La méthode de rationalisation permet de passer d'inégalités contenant des exponentielles complexes, des logarithmiques, etc. expression, à son équivalent inégalité rationnelle plus simple.

Par conséquent, avant de commencer à parler de rationalisation des inégalités, parlons d’équivalence.

Équivalence

Equivalent ou équivalent sont appelées équations (inégalités) dont les ensembles de racines coïncident. Les équations (inégalités) qui n'ont pas de racines sont également considérées comme équivalentes.

Exemple 1. Les équations et sont équivalentes car elles ont les mêmes racines.

Exemple 2. Les équations et sont également équivalentes, puisque la solution de chacune d’elles est l’ensemble vide.

Exemple 3. Les inégalités et sont équivalentes, puisque la solution des deux est l’ensemble .

Exemple 4. et – sont inégaux. La solution de la deuxième équation est seulement 4, et la solution de la première est à la fois 4 et 2.

Exemple 5. L'inégalité est équivalente à l'inégalité, puisque dans les deux inégalités, la solution est 6.

Autrement dit, en apparence, des inégalités (équations) équivalentes peuvent être très loin d’être similaires.

En fait, lorsque nous résolvons des équations (inégalités) longues et complexes, comme celle-ci, et obtenons la réponse, ce que nous avons entre les mains n’est rien de plus qu’une équation (inégalité) équivalente à l’équation originale. Le look est différent, mais l’essence est la même !

Exemple 6. Rappelons-nous comment nous avons résolu les inégalités avant de vous familiariser avec la méthode des intervalles. Nous avons remplacé l'inégalité d'origine par un ensemble de deux systèmes :

Autrement dit, l’inégalité et le dernier agrégat sont équivalents.

Aussi, nous pourrions, ayant entre nos mains la totalité

remplacez-le par une inégalité, qui peut être résolue en un rien de temps par la méthode des intervalles.

Nous nous sommes rapprochés de la méthode de rationalisation des inégalités logarithmiques.

Méthode de rationalisation dans les inégalités logarithmiques

Considérons les inégalités.

On représente 4 sous forme de logarithme :

Nous avons affaire à une base variable du logarithme donc, selon que la base du logarithme est supérieure à 1 ou inférieure à 1 (c'est-à-dire qu'il s'agit d'une fonction croissante ou décroissante), le signe d'inégalité restera le idem ou remplacer par « ». Par conséquent, une combinaison (union) de deux systèmes apparaît :

Mais, ATTENTION, ce système doit être décidé en tenant compte du DL ! Je n'ai délibérément pas chargé le système ODZ afin que l'idée principale ne soit pas perdue.

Écoutez, nous allons maintenant réécrire notre système comme ceci (nous allons déplacer tout ce qui se trouve dans chaque ligne de l'inégalité vers la gauche) :

Cela vous rappelle-t-il quelque chose? Par analogie avec exemple 6 Nous remplacerons cet ensemble de systèmes par l'inégalité suivante :

Après avoir résolu cette inégalité sur l'ODZ, nous obtenons une solution à l'inégalité.

Trouvons d'abord l'ODZ de l'inégalité d'origine :

Maintenant décidons

Solution de la dernière inégalité prenant en compte l'ODZ :

Alors voilà, ce tableau « magique » :

Notez que la table fonctionne sous la condition

où sont les fonctions de ,

– fonction ou numéro,

- un des signes

Notez également que les deuxième et troisième lignes du tableau sont des conséquences de la première. Dans la deuxième ligne, 1 est d'abord représenté par , et dans la troisième ligne, 0 est représenté par .

Et quelques autres conséquences utiles (j'espère qu'il vous sera facile de comprendre d'où elles viennent) :

où sont les fonctions de ,

– fonction ou numéro,

- un des signes

Méthode de rationalisation dans les inégalités exponentielles

Résolvons l'inégalité.

Résoudre l'inégalité d'origine équivaut à résoudre l'inégalité

Répondre: .

Tableau de rationalisation en inégalités exponentielles :

– fonctions de , – fonction ou nombre, – un des signes La table fonctionne sous la condition . Également dans les troisième et quatrième lignes – en plus –

Encore une fois, vous devez essentiellement vous souvenir des première et troisième lignes du tableau. La deuxième ligne est un cas particulier de la première et la quatrième ligne est un cas particulier de la troisième.

Méthode de rationalisation dans les inégalités contenant un module

Lorsque nous travaillons avec des inégalités de type , où sont des fonctions d'une variable, nous pouvons nous laisser guider par les transitions équivalentes suivantes :

Résolvons les inégalités. »

UN Ici Je suggère également Considérons quelques exemples sur le thème « Rationalisation des inégalités ».

Sections: Mathématiques

Souvent, lors de la résolution d'inégalités logarithmiques, des problèmes surviennent avec une base de logarithme variable. Ainsi, une inégalité de la forme

est une inégalité scolaire standard. En règle générale, pour le résoudre, une transition vers un ensemble équivalent de systèmes est utilisée :

L’inconvénient de cette méthode est la nécessité de résoudre sept inégalités, sans compter deux systèmes et une population. Déjà avec ces fonctions quadratiques, la résolution de la population peut prendre beaucoup de temps.

Il est possible de proposer une manière alternative, moins chronophage, de résoudre cette inégalité standard. Pour ce faire, nous prenons en compte le théorème suivant.

Théorème 1. Soit une fonction croissante continue sur un ensemble X. Alors sur cet ensemble le signe de l'incrément de la fonction coïncidera avec le signe de l'incrément de l'argument, c'est-à-dire , Où .

Remarque : s'il s'agit d'une fonction décroissante continue sur un ensemble X, alors .

Revenons aux inégalités. Passons au logarithme décimal (vous pouvez passer à n'importe lequel avec une base constante supérieure à un).

Vous pouvez maintenant utiliser le théorème en remarquant l'incrément des fonctions au numérateur et au dénominateur. Donc c'est vrai

En conséquence, le nombre de calculs menant à la réponse est réduit d'environ la moitié, ce qui permet non seulement de gagner du temps, mais vous permet également de commettre potentiellement moins d'erreurs arithmétiques et d'inattention.

Exemple 1.

En comparant avec (1), on trouve , , .

En passant à (2), nous aurons :

Exemple 2.

En comparant avec (1), nous trouvons , , .

En passant à (2), nous aurons :

Exemple 3.

Puisque le côté gauche de l’inégalité est une fonction croissante à mesure que , alors la réponse sera multiple.

Les nombreux exemples dans lesquels le Thème 1 peut être appliqué peuvent facilement être élargis en prenant en compte le Thème 2.

Laisse sur le plateau X les fonctions , , , sont définies, et sur cet ensemble les signes et coïncident, c'est-à-dire , alors ce sera juste.

Exemple 4.

Exemple 5.

Avec l'approche standard, l'exemple est résolu selon le schéma suivant : le produit est inférieur à zéro lorsque les facteurs sont de signes différents. Ceux. on considère un ensemble de deux systèmes d'inégalités dans lesquels, comme indiqué au début, chaque inégalité se décompose en sept autres.

Si l'on prend en compte le théorème 2, alors chacun des facteurs, compte tenu de (2), peut être remplacé par une autre fonction qui a le même signe dans cet exemple O.D.Z.

La méthode consistant à remplacer l'incrément d'une fonction par un incrément d'argument, en tenant compte du théorème 2, s'avère très pratique pour résoudre les problèmes standard de l'examen d'État unifié C3.

Exemple 6.

Exemple 7.

. Notons . On a

. A noter que le remplacement implique : . En revenant à l'équation, on obtient .

Exemple 8.

Dans les théorèmes que nous utilisons, il n’y a aucune restriction sur les classes de fonctions. Dans cet article, à titre d’exemple, les théorèmes ont été appliqués à la résolution d’inégalités logarithmiques. Les quelques exemples suivants démontreront la promesse de la méthode pour résoudre d’autres types d’inégalités.

Établissement d'enseignement municipal autonome « ​​École secondaire Yarkovskaya »

Projet pédagogique

Résoudre les inégalités logarithmiques à l'aide de la méthode de rationalisation

MAOU "École secondaire Yarkovskaya"

Shanskikh Daria

Responsable : professeur de mathématiques

MAOU "École secondaire Yarkovskaya"

Iarkovo 2013

1) Introduction……………………………………………………….2

2) Partie principale……………………………………………………………………..3

3) Conclusion……………………………………………………..9

4) Liste des références…………….10

5) Candidatures……………………………………………………………11-12

1. Introduction

Souvent, lors de la résolution des tâches USE de la partie « C », et notamment dans les tâches C3, vous rencontrez des inégalités contenant des expressions logarithmiques avec une inconnue dans la base du logarithme. Par exemple, voici une inégalité standard :

En règle générale, pour résoudre de tels problèmes, la méthode classique est utilisée, c'est-à-dire qu'une transition vers un ensemble équivalent de systèmes est utilisée.

Avec l'approche standard, l'exemple est résolu selon le schéma suivant : le produit est inférieur à zéro lorsque les facteurs sont de signes différents. Autrement dit, un ensemble de deux systèmes d'inégalités est considéré, dans lequel chaque inégalité est divisée en sept autres. Par conséquent, nous pouvons proposer une méthode moins longue pour résoudre cette inégalité standard. Il s'agit d'une méthode de rationalisation connue dans la littérature mathématique sous le nom de décomposition.

À la fin du projet, je me suis fixé les objectifs suivants :

1) Maîtriser cette technique de décision

2) Pratiquez les compétences de résolution des tâches C3 issues des travaux de formation et de diagnostic en 2013.

Objectif du projetest d'étudier les bases théoriques de la méthode de rationalisation.

PertinenceLe travail réside dans le fait que cette méthode permet de résoudre avec succès les inégalités logarithmiques de la partie C3 de l'examen d'État unifié en mathématiques.

2. Partie principale

Considérons une inégalité logarithmique de la forme

taille de police : 14,0 pt ; hauteur de ligne:150%">, (1)

où font-size:14.0pt;line-height:150%"> La méthode standard pour résoudre une telle inégalité consiste à analyser deux cas dans la plage de valeurs acceptables de l'inégalité.

Dans le premier cas, lorsque les bases des logarithmes satisfont à la condition

taille de police : 14,0 pt ; line-height:150%">, le signe d'inégalité est dessiné : font-size:14.0pt;line-height:150%">Dans le deuxième cas , lorsque la base satisfait à la condition, le signe d'inégalité est conservé : .

À première vue, tout est logique, considérons deux cas puis combinons les réponses. Certes, lorsqu'on considère le deuxième cas, un certain inconfort apparaît - il faut répéter 90 pour cent des calculs du premier cas (transformer, trouver les racines des équations auxiliaires, déterminer les intervalles de monotonie du signe). Une question naturelle se pose : est-il possible de combiner tout cela d’une manière ou d’une autre ?

La réponse à cette question est contenue dans le théorème suivant.

Théorème 1. Inégalité logarithmique

font-size:14.0pt;line-height:150%">équivalent au système d'inégalités suivant :

taille de police : 14,0 pt ; hauteur de ligne:150%"> (2)

Preuve.

1. Commençons par le fait que les quatre premières inégalités du système (2) définissent l'ensemble des valeurs admissibles de l'inégalité logarithmique d'origine. Tournons maintenant notre attention vers la cinquième inégalité. Si taille de police : 14,0 pt ; line-height:150%">, alors le premier facteur de cette inégalité sera négatif. En le réduisant, vous devrez changer le signe de l'inégalité en celui opposé, vous obtiendrez alors l'inégalité .

Si , Que le premier facteur de la cinquième inégalité est positif, on l'annule sans changer le signe de l'inégalité, on obtient l'inégalité font-size:14.0pt;line-height: 150%"> Ainsi, la cinquième inégalité du système inclut les deux cas de la méthode précédente.

Le sujet a été prouvé.

Dispositions fondamentales de la théorie de la méthode de rationalisation.

La méthode de rationalisation consiste à remplacer une expression complexe F(x ) à une expression plus simple G(x ), auquel l'inégalité G(x )EN-US" style="font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:Calibri">F(X )0 dans la zone de définition de l'expression F(x).

Soulignons quelques expressions F et leurs expressions rationalisantes correspondantes G, où u, v, , p, q - des expressions à deux variables ( u > 0 ; vous ≠ 1 ; v > 0, > 0), un - nombre fixe (un > 0, un ≠ 1).

Preuve

1. Laissez logav - logaφ > 0, c'est logav > logaφ, et une > 0, une ≠ 1, v > 0,

φ > 0.

Si 0< un < 1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем v < φ . Cela signifie que le système d’inégalités est valable

un -1<0

v – φ < 0

D'où découle l'inégalité (un – 1)( v – φ ) > 0 vrai dans le domaine de l'expressionF = logav - logaφ.

Si un > 1, Que v > φ . Il existe donc une inégalité ( un – 1)( v – φ )> 0. A l’inverse, si l’inégalité persiste ( un – 1)( v – φ )> 0 sur la plage de valeurs acceptables ( un > 0, un ≠ 1, v> 0, φ > 0),alors dans cette région cela équivaut à la combinaison de deux systèmes.

un – 1<0 un – 1 > 0

v – φ < 0 v – φ > 0

Tout système implique l'inégalitélogav > logaφ, c'est logav - logaφ > 0.

De même, nous considérons les inégalités F< 0, F ≤ 0, F ≥ 0.

2. Laissez un certain nombre UN> 0 et UN≠ 1, alors on a

logu v- loguφ = FR-US" style="font-size:14.0pt;line-height:150%">v - 1)( toi- 1)(φ –toi).

4.Des inégalités UV- uφ > 0 devrait UV > uφ. Laissez le nombre a > 1, alorsjournal UV > logauφ ou

( toi – φ) journal toi > 0.

Ainsi, en tenant compte du remplacement 1b et de la conditionun > 1 on a

( v – φ)( un – 1)( toi – 1) > 0, ( v – φ)( toi – 1) > 0. De même, les inégalités sont prouvées F< 0,

F ≤ 0, F ≥ 0.

5. La preuve est similaire à la preuve 4.

6. La preuve de substitution 6 découle de l'équivalence des inégalités | p | > | q | et p 2 > q 2

(|p|< | q | и p 2 < q 2 ).

Comparons le volume de solutions aux inégalités contenant une variable dans la base du logarithme en utilisant la méthode classique et la méthode de rationalisation

3. Conclusion

Je crois que les objectifs que je me suis fixés à la fin des travaux ont été atteints. Le projet est d'une importance pratique, puisque la méthode proposée dans l'ouvrage peut simplifier considérablement la solution des inégalités logarithmiques. En conséquence, le nombre de calculs menant à la réponse est réduit d'environ la moitié, ce qui permet non seulement de gagner du temps, mais vous permet également de commettre potentiellement moins d'erreurs arithmétiques et d'inattention. Maintenant, pour résoudre les problèmes C3, j'utilise cette méthode.

4. Liste de la littérature utilisée

1. , – Méthodes de résolution des inégalités à une variable. – 2011.

2. – Manuel de mathématiques. – 1972.

3. - Mathématiques pour les candidats. Moscou : MTsNMO, 2008.

Ezhova Elena Sergueïevna
Titre d'emploi: professeur de mathématiques
Établissement d'enseignement :Établissement d'enseignement municipal "École secondaire n°77"
Localité: Saratov
Nom du matériau : développement méthodologique
Sujet: Méthode de rationalisation pour résoudre les inégalités en préparation à l'examen d'État unifié"
Date de publication: 16.05.2018
Chapitre:éducation complète

Évidemment, une même inégalité peut être résolue de plusieurs manières. Avec succès

de la manière choisie ou, comme on disait, de manière rationnelle, tout

les inégalités seront résolues rapidement et facilement, leur solution sera belle et intéressante.

Je voudrais examiner plus en détail la méthode dite de rationalisation lorsque

résoudre des inégalités logarithmiques et exponentielles, ainsi que des inégalités contenant

variable sous le signe du module.

L'idée principale de la méthode.

La méthode de remplacement des facteurs résout des inégalités qui peuvent être réduites à la forme

Où est le symbole "

" désigne l'un des quatre signes d'inégalité possibles :

Lors de la résolution de l'inégalité (1), nous ne nous intéressons qu'au signe de tout facteur du numérateur

ou dénominateur, et non sa valeur absolue. Par conséquent, si pour une raison quelconque nous

il n'est pas pratique de travailler avec ce multiplicateur, on peut le remplacer par un autre

coïncidant en signe avec lui dans le domaine de la définition de l'inégalité et ayant dans ce domaine

les mêmes racines.

Cela détermine l'idée principale de la méthode de remplacement du multiplicateur. Il est important de noter que

le fait que le remplacement des facteurs ne s'effectue qu'à condition de ramener l'inégalité

pour former (1), c'est-à-dire lorsqu'il faut comparer le produit avec zéro.

L'essentiel du remplacement est dû aux deux déclarations équivalentes suivantes.

Énoncé 1. La fonction f(x) est strictement croissante si et seulement si pour

toutes les valeurs de t

) coïncide avec

signe avec la différence (f(t

)), c'est-à-dire f<=>(t

(↔ signifie coïncidence de signe)

Énoncé 2. La fonction f(x) est strictement décroissante si et seulement si pour

toutes les valeurs de t

du domaine de définition de la fonction différence (t

) coïncide avec

signe avec la différence (f(t

)), c'est-à-dire f ↓<=>(t

La justification de ces affirmations découle directement de la définition de strictement

fonction monotone. D'après ces déclarations, on peut établir que

La différence de degrés pour une même base coïncide toujours en signe avec

le produit de la différence entre les indices de ces puissances et l'écart de la base à l'unité,

La différence des logarithmes par rapport à une même base coïncide toujours en signe avec

le produit de la différence entre les nombres de ces logarithmes et l'écart de la base par rapport à l'unité, alors

Le fait que la différence des quantités non négatives coïncide en signe avec la différence

les carrés de ces quantités permettent les substitutions suivantes :

Résoudre l'inégalité

Solution.

Passons à un système équivalent :

De la première inégalité on obtient

La deuxième inégalité vaut pour tous

De la troisième inégalité on obtient

Ainsi, l’ensemble des solutions à l’inégalité initiale est :

Résoudre l'inégalité

Solution.

Résolvons l'inégalité :

RÉPONSE : (−4 ; −3)

Résoudre les inégalités

Réduisons l'inégalité à une forme dans laquelle la différence des valeurs du logarithmique

Remplaçons la différence entre les valeurs de la fonction logarithmique et la différence entre les valeurs de l'argument. DANS

le numérateur est une fonction croissante et le dénominateur est décroissant, donc le signe d'inégalité

changera à l’opposé. Il est important de ne pas oublier de prendre en compte le domaine de définition

fonction logarithmique, donc cette inégalité équivaut à un système d'inégalités.

Racines du numérateur : 8 ; 8 ;

Dénominateur racine : 1

Résoudre les inégalités

Remplaçons au numérateur la différence entre les modules de deux fonctions par la différence de leurs carrés, et dans

le dénominateur est la différence entre les valeurs de la fonction logarithmique et la différence des arguments.

Le dénominateur a une fonction décroissante, ce qui signifie que le signe de l'inégalité deviendra

opposé.

Dans ce cas, il faut prendre en compte le domaine de définition du logarithmique

Résolvons la première inégalité en utilisant la méthode des intervalles.

Racines du numérateur :

Racines du dénominateur :

Résoudre les inégalités

Remplaçons la différence des valeurs des fonctions monotones au numérateur et au dénominateur par la différence

valeurs des arguments, en tenant compte du domaine de définition des fonctions et de la nature de la monotonie.

Racines du numérateur :

Racines du dénominateur :

Les remplacements les plus fréquemment utilisés (hors O D Z).

a) Remplacement des facteurs de signe constants.

b) Remplacement des multiplicateurs non constants par module.

c) Remplacement des facteurs de signe inconnu par des facteurs exponentiels et logarithmiques

expressions.

Solution. ODZ :

Remplacement des multiplicateurs :

Nous avons un système :

Dans cette inégalité, il n'est plus possible de prendre en compte

être considérées comme des différences de quantités non négatives, puisque les expressions 1

ODZ peut prendre des valeurs positives et négatives.

Nous avons un système :

Remplacement des multiplicateurs :

Nous avons un système :

Remplacement des multiplicateurs :

Nous avons un système :

Remplacement des multiplicateurs :

Nous avons un système :

On a donc : x

Méthode de rationalisation(méthode de décomposition, méthode de remplacement du multiplicateur, méthode de remplacement

les fonctions, règle des signes) consiste à remplacer l’expression complexe F(x) par une expression plus

expression simple G(x), sous laquelle l'inégalité G(x)

0 équivaut à l'inégalité F (x

0 dans le domaine de définition de l’expression F(x).

Sections: Mathématiques

La pratique du contrôle des copies d'examen montre que la plus grande difficulté pour les écoliers est de résoudre les inégalités transcendantales, notamment les inégalités logarithmiques à base variable. Par conséquent, le résumé de la leçon proposé à votre attention est une présentation de la méthode de rationalisation (autres noms - la méthode de décomposition (Modenov V.P.), la méthode de remplacement des facteurs (Golubev V.I.)), qui permet de réduire des complexes logarithmiques, exponentiels, combinés inégalités à un système d'inégalités rationnelles plus simples En règle générale, la méthode des intervalles appliquée aux inégalités rationnelles est bien comprise et pratiquée au moment où le sujet « Résolution des inégalités logarithmiques » est étudié. Par conséquent, les étudiants perçoivent avec beaucoup d'intérêt et d'enthousiasme les méthodes qui leur permettent de simplifier la solution, de la rendre plus courte et, finalement, de gagner du temps sur l'examen d'État unifié pour résoudre d'autres tâches.

Objectifs de la leçon:

• Éducatif: mise à jour des connaissances de base lors de la résolution d'inégalités logarithmiques ; introduction d’une nouvelle manière de résoudre les inégalités ; améliorer les compétences en matière de solutions
• Du développement: développement des perspectives mathématiques, discours mathématique, pensée analytique
• Éducatif: éducation à la précision et à la maîtrise de soi.

PENDANT LES COURS

1. Moment organisationnel. Salutations. Fixer des objectifs de cours.

2. Étape préparatoire :

Résoudre les inégalités :

3. Vérifier les devoirs(N° 11.81*a)

Lors de la résolution de l'inégalité

Vous deviez utiliser le schéma suivant pour résoudre des inégalités logarithmiques à base variable :

Ceux. Il faut considérer 2 cas : la base est supérieure à 1 ou la base est inférieure à 1.

4. Explication du nouveau matériel

Si vous regardez attentivement ces formules, vous remarquerez que le signe de la différence g(X) – h(X) coïncide avec le signe du journal de différence F(X) g(X) - enregistrer F(X) h(X) dans le cas d'une fonction croissante ( F(X) > 1, soit F(X) – 1 > 0) et est opposé au signe du log de différence F(X) g(X) - enregistrer F(X) h(X) dans le cas d'une fonction décroissante (0< F(X) < 1, т.е. F(X) – 1 < 0)

Par conséquent, cet ensemble peut être réduit à un système d’inégalités rationnelles :

C'est l'essence de la méthode de rationalisation : remplacer l'expression plus complexe A par une expression plus simple B, qui est rationnelle. Dans ce cas, l'inégalité B V 0 sera équivalente à l'inégalité A V 0 sur le domaine de définition de l'expression A.

Exemple 1. Réécrivons l'inégalité sous la forme d'un système équivalent d'inégalités rationnelles.

Notez que les conditions (1) à (4) sont des conditions pour le domaine de définition de l'inégalité, que je recommande de trouver au début de la solution.

Exemple 2. Résoudre l'inégalité en utilisant la méthode de rationalisation :

Le domaine de définition de l’inégalité est précisé par les conditions :

On a:

Reste à écrire l'inégalité (5)

Prise en compte du domaine de définition

Réponse : (3 ; 5)

5. Consolidation du matériel étudié

I. Écrivez l'inégalité comme un système d'inégalités rationnelles :

II. Présentez le membre droit de l'inégalité sous forme de logarithme à la base souhaitée et passez au système équivalent :

L'enseignant appelle au tableau les élèves qui ont noté les systèmes des groupes I et II, et invite l'un des élèves les plus forts à résoudre l'inégalité du logement (n° 11.81*a) en utilisant la méthode de rationalisation.

6. Travaux d'essai

Option 1

Option 2

1. Écrivez un système d'inégalités rationnelles pour résoudre les inégalités :

2. Résoudre les inégalités en utilisant la méthode de rationalisation

Critères de classement:

3-4 points – « satisfaisant » ;
5-6 points – « bien » ;
7 points – « excellent ».

7. Réflexion

Répondez à la question : laquelle des méthodes que vous connaissez pour résoudre les inégalités logarithmiques à base variable vous permettra d'utiliser votre temps plus efficacement pendant l'examen ?

8. Devoirs : N° 11.80* (a,b), 11.81*(a,b), 11.84*(a,b) résolus par la méthode de rationalisation.

Bibliographie:

1. Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel. Pour la 11e année. enseignement général Établissements /[S.M. Nikolski, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin] – 5e éd. – M. : Éducation, OJSC « Manuels de Moscou », 2006.
2. A.G. Korianov, A.A. Prokofiev. Matériel du cours « Préparer les bons et excellents étudiants à l'examen d'État unifié » : cours 1-4. – M. : Université Pédagogique « Premier Septembre », 2012.