pas deux, mais trois fois ? Aucun problème! Et quatre, et cinq, et vingt-cinq fois. Voici, par exemple, une fonction dans laquelle x est "compressé" \(4\) fois :

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Mais de telles formules ne se retrouveront pas dans la pratique scolaire (les élèves ont plus de chance - ils peuvent être plus difficiles☺).

"Déballer" une fonction complexe

Regardez à nouveau la fonction précédente. Pouvez-vous comprendre la séquence de "l'emballage" ? Dans quoi X a été fourré en premier, dans quoi ensuite, et ainsi de suite jusqu'à la toute fin. Autrement dit, quelle fonction est imbriquée dans laquelle ? Prenez une feuille de papier et écrivez ce que vous pensez. Vous pouvez le faire avec une chaîne de flèches, comme nous l'avons écrit ci-dessus, ou de toute autre manière.

Maintenant, la bonne réponse est : d'abord x a été "compressé" à la puissance \(4\)ième, puis le résultat a été compacté dans le sinus, à son tour, a été placé dans la base logarithmique \(2\), et dans la fin toute la construction a été poussée dans les cinq puissances.

C'est-à-dire qu'il est nécessaire de dérouler la séquence DANS L'ORDRE INVERSE. Et voici un indice pour le faire plus facilement : regardez simplement le X - vous devez danser à partir de celui-ci. Regardons quelques exemples.

Par exemple, voici une fonction : \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Nous regardons X - que lui arrive-t-il en premier ? Pris de lui. Et puis? La tangente du résultat est prise. Et la séquence sera la même :

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Autre exemple : \(y=\cos⁡((x^3))\). Nous analysons - d'abord x a été cubé, puis le cosinus a été extrait du résultat. La séquence sera donc : \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Faites attention, la fonction semble être similaire à la toute première (où avec des images). Mais c'est une fonction complètement différente : ici dans le cube x (c'est-à-dire \(\cos⁡((x x x)))\), et là dans le cube le cosinus \(x\) (c'est-à-dire \(\ cos⁡x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Cette différence provient de différentes séquences de « compactage ».

Le dernier exemple (contenant des informations importantes) : \(y=\sin⁡((2x+5))\). Il est clair qu'ici nous avons d'abord effectué des opérations arithmétiques avec x, puis le sinus a été déduit du résultat : \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Et c'est un point important : malgré le fait que les opérations arithmétiques ne sont pas des fonctions en elles-mêmes, elles agissent ici aussi comme un moyen de « packer ». Approfondissons un peu cette subtilité.

Comme je l'ai dit plus haut, dans les fonctions simples, x est "emballé" une fois, et dans les fonctions complexes - deux ou plus. De plus, toute combinaison de fonctions simples (c'est-à-dire leur somme, différence, multiplication ou division) est également une fonction simple. Par exemple, \(x^7\) est une fonction simple, tout comme \(ctg x\). Ainsi, toutes leurs combinaisons sont des fonctions simples :

\(x^7+ ctg x\) - simple,
\(x^7 ctg x\) est simple,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) est simple, et ainsi de suite.

Cependant, si une fonction supplémentaire est appliquée à une telle combinaison, ce sera déjà une fonction complexe, car il y aura deux "paquets". Voir schéma :

Bon, allons-y maintenant. Écrivez la séquence de fonctions "wrapping":
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Les réponses sont à nouveau à la fin de l'article.

Fonctions internes et externes

Pourquoi avons-nous besoin de comprendre l'imbrication des fonctions ? Qu'est-ce que cela nous donne ? Le fait est que sans une telle analyse, nous ne pourrons pas trouver de manière fiable les dérivées des fonctions décrites ci-dessus.

Et pour avancer, nous aurons besoin de deux concepts supplémentaires : les fonctions internes et externes. C'est une chose très simple, d'ailleurs, en fait, nous les avons déjà analysées ci-dessus: si nous rappelons notre analogie au tout début, alors la fonction intérieure est le «paquet», et la fonction extérieure est la «boîte». Ceux. ce dans quoi X est "enveloppé" en premier est une fonction interne, et ce dans quoi l'interne est "enveloppé" est déjà externe. Eh bien, on comprend pourquoi - c'est à l'extérieur, cela signifie externe.

Ici dans cet exemple : \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), la fonction \(\log_2⁡x\) est interne, et
- externe.

Et dans celui-ci : \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) est interne, et
- externe.

Effectuez la dernière pratique d'analyse des fonctions complexes, et enfin, passons au point pour lequel tout a été commencé - nous trouverons des dérivés de fonctions complexes :

Remplissez les trous du tableau :

Dérivée d'une fonction complexe

Bravo à nous, nous sommes encore arrivés au "patron" de ce sujet - en fait, le dérivé d'une fonction complexe, et plus précisément, à cette formule très terrible du début de l'article.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Cette formule se lit comme suit :

La dérivée d'une fonction complexe est égale au produit de la dérivée de la fonction externe par rapport à la fonction interne constante et de la dérivée de la fonction interne.

Et regardez immédiatement le schéma d'analyse "par mots" pour comprendre à quoi se rapporter :

J'espère que les termes "dérivé" et "produit" ne causeront pas de difficultés. "Fonction complexe" - nous avons déjà démantelé. Le hic est dans la "dérivée d'une fonction externe par rapport à une fonction interne constante". Ce que c'est?

Réponse : il s'agit de la dérivée habituelle de la fonction externe, dans laquelle seule la fonction externe change, tandis que la fonction interne reste la même. Toujours pas clair? Bon, prenons un exemple.

Disons que nous avons une fonction \(y=\sin⁡(x^3)\). Il est clair que la fonction interne ici est \(x^3\), et la fonction externe
. Trouvons maintenant la dérivée de l'extérieur par rapport à l'intérieur constant.

L'opération consistant à trouver une dérivée s'appelle la différenciation.

À la suite de la résolution de problèmes de recherche de dérivées des fonctions les plus simples (et pas très simples) en définissant la dérivée comme la limite du rapport de l'incrément à l'incrément de l'argument, un tableau des dérivées et des règles de différenciation définies avec précision est apparu . Isaac Newton (1643-1727) et Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) ont été les premiers à travailler dans le domaine de la recherche de dérivés.

Par conséquent, à notre époque, pour trouver la dérivée d'une fonction, il n'est pas nécessaire de calculer la limite susmentionnée du rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument, mais il suffit d'utiliser le tableau des dérivés et les règles de différenciation. L'algorithme suivant convient pour trouver la dérivée.

Pour trouver la dérivée, vous avez besoin d'une expression sous le signe du trait décomposer des fonctions simples et déterminer quelles actions (produit, somme, quotient) ces fonctions sont liées. De plus, nous trouvons les dérivées des fonctions élémentaires dans le tableau des dérivées, et les formules des dérivées du produit, de la somme et du quotient - dans les règles de différenciation. Le tableau des dérivées et les règles de différenciation sont donnés après les deux premiers exemples.

Exemple 1 Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. D'après les règles de différenciation, nous découvrons que la dérivée de la somme des fonctions est la somme des dérivées des fonctions, c'est-à-dire

À partir du tableau des dérivées, nous découvrons que la dérivée de "X" est égale à un et que la dérivée du sinus est le cosinus. Nous substituons ces valeurs dans la somme des dérivées et trouvons la dérivée requise par la condition du problème :

Exemple 2 Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Différencier comme une dérivée de la somme, dans laquelle le second terme avec un facteur constant, il peut être retiré du signe de la dérivée :

S'il y a encore des questions sur l'origine de quelque chose, elles deviennent généralement claires après avoir lu le tableau des dérivés et les règles de différenciation les plus simples. Nous allons vers eux en ce moment.

Tableau des dérivées de fonctions simples

1. Dérivée d'une constante (nombre). Tout nombre (1, 2, 5, 200...) qui se trouve dans l'expression de la fonction. Toujours zéro. Ceci est très important à retenir, car il est très souvent nécessaire
2. Dérivée de la variable indépendante. Le plus souvent "x". Toujours égal à un. Ceci est également important à retenir
3. Dérivé du diplôme. Lorsque vous résolvez des problèmes, vous devez convertir des racines non carrées en une puissance.
4. Dérivée d'une variable à la puissance -1
5. Dérivée de la racine carrée
6. Dérivée sinusoïdale
7. Dérivée du cosinus
8. Dérivée tangente
9. Dérivée de la cotangente
10. Dérivée de l'arc sinus
11. Dérivée de l'arc cosinus
12. Dérivée de l'arc tangente
13. Dérivée de la tangente inverse
14. Dérivée du logarithme naturel
15. Dérivée d'une fonction logarithmique
16. Dérivée de l'exposant
17. Dérivée de la fonction exponentielle

Règles de différenciation

1. Dérivée de la somme ou de la différence
2. Dérivé d'un produit
2a. Dérivée d'une expression multipliée par un facteur constant
3. Dérivée du quotient
4. Dérivée d'une fonction complexe

Règle 1Si les fonctions

sont dérivables en un point , alors au même point les fonctions

ceux. la dérivée de la somme algébrique des fonctions est égale à la somme algébrique des dérivées de ces fonctions.

Conséquence. Si deux fonctions différentiables diffèrent par une constante, alors leurs dérivées sont, c'est à dire.

Règle 2Si les fonctions

sont dérivables à un moment donné, alors leur produit est également dérivable au même point

ceux. la dérivée du produit de deux fonctions est égale à la somme des produits de chacune de ces fonctions et la dérivée de l'autre.

Conséquence 1. Le facteur constant peut être extrait du signe de la dérivée:

Conséquence 2. La dérivée du produit de plusieurs fonctions différentiables est égale à la somme des produits de la dérivée de chacun des facteurs et de tous les autres.

Par exemple, pour trois multiplicateurs :

Règle 3Si les fonctions

différenciable à un moment donné Et , alors, à ce stade, leur quotient est également différentiable.u/v , et

ceux. la dérivée d'un quotient de deux fonctions est égale à une fraction dont le numérateur est la différence entre les produits du dénominateur et la dérivée du numérateur et du numérateur et la dérivée du dénominateur, et le dénominateur est le carré de l'ancien numérateur .

Où chercher sur d'autres pages

Lors de la recherche de la dérivée du produit et du quotient dans des problèmes réels, il est toujours nécessaire d'appliquer plusieurs règles de différenciation à la fois, donc plus d'exemples sur ces dérivées sont dans l'article."La dérivée d'un produit et d'un quotient".

Commentaire. Il ne faut pas confondre une constante (c'est-à-dire un nombre) avec un terme de la somme et avec un facteur constant ! Dans le cas d'un terme, sa dérivée est égale à zéro, et dans le cas d'un facteur constant, elle est retirée du signe des dérivées. Il s'agit d'une erreur typique qui se produit au stade initial de l'étude des dérivées, mais comme l'étudiant moyen résout plusieurs exemples à un ou deux composants, l'étudiant moyen ne commet plus cette erreur.

Et si, pour différencier un produit ou un quotient, vous avez un terme tu"v, dans lequel tu- un nombre, par exemple 2 ou 5, c'est-à-dire une constante, alors la dérivée de ce nombre sera égale à zéro et, par conséquent, le terme entier sera égal à zéro (un tel cas est analysé dans l'exemple 10) .

Une autre erreur courante est la solution mécanique de la dérivée d'une fonction complexe comme dérivée d'une fonction simple. C'est pourquoi dérivée d'une fonction complexe consacrée à un article séparé. Mais d'abord, nous allons apprendre à trouver des dérivées de fonctions simples.

En cours de route, vous ne pouvez pas vous passer des transformations d'expressions. Pour ce faire, vous devrez peut-être ouvrir de nouveaux manuels Windows Actions avec des pouvoirs et des racines Et Actions avec fractions .

Si vous recherchez des solutions aux dérivées avec des puissances et des racines, c'est-à-dire lorsque la fonction ressemble à , puis suivez la leçon " Dérivée de la somme de fractions avec puissances et racines".

Si vous avez une tâche comme , alors vous êtes dans la leçon "Dérivées de fonctions trigonométriques simples".

Exemples étape par étape - comment trouver la dérivée

Exemple 3 Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Nous déterminons les parties de l'expression de la fonction : l'expression entière représente le produit, et ses facteurs sont des sommes, dans la seconde desquelles l'un des termes contient un facteur constant. On applique la règle de différenciation des produits : la dérivée du produit de deux fonctions est égale à la somme des produits de chacune de ces fonctions et la dérivée de l'autre :

Ensuite, on applique la règle de différenciation de la somme : la dérivée de la somme algébrique des fonctions est égale à la somme algébrique des dérivées de ces fonctions. Dans notre cas, dans chaque somme, le second terme avec un signe moins. Dans chaque somme, on voit à la fois une variable indépendante dont la dérivée est égale à un et une constante (nombre) dont la dérivée est égale à zéro. Ainsi, "x" se transforme en un et moins 5 - en zéro. Dans la deuxième expression, "x" est multiplié par 2, nous multiplions donc deux par la même unité que la dérivée de "x". On obtient les valeurs de dérivées suivantes :

Nous substituons les dérivées trouvées dans la somme des produits et obtenons la dérivée de la fonction entière requise par la condition du problème :

Et vous pouvez vérifier la solution du problème sur la dérivée sur .

Exemple 4 Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. On est obligé de trouver la dérivée du quotient. On applique la formule de différentiation d'un quotient : la dérivée d'un quotient de deux fonctions est égale à une fraction dont le numérateur est la différence entre les produits du dénominateur et la dérivée du numérateur et du numérateur et la dérivée du dénominateur, et le dénominateur est le carré de l'ancien numérateur. On a:

Nous avons déjà trouvé la dérivée des facteurs au numérateur dans l'exemple 2. N'oublions pas non plus que le produit, qui est le deuxième facteur au numérateur dans l'exemple actuel, est pris avec un signe moins :

Si vous cherchez des solutions à de tels problèmes dans lesquels vous devez trouver la dérivée d'une fonction, où il y a un tas continu de racines et de degrés, comme, par exemple, alors bienvenue en classe "La dérivée de la somme des fractions avec des puissances et des racines" .

Si vous avez besoin d'en savoir plus sur les dérivées des sinus, cosinus, tangentes et autres fonctions trigonométriques, c'est-à-dire lorsque la fonction ressemble à , alors vous avez une leçon "Dérivées de fonctions trigonométriques simples" .

Exemple 5 Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Dans cette fonction, on voit un produit dont l'un des facteurs est la racine carrée de la variable indépendante, dont nous nous sommes familiarisés avec la dérivée dans le tableau des dérivées. D'après la règle de différenciation des produits et la valeur tabulaire de la dérivée de la racine carrée, on obtient :

Vous pouvez vérifier la solution du problème dérivé sur calculatrice dérivée en ligne .

Exemple 6 Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Dans cette fonction, on voit le quotient dont le dividende est la racine carrée de la variable indépendante. D'après la règle de différenciation du quotient, que nous avons répétée et appliquée dans l'exemple 4, et la valeur tabulaire de la dérivée de la racine carrée, on obtient :

Pour supprimer la fraction du numérateur, multipliez le numérateur et le dénominateur par .

Dans cette leçon, nous allons apprendre à trouver dérivée d'une fonction complexe. La leçon est une suite logique de la leçon Comment trouver la dérivée ?, sur lequel nous avons analysé les dérivés les plus simples, et nous nous sommes également familiarisés avec les règles de différenciation et certaines méthodes techniques pour trouver des dérivés. Ainsi, si vous n'êtes pas très bon avec les dérivées de fonctions ou si certains points de cet article ne sont pas entièrement clairs, lisez d'abord la leçon ci-dessus. S'il vous plaît, accordez-vous une humeur sérieuse - le matériel n'est pas facile, mais je vais quand même essayer de le présenter simplement et clairement.

En pratique, on a affaire à la dérivée d'une fonction complexe très souvent, je dirais même presque toujours, lorsqu'on vous donne pour tâche de trouver des dérivées.

On regarde dans le tableau la règle (n°5) de différenciation d'une fonction complexe :

Nous comprenons. Tout d'abord, regardons la notation. Ici, nous avons deux fonctions - et , et la fonction, au sens figuré, est imbriquée dans la fonction . Une fonction de ce type (lorsqu'une fonction est imbriquée dans une autre) est appelée une fonction complexe.

je vais appeler la fonction fonction externe, et la fonction – fonction interne (ou imbriquée).

! Ces définitions ne sont pas théoriques et ne doivent pas figurer dans la conception finale des devoirs. J'utilise les expressions informelles "fonction externe", fonction "interne" uniquement pour vous faciliter la compréhension de la matière.

Pour clarifier la situation, pensez à :

Exemple 1

Trouver la dérivée d'une fonction

Sous le sinus, nous n'avons pas seulement la lettre "x", mais toute l'expression, donc trouver la dérivée immédiatement à partir de la table ne fonctionnera pas. On remarque aussi qu'il est impossible d'appliquer ici les quatre premières règles, il semble y avoir une différence, mais le fait est qu'il est impossible de "déchirer" le sinus :

Dans cet exemple, déjà d'après mes explications, il est intuitivement clair que la fonction est une fonction complexe, et le polynôme est une fonction interne (incorporation) et une fonction externe.

Premier pas, qui doit être effectuée lorsque la recherche de la dérivée d'une fonction complexe consiste à comprendre quelle fonction est interne et laquelle est externe.

Dans le cas d'exemples simples, il semble clair qu'un polynôme est imbriqué sous le sinus. Et si ce n'est pas évident ? Comment déterminer exactement quelle fonction est externe et laquelle est interne ? Pour ce faire, je vous propose d'utiliser la technique suivante, qui peut être réalisée mentalement ou sur un brouillon.

Imaginons que nous devions calculer la valeur de l'expression avec une calculatrice (au lieu d'une, il peut y avoir n'importe quel nombre).

Que calcule-t-on en premier ? Tout d'abord vous devrez effectuer l'action suivante : , donc le polynôme sera une fonction interne :

Deuxièmement vous devrez trouver, donc le sinus - sera une fonction externe :

Après nous COMPRENDRE Avec les fonctions internes et externes, il est temps d'appliquer la règle de différenciation des fonctions composées.

Nous commençons à décider. De la leçon Comment trouver la dérivée ? nous nous souvenons que la conception de la solution de toute dérivée commence toujours comme ceci - nous mettons l'expression entre parenthèses et mettons un trait en haut à droite :

D'abord on trouve la dérivée de la fonction externe (sinus), regarde le tableau des dérivées des fonctions élémentaires et remarque que . Toutes les formules tabulaires sont applicables même si "x" est remplacé par une expression complexe, dans ce cas:

Notez que la fonction interne n'a pas changé, on n'y touche pas.

Eh bien, il est bien évident que

Le résultat final de l'application de la formule ressemble à ceci :

Le facteur constant est généralement placé au début de l'expression :

En cas de malentendu, écrivez la décision sur papier et relisez les explications.

Exemple 2

Trouver la dérivée d'une fonction

Exemple 3

Trouver la dérivée d'une fonction

Comme toujours, nous écrivons :

Nous déterminons où nous avons une fonction externe et où est une fonction interne. Pour ce faire, nous essayons (mentalement ou sur un brouillon) de calculer la valeur de l'expression pour . Que faut-il faire en premier ? Tout d'abord, vous devez calculer à quoi la base est égale :, ce qui signifie que le polynôme est la fonction interne :

Et, alors seulement l'exponentiation est effectuée, par conséquent, la fonction puissance est une fonction externe :

Selon la formule, vous devez d'abord trouver la dérivée de la fonction externe, dans ce cas, le degré. Nous recherchons la formule souhaitée dans le tableau :. Nous répétons encore : toute formule tabulaire est valable non seulement pour "x", mais aussi pour une expression complexe. Ainsi, le résultat de l'application de la règle de différenciation d'une fonction complexe est le suivant :

Je souligne à nouveau que lorsque nous prenons la dérivée de la fonction externe, la fonction interne ne change pas :

Reste maintenant à trouver une dérivée très simple de la fonction interne et à « peigner » un peu le résultat :

Exemple 4

Trouver la dérivée d'une fonction

Ceci est un exemple d'auto-résolution (réponse à la fin de la leçon).

Pour consolider la compréhension de la dérivée d'une fonction complexe, je vais donner un exemple sans commentaires, essayez de le comprendre par vous-même, raison, où est la fonction externe et où est la fonction interne, pourquoi les tâches sont-elles résolues de cette façon?

Exemple 5

a) Trouver la dérivée d'une fonction

b) Trouver la dérivée de la fonction

Exemple 6

Trouver la dérivée d'une fonction

Ici, nous avons une racine, et pour différencier la racine, il faut la représenter comme un degré. Ainsi, nous mettons d'abord la fonction dans la forme appropriée pour la différenciation:

En analysant la fonction, nous arrivons à la conclusion que la somme de trois termes est une fonction interne et que l'exponentiation est une fonction externe. On applique la règle de différentiation d'une fonction complexe :

Le degré est à nouveau représenté par un radical (racine), et pour la dérivée de la fonction interne, on applique une règle simple pour différencier la somme :

Prêt. Vous pouvez également amener l'expression à un dénominateur commun entre parenthèses et écrire tout comme une fraction. C'est beau, bien sûr, mais lorsque des dérivées longues encombrantes sont obtenues, il vaut mieux ne pas le faire (c'est facile de s'embrouiller, de faire une erreur inutile, et ce sera gênant pour l'enseignant de vérifier).

Exemple 7

Trouver la dérivée d'une fonction

Ceci est un exemple d'auto-résolution (réponse à la fin de la leçon).

Il est intéressant de noter que parfois, au lieu de la règle de différentiation d'une fonction complexe, on peut utiliser la règle de différentiation d'un quotient , mais une telle solution ressemblerait à une drôle de perversion. Voici un exemple typique:

Exemple 8

Trouver la dérivée d'une fonction

Ici, vous pouvez utiliser la règle de différenciation du quotient , mais il est bien plus profitable de trouver la dérivée par la règle de différentiation d'une fonction complexe :

Nous préparons la fonction pour la différenciation - nous retirons le signe moins de la dérivée et élevons le cosinus au numérateur:

Le cosinus est une fonction interne, l'exponentiation est une fonction externe.
Utilisons notre règle :

Nous trouvons la dérivée de la fonction interne, réinitialisons le cosinus :

Prêt. Dans l'exemple considéré, il est important de ne pas se tromper dans les signes. Au fait, essayez de le résoudre avec la règle , les réponses doivent correspondre.

Exemple 9

Trouver la dérivée d'une fonction

Ceci est un exemple d'auto-résolution (réponse à la fin de la leçon).

Jusqu'à présent, nous avons considéré des cas où nous n'avions qu'une seule imbrication dans une fonction complexe. Dans les tâches pratiques, vous pouvez souvent trouver des dérivés, où, comme des poupées imbriquées, les unes dans les autres, 3 ou même 4-5 fonctions sont imbriquées à la fois.

Exemple 10

Trouver la dérivée d'une fonction

Nous comprenons les pièces jointes de cette fonction. Nous essayons d'évaluer l'expression en utilisant la valeur expérimentale . Comment compterions-nous sur une calculatrice?

Vous devez d'abord trouver, ce qui signifie que l'arc sinus est l'imbrication la plus profonde :

Cet arcsinus de l'unité doit alors être élevé au carré :

Et enfin, nous élevons les sept à la puissance :

Autrement dit, dans cet exemple, nous avons trois fonctions différentes et deux imbrications, tandis que la fonction la plus interne est l'arc sinus et la fonction la plus externe est la fonction exponentielle.

Nous commençons à décider

Selon la règle, vous devez d'abord prendre la dérivée de la fonction externe. Nous regardons le tableau des dérivées et trouvons la dérivée de la fonction exponentielle : La seule différence est qu'au lieu de "x", nous avons une expression complexe, qui ne nie pas la validité de cette formule. Ainsi, le résultat de l'application de la règle de différenciation d'une fonction complexe est le suivant :

Sous le tableau de bord, nous avons encore une fonction délicate ! Mais c'est déjà plus facile. Il est facile de voir que la fonction interne est l'arc sinus et que la fonction externe est le degré. Selon la règle de différenciation d'une fonction complexe, il faut d'abord prendre la dérivée du degré.

Si g(X) Et F(tu) sont des fonctions différentiables de leurs arguments, respectivement, aux points X Et tu= g(X), alors la fonction complexe est également différentiable au point X et se trouve par la formule

Une erreur typique dans la résolution de problèmes sur les dérivées est le transfert automatique des règles de différenciation des fonctions simples aux fonctions complexes. Nous apprendrons à éviter cette erreur.

Exemple 2 Trouver la dérivée d'une fonction

Mauvaise solution : calculez le logarithme naturel de chaque terme entre parenthèses et trouvez la somme des dérivées :

Solution correcte : encore une fois, nous déterminons où est la "pomme" et où est la "viande hachée". Ici, le logarithme naturel de l'expression entre parenthèses est la "pomme", c'est-à-dire la fonction sur l'argument intermédiaire tu, et l'expression entre parenthèses est "viande hachée", c'est-à-dire un argument intermédiaire tu par variable indépendante X.

Puis (en utilisant la formule 14 du tableau des dérivées)

Dans de nombreux problèmes réels, l'expression avec le logarithme est un peu plus compliquée, c'est pourquoi il y a une leçon

Exemple 3 Trouver la dérivée d'une fonction

Mauvaise solution :

Solution correcte. Encore une fois, nous déterminons où se trouve la "pomme" et où se trouve la "viande hachée". Ici, le cosinus de l'expression entre parenthèses (formule 7 dans le tableau des dérivées) est "pomme", il est préparé en mode 1, qui n'affecte que lui, et l'expression entre parenthèses (la dérivée du degré - chiffre 3 dans le tableau des dérivés) est de la "viande hachée", elle est cuite en mode 2, n'affectant qu'elle. Et comme toujours, nous connectons deux dérivés avec un signe produit. Résultat:

La dérivée d'une fonction logarithmique complexe est une tâche fréquente dans les tests, nous vous recommandons donc fortement de visiter la leçon "Dérivée d'une fonction logarithmique".

Les premiers exemples concernaient des fonctions complexes, dans lesquelles l'argument intermédiaire sur la variable indépendante était une fonction simple. Mais dans les tâches pratiques, il est souvent nécessaire de trouver la dérivée d'une fonction complexe, où l'argument intermédiaire est lui-même une fonction complexe ou contient une telle fonction. Que faire dans de tels cas ? Trouvez les dérivées de ces fonctions à l'aide de tables et de règles de différenciation. Lorsque la dérivée de l'argument intermédiaire est trouvée, elle est simplement substituée au bon endroit dans la formule. Vous trouverez ci-dessous deux exemples de la façon dont cela est fait.

De plus, il est utile de connaître les éléments suivants. Si une fonction complexe peut être représentée comme une chaîne de trois fonctions

alors sa dérivée doit être trouvée comme le produit des dérivées de chacune de ces fonctions :

Beaucoup de vos devoirs peuvent vous obliger à ouvrir des didacticiels dans de nouvelles fenêtres. Actions avec des pouvoirs et des racines Et Actions avec fractions .

Exemple 4 Trouver la dérivée d'une fonction

On applique la règle de différenciation d'une fonction complexe, sans oublier que dans le produit résultant de dérivées, l'argument intermédiaire par rapport à la variable indépendante X ne change pas:

Nous préparons le deuxième facteur du produit et appliquons la règle de différenciation de la somme :

Le deuxième terme est la racine, donc

Ainsi, on a obtenu que l'argument intermédiaire, qui est la somme, contient une fonction complexe comme l'un des termes : l'exponentiation est une fonction complexe, et ce qui est élevé à une puissance est un argument intermédiaire par une variable indépendante X.

Par conséquent, nous appliquons à nouveau la règle de différenciation d'une fonction complexe :

On transforme le degré du premier facteur en racine, et en différenciant le second facteur, on n'oublie pas que la dérivée de la constante est égale à zéro :

Nous pouvons maintenant trouver la dérivée de l'argument intermédiaire nécessaire pour calculer la dérivée de la fonction complexe requise dans la condition du problème y:

Exemple 5 Trouver la dérivée d'une fonction

Tout d'abord, nous utilisons la règle de différenciation de la somme :

Obtenir la somme des dérivées de deux fonctions complexes. Trouvez le premier :

Ici, élever le sinus à une puissance est une fonction complexe, et le sinus lui-même est un argument intermédiaire dans la variable indépendante X. Par conséquent, nous utilisons la règle de différenciation d'une fonction complexe, en cours de route en retirant le multiplicateur des parenthèses :

On trouve maintenant le second terme parmi ceux qui forment la dérivée de la fonction y:

Ici, élever le cosinus à une puissance est une fonction complexe F, et le cosinus lui-même est un argument intermédiaire par rapport à la variable indépendante X. Encore une fois, nous utilisons la règle de différenciation d'une fonction complexe :

Le résultat est la dérivée recherchée :

Tableau des dérivées de certaines fonctions complexes

Pour les fonctions complexes, basées sur la règle de différenciation d'une fonction complexe, la formule de la dérivée d'une fonction simple prend une forme différente.

1. Dérivée d'une fonction puissance complexe, où tu X
2. Dérivée de la racine de l'expression
3. Dérivée de la fonction exponentielle
4. Cas particulier de la fonction exponentielle
5. Dérivée d'une fonction logarithmique avec une base positive arbitraire UN
6. Dérivée d'une fonction logarithmique complexe, où tu est une fonction différentiable de l'argument X
7. Dérivée sinusoïdale
8. Dérivée du cosinus
9. Dérivée tangente
10. Dérivée de la cotangente
11. Dérivée de l'arc sinus
12. Dérivée de l'arc cosinus
13. Dérivée de l'arc tangente
14. Dérivée de la tangente inverse

Si nous suivons la définition, alors la dérivée d'une fonction en un point est la limite du rapport d'incrémentation de la fonction Δ yà l'incrément de l'argument Δ X:

Tout semble clair. Mais essayez de calculer par cette formule, disons, la dérivée de la fonction F(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X péché X. Si vous faites tout par définition, après quelques pages de calculs, vous vous endormirez tout simplement. Il existe donc des moyens plus simples et plus efficaces.

Pour commencer, notons que les fonctions dites élémentaires peuvent être distinguées de toute la variété des fonctions. Ce sont des expressions relativement simples, dont les dérivées sont depuis longtemps calculées et inscrites dans le tableau. Ces fonctions sont assez faciles à retenir, ainsi que leurs dérivées.

Dérivées de fonctions élémentaires

Les fonctions élémentaires sont tout ce qui est listé ci-dessous. Les dérivées de ces fonctions doivent être connues par cœur. De plus, il n'est pas difficile de les mémoriser - c'est pourquoi ils sont élémentaires.

Ainsi, les dérivées des fonctions élémentaires :

Nom	Fonction	Dérivé
Constant	F(X) = C, C ∈ R	0 (oui, oui, zéro !)
Degré avec exposant rationnel	F(X) = X n	n · X n − 1
Sinus	F(X) = péché X	parce que X
Cosinus	F(X) = cos X	- péché X(moins sinus)
Tangente	F(X) = tg X	1/cos 2 X
Cotangente	F(X) = ctg X	− 1/péché2 X
un algorithme naturel	F(X) = journal X	1/X
Logarithme arbitraire	F(X) = journal un X	1/(X dans un)
Fonction exponentielle	F(X) = e X	e X(Rien n'a changé)

Si une fonction élémentaire est multipliée par une constante arbitraire, alors la dérivée de la nouvelle fonction est aussi facilement calculée :

(C · F)’ = C · F ’.

En général, les constantes peuvent être extraites du signe de la dérivée. Par exemple:

(2X 3)' = 2 ( X 3)' = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Évidemment, les fonctions élémentaires peuvent être ajoutées les unes aux autres, multipliées, divisées et bien plus encore. C'est ainsi qu'apparaîtront de nouvelles fonctions, plus très élémentaires, mais aussi différentiables selon certaines règles. Ces règles sont discutées ci-dessous.

Dérivée de la somme et de la différence

Laissez les fonctions F(X) Et g(X), dont les dérivées nous sont connues. Par exemple, vous pouvez prendre les fonctions élémentaires décrites ci-dessus. Ensuite, vous pouvez trouver la dérivée de la somme et de la différence de ces fonctions :

(F + g)’ = F ’ + g ’
(F − g)’ = F ’ − g ’

Ainsi, la dérivée de la somme (différence) de deux fonctions est égale à la somme (différence) des dérivées. Il peut y avoir plus de termes. Par exemple, ( F + g + h)’ = F ’ + g ’ + h ’.

À proprement parler, il n'y a pas de concept de "soustraction" en algèbre. Il existe une notion d'"élément négatif". Par conséquent, la différence F − g peut être réécrit comme une somme F+ (−1) g, puis il ne reste qu'une seule formule - la dérivée de la somme.

F(X) = X 2 + sinx ; g(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Fonction F(X) est la somme de deux fonctions élémentaires, donc :

F ’(X) = (X 2+ péché X)’ = (X 2)' + (péché X)’ = 2X+ cox ;

On raisonne de même pour la fonction g(X). Seulement il y a déjà trois termes (du point de vue de l'algèbre) :

g ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Répondre:
F ’(X) = 2X+ cox ;
g ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Dérivé d'un produit

Les mathématiques sont une science logique, tant de gens croient que si la dérivée de la somme est égale à la somme des dérivées, alors la dérivée du produit frapper"\u003e égal au produit des dérivées. Mais des figues pour vous ! La dérivée du produit est calculée à l'aide d'une formule complètement différente. À savoir :

(F · g) ’ = F ’ · g + F · g ’

La formule est simple, mais souvent oubliée. Et pas seulement des écoliers, mais aussi des étudiants. Le résultat est des problèmes mal résolus.

Tâche. Trouver les dérivées des fonctions : F(X) = X 3 cox ; g(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Fonction F(X) est un produit de deux fonctions élémentaires, donc tout est simple :

F ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3)' parce que X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (−sin X) = X 2 (3 cos X − X péché X)

Fonction g(X) le premier multiplicateur est un peu plus compliqué, mais le schéma général n'en change pas. Évidemment, le premier multiplicateur de la fonction g(X) est un polynôme, et sa dérivée est la dérivée de la somme. Nous avons:

g ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · e X + (X 2 + 7X− 7) ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X(2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Répondre:
F ’(X) = X 2 (3 cos X − X péché X);
g ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Notez qu'à la dernière étape, la dérivée est factorisée. Formellement, ce n'est pas nécessaire, mais la plupart des dérivées ne sont pas calculées par elles-mêmes, mais pour explorer la fonction. Cela signifie qu'en outre la dérivée sera assimilée à zéro, ses signes seront découverts, etc. Pour un tel cas, il est préférable d'avoir une expression décomposée en facteurs.

S'il y a deux fonctions F(X) Et g(X), et g(X) ≠ 0 sur l'ensemble qui nous intéresse, on peut définir une nouvelle fonction h(X) = F(X)/g(X). Pour une telle fonction, vous pouvez également trouver la dérivée :

Pas faible, non ? D'où vient le moins ? Pourquoi g 2 ? Et comme ça ! C'est l'une des formules les plus complexes - vous ne pouvez pas la comprendre sans bouteille. Par conséquent, il est préférable de l'étudier avec des exemples précis.

Tâche. Trouver les dérivées des fonctions :

Il y a des fonctions élémentaires dans le numérateur et le dénominateur de chaque fraction, donc tout ce dont nous avons besoin est la formule de la dérivée du quotient :

Par tradition, nous factorisons le numérateur en facteurs - cela simplifiera grandement la réponse :

Une fonction complexe n'est pas nécessairement une formule longue d'un demi-kilomètre. Par exemple, il suffit de prendre la fonction F(X) = péché X et remplacer la variable X, disons, sur X 2+ln X. Il s'avère F(X) = péché ( X 2+ln X) est une fonction complexe. Elle a également un dérivé, mais cela ne fonctionnera pas pour le trouver selon les règles discutées ci-dessus.

Comment être? Dans de tels cas, le remplacement d'une variable et la formule de la dérivée d'une fonction complexe aident :

F ’(X) = F ’(t) · t', Si X est remplacé par t(X).

En règle générale, la situation avec la compréhension de cette formule est encore plus triste qu'avec la dérivée du quotient. Par conséquent, il est également préférable de l'expliquer avec des exemples précis, avec une description détaillée de chaque étape.

Tâche. Trouver les dérivées des fonctions : F(X) = e 2X + 3 ; g(X) = péché ( X 2+ln X)

Notez que si dans la fonction F(X) au lieu de l'expression 2 X+ 3 sera facile X, alors on obtient une fonction élémentaire F(X) = e X. On fait donc une substitution : soit 2 X + 3 = t, F(X) = F(t) = e t. On cherche la dérivée d'une fonction complexe par la formule :

F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Et maintenant - attention ! Effectuer une substitution inverse : t = 2X+ 3. On obtient :

F ’(X) = e t · t ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Regardons maintenant la fonction g(X). A évidemment besoin d'être remplacé. X 2+ln X = t. Nous avons:

g ’(X) = g ’(t) · t' = (péché t)’ · t' = cos t · t ’

Remplacement inverse : t = X 2+ln X. Alors:

g ’(X) = cos( X 2+ln X) · ( X 2+ln X)' = cos ( X 2+ln X) · (2 X + 1/X).

C'est tout! Comme on peut le voir à partir de la dernière expression, tout le problème a été réduit au calcul de la dérivée de la somme.

Répondre:
F ’(X) = 2 e 2X + 3 ;
g ’(X) = (2X + 1/X) cos( X 2+ln X).

Très souvent dans mes cours, au lieu du terme "dérivé", j'utilise le mot "coup". Par exemple, le trait de la somme est égal à la somme des traits. C'est plus clair ? Bon, c'est bien.

Ainsi, le calcul de la dérivée revient à se débarrasser de ces mêmes coups selon les règles évoquées ci-dessus. Comme dernier exemple, revenons à la puissance dérivée avec un exposant rationnel :

(X n)’ = n · X n − 1

Peu de gens savent que dans le rôle n pourrait bien être un nombre fractionnaire. Par exemple, la racine est X 0,5 . Mais que se passe-t-il s'il y a quelque chose de délicat sous la racine ? Encore une fois, une fonction complexe se révélera - ils aiment donner de telles constructions dans les tests et les examens.