Expressions, conversion d'expressions

Comment se libérer de l’irrationalité du dénominateur ? Méthodes, exemples, solutions

En 8e, lors des cours d'algèbre, dans le cadre du thème transformation des expressions irrationnelles, une conversation tourne vers libération de l'irrationalité dans le dénominateur d'une fraction. Dans cet article, nous analyserons de quel type de transformation il s'agit, examinerons quelles actions vous permettent de vous libérer de l'irrationalité du dénominateur d'une fraction et fournirons des solutions à des exemples typiques avec des explications détaillées.

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Que signifie se libérer de l'irrationalité du dénominateur d'une fraction ?

Vous devez d'abord comprendre ce qu'est l'irrationalité au dénominateur et ce que signifie se libérer de l'irrationalité au dénominateur d'une fraction. Les informations contenues dans les manuels scolaires nous y aideront. Les points suivants méritent attention.

Lorsque la notation d'une fraction contient un signe racine (radical) au dénominateur, alors on dit que le dénominateur contient irrationalité. Cela est probablement dû au fait que les nombres écrits en utilisant des signes racine sont souvent . A titre d'exemple, nous donnons les fractions , , , évidemment, les dénominateurs de chacun d'eux contiennent le signe de la racine, et donc de l'irrationalité. Au lycée, il est inévitable de rencontrer des fractions dont l'irrationalité dans les dénominateurs est introduite non seulement par les signes des racines carrées, mais aussi par les signes des racines cubiques, des racines quatrièmes, etc. Voici des exemples de telles fractions : , .

Compte tenu des informations fournies et de la signification du mot « gratuit », la définition suivante est tout à fait naturelle :

Définition.

Libération de l'irrationalité au dénominateur d'une fraction est une transformation dans laquelle une fraction avec une irrationalité au dénominateur est remplacée par une fraction identiquement égale qui ne contient pas de signes racine au dénominateur.

On entend souvent les gens dire de ne pas se libérer, mais de se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur de la fraction. Le sens ne change pas.

Par exemple, si l'on passe d'une fraction à une fraction dont la valeur est égale à la valeur de la fraction originale et dont le dénominateur ne contient pas le signe racine, alors on peut affirmer que l'on s'est libéré de l'irrationalité au dénominateur de la fraction. Autre exemple : remplacer une fraction par une fraction identique il y a une libération de l'irrationalité dans le dénominateur de la fraction.

Ainsi, les premières informations ont été reçues. Reste à savoir ce qu'il faut faire pour se libérer de l'irrationalité du dénominateur de la fraction.

Façons de se libérer de l'irrationalité, exemples

Habituellement, pour se débarrasser de l'irrationalité, deux sont utilisés au dénominateur d'une fraction. conversions de fractions: Multiplier le numérateur et le dénominateur par un nombre ou une expression non nul et transformer l'expression en dénominateur. Ci-dessous, nous verrons comment ces conversions de fractions sont utilisées de manière basique pour supprimer l'irrationalité du dénominateur d'une fraction. Abordons les cas suivants.

Dans les cas les plus simples, il suffit de transformer l’expression en dénominateur. Un exemple est une fraction dont le dénominateur est la racine de neuf. Dans ce cas, le remplacer par la valeur 3 libère le dénominateur de l’irrationalité.

Dans des cas plus complexes, vous devez d'abord multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par un nombre ou une expression non nul, ce qui vous permet ensuite de convertir le dénominateur de la fraction sous une forme qui ne contient pas de signes radicaux. Par exemple, après avoir multiplié le numérateur et le dénominateur d’une fraction par , la fraction prend la forme , puis l'expression au dénominateur peut être remplacée par une expression sans signes des racines x+1. Ainsi, après s'être libérée de l'irrationalité du dénominateur, la fraction prend la forme .

Si nous parlons du cas général, alors pour se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur d'une fraction, il faut recourir à diverses transformations admissibles, parfois assez spécifiques.

Et maintenant en détail.

Conversion d'une expression au dénominateur d'une fraction

Comme déjà indiqué, une façon de se débarrasser de l’irrationalité du dénominateur d’une fraction est de transformer le dénominateur. Regardons les solutions aux exemples.

Exemple.

Débarrassez-vous de l'irrationalité du dénominateur d'une fraction .

Solution.

En ouvrant les parenthèses au dénominateur, on arrive à l'expression . Ensuite ils permettent de passer aux fractions . Après avoir calculé les valeurs sous les signes des racines, on a . Évidemment, dans l'expression résultante, cela est possible, ce qui donne une fraction égale à 1/16. C'est ainsi que nous nous sommes débarrassés de l'irrationalité du dénominateur.

Habituellement, la solution est écrite brièvement sans explication, car les actions effectuées sont assez simples :

Répondre:

.

Exemple.

Solution.

Lorsque nous avons parlé de transformer des expressions irrationnelles en utilisant les propriétés des racines, nous avons noté que pour toute expression A avec n pair (dans notre cas n=2) l'expression peut être remplacée par l'expression |A| sur l'ensemble de l'ODZ des variables pour l'expression d'origine. Par conséquent, vous pouvez effectuer la transformation suivante d’une fraction donnée : , ce qui nous libère de l'irrationalité du dénominateur.

Répondre:

.

Multiplier le numérateur et le dénominateur par la racine

Lorsque l'expression au dénominateur d'une fraction a la forme , où l'expression A ne contient pas de signes de racines, alors multiplier le numérateur et le dénominateur par vous permet de vous débarrasser de l'irrationalité du dénominateur. Cette action est possible car elle ne disparaît pas sur les variables variables de l'expression d'origine. Dans ce cas, le dénominateur produit une expression qui peut être facilement convertie en une forme sans signes radicaux : . Montrons l'application de cette approche avec des exemples.

Exemple.

Libérez-vous de l'irrationalité dans le dénominateur de la fraction : a) , b) .

Solution.

a) En multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par la racine carrée de trois, on obtient .

b) Pour supprimer le signe racine carrée au dénominateur, multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par , puis effectuez les transformations au dénominateur :

Répondre:

un B) .

Dans le cas où le dénominateur contient des facteurs ou , où m et n sont des nombres naturels, le numérateur et le dénominateur doivent être multipliés par un tel facteur afin qu'après cela l'expression du dénominateur puisse être convertie sous la forme ou , où k est un nombre naturel, respectivement. Il est alors facile de passer à une fraction sans irrationalité au dénominateur. Démontrons l'application de la méthode décrite pour se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur à l'aide d'exemples.

Exemple.

Libérez-vous de l'irrationalité dans le dénominateur de la fraction : a) , b) .

Solution.

a) L'entier naturel le plus proche supérieur à 3 et divisible par 5 est 5. Pour que l'exposant de six devienne égal à cinq, l'expression au dénominateur doit être multipliée par. Par conséquent, la libération de l'irrationalité du dénominateur d'une fraction sera facilitée par l'expression par laquelle le numérateur et le dénominateur doivent être multipliés :

b) Évidemment, l'entier naturel le plus proche qui dépasse 15 et qui est divisible par 4 sans reste est 16. Pour que l'exposant du dénominateur devienne égal à 16, vous devez multiplier l'expression par. Ainsi, multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction originale par (notez que la valeur de cette expression n'est pas égale à zéro pour tout x réel) éliminera l'irrationalité du dénominateur :

Répondre:

UN) , b) .

Multiplier par son conjugué

La méthode suivante pour se débarrasser de l'irrationalité dans le dénominateur d'une fraction couvre les cas où le dénominateur contient des expressions de la forme , , , , ou . Dans ces cas, afin de vous libérer de l'irrationalité du dénominateur de la fraction, vous devez multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par ce qu'on appelle expression conjuguée.

Reste à savoir quelles expressions sont conjuguées à ce qui précède. Pour une expression, l'expression conjuguée est , et pour une expression, l'expression conjuguée est . De même, pour une expression le conjugué est , et pour une expression le conjugué est . Et pour une expression le conjugué est , et pour une expression le conjugué est . Ainsi, l'expression conjuguée à cette expression en diffère par le signe devant le deuxième terme.

Voyons à quoi aboutit la multiplication d'une expression par son conjugué. Par exemple, considérons le travail . On peut la remplacer par la différence des carrés, c'est-à-dire , d'où on peut alors passer à l'expression a−b, qui ne contient pas de signes des racines.

Il devient maintenant clair comment multiplier le numérateur et le dénominateur d'une fraction par l'expression conjuguée au dénominateur permet de se libérer de l'irrationalité du dénominateur de la fraction. Examinons les solutions à des exemples typiques.

Exemple.

Imaginez l'expression comme une fraction dont le dénominateur ne contient pas de radical : a) , b) .

Solution.

a) L'expression conjuguée au dénominateur est . Multiplions le numérateur et le dénominateur par celui-ci, ce qui nous permettra de nous affranchir de l'irrationalité au dénominateur de la fraction :

b) Le conjugué de l'expression est . En multipliant le numérateur et le dénominateur par celui-ci, on obtient

Il était possible de supprimer d'abord le signe moins du dénominateur, puis seulement de multiplier le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée au dénominateur :

Répondre:

UN) , b) .

Attention : lors de la multiplication du numérateur et du dénominateur d'une fraction par une expression avec des variables conjuguées au dénominateur, il faut veiller à ce qu'il ne disparaisse pour aucun ensemble de valeurs des variables de l'ODZ pour l'expression d'origine.

Exemple.

Libérez-vous de l'irrationalité du dénominateur d'une fraction.

Solution.

Tout d'abord, trouvons la plage de valeurs admissibles (APV) de la variable x. Elle est déterminée par les conditions x≥0 et , d'où on conclut que l'ODZ est l'ensemble x≥0.

L'expression conjuguée au dénominateur est . On peut multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par celui-ci, à condition que , ce qui sur l'ODZ équivaut à la condition x≠16. Dans ce cas nous avons

Et à x=16 on a .

Ainsi, pour toutes les valeurs de la variable x de l'ODZ, sauf x=16, , et pour x=16 nous avons .

Répondre:

Utiliser les formules de somme de cubes et de différence de cubes

Du paragraphe précédent, nous avons appris que la multiplication du numérateur et du dénominateur d'une fraction par l'expression conjuguée au dénominateur est effectuée afin d'appliquer ultérieurement la formule de la différence des carrés et ainsi se libérer de l'irrationalité du dénominateur. Dans certains cas, d'autres formules de multiplication abrégées sont utiles pour éliminer l'irrationalité du dénominateur. Par exemple, la formule de la différence des cubes a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) permet de se débarrasser de l'irrationalité lorsque le dénominateur d'une fraction contient des expressions avec des racines cubiques de la forme ou , où A et B sont des nombres ou des expressions. Pour ce faire, le numérateur et le dénominateur de la fraction sont multipliés par le carré partiel de la somme ou par la différence, respectivement. La formule de la somme des cubes s’utilise de la même manière. une 3 +b 3 =(une+b)·(une 2 −une·b+b 2).

Exemple.

Libérez-vous de l'irrationalité dans le dénominateur de la fraction : a) , b) .

Solution.

a) Il est facile de deviner que dans ce cas, multiplier le numérateur et le dénominateur par le carré incomplet de la somme des nombres et permet de se libérer de l'irrationalité du dénominateur, puisqu'à l'avenir cela permettra de transformer l'expression au dénominateur en utilisant la formule de la différence des cubes :

b) Expression au dénominateur de la fraction peut être représenté sous la forme , d'où il ressort clairement qu'il s'agit d'un carré incomplet de la différence entre les nombres 2 et . Ainsi, si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont multipliés par la somme, alors le dénominateur peut être converti à l'aide de la formule de la somme des cubes, ce qui nous libérera de l'irrationalité du dénominateur de la fraction. Cela peut être fait sous la condition qui est équivalente à la condition supplémentaire x≠−8 :

Et en remplaçant x=−8 dans la fraction originale, nous avons .

Ainsi, pour tout x de l'ODZ pour la fraction d'origine (dans ce cas c'est l'ensemble R), sauf x=−8, on a , et pour x=8 on a .

Répondre:

Utiliser différentes méthodes

Dans des exemples plus complexes, il n'est généralement pas possible de se libérer de l'irrationalité du dénominateur en une seule action, mais vous devez appliquer systématiquement méthode après méthode, y compris celles évoquées ci-dessus. Parfois, des solutions non standard peuvent être nécessaires. Des tâches assez intéressantes sur le sujet en discussion peuvent être trouvées dans le manuel rédigé par Yu. N. Kolyagin. Bibliographie.

1. Algèbre: cahier de texte pour la 8ème année. enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2008. - 271 p. : je vais. - ISBN978-5-09-019243-9.
2. Mordkovitch A.G. Algèbre. 8e année. En 2 heures Partie 1. Manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général / A. G. Mordkovich. - 11e éd., effacée. - M. : Mnémosyne, 2009. - 215 p. : ill. ISBN978-5-346-01155-2.
3. Algèbre et le début de l'analyse mathématique. 10e année : manuel. pour l'enseignement général institutions : base et profil. niveaux / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin] ; édité par A. B. Jijchenko. - 3e éd. - M. : Éducation, 2010.- 368 p. : ill.-ISBN 978-5-09-022771-1.

Danny Peric Campana

Un autre livre intéressant pour les écoliers intéressés, malheureusement non traduit en russe, est le livre « Les aventures mathématiques de Daniel » (Las Aventuras Matemáticas de Daniel) du professeur de mathématiques chilien Danny Perich Campana, une personne très extraordinaire et intéressante. Non seulement il enseigne aux enfants, mais il écrit également des chansons et publie divers matériels pédagogiques sur les mathématiques sur Internet. Ils peuvent être consultés sur YouTube et sur le site http://www.sectormatematica.cl/ (bien entendu, tous les documents sont en espagnol).

Ici, je publie un chapitre du livre de Danni Peric. Je l'ai trouvé assez intéressant et utile pour les écoliers. Pour bien comprendre de quoi nous parlons, je dirai que Daniel et Camila travaillent à l'école, ils sont enseignants.

Le secret pour se débarrasser de l'irrationalité

"Camila, j'ai beaucoup de problèmes maintenant quand j'essaie d'expliquer pourquoi ce que nous vivons en classe est utilisé", a déclaré Daniel.

- Je ne comprends pas vraiment de quoi tu parles.

— Je parle de ce qui se trouve dans tous les manuels scolaires et même dans les manuels universitaires. J'ai encore des doutes : pourquoi faut-il se débarrasser de l'irrationalité au dénominateur ? Et je déteste dire aux gens ce que je n’ai pas compris depuis si longtemps », s’est plaint Daniel.

« Je ne sais pas non plus d’où cela vient et pourquoi c’est nécessaire, mais il doit y avoir une explication logique à cela.

— J'ai lu une fois dans une revue scientifique que se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur permet d'obtenir le résultat avec une plus grande précision, mais je n'ai jamais revu cela et je ne suis pas sûr que cela soit vrai.

- Pourquoi ne pas vérifier ? - Camila a demandé.

"Tu as raison", approuva Daniel. — Au lieu de vous plaindre, vous devriez essayer de tirer vos propres conclusions. Alors aide-moi...

- Bien sûr, maintenant cela m'intéresse moi-même.

"Nous devons prendre certaines expressions et nous débarrasser de l'irrationalité du dénominateur, puis remplacer la racine par sa valeur et trouver le résultat de l'expression avant et après nous débarrasser de l'irrationalité du dénominateur et voir si quelque chose change."

"Bien sûr", acquiesça Camila. - Faisons cela.

"Prenez, par exemple, l'expression", dit Daniel en prenant un morceau de papier pour écrire ce qui se passait. - Multipliez le numérateur et le dénominateur par et obtenez .

"Ce sera correct et peut nous aider à tirer des conclusions si nous considérons d'autres expressions irrationnelles égales à celle-ci", a suggéré Camila.

"Je suis d'accord", a déclaré Daniel, "je diviserai le numérateur et le dénominateur par , et vous les multiplierez par ."

- Je me suis débrouillé . Et toi?

"Oui," répondit Daniel. - Calculons maintenant l'expression originale et celles résultantes, en la remplaçant par sa valeur avec toutes les décimales indiquées par la calculatrice. On a:

"Je ne vois rien de spécial", a déclaré Camila. "Je m'attendais à une sorte de différence qui justifierait l'élimination de l'irrationalité."

« Comme je vous l'ai déjà dit, j'ai lu une fois cela à propos de l'approche. Que diriez-vous si on le remplaçait par un nombre moins précis, comme ?

- Essayons de voir ce qui se passe.

Résoudre des équations avec des fractions Regardons des exemples. Les exemples sont simples et illustratifs. Avec leur aide, vous pourrez comprendre de la manière la plus compréhensible.
Par exemple, vous devez résoudre l’équation simple x/b + c = d.

Une équation de ce type est dite linéaire, car Le dénominateur ne contient que des nombres.

La solution est effectuée en multipliant les deux côtés de l’équation par b, l’équation prend alors la forme x = b*(d – c), c’est-à-dire le dénominateur de la fraction du côté gauche s’annule.

Par exemple, comment résoudre une équation fractionnaire :
x/5+4=9
On multiplie les deux côtés par 5. On obtient :
x+20=45
x=45-20=25

Autre exemple où l'inconnue est au dénominateur :

Les équations de ce type sont appelées fractionnaires-rationnelles ou simplement fractionnaires.

Nous résoudrions une équation fractionnaire en nous débarrassant des fractions, après quoi cette équation se transforme le plus souvent en une équation linéaire ou quadratique, qui est résolue de la manière habituelle. Il vous suffit de considérer les points suivants :

• la valeur d'une variable qui fait passer le dénominateur à 0 ne peut pas être une racine ;
• Vous ne pouvez pas diviser ou multiplier une équation par l’expression =0.

C'est ici qu'entre en vigueur le concept de région des valeurs admissibles (ADV) - ce sont les valeurs des racines de l'équation pour lesquelles l'équation a un sens.

Ainsi, lors de la résolution de l'équation, il est nécessaire de trouver les racines, puis de vérifier leur conformité à l'ODZ. Les racines qui ne correspondent pas à notre ODZ sont exclues de la réponse.

Par exemple, vous devez résoudre une équation fractionnaire :

D'après la règle ci-dessus, x ne peut pas être = 0, c'est-à-dire ODZ dans ce cas : x – toute valeur autre que zéro.

On se débarrasse du dénominateur en multipliant tous les termes de l'équation par x

Et nous résolvons l'équation habituelle

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Réponse : x = 1/3

Résolvons une équation plus compliquée :

ODZ est également présent ici : x -2.

Lors de la résolution de cette équation, nous ne déplacerons pas tout d'un côté et ne ramènerons pas les fractions à un dénominateur commun. Nous multiplierons immédiatement les deux côtés de l’équation par une expression qui annulera tous les dénominateurs d’un coup.

Pour réduire les dénominateurs, vous devez multiplier le côté gauche par x+2 et le côté droit par 2. Cela signifie que les deux côtés de l'équation doivent être multipliés par 2(x+2) :

Il s'agit de la multiplication de fractions la plus courante, dont nous avons déjà parlé ci-dessus.

Écrivons la même équation, mais légèrement différemment

Le côté gauche est réduit de (x+2), et le droit de 2. Après réduction, on obtient l'équation linéaire habituelle :

x = 4 – 2 = 2, ce qui correspond à notre ODZ

Réponse : x = 2.

Résoudre des équations avec des fractions pas aussi difficile que cela puisse paraître. Dans cet article, nous l'avons montré avec des exemples. Si vous rencontrez des difficultés avec comment résoudre des équations avec des fractions, puis désabonnez-vous dans les commentaires.

Dans ce sujet, nous considérerons les trois groupes de limites irrationnelles répertoriés ci-dessus. Commençons par des limites contenant une incertitude de la forme $\frac(0)(0)$.

Divulgation de l'incertitude $\frac(0)(0)$.

La solution aux exemples standards de ce type comprend généralement deux étapes :

• On se débarrasse de l'irrationalité qui a provoqué l'incertitude en multipliant par l'expression dite « conjuguée » ;
• Si nécessaire, factorisez l’expression au numérateur ou au dénominateur (ou les deux) ;
• Nous réduisons les facteurs conduisant à l'incertitude et calculons la valeur souhaitée de la limite.

Le terme « expression conjuguée » utilisé ci-dessus sera expliqué en détail dans les exemples. Il n’y a pour l’instant aucune raison de s’y attarder en détail. En général, on peut procéder dans l’autre sens, sans utiliser l’expression conjuguée. Parfois, un remplacement bien choisi peut éliminer l’irrationalité. De tels exemples sont rares dans les tests standards, nous ne considérerons donc qu'un seul exemple n°6 pour l'utilisation du remplacement (voir la deuxième partie de ce sujet).

Nous aurons besoin de plusieurs formules, que j'écrirai ci-dessous :

\begin(équation) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(equation) \begin(equation) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \end(équation) \begin(équation) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(equation) \begin (équation) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(équation)

De plus, nous supposons que le lecteur connaît les formules de résolution des équations quadratiques. Si $x_1$ et $x_2$ sont les racines du trinôme quadratique $ax^2+bx+c$, alors il peut être factorisé à l'aide de la formule suivante :

\begin(équation) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(equation)

Les formules (1) à (5) sont tout à fait suffisantes pour résoudre les problèmes standards, auxquels nous allons maintenant passer.

Exemple n°1

Recherchez $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Puisque $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ et $\lim_(x\ to 3) (x-3)=3-3=0$, alors dans la limite donnée nous avons une incertitude de la forme $\frac(0)(0)$. La différence $\sqrt(7-x)-2$ nous empêche de révéler cette incertitude. Afin de se débarrasser de telles irrationalités, la multiplication par ce qu'on appelle « l'expression conjuguée » est utilisée. Nous allons maintenant voir comment fonctionne une telle multiplication. Multipliez $\sqrt(7-x)-2$ par $\sqrt(7-x)+2$ :

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

Pour ouvrir les parenthèses, appliquez , en remplaçant $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ dans le côté droit de la formule mentionnée :

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Comme vous pouvez le voir, si vous multipliez le numérateur par $\sqrt(7-x)+2$, alors la racine (c'est-à-dire l'irrationalité) du numérateur disparaîtra. Cette expression $\sqrt(7-x)+2$ sera conjuguerà l'expression $\sqrt(7-x)-2$. Cependant, nous ne pouvons pas simplement multiplier le numérateur par $\sqrt(7-x)+2$, car cela changera la fraction $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$, qui est sous la limite. Vous devez multiplier le numérateur et le dénominateur en même temps :

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Rappelez-vous maintenant que $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ et ouvrez les parenthèses. Et après avoir ouvert les parenthèses et une petite transformation $3-x=-(x-3)$, on réduit la fraction de $x-3$ :

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\à 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\à 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

L'incertitude $\frac(0)(0)$ a disparu. Vous pouvez maintenant facilement obtenir la réponse de cet exemple :

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Je remarque que l'expression conjuguée peut changer de structure, en fonction du type d'irrationalité qu'elle doit supprimer. Dans les exemples n°4 et n°5 (voir la deuxième partie de ce sujet) un type différent d'expression conjuguée sera utilisé.

Répondre: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Exemple n°2

Recherchez $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Puisque $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ et $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, alors nous nous ont affaire à une incertitude de la forme $\frac(0)(0)$. Débarrassons-nous de l'irrationalité du dénominateur de cette fraction. Pour ce faire, nous ajoutons à la fois le numérateur et le dénominateur de la fraction $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ au expression $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ conjuguée au dénominateur :

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0 )(0)\right|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Encore une fois, comme dans l'exemple n°1, vous devez utiliser des parenthèses pour développer. En remplaçant $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ dans le côté droit de la formule mentionnée, nous obtenons l'expression suivante pour le dénominateur :

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ droite)=\\ =\gauche(\sqrt(x^2+5)\right)^2-\left(\sqrt(7x^2-19)\right)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Revenons à notre limite :

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

Dans l'exemple n°1, presque immédiatement après la multiplication par l'expression conjuguée, la fraction a été réduite. Ici, avant la réduction, vous devrez factoriser les expressions $3x^2-5x-2$ et $x^2-4$, et ensuite seulement procéder à la réduction. Pour factoriser l'expression $3x^2-5x-2$ vous devez utiliser . Tout d'abord, résolvons l'équation quadratique $3x^2-5x-2=0$ :

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(aligné) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(aligné) $$

En remplaçant $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ dans , nous aurons :

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\right)(x-2)=\left(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\right)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

Il est maintenant temps de factoriser l'expression $x^2-4$. Utilisons , en y remplaçant $a=x$, $b=2$ :

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Utilisons les résultats obtenus. Puisque $x^2-4=(x-2)(x+2)$ et $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, alors :

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2 -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

En réduisant par parenthèse $x-2$ on obtient :

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

Tous! L'incertitude a disparu. Encore un pas et nous arrivons à la réponse :

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2 ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Répondre: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4)$.

Dans l’exemple suivant, considérons le cas où des irrationalités seront présentes à la fois au numérateur et au dénominateur de la fraction.

Exemple n°3

Rechercher $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))$.

Puisque $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ et $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, alors on a une incertitude de la forme $ \frac (0)(0)$. Puisque dans ce cas les racines sont présentes à la fois au dénominateur et au numérateur, pour éliminer l'incertitude, vous devrez multiplier par deux parenthèses à la fois. Tout d'abord, à l'expression $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ conjuguée au numérateur. Et deuxièmement, à l'expression $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ conjuguée au dénominateur.

$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2 -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2 -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(aligned) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(aligné) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

Pour l'expression $x^2-8x+15$ on obtient :

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(aligné) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(aligné)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Remplacement des extensions résultantes $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ et $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ dans la limite à l’étude, aura :

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\à 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ carré(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\à 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Répondre: $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=-6$.

Dans la (deuxième) partie suivante, nous considérerons quelques exemples supplémentaires dans lesquels l'expression conjuguée aura une forme différente de celle des problèmes précédents. La principale chose à retenir est que le but de l’utilisation d’une expression conjuguée est de se débarrasser de l’irrationalité qui provoque l’incertitude.

Lorsqu'on étudie les transformations d'une expression irrationnelle, une question très importante est de savoir comment se débarrasser de l'irrationalité dans le dénominateur d'une fraction. Le but de cet article est d'expliquer cette action à l'aide d'exemples de problèmes spécifiques. Dans le premier paragraphe, nous examinerons les règles de base de cette transformation et dans le second, des exemples typiques avec des explications détaillées.

Le concept de libération de l'irrationalité au dénominateur

Commençons par expliquer quel est le sens d’une telle transformation. Pour ce faire, rappelez-vous les dispositions suivantes.

On peut parler d'irrationalité dans le dénominateur d'une fraction s'il y a un radical, également connu sous le nom de signe de la racine. Les nombres écrits avec ce signe sont souvent irrationnels. Les exemples seraient 1 2, - 2 x + 3, x + y x - 2 · x · y + 1, 11 7 - 5. Les fractions avec des dénominateurs irrationnels incluent également celles qui ont des signes de racines de différents degrés (carrées, cubiques, etc.), par exemple 3 4 3, 1 x + x · y 4 + y. Vous devez vous débarrasser de l'irrationalité pour simplifier l'expression et faciliter les calculs ultérieurs. Formulons la définition de base :

Définition 1

Libérez-vous de l'irrationalité du dénominateur d'une fraction- signifie le transformer en le remplaçant par une fraction identiquement égale, dont le dénominateur ne contient ni racines ni puissances.

Une telle action peut être appelée libération ou élimination de l’irrationalité, mais le sens reste le même. Donc, le passage de 1 2 à 2 2, c'est-à-dire à une fraction de valeur égale sans signe racine au dénominateur et sera l'action dont nous avons besoin. Donnons un autre exemple : nous avons une fraction x x - y. Effectuons les transformations nécessaires et obtenons une fraction identiquement égale x · x + y x - y , nous libérant de l'irrationalité du dénominateur.

Après avoir formulé la définition, nous pouvons procéder directement à l'étude de la séquence d'actions à effectuer pour une telle transformation.

Étapes de base pour se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur d'une fraction

Pour se débarrasser des racines, il faut effectuer deux transformations successives de la fraction : multiplier les deux parties de la fraction par un nombre autre que zéro, puis transformer l'expression obtenue au dénominateur. Considérons les principaux cas.

Dans le cas le plus simple, vous pouvez vous en sortir en transformant le dénominateur. Par exemple, on peut prendre une fraction dont le dénominateur est égal à la racine de 9. Après avoir calculé 9, on écrit 3 au dénominateur et on se débarrasse ainsi de l'irrationalité.

Cependant, bien plus souvent il faut d'abord multiplier le numérateur et le dénominateur par un nombre qui permettra ensuite d'amener le dénominateur à la forme souhaitée (sans racines). Ainsi, si on multiplie 1 x + 1 par x + 1, on obtient la fraction x + 1 x + 1 x + 1 et on peut remplacer l'expression dans son dénominateur par x + 1. Nous avons donc transformé 1 x + 1 en x + 1 x + 1, éliminant ainsi l'irrationalité.

Parfois, les transformations que vous devez effectuer sont assez spécifiques. Regardons quelques exemples illustratifs.

Comment convertir une expression au dénominateur d'une fraction

Comme nous l’avons dit, le moyen le plus simple de procéder est de convertir le dénominateur.

Exemple 1

Condition: libérer la fraction 1 2 · 18 + 50 de l'irrationalité du dénominateur.

Solution

Tout d'abord, ouvrons les parenthèses et obtenons l'expression 1 2 18 + 2 50. En utilisant les propriétés de base des racines, passons à l'expression 1 2 18 + 2 50. Nous calculons les valeurs des deux expressions sous les racines et obtenons 1 36 + 100. Ici, vous pouvez déjà extraire les racines. En conséquence, nous avons obtenu la fraction 1 6 + 10, égale à 1 16. La transformation peut être complétée ici.

Écrivons l'avancement de l'ensemble de la solution sans commentaire :

1 2 18 + 50 = 1 2 18 + 2 50 = 1 2 18 + 2 50 = 1 36 + 100 = 1 6 + 10 = 1 16

Répondre: 1 2 18 + 50 = 1 16.

Exemple 2

Condition:étant donné la fraction 7 - x (x + 1) 2. Débarrassez-vous de l'irrationalité dans le dénominateur.

Solution

Plus tôt dans l'article consacré aux transformations d'expressions irrationnelles utilisant les propriétés des racines, nous avons mentionné que pour tout A et même n on peut remplacer l'expression A n n par | Un | sur toute la plage des valeurs admissibles des variables. Par conséquent, dans notre cas, nous pouvons l'écrire ainsi : 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1. Nous nous libérons ainsi de l’irrationalité du dénominateur.

Répondre: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1.

Se débarrasser de l'irrationalité en multipliant par la racine

Si le dénominateur d'une fraction contient une expression de la forme A et que l'expression A elle-même n'a pas de signes de racines, alors nous pouvons nous libérer de l'irrationalité en multipliant simplement les deux côtés de la fraction originale par A. La possibilité de cette action est déterminée par le fait que A ne deviendra pas 0 dans la plage des valeurs acceptables. Après multiplication, le dénominateur contiendra une expression de la forme A · A, dont il est facile de se débarrasser des racines : A · A = A 2 = A. Voyons comment appliquer correctement cette méthode dans la pratique.

Exemple 3

Condition: fractions données x 3 et - 1 x 2 + y - 4. Débarrassez-vous de l'irrationalité de leurs dénominateurs.

Solution

Multiplions la première fraction par la deuxième racine de 3. Nous obtenons ce qui suit :

x 3 = x 3 3 3 = x 3 3 2 = x 3 3

Dans le second cas, il faut multiplier par x 2 + y - 4 et transformer l'expression résultante au dénominateur :

1 x 2 + y - 4 = - 1 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 = = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 2 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4

Répondre: x 3 = x · 3 3 et - 1 x 2 + y - 4 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 .

Si le dénominateur de la fraction originale contient des expressions de la forme A n m ou A m n (sous réserve de m et n naturels), nous devons choisir un facteur tel que l'expression résultante puisse être convertie en A n n k ou A n k n (sous réserve de naturel k) . Après cela, il sera facile de se débarrasser de l’irrationalité. Regardons cet exemple.

Exemple 4

Condition:étant données les fractions 7 6 3 5 et x x 2 + 1 4 15. Débarrassez-vous de l'irrationalité des dénominateurs.

Solution

Nous devons prendre un nombre naturel qui peut être divisé par cinq et qui doit être supérieur à trois. Pour que l'exposant 6 devienne égal à 5, il faut multiplier par 6 2 5. Par conséquent, nous devrons multiplier les deux parties de la fraction originale par 6 2 5 :

7 6 3 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 = 7 6 2 5 6 5 5 = 7 6 2 5 6 = 7 36 5 6

Dans le deuxième cas, il nous faut un nombre supérieur à 15, qui peut être divisé par 4 sans reste. Nous en prenons 16. Pour obtenir un tel exposant au dénominateur, nous devons prendre x 2 + 1 4 comme facteur. Précisons que la valeur de cette expression ne sera en aucun cas 0. On calcule :

x x 2 + 1 4 15 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 15 x 2 + 1 4 = = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 16 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 4 4 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4

Répondre: 7 6 3 5 = 7 · 36 5 6 et x x 2 + 1 4 15 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 .

Se débarrasser de l'irrationalité en multipliant par l'expression conjuguée

La méthode suivante convient aux cas où le dénominateur de la fraction originale contient les expressions a + b, a - b, a + b, a - b, a + b, a - b. Dans de tels cas, nous devons prendre l’expression conjuguée comme facteur. Expliquons le sens de ce concept.

Pour la première expression a + b le conjugué sera a - b, pour la seconde a - b – a + b. Pour a + b – a - b, pour a - b – a + b, pour a + b – a - b et pour a - b – a + b. Autrement dit, une expression conjuguée est une expression dans laquelle le signe opposé apparaît avant le deuxième terme.

Voyons en quoi consiste exactement cette méthode. Disons que nous avons un produit de la forme a - b · a + b. Elle peut être remplacée par la différence des carrés a - b · a + b = a 2 - b 2, après quoi on passe à l'expression a - b, dépourvue de radicaux. Ainsi, nous nous sommes libérés de l'irrationalité du dénominateur de la fraction en multipliant par l'expression conjuguée. Prenons quelques exemples illustratifs.

Exemple 5

Condition: débarrassez-vous de l'irrationalité des expressions 3 7 - 3 et x - 5 - 2.

Solution

Dans le premier cas, on prend l'expression conjuguée égale à 7 + 3. Maintenant, nous multiplions les deux parties de la fraction originale par celle-ci :

3 7 - 3 = 3 7 + 3 7 - 3 7 + 3 = 3 7 + 3 7 2 - 3 2 = = 3 7 + 3 7 - 9 = 3 7 + 3 - 2 = - 3 7 + 3 2

Dans le second cas, nous avons besoin de l'expression - 5 + 2, qui est le conjugué de l'expression - 5 - 2. Multipliez le numérateur et le dénominateur par celui-ci et obtenez :

x - 5 - 2 = x · - 5 + 2 - 5 - 2 · - 5 + 2 = = x · - 5 + 2 - 5 2 - 2 2 = x · - 5 + 2 5 - 2 = x · 2 - 5 3

Il est également possible d'effectuer une transformation avant de multiplier : si l'on supprime d'abord le moins du dénominateur, il sera plus pratique de calculer :

x - 5 - 2 = - x 5 + 2 = - x 5 - 2 5 + 2 5 - 2 = = - x 5 - 2 5 2 - 2 2 = - x 5 - 2 5 - 2 = - x · 5 - 2 3 = = x · 2 - 5 3

Répondre: 3 7 - 3 = - 3 7 + 3 2 et x - 5 - 2 = x 2 - 5 3.

Il est important de faire attention au fait que l'expression obtenue à la suite de la multiplication ne se transforme en 0 pour aucune variable comprise dans la plage de valeurs acceptables pour cette expression.

Exemple 6

Condition:étant donné la fraction x x + 4. Transformez-le pour qu'il n'y ait pas d'expressions irrationnelles dans le dénominateur.

Solution

Commençons par trouver la plage de valeurs acceptables pour la variable x. Il est défini par les conditions x ≥ 0 et x + 4 ≠ 0. D’eux, nous pouvons conclure que la région souhaitée est un ensemble x ≥ 0.

Le conjugué du dénominateur est x - 4 . Quand pouvons-nous multiplier par cela ? Seulement si x - 4 ≠ 0. Dans la plage des valeurs acceptables, cela équivaudra à la condition x≠16. En conséquence, nous obtenons ce qui suit :

x x + 4 = x x - 4 x + 4 x - 4 = = x x - 4 x 2 - 4 2 = x x - 4 x - 16

Si x est égal à 16, alors on obtient :

x x + 4 = 16 16 + 4 = 16 4 + 4 = 2

Par conséquent, x x + 4 = x · x - 4 x - 16 pour toutes les valeurs de x appartenant à la plage des valeurs acceptables, à l'exception de 16. À x = 16, nous obtenons x x + 4 = 2.

Répondre: x x + 4 = x · x - 4 x - 16 , x ∈ [ 0 , 16) ∪ (16 , + ∞) 2 , x = 16 .

Conversion de fractions avec irrationalité au dénominateur à l'aide de formules de somme et de différence de cubes

Dans le paragraphe précédent, nous avons multiplié par des expressions conjuguées pour ensuite utiliser la formule de la différence des carrés. Parfois, pour se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur, il est utile d'utiliser d'autres formules de multiplication abrégées, par exemple, différence de cubes une 3 − b 3 = (une − b) (une 2 + une b + b 2). Cette formule est pratique à utiliser si le dénominateur de la fraction originale contient des expressions avec des racines du troisième degré de la forme A 3 - B 3, A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2. etc. Pour l'appliquer, il faut multiplier le dénominateur de la fraction par le carré partiel de la somme A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 ou la différence A 3 - B 3. La formule de somme peut être appliquée de la même manière une 3 + b 3 = (une) (une 2 − une b + b 2).

Exemple 7

Condition: transformer les fractions 1 7 3 - 2 3 et 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 afin d'éliminer l'irrationalité du dénominateur.

Solution

Pour la première fraction, nous devons utiliser la méthode de multiplication des deux parties par le carré partiel de la somme 7 3 et 2 3, car nous pouvons ensuite convertir en utilisant la formule de la différence des cubes :

1 7 3 - 2 3 = 1 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 - 2 3 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 = = 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 3 - 2 3 3 = 7 2 3 + 7 2 3 + 2 2 3 7 - 2 = = 49 3 + 14 3 + 4 3 5

Dans la deuxième fraction, nous représentons le dénominateur comme 2 2 - 2 x 3 + x 3 2. Cette expression montre le carré incomplet de la différence 2 et x 3, ce qui signifie que nous pouvons multiplier les deux parties de la fraction par la somme 2 + x 3 et utiliser la formule de la somme des cubes. Pour ce faire, la condition 2 + x 3 ≠ 0 doit être remplie, équivalente à x 3 ≠ - 2 et x ≠ − 8 :

3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 = = 3 2 + x 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 2 + x 3 = 6 + 3 x 3 2 3 + x 3 3 = = 6 + 3 x 3 8 + x

Remplaçons 8 dans la fraction et trouvons la valeur :

3 4 - 2 8 3 + 8 2 3 = 3 4 - 2 2 + 4 = 3 4

Résumons. Pour tout x inclus dans la plage de valeurs de la fraction d'origine (ensemble R), à l'exception de - 8, on obtient 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x. Si x = 8, alors 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 4.

Répondre: 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x, x ≠ 8 3 4, x = - 8.

Application cohérente de différentes méthodes de conversion

Souvent, dans la pratique, il existe des exemples plus complexes où nous ne pouvons pas nous libérer de l'irrationalité du dénominateur en utilisant une seule méthode. Pour eux, vous devez effectuer systématiquement plusieurs transformations ou sélectionner des solutions non standard. Prenons un de ces problèmes.

Exemple N

Condition: convertissez 5 7 4 - 2 4 pour éliminer les signes des racines dans le dénominateur.

Solution

Multiplions les deux côtés de la fraction originale par l'expression conjuguée 7 4 + 2 4 avec une valeur non nulle. Nous obtenons ce qui suit :

5 7 4 - 2 4 = 5 7 4 + 2 4 7 4 - 2 4 7 4 + 2 4 = = 5 7 4 + 2 4 7 4 2 - 2 4 2 = 5 7 4 + 2 4 7 - 2

Maintenant, utilisons à nouveau la même méthode :

5 7 4 + 2 4 7 - 2 = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 - 2 7 + 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 2 - 2 2 = 5 7 4 + 7 4 7 + 2 7 - 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 5 = 7 4 + 2 4 7 + 2

Répondre: 5 7 4 - 2 4 = 7 4 + 2 4 · 7 + 2.

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