Apua Tele2:ssa, tariffit, kysymykset

Tänään, ystävät, ei ole räkää tai sentimentaalisuutta. Sen sijaan lähetän sinut ilman kysymyksiä taisteluun yhden 8.-9. luokan algebrakurssin valtavia vastustajia vastaan.

Kyllä, ymmärsit kaiken oikein: puhumme epäyhtälöistä moduulin kanssa. Tarkastelemme neljää perustekniikkaa, joilla opit ratkaisemaan noin 90% tällaisista ongelmista. Entä loput 10%? No, puhumme niistä erillisellä oppitunnilla. :)

Ennen kuin alan analysoida mitään tekniikoista, haluaisin kuitenkin muistuttaa teitä kahdesta tosiasiasta, jotka sinun on jo tiedettävä. Muuten vaarana on, että et ymmärrä tämän päivän oppitunnin materiaalia ollenkaan.

Mitä sinun on jo tiedettävä

Captain Obviousness näyttää vihjaavan, että eriarvoisuuksien ratkaisemiseksi moduulilla sinun on tiedettävä kaksi asiaa:

1. Miten eriarvoisuudet ratkaistaan;
2. Mikä on moduuli?

Aloitetaan toisesta kohdasta.

Moduulin määritelmä

Täällä kaikki on yksinkertaista. Määritelmiä on kaksi: algebrallinen ja graafinen. Aluksi - algebrallinen:

Määritelmä. Luvun $x$ moduuli on joko itse luku, jos se ei ole negatiivinen, tai sitä vastakkainen luku, jos alkuperäinen $x$ on edelleen negatiivinen.

Se on kirjoitettu näin:

\[\left| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(tasaa) \oikea.\]

Yksinkertaisesti sanottuna moduuli on "luku ilman miinusta". Ja juuri tässä kaksinaisuudesta (joissain paikoissa alkuperäisen numeron kanssa ei tarvitse tehdä mitään, mutta toisissa pitää poistaa jonkinlainen miinus) on se, missä koko vaikeus piilee aloitteleville opiskelijoille.

On myös geometrinen määritelmä. On myös hyödyllistä tietää, mutta käännymme siihen vain monimutkaisissa ja joissakin erikoistapauksissa, joissa geometrinen lähestymistapa on kätevämpi kuin algebrallinen (spoileri: ei tänään).

Määritelmä. Merkitään piste $a$ numeroviivalle. Sitten moduuli $\left| x-a \right|$ on etäisyys pisteestä $x$ pisteeseen $a$ tällä viivalla.

Jos piirrät kuvan, saat jotain tällaista:

Graafisen moduulin määritelmä

Tavalla tai toisella, moduulin määritelmästä seuraa välittömästi sen avainominaisuus: luvun moduuli on aina ei-negatiivinen suure. Tämä tosiasia on punainen lanka, joka kulkee läpi koko tämän päivän kertomuksemme.

Eriarvoisuuksien ratkaiseminen. Intervallimenetelmä

Katsotaanpa nyt eriarvoisuutta. Niitä on monia, mutta nyt meidän tehtävämme on pystyä ratkaisemaan niistä ainakin yksinkertaisin. Ne, jotka pelkistyvät lineaarisiin epäyhtälöihin sekä intervallimenetelmään.

Minulla on kaksi suurta oppituntia tästä aiheesta (muuten, erittäin, ERITTÄIN hyödyllinen - suosittelen niiden tutkimista):

1. Intervallimenetelmä epätasa-arvoille (etenkin katso video);
2. Murto-rationaaliset epäyhtälöt ovat erittäin laaja oppitunti, mutta sen jälkeen sinulla ei ole lainkaan kysymyksiä.

Jos tiedät kaiken tämän, jos lause "siirrytään epätasa-arvosta yhtälöön" ei aiheuta epämääräistä halua lyödä itseäsi seinään, niin olet valmis: tervetuloa helvettiin oppitunnin pääaiheeseen. :)

1. Epäyhtälöt muodossa "Modulus on pienempi kuin funktio"

Tämä on yksi yleisimmistä moduulien ongelmista. On tarpeen ratkaista muodon epäyhtälö:

\[\left| f\oikea| \ltg\]

Funktiot $f$ ja $g$ voivat olla mitä tahansa, mutta yleensä ne ovat polynomeja. Esimerkkejä tällaisista epätasa-arvoista:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \oikea| \lt x+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \oikea|+3\vasen(x+1 \oikea) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\vasen| x \oikea|-3 \oikea| \lt 2. \\\end(tasaa)\]

Kaikki ne voidaan ratkaista kirjaimellisesti yhdellä rivillä seuraavan järjestelmän mukaisesti:

\[\left| f\oikea| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(tasaa) \oikea.\oikea)\]

On helppo nähdä, että pääsemme eroon moduulista, mutta vastineeksi saamme kaksinkertaisen epäyhtälön (tai, mikä on sama asia, kahden epäyhtälön järjestelmän). Mutta tämä siirtymä ottaa huomioon ehdottomasti kaikki mahdolliset ongelmat: jos moduulin alla oleva luku on positiivinen, menetelmä toimii; jos negatiivinen, se toimii edelleen; ja vaikka kaikkein riittämättömin funktio $f$ tai $g$ sijasta, menetelmä toimii silti.

Luonnollisesti herää kysymys: eikö se voisi olla yksinkertaisempaa? Valitettavasti se ei ole mahdollista. Tämä on koko moduulin pointti.

Filosofointia kuitenkin riittää. Ratkaistaan ​​pari ongelmaa:

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\left| 2x+3 \oikea| \lt x+7\]

Ratkaisu. Meillä on siis edessämme klassinen epäyhtälö muodossa "moduuli on pienempi" - ei ole edes mitään muutettavaa. Työskentelemme algoritmin mukaan:

\[\begin(align) & \left| f\oikea| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \oikea| \lt x+7\Oikea nuoli -\vasen(x+7 \oikea) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(tasaa)\]

Älä kiirehdi avaamaan sulkuja, joita edeltää "miinus": on täysin mahdollista, että kiireesi vuoksi teet loukkaavan virheen.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(tasaa) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(tasaa) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(tasaa) \right.\]

Ongelma rajoittui kahteen alkeelliseen epätasa-arvoon. Huomioikaa heidän ratkaisunsa rinnakkaisilla lukujonoilla:

Monen risteys

Näiden joukkojen leikkauspiste on vastaus.

Vastaus: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \oikea|+3\vasen(x+1 \oikea) \lt 0\]

Ratkaisu. Tämä tehtävä on hieman vaikeampi. Eristätään ensin moduuli siirtämällä toinen termi oikealle:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \oikea| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Ilmeisesti meillä on jälleen epäyhtälö muotoa "moduuli on pienempi", joten pääsemme eroon moduulista jo tunnetulla algoritmilla:

\[-\vasen(-3\vasen(x+1 \oikea) \oikea) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\vasen(x+1 \oikea)\]

Nyt huomio: joku sanoo, että olen vähän perverssi kaikkien näiden sulkeiden kanssa. Mutta haluan muistuttaa vielä kerran, että tärkein tavoitteemme on ratkaise epäyhtälö oikein ja hanki vastaus. Myöhemmin, kun olet oppinut täydellisesti kaiken tällä oppitunnilla kuvatun, voit vääristää sen itse haluamallasi tavalla: avata sulkuja, lisätä miinuksia jne.

Aluksi pääsemme yksinkertaisesti eroon vasemmalla olevasta kaksoismiinuksesta:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\vasen(x+1 \oikea)\]

Avataan nyt kaikki kaksois-epäyhtälön sulut:

Siirrytään kaksois-epätasa-arvoon. Tällä kertaa laskelmat ovat vakavampia:

\[\left\( \begin(tasaa) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(tasaa) \oikea.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( tasaa)\oikea.\]

Molemmat epäyhtälöt ovat neliöllisiä ja ne voidaan ratkaista intervallimenetelmällä (siksi sanon: jos et tiedä mitä tämä on, on parempi olla ottamatta vielä moduuleja). Siirrytään ensimmäisen epäyhtälön yhtälöön:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(tasaa)\]

Kuten näet, tulos on epätäydellinen toisen asteen yhtälö, joka voidaan ratkaista alkeellisella tavalla. Katsotaan nyt järjestelmän toista epäyhtälöä. Siellä sinun on sovellettava Vietan lausetta:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(tasaa)\]

Merkitsemme tuloksena saadut luvut kahdelle rinnakkaisviivalle (erillinen ensimmäiselle epäyhtälölle ja erilliselle toiselle):

Jälleen, koska olemme ratkaisemassa epäyhtälöjärjestelmää, olemme kiinnostuneita varjostettujen joukkojen leikkauspisteestä: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Tämä on vastaus.

Vastaus: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Mielestäni näiden esimerkkien jälkeen ratkaisukaavio on erittäin selkeä:

1. Eristä moduuli siirtämällä kaikki muut termit epäyhtälön vastakkaiselle puolelle. Näin saadaan epäyhtälö muotoon $\left| f\right| \ltg$.
2. Ratkaise tämä epäyhtälö luopumalla moduulista yllä kuvatun kaavion mukaisesti. Jossain vaiheessa on tarpeen siirtyä kaksois-epäyhtälöstä kahden itsenäisen lausekkeen järjestelmään, joista jokainen voidaan jo ratkaista erikseen.
3. Lopuksi jää vain leikkaamaan näiden kahden itsenäisen lausekkeen ratkaisut - ja siinä kaikki, saamme lopullisen vastauksen.

Samanlainen algoritmi on olemassa seuraavan tyyppisille epäyhtälöille, kun moduuli on suurempi kuin funktio. On kuitenkin pari vakavaa "mutta". Puhumme nyt näistä "mutta".

2. Epäyhtälöt muotoa "Moduuli on suurempi kuin funktio"

Ne näyttävät tältä:

\[\left| f\right| \gtg\]

Samanlainen kuin edellinen? Näyttää. Ja kuitenkin tällaiset ongelmat ratkaistaan ​​täysin eri tavalla. Muodollisesti kaava on seuraava:

\[\left| f\right| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(tasaa) \right.\]

Toisin sanoen tarkastelemme kahta tapausta:

1. Ensin yksinkertaisesti ohitamme moduulin ja ratkaisemme tavallisen epäyhtälön;
2. Sitten pohjimmiltaan laajennetaan moduulia miinusmerkillä ja kerrotaan sitten epäyhtälön molemmat puolet −1:llä, kun minulla on merkki.

Tässä tapauksessa vaihtoehdot yhdistetään hakasulkeeseen, ts. Meillä on edessämme kahden vaatimuksen yhdistelmä.

Huomaa vielä kerran: tämä ei ole järjestelmä, vaan kokonaisuus vastauksessa joukot yhdistetään mieluummin kuin leikkaavat. Tämä on perustavanlaatuinen ero edelliseen kohtaan!

Yleensä monet opiskelijat ovat täysin hämmentyneitä liitoista ja risteyksistä, joten selvitetään tämä ongelma lopullisesti:

• "∪" on ammattiliiton merkki. Itse asiassa tämä on tyylitelty kirjain "U", joka tuli meille englannin kielestä ja on lyhenne sanoista "Union", ts. "Yhdistykset".
• "∩" on risteysmerkki. Tämä paska ei tullut mistään, vaan ilmestyi yksinkertaisesti vastakohtana sanalle "∪".

Jotta muistaminen olisi vielä helpompaa, vedä jalat näihin kylteihin tehdäksesi lasit (älkää nyt vain syyttäkö minua huumeriippuvuuden ja alkoholismin edistämisestä: jos opiskelet vakavasti tätä oppituntia, olet jo huumeriippuvainen):

Ero leikkauspisteen ja joukkojen liiton välillä

Käännettynä venäjäksi tämä tarkoittaa seuraavaa: liitto (kokonaisuus) sisältää elementtejä molemmista joukoista, joten se ei ole millään tavalla pienempi kuin kumpikin; mutta leikkauspiste (järjestelmä) sisältää vain ne elementit, jotka ovat samanaikaisesti sekä ensimmäisessä että toisessa joukossa. Siksi joukkojen leikkauspiste ei ole koskaan suurempi kuin lähdejoukot.

Tuli siis selväksi? Se on hienoa. Jatketaan harjoittelua.

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\left| 3x+1 \oikea| \gt 5-4x\]

Ratkaisu. Jatkamme kaavion mukaan:

\[\left| 3x+1 \oikea| \gt 5-4x\Oikea nuoli \vasen[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(tasaa) \ oikein.\]

Ratkaisemme jokaisen väestön epätasa-arvon:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(tasaa) \oikea.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(tasaa) \oikea.\]

Merkitsemme jokaisen tuloksena olevan joukon numeroriville ja yhdistämme ne sitten:

Sarjojen liitto

On aivan selvää, että vastaus on $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Vastaus: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \oikea| \gt x\]

Ratkaisu. Hyvin? Ei mitään - kaikki on samaa. Siirrymme moduulin epäyhtälöstä kahden epäyhtälön joukkoon:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \oikea| \gt x\Oikea nuoli \vasen[ \begin(tasaa) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(tasaa) \oikea.\]

Ratkaisemme kaikki eriarvoisuudet. Valitettavasti juuret eivät ole kovin hyviä:

\[\begin(tasaa) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(tasaa)\]

Toinen epätasa-arvo on myös hieman villi:

\[\begin(tasaa) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(tasaa)\]

Nyt sinun on merkittävä nämä numerot kahdelle akselille - yksi akseli jokaiselle epäyhtälölle. Pisteet on kuitenkin merkittävä oikeassa järjestyksessä: mitä suurempi numero, sitä pidemmälle piste siirtyy oikealle.

Ja tässä meitä odottaa kokoonpano. Jos kaikki on selvää numeroilla $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (ensimmäisen osoittajassa olevat termit murtoluku ovat pienempiä kuin toisen osoittajan termit, joten summa on myös pienempi), luvuilla $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ ei myöskään tule olemaan vaikeuksia (positiivinen luku ilmeisesti negatiivisempi), sitten viimeisen parin kanssa kaikki ei ole niin selvää. Kumpi on suurempi: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ vai $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Pisteiden sijoittaminen numeroriville ja itse asiassa vastaus riippuu vastauksesta tähän kysymykseen.

Joten verrataan:

\[\begin(matriisi) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matriisi)\]

Eristimme juuren, saimme ei-negatiivisia lukuja epäyhtälön molemmille puolille, joten meillä on oikeus neliöidä molemmat puolet:

\[\begin(matriisi) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matriisi)\]

Mielestäni on turhaa, että $4\sqrt(13) \gt 3$, joten $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, akseleiden viimeiset pisteet sijoitetaan seuraavasti:

Rumien juurien tapaus

Muistutan, että ratkaisemme sarjan, joten vastaus on liitto, ei varjostettujen joukkojen leikkaus.

Vastaus: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Kuten näet, järjestelmämme toimii erinomaisesti sekä yksinkertaisissa että erittäin vaikeissa ongelmissa. Ainoa "heikkous" tässä lähestymistavassa on, että sinun on verrattava oikein irrationaalisia lukuja (ja usko minua: nämä eivät ole vain juuria). Mutta erillinen (ja erittäin vakava) oppitunti on omistettu vertailukysymyksille. Ja jatkamme eteenpäin.

3. Epätasa-arvo ei-negatiivisten "häntien" kanssa

Nyt päästään mielenkiintoisimpaan osaan. Nämä ovat muodon epätasa-arvoja:

\[\left| f\right| \gt\left| g\right|\]

Yleisesti ottaen algoritmi, josta nyt puhumme, on oikea vain moduulille. Se toimii kaikissa epäyhtälöissä, joissa vasemmalla ja oikealla on taattuja ei-negatiivisia lausekkeita:

Mitä tehdä näille tehtäville? Muista vain:

Epätasa-arvoissa ei-negatiivisten "hännät" kanssa molemmat osapuolet voidaan nostaa mihin tahansa luonnolliseen voimaan. Lisärajoituksia ei tule.

Ensinnäkin olemme kiinnostuneita neliöistä - se polttaa moduuleja ja juuria:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(tasaa)\]

Älä vain sekoita tätä neliön juuren ottamiseen:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Lukemattomia virheitä tehtiin, kun opiskelija unohti asentaa moduulin! Mutta tämä on täysin eri tarina (nämä ovat ikään kuin irrationaalisia yhtälöitä), joten emme mene tähän nyt. Ratkaistaan ​​pari ongelmaa paremmin:

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\left| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

Ratkaisu. Huomaa heti kaksi asiaa:

1. Tämä ei ole tiukkaa eriarvoisuutta. Numeroviivan pisteet pisteytetään.
2. Epäyhtälön molemmat puolet ovat ilmeisesti ei-negatiivisia (tämä on moduulin ominaisuus: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Siksi voimme neliöida epäyhtälön molemmat puolet päästäksemme eroon moduulista ja ratkaistaksemme ongelman tavanomaisella intervallimenetelmällä:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\vasen(x+2 \oikea))^(2))\ge ((\vasen(2x-1 \oikea))^(2)). \\\end(tasaa)\]

Viimeisessä vaiheessa huijasin hieman: muutin termien järjestystä hyödyntäen moduulin tasaisuutta (itse asiassa kerroin lausekkeen $1-2x$ -1:llä).

\[\begin(tasaa) & ((\vasen(2x-1 \oikea))^(2))-((\vasen(x+2 \oikea))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ oikea)\oikea)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Ratkaisemme intervallimenetelmällä. Siirrytään epäyhtälöstä yhtälöön:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(tasaa)\]

Merkitsemme löydetyt juuret numeroriville. Jälleen kerran: kaikki pisteet ovat varjostettuja, koska alkuperäinen epätasa-arvo ei ole tiukka!

Moduulimerkin eroon pääseminen

Muistutan teitä erityisen itsepäisille: otamme merkit viimeisestä epätasa-arvosta, joka kirjoitettiin ylös ennen yhtälöön siirtymistä. Ja maalaamme yli samassa epätasa-arvossa vaaditut alueet. Meidän tapauksessamme se on $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, nyt kaikki on ohi. Ongelma on ratkaistu.

Vastaus: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\left| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \oikea|\]

Ratkaisu. Teemme kaiken samalla tavalla. En kommentoi - katso vain toimintojen järjestystä.

Neliö:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \oikea| \oikea))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \oikea| \oikea))^(2)); \\ & ((\vasen(((x)^(2))+x+1 \oikea))^(2))\le ((\vasen(((x)^(2))+3x+4 \oikea))^(2)); \\ & ((\vasen(((x)^(2))+x+1 \oikea))^(2))-((\vasen(((x)^(2))+3x+4 \ oikea))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \oikea)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Intervallimenetelmä:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Oikea nuoli x = -1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(tasaa)\]

Lukurivillä on vain yksi juuri:

Vastaus on kokonainen väli

Vastaus: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Pieni huomautus viimeisestä tehtävästä. Kuten yksi oppilaistani tarkasti totesi, molemmat alimodulaariset lausekkeet tässä epäyhtälössä ovat selvästi positiivisia, joten moduulimerkki voidaan jättää pois ilman haittaa terveydelle.

Mutta tämä on täysin erilainen ajattelun taso ja erilainen lähestymistapa - sitä voidaan ehdollisesti kutsua seurausten menetelmäksi. Siitä - erillisessä oppitunnissa. Siirrytään nyt tämän päivän oppitunnin viimeiseen osaan ja tarkastellaan universaalia algoritmia, joka toimii aina. Vaikka kaikki aiemmat lähestymistavat olivat voimattomia. :)

4. Vaihtoehtojen luettelointimenetelmä

Entä jos kaikki nämä tekniikat eivät auta? Jos epätasa-arvoa ei voida pelkistää ei-negatiivisiksi hänniksi, jos on mahdotonta eristää moduulia, jos yleensä on kipua, surua, melankoliaa?

Sitten koko matematiikan ”raskas tykistö” tulee näyttämölle – raakavoimamenetelmä. Mitä tulee epäyhtälöihin moduulin kanssa, se näyttää tältä:

1. Kirjoita kaikki osamodulaariset lausekkeet ja aseta ne nollaksi;
2. Ratkaise tuloksena saadut yhtälöt ja merkitse yhdelle numeroviivalle löydetyt juuret;
3. Suora viiva jaetaan useisiin osiin, joiden sisällä jokaisella moduulilla on kiinteä merkki ja siksi se paljastuu yksilöllisesti;
4. Ratkaise epäyhtälö jokaisessa tällaisessa osiossa (voit erikseen harkita vaiheessa 2 saatuja juurirajoja - luotettavuuden vuoksi). Yhdistä tulokset - tämä on vastaus. :)

Niin miten? Heikko? Helposti! Vain pitkään. Katsotaan käytännössä:

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\left| x+2 \oikea| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Ratkaisu. Tämä paska ei tiivisty epätasa-arvoon, kuten $\left| f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ tai $\left| f\right| \lt \left| g \right|$, joten toimimme eteenpäin.

Kirjoitamme alamodulaariset lausekkeet, rinnastamme ne nollaan ja etsimme juuret:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Oikea nuoli x=1. \\\end(tasaa)\]

Yhteensä meillä on kaksi juuria, jotka jakavat numerolinjan kolmeen osaan, joissa jokainen moduuli paljastuu yksilöllisesti:

Lukuviivan osiointi alimodulaaristen funktioiden nollalla

Katsotaanpa jokaista osiota erikseen.

1. Olkoon $x \lt -2$. Tällöin molemmat alimodulaariset lausekkeet ovat negatiivisia ja alkuperäinen epäyhtälö kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(tasaa)\]

Meillä on melko yksinkertainen rajoitus. Leikkaa se alkuperäisen oletuksen kanssa, että $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Ilmeisesti muuttuja $x$ ei voi olla samanaikaisesti pienempi kuin −2 ja suurempi kuin 1,5. Tällä alueella ei ole ratkaisuja.

1.1. Tarkastellaan erikseen rajatapausta: $x=-2$. Korvataan tämä luku alkuperäiseen epäyhtälöön ja tarkistetaan: onko se totta?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) \ \ & 0 \lt \left| -3\oikea|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(tasaa)\]

On selvää, että laskelmien ketju on johtanut meidät väärään epätasa-arvoon. Siksi myös alkuperäinen epäyhtälö on epätosi, eikä $x=-2$ ole mukana vastauksessa.

2. Olkoon nyt $-2 \lt x \lt 1$. Vasen moduuli avautuu jo "plussalla", mutta oikea avautuu edelleen "miinusmerkillä". Meillä on:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(tasaa)\]

Jälleen leikkaamme alkuperäisen vaatimuksen:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Ja jälleen, ratkaisujoukko on tyhjä, koska ei ole lukuja, jotka ovat sekä pienempiä kuin −2.5 että suurempia kuin −2.

2.1. Ja jälleen erikoistapaus: $x=1$. Korvataan alkuperäiseen epäyhtälöön:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\oikea| \lt \left| 0\oikea|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end(tasaa)\]

Kuten edellisessä "erikoistapauksessa", lukua $x=1$ ei selvästikään sisälly vastaukseen.

3. Rivin viimeinen pala: $x \gt 1$. Tässä kaikki moduulit avataan plusmerkillä:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(tasaa)\ ]

Ja taas leikkaamme löydetyn joukon alkuperäisen rajoitteen kanssa:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

vihdoinkin! Olemme löytäneet välin, joka on vastaus.

Vastaus: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Lopuksi yksi huomautus, joka voi säästää sinut typeriltä virheiltä todellisten ongelmien ratkaisemisessa:

Epäyhtälöiden ratkaisut moduuleilla edustavat yleensä jatkuvia joukkoja lukujonolla - intervalleja ja segmenttejä. Eristetyt pisteet ovat paljon harvinaisempia. Ja vielä harvemmin tapahtuu, että ratkaisun raja (segmentin loppu) osuu yhteen tarkasteltavan alueen rajan kanssa.

Näin ollen, jos rajoja (samoja "erikoistapauksia") ei sisällytetä vastaukseen, niin näiden rajojen vasemmalla ja oikealla puolella olevat alueet eivät melkein varmasti sisälly vastaukseen. Ja päinvastoin: raja tuli vastaukseen, mikä tarkoittaa, että jotkut sen ympärillä olevat alueet ovat myös vastauksia.

Pidä tämä mielessä, kun arvioit ratkaisujasi.

Mutta nykyään rationaalinen eriarvoisuus ei voi ratkaista kaikkea. Tarkemmin sanottuna kaikki eivät voi päättää. Harvat ihmiset voivat tehdä tämän.
Klitschko

Tämä oppitunti tulee olemaan kova. Niin kovaa, että vain valitut pääsevät loppuun. Siksi suosittelen ennen lukemisen aloittamista poistamaan naiset, kissat, raskaana olevat lapset ja... näytöiltä.

Noniin, se on itse asiassa yksinkertaista. Oletetaan, että olet oppinut intervallimenetelmän (jos et ole hallinnut sitä, suosittelen palaamaan takaisin ja lukemaan se) ja oppinut ratkaisemaan epäyhtälöt muodossa $P\left(x \right) \gt 0$, missä $ P\left(x \right)$ on jokin polynomi tai polynomien tulo.

Uskon, että sinun ei ole vaikea ratkaista esimerkiksi jotain tällaista (muuten, kokeile sitä lämmittelynä):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \oikea)\vasen(x-1 \oikea)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Monimutkaistaan ​​nyt ongelmaa hieman ja harkitsemme polynomien lisäksi muodon niin kutsuttuja rationaalisia murto-osia:

missä $P\left(x \right)$ ja $Q\left(x \right)$ ovat samat polynomit muodossa $((a)_(n))((x)^(n))+( (a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(a)_(0))$ tai tällaisten polynomien tulo.

Tämä tulee olemaan rationaalista eriarvoisuutta. Peruskohta on muuttujan $x$ läsnäolo nimittäjässä. Esimerkiksi nämä ovat rationaalisia eriarvoisuuksia:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\vasen(3-x \oikea))^(2))\vasen(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(align)\]

Ja tämä ei ole rationaalinen epäyhtälö, vaan yleisin epäyhtälö, joka voidaan ratkaista intervallimenetelmällä:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Tulevaisuudessa sanon heti: rationaalisia eriarvoisuuksia voidaan ratkaista ainakin kahdella tavalla, mutta kaikki ne tavalla tai toisella menevät meille jo tuntemamme intervallimenetelmään. Siksi ennen kuin analysoimme näitä menetelmiä, muistetaan vanhat tosiasiat, muuten uudesta materiaalista ei ole mitään järkeä.

Mitä sinun on jo tiedettävä

Tärkeitä tosiasioita ei ole koskaan liikaa. Tarvitsemme vain neljä.

Lyhennetyt kertolaskukaavat

Kyllä, kyllä: ne kummittelevat meitä koko koulun matematiikan opetussuunnitelman ajan. Ja myös yliopistossa. Näitä kaavoja on useita, mutta tarvitsemme vain seuraavat:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\vasen(a-b \oikea)\vasen(a+b \oikea); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\vasen(a+b \oikea)\vasen(((a)^(2))-ab+((b) ^(2)) \oikea); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\vasen(a-b \oikea)\vasen(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\oikea). \\ \end(tasaa)\]

Kiinnitä huomiota kahteen viimeiseen kaavaan - nämä ovat kuutioiden summa ja erotus (eikä summan tai eron kuutio!). Ne on helppo muistaa, jos huomaat, että ensimmäisessä sulussa oleva merkki on sama kuin alkuperäisen lausekkeen merkki ja toisessa se on vastapäätä alkuperäisen lausekkeen merkkiä.

Lineaariset yhtälöt

Nämä ovat yksinkertaisimmat yhtälöt muodossa $ax+b=0$, jossa $a$ ja $b$ ovat tavallisia lukuja ja $a\ne 0$. Tämä yhtälö voidaan ratkaista yksinkertaisesti:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\&ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(tasaa)\]

Haluan huomauttaa, että meillä on oikeus jakaa kertoimella $a$, koska $a\ne 0$. Tämä vaatimus on varsin looginen, koska arvolle $a=0$ saamme tämän:

Ensinnäkin tässä yhtälössä ei ole muuttujaa $x$. Tämän ei yleisesti ottaen pitäisi hämmentää meitä (tätä tapahtuu esimerkiksi geometriassa ja melko usein), mutta silti tämä ei ole enää lineaarinen yhtälö.

Toiseksi tämän yhtälön ratkaisu riippuu yksinomaan kertoimesta $b$. Jos $b$ on myös nolla, yhtälömme on muotoa $0=0$. Tämä tasa-arvo on aina totta; tämä tarkoittaa, että $x$ on mikä tahansa luku (kirjoitetaan yleensä näin: $x\in \mathbb(R)$). Jos kerroin $b$ ei ole nolla, yhtälö $b=0$ ei koskaan täyty, ts. ei ole vastauksia (kirjoita $x\in \varnothing $ ja lue "ratkaisujoukko on tyhjä").

Kaikkien näiden vaikeuksien välttämiseksi oletamme yksinkertaisesti $a\ne 0$, mikä ei rajoita meitä jatkoajattelussa.

Toisen asteen yhtälöt

Haluan muistuttaa, että tämä on se, mitä kutsutaan toisen asteen yhtälöksi:

Tässä vasemmalla on toisen asteen polynomi ja taas $a\ne 0$ (muuten saamme toisen asteen sijaan lineaarisen). Seuraavat yhtälöt ratkaistaan ​​diskriminantilla:

1. Jos $D \gt 0$, saamme kaksi eri juuria;
2. Jos $D=0$, niin juuri on sama, mutta toisen kerrannaisuudella (mikä monikertaisuus tämä on ja miten se otetaan huomioon - siitä lisää myöhemmin). Tai voimme sanoa, että yhtälöllä on kaksi identtistä juurta;
3. Arvolla $D \lt 0$ ei ole juuria ollenkaan, ja minkä tahansa $x$:n polynomin $a((x)^(2))+bx+c$ etumerkki on sama kuin kertoimen $a etumerkki. $. Tämä on muuten erittäin hyödyllinen tosiasia, josta jostain syystä he unohtavat puhua algebratunneilla.

Itse juuret lasketaan käyttämällä tunnettua kaavaa:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Tästä muuten, syrjintää koskevat rajoitukset. Loppujen lopuksi negatiivisen luvun neliöjuurta ei ole olemassa. Monilla oppilailla on kauhea sotku päässä juurista, joten kirjoitin erityisesti koko oppitunnin: mikä on algebran juuri ja kuinka se lasketaan - suosittelen lukemista. :)

Operaatiot rationaalisilla murtoluvuilla

Tiedät jo kaiken yllä kirjoitetun, jos olet opiskellut intervallimenetelmää. Mutta sillä, mitä analysoimme nyt, ei ole analogeja menneisyydessä - tämä on täysin uusi tosiasia.

Määritelmä. Rationaalinen murtoluku on muodon ilmaus

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

missä $P\left(x \right)$ ja $Q\left(x \right)$ ovat polynomeja.

On selvää, että tällaisesta murtoluvusta on helppo saada epäyhtälö – sinun tarvitsee vain lisätä oikealle "suurempi kuin"- tai "pienempi kuin"-merkki. Ja hieman kauempana huomaamme, että tällaisten ongelmien ratkaiseminen on ilo, kaikki on hyvin yksinkertaista.

Ongelmat alkavat, kun yhdessä lausekkeessa on useita tällaisia ​​murtolukuja. Ne on saatava yhteiselle nimittäjälle - ja juuri tällä hetkellä tehdään suuri määrä loukkaavia virheitä.

Siksi, jotta voit ratkaista rationaaliset yhtälöt onnistuneesti, sinun on ymmärrettävä lujasti kaksi taitoa:

1. Polynomin $P\left(x \right)$ kertolasku;
2. Itse asiassa tuoda murtoluvut yhteiseen nimittäjään.

Miten polynomi kerrotaan? Erittäin yksinkertainen. Otetaan muodon polynomi

Yhdistämme sen nollaan. Saamme $n$:nnen asteen yhtälön:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Oletetaan, että ratkaisimme tämän yhtälön ja saimme juuret $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (älä huolestu: useimmissa tapauksissa on enintään kaksi näistä juurista). Tässä tapauksessa alkuperäinen polynomimme voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

\[\begin(tasaa) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x) -((x)_(1)) \oikea)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \oikea) \end(tasaa)\]

Siinä kaikki! Huomaa: johtava kerroin $((a)_(n))$ ei ole kadonnut mihinkään - se on erillinen kerroin sulujen edessä, ja se voidaan tarvittaessa lisätä mihin tahansa näistä suluista (harjoitus osoittaa että $((a)_ (n))\ne \pm 1$:lla juurien joukossa on melkein aina murtolukuja).

Tehtävä. Yksinkertaista lauseke:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Ratkaisu. Ensin tarkastellaan nimittäjiä: ne ovat kaikki lineaarisia binomeja, eikä tässä ole mitään huomioitavaa. Otetaan siis osoittajat huomioon:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\vasen(x-\frac(3)(2) \oikea)\vasen(x-1 \oikea)=\vasen(2x- 3 \oikea)\vasen(x-1 \oikea); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\vasen(x+2 \oikea)\vasen(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x) +2 \oikea)\vasen(2-5x \oikea). \\\end(tasaa)\]

Huomaa: toisessa polynomissa johtava kerroin "2", täysin kaaviomme mukaisesti, ilmestyi ensin hakasulkeen eteen ja sisällytettiin sitten ensimmäiseen hakasulkeeseen, koska murtoluku esiintyi siellä.

Sama tapahtui kolmannessa polynomissa, vain siellä termien järjestys on myös päinvastainen. Kerroin ”−5” päätyi kuitenkin toiseen hakasulkeeseen (muista: voit syöttää kertoimen yhteen ja vain yhteen hakasulkeeseen!), mikä säästi meidät murtojuuriin liittyviltä vaivoilta.

Ensimmäisen polynomin osalta kaikki on yksinkertaista: sen juuria etsitään joko standardinmukaisesti diskriminantin kautta tai käyttämällä Vietan lausetta.

Palataan alkuperäiseen lausekkeeseen ja kirjoitetaan se uudelleen kertoimilla laskettuna:

\[\begin(matriisi) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \oikea))(2x-3)-\frac(\vasen(x+2 \oikea)\vasen(2-5x \oikea))(x+2)= \\ =\vasen(x+5) \oikea)-\vasen(x-1 \oikea)-\vasen(2-5x \oikea)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matriisi)\]

Vastaus: $5x+4$.

Kuten näette, ei mitään monimutkaista. Hieman 7-8 luokan matematiikkaa ja siinä se. Kaikkien muunnosten tarkoitus on saada monimutkaisesta ja pelottavasta ilmaisusta jotain yksinkertaista ja helppokäyttöistä.

Näin ei kuitenkaan aina tapahdu. Joten nyt tarkastellaan vakavampaa ongelmaa.

Mutta ensin selvitetään, kuinka kaksi murtolukua saadaan yhteiseksi nimittäjäksi. Algoritmi on erittäin yksinkertainen:

1. Kerroin molemmat nimittäjät;
2. Harkitse ensimmäistä nimittäjää ja lisää siihen tekijät, jotka ovat toisessa nimittäjässä, mutta eivät ensimmäisessä. Tuloksena oleva tuote on yhteinen nimittäjä;
3. Selvitä, mitä tekijöitä kustakin alkuperäisestä murtoluvusta puuttuu, jotta nimittäjät ovat yhtä suuret kuin yhteinen.

Tämä algoritmi saattaa tuntua sinusta pelkältä tekstiltä, ​​jossa on "paljon kirjaimia". Siksi tarkastellaan kaikkea tietyn esimerkin avulla.

Tehtävä. Yksinkertaista lauseke:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Ratkaisu. On parempi ratkaista tällaiset laajamittaiset ongelmat osissa. Kirjataan ylös, mitä ensimmäisessä sulussa on:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Toisin kuin edellisessä ongelmassa, tässä nimittäjät eivät ole niin yksinkertaisia. Otetaan jokainen niistä huomioon.

Neliötrinomia $((x)^(2))+2x+4$ ei voida kertoilla, koska yhtälöllä $((x)^(2))+2x+4=0$ ei ole juuria (diskriminantti on negatiivinen ). Jätämme sen ennalleen.

Toinen nimittäjä - kuutiopolynomi $((x)^(3))-8$ - huolellisen tarkastelun jälkeen on kuutioiden ero, ja sitä on helppo laajentaa käyttämällä lyhennettyjä kertolaskukaavoja:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\vasen(x-2 \oikea)\vasen(((x) ^(2))+2x+4 \oikea)\]

Mitään muuta ei voida kertoa, koska ensimmäisessä sulussa on lineaarinen binomi ja toisessa meille jo tuttu konstruktio, jolla ei ole todellisia juuria.

Lopuksi kolmas nimittäjä on lineaarinen binomi, jota ei voi laajentaa. Siten yhtälömme saa muodon:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \oikea))-\frac(1)(x-2)\]

On aivan ilmeistä, että yhteinen nimittäjä on täsmälleen $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$, ja vähentää siihen kaikki murtoluvut on tarpeen kertoa ensimmäinen murtoluku kohdassa $\left(x-2 \right)$ ja viimeinen - kohdassa $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Sitten ei jää muuta kuin antaa samanlaisia:

\[\begin(matriisi) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ oikea))+\frac(((x)^(2))+8)(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(((x)^(2))+2x+4 \oikea))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \oikea))(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(((x)^(2))+2x +4 \oikea))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \oikea)-\vasen(((x) )^(2))+2x+4 \oikea))(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(((x)^(2))+2x+4 \oikea))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\vasen(x-2 \oikea)\vasen (((x)^(2))+2x+4 \oikea))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\vasen(x-2 \oikea)\ vasen(((x)^(2))+2x+4 \oikea)). \\ \end(matriisi)\]

Kiinnitä huomiota toiseen riviin: kun nimittäjä on jo yhteinen, ts. Kolmen erillisen murtoluvun sijaan kirjoitimme yhden ison, suluista ei kannata heti päästä eroon. On parempi kirjoittaa ylimääräinen rivi ja huomata, että sanotaan, että ennen kolmatta murtolukua oli miinus - ja se ei mene minnekään, vaan "roikkuu" osoittajassa hakasulkeen edessä. Tämä säästää sinut monilta virheiltä.

No, viimeisellä rivillä on hyödyllistä kertoa osoittaja. Lisäksi tämä on tarkka neliö, ja lyhennetyt kertolaskut tulevat jälleen avuksemme. Meillä on:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(((x)^(2))+2x+4 \oikea))= \frac(((\vasen(x-2 \oikea))^(2)))(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(((x)^(2))+2x+4 \oikea) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Käsitellään nyt toista sulkua täsmälleen samalla tavalla. Kirjoitan tähän vain tasa-arvoketjun:

\[\begin(matriisi) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((() x)^(2)))(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(x+2 \oikea))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(x+2 \oikea))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(x+2 \oikea))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2) \oikea)\vasen(x+2 \oikea))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(x+2 \oikea) ). \\ \end(matriisi)\]

Palataan alkuperäiseen ongelmaan ja katsotaan tuotetta:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \oikea)\vasen(x+2 \oikea))=\frac(1)(x+2)\]

Vastaus: \[\frac(1)(x+2)\].

Tämän tehtävän tarkoitus on sama kuin edellisellä: näyttää kuinka rationaalisia lausekkeita voidaan yksinkertaistaa, jos lähestyt niiden muuntamista viisaasti.

Ja nyt, kun tiedät kaiken tämän, siirrytään tämän päivän oppitunnin pääaiheeseen - murto-rationaalisten epäyhtälöiden ratkaisemiseen. Lisäksi tällaisen valmistelun jälkeen murtat itse epätasa-arvoa kuin pähkinöitä. :)

Tärkein tapa ratkaista rationaalinen eriarvoisuus

On olemassa ainakin kaksi lähestymistapaa rationaalisen epätasa-arvon ratkaisemiseen. Nyt tarkastelemme yhtä niistä - sitä, joka on yleisesti hyväksytty koulun matematiikan kurssilla.

Mutta ensin huomioikaa eräs tärkeä yksityiskohta. Kaikki epätasa-arvo on jaettu kahteen tyyppiin:

1. Tiukka: $f\left(x \right) \gt 0$ tai $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Lax: $f\left(x \right)\ge 0$ tai $f\left(x \right)\le 0$.

Toisen tyypin epäyhtälöt voidaan helposti pelkistää ensimmäiseksi, samoin kuin yhtälö:

Tämä pieni "lisäys" $f\left(x \right)=0$ johtaa sellaiseen epämiellyttävään asiaan kuin täytetyt pisteet - niihin tutustuimme intervallimenetelmässä. Muuten tiukkojen ja ei-tiukkojen epätasa-arvojen välillä ei ole eroja, joten katsotaanpa yleistä algoritmia:

1. Kerää kaikki nollasta poikkeavat elementit epäyhtälömerkin yhdelle puolelle. Esimerkiksi vasemmalla;
2. Pienennä kaikki murtoluvut yhteiseen nimittäjään (jos sellaisia ​​on useita), tuo samanlaiset. Kerro sitten osoittaja ja nimittäjä, jos mahdollista. Tavalla tai toisella saamme epäyhtälön muodossa $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, jossa "rasti" on epäyhtälömerkki .
3. Yhdistämme osoittajan nollaan: $P\left(x \right)=0$. Ratkaisemme tämän yhtälön ja saamme juuret $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Sitten vaadimme että nimittäjä ei ollut nolla: $Q\left(x \right)\ne 0$. Pohjimmiltaan meidän on tietysti ratkaistava yhtälö $Q\left(x \right)=0$ ja saadaan juuret $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*)$ , $x_(3 )^(*)$, ... (todellisissa tehtävissä tällaisia ​​juuria tuskin on enemmän kuin kolme).
4. Merkitsemme kaikki nämä juuret (sekä tähdellä että ilman) yhdelle numeroviivalle, ja juuret ilman tähtiä maalataan päälle ja tähdellä varustetut juuret puhkaistaan.
5. Asetamme plus- ja miinusmerkit, valitsemme tarvitsemamme välit. Jos epäyhtälö on muotoa $f\left(x \right) \gt 0$, niin vastaus on plus-merkillä merkityt intervallit. Jos $f\left(x \right) \lt 0$, katsomme väliä "miinuksilla".

Käytäntö osoittaa, että suurimmat vaikeudet aiheuttavat kohdat 2 ja 4 - toimivaltaiset muunnokset ja numeroiden oikea järjestys nousevaan järjestykseen. No, viimeisessä vaiheessa ole äärimmäisen varovainen: asetamme opasteet aina perustuen viimeinen epäyhtälö, joka on kirjoitettu ennen yhtälöihin siirtymistä. Tämä on universaali sääntö, joka on peritty intervallimenetelmästä.

Joten, on olemassa kaava. Harjoitellaan.

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Ratkaisu. Meillä on tiukka epäyhtälö muodossa $f\left(x \right) \lt 0$. Ilmeisesti kaaviomme kohdat 1 ja 2 on jo täytetty: kaikki eriarvoisuuden elementit on koottu vasemmalle, mitään ei tarvitse tuoda yhteiseen nimittäjään. Siksi siirrytään suoraan kolmanteen kohtaan.

Yhdistämme osoittajan nollaan:

\[\begin(align) & x-3=0; \\ & x=3. \end(tasaa)\]

Ja nimittäjä:

\[\begin(align) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(tasaa)\]

Tässä monet ihmiset juuttuvat, koska teoriassa sinun on kirjoitettava $x+7\ne 0$, kuten ODZ vaatii (et voi jakaa nollalla, siinä kaikki). Mutta jatkossa pistelemme pois nimittäjästä tulleet pisteet, joten sinun ei tarvitse enää monimutkaista laskelmiasi - kirjoita yhtäläisyysmerkki kaikkialle ja älä huoli. Tästä ei kukaan vähennä pisteitä. :)

Neljäs kohta. Merkitsemme tuloksena olevat juuret numeroriville:

Kaikki kohdat on kiinnitetty, koska epätasa-arvo on tiukka

Huomautus: kaikki kohdat on kiinnitetty pois, koska alkuperäinen eriarvoisuus on tiukka. Ja tässä ei ole väliä, tulivatko nämä pisteet osoittajasta vai nimittäjästä.

No, katsotaanpa merkkejä. Otetaan mikä tahansa luku $((x)_(0)) \gt 3$. Esimerkiksi $((x)_(0))=100$ (mutta samalla menestyksellä voitaisiin ottaa $((x)_(0))=3.1$ tai $((x)_(0)) = 1\ 000\ 000 $). Saamme:

Kaikkien juurien oikealla puolella meillä on siis positiivinen alue. Ja jokaisen juuren läpi kulkiessaan merkki muuttuu (tämä ei aina tule olemaan, mutta siitä lisää myöhemmin). Siksi siirrytään viidenteen kohtaan: järjestä kyltit ja valitse tarvitsemasi:

Palataan viimeiseen epäyhtälöön, joka oli ennen yhtälöiden ratkaisemista. Itse asiassa se on sama kuin alkuperäinen, koska emme tehneet mitään muunnoksia tässä tehtävässä.

Koska meidän on ratkaistava epäyhtälö muotoon $f\left(x \right) \lt 0$, varjostin välin $x\in \left(-7;3 \right)$ - se on ainoa merkitty miinusmerkillä. Tämä on vastaus.

Vastaus: $x\in \left(-7;3 \right)$

Siinä kaikki! Se on vaikeaa? Ei, se ei ole vaikeaa. Totta, tehtävä oli helppo. Monimutkaistaan ​​nyt tehtävää hieman ja pohditaan "kehittyneempää" eriarvoisuutta. Ratkaisessani sitä en enää anna niin yksityiskohtaisia ​​laskelmia - hahmotan vain avainkohdat. Yleensä muotoillaan samalla tavalla kuin itsenäisen työn tai tentin aikana. :)

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Ratkaisu. Tämä on ei-tiukka epäyhtälö muodossa $f\left(x \right)\ge 0$. Kaikki nollasta poikkeavat elementit kerätään vasemmalle, eri nimittäjiä ei ole. Siirrytään yhtälöihin.

Osoittaja:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Oikeanuoli ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(tasaa)\]

Nimittäjä:

\[\begin(align) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(tasaa)\]

En tiedä millainen perverssi tämän ongelman loi, mutta juuret eivät selvinneet kovin hyvin: niitä olisi vaikea sijoittaa numeroriville. Ja jos juurilla $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ kaikki on enemmän tai vähemmän selvää (tämä on ainoa positiivinen luku - se on oikealla), niin $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ ja $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ vaativat lisätutkimusta: kumpi on suurempi?

Voit selvittää sen esimerkiksi näin:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

Toivottavasti ei tarvitse selittää, miksi murtoluku $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Tarvittaessa suosittelen muistamaan, kuinka operaatiot suoritetaan murtoluvuilla.

Ja merkitsemme kaikki kolme juuria numeroriville:

Osoittimen pisteet täytetään, nimittäjän pisteet pisteytetään

Laitamme kylttejä. Voit esimerkiksi ottaa $((x)_(0))=1$ ja selvittää merkin tässä vaiheessa:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

Viimeinen epäyhtälö ennen yhtälöitä oli $f\left(x \right)\ge 0$, joten olemme kiinnostuneita plusmerkistä.

Saimme kaksi joukkoa: toinen on tavallinen segmentti ja toinen on avoin säde numeroviivalla.

Vastaus: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \oikea )$

Tärkeä huomautus numeroista, jotka korvaamme saadaksemme selville oikeanpuoleisimman välin etumerkin. Ei ole ehdottomasti tarpeen korvata oikeaa juuria lähinnä olevaa lukua. Voit ottaa miljardeja tai jopa "plus-ääretön" - tässä tapauksessa polynomin etumerkki suluissa, osoittajassa tai nimittäjässä määräytyy yksinomaan johtavan kertoimen etumerkillä.

Katsotaanpa uudelleen funktiota $f\left(x \right)$ viimeisestä epäyhtälöstä:

Sen merkintätapa sisältää kolme polynomia:

\[\begin(tasaa) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\left(x \right)=13x-4. \end(tasaa)\]

Kaikki ne ovat lineaarisia binomeja, ja kaikki niiden johtavat kertoimet (luvut 7, 11 ja 13) ovat positiivisia. Siksi, kun korvataan erittäin suuria lukuja, myös itse polynomit ovat positiivisia. :)

Tämä sääntö saattaa tuntua liian monimutkaiselta, mutta vain aluksi, kun analysoimme erittäin helppoja ongelmia. Vakavissa epätasa-arvoissa "plus-ääretön" korvaaminen antaa meille mahdollisuuden selvittää merkit paljon nopeammin kuin standardi $((x)_(0))=100$.

Tällaisia ​​haasteita kohtaamme hyvin pian. Mutta ensin tarkastellaan vaihtoehtoista tapaa ratkaista murto-rationaaliset epätasa-arvot.

Vaihtoehtoinen tapa

Tätä tekniikkaa ehdotti minulle yksi oppilaistani. Itse en ole koskaan käyttänyt sitä, mutta käytäntö on osoittanut, että monien opiskelijoiden mielestä on todella kätevämpää ratkaista eriarvoisuudet tällä tavalla.

Alkutiedot ovat siis samat. Meidän on ratkaistava rationaalinen murto-ero:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Ajatellaanpa: miksi polynomi $Q\left(x \right)$ on "huonompi" kuin polynomi $P\left(x \right)$? Miksi meidän täytyy harkita erillisiä juuriryhmiä (tähdellä ja ilman), ajatella puhkaisupisteitä jne.? Se on yksinkertaista: murtoluvulla on määritelmäalue, jonka mukaan murtoluvulla on järkeä vain, kun sen nimittäjä on eri kuin nolla.

Muuten osoittajan ja nimittäjän välillä ei ole eroja: rinnastamme sen myös nollaan, etsimme juuret ja merkitsemme ne sitten numeroriville. Joten miksi et korvaa murtoviivaa (itse asiassa jakomerkkiä) tavallisella kertolaskulla ja kirjoita kaikki ODZ:n vaatimukset erillisen epäyhtälön muodossa? Esimerkiksi näin:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Huomaa: tämä lähestymistapa vähentää ongelman intervallimenetelmään, mutta ei vaikeuta ratkaisua ollenkaan. Loppujen lopuksi täsmennämme polynomin $Q\left(x \right)$ nollaan.

Katsotaan kuinka tämä toimii todellisissa ongelmissa.

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Ratkaisu. Joten siirrytään intervallimenetelmään:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(tasaa) \oikea.\]

Ensimmäinen epäyhtälö voidaan ratkaista alkeellisella tavalla. Yhdistämme jokaisen hakasulkeen nollaan:

\[\begin(align) & x+8=0\Oikeanuoli ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Oikeanuoli ((x)_(2))=11. \\ \end(tasaa)\]

Toinen epäyhtälö on myös yksinkertainen:

Merkitse numeroriville pisteet $((x)_(1))$ ja $((x)_(2))$. Ne kaikki tyrmätään, koska epätasa-arvo on tiukka:

Oikea kohta kaivettiin ulos kahdesti. Tämä on hyvä.

Kiinnitä huomiota kohtaan $x=11$. Osoittautuu, että se on "kaksoispisteinen": toisaalta pistämme sen pois epätasa-arvon vakavuuden vuoksi, toisaalta DL:n lisävaatimuksen vuoksi.

Joka tapauksessa siitä tulee vain puhjennut kohta. Siksi järjestämme merkit epäyhtälölle $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - viimeinen, jonka näimme ennen yhtälöiden ratkaisemisen aloittamista:

Olemme kiinnostuneita positiivisista alueista, koska ratkaisemme epäyhtälöä muodossa $f\left(x \right) \gt 0$ - varjostamme ne. Ei jää muuta kuin kirjoittaa vastaus muistiin.

Vastaus. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Käyttämällä tätä ratkaisua esimerkkinä haluan varoittaa teitä aloittelevien opiskelijoiden yleisestä virheestä. Nimittäin: älä koskaan avaa sulkuja eriarvoisuuksissa! Päinvastoin, yritä ottaa kaikki huomioon - tämä yksinkertaistaa ratkaisua ja säästää sinua monilta ongelmilta.

Kokeillaan nyt jotain monimutkaisempaa.

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Ratkaisu. Tämä on ei-tiukka epäyhtälö muodossa $f\left(x \right)\le 0$, joten tässä on kiinnitettävä erityistä huomiota varjostettuihin pisteisiin.

Siirrytään intervallimenetelmään:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ei 0. \\ \end(tasaa) \oikea.\]

Mennään yhtälöön:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Oikeanuoli ((x )_(1)) = 6,5; \\ & 12x-9=0\Nuoli oikealle ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\nuoli oikealle ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(tasaa)\]

Otamme huomioon lisävaatimuksen:

Merkitsemme kaikki tuloksena olevat juuret numeroriville:

Jos piste on sekä rei'itetty että täytetty, se katsotaan rei'itetyksi

Jälleen kaksi pistettä "päällekkäin" - tämä on normaalia, se tulee aina olemaan näin. On vain tärkeää ymmärtää, että piste, joka on merkitty sekä rei'itetyksi että ylimaalatuksi, on itse asiassa rei'itetty piste. Nuo. "Pikkuva" on vahvempi toiminta kuin "maalaaminen".

Tämä on ehdottoman loogista, koska nipistämällä merkitsemme kohtia, jotka vaikuttavat funktion etumerkkiin, mutta eivät itse osallistu vastaukseen. Ja jos jossain vaiheessa numero ei enää sovi meille (esimerkiksi se ei kuulu ODZ: hen), ylitämme sen harkinnasta tehtävän loppuun asti.

Yleensä lopeta filosofointi. Asetamme kyltit ja maalaamme ne välit, jotka on merkitty miinusmerkillä:

Vastaus. $x\in \left(-\infty ;-2.2 \right)\bigcup \left[ 0.75;6.5 \right]$.

Ja jälleen halusin kiinnittää huomionne tähän yhtälöön:

\[\vasen(2x-13 \oikea)\vasen(12x-9 \oikea)\vasen(15x+33 \oikea)=0\]

Vielä kerran: älä koskaan avaa sulkuja sellaisissa yhtälöissä! Teet asioista vain vaikeampia itsellesi. Muista: tulo on yhtä suuri kuin nolla, kun vähintään yksi tekijöistä on nolla. Tämän seurauksena tämä yhtälö yksinkertaisesti "hajoaa" useiksi pienemmiksi, jotka ratkaisimme edellisessä tehtävässä.

Ottaen huomioon juurten moninaisuus

Edellisistä ongelmista on helppo nähdä, että vaikeimpia ovat ei-tiukat epätasa-arvot, koska niissä pitää seurata varjostettuja pisteitä.

Mutta maailmassa on vielä suurempi pahuus - nämä ovat eriarvoisuuksien monia juuria. Täällä sinun ei enää tarvitse seurata joitain varjostettuja pisteitä - tässä epätasa-arvomerkki ei välttämättä muutu yhtäkkiä, kun kuljet samojen pisteiden läpi.

Emme ole vielä käsitelleet mitään tällaista tällä oppitunnilla (vaikka samanlainen ongelma kohdattiin usein intervallimenetelmässä). Siksi otamme käyttöön uuden määritelmän:

Määritelmä. Yhtälön $((\left(x-a \right))^(n))=0$ juuri on yhtä suuri kuin $x=a$ ja sitä kutsutaan $n$:nnen kerrannaisuuden juureksi.

Itse asiassa emme ole erityisen kiinnostuneita moninkertaisuuden tarkasta arvosta. Ainoa asia, jolla on merkitystä, on onko tämä sama luku $n$ parillinen vai pariton. Koska:

1. Jos $x=a$ on parillisen monikertaisuuden juuri, niin funktion etumerkki ei muutu sen läpi kulkiessaan;
2. Ja päinvastoin, jos $x=a$ on parittoman monikertaisuuden juuri, funktion etumerkki muuttuu.

Kaikki aiemmat tällä oppitunnilla käsitellyt ongelmat ovat erikoistapauksia parittoman moninkertaisuuden juuresta: kaikkialla moninkertaisuus on yhtä suuri kuin yksi.

Ja kauemmas. Ennen kuin aloitamme ongelmien ratkaisemisen, haluaisin kiinnittää huomionne yhteen hienovaraisuuteen, joka näyttää kokeneelle opiskelijalle itsestään selvältä, mutta ajaa monet aloittelijat tyrmistöön. Nimittäin:

Kertoimen $n$ juuri syntyy vain siinä tapauksessa, kun koko lauseke nostetaan tähän potenssiin: $((\left(x-a \right))^(n))$, ei $\left(((x) ^( n))-a \oikea)$.

Jälleen kerran: hakasulke $((\left(x-a \right))^(n))$ antaa meille $n$-kertoimen juuren $x=a$, mutta hakasulke $\left(((x)^( n)) -a \oikea)$ tai, kuten usein tapahtuu, $(a-((x)^(n)))$ antaa meille juuren (tai kaksi juuria, jos $n$ on parillinen) , riippumatta siitä, mikä on $n$.

Vertailla:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]

Tässä kaikki on selvää: koko haarukka nostettiin viidenteen tehoon, joten saamamme lähtö oli viidennen tehon juuri. Ja nyt:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

Meillä on kaksi juuria, mutta molemmilla on ensimmäinen monikertaisuus. Tai tässä toinen:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

Ja älä anna kymmenennen asteen häiritä sinua. Pääasia on, että 10 on parillinen luku, joten lähdössä meillä on kaksi juuria, ja molemmilla on jälleen ensimmäinen kerrannainen.

Yleisesti ottaen ole varovainen: moninkertaisuus tapahtuu vain silloin, kun aste viittaa koko sulkuihin, ei vain muuttujaan.

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\frac(((x)^(2))((\vasen(6-x \oikea))^(3))\vasen(x+4 \oikea))(((\vasen(x+7) \oikea))^(5)))\ge 0\]

Ratkaisu. Yritetään ratkaista se vaihtoehtoisella tavalla - siirtymällä osamäärästä tuotteeseen:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(tasaa )\oikea.\]

Käsittelemme ensimmäistä epäyhtälöä intervallimenetelmällä:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \oikea))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Rightarrow x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Oikea nuoli x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Oikeanuoli x=-7\vasen(5k \oikea). \\ \end(tasaa)\]

Lisäksi ratkaisemme toisen epäyhtälön. Itse asiassa olemme jo ratkaisseet sen, mutta jotta arvioijat eivät löydä vikaa ratkaisussa, on parempi ratkaista se uudelleen:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

Huomaa: viimeisessä epäyhtälössä ei ole kertoimia. Itse asiassa: mitä eroa sillä on, kuinka monta kertaa ylität numeroviivan pisteen $x=-7$? Ainakin kerran, vähintään viisi kertaa, tulos on sama: puhjennut piste.

Merkitään kaikki, mitä meillä on numerorivillä:

Kuten sanoin, piste $x=-7$ puhkaistaan ​​lopulta. Kertoimet on järjestetty epäyhtälön ratkaisun perusteella intervallimenetelmällä.

Jäljelle jää vain kyltien sijoittaminen:

Koska piste $x=0$ on parillisen monikertaisuuden juuri, etumerkki ei muutu sen läpi kulkiessaan. Jäljellä olevilla pisteillä on pariton moninkertaisuus, ja kaikki on yksinkertaista niiden kanssa.

Vastaus. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Jälleen kerran, kiinnitä huomiota $x=0$. Tasaisen moninaisuuden ansiosta syntyy mielenkiintoinen vaikutus: kaikki sen vasemmalla puolella on maalattu päälle, kaikki oikealla on myös maalattu päälle ja itse piste on kokonaan maalattu.

Tämän seurauksena sitä ei tarvitse eristää vastausta tallennettaessa. Nuo. ei tarvitse kirjoittaa jotain kuten $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (vaikka muodollisesti tällainen vastaus olisi myös oikea). Sen sijaan kirjoitamme välittömästi $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Tällaiset vaikutukset ovat mahdollisia vain, kun juuret ovat parillisia. Ja seuraavassa ongelmassa kohtaamme tämän vaikutuksen käänteisen "ilmenemisen". Valmis?

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\frac(((\vasen(x-3 \oikea))^(4))\vasen(x-4 \oikea))(((\vasen(x-1 \oikea))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Ratkaisu. Tällä kertaa noudatamme vakiomallia. Yhdistämme osoittajan nollaan:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Nuoli oikealle ((x)_(2))=4. \\ \end(tasaa)\]

Ja nimittäjä:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Nuoli oikealle x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(tasaa)\]

Koska ratkaisemme ei-tiukkaa epäyhtälöä muodossa $f\left(x \right)\ge 0$, nimittäjän juuret (joissa on tähti) otetaan pois ja osoittajan juuret varjostetaan.

Asetamme kylttejä ja varjostamme plus-merkillä merkityt alueet:

Piste $x=3$ on eristetty. Tämä on osa vastausta

Ennen kuin kirjoitat lopullisen vastauksen, katsotaanpa kuvaa tarkasti:

1. Pisteellä $x=1$ on parillinen monikerta, mutta se on itse pisteytetty. Tästä syystä se on eristettävä vastauksessa: sinun on kirjoitettava $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, eikä $x\in \left(-\ infty ;2 \right)$.
2. Pisteellä $x=3$ on myös parillinen monikerta ja se on varjostettu. Kylttien järjestely osoittaa, että piste itse sopii meille, mutta askel vasemmalle tai oikealle - ja löydämme itsemme alueelle, joka ei todellakaan sovi meille. Tällaisia ​​pisteitä kutsutaan eristetyiksi ja ne kirjoitetaan muodossa $x\in \left\(3 \right\)$.

Yhdistämme kaikki vastaanotetut palaset yhteiseksi joukoksi ja kirjoitamme vastauksen ylös.

Vastaus: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Määritelmä. Eriarvoisuuden ratkaiseminen tarkoittaa löytää kaikki sen ratkaisut tai todista, että tämä joukko on tyhjä.

Vaikuttaa: mikä tässä voi olla käsittämätöntä? Kyllä, tosiasia on, että joukkoja voidaan määritellä eri tavoin. Kirjoita viimeiseen tehtävään vastaus uudelleen:

Luemme kirjaimellisesti, mitä on kirjoitettu. Muuttuja "x" kuuluu tiettyyn joukkoon, joka saadaan yhdistämällä ("U"-merkki) neljä erillistä joukkoa:

• Väli $\left(-\infty ;1 \right)$, joka tarkoittaa kirjaimellisesti "kaikkia yhtä pienempiä numeroita, mutta ei itse yksikköä";
• Väli $\left(1;2 \right)$, ts. "kaikki luvut välillä 1-2, mutta eivät itse numerot 1 ja 2";
• Joukko $\left\( 3 \right\)$, joka koostuu yhdestä numerosta - kolmesta;
• Väli $\left[ 4;5 \right)$ sisältää kaikki luvut välillä 4-5, sekä itse neljän, mutta ei viittä.

Kolmas kohta kiinnostaa tässä. Toisin kuin intervallit, jotka määrittelevät äärettömät lukujoukot ja osoittavat vain näiden joukkojen rajat, joukko $\left\( 3 \right\)$ määrittää tiukasti yhden luvun luetteloimalla.

Ymmärtääksemme, että luettelemme tiettyjä sarjaan sisältyviä numeroita (eikä aseta rajoja tai mitään muuta), käytetään kiharoita. Esimerkiksi merkintä $\left\( 1;2 \right\)$ tarkoittaa täsmälleen "joukkoa, joka koostuu kahdesta luvusta: 1 ja 2", mutta ei segmenttiä 1 - 2. Älä sekoita näitä käsitteitä missään olosuhteissa. .

Kertomien lisäämissääntö

No, tämän päivän oppitunnin lopussa vähän tinaa Pavel Berdovilta. :)

Huomaavaiset opiskelijat ovat luultavasti jo miettineet: mitä tapahtuu, jos osoittajalla ja nimittäjällä on samat juuret? Joten seuraava sääntö toimii:

Identtisten juurien monikerrat lisätään. Aina. Vaikka tämä juuri esiintyisi sekä osoittajassa että nimittäjässä.

Joskus on parempi päättää kuin puhua. Siksi ratkaisemme seuraavan ongelman:

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\vasen(((x)^(2))-16 \oikea)\vasen(((x)^(2))+ 9x+14 \oikea))\ge 0\]

\[\begin(tasaa) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(tasaa)\]

Ei vielä mitään erikoista. Yhdistämme nimittäjän nollaan:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Nuoli oikealle x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Nuoli oikealle x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(tasaa)\]

Kaksi identtistä juuria löydettiin: $((x)_(1))=-2$ ja $x_(4)^(*)=-2$. Molemmilla on ensimmäinen moninkertaisuus. Siksi korvaamme ne yhdellä juurella $x_(4)^(*)=-2$, mutta kerrannaisuudella 1+1=2.

Lisäksi on olemassa myös identtiset juuret: $((x)_(2))=-4$ ja $x_(2)^(*)=-4$. Ne ovat myös ensimmäisen kerrannaisuudessa, joten vain $x_(2)^(*)=-4$ moninkertaisuudesta 1+1=2 jää jäljelle.

Huomaa: molemmissa tapauksissa jätimme tarkalleen "puhkaistun" juuren ja jätimme "maalatun" pois tarkastelusta. Koska oppitunnin alussa sovittiin: jos piste on sekä puhjennut että maalattu päälle, niin katsomme sen silti puhkaistuna.

Tämän seurauksena meillä on neljä juuria, ja ne kaikki leikattiin pois:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \oikea); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \oikea). \\ \end(tasaa)\]

Merkitsemme ne numeroriville ottaen huomioon moninkertaisuuden:

Asetamme kylttejä ja maalaamme meitä kiinnostavien alueiden päälle:

Kaikki. Ei yksittäisiä pisteitä tai muita vääristymiä. Voit kirjoittaa vastauksen muistiin.

Vastaus. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

Sääntö kertoimien kertomisesta

Joskus tapahtuu vielä epämiellyttävämpi tilanne: yhtälö, jolla on useita juuria, nostetaan itse johonkin potenssiin. Tässä tapauksessa kaikkien alkuperäisten juurien kertoimet muuttuvat.

Tämä on harvinaista, joten useimmilla opiskelijoilla ei ole kokemusta tällaisten ongelmien ratkaisemisesta. Ja sääntö tässä on:

Kun yhtälö nostetaan potenssiin $n$, myös sen kaikkien juurien kertoimet kasvavat $n$ kertaa.

Toisin sanoen tehoon nostaminen johtaa kertoimien kertomiseen samalla teholla. Katsotaanpa tätä sääntöä esimerkin avulla:

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\frac(x((\vasen(((x)^(2))-6x+9 \oikea))^(2))((\vasen(x-4 \oikea))^(5)) )(((\vasen(2-x \oikea))^(3))((\vasen(x-1 \oikea))^(2)))\le 0\]

Ratkaisu. Yhdistämme osoittajan nollaan:

Tulo on nolla, kun vähintään yksi tekijöistä on nolla. Kaikki on selvää ensimmäisellä tekijällä: $x=0$. Mutta sitten ongelmat alkavat:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\vasen(2k \oikea); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\vasen(2k \oikea)\vasen(2k \oikea) \ \& ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(align)\]

Kuten näemme, yhtälöllä $((x)^(2))-6x+9=0$ on yksi juuri toisen kerrannaisuudessa: $x=3$. Sitten tämä koko yhtälö neliötetään. Siksi juuren moninkertaisuus on $2\cdot 2=4$, minkä kirjoitimme lopulta muistiin.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

Myöskään nimittäjän kanssa ei ole ongelmia:

\[\begin(tasaa) & ((\vasen(2-x \oikea))^(3))((\vasen(x-1 \oikea))^(2))=0; \\ & ((\vasen(2-x \oikea))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\vasen(3k \oikea); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Oikeanuoli x_(2)^(*)=1\vasen(2k \oikea). \\ \end(tasaa)\]

Yhteensä saimme viisi pistettä: kaksi lävistettyä ja kolme maalattua. Osoittajassa ja nimittäjässä ei ole yhtäpitäviä juuria, joten merkitsemme ne vain numeroriville:

Järjestämme kyltit moninkertaisuudet huomioiden ja maalaamme meitä kiinnostavilla aikaväleillä:

Jälleen yksi eristetty piste ja yksi puhjennut

Tasaisen moninaisuuden juurten vuoksi saimme jälleen pari "epästandardista" elementtiä. Tämä on $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, ei $x\in \left[ 0;2 \right)$, ja myös eristetty piste $ x\in \left\( 3 \right\)$.

Vastaus. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Kuten näet, kaikki ei ole niin monimutkaista. Pääasia on tarkkaavaisuus. Tämän oppitunnin viimeinen osa on omistettu muunnoksille - samoille, joista keskustelimme aivan alussa.

Esimuunnokset

Tässä osiossa tarkastelevia eriarvoisuuksia ei voida kutsua monimutkaisiksi. Toisin kuin aikaisemmissa tehtävissä, tässä joudut kuitenkin soveltamaan taitoja rationaalisten murtolukujen teoriasta - tekijöihin jakamiseen ja vähentämiseen yhteiseen nimittäjään.

Keskustelimme tästä aiheesta yksityiskohtaisesti aivan tämän päivän oppitunnin alussa. Jos et ole varma, että ymmärrät mistä puhun, suosittelen palaamaan takaisin ja toistamaan sen. Koska ei ole mitään järkeä tunkea menetelmiä epäyhtälöiden ratkaisemiseen, jos "kellut" murtolukujen muuntamisessa.

Muuten, kotitehtävissä tulee olemaan myös monia vastaavia tehtäviä. Ne on sijoitettu erilliseen alaosioon. Ja sieltä löydät hyvin ei-triviaaleja esimerkkejä. Mutta tämä tulee olemaan kotitehtävissä, ja nyt tarkastellaan paria tällaista epätasa-arvoa.

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Ratkaisu. Siirrä kaikki vasemmalle:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Vähennämme yhteiseksi nimittäjäksi, avaamme sulut ja tuomme samanlaiset termit osoittajaan:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ oikea))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\vasen(((x)^(2))-2x-x+2 \oikea))(x\vasen(x-1 \oikea)) \le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Nyt meillä on edessämme klassinen murto-rationaalinen epäyhtälö, jonka ratkaiseminen ei ole enää vaikeaa. Ehdotan sen ratkaisemista vaihtoehtoisella menetelmällä - intervallimenetelmällä:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(tasaa)\]

Älä unohda rajoitusta, joka tulee nimittäjästä:

Merkitsemme kaikki numerot ja rajoitukset numeroriville:

Kaikilla juurilla on ensimmäinen moninaisuus. Ei ongelmaa. Asetamme vain kyltit ja maalaamme tarvitsemamme alueet:

Tässä kaikki. Voit kirjoittaa vastauksen muistiin.

Vastaus. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \oikea)$.

Tämä oli tietysti hyvin yksinkertainen esimerkki. Joten katsotaan nyt ongelmaa vakavammin. Ja muuten, tämän tehtävän taso on melko yhdenmukainen itsenäisen ja testityön kanssa tästä aiheesta 8. luokalla.

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Ratkaisu. Siirrä kaikki vasemmalle:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Ennen kuin tuomme molemmat murtoluvut yhteiseen nimittäjään, kerrotaan nämä nimittäjät. Entä jos samat sulut tulevat ulos? Ensimmäisellä nimittäjällä se on helppoa:

\[((x)^(2))+8x-9=\vasen(x-1 \oikea)\vasen(x+9 \oikea)\]

Toinen on hieman vaikeampi. Voit vapaasti lisätä vakiotekijän hakasulkeeseen, jossa murtoluku näkyy. Muista: alkuperäisessä polynomissa oli kokonaislukukertoimia, joten on hyvä mahdollisuus, että tekijöissä on kokonaislukukertoimia (itse asiassa on aina, ellei diskriminantti ole irrationaalinen).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\vasen(x-1 \oikea)\vasen(3x-2 \oikea) \end(tasaa)\]

Kuten näet, on yleinen hakasulku: $\left(x-1 \right)$. Palaamme epätasa-arvoon ja tuomme molemmat murtoluvut yhteiseen nimittäjään:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ vasen(3x-2 \oikea))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(tasaa)\]

Yhdistämme nimittäjän nollaan:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( kohdistaa)\]

Ei monikertaisia ​​tai yhteneviä juuria. Merkitsemme riville neljä numeroa:

Laitamme kylttejä:

Kirjoitamme vastauksen muistiin.

Vastaus: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5.5;+\infty \ right) $.

Kaikki! Näin luin tälle riville. :)

Epäyhtälöjä kutsutaan lineaariseksi joiden vasen ja oikea puoli ovat lineaarisia funktioita tuntemattoman suuren suhteen. Näitä ovat esimerkiksi epätasa-arvo:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4-6x 9- x< x + 5 .

1) Tiukka eriarvoisuus: kirves +b>0 tai kirves+b<0

2) Ei-tiukat eriarvoisuudet: ax +b≤0 tai kirves+b≫ 0

Analysoidaan tämä tehtävä. Suunnikkaan yksi sivuista on 7 cm. Mikä on toisen sivun pituus, jotta suunnikkaan ympärysmitta on suurempi kuin 44 cm?

Olkoon haluttu puoli X cm Tässä tapauksessa suunnikkaan kehää edustaa (14 + 2x) cm. Epäyhtälö 14 + 2x > 44 on matemaattinen malli suunnikkaan kehän ongelmasta. Jos korvaamme muuttujan tässä epäyhtälössä X esimerkiksi luvulla 16, niin saadaan oikea numeerinen epäyhtälö 14 + 32 > 44. Tässä tapauksessa sanotaan, että luku 16 on ratkaisu epäyhtälöön 14 + 2x > 44.

Epätasa-arvon ratkaiseminen nimeä muuttujan arvo, joka muuttaa sen todelliseksi numeeriseksi epäyhtälöksi.

Siksi jokainen luku on 15,1; 20;73 toimivat ratkaisuna epäyhtälölle 14 + 2x > 44, mutta esimerkiksi luku 10 ei ole sen ratkaisu.

Ratkaise epätasa-arvo tarkoittaa kaikkien sen ratkaisujen määrittämistä tai sen osoittamista, ettei ratkaisuja ole.

Epäyhtälön ratkaisun muotoilu on samanlainen kuin yhtälön juuren muotoilu. Ja silti ei ole tapana nimetä "epätasa-arvon juurta".

Numeeristen yhtälöiden ominaisuudet auttoivat meitä ratkaisemaan yhtälöitä. Samoin numeeristen epäyhtälöiden ominaisuudet auttavat ratkaisemaan epäyhtälöitä.

Yhtälöä ratkaistaessa korvaamme sen toisella, yksinkertaisemmalla yhtälöllä, mutta vastaa annettua yhtälöä. Vastaus eriarvoisuuteen löytyy samalla tavalla. Muuttaessaan yhtälön ekvivalentiksi yhtälöksi he käyttävät lausetta, joka koskee termien siirtämistä yhtälön toiselta puolelta vastakkaiselle ja yhtälön molempien puolten kertomisesta samalla nollasta poikkeavalla luvulla. Epäyhtälöä ratkaistaessa sen ja yhtälön välillä on merkittävä ero, mikä johtuu siitä, että mikä tahansa yhtälön ratkaisu voidaan varmistaa yksinkertaisesti korvaamalla se alkuperäiseen yhtälöön. Epäyhtälöissä tämä menetelmä puuttuu, koska lukemattomia ratkaisuja ei ole mahdollista korvata alkuperäisellä epäyhtälöllä. Siksi on tärkeä käsite, nämä nuolet<=>on merkki vastaavista tai vastaavista muunnoksista. Transformaatiota kutsutaan vastaava, tai vastaava, jos ne eivät muuta ratkaisujoukkoa.

Samanlaiset säännöt eriarvoisuuksien ratkaisemiseksi.

Jos siirrämme minkä tahansa termin epäyhtälön osasta toiseen korvaamalla sen merkin vastakkaisella, saamme tätä vastaavan epäyhtälön.

Jos epäyhtälön molemmat puolet kerrotaan (jaetaan) samalla positiivisella luvulla, saadaan epäyhtälö, joka vastaa tätä.

Jos epäyhtälön molemmat puolet kerrotaan (jaetaan) samalla negatiivisella luvulla ja korvataan eriarvoisuusmerkki vastakkaisella, saadaan annettua vastaava epäyhtälö.

Käyttämällä näitä säännöt Lasketaan seuraavat epäyhtälöt.

1) Analysoidaan epätasa-arvoa 2x - 5 > 9.

Tämä lineaarinen epätasa-arvo, löydämme sen ratkaisun ja keskustelemme peruskäsitteistä.

2x - 5 > 9<=>2x>14(5 siirrettiin vasemmalle puolelle päinvastaisella merkillä), sitten jaoimme kaiken kahdella ja olemme x > 7. Piirretään ratkaisujoukko akselille x

Olemme saaneet positiivisesti suunnatun säteen. Merkitsemme ratkaisujoukon joko epätasa-arvon muodossa x > 7, tai välin x(7; ∞) muodossa. Mikä on erityinen ratkaisu tähän epätasa-arvoon? Esimerkiksi, x = 10 on erityinen ratkaisu tähän epätasa-arvoon, x = 12- Tämä on myös erityinen ratkaisu tähän epätasa-arvoon.

Osaratkaisuja on monia, mutta meidän tehtävämme on löytää kaikki ratkaisut. Ja ratkaisuja on yleensä lukemattomia.

Selvitetään se esimerkki 2:

2) Ratkaise epätasa-arvo 4a - 11 > a + 13.

Ratkaistaan ​​se: A siirrä se sivuun 11 siirrä se toiselle puolelle, saamme 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 epätasa-arvolla on muoto a<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>a< 8 .

Näytämme myös setin a< 8 , mutta jo akselilla A.

Kirjoitamme vastauksen joko epäyhtälön a muotoon< 8, либо A(-∞;8), 8 ei käynnisty.

Intervallimenetelmä– yksinkertainen tapa ratkaista murto-rationaaliset epäyhtälöt. Tämä on nimi epäyhtälöille, jotka sisältävät rationaalisia (tai murto-rationaalisia) lausekkeita, jotka riippuvat muuttujasta.

1. Harkitse esimerkiksi seuraavaa epäyhtälöä

Intervallimenetelmän avulla voit ratkaista sen muutamassa minuutissa.

Tämän epäyhtälön vasemmalla puolella on rationaalinen murto-osafunktio. Rational, koska se ei sisällä juuria, sinejä tai logaritmeja - vain rationaalisia lausekkeita. Oikealla on nolla.

Intervallimenetelmä perustuu rationaalisen murtofunktion seuraavaan ominaisuuteen.

Murtolukuinen rationaalinen funktio voi muuttaa etumerkkiä vain niissä pisteissä, joissa se on nolla tai sitä ei ole olemassa.

Muistakaamme, kuinka neliöllinen trinomi lasketaan, eli muodon lauseke.

Missä ja ovat toisen asteen yhtälön juuret.

Piirrämme akselin ja asetamme pisteet, joissa osoittaja ja nimittäjä menevät nollaan.

Nimittäjän ja nollat ​​ovat punkturoituja pisteitä, koska näissä pisteissä epäyhtälön vasemmalla puolella olevaa funktiota ei ole määritelty (ei voi jakaa nollalla). Osoittimen ja - nollat ​​ovat varjostettuja, koska epäyhtälö ei ole tiukka. Milloin ja epäyhtälömme täyttyy, koska sen molemmat puolet ovat nolla.

Nämä pisteet jakavat akselin intervalleiksi.

Määritetään murto-osallisen rationaalisen funktion etumerkki epäyhtälömme vasemmalla puolella jokaisella näistä intervalleista. Muistamme, että murto-osainen rationaalinen funktio voi muuttaa etumerkkiä vain niissä pisteissä, joissa se on nolla tai ei ole olemassa. Tämä tarkoittaa, että jokaisella niiden pisteiden välissä, joissa osoittaja tai nimittäjä menee nollaan, epäyhtälön vasemmalla puolella olevan lausekkeen merkki on vakio - joko "plus" tai "miinus".

Ja siksi funktion etumerkin määrittämiseksi kullakin sellaisella välillä otamme minkä tahansa tähän väliin kuuluvan pisteen. Se, joka on meille kätevä.
. Otetaan esimerkiksi ja tarkistetaan lausekkeen etumerkki epäyhtälön vasemmalta puolelta. Jokainen "suluista" on negatiivinen. Vasemmalla puolella on kyltti.

Seuraava intervalli: . Tarkastetaan kyltti osoitteessa . Huomaamme, että vasen puoli on vaihtanut merkkinsä muotoon .

Otetaan se. Kun lauseke on positiivinen - se on siis positiivinen koko aikavälillä alkaen -.

Kun eriarvoisuuden vasen puoli on negatiivinen.

Ja lopuksi class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Olemme havainneet millä aikaväleillä lauseke on positiivinen. Jäljelle jää vain kirjoittaa vastaus muistiin:

Vastaus:.

Huomaa: merkit vaihtelevat aikavälein. Tämä tapahtui, koska kulkiessaan kunkin pisteen läpi täsmälleen yksi lineaarisista tekijöistä muutti etumerkkiä, kun taas muut pitivät sen ennallaan.

Näemme, että intervallimenetelmä on hyvin yksinkertainen. Murto-rationaalisen epäyhtälön ratkaisemiseksi intervallimenetelmällä vähennämme sen muotoon:

Tai class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, tai tai .

(vasemmalla on murto-rationaalinen funktio, oikealla on nolla).

Sitten merkitsemme numeroviivalle kohdat, joissa osoittaja tai nimittäjä menee nollaan.
Nämä pisteet jakavat koko lukuviivan intervalleiksi, joissa jokaisessa murto-rationaalifunktio säilyttää etumerkkinsä.
Jäljelle jää vain selvittää sen merkki jokaisella aikavälillä.
Teemme tämän tarkistamalla lausekkeen etumerkin missä tahansa tiettyyn väliin kuuluvassa pisteessä. Sen jälkeen kirjoitamme vastauksen muistiin. Siinä kaikki.

Mutta herää kysymys: vuorottelevatko merkit aina? Ei ei aina! Sinun tulee olla varovainen, äläkä aseta kylttejä mekaanisesti ja ajattelemattomasti.

2. Tarkastellaanpa toista epätasa-arvoa.

Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ vasen(x-3 \oikea))>0"> !}

Aseta pisteet uudelleen akselille. Pisteet ja ovat punkturoituja, koska ne ovat nimittäjän nollia. Myös kohta leikataan pois, koska eriarvoisuus on tiukkaa.

Kun osoittaja on positiivinen, molemmat tekijät nimittäjässä ovat negatiivisia. Tämä voidaan helposti tarkistaa ottamalla mikä tahansa luku tietystä intervallista, esimerkiksi . Vasemmalla puolella on kyltti:

Kun osoittaja on positiivinen; Ensimmäinen tekijä nimittäjässä on positiivinen, toinen tekijä on negatiivinen. Vasemmalla puolella on kyltti:

Tilanne on sama! Osoittaja on positiivinen, nimittäjän ensimmäinen tekijä on positiivinen, toinen on negatiivinen. Vasemmalla puolella on kyltti:

Lopuksi komennolla class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Vastaus:.

Miksi merkkien vuorottelu häiriintyi? Koska pisteen läpi kulkeessaan kertoja on "vastuussa" siitä ei vaihtanut merkkiä. Näin ollen epätasa-arvomme koko vasen puoli ei vaihtanut merkkiä.

Johtopäätös: jos lineaarinen kertoja on parillinen potenssi (esimerkiksi neliö), niin pisteen läpi kulkiessa vasemman puolen lausekkeen etumerkki ei muutu. Parittoman asteen tapauksessa merkki tietysti muuttuu.

3. Tarkastellaanpa monimutkaisempaa tapausta. Se eroaa edellisestä siinä, että eriarvoisuus ei ole tiukka:

Vasen puoli on sama kuin edellisessä tehtävässä. Merkkien kuva on sama:

Ehkä vastaus on sama? Ei! Ratkaisu lisätään Tämä tapahtuu, koska epäyhtälön sekä vasemmalla että oikealla puolella on nolla - siksi tämä piste on ratkaisu.

Vastaus:.

Tämä tilanne esiintyy usein matematiikan yhtenäisen valtiontutkinnon ongelmissa. Tässä hakijat joutuvat ansaan ja menettävät pisteitä. Ole varovainen!

4. Mitä tehdä, jos osoittajaa tai nimittäjää ei voida sisällyttää lineaarisiin tekijöihin? Harkitse tätä epätasa-arvoa:

Neliötrinomia ei voi kertoilla: diskriminantti on negatiivinen, juuria ei ole. Mutta tämä on hyvä! Tämä tarkoittaa, että ilmaisun merkki on kaikille sama ja erityisesti positiivinen. Voit lukea tästä lisää neliöfunktioiden ominaisuuksia käsittelevästä artikkelista.

Ja nyt voimme jakaa epätasa-arvomme molemmat puolet arvolla, joka on positiivinen kaikille. Saavutetaan vastaava epäyhtälö:

Mikä on helppo ratkaista intervallimenetelmällä.

Huomaa, että jaoimme epätasa-arvon molemmat puolet arvolla, jonka tiesimme varmasti olevan positiivinen. Tietenkään yleensä ei pidä kertoa tai jakaa epäyhtälöä muuttujalla, jonka etumerkkiä ei tunneta.

5 . Tarkastellaanpa toista epätasa-arvoa, joka vaikuttaa melko yksinkertaiselta:

Haluan vain kertoa sen arvolla. Mutta olemme jo älykkäitä, emmekä tee tätä. Loppujen lopuksi se voi olla sekä positiivista että negatiivista. Ja tiedämme, että jos epätasa-arvon molemmat puolet kerrotaan negatiivisella arvolla, epätasa-arvon merkki muuttuu.

Teemme sen eri tavalla - keräämme kaiken yhteen osaan ja tuomme sen yhteiseen nimittäjään. Oikea puoli pysyy nollana:

Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Ja sen jälkeen - hakea intervallimenetelmä.

Eriarvoisuuksien ratkaiseminen verkossa

Ennen epäyhtälöiden ratkaisemista sinulla on oltava hyvä käsitys siitä, kuinka yhtälöt ratkaistaan.

Ei ole väliä onko epäyhtälö tiukka () vai ei-tiukka (≤, ≥), ensimmäinen askel on ratkaista yhtälö korvaamalla epäyhtälömerkki yhtälöllä (=).

Selvitetään, mitä eriarvoisuuden ratkaiseminen tarkoittaa?

Yhtälöitä tutkittuaan opiskelija saa päähänsä seuraavan kuvan: hänen täytyy löytää muuttujan arvot siten, että yhtälön molemmat puolet saavat samat arvot. Toisin sanoen, etsi kaikki kohdat, joissa tasa-arvo pätee. Kaikki on oikein!

Kun puhumme epäyhtälöistä, tarkoitamme välien (segmenttien) löytämistä, joilla epäyhtälö pätee. Jos epäyhtälössä on kaksi muuttujaa, niin ratkaisu ei ole enää intervallit, vaan jotkin tason alueet. Arvaa itse, mikä on ratkaisu kolmen muuttujan epäyhtälölle?

Kuinka ratkaista epätasa-arvo?

Universaalina tapana ratkaista epäyhtälöjä pidetään intervallimenetelmää (tunnetaan myös intervallimenetelmänä), joka koostuu kaikkien intervallien määrittämisestä, joiden rajoissa tietty epäyhtälö toteutuu.

Menemättä eriarvoisuuden tyyppiin, tässä tapauksessa tämä ei ole asia, sinun on ratkaistava vastaava yhtälö ja määritettävä sen juuret, minkä jälkeen näiden ratkaisujen nimeäminen numeroakselilla.

Kuinka kirjoittaa epäyhtälön ratkaisu oikein?

Kun olet määrittänyt epäyhtälön ratkaisuvälit, sinun on kirjoitettava itse ratkaisu oikein. On tärkeä vivahde - sisällytetäänkö välien rajat ratkaisuun?

Täällä kaikki on yksinkertaista. Jos yhtälön ratkaisu tyydyttää ODZ:n ja epäyhtälö ei ole tiukka, niin välin raja sisältyy epäyhtälön ratkaisuun. Muuten ei.

Kutakin väliä tarkasteltaessa epäyhtälön ratkaisu voi olla itse intervalli tai puoliväli (kun jokin sen rajoista täyttää epätasa-arvon) tai segmentti - väli rajojen kanssa.

Tärkeä pointti

Älä ajattele, että vain intervallit, puolivälit ja segmentit voivat ratkaista epätasa-arvon. Ei, ratkaisu voi sisältää myös yksittäisiä kohtia.

Esimerkiksi epäyhtälöllä |x|≤0 on vain yksi ratkaisu - tämä on piste 0.

Ja epäyhtälö |x|

Miksi tarvitset epätasa-arvolaskuria?

Epäyhtälölaskin antaa oikean lopullisen vastauksen. Useimmissa tapauksissa esitetään kuva numeroakselista tai tasosta. Näkyvissä on, sisällytetäänkö intervallien rajat ratkaisuun vai ei - pisteet näytetään varjostettuina tai pisteytettyinä.

Online-epäyhtälölaskurin ansiosta voit tarkistaa, oletko löytänyt oikein yhtälön juuret, merkitsitkö ne numeroakselille ja tarkistatko epäyhtälöehdon täyttymisen intervalleilla (ja rajoilla)?

Jos vastauksesi poikkeaa laskimen vastauksesta, sinun on ehdottomasti tarkistettava ratkaisusi ja tunnistettava virhe.