Funktion kuperuus. Pullistuma suunta

Funktion kuperuuden käsite

Tarkastellaan funktiota \(y = f\left(x \right),\), jonka oletetaan olevan jatkuva janalla \(\left[ (a,b) \right].\) Funktio \(y = f \left(x \right),\) )\) kutsutaan kupera alaspäin (tai yksinkertaisesti kupera) jos jollekin pisteelle \((x_1)\) ja \((x_2)\) kohdasta \(\vasen[ (a,b) \oikea]\) x_1),(x_2) \in \left[ (a, b) \oikea],\) siten, että \((x_1) \ne (x_2),\) kutsutaan sitten funktiota \(f\left(x \right) \) tiukasti alaspäin kupera

Ylöspäin kupera funktio määritellään samalla tavalla. Funktiota \(f\left(x \right)\) kutsutaan kupera ylöspäin (tai kovera) jos janan \(\vasen[ (a,b) \oikea]\) jollekin pisteelle \((x_1)\) ja \((x_2)\) epäyhtälö \ Jos tämä epäyhtälö on tiukka jollekin \( ( x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \oikea],\) siten, että \((x_1) \ne (x_2),\) sitten funktio \(f\left(x \right) ) \) kutsutaan tiukasti kupera ylöspäin segmentissä \(\vasen[ (a,b) \oikea].\)

Funktion kuperuuden geometrinen tulkinta

Esitetyillä konveksin funktion määritelmillä on yksinkertainen geometrinen tulkinta.

Toimintoa varten kupera alaspäin (piirustus \(1\)), minkä tahansa sointeen \((A_1)(A_2)\) keskipiste \(B\) on korkeampi

Samoin funktiolle kupera ylöspäin (piirustus \(2\)), minkä tahansa sointeen \((A_1)(A_2)\) keskipiste \(B\) on alla vastaava piste \((A_0)\) funktion kaaviossa tai on sama kuin tämä piste.

Konveksilla funktioilla on toinen visuaalinen ominaisuus, joka liittyy sijaintiin tangentti funktion kaavioon. Funktio \(f\left(x \right)\) on kupera alaspäin janalla \(\left[ (a,b) \oikea]\) jos ja vain jos sen kuvaaja ei ole pienempi kuin siihen piirretty tangentti missä tahansa janan \(\left) kohdassa \((x_0)\) [ (a ,b) \oikea]\) (kuva \(3\)).

Vastaavasti funktio \(f\left(x \right)\) on kupera ylöspäin janalla \(\left[ (a,b) \right]\) jos ja vain jos sen kuvaaja ei ole korkeampi kuin siihen piirretty tangentti missä tahansa janan \(\left) kohdassa \((x_0)\) [ (a ,b) \oikea]\) (kuva \(4\)). Nämä ominaisuudet ovat lause, ja ne voidaan todistaa käyttämällä funktion konveksiuden määritelmää.

Riittävät olosuhteet kuperuudelle

Olkoon funktion \(f\left(x \right)\) ensimmäinen derivaatta \(f"\left(x \right)\) segmentillä \(\left[ (a,b) \right], \) ja toinen derivaatta \(f""\left(x \right)\) − välissä \(\left((a,b) \right).\) Sitten seuraavat riittävät konveksiteettikriteerit pätevät:

Jos \(f""\left(x \right) \ge 0\) kaikille \(x \in \left((a,b) \right),\) niin funktio \(f\left(x \) oikein )\) kupera alaspäin segmentissä \(\vasen[ (a,b) \oikea];\)

Jos \(f""\left(x \right) \le 0\) kaikille \(x \in \left((a,b) \right),\) niin funktio \(f\left(x \) oikein )\) kupera ylöspäin segmentissä \(\vasen[ (a,b) \oikea].\)

Tapauksissa, joissa toinen derivaatta on ehdottomasti suurempi kuin (pienempi kuin) nolla, yksi puhuu vastaavasti tiukka kupera alaspäin (tai ylös ).

Todistetaan yllä oleva lause alaspäin kuperan funktion tapauksessa. Olkoon funktiolla \(f\left(x \right)\) ei-negatiivinen toinen derivaatta välillä \(\left((a,b) \right):\) \(f""\left(x) \right) \ge 0.\) Merkitse \((x_0)\) janan keskipiste \(\left[ ((x_1),(x_2)) \right].\) Oletetaan, että tämän janan pituus on yhtä suuri kuin \(2h.\) Sitten koordinaatit \((x_1)\) ja \((x_2)\) voidaan kirjoittaa seuraavasti: \[(x_1) = (x_0) - h,\;\;(x_2 ) = (x_0) + h.\] Laajenna funktio \(f\left(x \right)\) pisteessä \((x_0)\) Taylor-sarjaksi, jossa jäännöstermi on Lagrange-muodossa. Saamme seuraavat lausekkeet: \[ (f\left(((x_1)) \right) = f\left(((x_0) - h) \right) ) = (f\left(((x_0)) \right ) - f"\left(((x_0)) \right)h + \frac((f""\left(((\xi _1)) \right)(h^2)))((2},} \] \[ {f\left({{x_2}} \right) = f\left({{x_0} + h} \right) } = {f\left({{x_0}} \right) + f"\left({{x_0}} \right)h + \frac{{f""\left({{\xi _2}} \right){h^2}}}{{2!}},} \] где \({x_0} - h !}
Lisää molemmat yhtälöt: \[ (f\left(((x_1)) \right) + f\left(((x_2)) \right) ) = (2f\left(((x_0)) \right) + \frac (((h^2)))(2)\vasen[ (f""\vasen(((\xi _1)) \oikea) + f""\vasen(((\xi _2)) \oikea)) \oikea].) \] Koska \((\xi _1),(\xi _2) \in \left((a,b) \right),\), oikealla puolella olevat toiset derivaatat eivät ole negatiivisia . Siksi \ tai \ eli määritelmän mukaan funktio \(f\left(x \right)\) kupera alaspäin .

Huomaa, että funktion välttämätön konveksiteettiehto (eli suora lause, jossa esim. konveksiteettiehdosta seuraa, että \(f""\left(x \right) \ge 0\)) täyttyy vain tiukka epätasa-arvo. Tiukan kuperuuden tapauksessa välttämätön ehto ei yleensä täyty. Esimerkiksi funktio \(f\left(x \right) = (x^4)\) on tiukasti alaspäin kupera. Kuitenkin pisteessä \(x = 0\) sen toinen derivaatta on yhtä suuri kuin nolla, ts. tiukka epäyhtälö \(f""\left(x \right) \gt 0\) ei täyty tässä tapauksessa.

Konveksien funktioiden ominaisuudet

Luettelemme joitain kuperafunktioiden ominaisuuksia olettaen, että kaikki funktiot ovat määriteltyjä ja jatkuvia segmentissä \(\left[ (a,b) \right].\)

Jos funktiot \(f\) ja \(g\) ovat alaspäin (ylöspäin) kuperia, niin mikä tahansa niistä lineaarinen yhdistelmä \(af + bg,\) missä \(a\), \(b\) ovat positiivisia reaalilukuja, myös kuperaa alaspäin (ylöspäin).

Jos funktio \(u = g\vasen(x \oikea)\) on alaspäin kupera ja funktio \(y = f\left(u \right)\) on alaspäin kupera ja ei-pienenevä, monimutkainen toiminto \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) myös kuperaa alaspäin.

Jos funktio \(u = g\vasen(x \oikea)\) on ylöspäin kupera ja funktio \(y = f\left(u \right)\) on alaspäin kupera ja ei-kasvava, monimutkainen toiminto \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) kuperaa alaspäin.

Paikallinen maksimi segmentissä \(\vasen[ (a,b) \oikea],\) määritetty kupera ylöspäin funktio on samanaikaisesti sen korkein arvo tällä segmentillä.

Paikallinen minimi alaspäin kupera funktio, joka on määritetty segmentille \(\vasen[ (a,b) \oikea],\) on samanaikaisesti sen pienin arvo tällä segmentillä.

Funktiokaavio y=f(x) nimeltään kupera välissä (a;b), jos se sijaitsee jonkin tangentin alapuolella tällä välillä.

Funktiokaavio y=f(x) nimeltään kovera välissä (a;b), jos se sijaitsee minkä tahansa tangentin yläpuolella tällä välillä.

Kuvassa on käyrä, joka on kupera (a;b) ja kovera (b;c).

Esimerkkejä.

Harkitse riittävää etumerkkiä, jonka avulla voit määrittää, onko funktion kuvaaja tietyllä aikavälillä kupera vai kovera.

Lause. Antaa y=f(x) erotettavissa (a;b). Jos kaikissa intervallin kohdissa (a;b) funktion toinen derivaatta y = f(x) negatiivinen, ts. f ""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(x) > 0 on kovera.

Todiste. Oletetaan varmuuden vuoksi f""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Ota funktiokaavio y = f(x) mielivaltainen piste M0 abskissan kanssa x0 Î ( a; b) ja piirrä pisteen läpi M0 tangentti. Hänen yhtälönsä. Meidän on osoitettava, että funktion kaavio on (a;b) sijaitsee tämän tangentin alapuolella, ts. samalla arvolla x käyrän ordinaatin y = f(x) on pienempi kuin tangentin ordinaatta.

Joten käyrän yhtälö on y = f(x). Merkitään abskissaa vastaava tangenttiordinaatta x. Sitten . Siksi käyrän ordinaattien ja tangentin välinen ero samassa arvossa x tulee .

Ero f(x) – f(x0) muunnos Lagrangen lauseen mukaan, missä c välillä x Ja x0.

Täten,

Käytämme jälleen Lagrangen lausetta hakasulkeissa olevaan lausekkeeseen: , missä c 1 välillä c 0 Ja x0. Lauseen mukaan f ""(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Siten mikä tahansa käyrän piste on kaikkien arvojen käyrän tangentin alapuolella x Ja x0 Î ( a; b), mikä tarkoittaa, että käyrä on kupera. Lauseen toinen osa todistetaan samalla tavalla.

Esimerkkejä.

Jatkuvan funktion kuvaajan pistettä, joka erottaa sen kuperan osan koverasta osasta, kutsutaan käännekohta.

Ilmeisesti käännepisteessä tangentti, jos se on olemassa, leikkaa käyrän, koska toisella puolella tätä pistettä käyrä on tangentin alla ja toisella puolella sen yläpuolella.

Määritellään riittävät ehdot sille, että käyrän tietty piste on käännepiste.

Lause. Määritetään yhtälöllä käyrä y = f(x). Jos f ""(x 0) = 0 tai f ""(x 0) ei ole olemassa ja kulkee arvon läpi x = x0 johdannainen f ""(x) muuttaa etumerkkiä, sitten funktion kaavion pisteen abskissalla x = x0 on käännekohta.

Todiste. Antaa f ""(x) < 0 при x < x0 Ja f ""(x) > 0 at x > x0. Sitten klo x < x0 käyrä on kupera ja x > x0- kovera. Tästä se pointti A, makaa käyrällä, ja abskissa x0 on käännekohta. Samalla tavalla voimme tarkastella toista tapausta, jolloin f ""(x) > 0 at x < x0 Ja f ""(x) < 0 при x > x0.

Siten käännepisteitä tulee etsiä vain niistä kohdista, joissa toinen derivaatta katoaa tai ei ole olemassa.

Esimerkkejä. Etsi käännepisteet ja määritä käyrien kuperuuden ja koveruuden välit.

Funktion KAAVION ASYMPTOITIT

Funktiota tutkittaessa on tärkeää määrittää sen graafin muoto poistamalla graafin piste rajattomasti origosta.

Erityisen kiinnostava on tapaus, jossa funktion kuvaaja, kun sen muuttuva piste poistetaan äärettömään, lähestyy loputtomasti tiettyä suoraa.

Suora soitto asymptootti funktiokaavio y = f(x) jos etäisyys muuttujapisteestä M kuvaaja tälle viivalla, kun piste poistetaan Määrettömyyteen pyrkii nollaan, ts. funktion kaavion pisteen, koska se pyrkii äärettömyyteen, on lähestyttävä asymptoottia loputtomasti.

Käyrä voi lähestyä asymptoottiaan jäämällä sen toiselle puolelle tai eri puolille, leikkaamalla asymptootin äärettömän monta kertaa ja siirtymällä puolelta toiselle.

Jos merkitsemme etäisyyttä pisteestä d:llä M käyrä asymptoottiin, on selvää, että d pyrkii nollaan, kun piste poistetaan Määrettömään.

Teemme edelleen eron pystysuorien ja vinojen asymptootien välillä.

VERTIKAALISET ASYMPTOOTIT

Anna klo x→ x0 toiminnon kummallakin puolella y = f(x) absoluuttinen arvo kasvaa loputtomasti, ts. tai tai . Sitten asymptootin määritelmästä seuraa, että rivi x = x0 on asymptootti. Käänteinen on myös ilmeinen, jos linja x = x0 on asymptootti, joten .

Siten funktion kaavion pystyasymptootti y = f(x) kutsutaan riviksi if f(x)→ ∞ vähintään yhdessä ehdoista x→ x0– 0 tai x → x0 + 0, x = x0

Siksi löytääksesi funktion kaavion pystysuorat asymptootit y = f(x) pitää löytää ne arvot x = x0, jossa funktio menee äärettömään (kärsii äärettömästä epäjatkuvuudesta). Sitten pystyasymptootilla on yhtälö x = x0.

Esimerkkejä.

VIISTOT ASYMPTOOTIT

Koska asymptootti on suora, niin jos käyrä y = f(x) jolla on vino asymptootti, niin sen yhtälö on y = kx + b. Tehtävämme on löytää kertoimet k Ja b.

Lause. Suoraan y = kx + b toimii vinona asymptootina klo x→ +∞ funktion kuvaajalle y = f(x) jos ja vain jos . Samanlainen väite pitää paikkansa x → –∞.

Todiste. Antaa MP- janan pituus, joka on yhtä suuri kuin etäisyys pisteestä M asymptoottiin. Ehdon mukaan. Merkitään φ:llä asymptootin kaltevuuskulma akseliin nähden Härkä. Sitten alkaen ΔMNP seuraa sitä. Koska φ on vakiokulma (φ ≠ π/2), niin , mutta

Funktion kuperuuden (koveruuden) määrittämiseksi tietyllä aikavälillä voidaan käyttää seuraavia lauseita.

Lause 1. Olkoon funktio määritelty ja jatkuva välissä ja sillä on äärellinen derivaatta. Jotta funktio olisi kupera (kovera) in , on välttämätöntä ja riittävää, että sen derivaatta pienenee (kasvaa) tällä välillä.

Lause 2. Olkoon funktio määritelty ja jatkuva yhdessä sen derivaatan kanssa ja sen sisällä jatkuva toinen derivaatta. Siinä olevan funktion kuperuuden (koveruuden) kannalta se on välttämätön ja riittävä

Todistetaan Lause 2 funktion konveksiteettitapaukselle.

Välttämättömyys. Otetaan mielivaltainen kohta. Laajennamme funktiota lähellä pistettä Taylor-sarjassa

Käyrän tangentin yhtälö pisteessä, jossa on abskissa:

Sitten käyrän ylijäämä sen tangentin yli pisteessä on yhtä suuri kuin

Siten jäännös on yhtä suuri kuin käyrän ylijäämä sen tangentin yli pisteessä . Jatkuvuuden vuoksi, jos , sitten myös , jotka kuuluvat pisteen riittävän pieneen naapurustoon, ja siksi ilmeisesti kaikille, jotka poikkeavat arvosta , jotka kuuluvat määritettyyn naapurustoon.

Tämä tarkoittaa, että funktion kuvaaja on tangentin yläpuolella ja käyrä on kupera mielivaltaisessa pisteessä.

Riittävyys. Olkoon käyrä kupera välissä . Otetaan mielivaltainen kohta.

Samoin kuin edellisessä, laajennamme funktiota lähellä pistettä Taylor-sarjassa

Lausekkeen määrittelemä käyrän tangentin ylimäärä kohdassa , jossa on abskissa , on yhtä suuri kuin

Koska ylimäärä on positiivinen riittävän pienelle pisteen ympäristölle, myös toinen derivaatta on positiivinen. Pyrkiessämme saamme sen mielivaltaiselle pisteelle .

Esimerkki. Tutki kuperuuden (koveruus) funktiota.

Sen johdannainen kasvaa koko reaaliakselilla, joten Lauseen 1 mukaan funktio on kovera .

Sen toinen johdannainen , siksi Lauseen 2 mukaan funktio on kovera .

3.4.2.2 Käännepisteet

Määritelmä. käännekohta Jatkuvan funktion kuvaajaa kutsutaan pisteeksi, joka erottaa välit, joissa funktio on kupera ja kovera.

Tästä määritelmästä seuraa, että käännepisteet ovat ensimmäisen derivaatan ääripisteen pisteitä. Tämä tarkoittaa seuraavia väitteitä tarvittavista ja riittävistä taivutusolosuhteista.

Lause (tarvittava taivutusehto). Jotta piste olisi kahdesti differentioituvan funktion käännepiste, on välttämätöntä, että sen toinen derivaatta tässä pisteessä on nolla ( ) tai ei ollut olemassa.

Lause (riittävä ehto taivutukselle). Jos kahdesti differentioituvan funktion toinen derivaatta muuttaa etumerkkiä kulkiessaan tietyn pisteen läpi, on kyseessä käännepiste.

Huomaa, että toista derivaattia ei välttämättä ole olemassa itse pisteessä.

Käännepisteiden geometrinen tulkinta on havainnollistettu kuvassa. 3.9

Pisteen läheisyydessä funktio on kupera ja sen kuvaaja on tähän pisteeseen piirretyn tangentin alapuolella. Pisteen läheisyydessä funktio on kovera ja sen kuvaaja on tähän pisteeseen piirretyn tangentin yläpuolella. Taivutuspisteessä tangentti jakaa funktion kuvaajan kuperuuden ja koveruuden alueisiin.

3.4.2.3 Kuperuuden ja käännepisteiden olemassaolon funktion tutkiminen

1. Etsi toinen derivaatta.

2. Etsi pisteet, joissa toista derivaattia tai ei ole olemassa.

Riisi. 3.9.

3. Tutki löydettyjen pisteiden vasemmalla ja oikealla puolella olevan toisen derivaatan etumerkkiä ja tee johtopäätös kuperuuden tai koveruuden väleistä ja käännepisteiden olemassaolosta.

Esimerkki. Tutki funktiota kuperuuden ja käännepisteiden olemassaolosta.

2. Toinen derivaatta on nolla kohdassa .

3. Toinen derivaatta muuttaa merkkiä kohdassa , joten piste on käännepiste.

Välillä , funktio on kupera tällä välillä.

Välillä funktio on kovera tällä välillä.

3.4.2.4 Yleinen kaavio funktioiden tutkimisesta ja piirtämisestä

Kun tutkitaan funktiota ja piirretään sen kuvaaja, on suositeltavaa käyttää seuraavaa kaaviota:

Etsi toiminnon laajuus.
Tutki parillisen - parittoman funktiota. Muista, että parillisen funktion kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen ja parittoman funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen.
Etsi vertikaalisia asymptootteja.
Tutki funktion käyttäytymistä äärettömyydessä, etsi vaakasuuntaisia tai vinoja asymptootteja.
Etsi funktion monotonisuuden ääripäät ja intervallit.
Etsi funktion kuperavälit ja käännepisteet.
Etsi leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa.

Funktion tutkimus suoritetaan samanaikaisesti sen graafin rakentamisen kanssa.

Esimerkki. Tutustu toimintoon ja piirtää sen.

1. Toiminnan laajuus - .

2. Tutkittava funktio on parillinen , joten sen kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen.

3. Funktion nimittäjä häviää kohdassa , joten funktion kaaviossa on pystysuorat asymptootit ja .

Pisteet ovat toisen tyyppisiä epäjatkuvuuspisteitä, koska näissä kohdissa vasemmalla ja oikealla olevat rajat ovat yleensä .

4. Funktion käyttäytyminen äärettömyydessä.

Siksi funktion kuvaajalla on vaakasuora asymptootti.

5. Monotonisuuden ääripäät ja intervallit. Ensimmäisen derivaatan löytäminen

Siksi funktio pienenee näillä aikaväleillä.

Siksi funktio kasvaa näillä aikaväleillä.

Siksi piste on kriittinen piste.

Toisen derivaatan löytäminen

Koska piste on funktion minimipiste.

6. Konveksiteettivälit ja käännepisteet.

Toiminto klo , joten funktio on kovera tällä välillä.

Funktio , tarkoittaa, että funktio on kupera näillä aikaväleillä.

Funktio ei koskaan katoa, joten käännepisteitä ei ole.

7. Leikkauspisteet koordinaattiakselien kanssa.

Yhtälöllä , on ratkaisu , joka tarkoittaa funktion kuvaajan ja y-akselin (0, 1) leikkauspistettä.

Yhtälöllä ei ole ratkaisua, mikä tarkoittaa, että siinä ei ole leikkauspisteitä abskissa-akselin kanssa.

Tehdyn tutkimuksen perusteella on mahdollista rakentaa funktiosta kuvaaja

Kaavakuva funktiosta esitetty kuvassa. 3.10.

Riisi. 3.10.

3.4.2.5 Funktion kaavion asymptootit

Määritelmä. Asymptootti funktion kuvaajaa kutsutaan suoraksi, jolla on ominaisuus, että etäisyys pisteestä () tähän suoraan pyrkii arvoon 0, kun kuvaajapiste poistetaan rajattomasti origosta.

Yleinen kaavio funktion tutkimisesta ja graafin rakentamisesta.
1. Kuperuuden ja koveruuden funktion tutkiminen.

Funktion kaavion asymptootit.

Johdanto.

Koulun matematiikan kurssilla olet jo kohdannut tarpeen piirtää funktiokaavioita. Käytit piste-pisteeltä-menetelmää. On huomattava, että se on konseptiltaan yksinkertainen ja johtaa suhteellisen nopeasti tavoitteeseen. Tapauksissa, joissa funktio on jatkuva ja vaihtuu melko tasaisesti, tällä menetelmällä voidaan myös tarjota tarvittava graafisen esityksen tarkkuus. Tätä varten sinun on otettava enemmän pisteitä saavuttaaksesi niiden sijoittelun tietyn tiheyden.

Oletetaan nyt, että funktiolla on paikoin piirteitä sen "käyttäytymisessä": joko sen arvot muuttuvat jyrkästi jossain pienellä alueella tai siinä on katkoksia. Kaavion merkittävimpiä osia ei ehkä havaita tällä tavalla.

Tämä seikka vähentää kaavion "pisteiden mukaan" muodostamismenetelmän arvoa.

On olemassa toinen tapa piirtää kaavioita, joka perustuu funktioiden analyyttiseen tutkimukseen. Se on suotuisa verrattuna koulun matematiikan kurssilla käytettyyn menetelmään.

1. Kuperuuden ja koveruuden funktion tutkiminen .

Anna toiminnon
on differentioituva välillä (a, c). Sitten funktion kuvaajalla on tangentti missä tahansa pisteessä
tämä kaavio (
), ja tangentti ei ole yhdensuuntainen OY-akselin kanssa, koska sen kaltevuus on yhtä suuri
, tietysti.

NOIN
määritelmä Sanomme, että funktion kaavio
kohdassa (a, c) on irrotus, joka osoittaa alas (ylös), jos se ei sijaitse minkään (a, c) funktion kuvaajan tangentin alapuolella (ei yläpuolella).

a) kovera käyrä b) kupera käyrä

Lause 1 (käyrän kuperuuden (koveruuden) välttämätön ehto).

Jos kahdesti differentioituvan funktion kuvaaja on kupera (kovera) käyrä, niin välin (a, c) toinen derivaatta on negatiivinen (positiivinen) tällä välillä.

Lause 2(riittävä ehto käyrän kuperuudelle (koveruudelle).

Jos funktio on kahdesti differentioituva kohdissa (a, b) ja
(
) tämän välin kaikissa pisteissä, silloin käyrä, joka on funktion kuvaaja, on kupera (kovera) tällä välillä.

Funktion kaavion käännepisteet.

Määritelmä Piste
kutsutaan funktiokaavion käännepisteeksi, jos pisteessä
kaaviossa on tangentti, ja pisteellä on sellainen lähialue , jossa pisteen vasemmalla ja oikealla puolella olevan funktion kuvaajalla on erilaiset kuperasuunnat.

NOIN on selvää, että käännepisteessä tangentti ylittää funktion kaavion, koska tämän pisteen toisella puolella kuvaaja on tangentin yläpuolella ja toisella - sen alla, eli käännepisteen läheisyydessä, funktion kuvaaja kulkee geometrisesti tangentin toiselta puolelta toiselle ja "taipuu" sen läpi. Tästä tulee nimi "käännepiste".

Lause 3(tarvittava käännepisteehto). Olkoon funktion kuvaajalla taivutus pisteessä ja funktiolla pisteessä

jatkuva toinen derivaatta. Sitten

.
Ei jokainen piste, jolle , on käännepiste. Esimerkiksi funktion kaavio

ei kuitenkaan ole käännepistettä kohdassa (0, 0).

klo

. Siksi toisen derivaatan yhtäläisyys nollaan on vain välttämätön ehto taivutukselle.

Kuvaajan pisteet, joita kutsutaan kriittiset kohdatII- kaupungit. On tarpeen tutkia edelleen kysymystä taittumisesta jokaisessa kriittisessä kohdassa.

Lause 4(riittävä ehto käännepisteelle). Olkoon funktiolla toinen derivaatta jossain pisteen ympäristössä. Sitten, jos se sijaitsee määritetyllä alueella
on eri etumerkit pisteen vasemmalla ja oikealla puolella , niin kuvaajan pisteessä on käänne .
Kommentti. Lause pitää paikkansa, jos
on toinen derivaatta jossain pisteen naapurustossa, paitsi itse piste, ja funktion kaaviossa on tangentti pisteessä
. Sitten, jos ilmoitetulla alueella on eri merkit pisteen vasemmalla ja oikealla puolella, niin funktion kaaviossa on käänne pisteessä .
Kaavio kuperuuden, koveruuden ja käännepisteiden funktion tutkimisesta.

Esimerkki. Tutustu toimintoon
kupera, koveruus, käännepisteet.
1.

2.
,
=

3. ei ole olemassa osoitteessa

)	1	(1, +)
-		+
	1

Funktion kaavion asymptootit.

Kun tutkitaan funktion käyttäytymistä osoitteessa
tai lähellä 2. tyyppisiä epäjatkuvuuspisteitä, usein käy ilmi, että funktion kuvaaja lähestyy yhtä tai toista suoraa niin läheltä kuin haluaa. Tällaisia linjoja kutsutaan.

NOIN määritelmä 1. Suoraan

kutsutaan käyrän L asymptootiksi, jos etäisyys käyrän pisteestä tähän viivaan pyrkii nollaan pisteen siirtyessä pois käyrää pitkin äärettömään. Asymptootteja on kolmea tyyppiä: pystysuora, vaaka, vino.

Määritelmä 2. Suoraan
kutsutaan funktiokaavion pystyasymptootiksi, jos ainakin yksi yksipuolisista rajoista on yhtä suuri
, eli tai

Esimerkiksi funktion kaavio
on pystysuora asymptootti
, koska
, A
.

Määritelmä 3. Suoraa y \u003d A kutsutaan funktion kaavion vaaka-asymptootiksi, kun

Jos

Esimerkiksi funktion kuvaajalla on vaaka-asymptootti y=0, koska
.

Määritelmä 4. Suoraan

(

) kutsutaan funktion kaavion vinoksi asymptootiksi

Jos

;

Jos ainakin yksi rajoista ei ole olemassa, käyrällä ei ole asymptootteja. Jos, niin näitä rajoja tulisi etsiä erikseen, ja
.

Esimerkiksi. Etsi funktion kaavion asymptootit

; x=0 – pystyasymptootti

;
.

on vino asymptootti.
4. Kaavio funktion täydellisestä tutkimuksesta ja piirtämisestä.

Harkitse esimerkillistä kaaviota, jonka avulla on suositeltavaa tutkia funktion käyttäytymistä ja rakentaa sen kuvaaja.

Esimerkki. Tutustu toimintoon

ja piirtää sen.

1. paitsi x=-1.

2.
toiminto ei parillinen eikä pariton

-

-

+

+

y

-4

t r.

0

Johtopäätös.
Käsiteltävän menetelmän tärkeä piirre on, että se perustuu ensisijaisesti käyrän käyttäytymisen ominaispiirteiden havaitsemiseen ja tutkimiseen. Paikkoja, joissa toiminto vaihtuu sujuvasti, ei tutkita erityisen yksityiskohtaisesti, eikä sellaiselle tutkimukselle ole tarvetta. Mutta ne paikat, joissa toiminnolla on käyttäytymisensä erityispiirteitä, ovat täydellisen tutkimuksen ja tarkimman graafisen esityksen kohteena. Nämä ominaisuudet ovat maksimi-, minimi-, funktion epäjatkuvuuspisteet jne.

Koveruuden ja käänteiden suunnan määrittäminen sekä ilmoitettu menetelmä asymptootien löytämiseksi mahdollistavat funktioiden tutkimisen entistä yksityiskohtaisemmin ja tarkemman käsityksen niiden kaavioista.

Ohje

Funktion käännepisteiden tulee kuulua sen määritelmän alueeseen, joka on löydettävä ensin. Funktiograafi on viiva, joka voi olla jatkuva tai sisältää epäjatkuvuuksia, pienenee tai kasvaa monotonisesti, jossa on minimi- tai maksimipisteet (asymptootit), kupera tai kovera. Jyrkkää muutosta kahdessa viimeisessä tilassa kutsutaan taivutukseksi.

Funktion taipuman olemassaolon välttämätön ehto on, että sekunti on yhtä suuri kuin nolla. Siten, kun funktio on eriytetty kahdesti ja saatu lauseke nollaan, voidaan löytää mahdollisten käännepisteiden abskissat.

Tämä ehto seuraa funktiograafin kuperuuden ja koveruuden ominaisuuksien määrittelystä, ts. toisen derivaatan negatiiviset ja positiiviset arvot. Käännepisteessä näissä ominaisuuksissa tapahtuu jyrkkä muutos, mikä tarkoittaa, että derivaatta ohittaa nollamerkin. Tasa-arvo nollaan ei kuitenkaan vielä riitä osoittamaan käännekohtaa.

On kaksi riittävää ehtoa, että edellisessä vaiheessa löydetty abskissa kuuluu käännepisteeseen: Tämän pisteen kautta voit piirtää funktiolle tangentin. Toisella derivaatalla on eri merkit oletetun käännepisteen oikealla ja vasemmalla puolella. Siten sen olemassaolo itse pisteessä ei ole välttämätöntä, riittää, kun määritetään, että se vaihtaa etumerkkiä siinä Funktion toinen derivaatta on nolla, mutta kolmas ei ole.

Ensimmäinen riittävä ehto on yleinen ja sitä käytetään useammin kuin muita. Tarkastellaan kuvaavaa esimerkkiä: y = (3 x + 3) ∛ (x - 5).

Ratkaisu.Etsi määritelmän alue. Tässä tapauksessa ei ole rajoituksia, joten se on koko reaalilukujen avaruus. Laske ensimmäinen derivaatta: y' = 3 ∛ (x - 5) + (3 x + 3) / ∛ (x - 5)².

Kiinnitä huomiota fraktion ulkonäköön. Tästä seuraa, että johdannaisen määritelmäalue on rajoitettu. Piste x = 5 on punkturoitu, mikä tarkoittaa, että sen läpi voi kulkea tangentti, joka osittain vastaa ensimmäistä taivutuksen riittävyyden kriteeriä.

Määritä tuloksena olevan lausekkeen yksipuoliset rajat kohdissa x → 5 - 0 ja x → 5 + 0. Ne ovat yhtä suuria kuin -∞ ja +∞. Todistit, että pystytangentti kulkee pisteen x=5 kautta. Tämä piste voi olla käännepiste, mutta laske ensin toinen derivaatta: - 5)^5 = (2 x - 22)/∛(x - 5)^5.

Jätä nimittäjä pois, koska olet jo ottanut huomioon pisteen x = 5. Ratkaise yhtälö 2 x - 22 = 0. Sillä on yksi juuri x = 11. Viimeinen vaihe on varmistaa, että pisteet x = 5 ja x = 11 ovat käännepisteitä. Analysoi toisen derivaatan käyttäytymistä niiden läheisyydessä. Ilmeisesti pisteessä x = 5 se vaihtaa etumerkin "+":sta "-" ja pisteessä x = 11, päinvastoin. Johtopäätös: molemmat pisteet ovat käännepisteitä. Ensimmäinen riittävä ehto täyttyy.