Tâche analytique sur le mouvement. Problèmes de mouvement circulaire Point a d'une piste circulaire dont la longueur

Du point A d'une piste circulaire d'une longueur de 75 km, deux voitures sont parties simultanément dans la même direction. La vitesse de la première voiture est de 89 km/h, celle de la deuxième voiture est de 59 km/h. Combien de minutes après le départ la première voiture aura-t-elle exactement un tour d'avance sur la seconde ?

La solution du problème

Cette leçon montre comment, en utilisant la formule physique pour déterminer le temps lors d'un mouvement uniforme : , créer une proportion pour déterminer le temps pendant lequel une voiture en dépassera une autre dans un cercle. Lors de la résolution du problème, une séquence d'actions claire est indiquée pour résoudre de tels problèmes : nous entrons une désignation spécifique pour ce que nous voulons trouver, notons le temps qu'il faut à une et à la deuxième voiture pour parcourir un certain nombre de tours, en prenant en tenant compte du fait que ce temps est la même valeur - nous égalisons les égalités résultantes. La solution consiste à trouver la quantité inconnue dans une équation linéaire. Pour obtenir les résultats, il ne faut pas oublier de substituer le nombre de tours obtenus dans la formule de détermination du temps.

La solution à ce problème est recommandée aux élèves de 7e année lorsqu'ils étudient le thème « Langage mathématique ». Modèle mathématique (équation linéaire à une variable). Lors de la préparation à l'OGE, la leçon est recommandée lors de la répétition du thème « Langage mathématique ». Modèle mathématique".

Publié le 23/03/2018

Un cycliste a quitté le point A du parcours circulaire.

Au bout de 30 minutes, il n'était pas encore revenu au point A et un motocycliste le suivait depuis le point A. 10 minutes après le départ, il a rattrapé le cycliste pour la première fois,

et 30 minutes plus tard, je l'ai rattrapé pour la deuxième fois.

Trouvez la vitesse du motocycliste si la longueur du parcours est de 30 km.

Donnez votre réponse en km/h

problème de maths

éducation

répondre

commentaire

Vers les favoris

Svetl-ana02-02

il y a 23 heures

Si j'ai bien compris la situation, le motocycliste est parti une demi-heure après le départ du cycliste. Dans ce cas, la solution ressemble à ceci.

Un cycliste parcourt la même distance en 40 minutes, et un motocycliste en 10 minutes donc la vitesse d'un motocycliste est quatre fois supérieure à celle d'un cycliste ;

Disons qu'un cycliste se déplace à une vitesse de x km/h, alors la vitesse du motocycliste est de 4x km/h. Avant le deuxième rendez-vous, (1/2 + 1/2 + 1/6) = 7/6 heures s'écouleront à partir du moment où le cycliste démarre et (1/2 + 1/6) = 4/6 heures à partir du moment où le le motocycliste démarre. Au moment du deuxième rendez-vous, le cycliste aura parcouru (7x/6) km, et le motocycliste aura parcouru (16x/6) km, ayant dépassé le cycliste d'un tour, soit après avoir parcouru 30 km de plus. Nous obtenons l'équation.

16x/6 - 7x/6 = 30, d'où

Ainsi, le cycliste roulait à une vitesse de 20 km/h, ce qui signifie que le motocycliste roulait à une vitesse de (4*20) = 80 km/h.

Répondre. La vitesse du motocycliste est de 80 km/h.

commentaire

Vers les favoris

remercier

Vdtes-t

il y a 22 heures

Si la solution est en km/h, alors le temps doit être exprimé en heures.

Notons

v vitesse du cycliste

m vitesse du motocycliste

Après ½ heure, un motocycliste a suivi le cycliste depuis le point A. ⅙ heure après le départ, il a rattrapé le cycliste pour la première fois

On note le chemin parcouru avant la première rencontre sous forme d'équation :

et encore une demi-heure plus tard, le motocycliste le rattrapa pour la deuxième fois.

Nous notons le chemin parcouru jusqu'à la deuxième rencontre sous la forme d'une équation :

Nous résolvons un système de deux équations :

v/2+v/6=m/6

m/2=30+v/2

Nous simplifions la première équation (en multipliant les deux côtés par 6) :

Remplacez m dans la deuxième équation :

La vitesse du cycliste est de 20 km/h

Déterminer la vitesse d'un motocycliste

Réponse : la vitesse du motocycliste est 80km/h

Sections: Mathématiques

Type de cours : cours de répétition et de généralisation.

Objectifs de la leçon:

éducatif

développement

éducatif

Matériel de cours :

tableau interactif;
enveloppes avec missions, cartes de contrôle thématiques, cartes de consultant.

Structure de la leçon.

	Principales étapes de la leçon	Tâches à résoudre à ce stade
	Moment d'organisation, partie introductive	créer une ambiance conviviale en classe préparer les étudiants à un travail productif identifier les absents vérifier l'état de préparation des élèves pour la leçon
	Préparer les étudiants au travail actif (redoublement)	tester les connaissances des élèves sur le thème : « Résoudre des problèmes de mots de différents types sur le mouvement » mise en œuvre du développement de la parole et de la pensée des étudiants répondants développement de la pensée analytique et critique des étudiants en commentant les réponses des camarades de classe organiser des activités pédagogiques de toute la classe lors de la réponse des élèves appelés au tableau
	Étape de généralisation et de systématisation du matériel étudié (travail en groupe)	tester la capacité des élèves à résoudre des problèmes liés à différents types de mouvements, former des connaissances parmi les étudiants, reflétées sous forme d'idées et de théories, la transition d'idées particulières à des généralisations plus larges réaliser la formation des relations morales des étudiants envers les participants au processus éducatif (lors du travail de groupe)
	Vérifier le travail, faire les ajustements (si nécessaire)	vérifier l'exécution des données pour les groupes de tâches (leur exactitude) continuer à développer chez les étudiants la capacité d'analyser, de mettre en évidence l'essentiel, de construire des analogies, de généraliser et de systématiser développer des compétences de discussion
	Résumer la leçon. Analyse des devoirs	informer les élèves sur les devoirs, expliquer comment les réaliser motiver le besoin et l’obligation de faire ses devoirs résumer la leçon

Formes d’organisation de l’activité cognitive des élèves :

forme frontale de l'activité cognitive - aux stades II, IY, Y.
forme de groupe d'activité cognitive - au stade III.

Méthodes d'enseignement : verbale, visuelle, pratique, explicative - illustrative, reproductive, partiellement - recherche, analytique, comparative, généralisante, traductive.

Pendant les cours

I. Moment d'organisation, partie introductive.

L'enseignant annonce le sujet du cours, les objectifs du cours et les points principaux du cours. Vérifie l'état de préparation de la classe au travail.

II. Préparer les étudiants au travail actif (redoublement)

Répondez aux questions.

Quel type de mouvement est appelé uniforme (mouvement à vitesse constante).
Quelle est la formule du chemin avec un mouvement uniforme ( S = Vt).
A partir de cette formule, exprimez la vitesse et le temps.
Spécifiez les unités de mesure.

Conversion des unités de vitesse

III. Étape de généralisation et de systématisation du matériel étudié (travail en groupe)

Toute la classe est divisée en groupes (5 à 6 personnes par groupe). Il est conseillé d'avoir des étudiants de différents niveaux de compétence dans le même groupe. Parmi eux, un chef de groupe (l'étudiant le plus fort) est nommé, qui dirigera les travaux du groupe.

Tous les groupes reçoivent des enveloppes avec des devoirs (ils sont les mêmes pour tous les groupes), des cartes de consultant (pour les étudiants faibles) et des fiches de contrôle thématiques. Dans les fiches de contrôle thématiques, l'animateur note chaque élève du groupe pour chaque tâche et note les difficultés rencontrées par les élèves dans la réalisation de tâches spécifiques.

Carte avec des tâches pour chaque groupe.

№ 5.

N° 7. Le bateau à moteur a parcouru 112 km en amont du fleuve et est revenu au point de départ, mettant 6 heures de moins au retour. Trouvez la vitesse du courant si la vitesse du bateau en eau calme est de 11 km/h. Donnez votre réponse en km/h.

N° 8. Le bateau à moteur parcourt le fleuve jusqu'à sa destination sur 513 km et, après s'être arrêté, revient au point de départ. Trouvez la vitesse du navire en eau calme si la vitesse actuelle est de 4 km/h, que le séjour dure 8 heures et que le navire revient au point de départ 54 heures après le départ. Donnez votre réponse en km/h.

Exemple de carte de contrôle thématique.

Classe ________ Nom complet de l'élève___________________________________

Numéro de travail		Commentaire

Cartes de consultant.

Carte n°1 (consultant)

1. Conduire sur une route droite

Lors de la résolution de problèmes impliquant un mouvement uniforme, deux situations se produisent souvent.

Si la distance initiale entre les objets est S et les vitesses des objets sont V1 et V2, alors :

a) lorsque des objets se rapprochent, le temps après lequel ils se rencontrent est égal à .

b) lorsque des objets se déplacent dans une direction, le temps après lequel le premier objet rattrapera le second est égal à , ( V 2 > V 1)

Exemple 1. Le train, après avoir parcouru 450 km, a été arrêté à cause de la neige soufflée. Une demi-heure plus tard, la voie était dégagée et le conducteur, augmentant la vitesse du train de 15 km/h, l'amena sans délai à la gare. Trouvez la vitesse initiale du train si la distance parcourue par celui-ci jusqu'à l'arrêt était de 75 % de la distance totale.

Trouvons le chemin entier : 450 : 0,75 = 600 (km)
Trouvons la longueur du deuxième tronçon : 600 – 450 =150 (km)
Créons et résolvons l'équation :

X= -75 ne correspond pas aux conditions du problème, où x > 0.

Réponse : La vitesse initiale du train est de 60 km/h.

Carte n°2 (consultant)

2. Conduite sur route fermée

Si la longueur d'une route fermée est S, et les vitesses des objets V 1 et V 2, alors :

a) lorsque les objets se déplacent dans des directions différentes, le temps entre leurs rencontres est calculé par la formule ;
b) lorsque les objets se déplacent dans une direction, le temps entre leurs rencontres est calculé par la formule

Exemple 2. Lors d'une compétition sur piste, un skieur boucle un tour 2 minutes plus vite que l'autre, et une heure plus tard, il a exactement un tour d'avance sur lui. Combien de temps faut-il à chaque skieur pour boucler le cercle ?

Laisser S m – longueur du tracé du périphérique et X m/min et oui m/min – vitesses respectivement du premier et du deuxième skieurs ( x> oui) .

Alors S/X min et S/y min – le temps qu'il faut respectivement au premier et au deuxième skieurs pour terminer le tour. A partir de la première condition, nous obtenons l'équation. Puisque la vitesse d'éloignement du premier skieur du deuxième skieur est ( X- oui) m/min, alors à partir de la deuxième condition nous avons l'équation .

Résolvons le système d'équations.

Faisons un remplacement S/x = un Et S/y = b, alors le système d'équations prendra la forme :

. Multipliez les deux côtés de l'équation par 60 un(un+ 2) > 0.

60(un+ 2) – 60une = un(un+ 2)un 2 + 2un- 120 = 0. L'équation quadratique a une racine positive une = 10 alors b = 12. Cela signifie que le premier skieur termine le cercle en 10 minutes et le deuxième skieur en 12 minutes.

Réponse : 10 minutes ; 12 minutes.

Carte n°3 (consultant)

3. Déplacement le long de la rivière

Si un objet se déplace avec le débit d'une rivière, alors sa vitesse est égale à Vflow. =Vob. + Vactuel

Si un objet se déplace à contre-courant d'une rivière, alors sa vitesse est égale à Và contre-courant = V inc. – Vcourant La vitesse propre de l’objet (vitesse en eau calme) est égale à

La vitesse du débit de la rivière est

La vitesse du radeau est égale à la vitesse du débit de la rivière.

Exemple 3. Le bateau a parcouru 50 km en aval du fleuve, puis a parcouru 36 km en sens inverse, ce qui lui a pris 30 minutes de plus que le long du fleuve. Quelle est la vitesse propre du bateau si la vitesse de la rivière est de 4 km/h ?

Que la vitesse du bateau soit X km/h, alors sa vitesse le long de la rivière est ( x+ 4) km/h, et à contre-courant de la rivière ( X- 4)km/h. Le temps qu'il faut au bateau pour se déplacer le long du débit de la rivière est d'heures, et contre le débit de la rivière est d'heures Puisque 30 minutes = 1/2 heure, alors selon les conditions du problème nous créerons l'équation =. Multipliez les deux côtés de l'équation par 2( x+ 4)(X- 4) >0 .

On obtient 72( x+ 4) -100(X- 4) = (x+ 4)(X- 4) X 2 + 28X- 704 = 0 x 1 =16, x 2 = - 44 (exclus puisque x > 0).

La vitesse propre du bateau est donc de 16 km/h.

Réponse : 16 km/h.

IV. Étape d'analyse de résolution de problèmes.

Les problèmes qui ont causé des difficultés aux étudiants sont analysés.

N° 1. Depuis deux villes distantes de 480 km, deux voitures se sont dirigées simultanément l'une vers l'autre. Au bout de combien d’heures les voitures se croiseront-elles si leurs vitesses sont de 75 km/h et 85 km/h ?

75 + 85 = 160 (km/h) – vitesse d'approche.
480 : 160 = 3 (h).

Réponse : les voitures se retrouveront dans 3 heures.

N° 2. Depuis les villes A et B, dont la distance est de 330 km, deux voitures sont parties simultanément l'une vers l'autre et se sont rencontrées au bout de 3 heures à une distance de 180 km de la ville B. Trouver la vitesse de la voiture qui a quitté la ville A . Donnez la réponse en km/h.

(330 – 180) : 3 = 50 (km/h)

Réponse : la vitesse d’une voiture quittant la ville A est de 50 km/h.

N° 3. Un automobiliste et un cycliste sont partis en même temps d'un point A à un point B dont la distance est de 50 km. On sait qu’un automobiliste parcourt 65 km de plus par heure qu’un cycliste. Déterminez la vitesse du cycliste si l'on sait qu'il est arrivé au point B 4 heures 20 minutes plus tard que l'automobiliste. Donnez votre réponse en km/h.

Faisons un tableau.

Créons une équation en tenant compte du fait que 4 heures 20 minutes =

Évidemment, x = -75 ne correspond pas aux conditions du problème.

Réponse : La vitesse du cycliste est de 10 km/h.

N° 4. Deux motocyclistes partent simultanément dans la même direction à partir de deux points diamétralement opposés sur une piste circulaire dont la longueur est de 14 km. Combien de minutes faudra-t-il aux motocyclistes pour se rencontrer pour la première fois si la vitesse de l'un d'eux est supérieure de 21 km/h à celle de l'autre ?

Faisons un tableau.

Créons une équation.

, où 1/3 d'heure = 20 minutes.

Réponse : dans 20 minutes les motocyclistes se croiseront pour la première fois.

N° 5. A partir d'un point d'une piste circulaire d'une longueur de 12 km, deux voitures sont parties simultanément dans la même direction. La vitesse de la première voiture est de 101 km/h, et 20 minutes après le départ, elle avait un tour d'avance sur la deuxième voiture. Trouvez la vitesse de la deuxième voiture. Donnez votre réponse en km/h.

Faisons un tableau.

Créons une équation.

Réponse : la vitesse de la deuxième voiture est de 65 km/h.

N° 6. Un cycliste a quitté le point A de la piste circulaire et 40 minutes plus tard, un motocycliste l'a suivi. 8 minutes après le départ, il a rattrapé le cycliste pour la première fois, et encore 36 minutes plus tard, il l'a rattrapé pour la deuxième fois. Trouvez la vitesse du motocycliste si la longueur du parcours est de 30 km. Donnez votre réponse en km/h.

Faisons un tableau.

Mouvement avant la première rencontre

cycliste

N° 9. Du quai A au quai B, dont la distance est de 168 km, le premier bateau à moteur partait à vitesse constante, et 2 heures après, le second partait après lui, à une vitesse de 2 km/ h plus haut. Trouvez la vitesse du premier navire si les deux navires sont arrivés au point B en même temps. Donnez votre réponse en km/h.

Faisons un tableau basé sur leur condition selon laquelle la vitesse du premier navire est de x km/h.

Faisons une équation :

Multiplier les deux côtés de l'équation par x

Réponse : la vitesse du premier bateau à moteur est égale à celle du fleuve 12 km/h

V. Résumer la leçon.

En résumant la leçon, vous devez une fois de plus attirer l’attention des élèves sur les principes de résolution des problèmes de mouvement. Lorsque vous donnez des devoirs, donnez une explication des tâches les plus difficiles.

Littérature.

1) Article : Examen d'État unifié de mathématiques 2014 (système de problèmes d'une banque de tâches ouverte) Koryanov A.G., Nadezhkina N.V. – publié sur le site Internet

Sections: Mathématiques

L'article traite de problèmes pour aider les élèves : développer des compétences dans la résolution de problèmes de mots en préparation à l'examen d'État unifié, lors de l'apprentissage de la résolution de problèmes pour créer un modèle mathématique de situations réelles dans tous les parallèles de l'école primaire et secondaire. Il présente des tâches : mouvement en cercle ; trouver la longueur d’un objet en mouvement ; pour trouver la vitesse moyenne.

I. Problèmes impliquant le mouvement en cercle.

Les problèmes de mouvement circulaire se sont révélés difficiles pour de nombreux écoliers. Ils sont résolus presque de la même manière que les problèmes de mouvement ordinaires. Ils utilisent également la formule. Mais il y a un point auquel nous aimerions prêter attention.

Tache 1. Un cycliste a quitté le point A de la piste circulaire et 30 minutes plus tard, un motocycliste l'a suivi. 10 minutes après le départ, il a rattrapé le cycliste pour la première fois, et 30 minutes plus tard, il l'a rattrapé pour la deuxième fois. Trouvez la vitesse du motocycliste si la longueur du parcours est de 30 km. Donnez votre réponse en km/h.

Solution. Les vitesses des participants seront prises en compte X km/h et y km/h. Pour la première fois, un motocycliste a dépassé un cycliste 10 minutes plus tard, soit une heure après le départ. Jusqu'à présent, le cycliste était sur la route depuis 40 minutes, soit des heures. Les participants au mouvement parcouraient les mêmes distances, c'est-à-dire y = x. Entrons les données dans le tableau.

Tableau 1

Le motocycliste a ensuite doublé le cycliste une seconde fois. Cela s'est produit 30 minutes plus tard, soit une heure après le premier dépassement. Jusqu’où ont-ils voyagé ? Un motocycliste a dépassé un cycliste. Cela signifie qu'il a bouclé un tour de plus. C'est le moment

auquel vous devez faire attention. Un tour correspond à la longueur de la piste, soit 30 km. Créons une autre table.

Tableau 2

On obtient la deuxième équation : y - x = 30. On a un système d'équations : Dans la réponse, nous indiquons la vitesse du motocycliste.

Réponse : 80 km/h.

Tâches (indépendamment).

I.1.1. Un cycliste a quitté le point « A » du parcours circulaire et, 40 minutes plus tard, un motocycliste l'a suivi. 10 minutes après le départ, il a rattrapé le cycliste pour la première fois, et 36 minutes plus tard, il l'a rattrapé pour la deuxième fois. Trouvez la vitesse du motocycliste si la longueur du parcours est de 36 km. Donnez votre réponse en km/h.

I.1. 2. Un cycliste a quitté le point « A » du parcours circulaire et, 30 minutes plus tard, un motocycliste l'a suivi. 8 minutes après le départ, il a rattrapé le cycliste pour la première fois, et 12 minutes plus tard, il l'a rattrapé pour la deuxième fois. Trouvez la vitesse du motocycliste si la longueur du parcours est de 15 km. Donnez votre réponse en km/h.

I.1. 3. Un cycliste a quitté le point « A » du parcours circulaire et, 50 minutes plus tard, un motocycliste l'a suivi. Dix minutes après le départ, il a rattrapé le cycliste pour la première fois, puis 18 minutes plus tard, il l'a rattrapé pour la deuxième fois. Trouvez la vitesse du motocycliste si la longueur du parcours est de 15 km. Donnez votre réponse en km/h.

Deux motocyclistes partent simultanément dans la même direction à partir de deux points diamétralement opposés sur une piste circulaire dont la longueur est de 20 km. Combien de minutes faudra-t-il aux motocyclistes pour se rencontrer pour la première fois si la vitesse de l'un d'eux est supérieure de 15 km/h à celle de l'autre ?

Solution.

Image 1

Avec un départ simultané, le motocycliste parti de « A » a parcouru un demi-tour de plus que celui parti de « B ». Soit 10 km. Lorsque deux motocyclistes se déplacent dans la même direction, la vitesse de déplacement v = -. Selon les conditions du problème, v = 15 km/h = km/min = km/min – vitesse de dépose. On retrouve le temps après lequel les motocyclistes se rejoignent pour la première fois.

10 : = 40 (minutes).

Répondre: 40 minutes.

Tâches (indépendamment).

I.2.1. Deux motocyclistes partent simultanément dans la même direction depuis deux points diamétralement opposés sur une piste circulaire dont la longueur est de 27 km. Combien de minutes faudra-t-il aux motocyclistes pour se rencontrer pour la première fois si la vitesse de l'un d'eux est supérieure de 27 km/h à celle de l'autre ?

I.2.2. Deux motocyclistes partent simultanément dans la même direction à partir de deux points diamétralement opposés sur une piste circulaire dont la longueur est de 6 km. Combien de minutes faudra-t-il aux motocyclistes pour se rencontrer pour la première fois si la vitesse de l'un d'eux est supérieure de 9 km/h à celle de l'autre ?

A partir d'un point sur une piste circulaire d'une longueur de 8 km, deux voitures ont démarré simultanément dans la même direction. La vitesse de la première voiture est de 89 km/h et 16 minutes après le départ, elle avait un tour d'avance sur la deuxième voiture. Trouvez la vitesse de la deuxième voiture. Donnez votre réponse en km/h.

Solution.

x km/h est la vitesse de la deuxième voiture.

(89 – x) km/h – vitesse de déplacement.

8 km est la longueur du parcours circulaire.

L'équation.

(89 – x) = 8,

89 – x = 2 15,

Répondre: 59 km/h.

Tâches (indépendamment).

I.3.1. A partir d'un point sur une piste circulaire d'une longueur de 12 km, deux voitures ont démarré simultanément dans la même direction. La vitesse de la première voiture est de 103 km/h et 48 minutes après le départ, elle avait un tour d'avance sur la deuxième voiture. Trouvez la vitesse de la deuxième voiture. Donnez votre réponse en km/h.

I.3.2. A partir d'un point sur une piste circulaire d'une longueur de 6 km, deux voitures ont démarré simultanément dans la même direction. La vitesse de la première voiture est de 114 km/h, et 9 minutes après le départ, elle avait un tour d'avance sur la deuxième voiture. Trouvez la vitesse de la deuxième voiture. Donnez votre réponse en km/h.

I.3.3. A partir d'un point sur une piste circulaire d'une longueur de 20 km, deux voitures ont démarré simultanément dans la même direction. La vitesse de la première voiture est de 105 km/h et 48 minutes après le départ, elle avait un tour d'avance sur la deuxième voiture. Trouvez la vitesse de la deuxième voiture. Donnez votre réponse en km/h.

I.3.4. A partir d'un point sur une piste circulaire d'une longueur de 9 km, deux voitures ont démarré simultanément dans la même direction. La vitesse de la première voiture est de 93 km/h et 15 minutes après le départ, elle avait un tour d'avance sur la deuxième voiture. Trouvez la vitesse de la deuxième voiture. Donnez votre réponse en km/h.

L'horloge avec aiguilles indique 8 heures 00 minutes. Dans combien de minutes l’aiguille des minutes s’alignera-t-elle avec l’aiguille des heures pour la quatrième fois ?

Solution. Nous supposons que nous ne résolvons pas le problème expérimentalement.

En une heure, l’aiguille des minutes parcourt un cercle et l’aiguille des heures parcourt un cercle. Laissez leurs vitesses être de 1 (tours par heure) et Début - à 8h00. Trouvons le temps qu'il faut à l'aiguille des minutes pour rattraper l'aiguille des heures pour la première fois.

L'aiguille des minutes se déplacera plus loin, nous obtenons donc l'équation

Cela signifie que pour la première fois, les flèches s'aligneront sur

Laissez les flèches s'aligner une deuxième fois après le temps z. L'aiguille des minutes parcourra une distance de 1·z et l'aiguille des heures parcourra un cercle supplémentaire. Écrivons l'équation :

Après l'avoir résolu, nous obtenons cela.

Ainsi, à travers les flèches, ils s'aligneront pour la deuxième fois, après l'autre - pour la troisième fois, et après l'autre - pour la quatrième fois.

Par conséquent, si le départ était à 8h00, alors pour la quatrième fois les aiguilles s'aligneront

4h = 60 * 4 min = 240 min.

Réponse : 240 minutes.

Tâches (indépendamment).

I.4.1.L'horloge à aiguilles indique 4 heures 45 minutes. Dans combien de minutes l’aiguille des minutes s’alignera-t-elle avec l’aiguille des heures pour la septième fois ?

I.4.2. L'horloge à aiguilles indique exactement 2 heures. Dans combien de minutes l’aiguille des minutes s’alignera-t-elle avec l’aiguille des heures pour la dixième fois ?

I.4.3. L'horloge à aiguilles indique 8 heures 20 minutes. Dans combien de minutes l’aiguille des minutes s’alignera-t-elle avec l’aiguille des heures pour la quatrième fois ? quatrième

II. Problèmes pour trouver la longueur d'un objet en mouvement.

Un train, se déplaçant uniformément à une vitesse de 80 km/h, dépasse un poteau routier en 36 s. Trouvez la longueur du train en mètres.

Solution. Puisque la vitesse du train est indiquée en heures, nous convertirons les secondes en heures.

1) 36 secondes =

2) trouver la longueur du train en kilomètres.

80 ·

Réponse : 800 m.

Tâches (indépendamment).

II.2. Un train, circulant uniformément à une vitesse de 60 km/h, dépasse un poteau routier en 69 s. Trouvez la longueur du train en mètres. Réponse : 1150m.

II.3. Un train se déplaçant uniformément à une vitesse de 60 km/h traverse une ceinture forestière de 200 m de long en 1 min 21 s. Trouvez la longueur du train en mètres. Réponse : 1150m.

III. Problèmes de vitesse moyenne.

Lors d'un examen de mathématiques, vous pourriez rencontrer un problème pour trouver la vitesse moyenne. Il faut rappeler que la vitesse moyenne n'est pas égale à la moyenne arithmétique des vitesses. La vitesse moyenne est trouvée à l'aide d'une formule spéciale :

S'il y avait deux sections du chemin, alors .

La distance entre les deux villages est de 18 km. Un cycliste voyageait d'un village à l'autre pendant 2 heures et revenait par la même route pendant 3 heures. Quelle est la vitesse moyenne du cycliste sur l’ensemble du parcours ?

Solution:

2 heures + 3 heures = 5 heures - consacrées à l'ensemble du mouvement,

Le touriste a marché à une vitesse de 4 km/h, puis exactement en même temps à une vitesse de 5 km/h. Quelle est la vitesse moyenne du touriste sur tout le parcours ?

Laissez le touriste marcher à une vitesse de 4 km/h et à une vitesse de 5 km/h. Puis en 2t heures, il a parcouru 4t + 5t = 9t (km). La vitesse moyenne d'un touriste est = 4,5 (km/h).

Réponse : 4,5 km/h.

On constate que la vitesse moyenne du touriste s'est avérée égale à la moyenne arithmétique des deux vitesses données. Vous pouvez vérifier que si le temps de trajet sur deux tronçons de l'itinéraire est le même, alors la vitesse moyenne de déplacement est égale à la moyenne arithmétique des deux vitesses données. Pour ce faire, résolvons le même problème sous sa forme générale.

Le touriste marchait à une vitesse de km/h, puis exactement en même temps à une vitesse de km/h. Quelle est la vitesse moyenne du touriste sur tout le parcours ?

Laissez le touriste marcher à une vitesse de km/h et à une vitesse de km/h. Puis en 2t heures il a parcouru t + t = t (km). La vitesse moyenne d'un touriste est

= (km/h).

La voiture a parcouru une certaine distance en montée à une vitesse de 42 km/h et en descente à une vitesse de 56 km/h.

La vitesse moyenne de déplacement est de 2 s : (km/h).

Réponse : 48 km/h.

La voiture a parcouru une certaine distance en montée à une vitesse de km/h et en descente à une vitesse de km/h.

Quelle est la vitesse moyenne de la voiture sur tout le parcours ?

Soit la longueur de la section de chemin égale à s km. Ensuite, la voiture a parcouru 2 s km dans les deux sens, passant tout le trajet .

La vitesse moyenne de déplacement est de 2 s : (km/h).

Réponse : km/h.

Considérons un problème dans lequel la vitesse moyenne est donnée et l'une des vitesses doit être déterminée. L’application de l’équation sera nécessaire.

Le cycliste montait une pente à une vitesse de 10 km/h et descendait la montagne à une autre vitesse constante. Selon ses calculs, la vitesse moyenne était de 12 km/h.

III.2. La moitié du temps passé sur la route, la voiture roulait à une vitesse de 60 km/h, et la seconde moitié du temps à une vitesse de 46 km/h. Trouvez la vitesse moyenne de la voiture tout au long du trajet.

III.3. Sur le chemin d'un village à un autre, la voiture a marché un certain temps à une vitesse de 60 km/h, puis exactement le même temps à une vitesse de 40 km/h, puis exactement le même temps à une vitesse égale à la vitesse moyenne sur les deux premiers tronçons du parcours. Quelle est la vitesse moyenne de déplacement sur l’ensemble du trajet d’un village à l’autre ?

III.4. Un cycliste se rend de son domicile au travail à une vitesse moyenne de 10 km/h, et revient à une vitesse moyenne de 15 km/h, car la route est légèrement descendante. Trouvez la vitesse moyenne du cycliste depuis la maison jusqu'au travail et retour.

III.5. Une voiture s'est rendue du point A au point B à vide à une vitesse constante et est revenue par la même route avec une charge à une vitesse de 60 km/h. A quelle vitesse roulait-il à vide si la vitesse moyenne était de 70 km/h ?

III.6. La voiture a roulé pendant les 100 premiers kilomètres à une vitesse de 50 km/h, pendant les 120 kilomètres suivants à une vitesse de 90 km/h, puis pendant 120 km à une vitesse de 100 km/h. Trouvez la vitesse moyenne de la voiture tout au long du trajet.

III.7. La voiture a parcouru les 100 premiers kilomètres à une vitesse de 50 km/h, les 140 kilomètres suivants à une vitesse de 80 km/h, puis 150 km à une vitesse de 120 km/h. Trouvez la vitesse moyenne de la voiture tout au long du trajet.

III.8. La voiture a roulé pendant les 150 premiers kilomètres à une vitesse de 50 km/h, pendant les 130 kilomètres suivants à une vitesse de 60 km/h, puis sur 120 km à une vitesse de 80 km/h. Trouvez la vitesse moyenne de la voiture tout au long du trajet.

III. 9. La voiture a parcouru les 140 premiers kilomètres à une vitesse de 70 km/h, les 120 kilomètres suivants à une vitesse de 80 km/h, puis 180 km à une vitesse de 120 km/h. Trouvez la vitesse moyenne de la voiture tout au long du trajet.

Problème 1. Deux voitures ont quitté le point A pour se rendre au point B en même temps.
Le premier a parcouru tout le trajet à vitesse constante.
Le deuxième a parcouru la première moitié du trajet à une vitesse
vitesse inférieure du premier de 14 km/h,
et la seconde moitié du trajet à une vitesse de 105 km/h,
et est donc arrivé en B en même temps que la première voiture.
Trouvez la vitesse de la première voiture,
si l'on sait qu'elle est supérieure à 50 km/h.
Solution : prenons la distance entière comme égale à 1.
Supposons que la vitesse de la première voiture soit x.
Ensuite, le temps qu’il a fallu à la première voiture pour parcourir toute la distance est
équivaut à 1 fois.
La deuxième vitesse de la voiture pour la première moitié du trajet, soit 1/2,
était inférieure de 14 km/h à la vitesse de la première voiture, x-14.
Le temps mis par la deuxième voiture est de 1/2 : (x-14) = 1/2(x-14).
La seconde moitié du voyage, c'est-à-dire 1/2, la voiture est passée
à une vitesse de 105 km/h.
Le temps qu'il a passé est de 1/2 : 105 = 1/2*105 = 1/210.
Les temps du premier et du deuxième sont égaux.
Faisons une équation :
1/x = 1/2(x-14) + 1/210
Nous trouvons le dénominateur commun - 210x(x-14)
210(x-14) = 105x + x(x-14)
210x - 2940 = 105x + x² - 14x
x² - 119x + 2940 = 0
En résolvant cette équation quadratique par le discriminant, on trouve les racines :
x1 = 84
x2 = 35. La deuxième racine ne correspond pas aux conditions du problème.
Réponse : la vitesse de la première voiture est de 84 km/h.

Problème 2. A partir du point A d'un itinéraire circulaire dont la longueur est de 30 km,
Deux automobilistes démarrent en même temps dans la même direction.
La vitesse du premier est de 92 km/h et celle du second de 77 km/h.
Dans combien de minutes le premier automobiliste
sera en avance sur la seconde 1 tour ?
Solution: Cette tâche, bien qu'elle soit confiée en 11e année,
peuvent être résolus au niveau de l’école primaire.
Posons seulement quatre questions et obtenons quatre réponses.
1. Combien de kilomètres le premier automobiliste parcourra-t-il en 1 heure ?
92 km.
2. Combien de kilomètres le deuxième automobiliste parcourra-t-il en 1 heure ?
77 km.
3. De combien de kilomètres le premier automobiliste aura-t-il de l'avance sur le second après 1 heure ?
92 - 77 = 15 km.
4. Combien d'heures faudra-t-il pour que le premier automobiliste ait 30 km d'avance sur le second ?
30h15 = 2 heures = 120 minutes.
Réponse : dans 120 minutes.

Problème 3. Du point A au point B, la distance qui les sépare est de 60 km,
un automobiliste et un cycliste sont partis en même temps.
On sait que chaque heure, un automobiliste passe
90 km de plus qu'un cycliste.
Déterminez la vitesse du cycliste si l'on sait qu'il est arrivé au point B 5 heures 24 minutes plus tard que l'automobiliste.
Solution : Afin de résoudre correctement tout problème qui nous est confié,
vous devez vous en tenir à un certain plan.
Et le plus important est que nous devons comprendre ce que nous attendons de cela.
Autrement dit, à quelle équation voulons-nous arriver dans les conditions données.
Nous comparerons le temps de chacun.
Une voiture parcourt 90 km/h de plus qu'un cycliste.
Cela signifie que la vitesse de la voiture est supérieure à la vitesse
cycliste à 90 km/h.
En prenant la vitesse du cycliste en x km/heure,
on obtient la vitesse de la voiture x + 90 km/h.
Le temps de trajet pour un cycliste est de 60/x.
Le temps de trajet en voiture est de 60/(x+90).
5 heures 24 minutes équivaut à 5 24/60 heures = 5 2/5 = 27/5 heures
Faisons une équation :
60/x = 60/(x+90) + 27/5 Réduire le numérateur de chaque fraction de 3
20/x = 20/(x+90) + 9/5 Dénominateur commun 5x(x+90)
20*5(x+90) = 20*5x + 9x(x+90)
100x + 9000 = 100x + 9x² + 810x
9x² + 810x - 9000 = 0
x² + 90x – 1000 = 0
En résolvant cette équation par le discriminant ou théorème de Vieta, on obtient :
x1 = - 100 Ne correspond pas à l'objectif du problème.
x2 = 10
Réponse : La vitesse du cycliste est de 10 km/h.

Problème 4. Un cycliste a parcouru 40 km d'une ville à un village.
Sur le chemin du retour, il roulait à la même vitesse
mais après 2 heures de route je me suis arrêté 20 minutes.
Après s'être arrêté, il a augmenté la vitesse de 4 km/h
et passaient donc le même temps sur le chemin du retour du village à la ville que sur le chemin de la ville au village.
Trouvez la vitesse initiale du cycliste.
Solution : on résout ce problème par rapport au temps passé
d'abord au village, puis de retour.
Un cycliste se déplaçait de ville en village à la même vitesse x km/heure.
Ce faisant, il a passé 40 heures.
En 2 heures, il a parcouru 2 km retour.
Il lui reste 40 km à parcourir - 2 km qu'il a parcourus
à une vitesse de x + 4 km/h.
En même temps, le temps qu'il a passé sur le chemin du retour
se compose de trois termes.
2 heures; 20 minutes = 1/3 d'heure ; (40 - 2x)/(x + 4) heures.
Faisons une équation :
40/x = 2 + 1/3 + (40 - 2x)/(x + 4)
40/x = 7/3 + (40 - 2x)/(x + 4) Dénominateur commun 3x(x + 4)
40*3(x + 4) = 7x(x + 4) + 3x(40 - 2x)
120x + 480 = 7x² + 28x + 120x - 6x²
x² + 28x – 480 = 0 En résolvant cette équation par le discriminant ou théorème de Vieta, nous obtenons :
x1 = 12
x2 = - 40 Ne correspond pas aux conditions du problème.
Réponse : La vitesse initiale du cycliste est de 12 km/h.

Problème 5. Deux voitures ont quitté le même point en même temps dans la même direction.
La vitesse du premier est de 50 km/h, celle du second de 40 km/h.
Une demi-heure plus tard, une troisième voiture quittait le même endroit dans la même direction,
qui a dépassé la première voiture 1h30 plus tard,
que la deuxième voiture.
Trouver la vitesse du troisième voiture.
Solution : En une demi-heure, la première voiture parcourra 25 km et la seconde 20 km.
Ceux. la distance initiale entre la première et la troisième voiture est de 25 km,
et entre le deuxième et le troisième - 20 km.
Lorsqu'une voiture en rattrape une autre, elle les vitesses sont soustraites.
Si l’on prend la vitesse de la troisième voiture à x km/h,
puis il s'avère qu'il a rattrapé la deuxième voiture après 20/(x-40) heures.
Il rattrapera ensuite la première voiture dans 25/(x - 50) heures.
Faisons une équation :
25/(x - 50) = 20/(x - 40) + 3/2 Dénominateur commun 2(x - 50)(x - 40)
25*2(x - 40) = 20*2(x - 50) + 3(x - 50)(x - 40)
50x - 2000 = 40x - 2000 + 3x² - 270x + 6000
3x² - 280x + 6000 = 0 En résolvant cette équation par le discriminant, on obtient
x1 = 60
x2 = 100/3
Réponse : la vitesse de la troisième voiture est de 60 km/h.