Apua Tele2:ssa, tariffit, kysymykset

eriarvoisuuden ratkaisu tilassa verkossa ratkaisu melkein mikä tahansa epätasa-arvo verkossa. Matemaattinen eriarvoisuutta verkossa ratkaisemaan matematiikkaa. Etsi nopeasti eriarvoisuuden ratkaisu tilassa verkossa. Sivusto www.site antaa sinun löytää ratkaisu melkein mikä tahansa annettu algebrallinen, trigonometrinen tai transsendenttia eriarvoisuutta verkossa. Kun opiskelee melkein mitä tahansa matematiikan osaa eri vaiheissa, on tehtävä päätös eriarvoisuutta verkossa. Saadaksesi vastauksen välittömästi ja mikä tärkeintä tarkan vastauksen, tarvitset resurssin, jonka avulla voit tehdä tämän. Kiitos www.sivustolle ratkaise eriarvoisuutta verkossa kestää muutaman minuutin. Suurin etu www.site ratkottaessa matemaattisia eriarvoisuutta verkossa- on lähetetyn vastauksen nopeus ja tarkkuus. Sivusto pystyy ratkaisemaan minkä tahansa algebralliset epäyhtälöt verkossa, trigonometriset epäyhtälöt verkossa, transsendenttinen eriarvoisuus verkossa, ja epätasa-arvoa tuntemattomilla parametreilla tilassa verkossa. epätasa-arvoa toimivat tehokkaana matemaattisena laitteistona ratkaisuja käytännön tehtäviä. Avulla matemaattiset epäyhtälöt on mahdollista ilmaista tosiasioita ja suhteita, jotka voivat ensi silmäyksellä tuntua hämmentävältä ja monimutkaiselta. tuntemattomia määriä epätasa-arvoa löytyy muotoilemalla ongelma matemaattinen kieli muodossa epätasa-arvoa Ja päättää vastaanotettu tehtävä tilassa verkossa verkkosivuilla www.site. Minkä tahansa algebrallinen epäyhtälö, trigonometrinen epäyhtälö tai epätasa-arvoa sisältävät transsendenttinen ominaisuuksia helposti päättää verkossa ja saat oikean vastauksen. Luonnontieteitä opiskellessa kohtaa väistämättä tarve eriarvoisuuksien ratkaisu. Tässä tapauksessa vastauksen on oltava tarkka ja se on vastaanotettava välittömästi tilassa verkossa. Siksi varten ratkaista matemaattisia epäyhtälöitä verkossa suosittelemme sivustoa www.site, josta tulee korvaamaton laskin ratkaista algebrallisia epäyhtälöitä verkossa, trigonometriset epäyhtälöt verkossa, ja transsendenttinen eriarvoisuus verkossa tai epätasa-arvoa tuntemattomilla parametreilla. Käytännön ongelmiin löytää erilaisia ​​intravol-ratkaisuja matemaattiset epäyhtälöt resurssi www.. Ratkaisu eriarvoisuutta verkossa itse, on hyödyllistä tarkistaa vastaanotettu vastaus käyttämällä online-ratkaisu epätasa-arvoon verkkosivuilla www.site. On tarpeen kirjoittaa epäyhtälö oikein ja saada se välittömästi online-ratkaisu, jonka jälkeen jää vain verrata vastausta ratkaisuasi eriarvoisuuteen. Vastauksen tarkistaminen kestää enintään minuutin, riittää ratkaise eriarvoisuutta verkossa ja vertailla vastauksia. Tämä auttaa sinua välttämään virheitä päätös ja korjaa vastaus ajoissa eriarvoisuuksien ratkaiseminen verkossa jompikumpi algebrallinen, trigonometrinen, transsendentti tai eriarvoisuutta tuntemattomilla parametreilla.

Esimerkiksi lauseke \(x>5\) on epäyhtälö.

Eriarvoisuuksien tyypit:

Jos \(a\) ja \(b\) ovat numeroita tai , niin epäyhtälö kutsutaan numeerinen. Itse asiassa tämä on vain kahden luvun vertailu. Nämä epätasa-arvot on jaettu uskollinen Ja uskoton.

Esimerkiksi:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) on virheellinen numeerinen epäyhtälö, koska \(17+3=20\) ja \(20\) on pienempi kuin \(115\) (ei suurempi tai yhtä suuri kuin).

Jos \(a\) ja \(b\) ovat lausekkeita, jotka sisältävät muuttujan, niin meillä on epäyhtälö muuttujan kanssa. Tällaiset epätasa-arvot jaetaan tyyppeihin sisällöstä riippuen:

Mikä on ratkaisu epätasa-arvoon?

Jos mikä tahansa luku korvataan epäyhtälöön muuttujan sijaan, se muuttuu numeeriseksi.

Jos x:n annettu arvo tekee alkuperäisestä epäyhtälöstä tosi numeerisen, sitä kutsutaan ratkaisemaan eriarvoisuutta. Jos ei, tämä arvo ei ole ratkaisu. Ja siihen ratkaise eriarvoisuutta- sinun on löydettävä kaikki sen ratkaisut (tai osoitettava, että niitä ei ole).

Esimerkiksi, jos olemme lineaarisessa epäyhtälössä \(x+6>10\), korvaamme luvun \(7\) x:n sijaan, saadaan oikea numeerinen epäyhtälö: \(13>10\). Ja jos korvaamme \(2\), syntyy virheellinen numeerinen epäyhtälö \(8>10\). Eli \(7\) on ratkaisu alkuperäiseen epäyhtälöön, mutta \(2\) ei ole.

Epäyhtälöllä \(x+6>10\) on kuitenkin muita ratkaisuja. Todellakin, saamme oikeat numeeriset epäyhtälöt korvaamalla ja \(5\), ja \(12\), ja \(138\) ... Ja kuinka voimme löytää kaikki mahdolliset ratkaisut? Käytä tätä varten Meidän tapauksessamme:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Eli voimme käyttää mitä tahansa numeroa, joka on suurempi kuin neljä. Nyt meidän on kirjoitettava vastaus muistiin. Epäyhtälöiden ratkaisut kirjoitetaan pääsääntöisesti numeerisesti, lisäksi ne merkitään numeeriselle akselille viivoituksella. Meidän tapauksessamme meillä on:

Vastaus: \(x\in(4;+\infty)\)

Milloin merkki muuttuu epätasa-arvossa?

Eriarvoisuuksissa on yksi suuri ansa, johon opiskelijat todella "haluavat" joutua:

Kun epäyhtälö kerrotaan (tai jaetaan) negatiivisella luvulla, se käännetään ("suurempi kuin" "vähemmällä", "suurempi tai yhtä suuri" sanalla "pienempi tai yhtä suuri" ja niin edelleen)

Miksi tämä tapahtuu? Tämän ymmärtämiseksi katsotaan numeerisen epäyhtälön \(3>1\) muunnoksia. Se on oikein, kolmoisosa on todella enemmän kuin yksi. Yritetään ensin kertoa se millä tahansa positiivisella luvulla, esimerkiksi kahdella:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Kuten näette, kertomisen jälkeen epäyhtälö pysyy totta. Ja riippumatta siitä, minkä positiivisen luvun kerromme, saamme aina oikean epäyhtälön. Ja nyt yritetään kertoa negatiivisella luvulla, esimerkiksi miinus kolme:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Se osoittautui vääräksi epätasa-arvoksi, koska miinus yhdeksän on vähemmän kuin miinus kolme! Eli jotta epäyhtälöstä tulisi totta (mikä tarkoittaa, että kertolasku negatiivisella oli "laillinen"), sinun on käännettävä vertailumerkki näin: \(−9<− 3\).
Jakamalla se käy samalla tavalla, voit tarkistaa sen itse.

Yllä kirjoitettu sääntö koskee kaikentyyppisiä epäyhtälöitä, ei vain numeerisia.

Vastaus: \(x\in(-1;\infty)\)

Epätasa-arvo ja DHS

Epäyhtälöillä, samoin kuin yhtälöillä, voi olla rajoituksia , eli x:n arvoille. Näin ollen ne arvot, joita ei voida hyväksyä ODZ:n mukaan, tulisi sulkea pois ratkaisuvälistä.

Esimerkki: Ratkaise epäyhtälö \(\sqrt(x+1)<3\)

Ratkaisu: On selvää, että jotta vasen puoli olisi pienempi kuin \(3\), juurilausekkeen on oltava pienempi kuin \(9\) (loppujen lopuksi arvosta \(9\) vain \(3\)). Saamme:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Kaikki? Mikä tahansa x:n arvo, joka on pienempi kuin \(8\), sopiiko meille? Ei! Koska jos otamme esimerkiksi arvon \(-5\), joka näyttää sopivan vaatimukseen, se ei ole ratkaisu alkuperäiseen epäyhtälöön, koska se johtaa meidät laskemaan negatiivisen luvun juuren.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Siksi on myös otettava huomioon x:n arvojen rajoitukset - se ei voi olla niin, että juuren alla on negatiivinen luku. Siten meillä on toinen vaatimus x:lle:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Ja jotta x olisi lopullinen ratkaisu, sen on täytettävä molemmat vaatimukset kerralla: sen on oltava pienempi kuin \(8\) (olla ratkaisu) ja suurempi kuin \(-1\) (olla periaatteessa voimassa). Piirrä numeroviivalle, meillä on lopullinen vastaus:

Vastaus: \(\vasen[-1;8\oikea)\)

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaali erityisosastossa 555.
Niille, jotka vahvasti "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Mitä on tapahtunut "neliö epätasa-arvo"? Ei kysymys!) Jos otat minkä tahansa toisen asteen yhtälö ja muuta sen etumerkkiä "=" (yhtä) mihin tahansa epätasa-arvokuvakkeeseen ( > ≥ < ≤ ≠ ), saadaan neliöllinen epäyhtälö. Esimerkiksi:

1. x2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 + 3x > 0

3. x2 ≤ 4

No ymmärrät idean...)

Linkitin tietoisesti yhtälöitä ja epäyhtälöitä tähän. Tosiasia on, että ensimmäinen askel ratkaisussa minkä tahansa neliö epätasa-arvo - ratkaise yhtälö, josta tämä epäyhtälö on tehty. Tästä syystä - kyvyttömyys ratkaista toisen asteen yhtälöitä johtaa automaattisesti epätasa-arvojen täydelliseen epäonnistumiseen. Onko vihje selkeä?) Jos mitään, katso kuinka ratkaista mahdolliset toisen asteen yhtälöt. Siellä kerrotaan kaikki yksityiskohtaisesti. Ja tällä oppitunnilla käsittelemme eriarvoisuutta.

Ratkaisuvalmiilla epäyhtälöllä on muoto: vasen - neliötrinomi ax 2 +bx+c, oikealla - nolla. Epätasa-arvomerkki voi olla mitä tahansa. Kaksi ensimmäistä esimerkkiä ovat tässä ovat valmiita päätökseen. Kolmas esimerkki on vielä valmisteltavana.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Tänään, ystävät, ei ole räkää ja tunteita. Sen sijaan lähetän sinut taisteluun yhden 8.-9. luokan algebrakurssin valtavia vastustajia vastaan ​​ilman lisäkysymyksiä.

Kyllä, ymmärsit kaiken oikein: puhumme epäyhtälöistä moduulin kanssa. Tarkastellaan neljää perustekniikkaa, joilla opit ratkaisemaan noin 90 % näistä ongelmista. Entä loput 10%? No, puhumme niistä erillisellä oppitunnilla. :)

Ennen kuin analysoin temppuja, haluaisin kuitenkin muistuttaa kaksi tosiasiaa, jotka sinun on jo tiedettävä. Muuten vaarana on, että et ymmärrä tämän päivän oppitunnin materiaalia ollenkaan.

Mitä sinun on jo tiedettävä

Kapteeni Evidence ikään kuin vihjaa, että jotta voit ratkaista epäyhtälöt moduulilla, sinun on tiedettävä kaksi asiaa:

1. Miten eriarvoisuudet ratkaistaan?
2. Mikä on moduuli.

Aloitetaan toisesta kohdasta.

Moduulin määritelmä

Täällä kaikki on yksinkertaista. Määritelmiä on kaksi: algebrallinen ja graafinen. Aloitetaan algebralla:

Määritelmä. Numeron $x$ moduuli on joko itse luku, jos se ei ole negatiivinen, tai sitä vastapäätä, jos alkuperäinen $x$ on edelleen negatiivinen.

Se on kirjoitettu näin:

\[\left| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(tasaa) \oikea.\]

Yksinkertaisesti sanottuna moduuli on "luku ilman miinusta". Ja se on tässä kaksinaisuus (jossain alkuperäisellä numerolla ei tarvitse tehdä mitään, mutta jossain on poistettava miinus) ja kaikki aloittelevien opiskelijoiden vaikeudet piilevät.

On myös geometrinen määritelmä. On myös hyödyllistä tietää se, mutta viittaamme siihen vain monimutkaisissa ja joissakin erikoistapauksissa, joissa geometrinen lähestymistapa on kätevämpi kuin algebrallinen lähestymistapa (spoileri: ei nykyään).

Määritelmä. Merkitään piste $a$ reaaliviivalle. Sitten moduuli $\left| x-a \right|$ on etäisyys pisteestä $x$ pisteeseen $a$ tällä viivalla.

Jos piirrät kuvan, saat jotain tällaista:

Tavalla tai toisella sen avainominaisuus seuraa välittömästi moduulin määritelmästä: luvun moduuli on aina ei-negatiivinen arvo. Tämä tosiasia on punainen lanka, joka kulkee läpi koko tämän päivän tarinamme.

Eriarvoisuuksien ratkaisu. Välitysmenetelmä

Käsitellään nyt eriarvoisuutta. Niitä on monia, mutta nyt meidän tehtävämme on pystyä ratkaisemaan niistä ainakin yksinkertaisin. Ne, jotka on pelkistetty lineaarisiin epäyhtälöihin sekä intervallimenetelmään.

Minulla on kaksi suurta opetusohjelmaa tästä aiheesta (muuten, erittäin, ERITTÄIN hyödyllinen - suosittelen opiskelua):

1. Epätasa-arvojen intervallimenetelmä (etenkin katso video);
2. Murto-rationaaliset epätasa-arvot ovat erittäin laaja oppitunti, mutta sen jälkeen sinulla ei ole enää yhtään kysymystä.

Jos tiedät kaiken tämän, jos lause "siirrytään epätasa-arvosta yhtälöön" ei saa sinua epämääräisesti halua tappaa itseäsi seinää vasten, olet valmis: tervetuloa helvettiin oppitunnin pääaiheeseen. :)

1. Epäyhtälöt muotoa "Moduuli pienempi kuin funktio"

Tämä on yksi useimmin kohdatuista tehtävistä moduulien kanssa. On tarpeen ratkaista muodon epäyhtälö:

\[\left| f\right| \ltg\]

Mikä tahansa voi toimia funktioina $f$ ja $g$, mutta yleensä ne ovat polynomeja. Esimerkkejä tällaisista epätasa-arvoista:

\[\begin(align) & \left| 2x+3\oikea| \ltx+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \oikea|+3\vasen(x+1 \oikea) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\vasen| x \oikea|-3 \oikea| \lt 2. \\\end(tasaa)\]

Kaikki ne ratkaistaan ​​kirjaimellisesti yhdellä rivillä järjestelmän mukaan:

\[\left| f\oikea| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(tasaa) \oikea.\oikea)\]

On helppo nähdä, että pääsemme eroon moduulista, mutta sen sijaan saamme kaksinkertaisen epäyhtälön (tai, mikä on sama asia, kahden epäyhtälön järjestelmän). Mutta tämä siirtymä ottaa huomioon ehdottomasti kaikki mahdolliset ongelmat: jos moduulin alla oleva luku on positiivinen, menetelmä toimii; jos negatiivinen, se toimii edelleen; ja vaikka kaikkein riittämättömin funktio $f$ tai $g$ sijasta, menetelmä toimii silti.

Luonnollisesti herää kysymys: eikö se ole helpompaa? Valitettavasti et voi. Tämä on koko moduulin pointti.

Mutta filosofointia riittää. Ratkaistaan ​​pari ongelmaa:

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\left| 2x+3\oikea| \ltx+7\]

Ratkaisu. Meillä on siis klassinen epätasa-arvo muodossa "moduuli on pienempi kuin" - ei ole edes mitään muutettavaa. Työskentelemme algoritmin mukaan:

\[\begin(align) & \left| f\oikea| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3\oikea| \lt x+7\Oikea nuoli -\vasen(x+7 \oikea) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(tasaa)\]

Älä kiirehdi avaamaan sulkuja, joita edeltää "miinus": on täysin mahdollista, että kiireen vuoksi teet loukkaavan virheen.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(tasaa) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(tasaa) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(tasaa) \right.\]

Ongelma on lyhennetty kahteen alkeelliseen epätasa-arvoon. Huomioimme heidän ratkaisunsa rinnakkaisilla todellisilla viivoilla:

Monen risteys

Näiden joukkojen leikkauspiste on vastaus.

Vastaus: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \oikea|+3\vasen(x+1 \oikea) \lt 0\]

Ratkaisu. Tämä tehtävä on hieman vaikeampi. Aluksi eristetään moduuli siirtämällä toinen termi oikealle:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \oikea| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Ilmeisesti meillä on jälleen epäyhtälö muotoa "moduuli on pienempi", joten pääsemme eroon moduulista jo tunnetun algoritmin mukaan:

\[-\vasen(-3\vasen(x+1 \oikea) \oikea) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\vasen(x+1 \oikea)\]

Nyt huomio: joku sanoo, että olen vähän perverssi kaikkien näiden hakasulkeiden kanssa. Mutta vielä kerran muistutan teitä siitä, että tärkein tavoitteemme on ratkaise epäyhtälö oikein ja hanki vastaus. Myöhemmin, kun olet oppinut täydellisesti kaiken, mitä tällä oppitunnilla on kuvattu, voit vääristää itsesi haluamallasi tavalla: avata sulkuja, lisätä miinuksia jne.

Ja aluksi, pääsemme eroon vasemmalla olevasta kaksoismiinuksesta:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\vasen(x+1\oikea)\]

Avataan nyt kaikki kaksois-epäyhtälön sulut:

Jatketaan kaksinkertaista eriarvoisuutta. Tällä kertaa laskelmat ovat vakavampia:

\[\left\( \begin(tasaa) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(tasaa) \oikea.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( tasaa)\oikea.\]

Molemmat epäyhtälöt ovat neliömäisiä ja ne ratkaistaan ​​intervallimenetelmällä (siksi sanon: jos et tiedä mitä se on, on parempi olla ottamatta vielä moduuleja). Siirrymme ensimmäisen epäyhtälön yhtälöön:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(tasaa)\]

Kuten näet, tulos osoittautui epätäydelliseksi toisen asteen yhtälöksi, joka on ratkaistu alkeellisesti. Käsitellään nyt järjestelmän toista epäyhtälöä. Siellä sinun on sovellettava Vietan lausetta:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(tasaa)\]

Merkitsemme saadut luvut kahdelle rinnakkaiselle suoralle (erillinen ensimmäiselle epäyhtälölle ja erilliselle toiselle):

Jälleen, koska olemme ratkaisemassa epäyhtälöjärjestelmää, olemme kiinnostuneita varjostettujen joukkojen leikkauspisteestä: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Tämä on vastaus.

Vastaus: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Mielestäni näiden esimerkkien jälkeen ratkaisukaavio on hyvin selkeä:

1. Eristä moduuli siirtämällä kaikki muut termit epäyhtälön vastakkaiselle puolelle. Näin saadaan epäyhtälö muotoon $\left| f\oikea| \ltg$.
2. Ratkaise tämä epäyhtälö poistamalla moduuli edellä kuvatulla tavalla. Jossain vaiheessa on tarpeen siirtyä kaksois-epäyhtälöstä kahden itsenäisen lausekkeen järjestelmään, joista jokainen voidaan jo ratkaista erikseen.
3. Lopuksi jää vain ylittää näiden kahden itsenäisen lausekkeen ratkaisut - ja siinä kaikki, saamme lopullisen vastauksen.

Samanlainen algoritmi on olemassa seuraavan tyyppisille epäyhtälöille, kun moduuli on suurempi kuin funktio. On kuitenkin pari vakavaa "mutta". Puhumme nyt näistä "mutta".

2. Epäyhtälöt muotoa "Moduuli on suurempi kuin funktio"

Ne näyttävät tältä:

\[\left| f\oikea| \gt g\]

Samanlainen kuin edellinen? Näyttää. Kuitenkin tällaiset tehtävät ratkaistaan ​​täysin eri tavalla. Muodollisesti kaava on seuraava:

\[\left| f\oikea| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(tasaa) \right.\]

Toisin sanoen tarkastelemme kahta tapausta:

1. Ensinnäkin yksinkertaisesti jätämme huomioimatta moduulin - ratkaisemme tavallisen epätasa-arvon;
2. Sitten itse asiassa avaamme moduulin miinusmerkillä ja kerromme sitten molemmat epäyhtälön osat -1:llä merkillä.

Tässä tapauksessa vaihtoehdot yhdistetään hakasulkeeseen, ts. Meillä on kahden vaatimuksen yhdistelmä.

Kiinnitä jälleen huomiota: edessämme ei ole järjestelmä, vaan aggregaatti vastauksessa joukot yhdistetään, ei leikattu. Tämä on perustavanlaatuinen ero edelliseen kappaleeseen!

Yleensä monilla opiskelijoilla on paljon sekaannusta ammattiliittojen ja risteyskohtien kanssa, joten tarkastellaanpa tätä asiaa lopullisesti:

• "∪" on ketjutusmerkki. Itse asiassa tämä on tyylitelty kirjain "U", joka tuli meille englannin kielestä ja on lyhenne sanoista "Union", ts. "Yhdistykset".
• "∩" on risteysmerkki. Tämä paska ei tullut mistään, vaan esiintyi vain "∪" vastakohtana.

Jotta muistaminen olisi vieläkin helpompaa, lisää vain jalat näihin kylteihin tehdäksesi lasit (älkää vain syyttäkö minua huumeriippuvuuden ja alkoholismin edistämisestä nyt: jos opiskelet vakavasti tätä oppituntia, olet jo huumeriippuvainen):

Käännettynä venäjäksi tämä tarkoittaa seuraavaa: liitto (kokoelma) sisältää elementtejä molemmista joukoista, joten vähintään kummastakin; mutta leikkauspiste (järjestelmä) sisältää vain ne elementit, jotka ovat sekä ensimmäisessä että toisessa joukossa. Siksi joukkojen leikkauspiste ei ole koskaan suurempi kuin lähdejoukot.

Tuli siis selväksi? Se on hienoa. Jatketaan harjoittelua.

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\left| 3x+1 \oikea| \gt 5-4x\]

Ratkaisu. Toimimme kaavan mukaan:

\[\left| 3x+1 \oikea| \gt 5-4x\Oikea nuoli \vasen[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(tasaa) \ oikein.\]

Ratkaisemme jokaisen väestöeron:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(tasaa) \oikea.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(tasaa) \oikea.\]

Merkitsemme jokaisen tuloksena olevan joukon numeroriville ja yhdistämme ne sitten:

Sarjojen liitto

Ilmeisesti vastaus on $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Vastaus: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \oikea| \gtx\]

Ratkaisu. Hyvin? Ei, kaikki on sama. Siirrymme moduulin epäyhtälöstä kahden epäyhtälön joukkoon:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \oikea| \gt x\Oikea nuoli \vasen[ \begin(tasaa) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(tasaa) \oikea.\]

Ratkaisemme jokaisen epätasa-arvon. Valitettavasti juuret eivät ole kovin hyviä siellä:

\[\begin(tasaa) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(tasaa)\]

Toisessa epätasa-arvossa on myös vähän peliä:

\[\begin(tasaa) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(tasaa)\]

Nyt meidän on merkittävä nämä numerot kahdelle akselille - yksi akseli jokaiselle epäyhtälölle. Pisteet on kuitenkin merkittävä oikeassa järjestyksessä: mitä suurempi numero, sitä enemmän piste siirtyy oikealle.

Ja tässä odotellaan asennusta. Jos kaikki on selvää numeroilla $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (ensimmäisen osoittajassa olevat termit murto-osat ovat pienempiä kuin toisen osoittajan termit, joten summa on myös pienempi), luvuilla $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ ei myöskään tule olemaan vaikeuksia (positiivinen luku ilmeisesti negatiivisempi), mutta viimeisellä parilla kaikki ei ole niin yksinkertaista. Kumpi on suurempi: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ vai $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Pisteiden järjestely numerolinjoilla ja itse asiassa vastaus riippuu vastauksesta tähän kysymykseen.

Eli verrataan:

\[\begin(matriisi) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matriisi)\]

Eristimme juuren, saimme ei-negatiivisia lukuja epäyhtälön molemmille puolille, joten meillä on oikeus neliöidä molemmat puolet:

\[\begin(matriisi) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matriisi)\]

Minusta on turhaa, että $4\sqrt(13) \gt 3$, joten $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, lopuksi akseleiden pisteet järjestetään seuraavasti:

Rumien juurien tapaus

Muistutan, että ratkaisemme sarjan, joten vastaus on liitto, ei varjostettujen joukkojen leikkaus.

Vastaus: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

Kuten näette, järjestelmämme toimii erinomaisesti sekä yksinkertaisissa että erittäin vaikeissa tehtävissä. Ainoa "heikko kohta" tässä lähestymistavassa on, että sinun on verrattava oikein irrationaalisia lukuja (ja usko minua: nämä eivät ole vain juuria). Mutta erillinen (ja erittäin vakava oppitunti) omistetaan vertailukysymyksille. Ja jatkamme eteenpäin.

3. Epätasa-arvo ei-negatiivisten "pyrstöjen" kanssa

Joten pääsimme mielenkiintoisimpaan. Nämä ovat muodon epätasa-arvoja:

\[\left| f\oikea| \gt\left| g\right|\]

Yleisesti ottaen algoritmi, josta nyt puhumme, pätee vain moduuliin. Se toimii kaikissa epäyhtälöissä, joissa vasemmalla ja oikealla on taattuja ei-negatiivisia lausekkeita:

Mitä tehdä näille tehtäville? Muista vain:

Epätasa-arvossa ei-negatiivisten pyrstöjen kanssa molemmat puolet voidaan nostaa mihin tahansa luonnolliseen voimaan. Lisärajoituksia ei tule.

Ensinnäkin olemme kiinnostuneita neliöistä - se polttaa moduuleja ja juuria:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(tasaa)\]

Älä vain sekoita tätä neliön juuren ottamiseen:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Lukemattomia virheitä tehtiin, kun opiskelija unohti asentaa moduulin! Mutta tämä on täysin erilainen tarina (nämä ovat ikään kuin irrationaalisia yhtälöitä), joten emme mene siihen nyt. Ratkaistaan ​​parempi pari ongelmaa:

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\left| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

Ratkaisu. Huomaamme heti kaksi asiaa:

1. Tämä on ei-tiukka eriarvoisuus. Numeroviivan pisteet leikataan pois.
2. Epäyhtälön molemmat puolet ovat ilmeisesti ei-negatiivisia (tämä on moduulin ominaisuus: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Siksi voimme neliöida epäyhtälön molemmat puolet päästäksemme eroon moduulista ja ratkaistaksemme ongelman tavanomaisella intervallimenetelmällä:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\vasen(x+2 \oikea))^(2))\ge ((\vasen(2x-1 \oikea))^(2)). \\\end(tasaa)\]

Viimeisessä vaiheessa huijasin hieman: muutin termien järjestystä käyttämällä moduulin pariteettia (itse asiassa kerroin lausekkeen $1-2x$ -1:llä).

\[\begin(tasaa) & ((\vasen(2x-1 \oikea))^(2))-((\vasen(x+2 \oikea))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ oikea)\oikea)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Ratkaisemme intervallimenetelmällä. Siirrytään epäyhtälöstä yhtälöön:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(tasaa)\]

Merkitsemme löydetyt juuret numeroriville. Jälleen kerran: kaikki pisteet ovat varjostettuja, koska alkuperäinen epätasa-arvo ei ole tiukka!

Moduulimerkin eroon pääseminen

Muistutan teitä erityisen itsepäisille: otamme merkit viimeisestä epäyhtälöstä, joka kirjoitettiin ylös ennen yhtälöön siirtymistä. Ja maalaamme yli samassa epätasa-arvossa vaaditut alueet. Meidän tapauksessamme tämä on $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, nyt kaikki on ohi. Ongelma ratkaistu.

Vastaus: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\left| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \oikea|\]

Ratkaisu. Teemme kaiken samalla tavalla. En kommentoi - katso vain toimintojen järjestystä.

Tehdään neliö:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \oikea| \oikea))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \oikea| \oikea))^(2)); \\ & ((\vasen(((x)^(2))+x+1 \oikea))^(2))\le ((\vasen(((x)^(2))+3x+4 \oikea))^(2)); \\ & ((\vasen(((x)^(2))+x+1 \oikea))^(2))-((\vasen(((x)^(2))+3x+4 \ oikea))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \oikea)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Välitysmenetelmä:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Oikea nuoli x = -1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(tasaa)\]

Lukurivillä on vain yksi juuri:

Vastaus on kokonaisuus

Vastaus: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Pieni huomautus viimeisestä tehtävästä. Kuten yksi oppilaistani tarkasti totesi, molemmat osamoduulilausekkeet tässä epäyhtälössä ovat selvästi positiivisia, joten moduulimerkki voidaan jättää pois ilman haittaa terveydelle.

Mutta tämä on jo täysin erilainen ajattelun taso ja erilainen lähestymistapa - sitä voidaan ehdollisesti kutsua seurausten menetelmäksi. Hänestä - erillisessä oppitunnissa. Ja nyt siirrytään tämän päivän oppitunnin viimeiseen osaan ja harkitaan universaalia algoritmia, joka toimii aina. Vaikka kaikki aiemmat lähestymistavat olivat voimattomia. :)

4. Vaihtoehtojen luettelointimenetelmä

Entä jos kaikki nämä temput eivät toimi? Jos eriarvoisuus ei supistu ei-negatiivisiksi hänniksi, onko moduulia mahdotonta eristää, jos ollenkaan kipua-surua-ikävöimistä?

Sitten koko matematiikan "raskas tykistö" astuu paikalle - laskentamenetelmä. Mitä tulee epäyhtälöihin moduulin kanssa, se näyttää tältä:

1. Kirjoita kaikki alimoduulilausekkeet ja rinnasta ne nollaan;
2. Ratkaise tuloksena saadut yhtälöt ja merkitse löydetyt juuret yhdelle numeroviivalle;
3. Suora viiva jaetaan useisiin osiin, joiden sisällä jokaisella moduulilla on kiinteä etumerkki ja joka siksi laajenee yksiselitteisesti;
4. Ratkaise epäyhtälö jokaisessa tällaisessa osassa (voit erikseen harkita kohdassa 2 saatuja rajajuuria - luotettavuuden vuoksi). Yhdistä tulokset - tämä on vastaus. :)

No miten? Heikko? Helposti! Vain pitkään. Katsotaan käytännössä:

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\left| x+2 \oikea| \lt\left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Ratkaisu. Tämä paska ei tiivisty epätasa-arvoon, kuten $\left| f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ tai $\left| f\right| \lt\left| g \right|$, joten mennään eteenpäin.

Kirjoitamme alimoduulilausekkeet, rinnastamme ne nollaan ja etsimme juuret:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Oikea nuoli x=1. \\\end(tasaa)\]

Yhteensä meillä on kaksi juuria, jotka jakavat numeroviivan kolmeen osaan, joiden sisällä jokainen moduuli paljastuu yksilöllisesti:

Lukuviivan jakaminen alimodulaaristen funktioiden nollalla

Tarkastellaan jokaista osaa erikseen.

1. Olkoon $x \lt -2$. Tällöin molemmat alimoduulilausekkeet ovat negatiivisia ja alkuperäinen epäyhtälö kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

Meillä on melko yksinkertainen rajoitus. Leikkaa se alkuperäisen oletuksen kanssa, että $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Ilmeisesti muuttuja $x$ ei voi samanaikaisesti olla pienempi kuin −2 mutta suurempi kuin 1,5. Tällä alueella ei ole ratkaisuja.

1.1. Tarkastellaan erikseen rajatapausta: $x=-2$. Korvataan tämä luku alkuperäiseen epäyhtälöön ja tarkistetaan: pitääkö se paikkansa?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \oikea|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end(tasaa)\]

On selvää, että laskelmien ketju on johtanut meidät väärään epätasa-arvoon. Siksi myös alkuperäinen epäyhtälö on epätosi, eikä $x=-2$ ole mukana vastauksessa.

2. Olkoon nyt $-2 \lt x \lt 1 $. Vasen moduuli avautuu jo "plussalla", mutta oikealla on edelleen "miinus". Meillä on:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(tasaa)\]

Jälleen leikkaamme alkuperäisen vaatimuksen:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Ja jälleen tyhjä ratkaisujoukko, koska ei ole lukuja, jotka ovat sekä pienempiä kuin −2.5 että suurempia kuin −2.

2.1. Ja jälleen erikoistapaus: $x=1$. Korvataan alkuperäiseen epäyhtälöön:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\oikea| \lt\left| 0 \oikea|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end(tasaa)\]

Kuten edellisessä "erikoistapauksessa", lukua $x=1$ ei selvästikään sisälly vastaukseen.

3. Rivin viimeinen pala: $x \gt 1$. Tässä kaikki moduulit on laajennettu plusmerkillä:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(tasaa)\ ]

Ja taas leikkaamme löydetyn joukon alkuperäisen rajoitteen kanssa:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \oikea)\]

vihdoinkin! Olemme löytäneet välin, joka on vastaus.

Vastaus: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Lopuksi yksi huomautus, joka voi säästää sinut typeriltä virheiltä todellisten ongelmien ratkaisemisessa:

Epäyhtälöiden ratkaisut moduuleilla ovat yleensä jatkuvia joukkoja lukurivillä - intervalleja ja segmenttejä. Eristetyt pisteet ovat paljon harvinaisempia. Ja vielä harvemmin tapahtuu, että ratkaisun rajat (segmentin loppu) osuvat yhteen tarkasteltavan alueen rajan kanssa.

Näin ollen, jos rajoja (niin hyvin "erikoistapauksia") ei sisällytetä vastaukseen, niin näiden rajojen vasemmalla-oikealla puoleisia alueita ei läheskään varmasti sisällytetä vastaukseen. Ja päinvastoin: raja tuli vastauksena, mikä tarkoittaa, että jotkut sen ympärillä olevat alueet ovat myös vastauksia.

Pidä tämä mielessä, kun tarkistat ratkaisusi.

Ensin joitakin sanoituksia saadaksesi käsityksen siitä ongelmasta, jonka intervallimenetelmä ratkaisee. Oletetaan, että meidän on ratkaistava seuraava epäyhtälö:

(x − 5)(x + 3) > 0

Mitkä ovat vaihtoehdot? Ensimmäinen asia, joka tulee useimmille opiskelijoille mieleen, ovat säännöt "plus kertaa plus tekee plus" ja "miinus kertaa miinus tekee plussa". Siksi riittää, kun tarkastellaan tapausta, jossa molemmat sulut ovat positiivisia: x − 5 > 0 ja x + 3 > 0. Silloin tarkastellaan myös tapausta, jossa molemmat sulut ovat negatiivisia: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Edistyneemmät opiskelijat muistavat (ehkä), että vasemmalla on neliöfunktio, jonka kuvaaja on paraabeli. Lisäksi tämä paraabeli leikkaa OX-akselin pisteissä x = 5 ja x = −3. Lisätyötä varten sinun on avattava kiinnikkeet. Meillä on:

x 2 − 2x − 15 > 0

Nyt on selvää, että paraabelin haarat ovat suunnattu ylöspäin, koska kerroin a = 1 > 0. Yritetään piirtää kaavio tästä paraabelista:

Funktio on suurempi kuin nolla, kun se kulkee OX-akselin yläpuolella. Meidän tapauksessamme nämä ovat intervallit (−∞ −3) ja (5; +∞) - tämä on vastaus.

Huomaa, että kuva näkyy tarkasti toimintokaavio, ei hänen aikataulunsa. Koska oikeaa kuvaajaa varten sinun täytyy laskea koordinaatit, laskea offsetit ja muuta paskaa, jota emme nyt tarvitse ollenkaan.

Miksi nämä menetelmät ovat tehottomia?

Olemme siis tarkastelleet kahta ratkaisua samaan epätasa-arvoon. Molemmat osoittautuivat erittäin hankalia. Ensimmäinen päätös syntyy - ajattele vain sitä! on joukko epätasa-arvojärjestelmiä. Toinen ratkaisu ei myöskään ole kovin helppo: sinun on muistettava paraabelikaavio ja joukko muita pieniä faktoja.

Se oli hyvin yksinkertainen epätasa-arvo. Siinä on vain 2 kerrointa. Kuvittele nyt, että kertoimia ei ole 2, vaan vähintään 4. Esimerkki:

(x - 7) (x - 1) (x + 4) (x + 9)< 0

Kuinka ratkaista tällainen eriarvoisuus? Käytkö läpi kaikki mahdolliset edut ja haitat? Kyllä, nukahdamme nopeammin kuin löydämme ratkaisun. Kuvaajan piirtäminen ei myöskään ole vaihtoehto, koska ei ole selvää, kuinka tällainen funktio käyttäytyy koordinaattitasolla.

Tällaisille epäyhtälöille tarvitaan erityinen ratkaisualgoritmi, jota tarkastelemme tänään.

Mikä on intervallimenetelmä

Intervallimenetelmä on erityinen algoritmi, joka on suunniteltu ratkaisemaan monimutkaisia ​​epäyhtälöitä muotoa f (x) > 0 ja f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Ratkaise yhtälö f (x) \u003d 0. Siten epäyhtälön sijasta saamme yhtälön, joka on paljon helpompi ratkaista;
2. Merkitse kaikki saadut juuret koordinaattiviivalle. Siten suora viiva jaetaan useisiin aikaväleihin;
3. Selvitä funktion f (x) etumerkki (plus tai miinus) oikeanpuoleisimman välin kohdalla. Tätä varten riittää korvaamalla f (x) mikä tahansa luku, joka on kaikkien merkittyjen juurien oikealla puolella;
4. Merkitse merkit muihin aikaväleihin. Tätä varten riittää, että muistat, että jokaisen juuren läpi kulkiessaan merkki muuttuu.

Siinä kaikki! Sen jälkeen jää vain kirjoittaa meitä kiinnostavat intervallit. Ne on merkitty "+"-merkillä, jos epäyhtälö oli muotoa f (x) > 0, tai "−"-merkillä, jos epäyhtälö oli muotoa f (x)< 0.

Ensi silmäyksellä saattaa vaikuttaa siltä, ​​että intervallimenetelmä on jonkinlainen tina. Mutta käytännössä kaikki on hyvin yksinkertaista. Se vaatii vähän harjoittelua - ja kaikki tulee selväksi. Katso esimerkkejä ja katso itse:

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

(x - 2) (x + 7)< 0

Työskentelemme intervallimenetelmällä. Vaihe 1: Korvaa epäyhtälö yhtälöllä ja ratkaise se:

(x − 2)(x + 7) = 0

Tulo on nolla, jos ja vain jos vähintään yksi tekijöistä on nolla:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Sai kaksi juurta. Siirry vaiheeseen 2: merkitse nämä juuret koordinaattiviivalle. Meillä on:

Nyt vaihe 3: löydämme funktion etumerkin oikealta väliltä (merkityn pisteen x = 2 oikealta puolelta). Tätä varten sinun on otettava mikä tahansa luku, joka on suurempi kuin luku x = 2. Otetaan esimerkiksi x = 3 (mutta kukaan ei kiellä ottamaan x = 4, x = 10 ja jopa x = 10 000). Saamme:

f(x) = (x − 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 - 2) (3 + 7) = 1 10 = 10;

Saadaan, että f (3) = 10 > 0, joten laitamme plusmerkin oikeanpuoleiseen väliin.

Siirrymme viimeiseen pisteeseen - on tarpeen huomata merkit jäljellä oleville aikaväleille. Muista, että jokaisen juuren läpi kulkiessa merkin täytyy muuttua. Esimerkiksi juuren x = 2 oikealla puolella on plus (varmistimme tämän edellisessä vaiheessa), joten vasemmalla on oltava miinus.

Tämä miinus ulottuu koko väliin (−7; 2), joten juuren x = −7 oikealla puolella on miinus. Siksi juuren x = −7 vasemmalla puolella on plus. Jää vielä merkitä nämä merkit koordinaattiakselille. Meillä on:

Palataan alkuperäiseen epätasa-arvoon, joka näytti tältä:

(x - 2) (x + 7)< 0

Joten funktion on oltava pienempi kuin nolla. Tämä tarkoittaa, että olemme kiinnostuneita miinusmerkistä, joka esiintyy vain yhdellä välillä: (−7; 2). Tämä on vastaus.

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Vaihe 1: Yhdistä vasen puoli nollaan:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = -9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Muista: tulo on nolla, kun vähintään yksi tekijöistä on nolla. Tästä syystä meillä on oikeus rinnastaa nolla jokainen yksittäinen hakasulku.

Vaihe 2: merkitse kaikki juuret koordinaattiviivalle:

Vaihe 3: Selvitä oikeanpuoleisimman aukon merkki. Otetaan mikä tahansa luku, joka on suurempi kuin x = 1. Voimme esimerkiksi ottaa x = 10. Meillä on:

f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9) (10 - 3) (1 - 10) = 19 7 (-9) = - 1197;
f(10) = -1197< 0.

Vaihe 4: Aseta loput kyltit. Muista, että kun kuljet jokaisen juuren läpi, merkki muuttuu. Tämän seurauksena kuvamme näyttää tältä:

Siinä kaikki. Jää vain kirjoittaa vastaus. Tarkastellaanpa vielä alkuperäistä epäyhtälöä:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Tämä on epäyhtälö muotoa f (x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Tämä on vastaus.

Huomautus funktiomerkeistä

Käytäntö osoittaa, että suurimmat vaikeudet intervallimenetelmässä syntyvät kahdessa viimeisessä vaiheessa, ts. kun laitat kylttejä. Monet opiskelijat alkavat hämmentyä: mitä numeroita ottaa ja mihin laittaa kyltit.

Ymmärtääksesi lopulta intervallimenetelmän, harkitse kahta huomautusta, joihin se perustuu:

1. Jatkuva funktio vaihtaa etumerkkiä vain pisteissä jossa se on yhtä kuin nolla. Tällaiset pisteet rikkovat koordinaattiakselin paloiksi, joiden sisällä funktion etumerkki ei koskaan muutu. Siksi ratkaisemme yhtälön f (x) \u003d 0 ja merkitsemme löydetyt juuret suoralle viivalle. Löydetyt luvut ovat "rajapisteitä", jotka erottavat plussat miinuksista.
2. Jotta funktion etumerkki saadaan selville millä tahansa välillä, riittää, että korvataan mikä tahansa luku tästä intervallista funktioon. Esimerkiksi välille (−5; 6) voimme halutessasi ottaa x = −4, x = 0, x = 4 ja jopa x = 1,29374. Miksi se on tärkeää? Kyllä, koska monet opiskelijat alkavat niellä epäilyksiä. Entä jos arvolle x = −4 saadaan plus ja x = 0:lle miinus? Mitään sellaista ei tule koskaan tapahtumaan. Kaikki pisteet samalla intervallilla antavat saman merkin. Muista tämä.

Siinä kaikki, mitä sinun tarvitsee tietää intervallimenetelmästä. Olemme tietysti purkaneet sen yksinkertaisimmassa muodossaan. On olemassa monimutkaisempia epätasa-arvoja - ei-tiukkoja, murto-osia ja toistuvia juuria. Heille voit myös soveltaa intervallimenetelmää, mutta tämä on erillisen suuren oppitunnin aihe.

Nyt haluaisin analysoida edistynyttä temppua, joka yksinkertaistaa dramaattisesti intervallimenetelmää. Tarkemmin sanottuna yksinkertaistaminen vaikuttaa vain kolmanteen vaiheeseen - merkin laskentaan rivin oikeanpuoleisimmalta palalta. Jostain syystä tätä tekniikkaa ei käytetä kouluissa (ainakaan kukaan ei selittänyt tätä minulle). Mutta turhaan - itse asiassa tämä algoritmi on hyvin yksinkertainen.

Eli funktion etumerkki on numeerisen akselin oikealla puolella. Tämän palan muoto on (a; +∞), jossa a on yhtälön f (x) = 0 suurin juuri. Jotta aivomme eivät räjähtäisi, harkitse konkreettista esimerkkiä:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x − 1)(2 + x )(7 − x ) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Meillä on 3 juurta. Listaamme ne nousevassa järjestyksessä: x = −2, x = 1 ja x = 7. Ilmeisesti suurin juuri on x = 7.

Niille, joiden on helpompi päätellä graafisesti, merkitsen nämä juuret koordinaattiviivalle. Katsotaan, mitä tapahtuu:

On löydettävä funktion f (x) etumerkki oikeanpuoleiselta väliltä, ​​ts. päällä (7; +∞). Mutta kuten olemme jo todenneet, merkin määrittämiseksi voit ottaa minkä tahansa numeron tästä intervallista. Voit esimerkiksi ottaa x = 8, x = 150 jne. Ja nyt - sama tekniikka, jota ei opeteta kouluissa: otetaan ääretön lukuna. Tarkemmin, plus ääretön, eli +∞.

"Oletko kivitetty? Kuinka voit korvata äärettömän funktiolla? ehkä, kysyt. Mutta ajattele sitä: emme tarvitse itse funktion arvoa, tarvitsemme vain merkin. Siksi esimerkiksi arvot f (x) = −1 ja f (x) = −938 740 576 215 tarkoittavat samaa: funktio on negatiivinen tällä välillä. Siksi sinulta vaaditaan vain, että löydät äärettömässä esiintyvän merkin, ei funktion arvon.

Itse asiassa äärettömyyden korvaaminen on hyvin yksinkertaista. Palataan toimintoomme:

f(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Kuvittele, että x on erittäin suuri luku. Miljardi tai jopa biljoona. Katsotaan nyt, mitä jokaisessa sulussa tapahtuu.

Ensimmäinen hakasulku: (x − 1). Mitä tapahtuu, jos vähennät yhden miljardista? Tuloksena on luku, joka ei juuri eroa miljardista, ja tämä luku on positiivinen. Samoin toisen hakasulkeen kanssa: (2 + x ). Jos lisäämme miljardin kahteen, saamme miljardin kopeikoilla - tämä on positiivinen luku. Lopuksi kolmas hakasulku: (7 − x ). Täällä tulee olemaan miinus miljardi, josta on "naurattu pois" surkea pala seitsemän muodossa. Nuo. tuloksena oleva luku ei eroa paljon miinus miljardista - se on negatiivinen.

Vielä on löydettävä koko teoksen merkki. Koska meillä oli plus ensimmäisissä suluissa ja miinus viimeisessä sulussa, saamme seuraavan rakenteen:

(+) · (+) · (−) = (−)

Viimeinen merkki on miinus! Sillä ei ole väliä, mikä itse funktion arvo on. Pääasia on, että tämä arvo on negatiivinen, ts. oikeanpuoleisessa välissä on miinusmerkki. Vielä on suoritettava intervallimenetelmän neljäs vaihe: järjestä kaikki merkit. Meillä on:

Alkuperäinen epätasa-arvo näytti tältä:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Siksi olemme kiinnostuneita miinusmerkillä merkityistä intervalleista. Kirjoitamme vastauksen:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Se on koko temppu, jonka halusin kertoa. Lopuksi on vielä yksi epäyhtälö, joka ratkaistaan ​​intervallimenetelmällä äärettömyyttä käyttäen. Ratkaisun visuaaliseksi lyhentämiseksi en kirjoita vaihenumeroita ja yksityiskohtaisia ​​kommentteja. Kirjoitan vain sen, mikä todella on kirjoitettava, kun ratkaisen todellisia ongelmia:

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

x (2x + 8) (x − 3) > 0

Korvaamme epäyhtälön yhtälöllä ja ratkaisemme sen:

x (2x + 8) (x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = -4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Merkitsemme kaikki kolme juuria koordinaattiviivalle (välittömästi merkeillä):

Koordinaattiakselin oikealla puolella on plus, koska funktio näyttää tältä:

f(x) = x(2x + 8)(x − 3)

Ja jos korvaamme äärettömän (esimerkiksi miljardi), saamme kolme positiivista sulkua. Koska alkuperäisen lausekkeen on oltava suurempi kuin nolla, olemme kiinnostuneita vain plussista. Vielä on kirjoitettava vastaus:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)