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Par exemple, l'expression \(x>5\) est une inégalité.

Types d'inégalités :

Si \(a\) et \(b\) sont des nombres ou , alors l'inégalité est appelée numérique. En fait, ce n'est qu'une comparaison de deux chiffres. Ces inégalités se subdivisent en fidèle Et infidèle.

Par exemple:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) est une inégalité numérique invalide car \(17+3=20\) et \(20\) est inférieur à \(115\) (pas supérieur ou égal à).

Si \(a\) et \(b\) sont des expressions contenant une variable, alors on a inégalité à variable. Ces inégalités sont divisées en types en fonction du contenu:

Quelle est la solution d'une inégalité ?

Si un nombre est substitué dans l'inégalité au lieu d'une variable, il se transformera en un nombre numérique.

Si la valeur donnée pour x rend l'inégalité d'origine vraie numérique, alors on l'appelle résoudre l'inégalité. Sinon, cette valeur n'est pas une solution. Et à résoudre l'inégalité- il faut trouver toutes ses solutions (ou montrer qu'elles n'existent pas).

Par exemple, si on est dans l'inégalité linéaire \(x+6>10\), on substitue le nombre \(7\) à la place de x, on obtient la bonne inégalité numérique : \(13>10\). Et si nous remplaçons \(2\), il y aura une inégalité numérique incorrecte \(8>10\). Autrement dit, \(7\) est une solution à l'inégalité d'origine, mais \(2\) ne l'est pas.

Cependant, l'inégalité \(x+6>10\) a d'autres solutions. En effet, nous obtiendrons les bonnes inégalités numériques en substituant et \(5\), et \(12\), et \(138\) ... Et comment trouver toutes les solutions possibles ? Pour ce faire, utilisez Pour notre cas, nous avons :

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Autrement dit, nous pouvons utiliser n'importe quel nombre supérieur à quatre. Maintenant, nous devons écrire la réponse. Les solutions aux inégalités, en règle générale, sont écrites numériquement, en les marquant en outre sur l'axe numérique avec des hachures. Pour notre cas nous avons :

Répondre: \(x\in(4;+\infty)\)

Quand le signe change-t-il dans une inégalité ?

Il y a un grand piège dans les inégalités, dans lequel les étudiants « aiment » vraiment tomber :

Lorsque l'on multiplie (ou divise) l'inégalité par un nombre négatif, elle est inversée ("supérieur à" par "inférieur", "supérieur ou égal à" par "inférieur ou égal à", etc.)

Pourquoi cela arrive-t-il? Pour comprendre cela, regardons les transformations de l'inégalité numérique \(3>1\). C'est correct, le triple c'est vraiment plus qu'un. Essayons d'abord de le multiplier par n'importe quel nombre positif, par exemple deux :

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Comme vous pouvez le voir, après la multiplication, l'inégalité reste vraie. Et peu importe le nombre positif que nous multiplions, nous obtiendrons toujours la bonne inégalité. Et maintenant essayons de multiplier par un nombre négatif, par exemple, moins trois :

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Il s'est avéré qu'il s'agissait d'une inégalité incorrecte, car moins neuf est inférieur à moins trois ! Autrement dit, pour que l'inégalité devienne vraie (ce qui signifie que la transformation de la multiplication par un négatif était "légale"), vous devez inverser le signe de comparaison, comme ceci : \(−9<− 3\).
Avec la division, cela se passera de la même manière, vous pouvez le vérifier vous-même.

La règle écrite ci-dessus s'applique à tous les types d'inégalités, et pas seulement aux inégalités numériques.

Répondre: \(x\in(-1;\infty)\)

Inégalités et DHS

Les inégalités, ainsi que les équations, peuvent avoir des restrictions sur , c'est-à-dire sur les valeurs de x. En conséquence, les valeurs inacceptables selon l'ODZ doivent être exclues de l'intervalle de solution.

Exemple: Résoudre l'inégalité \(\sqrt(x+1)<3\)

Solution: Il est clair que pour que le côté gauche soit inférieur à \(3\), l'expression racine doit être inférieure à \(9\) (après tout, à partir de \(9\) juste \(3\)). On a:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(X<8\)

Tous? Toute valeur de x inférieure à \(8\) nous conviendra ? Non! Car si nous prenons, par exemple, la valeur \(-5\) qui semble répondre à l'exigence, ce ne sera pas une solution à l'inégalité d'origine, car elle nous conduira à calculer la racine d'un nombre négatif.

\(\carré(-5+1)<3\)
\(\carré(-4)<3\)

Par conséquent, nous devons également prendre en compte les restrictions sur les valeurs de x - cela ne peut pas être tel qu'il y ait un nombre négatif sous la racine. Ainsi, nous avons la deuxième exigence pour x :

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Et pour que x soit une solution finale, il doit satisfaire les deux conditions à la fois : il doit être inférieur à \(8\) (pour être une solution) et supérieur à \(-1\) (pour être valide en principe). En traçant sur la droite numérique, nous avons la réponse finale :

Répondre: \(\gauche[-1;8\droite)\)

Attention!
Il y a d'autres
matériel dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui fortement "pas très..."
Et pour ceux qui "beaucoup...")

Ce qui s'est passé "inégalité carrée" ? Pas une question !) Si vous prenez n'importe queléquation quadratique et changer le signe dedans "=" (égal) à toute icône d'inégalité ( > ≥ < ≤ ≠ ), on obtient une inégalité quadratique. Par exemple:

1. x2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x2 ≤ 4

Bon, vous voyez l'idée...)

J'ai sciemment lié équations et inégalités ici. Le fait est que la première étape dans la résolution n'importe quel inégalité au carré - résoudre l'équation à partir de laquelle cette inégalité est faite. Pour cette raison - l'incapacité à résoudre des équations quadratiques conduit automatiquement à un échec complet des inégalités. L'indice est-il clair ?) Le cas échéant, regardez comment résoudre les équations quadratiques. Tout y est détaillé. Et dans cette leçon, nous traiterons des inégalités.

L'inéquation prête à être résolue est de la forme : gauche - trinôme carré hache 2 +bx+c, à droite - zéro. Le signe d'inégalité peut être absolument n'importe quoi. Les deux premiers exemples sont ici sont prêts à prendre une décision. Le troisième exemple doit encore être préparé.

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Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprendre - avec intérêt !)

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Aujourd'hui, mes amis, il n'y aura pas de morve ni de sentiment. Au lieu de cela, je vous enverrai au combat avec l'un des adversaires les plus redoutables du cours d'algèbre de la 8e à la 9e année sans plus de questions.

Oui, vous avez tout bien compris : on parle d'inégalités avec un module. Nous examinerons quatre techniques de base avec lesquelles vous apprendrez à résoudre environ 90 % de ces problèmes. Qu'en est-il des 10 % restants ? Eh bien, nous en parlerons dans une leçon séparée. :)

Cependant, avant d'y analyser d'éventuelles astuces, je voudrais rappeler deux faits que vous devez déjà connaître. Sinon, vous risquez de ne pas comprendre du tout la matière de la leçon d'aujourd'hui.

Ce que vous devez déjà savoir

Captain Evidence, pour ainsi dire, laisse entendre que pour résoudre des inégalités avec un module, vous devez savoir deux choses :

1. Comment les inégalités sont-elles résolues ?
2. Qu'est-ce qu'un module.

Commençons par le deuxième point.

Définition des modules

Tout est simple ici. Il existe deux définitions : algébrique et graphique. Commençons par l'algèbre :

Définition. Le module du nombre $x$ est soit le nombre lui-même, s'il est non négatif, soit le nombre qui lui est opposé, si le $x$ d'origine est toujours négatif.

Il s'écrit comme ceci :

\[\gauche| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

En termes simples, le module est "un nombre sans moins". Et c'est dans cette dualité (quelque part que vous n'avez rien à faire avec le nombre d'origine, mais quelque part où vous devez supprimer certains moins là-bas) et toute la difficulté pour les étudiants novices réside.

Il existe également une définition géométrique. Il est également utile de le connaître, mais nous n'y ferons référence que dans des cas complexes et quelques cas particuliers, où l'approche géométrique est plus commode que l'algébrique (spoiler : pas aujourd'hui).

Définition. Soit le point $a$ marqué sur la droite réelle. Puis le module $\left| x-a \right|$ est la distance entre le point $x$ et le point $a$ sur cette droite.

Si vous dessinez une image, vous obtenez quelque chose comme ceci :

D'une manière ou d'une autre, sa propriété clé découle immédiatement de la définition du module : le module d'un nombre est toujours une valeur non négative. Ce fait sera un fil rouge qui traversera toute notre histoire aujourd'hui.

Solution des inégalités. Méthode d'espacement

Passons maintenant aux inégalités. Il y en a un grand nombre, mais notre tâche est maintenant de pouvoir résoudre au moins le plus simple d'entre eux. Celles qui se réduisent aux inégalités linéaires, ainsi qu'à la méthode des intervalles.

J'ai deux gros tutoriels sur ce sujet (au fait, très, TRÈS utiles - je recommande d'étudier):

1. La méthode des intervalles pour les inégalités (surtout regardez la vidéo);
2. Les inégalités fractionnaires-rationnelles sont une leçon très volumineuse, mais après cela, vous n'aurez plus du tout de questions.

Si vous savez tout ça, si la phrase "passons de l'inégalité à l'équation" ne vous donne pas vaguement envie de vous tuer contre le mur, alors vous êtes prêt : bienvenue en enfer pour le sujet principal de la leçon. :)

1. Inégalités de la forme "Module inférieur à fonction"

C'est l'une des tâches les plus fréquemment rencontrées avec les modules. Il faut résoudre une inégalité de la forme :

\[\gauche| f\droit| \ltg\]

Tout peut agir comme des fonctions $f$ et $g$, mais généralement ce sont des polynômes. Exemples de telles inégalités :

\[\begin(aligner) & \left| 2x+3\droite| \ltx+7 ; \\ & \gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0 ; \\ & \gauche| ((x)^(2))-2\left| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(aligner)\]

Tous sont résolus littéralement en une seule ligne selon le schéma:

\[\gauche| f\droit| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \droite.\droite)\]

Il est facile de voir qu'on se débarrasse du module, mais on obtient à la place une double inégalité (ou, ce qui revient au même, un système de deux inégalités). Mais cette transition prend en compte absolument tous les problèmes possibles : si le nombre sous le module est positif, la méthode fonctionne ; s'il est négatif, cela fonctionne toujours ; et même avec la fonction la plus inadéquate à la place de $f$ ou $g$, la méthode fonctionnera toujours.

Naturellement, la question se pose : n'est-ce pas plus facile ? Malheureusement, vous ne pouvez pas. C'est tout l'intérêt du module.

Mais assez de philosophie. Résolvons quelques problèmes :

Tâche. Résolvez l'inégalité :

\[\gauche| 2x+3\droite| \ltx+7\]

Solution. Donc, nous avons une inégalité classique de la forme "le module est inférieur à" - il n'y a même rien à transformer. On travaille selon l'algorithme :

\[\begin(aligner) & \left| f\droit| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \gauche| 2x+3\droite| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Ne vous précipitez pas pour ouvrir les parenthèses qui sont précédées d'un « moins » : il est fort possible qu'à cause de la hâte vous fassiez une erreur offensive.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Le problème a été réduit à deux inégalités élémentaires. On note leurs solutions sur des droites réelles parallèles :

Intersection de plusieurs

L'intersection de ces ensembles sera la réponse.

Réponse : $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Tâche. Résolvez l'inégalité :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Solution. Cette tâche est un peu plus difficile. Pour commencer, on isole le module en déplaçant le second terme vers la droite :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\gauche(x+1 \droite)\]

Évidemment, on a à nouveau une inégalité de la forme "le module est inférieur", donc on se débarrasse du module selon l'algorithme déjà connu :

\[-\gauche(-3\gauche(x+1 \droite) \droite) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\gauche(x+1 \droite)\]

Maintenant attention : quelqu'un dira que je suis un peu pervers avec toutes ces parenthèses. Mais encore une fois, je vous rappelle que notre objectif principal est résoudre correctement l'inégalité et obtenir la réponse. Plus tard, lorsque vous aurez parfaitement maîtrisé tout ce qui est décrit dans cette leçon, vous pourrez vous pervertir à votre guise : ouvrir des parenthèses, ajouter des moins, etc.

Et pour commencer, on se débarrasse juste du double moins à gauche :

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\gauche(x+1\droite)\]

Ouvrons maintenant toutes les parenthèses dans la double inégalité :

Passons à la double inégalité. Cette fois les calculs seront plus sérieux :

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(aligner) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( aligner)\droite.\]

Les deux inégalités sont carrées et sont résolues par la méthode des intervalles (c'est pourquoi je dis : si vous ne savez pas ce que c'est, il vaut mieux ne pas encore prendre de modules). On passe à l'équation à la première inégalité :

\[\begin(aligner) & ((x)^(2))+5x=0 ; \\ & x\left(x+5 \right)=0 ; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\fin(aligner)\]

Comme vous pouvez le voir, la sortie s'est avérée être une équation quadratique incomplète, qui est résolue de manière élémentaire. Abordons maintenant la deuxième inégalité du système. Là, vous devez appliquer le théorème de Vieta :

\[\begin(aligner) & ((x)^(2))-x-6=0 ; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0 ; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\fin(aligner)\]

On marque les nombres obtenus sur deux lignes parallèles (séparées pour la première inégalité et séparées pour la seconde) :

Encore une fois, puisque nous résolvons un système d'inéquations, nous nous intéressons à l'intersection des ensembles ombrés : $x\in \left(-5;-2 \right)$. C'est la réponse.

Réponse : $x\in \left(-5;-2 \right)$

Je pense qu'après ces exemples, le schéma de solution est très clair:

1. Isolez le module en déplaçant tous les autres termes du côté opposé de l'inégalité. On obtient ainsi une inégalité de la forme $\left| f\droit| \ltg$.
2. Résolvez cette inégalité en vous débarrassant du module comme décrit ci-dessus. À un moment donné, il faudra passer d'une double inégalité à un système de deux expressions indépendantes, dont chacune peut déjà être résolue séparément.
3. Enfin, il ne reste plus qu'à croiser les solutions de ces deux expressions indépendantes - et ça y est, nous aurons la réponse définitive.

Un algorithme similaire existe pour les inégalités du type suivant, lorsque le module est supérieur à la fonction. Cependant, il y a quelques "mais" sérieux. Nous allons parler de ces "mais" maintenant.

2. Inégalités de la forme "Le module est supérieur à la fonction"

Ils ressemblent à ceci :

\[\gauche| f\droit| \gt g\]

Semblable au précédent ? Il semble. Néanmoins, ces tâches sont résolues d'une manière complètement différente. Formellement, le schéma est le suivant :

\[\gauche| f\droit| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Autrement dit, on considère deux cas :

1. Tout d'abord, nous ignorons simplement le module - nous résolvons l'inégalité habituelle ;
2. Ensuite, en fait, on ouvre le module avec le signe moins, puis on multiplie les deux parties de l'inégalité par −1, avec un signe.

Dans ce cas, les options sont combinées avec un crochet, c'est-à-dire Nous avons une combinaison de deux exigences.

Faites encore attention : devant nous n'est pas un système, mais un agrégat, donc dans la réponse, les ensembles sont combinés, non intersectés. C'est une différence fondamentale avec le paragraphe précédent !

En général, de nombreux étudiants ont beaucoup de confusion avec les unions et les intersections, alors examinons ce problème une fois pour toutes :

• "∪" est un signe de concaténation. En fait, il s'agit d'une lettre stylisée "U", qui nous vient de la langue anglaise et est une abréviation pour "Union", c'est-à-dire "Les associations".
• "∩" est le signe d'intersection. Cette merde ne vient de nulle part, mais est simplement apparue comme une opposition à "∪".

Pour faciliter encore plus la mémorisation, il suffit d'ajouter des jambes à ces panneaux pour en faire des lunettes (ne m'accusez pas de promouvoir la toxicomanie et l'alcoolisme maintenant : si vous étudiez sérieusement cette leçon, alors vous êtes déjà toxicomane) :

Traduit en russe, cela signifie ce qui suit: l'union (collection) comprend des éléments des deux ensembles, donc pas moins que chacun d'eux; mais l'intersection (système) ne comprend que les éléments qui sont à la fois dans le premier ensemble et dans le second. Par conséquent, l'intersection des ensembles n'est jamais supérieure aux ensembles sources.

Alors c'est devenu plus clair ? C'est super. Passons à la pratique.

Tâche. Résolvez l'inégalité :

\[\gauche| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]

Solution. Nous agissons selon le schéma:

\[\gauche| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ droite.\]

On résout chaque inégalité de population :

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Nous marquons chaque ensemble résultant sur la droite numérique, puis les combinons :

Union d'ensembles

Évidemment, la réponse est $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Réponse : $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Tâche. Résolvez l'inégalité :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gtx\]

Solution. Bien? Non, c'est tout pareil. On passe d'une inégalité à module à un ensemble de deux inégalités :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(aligner) \right.\]

Nous résolvons chaque inégalité. Malheureusement, les racines n'y seront pas très bonnes :

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13 ; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\fin(aligner)\]

Dans la deuxième inégalité, il y a aussi un peu de jeu :

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21 ; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\fin(aligner)\]

Nous devons maintenant marquer ces nombres sur deux axes - un axe pour chaque inégalité. Cependant, vous devez marquer les points dans le bon ordre : plus le nombre est grand, plus le point se décale vers la droite.

Et ici, nous attendons une configuration. Si tout est clair avec les nombres $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (les termes au numérateur du premier fraction sont inférieurs aux termes du numérateur de la seconde , donc la somme est également plus petite), avec les nombres $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ il n'y aura pas non plus de difficulté (un nombre positif évidemment plus négatif), mais avec le dernier couple, tout n'est pas si simple. Quelle est la plus grande : $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ou $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$ ? La disposition des points sur les droites numériques et, en fait, la réponse dépendra de la réponse à cette question.

Alors comparons :

\[\begin(matrice) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrice)\]

Nous avons isolé la racine, obtenu des nombres non négatifs des deux côtés de l'inégalité, nous avons donc le droit de mettre les deux côtés au carré :

\[\begin(matrice) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrice)\]

Je pense que c'est une évidence que $4\sqrt(13) \gt 3$, donc $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, enfin les points sur les axes seront disposés comme ceci :

Cas de racines laides

Permettez-moi de vous rappeler que nous résolvons un ensemble, donc la réponse sera l'union, et non l'intersection des ensembles ombrés.

Réponse : $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

Comme vous pouvez le voir, notre système fonctionne très bien à la fois pour les tâches simples et pour les tâches très difficiles. Le seul "point faible" de cette approche est que vous devez comparer correctement les nombres irrationnels (et croyez-moi : ce ne sont pas que des racines). Mais une leçon séparée (et très sérieuse) sera consacrée aux questions de comparaison. Et nous passons à autre chose.

3. Inégalités avec des "queues" non négatives

Nous sommes donc arrivés au plus intéressant. Ce sont des inégalités de la forme :

\[\gauche| f\droit| \gt\gauche| g\droite|\]

De manière générale, l'algorithme dont nous allons parler maintenant n'est vrai que pour le module. Cela fonctionne dans toutes les inégalités où il y a des expressions non négatives garanties à gauche et à droite :

Que faire de ces tâches ? Rappelez-vous juste:

Dans les inégalités avec des queues non négatives, les deux côtés peuvent être élevés à n'importe quelle puissance naturelle. Il n'y aura pas de restrictions supplémentaires.

Tout d'abord, nous nous intéresserons au carré - il brûle les modules et les racines :

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\fin(aligner)\]

Ne confondez pas cela avec la prise de la racine du carré :

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

D'innombrables erreurs ont été commises lorsqu'un étudiant a oublié d'installer un module ! Mais c'est une histoire complètement différente (ce sont, pour ainsi dire, des équations irrationnelles), donc nous n'y reviendrons pas maintenant. Résolvons mieux quelques problèmes :

Tâche. Résolvez l'inégalité :

\[\gauche| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \droite|\]

Solution. On remarque immédiatement deux choses :

1. Il s'agit d'une inégalité non stricte. Les points sur la droite numérique seront poinçonnés.
2. Les deux côtés de l'inégalité sont évidemment non négatifs (c'est une propriété du module : $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Par conséquent, nous pouvons élever au carré les deux côtés de l'inégalité pour nous débarrasser du module et résoudre le problème en utilisant la méthode d'intervalle habituelle :

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\fin(aligner)\]

A la dernière étape, j'ai un peu triché : j'ai changé la séquence des termes, en utilisant la parité du module (en fait, j'ai multiplié l'expression $1-2x$ par −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0 ; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \right) droite)\droite)\le 0 ; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0 ; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Nous résolvons par la méthode des intervalles. Passons de l'inégalité à l'équation :

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0 ; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\fin(aligner)\]

Nous marquons les racines trouvées sur la droite numérique. Encore une fois : tous les points sont grisés car l'inégalité d'origine n'est pas stricte !

Se débarrasser du signe du module

Je vous rappelle pour les plus têtus : on reprend les signes de la dernière inégalité, qui a été notée avant de passer à l'équation. Et nous peignons sur les zones requises dans la même inégalité. Dans notre cas, c'est $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, tout est fini maintenant. Problème résolu.

Réponse : $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Tâche. Résolvez l'inégalité :

\[\gauche| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

Solution. Nous faisons tout pareil. Je ne commenterai pas - il suffit de regarder la séquence d'actions.

Mettons-le au carré :

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ droite))^(2))\le 0 ; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0 ; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Méthode d'espacement :

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Flèche droite x=-1,5 ; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\fin(aligner)\]

Il n'y a qu'une seule racine sur la droite numérique :

La réponse est toute une gamme

Réponse : $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Une petite note sur la dernière tâche. Comme l'un de mes étudiants l'a noté avec précision, les deux expressions de sous-module dans cette inégalité sont évidemment positives, de sorte que le signe du module peut être omis sans nuire à la santé.

Mais c'est déjà un niveau de pensée complètement différent et une approche différente - on peut l'appeler conditionnellement la méthode des conséquences. À propos de lui - dans une leçon séparée. Et maintenant, passons à la dernière partie de la leçon d'aujourd'hui et considérons un algorithme universel qui fonctionne toujours. Même lorsque toutes les approches précédentes étaient impuissantes. :)

4. Méthode d'énumération des options

Et si toutes ces astuces ne fonctionnaient pas ? Si l'inégalité ne se réduit pas à des queues non négatives, s'il est impossible d'isoler le module, voire pas du tout douleur-tristesse-désir ?

Puis «l'artillerie lourde» de toutes les mathématiques entre en scène - la méthode d'énumération. En ce qui concerne les inégalités avec le module, cela ressemble à ceci:

1. Écrivez toutes les expressions de sous-module et assimilez-les à zéro ;
2. Résolvez les équations résultantes et marquez les racines trouvées sur une droite numérique ;
3. La ligne droite sera divisée en plusieurs sections, à l'intérieur desquelles chaque module a un signe fixe et se développe donc sans ambiguïté ;
4. Résolvez l'inégalité sur chacune de ces sections (vous pouvez considérer séparément les racines des limites obtenues au paragraphe 2 - pour la fiabilité). Combinez les résultats - ce sera la réponse. :)

Bien comment? Faible? Facilement! Seulement pour longtemps. Voyons en pratique :

Tâche. Résolvez l'inégalité :

\[\gauche| x+2 \right| \lt\gauche| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Solution. Cette merde ne se résume pas à des inégalités comme $\left| f\droit| \lt g$, $\left| f\droit| \gt g$ ou $\left| f\droit| \lt\gauche| g \right|$, alors allons-y.

Nous écrivons des expressions de sous-module, les assimilons à zéro et trouvons les racines :

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2 ; \\ & x-1=0\Flèche droite x=1. \\\fin(aligner)\]

Au total, nous avons deux racines qui divisent la droite numérique en trois sections, à l'intérieur desquelles chaque module se révèle de manière unique :

Fractionnement de la droite numérique par des zéros de fonctions sous-modulaires

Considérons chaque section séparément.

1. Soit $x \lt -2$. Alors les deux expressions de sous-module sont négatives et l'inégalité d'origine est réécrite comme suit :

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(aligner)\]

Nous avons une contrainte assez simple. Croisons-le avec l'hypothèse originale que $x \lt -2$ :

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Évidemment, la variable $x$ ne peut pas être simultanément inférieure à −2 mais supérieure à 1,5. Il n'y a pas de solutions dans ce domaine.

1.1. Considérons séparément le cas limite : $x=-2$. Remplaçons simplement ce nombre dans l'inégalité d'origine et vérifions : est-ce vrai ?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \right|-2-1.5 ; \\ & 0 \lt 3-3.5 ; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\fin(aligner)\]

De toute évidence, la chaîne de calculs nous a conduits à la mauvaise inégalité. Par conséquent, l'inégalité d'origine est également fausse et $x=-2$ n'est pas inclus dans la réponse.

2. Soit maintenant $-2 \lt x \lt 1$. Le module de gauche s'ouvrira déjà avec un "plus", mais celui de droite est toujours avec un "moins". Nous avons:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(aligner)\]

Encore une fois, nous recoupons l'exigence d'origine :

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Et encore une fois, l'ensemble vide de solutions, puisqu'il n'y a pas de nombres qui soient à la fois inférieurs à -2,5 et supérieurs à -2.

2.1. Et encore un cas particulier : $x=1$. On substitue dans l'inégalité d'origine :

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \gauche| 3\droite| \lt\gauche| 0 \right|+1-1,5 ; \\ & 3 \lt -0.5 ; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\fin(aligner)\]

Comme pour le "cas particulier" précédent, le nombre $x=1$ n'est clairement pas inclus dans la réponse.

3. Le dernier morceau de la ligne : $x \gt 1$. Ici, tous les modules sont développés avec un signe plus :

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Et encore une fois, nous croisons l'ensemble trouvé avec la contrainte d'origine :

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \droite)\]

Enfin! Nous avons trouvé l'intervalle, qui sera la réponse.

Réponse : $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Enfin, une note qui peut vous éviter des erreurs stupides lors de la résolution de problèmes réels :

Les solutions d'inéquations avec modules sont généralement des ensembles continus sur la droite numérique - intervalles et segments. Les points isolés sont beaucoup plus rares. Et encore plus rarement, il arrive que les bornes de la solution (la fin du segment) coïncident avec la borne de la plage considérée.

Par conséquent, si les limites (ces très "cas particuliers") ne sont pas incluses dans la réponse, alors les zones à gauche-droite de ces limites ne seront presque certainement pas incluses dans la réponse non plus. Et vice versa : la frontière est entrée en réponse, ce qui signifie que certaines zones qui l'entourent seront également des réponses.

Gardez cela à l'esprit lorsque vous vérifiez vos solutions.

Tout d'abord, quelques paroles pour avoir une idée du problème que la méthode des intervalles résout. Supposons que nous devions résoudre l'inégalité suivante :

(x − 5)(x + 3) > 0

Quelles sont les options? La première chose qui vient à l'esprit de la plupart des élèves est la règle « plus fois plus plus fait plus » et « moins fois moins fait plus ». Il suffit donc de considérer le cas où les deux parenthèses sont positives : x − 5 > 0 et x + 3 > 0. Ensuite on considère aussi le cas où les deux parenthèses sont négatives : x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Les étudiants plus avancés se souviendront (peut-être) qu'à gauche se trouve une fonction quadratique dont le graphique est une parabole. De plus, cette parabole coupe l'axe OX aux points x = 5 et x = −3. Pour un travail ultérieur, vous devez ouvrir les supports. Nous avons:

x 2 − 2x − 15 > 0

Maintenant, il est clair que les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, car coefficient a = 1 > 0. Essayons de tracer un schéma de cette parabole :

La fonction est supérieure à zéro là où elle passe au-dessus de l'axe OX. Dans notre cas, ce sont les intervalles (−∞ −3) et (5; +∞) - c'est la réponse.

Veuillez noter que l'image montre exactement schéma fonctionnel, pas son emploi du temps. Parce que pour un vrai graphique, vous devez calculer des coordonnées, calculer des décalages et d'autres conneries, dont nous n'avons plus du tout besoin maintenant.

Pourquoi ces méthodes sont-elles inefficaces ?

Nous avons donc considéré deux solutions à la même inégalité. Les deux se sont avérés très encombrants. La première décision se pose - pensez-y! est un ensemble de systèmes d'inégalités. La deuxième solution n'est pas non plus très facile : vous devez vous souvenir du graphique parabolique et d'un tas d'autres petits faits.

C'était une inégalité très simple. Il n'a que 2 multiplicateurs. Imaginez maintenant qu'il n'y aura pas 2 multiplicateurs, mais au moins 4. Par exemple :

(x - 7)(x - 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Comment résoudre une telle inégalité ? Passer en revue toutes les combinaisons possibles d'avantages et d'inconvénients ? Oui, nous nous endormirons plus vite que nous ne trouverons une solution. Dessiner un graphique n'est pas non plus une option, car on ne sait pas comment une telle fonction se comporte sur le plan des coordonnées.

Pour de telles inégalités, un algorithme de solution spécial est nécessaire, que nous examinerons aujourd'hui.

Quelle est la méthode d'intervalle

La méthode des intervalles est un algorithme spécial conçu pour résoudre des inégalités complexes de la forme f (x) > 0 et f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Résolvez l'équation f (x) \u003d 0. Ainsi, au lieu d'une inégalité, nous obtenons une équation beaucoup plus facile à résoudre;
2. Marquez toutes les racines obtenues sur la ligne de coordonnées. Ainsi, la ligne droite sera divisée en plusieurs intervalles ;
3. Découvrez le signe (plus ou moins) de la fonction f (x) sur l'intervalle le plus à droite. Pour ce faire, il suffit de substituer à f(x) n'importe quel nombre qui sera à droite de toutes les racines marquées ;
4. Marquez des marques sur d'autres intervalles. Pour ce faire, il suffit de rappeler qu'en passant par chaque racine, le signe change.

C'est tout! Après cela, il ne reste plus qu'à écrire les intervalles qui nous intéressent. Ils sont marqués d'un signe "+" si l'inégalité était de la forme f (x) > 0, ou d'un signe "-" si l'inégalité était de la forme f (x)< 0.

À première vue, il peut sembler que la méthode des intervalles est une sorte d'étain. Mais en pratique, tout sera très simple. Il faut un peu de pratique - et tout deviendra clair. Jetez un œil aux exemples et voyez par vous-même :

Tâche. Résolvez l'inégalité :

(x − 2)(x + 7)< 0

Nous travaillons sur la méthode des intervalles. Étape 1 : Remplacez l'inégalité par une équation et résolvez-la :

(x - 2)(x + 7) = 0

Le produit est égal à zéro si et seulement si au moins un des facteurs est égal à zéro :

x - 2 = 0 ⇒ x = 2 ;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

J'ai deux racines. Passez à l'étape 2 : marquez ces racines sur la ligne de coordonnées. Nous avons:

Maintenant étape 3 : nous trouvons le signe de la fonction sur l'intervalle le plus à droite (à droite du point marqué x = 2). Pour ce faire, vous devez prendre n'importe quel nombre supérieur au nombre x = 2. Par exemple, prenons x = 3 (mais personne n'interdit de prendre x = 4, x = 10 et même x = 10 000). On a:

f(x) = (x − 2)(x + 7);
x=3 ;
f (3) = (3 - 2)(3 + 7) = 1 10 = 10 ;

Nous obtenons que f (3) = 10 > 0, nous mettons donc un signe plus dans l'intervalle le plus à droite.

Nous passons au dernier point - il faut noter les signes sur les intervalles restants. N'oubliez pas qu'en passant par chaque racine, le signe doit changer. Par exemple, à droite de la racine x = 2, il y a un plus (nous nous en sommes assurés à l'étape précédente), il doit donc y avoir un moins à gauche.

Ce moins s'étend à tout l'intervalle (−7; 2), il y a donc un moins à droite de la racine x = −7. Par conséquent, il y a un plus à gauche de la racine x = −7. Il reste à marquer ces signes sur l'axe des coordonnées. Nous avons:

Revenons à l'inégalité d'origine, qui ressemblait à :

(x − 2)(x + 7)< 0

La fonction doit donc être inférieure à zéro. Cela signifie que nous nous intéressons au signe moins, qui n'apparaît que sur un intervalle : (−7 ; 2). Ce sera la réponse.

Tâche. Résolvez l'inégalité :

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Étape 1 : Égalez le côté gauche à zéro :

(x + 9)(x - 3)(1 - x ) = 0 ;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9 ;
x - 3 = 0 ⇒ x = 3 ;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Rappel : le produit est nul lorsqu'au moins un des facteurs est nul. C'est pourquoi nous avons le droit d'assimiler à zéro chaque tranche individuelle.

Étape 2 : marquez toutes les racines sur la ligne de coordonnées :

Étape 3 : découvrez le signe de l'écart le plus à droite. On prend tout nombre supérieur à x = 1. Par exemple, on peut prendre x = 10. On a :

f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x=10 ;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 7 (−9) = − 1197;
f(10) = -1197< 0.

Étape 4 : Placez le reste des panneaux. N'oubliez pas qu'en passant par chaque racine, le signe change. En conséquence, notre image ressemblera à ceci:

C'est tout. Il ne reste plus qu'à écrire la réponse. Jetez un autre regard sur l'inégalité d'origine:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

C'est une inégalité de la forme f (x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9 ; 1) ∪ (3 ; +∞)

C'est la réponse.

Une note sur les signes de fonction

La pratique montre que les plus grandes difficultés de la méthode des intervalles surviennent aux deux dernières étapes, c'est-à-dire lors de la pose d'enseignes. Beaucoup d'étudiants commencent à être confus : quels nombres prendre et où mettre des signes.

Pour enfin comprendre la méthode des intervalles, considérons deux remarques sur lesquelles elle est construite :

1. Une fonction continue ne change de signe qu'aux points où il est égal à zéro. De tels points divisent l'axe des coordonnées en morceaux, à l'intérieur desquels le signe de la fonction ne change jamais. C'est pourquoi nous résolvons l'équation f (x) \u003d 0 et marquons les racines trouvées sur une ligne droite. Les nombres trouvés sont les points "limites" séparant les plus des moins.
2. Pour connaître le signe d'une fonction sur n'importe quel intervalle, il suffit de substituer n'importe quel nombre de cet intervalle dans la fonction. Par exemple, pour l'intervalle (−5; 6) on peut prendre x = −4, x = 0, x = 4 et même x = 1,29374 si on veut. Pourquoi c'est important? Oui, car de nombreux étudiants commencent à ronger leurs doutes. Comme, et si pour x = −4 nous obtenons un plus, et pour x = 0 nous obtenons un moins ? Rien de tel n'arrivera jamais. Tous les points d'un même intervalle donnent le même signe. Rappelez-vous ceci.

C'est tout ce que vous devez savoir sur la méthode des intervalles. Bien sûr, nous l'avons démonté dans sa forme la plus simple. Il existe des inégalités plus complexes - non strictes, fractionnaires et avec des racines répétées. Pour eux, vous pouvez également appliquer la méthode de l'intervalle, mais c'est un sujet pour une grande leçon séparée.

Maintenant, je voudrais analyser une astuce avancée qui simplifie considérablement la méthode des intervalles. Plus précisément, la simplification n'affecte que la troisième étape - le calcul du signe sur le morceau le plus à droite de la ligne. Pour une raison quelconque, cette technique n'est pas pratiquée dans les écoles (du moins personne ne me l'a expliqué). Mais en vain - en fait, cet algorithme est très simple.

Ainsi, le signe de la fonction est sur la partie droite de l'axe numérique. Cette pièce a la forme (a; +∞), où a est la plus grande racine de l'équation f (x) = 0. Afin de ne pas nous exploser la cervelle, considérons un exemple précis :

(x - 1)(2 + x )(7 - x )< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x - 1)(2 + x )(7 - x ) = 0 ;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1 ;
2 + x = 0 ⇒ x = −2 ;
7 − x = 0 ⇒ x = 7 ;

Nous avons 3 racines. Nous les listons par ordre croissant : x = −2, x = 1 et x = 7. Évidemment, la plus grande racine est x = 7.

Pour ceux qui trouvent plus facile de raisonner graphiquement, je marquerai ces racines sur la ligne de coordonnées. Voyons ce qui se passe:

Il est nécessaire de trouver le signe de la fonction f (x) sur l'intervalle le plus à droite, c'est-à-dire sur (7; +∞). Mais comme nous l'avons déjà noté, pour déterminer le signe, vous pouvez prendre n'importe quel nombre de cet intervalle. Par exemple, vous pouvez prendre x = 8, x = 150, etc. Et maintenant - la même technique qui n'est pas enseignée dans les écoles : prenons l'infini comme nombre. Plus précisément, plus l'infini, c'est à dire. +∞.

« Es-tu lapidé ? Comment substituer l'infini dans une fonction ? peut-être, demandez-vous. Mais pensez-y : nous n'avons pas besoin de la valeur de la fonction elle-même, nous n'avons besoin que du signe. Ainsi, par exemple, les valeurs f (x) = −1 et f (x) = −938 740 576 215 signifient la même chose : la fonction est négative sur cet intervalle. Par conséquent, tout ce qui vous est demandé est de trouver le signe qui se produit à l'infini, et non la valeur de la fonction.

En fait, remplacer l'infini est très simple. Revenons à notre fonction :

f(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Imaginez que x est un très grand nombre. Un milliard ou même un billion. Voyons maintenant ce qui se passe entre chaque parenthèse.

Première parenthèse : (x − 1). Que se passe-t-il si vous soustrayez un à un milliard ? Le résultat sera un nombre pas très différent d'un milliard, et ce nombre sera positif. De même avec la deuxième parenthèse : (2 + x). Si nous ajoutons un milliard à deux, nous obtenons un milliard avec des kopecks - c'est un nombre positif. Enfin, la troisième parenthèse : (7 − x ). Ici, il y aura moins un milliard, dont un misérable morceau en forme de sept a été « rongé ». Ceux. le nombre résultant ne différera pas beaucoup de moins un milliard - il sera négatif.

Reste à trouver le signe de l'ensemble de l'œuvre. Comme nous avions un plus dans la première parenthèse et un moins dans la dernière parenthèse, nous obtenons la construction suivante :

(+) · (+) · (−) = (−)

Le signe final est moins ! Peu importe la valeur de la fonction elle-même. L'essentiel est que cette valeur soit négative, c'est-à-dire sur l'intervalle le plus à droite, il y a un signe moins. Il reste à terminer la quatrième étape de la méthode des intervalles : arranger tous les signes. Nous avons:

L'inégalité originale ressemblait à:

(x - 1)(2 + x )(7 - x )< 0

Par conséquent, nous nous intéressons aux intervalles marqués d'un signe moins. Nous écrivons la réponse:

x ∈ (−2 ; 1) ∪ (7 ; +∞)

C'est toute l'astuce que je voulais raconter. En conclusion, il y a une autre inégalité, qui est résolue par la méthode des intervalles en utilisant l'infini. Pour raccourcir visuellement la solution, je n'écrirai pas les numéros d'étape et les commentaires détaillés. Je n'écrirai que ce qui doit vraiment être écrit lors de la résolution de problèmes réels :

Tâche. Résolvez l'inégalité :

x (2x + 8)(x − 3) > 0

On remplace l'inégalité par une équation et on la résout :

x (2x + 8)(x - 3) = 0 ;
x = 0 ;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4 ;
x - 3 = 0 ⇒ x = 3.

Nous marquons les trois racines sur la ligne de coordonnées (immédiatement avec des signes):

Il y a un plus sur le côté droit de l'axe des coordonnées, car la fonction ressemble à :

f(x) = x(2x + 8)(x − 3)

Et si nous substituons l'infini (par exemple, un milliard), nous obtenons trois tranches positives. Comme l'expression d'origine doit être supérieure à zéro, seuls les plus nous intéressent. Il reste à écrire la réponse :

x ∈ (−4 ; 0) ∪ (3 ; +∞)