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Aujourd’hui, mes amis, il n’y aura ni morve ni sentimentalité. Au lieu de cela, je vous enverrai, sans poser de questions, au combat avec l'un des adversaires les plus redoutables du cours d'algèbre de 8e à 9e années.

Oui, vous avez tout bien compris : nous parlons d'inégalités avec module. Nous examinerons quatre techniques de base avec lesquelles vous apprendrez à résoudre environ 90 % de ces problèmes. Et les 10 % restants ? Eh bien, nous en parlerons dans une leçon séparée. :)

Cependant, avant d’analyser l’une des techniques, je voudrais vous rappeler deux faits que vous devez déjà connaître. Sinon, vous risquez de ne pas comprendre du tout le contenu de la leçon d’aujourd’hui.

Ce que vous devez déjà savoir

Captain Obviousness semble laisser entendre que pour résoudre des inégalités avec module, vous devez savoir deux choses :

1. Comment les inégalités sont résolues ;
2. Qu'est-ce qu'un module ?

Commençons par le deuxième point.

Définition du module

Tout est simple ici. Il existe deux définitions : algébrique et graphique. Pour commencer - algébrique :

Définition. Le module d'un nombre $x$ est soit le nombre lui-même, s'il est non négatif, soit le nombre qui lui est opposé, si le $x$ d'origine est toujours négatif.

C'est écrit ainsi :

\[\gauche| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

En termes simples, un module est un « nombre sans moins ». Et c’est dans cette dualité (à certains endroits, il n’est pas nécessaire de faire quoi que ce soit avec le numéro d’origine, mais à d’autres, il faut supprimer une sorte de moins) et c’est là que réside toute la difficulté pour les étudiants débutants.

Il existe également une définition géométrique. Il est également utile de le savoir, mais nous n'y reviendrons que dans des cas complexes et particuliers, où l'approche géométrique est plus pratique que l'approche algébrique (spoiler : pas aujourd'hui).

Définition. Soit le point $a$ sur la droite numérique. Puis le module $\left| x-a \right|$ est la distance du point $x$ au point $a$ sur cette ligne.

Si vous faites un dessin, vous obtiendrez quelque chose comme ceci :

Définition du module graphique

D'une manière ou d'une autre, de la définition d'un module sa propriété clé découle immédiatement : le module d'un nombre est toujours une quantité non négative. Ce fait constituera le fil rouge qui parcourra tout notre récit d’aujourd’hui.

Résoudre les inégalités. Méthode d'intervalle

Examinons maintenant les inégalités. Il y en a un grand nombre, mais notre tâche est maintenant de pouvoir résoudre au moins le plus simple d'entre eux. Celles qui se réduisent aux inégalités linéaires, ainsi qu'à la méthode des intervalles.

J'ai deux grandes leçons sur ce sujet (d'ailleurs, très, TRÈS utiles - je recommande de les étudier) :

1. Méthode d'intervalle pour les inégalités (surtout regarder la vidéo) ;
2. Les inégalités rationnelles fractionnaires sont une leçon très approfondie, mais après cela, vous n’aurez plus aucune question.

Si vous savez tout cela, si l'expression « passons de l'inégalité à l'équation » ne vous donne pas une vague envie de vous cogner contre le mur, alors vous êtes prêt : bienvenue en enfer dans le sujet principal de la leçon. :)

1. Inégalités de la forme « Le module est inférieur à la fonction »

C'est l'un des problèmes les plus courants avec les modules. Il faut résoudre une inégalité de la forme :

\[\gauche| f\droit| \ltg\]

Les fonctions $f$ et $g$ peuvent être n'importe quoi, mais ce sont généralement des polynômes. Exemples de telles inégalités :

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \droite| \ltx+7; \\ & \gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \gauche| ((x)^(2))-2\gauche| x \droite|-3 \droite| \lt 2. \\\fin(aligner)\]

Tous peuvent être résolus littéralement en une seule ligne selon le schéma suivant :

\[\gauche| f\droit| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \droit.\droit)\]

Il est facile de voir qu'on se débarrasse du module, mais en retour on obtient une double inégalité (ou, ce qui revient au même, un système de deux inégalités). Mais cette transition prend en compte absolument tous les problèmes possibles : si le nombre sous le module est positif, la méthode fonctionne ; si négatif, cela fonctionne toujours ; et même avec la fonction la plus inadéquate à la place de $f$ ou $g$, la méthode fonctionnera toujours.

Naturellement, la question se pose : ne pourrait-il pas être plus simple ? Malheureusement, ce n'est pas possible. C’est tout l’intérêt du module.

Cependant, assez de philosopher. Résolvons quelques problèmes :

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| 2x+3 \droite| \ltx+7\]

Solution. Nous avons donc devant nous une inégalité classique de la forme « le module est moindre » - il n'y a même rien à transformer. Nous travaillons selon l'algorithme :

\[\begin(align) & \left| f\droit| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \gauche| 2x+3 \droite| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Ne vous précipitez pas pour ouvrir les parenthèses précédées d'un « moins » : il est fort possible qu'en raison de votre précipitation vous commettiez une erreur offensante.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Le problème se réduisait à deux inégalités élémentaires. Notons leurs solutions sur des droites numériques parallèles :

Intersection de plusieurs

L’intersection de ces ensembles sera la réponse.

Réponse : $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Solution. Cette tâche est un peu plus difficile. Tout d’abord, isolons le module en déplaçant le deuxième terme vers la droite :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\gauche(x+1 \droite)\]

Evidemment, on a encore une inégalité de la forme « le module est plus petit », on se débarrasse donc du module en utilisant l'algorithme déjà connu :

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Maintenant attention : quelqu'un va dire que je suis un peu pervers avec toutes ces parenthèses. Mais permettez-moi de vous rappeler une fois de plus que notre objectif principal est résoudre correctement l'inégalité et obtenir la réponse. Plus tard, lorsque vous maîtriserez parfaitement tout ce qui est décrit dans cette leçon, vous pourrez le pervertir vous-même à votre guise : ouvrir des parenthèses, ajouter des moins, etc.

Pour commencer, on va simplement supprimer le double moins à gauche :

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\gauche(x+1 \droite)\]

Ouvrons maintenant toutes les parenthèses dans la double inégalité :

Passons à la double inégalité. Cette fois les calculs seront plus sérieux :

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( aligner)\right.\]

Les deux inégalités sont quadratiques et peuvent être résolues par la méthode des intervalles (c'est pourquoi je dis : si vous ne savez pas ce que c'est, il vaut mieux ne pas encore aborder les modules). Passons à l'équation de la première inégalité :

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\gauche(x+5 \droite)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\fin (aligner)\]

Comme vous pouvez le voir, le résultat est une équation quadratique incomplète, qui peut être résolue de manière élémentaire. Examinons maintenant la deuxième inégalité du système. Là, vous devrez appliquer le théorème de Vieta :

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\fin (aligner)\]

On marque les nombres résultants sur deux droites parallèles (séparées pour la première inégalité et séparées pour la seconde) :

Encore une fois, puisque nous résolvons un système d'inégalités, nous nous intéressons à l'intersection des ensembles ombrés : $x\in \left(-5;-2 \right)$. C'est la réponse.

Réponse : $x\in \left(-5;-2 \right)$

Je pense qu'après ces exemples, le schéma de solution est extrêmement clair :

1. Isolez le module en déplaçant tous les autres termes du côté opposé de l’inégalité. On obtient donc une inégalité de la forme $\left| f\droit| \ltg$.
2. Résolvez cette inégalité en supprimant le module selon le schéma décrit ci-dessus. À un moment donné, il faudra passer d’une double inégalité à un système de deux expressions indépendantes, dont chacune peut déjà être résolue séparément.
3. Finalement, il ne reste plus qu'à recouper les solutions de ces deux expressions indépendantes - et c'est tout, nous obtiendrons la réponse finale.

Un algorithme similaire existe pour les inégalités du type suivant, lorsque le module est supérieur à la fonction. Il y a cependant quelques « mais » sérieux. Nous allons parler de ces « mais » maintenant.

2. Inégalités de la forme « Le module est supérieur à la fonction »

Ils ressemblent à ceci :

\[\gauche| f\droit| \gtg\]

Similaire au précédent ? Il semble. Et pourtant, ces problèmes sont résolus d’une manière complètement différente. Formellement, le schéma est le suivant :

\[\gauche| f\droit| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Autrement dit, nous considérons deux cas :

1. Premièrement, nous ignorons simplement le module et résolvons l'inégalité habituelle ;
2. Ensuite, en substance, nous développons le module avec le signe moins, puis multiplions les deux côtés de l'inégalité par −1, pendant que j'ai le signe.

Dans ce cas, les options sont combinées avec un crochet, c'est-à-dire Nous avons devant nous une combinaison de deux exigences.

Attention encore : ceci n'est pas un système, mais une totalité, donc dans la réponse, les ensembles sont combinés plutôt que se croisant. C’est une différence fondamentale par rapport au point précédent !

En général, de nombreux étudiants sont complètement confus avec les syndicats et les intersections, alors réglons ce problème une fois pour toutes :

• "∪" est un signe d'union. En fait, il s'agit d'une lettre stylisée « U », qui nous vient de la langue anglaise et est l'abréviation de « Union », c'est-à-dire "Les associations".
• "∩" est le signe d'intersection. Cette connerie ne vient de nulle part, mais est simplement apparue comme un contrepoint au « ∪ ».

Pour que ce soit encore plus facile à retenir, il suffit de dessiner des jambes vers ces panneaux pour fabriquer des lunettes (ne m'accusez pas maintenant de promouvoir la toxicomanie et l'alcoolisme : si vous étudiez sérieusement cette leçon, alors vous êtes déjà toxicomane) :

Différence entre intersection et union d'ensembles

Traduit en russe, cela signifie ce qui suit : l'union (la totalité) comprend des éléments des deux ensembles, elle n'est donc en rien inférieure à chacun d'eux ; mais l'intersection (le système) ne comprend que les éléments qui se trouvent simultanément dans le premier ensemble et dans le second. Par conséquent, l’intersection des ensembles n’est jamais plus grande que les ensembles sources.

Alors c'est devenu plus clair ? C'est super. Passons à la pratique.

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| 3x+1 \droite| \gt 5-4x\]

Solution. On procède selon le schéma :

\[\gauche| 3x+1 \droite| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ droite.\]

Nous résolvons chaque inégalité dans la population :

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Nous marquons chaque ensemble résultant sur la droite numérique, puis les combinons :

Union d'ensembles

Il est bien évident que la réponse sera $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Réponse : $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

Solution. Bien? Rien, tout est pareil. On passe d'une inégalité avec un module à un ensemble de deux inégalités :

\[\gauche| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\fin (aligner) \right.\]

Nous résolvons toutes les inégalités. Malheureusement, les racines n'y seront pas très bonnes :

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13 ; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\fin (aligner)\]

La deuxième inégalité est également un peu farfelue :

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21 ; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\fin (aligner)\]

Vous devez maintenant marquer ces nombres sur deux axes – un axe pour chaque inégalité. Cependant, vous devez marquer les points dans le bon ordre : plus le nombre est grand, plus le point se déplace vers la droite.

Et ici, une configuration nous attend. Si tout est clair avec les nombres $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (les termes au numérateur du premier fraction sont inférieurs aux termes du numérateur de la seconde, donc la somme est également inférieure), avec les nombres $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ il n'y aura pas non plus de difficultés (nombre positif évidemment plus négatif), alors avec les derniers couples tout n'est pas si clair. Quel est le plus grand : $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ou $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$ ? Le placement des points sur les droites numériques et, en fait, la réponse dépendront de la réponse à cette question.

Alors comparons :

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrice)\]

Nous avons isolé la racine, obtenu des nombres non négatifs des deux côtés de l'inégalité, nous avons donc le droit de mettre les deux côtés au carré :

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrice)\]

Je pense que c'est une évidence que $4\sqrt(13) \gt 3$, donc $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, les points finaux sur les axes seront placés comme ceci :

Un cas de racines laides

Permettez-moi de vous rappeler que nous résolvons un ensemble, la réponse sera donc une union, pas une intersection d'ensembles ombrés.

Réponse : $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Comme vous pouvez le constater, notre système fonctionne très bien pour les problèmes simples comme pour les problèmes très difficiles. Le seul « point faible » de cette approche est qu’il faut comparer correctement les nombres irrationnels (et croyez-moi : ce ne sont pas que des racines). Mais une leçon distincte (et très sérieuse) sera consacrée aux questions de comparaison. Et nous passons à autre chose.

3. Inégalités avec des « queues » non négatives

Passons maintenant à la partie la plus intéressante. Ce sont des inégalités de la forme :

\[\gauche| f\droit| \gt\gauche| g\droite|\]

D'une manière générale, l'algorithme dont nous allons parler maintenant n'est correct que pour le module. Cela fonctionne dans toutes les inégalités où il y a des expressions garanties non négatives à gauche et à droite :

Que faire de ces tâches ? Rappelez-vous juste:

Dans les inégalités avec des « queues » non négatives, les deux côtés peuvent être élevés à n’importe quelle puissance naturelle. Il n’y aura aucune restriction supplémentaire.

Tout d'abord, nous nous intéresserons à la quadrature - elle brûle les modules et les racines :

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\fin (aligner)\]

Ne confondez pas cela avec la racine d’un carré :

\[\sqrt(((f)^(2)))=\gauche| f \right|\ne f\]

D’innombrables erreurs ont été commises lorsqu’un étudiant a oublié d’installer un module ! Mais c'est une histoire complètement différente (ce sont pour ainsi dire des équations irrationnelles), nous n'entrerons donc pas dans les détails maintenant. Résolvons mieux quelques problèmes :

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| x+2 \droite|\ge \gauche| 1-2x \droite|\]

Solution. Remarquons immédiatement deux choses :

1. Il ne s’agit pas d’une inégalité stricte. Les points sur la droite numérique seront perforés.
2. Les deux côtés de l'inégalité sont évidemment non négatifs (c'est une propriété du module : $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Par conséquent, nous pouvons mettre au carré les deux côtés de l’inégalité pour nous débarrasser du module et résoudre le problème en utilisant la méthode habituelle des intervalles :

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\fin (aligner)\]

A la dernière étape, j'ai un peu triché : j'ai changé la séquence des termes, profitant de la régularité du module (en fait, j'ai multiplié l'expression $1-2x$ par −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ droite)\droite)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Nous résolvons en utilisant la méthode des intervalles. Passons de l'inégalité à l'équation :

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\fin (aligner)\]

Nous marquons les racines trouvées sur la droite numérique. Encore une fois : tous les points sont ombrés car l’inégalité originelle n’est pas stricte !

Se débarrasser du signe du module

Je vous le rappelle pour les plus têtus : on reprend les signes de la dernière inégalité, qui a été notée avant de passer à l'équation. Et nous peignons les zones requises dans la même inégalité. Dans notre cas, il s'agit de $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, c'est fini maintenant. Le problème est résolu.

Réponse : $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \droite|\]

Solution. Nous faisons tout pareil. Je ne ferai pas de commentaire - regardez simplement la séquence d'actions.

Mettez-le au carré :

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ à droite))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Méthode d'intervalle :

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Flèche droite x=-1,5 ; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\fin (aligner)\]

Il n’y a qu’une seule racine sur la droite numérique :

La réponse est tout un intervalle

Réponse : $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Une petite note sur la dernière tâche. Comme l'un de mes étudiants l'a noté avec précision, les deux expressions sous-modulaires de cette inégalité sont évidemment positives, de sorte que le signe du module peut être omis sans nuire à la santé.

Mais il s’agit d’un niveau de pensée complètement différent et d’une approche différente - on peut conditionnellement l’appeler la méthode des conséquences. À ce sujet - dans une leçon séparée. Passons maintenant à la dernière partie de la leçon d’aujourd’hui et examinons un algorithme universel qui fonctionne toujours. Même lorsque toutes les approches précédentes étaient impuissantes. :)

4. Méthode d'énumération des options

Et si toutes ces techniques n’aidaient pas ? Si l'inégalité ne peut être réduite à des queues non négatives, s'il est impossible d'isoler le module, si en général il y a de la douleur, de la tristesse, de la mélancolie ?

C’est alors que « l’artillerie lourde » de toutes les mathématiques entre en scène : la méthode de la force brute. Par rapport aux inégalités de module, cela ressemble à ceci :

1. Écrivez toutes les expressions sous-modulaires et définissez-les égales à zéro ;
2. Résolvez les équations résultantes et marquez les racines trouvées sur une droite numérique ;
3. La ligne droite sera divisée en plusieurs sections, à l'intérieur desquelles chaque module aura un signe fixe et sera donc révélé de manière unique ;
4. Résolvez l'inégalité sur chacune de ces sections (vous pouvez considérer séparément les racines-limites obtenues à l'étape 2 - pour des raisons de fiabilité). Combinez les résultats - ce sera la réponse. :)

Alors comment ? Faible? Facilement! Seulement pour longtemps. Voyons en pratique :

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\gauche| x+2 \droite| \lt \gauche| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Solution. Cette merde ne se résume pas à des inégalités comme $\left| f\droit| \lt g$, $\gauche| f\droit| \gt g$ ou $\left| f\droit| \lt \gauche| g \right|$, donc nous agissons en avant.

Nous écrivons des expressions sous-modulaires, les assimilons à zéro et trouvons les racines :

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\fin (aligner)\]

Au total, nous avons deux racines qui divisent la droite numérique en trois sections, au sein desquelles chaque module se révèle de manière unique :

Partitionnement de la droite numérique par des zéros de fonctions sous-modulaires

Examinons chaque section séparément.

1. Soit $x \lt -2$. Alors les deux expressions sous-modulaires sont négatives et l’inégalité d’origine sera réécrite comme suit :

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

Nous avons une limitation assez simple. Recoupons-le avec l'hypothèse initiale selon laquelle $x \lt -2$ :

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Évidemment, la variable $x$ ne peut pas être simultanément inférieure à −2 et supérieure à 1,5. Il n'y a pas de solutions dans ce domaine.

1.1. Considérons séparément le cas limite : $x=-2$. Remplaçons simplement ce nombre dans l'inégalité d'origine et vérifions : est-ce vrai ?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \gauche| -3\droite|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\fin (aligner)\]

Il est évident que l’enchaînement des calculs nous a conduit à une inégalité incorrecte. Par conséquent, l'inégalité d'origine est également fausse et $x=-2$ n'est pas inclus dans la réponse.

2. Soit maintenant $-2 \lt x \lt 1$. Le module de gauche s'ouvrira déjà avec un « plus », mais celui de droite s'ouvrira toujours avec un « moins ». Nous avons:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\fin(aligner)\]

Encore une fois, nous rejoignons l’exigence initiale :

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Et encore une fois, l’ensemble des solutions est vide, puisqu’il n’existe pas de nombres à la fois inférieurs à −2,5 et supérieurs à −2.

2.1. Et encore un cas particulier : $x=1$. On substitue à l'inégalité originelle :

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \gauche| 3\droite| \lt \gauche| 0\droite|+1-1.5 ; \\ & 3 \lt -0,5 ; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\fin (aligner)\]

Semblable au « cas particulier » précédent, le nombre $x=1$ n'est clairement pas inclus dans la réponse.

3. Le dernier morceau de la ligne : $x \gt 1$. Ici, tous les modules sont ouverts avec un signe plus :

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Et encore une fois, nous croisons l'ensemble trouvé avec la contrainte d'origine :

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Enfin! Nous avons trouvé un intervalle qui sera la réponse.

Réponse : $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Enfin, une remarque qui vous évitera peut-être des erreurs stupides lors de la résolution de problèmes réels :

Les solutions aux inégalités avec modules représentent généralement des ensembles continus sur la droite numérique - intervalles et segments. Les points isolés sont beaucoup moins fréquents. Et encore moins souvent, il arrive que la limite de la solution (la fin du segment) coïncide avec la limite de la plage considérée.

Par conséquent, si les limites (les mêmes « cas particuliers ») ne sont pas incluses dans la réponse, alors les zones situées à gauche et à droite de ces limites ne seront presque certainement pas incluses dans la réponse. Et vice versa : la frontière est entrée dans la réponse, ce qui signifie que certaines zones autour d'elle seront également des réponses.

Gardez cela à l’esprit lorsque vous examinez vos solutions.

Mais aujourd’hui, les inégalités rationnelles ne peuvent pas tout résoudre. Plus précisément, tout le monde n’est pas le seul à pouvoir décider. Peu de gens peuvent faire cela.
Klitschko

Cette leçon sera difficile. Tellement dur que seuls les Élus parviendront au bout. Par conséquent, avant de commencer la lecture, je recommande de retirer les femmes, les chats, les enfants enceintes et... des écrans.

Allez, c'est en fait simple. Disons que vous maîtrisez la méthode des intervalles (si vous ne la maîtrisez pas, je vous recommande de revenir en arrière et de la lire) et que vous avez appris à résoudre des inégalités de la forme $P\left(x \right) \gt 0$, où $ P\left(x \right)$ est un polynôme ou un produit de polynômes.

Je pense qu'il ne vous sera pas difficile de résoudre, par exemple, quelque chose comme ceci (d'ailleurs, essayez-le comme échauffement) :

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Compliquons maintenant un peu le problème et considérons non seulement les polynômes, mais aussi les fractions dites rationnelles de la forme :

où $P\left(x \right)$ et $Q\left(x \right)$ sont les mêmes polynômes de la forme $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, ou le produit de tels polynômes.

Ce sera une inégalité rationnelle. Le point fondamental est la présence de la variable $x$ au dénominateur. Par exemple, ce sont des inégalités rationnelles :

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(align)\]

Et ce n'est pas une inégalité rationnelle, mais l'inégalité la plus courante qui peut être résolue par la méthode des intervalles :

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Pour l'avenir, je dirai tout de suite : il existe au moins deux manières de résoudre les inégalités rationnelles, mais toutes, d'une manière ou d'une autre, se résument à la méthode des intervalles que nous connaissons déjà. Par conséquent, avant d'analyser ces méthodes, rappelons-nous les anciens faits, sinon le nouveau matériel n'aura aucun sens.

Ce que vous devez déjà savoir

Il n'y a jamais trop de faits importants. En réalité, nous n’en avons besoin que de quatre.

Formules de multiplication abrégées

Oui, oui : ils nous hanteront tout au long du programme scolaire de mathématiques. Et à l'université aussi. Il existe un certain nombre de ces formules, mais nous n'avons besoin que des suivantes :

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(ab \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2)) \droite); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\droite). \\ \fin(aligner)\]

Faites attention aux deux dernières formules - ce sont la somme et la différence des cubes (et non le cube de la somme ou de la différence !). Ils sont faciles à retenir si vous remarquez que le signe dans la première parenthèse coïncide avec le signe dans l'expression originale et dans la seconde, il est opposé au signe dans l'expression originale.

Équations linéaires

Ce sont les équations les plus simples de la forme $ax+b=0$, où $a$ et $b$ sont des nombres ordinaires et $a\ne 0$. Cette équation peut être résolue simplement :

\[\begin(align) & ax+b=0; \\&ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \fin(aligner)\]

Précisons que nous avons le droit de diviser par le coefficient $a$, car $a\ne 0$. Cette exigence est assez logique, puisque pour $a=0$ on obtient ceci :

Premièrement, il n'y a pas de variable $x$ dans cette équation. Ceci, d'une manière générale, ne devrait pas nous dérouter (cela arrive, disons, en géométrie, et assez souvent), mais ce n'est quand même plus une équation linéaire.

Deuxièmement, la solution de cette équation dépend uniquement du coefficient $b$. Si $b$ est également nul, alors notre équation a la forme $0=0$. Cette égalité est toujours vraie ; cela signifie que $x$ est n'importe quel nombre (généralement écrit comme ceci : $x\in \mathbb(R)$). Si le coefficient $b$ n'est pas égal à zéro, alors l'égalité $b=0$ n'est jamais satisfaite, c'est-à-dire il n'y a pas de réponses (écrivez $x\in \varnothing $ et lisez « l'ensemble de solutions est vide »).

Pour éviter toutes ces difficultés, nous supposons simplement $a\ne 0$, ce qui ne nous limite en rien dans la réflexion ultérieure.

Équations du second degré

Permettez-moi de vous rappeler que voici comment s'appelle une équation quadratique :

Ici à gauche se trouve un polynôme du deuxième degré, et encore $a\ne 0$ (sinon, au lieu d'une équation quadratique, nous obtiendrons une équation linéaire). Les équations suivantes sont résolues par le discriminant :

1. Si $D \gt 0$, on obtient deux racines différentes ;
2. Si $D=0$, alors la racine sera la même, mais de la deuxième multiplicité (de quel type de multiplicité s'agit-il et comment en tenir compte - nous y reviendrons plus tard). Ou on peut dire que l’équation a deux racines identiques ;
3. Pour $D \lt 0$, il n'y a pas de racines du tout, et le signe du polynôme $a((x)^(2))+bx+c$ pour tout $x$ coïncide avec le signe du coefficient $a $. Soit dit en passant, c'est un fait très utile dont, pour une raison quelconque, ils oublient de parler dans les cours d'algèbre.

Les racines elles-mêmes sont calculées à l'aide de la formule bien connue :

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

D'où, d'ailleurs, les restrictions imposées au discriminant. Après tout, la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas. De nombreux étudiants ont un terrible désordre dans la tête à propos des racines, j'ai donc spécialement écrit une leçon entière : qu'est-ce qu'une racine en algèbre et comment la calculer - je recommande fortement de la lire. :)

Opérations avec des fractions rationnelles

Vous savez déjà tout ce qui a été écrit ci-dessus si vous avez étudié la méthode des intervalles. Mais ce que nous allons analyser maintenant n'a pas d'analogue dans le passé - c'est un fait complètement nouveau.

Définition. Une fraction rationnelle est une expression de la forme

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

où $P\left(x \right)$ et $Q\left(x \right)$ sont des polynômes.

Évidemment, il est facile d’obtenir une inégalité à partir d’une telle fraction : il suffit d’ajouter le signe « supérieur à » ou « inférieur à » à droite. Et un peu plus loin nous découvrirons que résoudre de tels problèmes est un plaisir, tout est très simple.

Les problèmes commencent lorsqu’il existe plusieurs fractions de ce type dans une expression. Il faut les ramener à un dénominateur commun - et c'est à ce moment-là qu'un grand nombre d'erreurs offensives sont commises.

Par conséquent, pour réussir à résoudre des équations rationnelles, vous devez bien maîtriser deux compétences :

1. Factorisation du polynôme $P\left(x \right)$ ;
2. En fait, ramener les fractions à un dénominateur commun.

Comment factoriser un polynôme ? Très simple. Disons un polynôme de la forme

Nous l'assimilons à zéro. On obtient une équation de $n$ième degré :

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Disons que nous avons résolu cette équation et obtenu les racines $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (ne vous inquiétez pas : dans la plupart des cas, il y aura pas plus de deux de ces racines) . Dans ce cas, notre polynôme original peut être réécrit comme suit :

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(align)\]

C'est tout! Attention : le coefficient dominant $((a)_(n))$ n'a disparu nulle part - ce sera un multiplicateur distinct devant les parenthèses, et si nécessaire, il peut être inséré dans n'importe laquelle de ces parenthèses (la pratique montre qu'avec $((a)_ (n))\ne \pm 1$ il y a presque toujours des fractions parmi les racines).

Tâche. Simplifiez l'expression :

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Solution. Tout d’abord, regardons les dénominateurs : ce sont tous des binômes linéaires, et il n’y a rien à prendre en compte ici. Factorisons donc les numérateurs :

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3 \droite)\gauche(x-1 \droite); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \right)\left(2-5x \right). \\\fin (aligner)\]

Attention : dans le deuxième polynôme, le coefficient dominant « 2 », en pleine conformité avec notre schéma, apparaissait d'abord devant la parenthèse, puis était inclus dans la première parenthèse, puisque la fraction y figurait.

La même chose s'est produite dans le troisième polynôme, sauf que là l'ordre des termes est également inversé. Cependant, le coefficient « −5 » a fini par être inclus dans la deuxième tranche (rappelez-vous : vous pouvez saisir le facteur dans une et une seule tranche !), ce qui nous a évité les désagréments liés aux racines fractionnaires.

Quant au premier polynôme, tout est simple : ses racines sont recherchées soit classiquement à travers le discriminant, soit à l’aide du théorème de Vieta.

Revenons à l'expression originale et réécrivons-la avec les numérateurs factorisés :

\[\begin(matrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \fin(matrice)\]

Réponse : 5$x+4$.

Comme vous pouvez le constater, rien de compliqué. Un peu de mathématiques de 7e à 8e années et c'est tout. Le but de toutes les transformations est d’obtenir quelque chose de simple et facile à travailler à partir d’une expression complexe et effrayante.

Cependant, ce ne sera pas toujours le cas. Nous allons donc maintenant examiner un problème plus grave.

Mais d’abord, voyons comment ramener deux fractions à un dénominateur commun. L'algorithme est extrêmement simple :

1. Factorisez les deux dénominateurs ;
2. Considérez le premier dénominateur et ajoutez-y les facteurs qui sont présents dans le deuxième dénominateur, mais pas dans le premier. Le produit résultant sera le dénominateur commun ;
3. Découvrez quels facteurs manquent à chacune des fractions originales pour que les dénominateurs deviennent égaux au commun.

Cet algorithme peut vous sembler être simplement du texte avec « beaucoup de lettres ». Par conséquent, regardons tout à l’aide d’un exemple spécifique.

Tâche. Simplifiez l'expression :

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Solution. Il est préférable de résoudre des problèmes aussi importants en plusieurs parties. Écrivons ce qu'il y a dans la première parenthèse :

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Contrairement au problème précédent, les dénominateurs ne sont pas ici si simples. Prenons chacun d'eux en compte.

Le trinôme carré $((x)^(2))+2x+4$ ne peut pas être factorisé, puisque l'équation $((x)^(2))+2x+4=0$ n'a pas de racines (le discriminant est négatif ). Nous le laissons inchangé.

Le deuxième dénominateur - le polynôme cubique $((x)^(3))-8$ - après un examen attentif est la différence des cubes et se développe facilement à l'aide des formules de multiplication abrégées :

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \droite)\]

Rien d'autre ne peut être factorisé, puisque dans la première parenthèse il y a un binôme linéaire, et dans la seconde il y a une construction qui nous est déjà familière, qui n'a pas de véritables racines.

Enfin, le troisième dénominateur est un binôme linéaire qui ne peut être développé. Ainsi, notre équation prendra la forme :

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)\]

Il est bien évident que le dénominateur commun sera précisément $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$, et pour y réduire toutes les fractions il est nécessaire de multiplier la première fraction par $\left(x-2 \right)$, et la dernière - par $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Il ne reste plus qu'à en donner des similaires :

\[\begin(matrix) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ droite))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x )^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\gauche(x-2 \droite)\gauche (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ gauche(((x)^(2))+2x+4 \right)). \\ \fin(matrice)\]

Faites attention à la deuxième ligne : lorsque le dénominateur est déjà commun, c'est-à-dire Au lieu de trois fractions distinctes, nous en avons écrit une grande : il ne faut pas se débarrasser des parenthèses tout de suite. Il est préférable d'écrire une ligne supplémentaire et de noter que, disons, il y avait un moins avant la troisième fraction - et cela n'ira nulle part, mais "se bloquera" au numérateur devant la parenthèse. Cela vous évitera bien des erreurs.

Eh bien, dans la dernière ligne, il est utile de factoriser le numérateur. De plus, il s'agit d'un carré exact, et des formules de multiplication abrégées nous viennent encore en aide. Nous avons:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Traitons maintenant la deuxième tranche exactement de la même manière. Ici, je vais juste écrire une chaîne d'égalités :

\[\begin(matrix) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \fin(matrice)\]

Revenons au problème initial et regardons le produit :

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Réponse : \[\frac(1)(x+2)\].

Le sens de cette tâche est le même que la précédente : montrer comment les expressions rationnelles peuvent être simplifiées si vous abordez judicieusement leur transformation.

Et maintenant que vous savez tout cela, passons au sujet principal de la leçon d'aujourd'hui : résoudre les inégalités rationnelles fractionnaires. De plus, après une telle préparation, vous briserez les inégalités elles-mêmes comme des noix. :)

Le principal moyen de résoudre les inégalités rationnelles

Il existe au moins deux approches pour résoudre les inégalités rationnelles. Nous allons maintenant examiner l'un d'entre eux - celui qui est généralement accepté dans le cours de mathématiques à l'école.

Mais d’abord, notons un détail important. Toutes les inégalités sont divisées en deux types :

1. Strict : $f\left(x \right) \gt 0$ ou $f\left(x \right) \lt 0$ ;
2. Laxiste : $f\left(x \right)\ge 0$ ou $f\left(x \right)\le 0$.

Les inégalités du deuxième type peuvent facilement être réduites au premier, ainsi que l'équation :

Ce petit "ajout" $f\left(x \right)=0$ conduit à une chose aussi désagréable que des points remplis - nous nous sommes familiarisés avec eux dans la méthode des intervalles. Sinon, il n'y a pas de différence entre les inégalités strictes et non strictes, regardons donc l'algorithme universel :

1. Collectez tous les éléments non nuls d’un côté du signe d’inégalité. Par exemple, à gauche ;
2. Réduisez toutes les fractions à un dénominateur commun (s'il existe plusieurs de ces fractions), apportez-en des similaires. Ensuite, si possible, factorisez le numérateur et le dénominateur. D'une manière ou d'une autre, nous obtiendrons une inégalité de la forme $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, où la « coche » est le signe de l'inégalité. .
3. Nous assimilons le numérateur à zéro : $P\left(x \right)=0$. Nous résolvons cette équation et obtenons les racines $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Ensuite, nous avons besoin que le dénominateur n'était pas égal à zéro : $Q\left(x \right)\ne 0$. Bien sûr, nous devons essentiellement résoudre l'équation $Q\left(x \right)=0$, et nous obtenons les racines $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*)$ , $x_(3 )^(*)$, ... (dans les problèmes réels, il n'y aura guère plus de trois racines de ce type).
4. Nous marquons toutes ces racines (avec et sans astérisques) sur une seule droite numérique, et les racines sans étoiles sont peintes et celles avec des étoiles sont perforées.
5. Nous plaçons les signes « plus » et « moins », sélectionnons les intervalles dont nous avons besoin. Si l'inégalité a la forme $f\left(x \right) \gt 0$, alors la réponse sera les intervalles marqués d'un « plus ». Si $f\left(x \right) \lt 0$, alors nous regardons les intervalles avec des « moins ».

La pratique montre que les plus grandes difficultés sont causées par les points 2 et 4 - les transformations compétentes et la disposition correcte des nombres par ordre croissant. Eh bien, à la dernière étape, soyez extrêmement prudent : nous plaçons toujours des panneaux en fonction de la toute dernière inégalité écrite avant de passer aux équations. Il s’agit d’une règle universelle, héritée de la méthode des intervalles.

Il y a donc un schéma. Entraînons-nous.

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Solution. On a une inégalité stricte de la forme $f\left(x \right) \lt 0$. Evidemment, les points 1 et 2 de notre schéma sont déjà remplis : tous les éléments d'inégalité sont rassemblés à gauche, il n'est pas nécessaire de ramener quoi que ce soit à un dénominateur commun. Passons donc directement au troisième point.

Nous assimilons le numérateur à zéro :

\[\begin(aligner) & x-3=0; \\ &x=3. \fin(aligner)\]

Et le dénominateur :

\[\begin(aligner) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \fin(aligner)\]

C'est là que beaucoup de gens sont bloqués, car en théorie il faut écrire $x+7\ne 0$, comme l'exige l'ODZ (on ne peut pas diviser par zéro, c'est tout). Mais à l'avenir, nous éliminerons les points issus du dénominateur, il n'est donc pas nécessaire de compliquer à nouveau vos calculs - écrivez un signe égal partout et ne vous inquiétez pas. Personne ne déduira de points pour cela. :)

Quatrième point. Nous marquons les racines résultantes sur la droite numérique :

Tous les points sont épinglés, puisque l'inégalité est stricte

Note: tous les points sont épinglés, puisque l'inégalité originelle est stricte. Et ici, peu importe que ces points proviennent du numérateur ou du dénominateur.

Eh bien, regardons les signes. Prenons n'importe quel nombre $((x)_(0)) \gt 3$. Par exemple, $((x)_(0))=100$ (mais avec le même succès on pourrait prendre $((x)_(0))=3,1$ ou $((x)_(0)) = 1\ 000\ 000$). On a:

Ainsi, à droite de toutes les racines, nous avons une région positive. Et en passant par chaque racine, le signe change (ce ne sera pas toujours le cas, mais nous y reviendrons plus tard). Passons donc au cinquième point : disposez les panneaux et sélectionnez celui dont vous avez besoin :

Revenons à la dernière inégalité qui existait avant la résolution des équations. En fait, cela coïncide avec l'original, car nous n'avons effectué aucune transformation dans cette tâche.

Puisque nous devons résoudre une inégalité de la forme $f\left(x \right) \lt 0$, j'ai ombré l'intervalle $x\in \left(-7;3 \right)$ - c'est le seul marqué avec un signe moins. C'est la réponse.

Réponse : $x\in \left(-7;3 \right)$

C'est tout! C'est difficile? Non, ce n'est pas difficile. Il est vrai que la tâche était facile. Compliquons maintenant un peu la mission et considérons une inégalité plus « sophistiquée ». Lors de sa résolution, je ne donnerai plus de calculs aussi détaillés - je soulignerai simplement les points clés. En général, nous le formaterons de la même manière que nous le formaterions lors d'un travail indépendant ou d'un examen. :)

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Solution. Il s'agit d'une inégalité non stricte de la forme $f\left(x \right)\ge 0$. Tous les éléments non nuls sont regroupés à gauche, il n'y a pas de dénominateurs différents. Passons aux équations.

Numérateur:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Rightarrow ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \fin(aligner)\]

Dénominateur:

\[\begin(aligner) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \fin(aligner)\]

Je ne sais pas quel genre de pervers a créé ce problème, mais les racines ne se sont pas très bien révélées : il serait difficile de les placer sur la droite numérique. Et si avec la racine $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ tout est plus ou moins clair (c'est le seul nombre positif - il sera à droite), alors $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ et $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ nécessitent des recherches supplémentaires : laquelle est plus grand ?

Vous pouvez le découvrir, par exemple, comme ceci :

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

J'espère qu'il n'est pas nécessaire d'expliquer pourquoi la fraction numérique $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Si nécessaire, je recommande de rappeler comment effectuer des opérations avec des fractions.

Et nous marquons les trois racines sur la droite numérique :

Les points du numérateur sont remplis, les points du dénominateur sont perforés

Nous mettons des panneaux. Par exemple, vous pouvez prendre $((x)_(0))=1$ et connaître le signe à ce stade :

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

La dernière inégalité avant les équations était $f\left(x \right)\ge 0$, nous nous intéressons donc au signe plus.

Nous avons deux ensembles : l’un est un segment ordinaire et l’autre est un rayon ouvert sur la droite numérique.

Réponse : $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Une remarque importante sur les nombres que nous substituons pour connaître le signe sur l'intervalle le plus à droite. Il n’est absolument pas nécessaire de substituer le nombre le plus proche de la racine la plus à droite. Vous pouvez prendre des milliards ou même « plus-infini » - dans ce cas, le signe du polynôme entre parenthèses, numérateur ou dénominateur, est déterminé uniquement par le signe du coefficient dominant.

Regardons à nouveau la fonction $f\left(x \right)$ de la dernière inégalité :

Sa notation contient trois polynômes :

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\gauche(x \droite)=13x-4. \fin(aligner)\]

Tous sont des binômes linéaires et tous leurs coefficients principaux (numéros 7, 11 et 13) sont positifs. Par conséquent, lors de la substitution de très grands nombres, les polynômes eux-mêmes seront également positifs. :)

Cette règle peut paraître trop compliquée, mais seulement au début, lorsque l’on analyse des problèmes très simples. Dans les inégalités graves, remplacer « plus-infini » nous permettra de comprendre les signes beaucoup plus rapidement que la norme $((x)_(0))=100$.

Nous serons très bientôt confrontés à de tels défis. Mais d’abord, examinons une autre façon de résoudre les inégalités rationnelles fractionnaires.

Manière alternative

Cette technique m'a été suggérée par un de mes élèves. Je ne l'ai moi-même jamais utilisé, mais la pratique a montré que de nombreux étudiants trouvent vraiment plus pratique de résoudre les inégalités de cette façon.

Les données initiales sont donc les mêmes. Nous devons résoudre l’inégalité rationnelle fractionnaire :

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Réfléchissons : pourquoi le polynôme $Q\left(x \right)$ est-il « pire » que le polynôme $P\left(x \right)$ ? Pourquoi faut-il considérer des groupes de racines séparés (avec et sans astérisque), penser aux points perforés, etc. ? C'est simple : une fraction a un domaine de définition, selon lequel la fraction n'a de sens que lorsque son dénominateur est différent de zéro.

Sinon, il n'y a pas de différence entre le numérateur et le dénominateur : on l'assimile également à zéro, on cherche les racines, puis on les marque sur la droite numérique. Alors pourquoi ne pas remplacer la ligne fractionnaire (en fait, le signe de division) par une multiplication ordinaire et écrire toutes les exigences de l'ODZ sous la forme d'une inégalité distincte ? Par exemple, comme ceci :

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Attention : cette approche réduira le problème à la méthode des intervalles, mais ne compliquera pas du tout la solution. Après tout, nous assimilerons toujours le polynôme $Q\left(x \right)$ à zéro.

Voyons comment cela fonctionne sur des problèmes réels.

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Solution. Passons donc à la méthode des intervalles :

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

La première inégalité peut être résolue de manière élémentaire. Nous assimilons simplement chaque parenthèse à zéro :

\[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Rightarrow ((x)_(2))=11. \\ \fin(aligner)\]

La deuxième inégalité est également simple :

Marquez les points $((x)_(1))$ et $((x)_(2))$ sur la droite numérique. Tous sont éliminés, puisque l'inégalité est stricte :

Le bon point a été arraché deux fois. C'est bon.

Faites attention au point $x=11$. Il s'avère qu'il est « doublement perforé » : d'une part, on le pique en raison de la gravité des inégalités, d'autre part, en raison de l'exigence supplémentaire de DL.

Dans tous les cas, ce ne sera qu’un point crevé. Par conséquent, nous organisons les signes de l'inégalité $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - la dernière que nous avons vue avant de commencer à résoudre les équations :

Nous nous intéressons aux régions positives, puisque nous résolvons une inégalité de la forme $f\left(x \right) \gt 0$ - nous les ombrerons. Il ne reste plus qu'à écrire la réponse.

Répondre. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

En utilisant cette solution comme exemple, je voudrais vous mettre en garde contre une erreur courante chez les étudiants débutants. A savoir : ne jamais ouvrir de parenthèses dans les inégalités ! Au contraire, essayez de tout prendre en compte - cela simplifiera la solution et vous évitera de nombreux problèmes.

Essayons maintenant quelque chose de plus compliqué.

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Solution. Il s'agit d'une inégalité non stricte de la forme $f\left(x \right)\le 0$, vous devez donc ici prêter une attention particulière aux points ombrés.

Passons à la méthode des intervalles :

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Passons à l'équation :

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Rightarrow ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Rightarrow ((x)_(3))=-2.2. \\ \fin(aligner)\]

Nous prenons en compte l'exigence supplémentaire :

Nous marquons toutes les racines résultantes sur la droite numérique :

Si un point est à la fois perforé et comblé, il est considéré comme perforé

Encore une fois, deux points se « chevauchent » - c'est normal, ce sera toujours comme ça. Il est seulement important de comprendre qu'un point marqué à la fois comme perforé et repeint est en réalité un point perforé. Ceux. « piquer » est une action plus forte que « peindre ».

C'est tout à fait logique, car en pinçant on marque des points qui affectent le signe de la fonction, mais ne participent pas eux-mêmes à la réponse. Et si à un moment donné le numéro ne nous convient plus (par exemple, il ne rentre pas dans l'ODZ), nous le rayons de la considération jusqu'à la toute fin de la tâche.

En général, arrêtez de philosopher. Nous plaçons des panneaux et peignons sur les intervalles marqués d'un signe moins :

Répondre. $x\in \left(-\infty ;-2.2 \right)\bigcup \left[ 0.75;6.5 \right]$.

Et encore une fois je voulais attirer votre attention sur cette équation :

\[\gauche(2x-13 \droite)\gauche(12x-9 \droite)\gauche(15x+33 \droite)=0\]

Encore une fois : n’ouvrez jamais les parenthèses dans de telles équations ! Vous ne ferez que rendre les choses plus difficiles pour vous-même. Rappel : le produit est égal à zéro lorsqu'au moins un des facteurs est égal à zéro. Par conséquent, cette équation « se désagrège » simplement en plusieurs équations plus petites, que nous avons résolues dans le problème précédent.

Prendre en compte la multiplicité des racines

D'après les problèmes précédents, il est facile de voir que ce sont les inégalités non strictes qui sont les plus difficiles, car dans celles-ci, il faut garder une trace des points ombrés.

Mais il existe un mal encore plus grand dans le monde : ce sont les multiples racines des inégalités. Ici, vous n'avez plus besoin de suivre certains points ombrés - ici, le signe d'inégalité ne peut pas changer soudainement en passant par ces mêmes points.

Nous n'avons pas encore envisagé quoi que ce soit de tel dans cette leçon (bien qu'un problème similaire ait souvent été rencontré dans la méthode des intervalles). Nous introduisons donc une nouvelle définition :

Définition. La racine de l'équation $((\left(x-a \right))^(n))=0$ est égale à $x=a$ et est appelée la racine de la $n$ième multiplicité.

En fait, la valeur exacte de la multiplicité ne nous intéresse pas particulièrement. La seule chose qui compte est de savoir si ce même nombre $n$ est pair ou impair. Parce que:

1. Si $x=a$ est une racine de multiplicité paire, alors le signe de la fonction ne change pas en la traversant ;
2. Et vice versa, si $x=a$ est une racine de multiplicité impaire, alors le signe de la fonction changera.

Tous les problèmes précédents abordés dans cette leçon sont un cas particulier de racine de multiplicité impaire : partout la multiplicité est égale à un.

Et plus loin. Avant de commencer à résoudre des problèmes, je voudrais attirer votre attention sur une subtilité qui semble évidente pour un étudiant expérimenté, mais qui plonge de nombreux débutants dans la stupeur. À savoir:

La racine de multiplicité $n$ n'apparaît que dans le cas où l'expression entière est élevée à cette puissance : $((\left(x-a \right))^(n))$, et non $\left(((x) ^( n))-a \right)$.

Encore une fois : la parenthèse $((\left(x-a \right))^(n))$ nous donne la racine $x=a$ de multiplicité $n$, mais la parenthèse $\left(((x)^( n)) -a \right)$ ou, comme cela arrive souvent, $(a-((x)^(n)))$ nous donne une racine (ou deux racines, si $n$ est pair) de la première multiplicité , peu importe ce qui est égal à $n$.

Comparer:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]

Tout est clair ici : la tranche entière a été élevée à la puissance cinquième, donc le résultat que nous avons obtenu était la racine de la puissance cinquième. Et maintenant:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

Nous avons deux racines, mais toutes deux ont une première multiplicité. Ou en voici un autre :

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

Et ne laissez pas le dixième degré vous déranger. L'essentiel est que 10 est un nombre pair, donc à la sortie nous avons deux racines, et toutes deux ont à nouveau le premier multiple.

En général, soyez prudent : la multiplicité n'apparaît que lorsque le degré fait référence à la parenthèse entière, pas seulement à la variable.

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7 \right))^(5)))\ge 0\]

Solution. Essayons de le résoudre d'une manière alternative - en passant du quotient au produit :

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\droite.\]

Traitons la première inégalité en utilisant la méthode des intervalles :

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \right))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Rightarrow x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Rightarrow x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \fin(aligner)\]

De plus, nous résolvons la deuxième inégalité. En fait, nous l'avons déjà résolu, mais pour que les évaluateurs ne trouvent pas à redire à la solution, il vaut mieux la résoudre à nouveau :

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

Attention : il n'y a pas de multiplicités dans la dernière inégalité. En fait : quelle différence cela fait-il de biffer le point $x=-7$ sur la droite numérique ? Au moins une fois, au moins cinq fois, le résultat sera le même : un point crevé.

Marquons tout ce que nous avons sur la droite numérique :

Comme je l'ai dit, le point $x=-7$ finira par être perforé. Les multiplicités sont organisées en fonction de la résolution de l'inégalité à l'aide de la méthode des intervalles.

Il ne reste plus qu'à placer les panneaux :

Puisque le point $x=0$ est une racine de multiplicité paire, le signe ne change pas en le traversant. Les points restants ont une étrange multiplicité, et tout est simple avec eux.

Répondre. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Encore une fois, faites attention à $x=0$. En raison de la multiplicité même, un effet intéressant apparaît : tout à gauche est peint, tout à droite est également peint et le point lui-même est complètement peint.

De ce fait, il n’est pas nécessaire de l’isoler lors de l’enregistrement de la réponse. Ceux. il n'est pas nécessaire d'écrire quelque chose comme $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (bien que formellement une telle réponse serait également correcte). Au lieu de cela, nous écrivons immédiatement $x\in \left[ -4;6 \right]$.

De tels effets ne sont possibles qu’avec des racines de multiplicité égale. Et dans le problème suivant, nous rencontrerons la « manifestation » inverse de cet effet. Prêt?

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \gauche(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Solution. Cette fois, nous suivrons le schéma standard. Nous assimilons le numérateur à zéro :

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Rightarrow ((x)_(2))=4. \\ \fin(aligner)\]

Et le dénominateur :

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \fin(aligner)\]

Puisque nous résolvons une inégalité non stricte de la forme $f\left(x \right)\ge 0$, les racines du dénominateur (qui ont des astérisques) seront supprimées et celles du numérateur seront ombrées.

Nous plaçons des panneaux et ombrons les zones marquées d'un « plus » :

Le point $x=3$ est isolé. Cela fait partie de la réponse

Avant d'écrire la réponse finale, regardons de près l'image :

1. Le point $x=1$ a une multiplicité paire, mais est lui-même perforé. Il faudra donc l'isoler dans la réponse : il faut écrire $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, et non $x\in \left(-\ infty ;2 \right)$.
2. Le point $x=3$ a également une multiplicité paire et est ombré. La disposition des panneaux indique que le point lui-même nous convient, mais un pas à gauche ou à droite - et nous nous retrouvons dans une zone qui ne nous convient définitivement pas. De tels points sont appelés isolés et s'écrivent sous la forme $x\in \left\( 3 \right\)$.

Nous combinons toutes les pièces reçues dans un ensemble commun et notons la réponse.

Réponse : $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Définition. Résoudre les inégalités signifie trouver l'ensemble de toutes ses solutions, ou prouver que cet ensemble est vide.

Il semblerait : qu'est-ce qui pourrait être incompréhensible ici ? Oui, le fait est que les ensembles peuvent être définis de différentes manières. Écrivons à nouveau la réponse au dernier problème :

Nous lisons littéralement ce qui est écrit. La variable « x » appartient à un certain ensemble, qui est obtenu en combinant (le signe « U ») quatre ensembles distincts :

• Intervalle $\left(-\infty ;1 \right)$, qui signifie littéralement « tous les nombres inférieurs à un, mais pas l'unité elle-même » ;
• Intervalle $\left(1;2 \right)$, c'est-à-dire « tous les nombres compris entre 1 et 2, mais pas les nombres 1 et 2 eux-mêmes » ;
• L'ensemble $\left\( 3 \right\)$, composé d'un seul nombre - trois ;
• L'intervalle $\left[ 4;5 \right)$ contenant tous les nombres compris entre 4 et 5, ainsi que le quatre lui-même, mais pas le cinq.

Le troisième point est ici intéressant. Contrairement aux intervalles, qui définissent des ensembles infinis de nombres et n'indiquent que les limites de ces ensembles, l'ensemble $\left\( 3 \right\)$ spécifie strictement un nombre par énumération.

Pour comprendre que nous répertorions des nombres spécifiques inclus dans l'ensemble (et ne fixons pas de limites ou quoi que ce soit d'autre), des accolades sont utilisées. Par exemple, la notation $\left\( 1;2 \right\)$ signifie exactement « un ensemble composé de deux nombres : 1 et 2 », mais pas un segment de 1 à 2. Ne confondez en aucun cas ces concepts .

Règle d'ajout de multiples

Eh bien, à la fin de la leçon d'aujourd'hui, une petite boîte de conserve de Pavel Berdov. :)

Les étudiants attentifs se sont probablement déjà demandés : que se passera-t-il si le numérateur et le dénominateur ont les mêmes racines ? Ainsi, la règle suivante fonctionne :

Les multiplicités de racines identiques s'ajoutent. Toujours. Même si cette racine apparaît à la fois au numérateur et au dénominateur.

Parfois, il vaut mieux décider que parler. Nous résolvons donc le problème suivant :

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \right))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \fin(aligner)\]

Rien de spécial pour l'instant. Nous assimilons le dénominateur à zéro :

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Flèche droite x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Rightarrow x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \fin(aligner)\]

Deux racines identiques ont été découvertes : $((x)_(1))=-2$ et $x_(4)^(*)=-2$. Les deux ont la première multiplicité. Par conséquent, nous les remplaçons par une racine $x_(4)^(*)=-2$, mais avec une multiplicité de 1+1=2.

De plus, il existe également des racines identiques : $((x)_(2))=-4$ et $x_(2)^(*)=-4$. Ils sont également de la première multiplicité, donc il ne restera que $x_(2)^(*)=-4$ de multiplicité 1+1=2.

Attention : dans les deux cas, nous avons laissé exactement la racine « perforée » et exclu celle « peinte ». Car au début de la leçon nous étions d'accord : si un point est à la fois perforé et repeint, alors nous le considérons toujours comme perforé.

En conséquence, nous avons quatre racines, et elles ont toutes été coupées :

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\gauche(2k \droite). \\ \fin(aligner)\]

On les marque sur la droite numérique, en tenant compte de la multiplicité :

Nous plaçons des panneaux et peignons sur les zones qui nous intéressent :

Tous. Pas de points isolés ou autres perversions. Vous pouvez écrire la réponse.

Répondre. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

Règle pour multiplier les multiples

Parfois, une situation encore plus désagréable se produit : une équation qui a plusieurs racines est elle-même élevée à une certaine puissance. Dans ce cas, les multiplicités de toutes les racines originales changent.

C'est rare, c'est pourquoi la plupart des étudiants n'ont aucune expérience dans la résolution de tels problèmes. Et la règle ici est la suivante :

Lorsqu'une équation est élevée à la puissance $n$, les multiplicités de toutes ses racines augmentent également de $n$ fois.

Autrement dit, élever à une puissance conduit à multiplier les multiples par la même puissance. Examinons cette règle à l'aide d'un exemple :

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

Solution. Nous assimilons le numérateur à zéro :

Le produit est nul lorsqu’au moins un des facteurs est nul. Tout est clair avec le premier facteur : $x=0$. Mais alors les problèmes commencent :

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \& ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(align)\]

Comme on le voit, l'équation $((x)^(2))-6x+9=0$ a une racine unique de la deuxième multiplicité : $x=3$. Toute cette équation est ensuite mise au carré. Par conséquent, la multiplicité de la racine sera $2\cdot 2=4$, ce que nous avons finalement écrit.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

Il n'y a pas non plus de problèmes avec le dénominateur :

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \fin(aligner)\]

Au total, nous avons obtenu cinq points : deux perforés et trois peints. Il n'y a pas de racines coïncidentes au numérateur et au dénominateur, nous les marquons donc simplement sur la droite numérique :

Nous disposons les panneaux en tenant compte des multiplicités et peignons sur les intervalles qui nous intéressent :

Encore un point isolé et un crevé

En raison des racines même de la multiplicité, nous avons encore une fois obtenu quelques éléments « non standard ». Il s'agit de $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, et non de $x\in \left[ 0;2 \right)$, et aussi d'un point isolé $ x\in \left\( 3 \right\)$.

Répondre. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Comme vous pouvez le constater, tout n'est pas si compliqué. L'essentiel est l'attention. La dernière section de cette leçon est consacrée aux transformations - les mêmes dont nous avons parlé au tout début.

Pré-conversions

Les inégalités que nous examinerons dans cette section ne peuvent pas être qualifiées de complexes. Cependant, contrairement aux tâches précédentes, vous devrez ici appliquer les compétences de la théorie des fractions rationnelles - factorisation et réduction à un dénominateur commun.

Nous avons discuté de cette question en détail au tout début de la leçon d'aujourd'hui. Si vous n'êtes pas sûr de comprendre de quoi je parle, je vous recommande fortement de revenir en arrière et de le répéter. Parce que cela ne sert à rien de bourrer les méthodes de résolution des inégalités si vous « flottez » dans la conversion de fractions.

Soit dit en passant, dans les devoirs, il y aura également de nombreuses tâches similaires. Ils sont placés dans une sous-section distincte. Et vous y trouverez des exemples très non triviaux. Mais cela fera partie de nos devoirs, et examinons maintenant quelques-unes de ces inégalités.

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Solution. Déplacez tout vers la gauche :

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Nous réduisons à un dénominateur commun, ouvrons les parenthèses et apportons des termes similaires au numérateur :

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ right))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Nous avons maintenant devant nous une inégalité fractionnaire-rationnelle classique, dont la solution n'est plus difficile. Je propose de le résoudre en utilisant une méthode alternative - par la méthode des intervalles :

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \fin(aligner)\]

N'oubliez pas la contrainte qui vient du dénominateur :

Nous marquons tous les nombres et restrictions sur la droite numérique :

Toutes les racines ont une multiplicité première. Aucun problème. Nous plaçons simplement des panneaux et peignons sur les zones dont nous avons besoin :

C'est tout. Vous pouvez écrire la réponse.

Répondre. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Bien sûr, c’était un exemple très simple. Alors maintenant, regardons le problème plus sérieusement. Et d'ailleurs, le niveau de cette tâche est tout à fait cohérent avec les travaux indépendants et tests sur ce sujet en 8e année.

Tâche. Résoudre l'inégalité :

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Solution. Déplacez tout vers la gauche :

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Avant de ramener les deux fractions à un dénominateur commun, factorisons ces dénominateurs. Et si les mêmes parenthèses sortaient ? Avec le premier dénominateur c'est simple :

\[((x)^(2))+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]

Le second est un peu plus difficile. N'hésitez pas à ajouter un facteur constant dans la parenthèse où apparaît la fraction. Rappelez-vous : le polynôme d'origine avait des coefficients entiers, il y a donc de fortes chances que la factorisation ait des coefficients entiers (en fait, ce sera toujours le cas, à moins que le discriminant ne soit irrationnel).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]

Comme vous pouvez le voir, il existe une parenthèse commune : $\left(x-1 \right)$. Nous revenons à l'inégalité et ramenons les deux fractions à un dénominateur commun :

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ gauche(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right )\gauche(3x-2 \droite))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \fin(aligner)\]

Nous assimilons le dénominateur à zéro :

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( aligner)\]

Pas de racines multiples ou coïncidentes. Nous marquons quatre nombres sur la ligne :

Nous plaçons des panneaux :

Nous écrivons la réponse.

Réponse : $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5.5;+\infty \ right) $.

Tous! Comme ça, j'ai lu cette ligne. :)

Les inégalités sont dites linéaires dont les côtés gauche et droit sont des fonctions linéaires par rapport à la quantité inconnue. Il s’agit par exemple des inégalités :

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 à 6x 9- X< x + 5 .

1) Des inégalités strictes : hache +b>0 ou hache+b<0

2) Inégalités non strictes : hache +b≤0 ou hache+b≫ 0

Analysons cette tâche. L'un des côtés du parallélogramme mesure 7 cm. Quelle doit être la longueur de l’autre côté pour que le périmètre du parallélogramme soit supérieur à 44 cm ?

Soit le côté requis X cm. Dans ce cas, le périmètre du parallélogramme sera représenté par (14 + 2x) cm. L'inégalité 14 + 2x > 44 est un modèle mathématique du problème du périmètre d'un parallélogramme. Si on remplace la variable dans cette inégalité X sur, par exemple, le nombre 16, alors on obtient l'inégalité numérique correcte 14 + 32 > 44. Dans ce cas, on dit que le nombre 16 est une solution de l'inégalité 14 + 2x > 44.

Résoudre les inégalités nommer la valeur d’une variable qui la transforme en une véritable inégalité numérique.

Par conséquent, chacun des nombres est 15,1 ; 20;73 agissent comme une solution à l'inégalité 14 + 2x > 44, mais le nombre 10, par exemple, n'est pas sa solution.

Résoudre les inégalités signifie établir toutes ses solutions ou prouver qu’il n’y a pas de solutions.

La formulation de la solution de l’inégalité est similaire à la formulation de la racine de l’équation. Et pourtant, il n’est pas habituel de désigner la « racine des inégalités ».

Les propriétés des égalités numériques nous ont aidé à résoudre des équations. De même, les propriétés des inégalités numériques aideront à résoudre les inégalités.

Lors de la résolution d’une équation, nous la remplaçons par une autre équation plus simple, mais équivalente à celle donnée. La réponse aux inégalités se trouve de la même manière. Lors du changement d'une équation en une équation équivalente, ils utilisent le théorème sur le transfert de termes d'un côté de l'équation à l'opposé et sur la multiplication des deux côtés de l'équation par le même nombre non nul. Lors de la résolution d'une inégalité, il existe une différence significative entre celle-ci et une équation, qui réside dans le fait que toute solution d'une équation peut être vérifiée simplement par substitution dans l'équation d'origine. Dans les inégalités, cette méthode est absente, car il n'est pas possible de substituer d'innombrables solutions à l'inégalité d'origine. Il y a donc un concept important, ces flèches<=>est le signe de transformations équivalentes ou équivalentes. La transformation s'appelle équivalent, ou équivalent, s'ils ne modifient pas l'ensemble des solutions.

Règles similaires pour résoudre les inégalités.

Si l’on déplace n’importe quel terme d’une partie de l’inégalité à une autre, en remplaçant son signe par celui opposé, on obtient une inégalité équivalente à celle-ci.

Si les deux côtés de l’inégalité sont multipliés (divisés) par le même nombre positif, on obtient une inégalité équivalente à celle-ci.

Si les deux côtés de l'inégalité sont multipliés (divisés) par le même nombre négatif, en remplaçant le signe de l'inégalité par celui opposé, nous obtenons une inégalité équivalente à celle donnée.

En utilisant ces règles Calculons les inégalités suivantes.

1) Analysons l'inégalité 2x - 5 > 9.

Ce inégalité linéaire, nous trouverons sa solution et discuterons des concepts de base.

2x - 5 > 9<=>2x>14(5 a été déplacé vers la gauche avec le signe opposé), puis on a tout divisé par 2 et on a x > 7. Traçons l'ensemble des solutions sur l'axe X

Nous avons obtenu un faisceau dirigé positivement. On note l'ensemble des solutions soit sous forme d'inégalité x > 7, ou sous la forme de l'intervalle x(7; ∞). Quelle est une solution particulière à cette inégalité ? Par exemple, x = 10 est une solution particulière à cette inégalité, x = 12- c'est aussi une solution particulière à cette inégalité.

Il existe de nombreuses solutions partielles, mais notre tâche est de trouver toutes les solutions. Et il existe généralement d’innombrables solutions.

Faisons le tri exemple 2 :

2) Résoudre les inégalités 4a - 11 > a + 13.

Résolvons-le : UN déplace-le d'un côté 11 on le déplace de l'autre côté, on obtient 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 l'inégalité a la forme un<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>un< 8 .

Nous afficherons également l'ensemble un< 8 , mais déjà sur l'axe UN.

Soit on écrit la réponse sous forme d'inégalité a< 8, либо UN(-∞;8), 8 ne s'allume pas.

Méthode d'intervalle– un moyen simple de résoudre des inégalités rationnelles fractionnaires. C'est le nom des inégalités contenant des expressions rationnelles (ou fractionnaires-rationnelles) qui dépendent d'une variable.

1. Considérons, par exemple, l'inégalité suivante

La méthode des intervalles vous permet de le résoudre en quelques minutes.

Du côté gauche de cette inégalité se trouve une fonction rationnelle fractionnaire. Rationnel car il ne contient pas de racines, de sinus ou de logarithmes – seulement des expressions rationnelles. A droite, c'est zéro.

La méthode des intervalles est basée sur la propriété suivante d’une fonction rationnelle fractionnaire.

Une fonction rationnelle fractionnaire ne peut changer de signe qu'aux points où elle est égale à zéro ou n'existe pas.

Rappelons comment est factorisé un trinôme quadratique, c'est-à-dire une expression de la forme .

Où et sont les racines de l'équation quadratique.

Nous dessinons un axe et plaçons les points auxquels le numérateur et le dénominateur vont à zéro.

Les zéros du dénominateur et sont des points perforés, car en ces points la fonction du côté gauche de l'inégalité n'est pas définie (vous ne pouvez pas diviser par zéro). Les zéros du numérateur et - sont ombrés, car l'inégalité n'est pas stricte. Quand et notre inégalité est satisfaite, puisque ses deux côtés sont égaux à zéro.

Ces points divisent l'axe en intervalles.

Déterminons le signe de la fonction rationnelle fractionnaire du côté gauche de notre inégalité sur chacun de ces intervalles. Nous rappelons qu'une fonction rationnelle fractionnaire ne peut changer de signe qu'aux points où elle est égale à zéro ou n'existe pas. Cela signifie qu'à chacun des intervalles entre les points où le numérateur ou le dénominateur va à zéro, le signe de l'expression à gauche de l'inégalité sera constant - soit « plus » soit « moins ».

Et donc, pour déterminer le signe de la fonction sur chacun de ces intervalles, nous prenons n'importe quel point appartenant à cet intervalle. Celui qui nous convient.
. Prenons, par exemple, et vérifiez le signe de l'expression à gauche de l'inégalité. Chacune des « parenthèses » est négative. Le côté gauche a un panneau.

Intervalle suivant : . Vérifions le panneau . Nous constatons que le côté gauche a changé son signe en .

Prenons-le. Lorsque l'expression est positive, elle est donc positive sur tout l'intervalle de à.

Lorsque le côté gauche de l’inégalité est négatif.

Et enfin, class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Nous avons trouvé à quels intervalles l'expression est positive. Il ne reste plus qu'à écrire la réponse :

Répondre: .

Attention : les panneaux alternent selon les intervalles. Cela s'est produit parce que en passant par chaque point, exactement un des facteurs linéaires a changé de signe, tandis que les autres l'ont gardé inchangé.

On voit que la méthode des intervalles est très simple. Pour résoudre l'inégalité fractionnaire-rationnelle à l'aide de la méthode des intervalles, nous la réduisons sous la forme :

Ou class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, ou ou .

(à gauche se trouve une fonction rationnelle fractionnaire, à droite se trouve zéro).

Ensuite, nous marquons sur la droite numérique les points auxquels le numérateur ou le dénominateur passe à zéro.
Ces points divisent toute la droite numérique en intervalles, sur chacun desquels la fonction fractionnaire-rationnelle conserve son signe.
Il ne reste plus qu'à connaître son signe à chaque intervalle.
Nous faisons cela en vérifiant le signe de l’expression en tout point appartenant à un intervalle donné. Après cela, nous écrivons la réponse. C'est tout.

Mais la question se pose : les signes alternent-ils toujours ? Non, pas toujours ! Vous devez être prudent et ne pas placer de panneaux de manière mécanique et irréfléchie.

2. Considérons une autre inégalité.

Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ gauche(x-3 \droite))>0"> !}

Placez à nouveau les points sur l'axe. Les points et sont perforés car ce sont des zéros du dénominateur. Le point est également coupé, puisque l’inégalité est stricte.

Lorsque le numérateur est positif, les deux facteurs du dénominateur sont négatifs. Cela peut être facilement vérifié en prenant n'importe quel nombre dans un intervalle donné, par exemple . Le côté gauche porte le signe :

Lorsque le numérateur est positif ; Le premier facteur du dénominateur est positif, le deuxième facteur est négatif. Le côté gauche porte le signe :

La situation est la même ! Le numérateur est positif, le premier facteur du dénominateur est positif, le second est négatif. Le côté gauche porte le signe :

Enfin, avec class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Répondre: .

Pourquoi l’alternance des panneaux a-t-elle été perturbée ? Parce que lorsqu'on passe par un point, le multiplicateur en est « responsable » n'a pas changé de signe. Par conséquent, tout le côté gauche de notre inégalité n’a pas changé de signe.

Conclusion: si le multiplicateur linéaire est une puissance paire (par exemple, au carré), alors en passant par un point, le signe de l'expression sur le côté gauche ne change pas. Dans le cas d’un degré impair, le signe change bien sûr.

3. Considérons un cas plus complexe. Elle diffère de la précédente en ce que l'inégalité n'est pas stricte :

Le côté gauche est le même que dans le problème précédent. L'image des signes sera la même :

Peut-être que la réponse sera la même ? Non! Une solution est ajoutée. Cela se produit parce que les côtés gauche et droit de l’inégalité sont égaux à zéro – ce point est donc une solution.

Répondre: .

Cette situation se produit souvent dans les problèmes de l'examen d'État unifié en mathématiques. C'est là que les candidats tombent dans un piège et perdent des points. Sois prudent!

4. Que faire si le numérateur ou le dénominateur ne peut pas être pris en compte dans des facteurs linéaires ? Considérons cette inégalité :

Un trinôme carré n'est pas factorisable : le discriminant est négatif, il n'y a pas de racines. Mais c'est bien ! Cela signifie que le signe de l’expression pour tous est le même, et spécifiquement positif. Vous pouvez en savoir plus à ce sujet dans l'article sur les propriétés des fonctions quadratiques.

Et maintenant, nous pouvons diviser les deux côtés de nos inégalités par une valeur positive pour tous. Arrivons à une inégalité équivalente :

Ce qui est facilement résolu en utilisant la méthode des intervalles.

Veuillez noter que nous avons divisé les deux côtés de l’inégalité par une valeur dont nous savions avec certitude qu’elle était positive. Bien entendu, en général, il ne faut pas multiplier ou diviser une inégalité par une variable dont le signe est inconnu.

5 . Considérons une autre inégalité, apparemment assez simple :

Je veux juste le multiplier par . Mais nous sommes déjà intelligents et nous ne ferons pas cela. Après tout, cela peut être à la fois positif et négatif. Et nous savons que si les deux côtés de l’inégalité sont multipliés par une valeur négative, le signe de l’inégalité change.

Nous le ferons différemment - nous rassemblerons tout en une seule partie et le ramènerons à un dénominateur commun. Le côté droit restera nul :

Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Et après cela, postulez méthode d'intervalle.

Résoudre les inégalités en ligne

Avant de résoudre des inégalités, vous devez bien comprendre comment les équations sont résolues.

Peu importe que l'inégalité soit stricte () ou non stricte (≤, ≥), la première étape consiste à résoudre l'équation en remplaçant le signe d'inégalité par l'égalité (=).

Expliquons ce que signifie résoudre une inégalité ?

Après avoir étudié les équations, l'étudiant a en tête l'image suivante : il doit trouver les valeurs de la variable telles que les deux côtés de l'équation prennent les mêmes valeurs. En d’autres termes, trouvez tous les points auxquels l’égalité est valable. Tout est correct!

Lorsque nous parlons d'inégalités, nous entendons trouver des intervalles (segments) sur lesquels l'inégalité est valable. S'il y a deux variables dans l'inégalité, alors la solution ne sera plus des intervalles, mais quelques zones du plan. Devinez par vous-même quelle sera la solution à une inégalité à trois variables ?

Comment résoudre les inégalités ?

Une manière universelle de résoudre les inégalités est considérée comme la méthode des intervalles (également connue sous le nom de méthode des intervalles), qui consiste à déterminer tous les intervalles à l'intérieur desquels une inégalité donnée sera satisfaite.

Sans entrer dans le type d'inégalité, dans ce cas ce n'est pas la question, il faut résoudre l'équation correspondante et déterminer ses racines, puis désigner ces solutions sur l'axe des nombres.

Comment écrire correctement la solution d’une inégalité ?

Une fois que vous avez déterminé les intervalles de solution pour l’inégalité, vous devez écrire correctement la solution elle-même. Il y a une nuance importante : les limites des intervalles sont-elles incluses dans la solution ?

Tout est simple ici. Si la solution de l'équation satisfait l'ODZ et que l'inégalité n'est pas stricte, alors la limite de l'intervalle est incluse dans la solution de l'inégalité. Sinon non.

En considérant chaque intervalle, la solution de l'inégalité peut être l'intervalle lui-même, ou un demi-intervalle (quand l'une de ses limites satisfait l'inégalité), ou un segment - l'intervalle avec ses limites.

Point important

Ne pensez pas que seuls les intervalles, demi-intervalles et segments peuvent résoudre l’inégalité. Non, la solution peut également inclure des points individuels.

Par exemple, l'inégalité |x|≤0 n'a qu'une seule solution : le point 0.

Et l'inégalité |x|

Pourquoi avez-vous besoin d’un calculateur d’inégalités ?

Le calculateur d’inégalités donne la bonne réponse finale. Dans la plupart des cas, une illustration d’un axe numérique ou d’un plan est fournie. Il est visible si les limites des intervalles sont incluses ou non dans la solution - les points sont affichés ombrés ou perforés.

Grâce au calculateur d'inégalités en ligne, vous pouvez vérifier si vous avez correctement trouvé les racines de l'équation, les avez marquées sur l'axe des nombres et vérifié le respect de la condition d'inégalité sur les intervalles (et les frontières) ?

Si votre réponse diffère de celle de la calculatrice, vous devez absolument revérifier votre solution et identifier l’erreur.