Apua Tele2:ssa, tariffit, kysymykset

Siitä lähtien kun tulit tänne, olet luultavasti nähnyt tämän kaavan jo oppikirjassa

ja tee tällaiset kasvot:

Ystävä, älä huoli! Itse asiassa kaikki on yksinkertaisesti törkeää. Ymmärrät varmasti kaiken. Vain yksi pyyntö - lue artikkeli hitaasti, yritä ymmärtää jokainen askel. Kirjoitin mahdollisimman yksinkertaisesti ja selkeästi, mutta sinun on silti ymmärrettävä idea. Ja muista ratkaista artikkelin tehtävät.

Mikä on monimutkainen funktio?

Kuvittele, että muutat toiseen asuntoon ja pakkaat sen vuoksi tavaroita suuriin laatikoihin. Oletetaan, että sinun täytyy kerätä pieniä esineitä, esimerkiksi koulun kirjoitustarvikkeita. Jos heität ne vain valtavaan laatikkoon, ne katoavat muun muassa. Tämän välttämiseksi laita ne ensin esimerkiksi pussiin, jonka sitten laitat isoon laatikkoon, jonka jälkeen suljet sen. Tämä "monimutkainen" prosessi on esitetty alla olevassa kaaviossa:

Vaikuttaa siltä, ​​mitä tekemistä matematiikalla on sen kanssa? Kyllä, huolimatta siitä, että monimutkainen funktio muodostuu TÄYSIN SAMALLA tavalla! Vain me "pakkaamme" ei muistikirjoja ja kyniä, vaan \(x\), kun taas "paketit" ja "laatikot" ovat erilaisia.

Otetaan esimerkiksi x ja "pakataan" se funktioon:

Lopputuloksena saamme tietysti \(\cos⁡x\). Tämä on meidän "laukkumme tavaraa". Laitetaan se nyt "laatikkoon" - pakkaa se esimerkiksi kuutiofunktioon.

Mitä lopulta tapahtuu? Kyllä, se on oikein, siellä on "laukku tavaroita laatikossa", eli "X:n kosini kuutioina".

Tuloksena oleva suunnittelu on monimutkainen toiminto. Se eroaa yksinkertaisesta siinä USEITA "vaikutuksia" (paketteja) sovelletaan yhteen X:ään peräkkäin ja se osoittautuu ikään kuin "toiminto toiminnosta" - "pakkaus pakkauksessa".

Koulukurssilla näitä "paketteja" on hyvin vähän, vain neljä:

"Pakkaa" nyt X ensin eksponentiaaliseen funktioon, jonka kanta on 7, ja sitten trigonometriseen funktioon. Saamme:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

"Pakkaa" nyt x kahdesti trigonometrisiin funktioihin, ensin sisään ja sitten sisään:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Yksinkertaista, eikö?

Kirjoita nyt itse funktiot, missä x:
- ensin se "pakattu" kosiniksi ja sitten eksponentiaaliseksi funktioksi, jonka kantaluku on \(3\);
- ensin viidenteen potenssiin ja sitten tangenttiin;
- ensin logaritmiin kantaan \(4\) , sitten potenssiin \(-2\).

Löydät vastaukset tähän tehtävään artikkelin lopusta.

Voimmeko "pakkaa" X ei kaksi, vaan kolme kertaa? Ei ongelmaa! Ja neljä, ja viisi ja kaksikymmentäviisi kertaa. Tässä on esimerkiksi funktio, jossa x on "pakattu" \(4\) kertaa:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Mutta tällaisia ​​kaavoja ei löydy koulun käytännössä (oppilaat ovat onnekkaampia - heidän omansa voivat olla monimutkaisempia☺).

Monimutkaisen toiminnon "purkaminen".

Katso edellinen toiminto uudelleen. Voitko selvittää "pakkausjärjestyksen"? Mihin X työnnettiin ensin, mihin sitten ja niin edelleen loppuun asti. Eli mikä funktio on sisäkkäin minkä sisällä? Ota paperi ja kirjoita mielipiteesi. Voit tehdä tämän nuolilla varustetulla ketjulla, kuten yllä kirjoitimme, tai millä tahansa muulla tavalla.

Nyt oikea vastaus on: ensin "pakattu" x \(4\):nteen potenssiin, sitten tulos pakattiin siniin, se puolestaan ​​sijoitettiin logaritmiin kantaan \(2\) , ja loppujen lopuksi koko tämä rakennelma pakattiin tehoviikoksi.

Eli sinun on purettava sekvenssi KÄÄNTEISESSÄ JÄRJESTYSSÄ. Ja tässä on vihje, kuinka se tehdään helpommin: katso heti X:ää – sinun pitäisi tanssia siitä. Katsotaanpa muutamia esimerkkejä.

Tässä on esimerkiksi seuraava funktio: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Katsomme X - mitä sille tapahtuu ensin? Häneltä otettu. Ja sitten? Tuloksen tangentti otetaan. Sarja on sama:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Toinen esimerkki: \(y=\cos⁡((x^3))\). Analysoidaan - ensin kuutioimme X, ja sitten otimme tuloksen kosinin. Tämä tarkoittaa, että sekvenssi on: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Kiinnitä huomiota, toiminto näyttää olevan samanlainen kuin aivan ensimmäinen (jossa siinä on kuvia). Mutta tämä on täysin erilainen funktio: tässä kuutiossa on x (eli \(\cos⁡((x·x·x)))\), ja siellä kuutiossa on kosini \(x\) ( eli \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Tämä ero johtuu erilaisista "pakkaus"-sekvensseistä.

Viimeinen esimerkki (jossa on tärkeitä tietoja): \(y=\sin⁡((2x+5))\). On selvää, että tässä he ensin tekivät aritmeettisia operaatioita x:llä, sitten ottivat tuloksen sinin: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Ja tämä on tärkeä seikka: huolimatta siitä, että aritmeettiset operaatiot eivät ole funktioita sinänsä, ne toimivat tässä myös "pakkaustapana". Sukellaanpa hieman syvemmälle tähän hienovaraisuuteen.

Kuten edellä sanoin, yksinkertaisissa funktioissa x "pakattu" kerran ja monimutkaisissa funktioissa - kaksi tai useampi. Lisäksi mikä tahansa yksinkertaisten funktioiden yhdistelmä (eli niiden summa, erotus, kertolasku tai jako) on myös yksinkertainen funktio. Esimerkiksi \(x^7\) on yksinkertainen funktio ja niin on myös \(ctg x\). Tämä tarkoittaa, että kaikki niiden yhdistelmät ovat yksinkertaisia ​​toimintoja:

\(x^7+ ctg x\) - yksinkertainen,
\(x^7· pinnasänky x\) – yksinkertainen,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – yksinkertainen jne.

Jos tällaiseen yhdistelmään käytetään kuitenkin yhtä funktiota, siitä tulee monimutkainen funktio, koska "paketteja" on kaksi. Katso kaavio:

Okei, jatka nyt. Kirjoita "käärintä"-funktioiden järjestys:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Vastaukset ovat jälleen artikkelin lopussa.

Sisäiset ja ulkoiset toiminnot

Miksi meidän on ymmärrettävä funktioiden sisäkkäisyys? Mitä tämä antaa meille? Tosiasia on, että ilman tällaista analyysiä emme voi luotettavasti löytää johdannaisia ​​edellä käsitellyistä funktioista.

Ja jotta voimme jatkaa, tarvitsemme vielä kaksi käsitettä: sisäiset ja ulkoiset toiminnot. Tämä on hyvin yksinkertainen asia, lisäksi itse asiassa olemme jo analysoineet niitä edellä: jos muistamme analogiamme heti alussa, niin sisäinen toiminto on "paketti" ja ulkoinen toiminto on "laatikko". Nuo. se, mihin X on "kääritty" ensin, on sisäinen funktio, ja se, mihin sisäinen funktio "kääritään", on jo ulkoista. No, on selvää miksi - hän on ulkona, se tarkoittaa ulkoista.

Tässä esimerkissä: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funktio \(\log_2⁡x\) on sisäinen ja
-ulkoinen.

Ja tässä: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) on sisäinen ja
-ulkoinen.

Suorita viimeinen käytäntö monimutkaisten funktioiden analysoinnissa ja siirrytään lopulta siihen, mitä varten meidät kaikki aloitettiin - löydämme monimutkaisten funktioiden johdannaisia:

Täytä taulukon tyhjät kohdat:

Monimutkaisen funktion johdannainen

Bravo meille, pääsimme vihdoin tämän aiheen "pomoon" - itse asiassa monimutkaisen funktion johdannaiseen ja erityisesti tuohon erittäin kauheaan kaavaan artikkelin alusta.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Tämä kaava kuuluu näin:

Kompleksisen funktion derivaatta on yhtä suuri kuin ulkoisen funktion derivaatan tulo vakion sisäisen funktion suhteen ja sisäisen funktion derivaatan tulo.

Ja katso heti "sana sanalta" -jäsennyskaaviota ymmärtääksesi, mikä on mitä:

Toivon, että termit "johdannainen" ja "tuote" eivät aiheuta vaikeuksia. "Monimutkainen toiminto" - olemme jo selvittäneet sen. Saali on "ulkoisen funktion johdannaisessa suhteessa vakioon sisäiseen toimintoon". Mikä se on?

Vastaus: Tämä on tavallinen johdannainen ulkoisesta funktiosta, jossa vain ulkoinen funktio muuttuu ja sisäinen pysyy samana. Eikö vieläkään ole selvää? Okei, käytetään esimerkkiä.

Otetaan funktio \(y=\sin⁡(x^3)\). On selvää, että sisäinen funktio tässä on \(x^3\) ja ulkoinen
. Etsitään nyt ulkopuolen johdannainen vakion sisäpuolen suhteen.

Operaatiota derivaatan löytämiseksi kutsutaan differentiaatioksi.

Ratkaistiin yksinkertaisimpien (ja ei kovin yksinkertaisten) funktioiden johdannaisten löytämisongelmia määrittämällä derivaatta lisäyksen ja argumentin lisäyksen suhteen rajaksi, jolloin ilmestyi derivaattataulukko ja tarkasti määritellyt differentiaatiosäännöt. . Ensimmäiset johdannaisten löytämisen alalla työskentelivät Isaac Newton (1643-1727) ja Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Siksi meidän aikanamme löytääksesi minkä tahansa funktion derivaatan, sinun ei tarvitse laskea edellä mainittua funktion lisäyksen ja argumentin lisäyksen suhteen rajaa, vaan sinun tarvitsee vain käyttää taulukkoa derivaatat ja differentiointisäännöt. Seuraava algoritmi sopii derivaatan löytämiseen.

Löytääksesi johdannaisen, tarvitset lausekkeen alkumerkin alle hajottaa yksinkertaiset toiminnot osiin ja päättää mitä toimia (tuote, summa, osamäärä) nämä toiminnot liittyvät toisiinsa. Seuraavaksi löydämme alkeisfunktioiden derivaatat derivaattataulukosta ja kaavat tulon, summan ja osamäärän derivaateille - differentiaatiosäännöistä. Johdannaistaulukko ja differentiointisäännöt on annettu kahden ensimmäisen esimerkin jälkeen.

Esimerkki 1. Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu. Differentiointisäännöistä selviää, että funktioiden summan derivaatta on funktioiden derivaattojen summa, ts.

Derivaatataulukosta selviää, että "x":n derivaatta on yhtä suuri kuin yksi ja sinin derivaatta on yhtä suuri kuin kosini. Korvaamme nämä arvot johdannaisten summaksi ja löydämme ongelman ehdon vaatiman derivaatan:

Esimerkki 2. Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu. Differentioimme derivaatana summasta, jossa toisella termillä on vakiotekijä; se voidaan ottaa pois derivaatan merkistä:

Jos vielä herää kysymyksiä siitä, mistä jokin tulee, ne yleensä selvitetään, kun olet tutustunut derivaattataulukkoon ja yksinkertaisimpiin erottelusääntöihin. Siirrymme nyt niihin.

Taulukko yksinkertaisten funktioiden johdannaisista

1. Vakion (luvun) derivaatta. Mikä tahansa luku (1, 2, 5, 200...), joka on funktiolausekkeessa. Aina yhtä kuin nolla. Tämä on erittäin tärkeää muistaa, koska sitä vaaditaan hyvin usein
2. Riippumattoman muuttujan johdannainen. Useimmiten "X". Aina yhtä kuin yksi. Tämä on myös tärkeää muistaa pitkään
3. Tutkinnon johdannainen. Kun ratkaiset ongelmia, sinun on muunnettava ei-neliöjuuret potenssiin.
4. Muuttujan johdannainen potenssiin -1
5. Neliöjuuren johdannainen
6. Sinin derivaatta
7. Kosinin johdannainen
8. Tangentin derivaatta
9. Kotangentin derivaatta
10. Arsiinin johdannainen
11. Arkkikosinin derivaatta
12. Arktangentin johdannainen
13. Arkkikotangentin derivaatta
14. Luonnollisen logaritmin derivaatta
15. Logaritmisen funktion derivaatta
16. Eksponentin derivaatta
17. Eksponentiaalisen funktion derivaatta

Erottamisen säännöt

1. Summan tai erotuksen johdannainen
2. Tuotteen johdannainen
2a. Johdannainen lausekkeesta kerrottuna vakiotekijällä
3. Osamäärän derivaatta
4. Monimutkaisen funktion derivaatta

Sääntö 1.Jos toiminnot

ovat erotettavissa jossain vaiheessa, niin funktiot ovat differentioituvia samassa pisteessä

ja

nuo. funktioiden algebrallisen summan derivaatta on yhtä suuri kuin näiden funktioiden derivaattojen algebrallinen summa.

Seuraus. Jos kaksi differentioituvaa funktiota eroavat toisistaan ​​vakiotermillä, niin niiden derivaatat ovat yhtä suuret, eli

Sääntö 2.Jos toiminnot

ovat erotettavissa jossain vaiheessa, niin niiden tuote on erottuva samassa pisteessä

ja

nuo. Kahden funktion tulon derivaatta on yhtä suuri kuin näiden kunkin funktion tulojen ja toisen funktion tulojen summa.

Seuraus 1. Vakiotekijä voidaan ottaa pois derivaatan etumerkistä:

Seuraus 2. Useiden differentioituvien funktioiden tulon derivaatta on yhtä suuri kuin kunkin tekijän ja kaikkien muiden derivaatan tulojen summa.

Esimerkiksi kolmelle kertoimelle:

Sääntö 3.Jos toiminnot

erottuva jossain vaiheessa Ja , niin tässä vaiheessa myös niiden osamäärä on differentioituvau/v ja

nuo. kahden funktion osamäärän derivaatta on yhtä suuri kuin murto-osa, jonka osoittaja on nimittäjän tulojen ja osoittajan derivaatan ja osoittajan ja nimittäjän derivaatan välinen ero, ja nimittäjä on funktion neliö. entinen osoittaja.

Mistä etsiä asioita muilta sivuilta

Kun etsitään tuotteen derivaatta ja osamäärä todellisissa ongelmissa, on aina tarpeen soveltaa useita differentiointisääntöjä kerralla, joten artikkelissa on enemmän esimerkkejä näistä johdannaisista"Tuotteen johdannainen ja funktioiden osamäärä".

Kommentti. Vakiota (eli lukua) ei pidä sekoittaa summan termiksi ja vakiotekijäksi! Termin tapauksessa sen derivaatta on nolla, ja vakiotekijän tapauksessa se otetaan pois derivaattojen etumerkistä. Tämä on tyypillinen johdannaisten opiskelun alkuvaiheessa ilmenevä virhe, mutta kun keskivertoopiskelija ratkaisee useita yksi- ja kaksiosaisia ​​esimerkkejä, hän ei enää tee tätä virhettä.

Ja jos sinulla on termi, kun erotat tuotteen tai osamäärän u"v, jossa u- luku, esimerkiksi 2 tai 5, eli vakio, niin tämän luvun derivaatta on yhtä suuri kuin nolla ja siksi koko termi on yhtä suuri kuin nolla (tätä tapausta käsitellään esimerkissä 10).

Toinen yleinen virhe on ratkaista mekaanisesti kompleksisen funktion derivaatta yksinkertaisen funktion derivaatana. Siksi kompleksisen funktion derivaatta on omistettu erillinen artikkeli. Mutta ensin opimme löytämään johdannaisia ​​yksinkertaisista funktioista.

Matkan varrella et voi tehdä ilman ilmaisujen muuntamista. Tätä varten sinun on ehkä avattava käsikirja uusissa ikkunoissa. Toimia, joilla on voimia ja juuria Ja Operaatiot murtoluvuilla .

Jos etsit ratkaisuja jakeiden johdannaisiin, joissa on potenssit ja juuret, eli kun funktio näyttää tältä , noudata sitten oppituntia "Jouhoslukujen summista potenssien ja juurien kanssa".

Jos sinulla on tehtävä, kuten , sitten otat oppitunnin "Yksinkertaisten trigonometristen funktioiden johdannaiset".

Vaiheittaiset esimerkit - kuinka löytää johdannainen

Esimerkki 3. Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu. Määrittelemme funktiolausekkeen osat: koko lauseke edustaa tuotetta ja sen tekijät ovat summia, joista toisessa yksi termeistä sisältää vakiotekijän. Sovellamme tulojen eriyttämissääntöä: kahden funktion tulon derivaatta on yhtä suuri kuin näiden kunkin funktion tulojen summa toisen funktion derivaatalla:

Seuraavaksi sovelletaan summan differentiaatiosääntöä: funktioiden algebrallisen summan derivaatta on yhtä suuri kuin näiden funktioiden derivaattojen algebrallinen summa. Meidän tapauksessamme jokaisessa summassa toisella termillä on miinusmerkki. Jokaisessa summassa näemme sekä itsenäisen muuttujan, jonka derivaatta on yhtä suuri, että vakion (luku), jonka derivaatta on yhtä suuri kuin nolla. Joten "X" muuttuu yhdeksi ja miinus 5 nollaksi. Toisessa lausekkeessa "x" kerrotaan kahdella, joten kerromme kaksi samalla yksiköllä kuin "x":n derivaatta. Saamme seuraavat johdannaisarvot:

Korvaamme löydetyt derivaatat tulojen summaksi ja saamme koko tehtävän ehdon vaatiman funktion derivaatan:

Ja voit tarkistaa johdannaisongelman ratkaisun.

Esimerkki 4. Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu. Meidän on löydettävä osamäärän derivaatta. Käytämme osamäärän eriyttämiseen kaavaa: kahden funktion osamäärän derivaatta on yhtä suuri kuin murto-osa, jonka osoittaja on nimittäjän tulojen ja osoittajan derivaatan ja osoittajan ja funktion derivaatan erotus. nimittäjä, ja nimittäjä on entisen osoittajan neliö. Saamme:

Olemme jo löytäneet tekijöiden derivaatan osoittajasta esimerkissä 2. Älä myöskään unohda, että tulo, joka on tämän esimerkin osoittajan toinen tekijä, otetaan miinusmerkillä:

Jos etsit ratkaisuja ongelmiin, joissa sinun on löydettävä funktion derivaatta, jossa on jatkuva kasa juuria ja potenssia, kuten esim. , tervetuloa tunnille "Johdannainen murtolukujen summista, joilla on potenssit ja juuret" .

Jos haluat oppia lisää sinien, kosinien, tangenttien ja muiden trigonometristen funktioiden derivaatoista, eli kun funktio näyttää tältä , sitten oppitunti sinulle "Yksinkertaisten trigonometristen funktioiden johdannaiset" .

Esimerkki 5. Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu. Tässä funktiossa näemme tuotteen, jonka yksi tekijöistä on riippumattoman muuttujan neliöjuuri, jonka derivaattaan tutustuimme derivaattataulukossa. Käyttämällä sääntöä tulon ja neliöjuuren derivaatan taulukkoarvon erottamisesta saamme:

Voit tarkistaa johdannaisongelman ratkaisun osoitteessa online-johdannaislaskin .

Esimerkki 6. Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu. Tässä funktiossa näemme osamäärän, jonka osinko on riippumattoman muuttujan neliöjuuri. Käyttämällä osamäärän differentiaatiosääntöä, jota toistimme ja sovelsimme esimerkissä 4, ja neliöjuuren derivaatan taulukkoarvoa, saadaan:

Poistaaksesi osoittajan murto-osan kertomalla osoittaja ja nimittäjä luvulla.

Tällä oppitunnilla opimme löytämään kompleksisen funktion derivaatta. Oppitunti on looginen jatko oppitunnille Kuinka löytää johdannainen?, jossa tarkastelimme yksinkertaisimpia derivaattoja ja tutustuimme myös differentiaatiosääntöihin ja joihinkin teknisiin tekniikoihin derivaattojen löytämiseksi. Joten jos et ole kovin hyvä funktioiden johdannaisten kanssa tai jotkin tämän artikkelin kohdat eivät ole täysin selviä, lue ensin yllä oleva oppitunti. Ole hyvä ja ota vakava mieli - materiaali ei ole yksinkertaista, mutta yritän silti esittää sen yksinkertaisesti ja selkeästi.

Käytännössä monimutkaisen funktion derivaatan kanssa joutuu käsittelemään hyvin usein, sanoisin jopa lähes aina, kun annetaan tehtäviä derivaattojen etsimiseen.

Katsomme taulukkoa säännöstä (nro 5) monimutkaisen funktion erottamiseksi:

Selvitetään se. Ensinnäkin kiinnitetään huomiota sisääntuloon. Tässä on kaksi funktiota - ja, ja funktio kuvaannollisesti sanottuna on sisäkkäinen funktion sisällä. Tämän tyyppistä funktiota (kun yksi funktio on sisäkkäinen toisen sisällä) kutsutaan kompleksifunktioksi.

Kutsun toiminnon ulkoinen toiminto, ja toiminto – sisäinen (tai sisäkkäinen) toiminto.

! Nämä määritelmät eivät ole teoreettisia, eivätkä ne saa esiintyä tehtävien lopullisessa suunnittelussa. Käytän epävirallisia ilmaisuja "ulkoinen toiminto", "sisäinen" toiminto vain helpottaakseni materiaalin ymmärtämistä.

Selvittääksesi tilannetta, harkitse:

Esimerkki 1

Etsi funktion derivaatta

Sinin alla ei ole vain kirjain “X”, vaan koko lauseke, joten derivaatan löytäminen heti taulukosta ei onnistu. Huomaamme myös, että tässä on mahdotonta soveltaa neljää ensimmäistä sääntöä, ero näyttää olevan, mutta tosiasia on, että siniä ei voi "revitä palasiksi":

Tässä esimerkissä on jo intuitiivisesti selvää selityksistäni, että funktio on monimutkainen funktio ja polynomi on sisäinen funktio (upotus) ja ulkoinen funktio.

Ensimmäinen askel mitä sinun tulee tehdä, kun etsit monimutkaisen funktion derivaatta, on ymmärtää, mikä toiminto on sisäinen ja mikä ulkoinen.

Yksinkertaisten esimerkkien tapauksessa näyttää selvältä, että polynomi on upotettu sinin alle. Mutta entä jos kaikki ei ole itsestään selvää? Kuinka määrittää tarkasti, mikä toiminto on ulkoinen ja mikä sisäinen? Tätä varten ehdotan seuraavan tekniikan käyttöä, joka voidaan tehdä henkisesti tai luonnoksessa.

Kuvitellaan, että meidän on laskettava lausekkeen arvo laskimella (yksien sijasta voi olla mikä tahansa luku).

Mitä laskemme ensin? Ensinnäkin sinun on suoritettava seuraava toiminto: , siksi polynomi on sisäinen funktio:

toiseksi täytyy löytää, joten sini – on ulkoinen funktio:

Meidän jälkeen LOPPUUNMYYTY Sisäisten ja ulkoisten funktioiden kanssa on aika soveltaa monimutkaisten funktioiden eriyttämissääntöä.

Aloitetaan päättäminen. Luokasta Kuinka löytää johdannainen? muistamme, että minkä tahansa johdannaisen ratkaisun suunnittelu alkaa aina näin - kirjoitamme lausekkeen sulkuihin ja laitamme viivan oikeaan yläkulmaan:

Ensiksi löydämme ulkoisen funktion derivaatan (sini), katsomme alkeisfunktioiden derivaattataulukkoa ja huomaamme, että . Kaikkia taulukkokaavoja voidaan käyttää myös, jos "x" korvataan monimutkaisella lausekkeella, tässä tapauksessa:

Huomaa, että sisäinen toiminto ei ole muuttunut, emme koske siihen.

No, se on aivan selvää

Kaavan soveltamisen lopputulos näyttää tältä:

Vakiotekijä sijoitetaan yleensä lausekkeen alkuun:

Jos sinulla on väärinkäsityksiä, kirjoita ratkaisu paperille ja lue selitykset uudelleen.

Esimerkki 2

Etsi funktion derivaatta

Esimerkki 3

Etsi funktion derivaatta

Kuten aina, kirjoitamme:

Selvitetään, missä meillä on ulkoinen toiminto ja missä sisäinen. Tätä varten yritämme (mielisesti tai luonnoksessa) laskea lausekkeen arvon . Mitä sinun pitäisi tehdä ensin? Ensinnäkin sinun on laskettava, mikä kanta on yhtä suuri: siksi polynomi on sisäinen funktio:

Ja vasta sitten suoritetaan eksponentio, joten tehofunktio on ulkoinen funktio:

Kaavan mukaan sinun on ensin löydettävä ulkoisen funktion derivaatta, tässä tapauksessa aste. Etsimme tarvittavan kaavan taulukosta: . Toistamme vielä: mikä tahansa taulukkokaava ei kelpaa vain "X:lle", vaan myös monimutkaiselle lausekkeelle. Näin ollen monimutkaisen funktion eriyttämissäännön soveltamisen tulos on seuraava:

Korostan jälleen, että kun otamme ulkoisen funktion derivaatan, sisäinen toimintamme ei muutu:

Nyt ei ole enää jäljellä kuin löytää hyvin yksinkertainen johdannainen sisäisestä funktiosta ja muokata tulosta hieman:

Esimerkki 4

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse (vastaa oppitunnin lopussa).

Vahvistaakseni ymmärrystäsi monimutkaisen funktion derivaatta, annan esimerkin ilman kommentteja, yritä selvittää se itse, perustele missä ulkoinen ja missä sisäinen funktio on, miksi tehtävät ratkaistaan ​​tällä tavalla?

Esimerkki 5

a) Etsi funktion derivaatta

b) Etsi funktion derivaatta

Esimerkki 6

Etsi funktion derivaatta

Tässä meillä on juuri, ja juuren erottamiseksi se on esitettävä voimana. Joten ensin tuomme funktion eriyttämistä varten sopivaan muotoon:

Funktiota analysoimalla tulemme siihen tulokseen, että kolmen termin summa on sisäinen funktio ja potenssiin nostaminen on ulkoinen funktio. Käytämme monimutkaisten funktioiden eriyttämissääntöä:

Esitämme asteen jälleen radikaalina (juurena), ja sisäisen funktion derivaatalle sovelletaan yksinkertaista sääntöä summan erottamiseksi:

Valmis. Voit myös pienentää lausekkeen yhteiseksi nimittäjäksi suluissa ja kirjoittaa kaiken muistiin yhtenä murtolukuna. Se on tietysti kaunista, mutta kun saat hankalia pitkiä johdannaisia, on parempi olla tekemättä tätä (on helppo hämmentyä, tehdä tarpeettomia virheitä, ja opettajan on hankala tarkistaa).

Esimerkki 7

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse (vastaa oppitunnin lopussa).

On mielenkiintoista huomata, että joskus monimutkaisen funktion erottamissäännön sijaan voit käyttää osamäärän erottamissääntöä , mutta tällainen ratkaisu näyttää hauskalta perversiolta. Tässä on tyypillinen esimerkki:

Esimerkki 8

Etsi funktion derivaatta

Tässä voit käyttää osamäärän differentiaatiosääntöä , mutta on paljon kannattavampaa löytää derivaatta monimutkaisen funktion differentiaatiosäännön avulla:

Valmistelemme funktion differentiaatiota varten - siirrämme miinuksen pois derivaattamerkistä ja nostamme kosinin osoittajaksi:

Kosini on sisäinen funktio, eksponentio on ulkoinen funktio.
Käytetään sääntöämme:

Etsimme sisäisen funktion derivaatan ja nollaamme kosinin takaisin alaspäin:

Valmis. Tarkastetussa esimerkissä on tärkeää, ettei sekaannu merkkeihin. Muuten, yritä ratkaista se säännön avulla , vastausten on oltava samat.

Esimerkki 9

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse (vastaa oppitunnin lopussa).

Tähän mennessä olemme tarkastelleet tapauksia, joissa meillä oli vain yksi sisäkkäinen monimutkainen funktio. Käytännön tehtävissä voi usein löytää johdannaisia, joissa pesivien nukkejen tapaan sisäkkäin 3 tai jopa 4-5 funktiota upotetaan kerralla.

Esimerkki 10

Etsi funktion derivaatta

Ymmärretään tämän funktion liitteet. Yritetään laskea lauseke kokeellisen arvon avulla. Kuinka laskemme laskimeen?

Ensin sinun on löydettävä , mikä tarkoittaa, että arcsini on syvin upotus:

Tämä yhden arksini tulee sitten neliöidä:

Ja lopuksi nostamme seitsemän potenssiin:

Eli tässä esimerkissä meillä on kolme erilaista funktiota ja kaksi upotusta, kun taas sisin funktio on arcsini ja uloin funktio on eksponentiaalinen funktio.

Aloitetaan päättäminen

Säännön mukaan sinun on ensin otettava ulkoisen funktion derivaatta. Katsomme derivaattataulukkoa ja löydämme eksponentiaalisen funktion derivaatan: Ainoa ero on, että "x":n sijaan meillä on kompleksilauseke, joka ei kumoa tämän kaavan pätevyyttä. Joten tulos monimutkaisen funktion erottamista koskevan säännön soveltamisesta on seuraava:

Iskun alla meillä on taas monimutkainen toiminto! Mutta se on jo yksinkertaisempaa. On helppo varmistaa, että sisäfunktio on arsini, ulkofunktio on aste. Monimutkaisen funktion erottamissäännön mukaan sinun on ensin otettava potenssin derivaatta.

Jos g(x) Ja f(u) – argumenttiensa erotettavissa olevat funktiot, vastaavasti, pisteissä x Ja u= g(x), silloin kompleksifunktio on myös differentioituva pisteessä x ja se löytyy kaavan mukaan

Tyypillinen virhe derivaattavia tehtäviä ratkaistaessa on yksinkertaisten funktioiden eriyttämissääntöjen mekaaninen siirtäminen monimutkaisiin funktioihin. Opitaan välttämään tämä virhe.

Esimerkki 2. Etsi funktion derivaatta

Väärä ratkaisu: laske jokaisen suluissa olevan termin luonnollinen logaritmi ja etsi derivaattojen summa:

Oikea ratkaisu: määritämme jälleen missä "omena" on ja missä "jauheliha" on. Tässä suluissa olevan lausekkeen luonnollinen logaritmi on "omena", eli funktio väliargumentin yli u, ja suluissa oleva ilmaus on "jauheliha", eli väliargumentti u riippumattoman muuttujan mukaan x.

Sitten (käyttämällä johdannaistaulukon kaavaa 14)

Monissa tosielämän ongelmissa lauseke logaritmin kanssa voi olla hieman monimutkaisempi, minkä vuoksi on oppitunti

Esimerkki 3. Etsi funktion derivaatta

Väärä ratkaisu:

Oikea ratkaisu. Jälleen kerran määritämme missä "omena" on ja missä "jauheliha". Tässä suluissa olevan lausekkeen kosini (johdannaistaulukon kaava 7) on "omena", se valmistetaan moodissa 1, joka vaikuttaa vain siihen, ja lauseke suluissa (asteen derivaatta on numero 3 johdannaistaulukossa) on "jauheliha", se valmistetaan tilassa 2, joka vaikuttaa vain siihen. Ja kuten aina, yhdistämme kaksi johdannaista tuotemerkillä. Tulos:

Monimutkaisen logaritmisen funktion derivaatta on usein tehtävä testeissä, joten suosittelemme, että osallistut oppitunnille "Logaritmisen funktion derivaatta".

Ensimmäiset esimerkit koskivat monimutkaisia ​​funktioita, joissa riippumattoman muuttujan väliargumentti oli yksinkertainen funktio. Mutta käytännön tehtävissä on usein tarpeen löytää derivaatta monimutkaisesta funktiosta, jossa väliargumentti on joko itse kompleksifunktio tai sisältää sellaisen funktion. Mitä tehdä tällaisissa tapauksissa? Etsi tällaisten funktioiden johdannaisia ​​taulukoiden ja differentiointisääntöjen avulla. Kun väliargumentin derivaatta löytyy, se yksinkertaisesti korvataan oikeaan paikkaan kaavassa. Alla on kaksi esimerkkiä siitä, kuinka tämä tehdään.

Lisäksi on hyödyllistä tietää seuraavat asiat. Jos monimutkainen funktio voidaan esittää kolmen funktion ketjuna

niin sen johdannainen tulisi löytää kunkin funktion johdannaisten tulona:

Monet kotitehtäväsi saattavat edellyttää, että avaat oppaitasi uusissa ikkunoissa. Toimia, joilla on voimia ja juuria Ja Operaatiot murtoluvuilla .

Esimerkki 4. Etsi funktion derivaatta

Sovellamme kompleksisen funktion differentiaatiosääntöä unohtamatta, että johdannaisten tuloksena olevassa tuotteessa on väliargumentti riippumattoman muuttujan suhteen x ei muutu:

Valmistelemme tuotteen toisen tekijän ja sovellamme summan erottelusääntöä:

Toinen termi on juuri, joten

Näin ollen havaitsimme, että väliargumentti, joka on summa, sisältää yhtenä termeistä monimutkaisen funktion: potenssiin nostaminen on monimutkainen funktio, ja potenssiin nostaminen on väliargumentti riippumattoman suhteen. muuttuja x.

Siksi käytämme jälleen sääntöä monimutkaisen funktion erottamiseksi:

Muunnamme ensimmäisen tekijän asteen juureksi, ja toista tekijää erotettaessa älä unohda, että vakion derivaatta on yhtä suuri kuin nolla:

Nyt voimme löytää derivaatan väliargumentista, joka tarvitaan laskemaan ongelmalausekkeessa vaaditun kompleksisen funktion derivaatta y:

Esimerkki 5. Etsi funktion derivaatta

Ensin käytämme sääntöä summan erottamiseen:

Saimme kahden kompleksisen funktion derivaattojen summan. Etsitään ensimmäinen:

Tässä sinin nostaminen potenssiin on monimutkainen funktio, ja itse sini on väliargumentti riippumattomalle muuttujalle x. Siksi käytämme matkan varrella monimutkaisen funktion differentiaatiosääntöä ottamalla tekijä pois suluista :

Nyt löydämme funktion derivaattojen toisen termin y:

Tässä kosinin nostaminen potenssiin on monimutkainen funktio f, ja itse kosini on väliargumentti riippumattomassa muuttujassa x. Käytetään jälleen sääntöä monimutkaisen funktion erottamiseen:

Tuloksena on vaadittu derivaatta:

Taulukko joidenkin monimutkaisten funktioiden johdannaisista

Monimutkaisille funktioille, jotka perustuvat kompleksisen funktion differentiaatiosääntöön, yksinkertaisen funktion derivaatan kaava saa eri muodon.

1. Monimutkaisen potenssifunktion derivaatta, jossa u x
2. Lausekkeen juuren johdannainen
3. Eksponentiaalisen funktion derivaatta
4. Eksponenttifunktion erikoistapaus
5. Logaritmisen funktion derivaatta, jolla on mielivaltainen positiivinen kanta A
6. Kompleksisen logaritmisen funktion derivaatta, jossa u– argumentin differentioituva funktio x
7. Sinin johdannainen
8. Kosinin derivaatta
9. Tangentin derivaatta
10. Kotangentin derivaatta
11. Arsiinin johdannainen
12. Arkosiinin johdannainen
13. Arktangentin johdannainen
14. Arkkikotangentin derivaatta

Jos noudatat määritelmää, niin funktion derivaatta pisteessä on funktion Δ lisäyksen suhteen raja. y argumentin lisäykseen Δ x:

Kaikki näyttää olevan selvää. Mutta yritä käyttää tätä kaavaa laskeaksesi esimerkiksi funktion derivaatan f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x synti x. Jos teet kaiken määritelmän mukaan, nukahdat vain muutaman sivun laskelmien jälkeen. Siksi on olemassa yksinkertaisempia ja tehokkaampia tapoja.

Aluksi huomaamme, että koko funktioiden valikoimasta voimme erottaa niin sanotut perusfunktiot. Nämä ovat suhteellisen yksinkertaisia ​​lausekkeita, joiden johdannaisia ​​on laskettu ja taulukoitu pitkään. Tällaiset funktiot ovat melko helppoja muistaa - sekä niiden johdannaiset.

Alkeisfunktioiden johdannaiset

Perustoiminnot ovat kaikki alla luetellut. Näiden funktioiden johdannaiset on tiedettävä ulkoa. Lisäksi niiden muistaminen ei ole ollenkaan vaikeaa - siksi ne ovat alkeellisia.

Eli alkeisfunktioiden johdannaiset:

Nimi	Toiminto	Johdannainen
Jatkuva	f(x) = C, C ∈ R	0 (kyllä, nolla!)
Teho rationaalisen eksponentin kanssa	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = synti x	cos x
Kosini	f(x) = cos x	-syntiä x(miinus sini)
Tangentti	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangentti	f(x) = ctg x	− 1/sin 2 x
Luonnollinen logaritmi	f(x) = loki x	1/x
Mielivaltainen logaritmi	f(x) = loki a x	1/(x ln a)
Eksponentti funktio	f(x) = e x	e x(mikään ei muuttunut)

Jos perusfunktio kerrotaan mielivaltaisella vakiolla, niin uuden funktion derivaatta on myös helppo laskea:

(C · f)’ = C · f ’.

Yleensä vakiot voidaan ottaa pois derivaatan etumerkistä. Esimerkiksi:

(2x 3)' = 2 · ( x 3) = 2 3 x 2 = 6x 2 .

On selvää, että perusfunktioita voidaan lisätä toisiinsa, kertoa, jakaa - ja paljon muuta. Näin ilmestyy uusia toimintoja, ei enää erityisen alkeellisia, vaan myös tiettyjen sääntöjen mukaan erotettuja. Näitä sääntöjä käsitellään alla.

Summan ja erotuksen johdannainen

Olkoon funktiot annettu f(x) Ja g(x), jonka johdannaiset tunnemme. Voit esimerkiksi ottaa edellä käsitellyt perusfunktiot. Sitten voit löytää näiden funktioiden summan ja erotuksen derivaatan:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Joten kahden funktion summan (eron) derivaatta on yhtä suuri kuin derivaattojen summa (ero). Termejä voi olla enemmän. Esimerkiksi, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Tarkkaan ottaen algebrassa ei ole käsitettä "vähennys". On olemassa käsite "negatiivinen elementti". Siksi ero f − g voidaan kirjoittaa uudelleen summaksi f+ (-1) g, ja sitten jäljellä on vain yksi kaava - summan derivaatta.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Toiminto f(x) on kahden perusfunktion summa, joten:

f ’(x) = (x 2 + synti x)’ = (x 2)' + (synti x)’ = 2x+ cos x;

Perustelemme samalla tavalla toiminnon suhteen g(x). Vain kolme termiä on jo olemassa (algebran näkökulmasta):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Vastaus:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Tuotteen johdannainen

Matematiikka on loogista tiedettä, joten monet ihmiset uskovat, että jos summan derivaatta on yhtä suuri kuin johdannaisten summa, niin tuotteen derivaatta lakko">yhtä kuin johdannaisten tuloa. Mutta perse! Tuotteen johdannainen lasketaan täysin eri kaavalla. Nimittäin:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Kaava on yksinkertainen, mutta se unohtuu usein. Eikä vain koululaisia, vaan myös opiskelijoita. Tuloksena on virheellisesti ratkaistuja ongelmia.

Tehtävä. Etsi funktioiden johdannaiset: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x– 7) · e x .

Toiminto f(x) on kahden perusfunktion tulos, joten kaikki on yksinkertaista:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− sin x) = x 2 (3cos x − x synti x)

Toiminto g(x) ensimmäinen kerroin on hieman monimutkaisempi, mutta yleinen kaavio ei muutu. Ilmeisesti funktion ensimmäinen tekijä g(x) on polynomi ja sen derivaatta on summan derivaatta. Meillä on:

g ’(x) = ((x 2 + 7x– 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x– 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Vastaus:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x synti x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Huomaa, että viimeisessä vaiheessa johdannainen faktoroidaan. Muodollisesti tätä ei tarvitse tehdä, mutta useimpia johdannaisia ​​ei lasketa itsestään, vaan funktion tutkimiseksi. Tämä tarkoittaa, että edelleen derivaatta rinnastetaan nollaan, sen etumerkit määritetään ja niin edelleen. Tällaisessa tapauksessa on parempi, että lauseke on faktoroitu.

Jos toimintoja on kaksi f(x) Ja g(x), ja g(x) ≠ 0 meitä kiinnostavassa joukossa, voimme määritellä uuden funktion h(x) = f(x)/g(x). Tällaista funktiota varten löydät myös derivaatan:

Ei heikko, vai mitä? Mistä miinus tuli? Miksi g 2? Ja näin! Tämä on yksi monimutkaisimmista kaavoista - et voi selvittää sitä ilman pulloa. Siksi on parempi tutkia sitä erityisillä esimerkeillä.

Tehtävä. Etsi funktioiden johdannaiset:

Kunkin murtoluvun osoittaja ja nimittäjä sisältävät alkeisfunktioita, joten tarvitsemme vain kaavan osamäärän derivaatalle:

Perinteen mukaan kerrotaan osoittaja - tämä yksinkertaistaa vastausta huomattavasti:

Monimutkainen funktio ei välttämättä ole puolen kilometrin pituinen kaava. Esimerkiksi funktion ottaminen riittää f(x) = synti x ja vaihda muuttuja x, sano, päälle x 2 + ln x. Se selviää f(x) = synti ( x 2 + ln x) - tämä on monimutkainen funktio. Sillä on myös johdannainen, mutta sitä ei voi löytää yllä käsiteltyjen sääntöjen avulla.

Mitä minun pitäisi tehdä? Tällaisissa tapauksissa monimutkaisen funktion derivaatan muuttujan ja kaavan korvaaminen auttaa:

f ’(x) = f ’(t) · t', jos x korvataan t(x).

Pääsääntöisesti tilanne tämän kaavan ymmärtämisessä on vielä surullisempi kuin osamäärän derivaatan kanssa. Siksi on myös parempi selittää se erityisillä esimerkeillä ja yksityiskohtaisella kuvauksella jokaisesta vaiheesta.

Tehtävä. Etsi funktioiden johdannaiset: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = synti ( x 2 + ln x)

Huomaa, että jos funktiossa f(x) lausekkeen 2 sijaan x+3 tulee olemaan helppoa x, niin saadaan alkeisfunktio f(x) = e x. Siksi teemme korvaavan: anna 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Etsimme kompleksisen funktion johdannaista kaavalla:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Ja nyt - huomio! Suoritamme käänteisen vaihdon: t = 2x+ 3. Saamme:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Katsotaan nyt toimintoa g(x). Ilmeisesti se on vaihdettava x 2 + ln x = t. Meillä on:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (synti t)’ · t' = cos t · t ’

Käänteinen vaihto: t = x 2 + ln x. Sitten:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Siinä kaikki! Kuten viimeisestä lausekkeesta voidaan nähdä, koko ongelma on rajoittunut johdannaissumman laskemiseen.

Vastaus:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Hyvin usein tunneillani käytän termin "johdannainen" sijaan sanaa "alkuarvo". Esimerkiksi summan veto on yhtä suuri kuin vetojen summa. Onko se selkeämpi? No se on hyvä.

Siten johdannaisen laskeminen tarkoittaa, että päästään eroon näistä samoista vedoista edellä käsiteltyjen sääntöjen mukaisesti. Viimeisenä esimerkkinä palataan derivatiiviseen potenssiin rationaalisen eksponentin kanssa:

(x n)’ = n · x n − 1

Harva tietää sen roolissa n voi hyvinkin olla murtoluku. Esimerkiksi juuri on x 0.5. Entä jos juuren alla on jotain hienoa? Jälleen tuloksena on monimutkainen toiminto - he haluavat antaa tällaisia ​​​​rakenteita testeissä ja tentteissä.

Tehtävä. Etsi funktion derivaatta:

Ensin kirjoitetaan juuri uudelleen potenssiksi rationaalisen eksponentin kanssa:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Nyt teemme korvaavan: anna x 2 + 8x − 7 = t. Löydämme johdannaisen kaavalla:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)" · t' = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Tehdään käänteinen korvaus: t = x 2 + 8x− 7. Meillä on:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Lopuksi takaisin juurille: