Apua Tele2:ssa, tariffit, kysymykset

Koulujen opetussuunnitelmassa opitun Pythagoraan lauseen historiasta kiinnostuneita kiinnostaa myös sellainen tosiasia kuin vuonna 1940 julkaistu kirja, jossa on kolmesataa seitsemänkymmentä todistetta tälle näennäisesti yksinkertaiselle lauseelle. Mutta se kiehtoi monien eri aikakausien matemaatikoiden ja filosofien mielet. Guinnessin ennätyskirjassa se on kirjattu lauseeksi, jossa on enimmäismäärä todisteita.

Pythagoraan lauseen historia

Pythagoraan nimeen liittyvä lause tunnettiin kauan ennen suuren filosofin syntymää. Joten Egyptissä rakenteiden rakentamisen aikana suorakulmaisen kolmion sivujen suhde otettiin huomioon viisi tuhatta vuotta sitten. Babylonian tekstit mainitsevat saman suorakulmaisen kolmion sivujen suhteen 1200 vuotta ennen Pythagoraan syntymää.

Herää kysymys, miksi sitten tarina sanoo - Pythagoraan lauseen syntyminen kuuluu hänelle? Vastaus voi olla vain yksi - hän todisti kolmion sivujen suhteen. Hän teki sen, mitä ne, jotka vain käyttivät kokemuksen perusteella määritettyä kuvasuhdetta ja hypotenuusaa, eivät tehneet vuosisatoja sitten.

Pythagoraan elämästä

Tuleva suuri tiedemies, matemaatikko, filosofi syntyi Samoksen saarella vuonna 570 eaa. Historialliset asiakirjat säilyttivät tietoja Pythagoraan isästä, joka oli jalokiviveistäjä, mutta hänen äidistään ei ole tietoa. He sanoivat syntyneestä pojasta, että hän oli erinomainen lapsi, joka osoitti intohimoa musiikkiin ja runouteen lapsuudesta asti. Historioitsijat pitävät Hermodamantia ja Syrosin Pherekidesia nuorten Pythagoraan opettajina. Ensimmäinen johdatti pojan muusojen maailmaan, ja toinen, joka oli filosofi ja italialaisen filosofian koulukunnan perustaja, suuntasi nuoren miehen katseen logoihin.

Pythagoras meni 22-vuotiaana (548 eKr.) Naokratikseen tutkimaan egyptiläisten kieltä ja uskontoa. Edelleen hänen polkunsa oli Memphisissä, missä nerokkaiden kokeidensa läpi käyneiden pappien ansiosta hän ymmärsi egyptiläisen geometrian, mikä kenties sai uteliaan nuoren miehen todistamaan Pythagoraan lauseen. Historia antaa myöhemmin tämän nimen lauseelle.

Babylonin kuninkaan vangitsema

Pythagoras on matkalla kotiin Hellakseen Babylonin kuninkaan vangiksi. Mutta vankeudessa oleminen hyödytti aloittelevan matemaatikon uteliasta mieltä, hänellä oli paljon opittavaa. Todellakin, noina vuosina matematiikka Babylonissa oli kehittyneempää kuin Egyptissä. Hän opiskeli kaksitoista vuotta matematiikkaa, geometriaa ja taikuutta. Ja ehkä se oli babylonialainen geometria, joka oli mukana todistamassa kolmion sivujen suhdetta ja lauseen löytämisen historiaa. Pythagoralla oli tarpeeksi tietoa ja aikaa tähän. Mutta että tämä tapahtui Babylonissa, sille ei ole dokumentaarista vahvistusta tai kumoamista.

Vuonna 530 eaa Pythagoras pakenee vankeudesta kotimaahansa, missä hän asuu tyranni Polykrateen hovissa puoliorjan asemassa. Sellainen elämä ei sovi Pythagoralle, ja hän vetäytyy Samoksen luoliin ja menee sitten Etelä-Italiaan, jossa Kreikan Crotonin siirtomaa sijaitsi tuolloin.

Salainen luostarikunta

Pythagoras järjesti tämän siirtokunnan pohjalta salaisen luostarikunnan, joka oli samanaikaisesti uskonnollinen liitto ja tieteellinen seura. Tällä yhteiskunnalla oli peruskirja, joka puhui erityisen elämäntavan noudattamisesta.

Pythagoras väitti, että ymmärtääkseen Jumalaa ihmisen on tunnettava sellaiset tieteet kuin algebra ja geometria, tunnettava tähtitiedettä ja ymmärrettävä musiikkia. Tutkimustyö rajoittui numeroiden ja filosofian mystisen puolen tuntemiseen. On huomattava, että Pythagoran tuolloin saarnaamat periaatteet ovat järkeviä jäljitelmässä tällä hetkellä.

Monet Pythagoraan opetuslasten tekemät löydöt johtuivat hänen ansioistaan. Lyhyesti sanottuna sen ajan muinaisten historioitsijoiden ja elämäkertojen kirjoittajien Pythagoraan lauseen luomisen historia liittyy kuitenkin suoraan tämän filosofin, ajattelijan ja matemaatikon nimeen.

Pythagoraan opetukset

Ehkä ajatus lauseen liittämisestä Pythagoraan nimeen sai alkunsa suuren kreikkalaisen historioitsijoiden lausunnosta, jonka mukaan pahamaineisessa kolmiossa, jossa on jalkoja ja hypotenuusa, kaikki elämämme ilmiöt on salattu. Ja tämä kolmio on "avain" kaikkien esiin tulevien ongelmien ratkaisemiseen. Suuri filosofi sanoi, että pitäisi nähdä kolmio, niin voimme olettaa, että ongelma on kaksi kolmasosaa ratkaistu.

Pythagoras kertoi opetuksestaan ​​vain suullisesti, tekemättä muistiinpanoja, pitäen sen salassa. Valitettavasti suurimman filosofin opetukset eivät ole säilyneet tähän päivään asti. Osa siitä on vuotanut, mutta on mahdotonta sanoa, kuinka paljon tiedossa olevasta on totta ja kuinka paljon väärää. Jopa Pythagoraan lauseen historiassa kaikki ei ole varmaa. Matematiikan historioitsijat epäilevät Pythagoraan kirjoittajaa, heidän mielestään lausetta käytettiin useita vuosisatoja ennen hänen syntymäänsä.

Pythagoraan lause

Se voi tuntua oudolta, mutta Pythagoran itsensä teoreeman todistuksesta ei ole olemassa historiallisia faktoja - ei arkistoissa eikä muissa lähteissä. Nykyaikaisessa versiossa sen uskotaan kuuluvan kenellekään muulle kuin Eukleideelle itselleen.

On todisteita yhdestä suurimmista matematiikan historioitsijoista, Moritz Cantorista, joka löysi Berliinin museossa säilytetystä papyruksesta, jonka egyptiläiset olivat kirjoittaneet noin vuonna 2300 eaa. e. yhtäläisyys, jossa lukee: 3² + 4² = 5².

Lyhyesti Pythagoraan lauseen historiasta

Euklidisen "alkujen" lauseen muotoilu käännöksessä kuulostaa samalta kuin nykyisessä tulkinnassa. Sen lukemisessa ei ole mitään uutta: oikean kulman vastakkaisen sivun neliö on yhtä suuri kuin oikean kulman viereisten sivujen neliöiden summa. Sen tosiasian, että Intian ja Kiinan muinaiset sivilisaatiot käyttivät lausetta, vahvistaa tutkielma Zhou Bi Suan Jin. Se sisältää tietoa Egyptin kolmiosta, joka kuvaa kuvasuhdetta 3:4:5.

Ei vähemmän mielenkiintoinen on toinen kiinalainen matemaattinen kirja "Chu-pei", jossa mainitaan myös Pythagoraan kolmio selityksellä ja piirustuksilla, jotka ovat yhtäpitäviä Baskharan hindugeometrian piirustusten kanssa. Itse kolmiosta kirja sanoo, että jos suora kulma voidaan jakaa sen komponentteihin, niin sivujen päät yhdistävä viiva on yhtä suuri kuin viisi, jos kanta on kolme ja korkeus on neljä.

Intialainen tutkielma "Sulva Sutra", joka juontaa juurensa noin 7.-5. vuosisadalta eKr. e., kertoo suoran kulman rakentamisesta Egyptin kolmion avulla.

Todistus lauseesta

Keskiajalla opiskelijat pitivät lauseen todistamista liian vaikeana. Heikot opiskelijat oppivat lauseet ulkoa ymmärtämättä todisteen merkitystä. Tältä osin he saivat lempinimen "aasit", koska Pythagoran lause oli heille ylitsepääsemätön este, kuten silta aasille. Keskiajalla opiskelijat keksivät leikkisän jakeen tästä lauseesta.

Pythagoraan lauseen todistamiseksi helpoimmalla tavalla sinun tulee yksinkertaisesti mitata sen sivut käyttämättä todistuksessa pinta-alan käsitettä. Oikeaa kulmaa vastakkaisen sivun pituus on c ja sen vieressä olevat a ja b, minkä seurauksena saamme yhtälön: a 2 + b 2 \u003d c 2. Tämä väite, kuten edellä mainittiin, varmistetaan mittaamalla suorakulmaisen kolmion sivujen pituudet.

Jos aloitamme lauseen todistuksen ottamalla huomioon kolmion sivuille rakennettujen suorakulmioiden pinta-alan, voimme määrittää koko kuvion alueen. Se on yhtä suuri kuin neliön pinta-ala, jossa on sivu (a + b), ja toisaalta neljän kolmion pinta-alojen ja sisemmän neliön summa.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c2;

a2 + 2ab + b2;

c 2 = a 2 + b 2 , mikä oli todistettava.

Pythagoraan lauseen käytännön merkitys on, että sen avulla voidaan löytää segmenttien pituudet mittaamatta niitä. Rakenteiden rakentamisen aikana lasketaan etäisyydet, tukien ja palkkien sijoitus, määritetään painopisteet. Pythagoraan lausetta sovelletaan myös kaikissa nykyaikaisissa teknologioissa. He eivät unohtaneet lausetta luodessaan elokuvia 3D-6D-mitoissa, joissa tavanomaisten 3 arvon lisäksi otetaan huomioon korkeus, pituus, leveys, aika, haju ja maku. Kuinka maut ja tuoksut liittyvät lauseeseen, kysyt? Kaikki on hyvin yksinkertaista - kun näytät elokuvaa, sinun on laskettava, missä ja mitä tuoksuja ja makuja ohjataan auditoriossa.

Se on vasta alkua. Rajattomat mahdollisuudet uusien teknologioiden löytämiseen ja luomiseen odottavat uteliaita mieliä.

Pythagoraan lause- yksi euklidisen geometrian peruslauseista, joka määrittää suhteen

suorakulmaisen kolmion sivujen välissä.

Uskotaan, että sen todisti kreikkalainen matemaatikko Pythagoras, jonka mukaan se on nimetty.

Pythagoraan lauseen geometrinen muotoilu.

Lause muotoiltiin alun perin seuraavasti:

Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusalle rakennetun neliön pinta-ala on yhtä suuri kuin neliöiden pinta-alojen summa,

rakennettu katetriin.

Pythagoraan lauseen algebrallinen muotoilu.

Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusan pituuden neliö on yhtä suuri kuin jalkojen pituuksien neliöiden summa.

Tämä tarkoittaa kolmion hypotenuusan pituutta c, ja jalkojen pituudet läpi a Ja b:

Molemmat formulaatiot Pythagoraan lauseita ovat vastaavia, mutta toinen muotoilu on alkeellisempi, se ei ole

vaatii alueen käsitteen. Toisin sanoen toinen väite voidaan varmistaa tietämättä mitään alueesta ja

mittaamalla vain suorakulmaisen kolmion sivujen pituudet.

Käänteinen Pythagoraan lause.

Jos kolmion yhden sivun neliö on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summa, niin

kolmio on suorakaiteen muotoinen.

Tai toisin sanoen:

Millä tahansa positiivisten lukujen kolmiosalla a, b Ja c, sellaista

on suorakulmainen kolmio jaloilla a Ja b ja hypotenuusa c.

Pythagoraan lause tasakylkiselle kolmiolle.

Pythagoraan lause tasasivuiselle kolmiolle.

Pythagoraan lauseen todisteet.

Tällä hetkellä tieteelliseen kirjallisuuteen on tallennettu 367 tämän lauseen todistetta. Luultavasti lause

Pythagoras on ainoa lause, jolla on niin vaikuttava määrä todisteita. Sellaista monimuotoisuutta

voidaan selittää vain lauseen perustavanlaatuisella merkityksellä geometrialle.

Tietenkin käsitteellisesti ne kaikki voidaan jakaa pieneen määrään luokkia. Tunnetuin niistä:

todiste alueen menetelmä, aksiomaattinen Ja eksoottisia todisteita(Esimerkiksi,

käyttämällä differentiaaliyhtälöt).

1. Pythagoraan lauseen todiste samankaltaisten kolmioiden suhteen.

Seuraava algebrallisen formulaation todistus on yksinkertaisin konstruoiduista todisteista

suoraan aksioomista. Erityisesti se ei käytä hahmon alueen käsitettä.

Antaa ABC on suorakulmainen kolmio C. Piirretään korkeus C ja merkitsee

sen perustan läpi H.

Kolmio ACH samanlainen kuin kolmio AB C kahdessa kulmassa. Samoin kolmio CBH samanlainen ABC.

Esittelemällä merkinnän:

saamme:

,

mikä vastaa -

Taitettuaan a 2 ja b 2, saamme:

tai , joka oli todistettava.

2. Pythagoraan lauseen todistus aluemenetelmällä.

Näennäisestä yksinkertaisuudestaan ​​huolimatta seuraavat todistukset eivät ole ollenkaan niin yksinkertaisia. Ne kaikki

Käytä alueen ominaisuuksia, joiden todistaminen on monimutkaisempaa kuin itse Pythagoraan lauseen todistus.

• Todistus equicomplementation kautta.

Järjestä neljä samanlaista suorakaiteen muotoista

kolmio kuvan osoittamalla tavalla

oikealla.

Nelikulmainen sivuilla c- neliö,

koska kahden terävän kulman summa on 90°, ja

kehitetty kulma on 180°.

Koko hahmon pinta-ala on toisaalta

neliön pinta-ala sivulla ( a+b), ja toisaalta neljän kolmion pinta-alojen summa ja

Q.E.D.

3. Pythagoraan lauseen todistus infinitesimaalimenetelmällä.

​

Ottaen huomioon kuvassa näkyvän piirustuksen ja

katsomassa puolen vaihtamistaa, me voimme

kirjoita seuraava relaatio äärettömälle

pieni sivun lisäyksetKanssa Ja a(käytetään samankaltaisuutta

kolmiot):

Käyttämällä muuttujien erottelumenetelmää löydämme:

Yleisempi ilmaus hypotenuusan muuttamiseen molempien jalkojen kasvaessa:

Integroimalla tämä yhtälö ja käyttämällä alkuehtoja saamme:

Siten pääsemme haluttuun vastaukseen:

Kuten on helppo nähdä, neliöllinen riippuvuus lopullisessa kaavassa ilmenee lineaarisuuden vuoksi

suhteellisuus kolmion sivujen ja inkrementtien välillä, kun taas summa on suhteessa riippumattomaan

eri jalkojen lisäyksestä.

Yksinkertaisempi todiste voidaan saada, jos oletetaan, että yksi jaloista ei koe lisäystä

(tässä tapauksessa jalka b). Sitten integraatiovakiolle saamme:

Tarina

Chu-pei 500-200 eaa. Vasemmalla on kirjoitus: korkeuden ja pohjan pituuksien neliöiden summa on hypotenuusan pituuden neliö.

Muinaisessa kiinalaisessa kirjassa Chu-pei ( Englanti) (kiinalainen 周髀算經) puhuu Pythagoraan kolmiosta, jonka sivut ovat 3, 4 ja 5. Samassa kirjassa ehdotetaan piirustusta, joka sopii yhteen Baskharan hindugeometrian piirustuksen kanssa.

Noin 400 eaa. esim. Prokloksen mukaan Platon antoi menetelmän Pythagoraan kolmioiden löytämiseksi yhdistämällä algebran ja geometrian. Noin 300 eaa. e. Euklidesin elementit sisältää Pythagoraan lauseen vanhimman aksiomaattisen todisteen.

Sanamuoto

Geometrinen muotoilu:

Lause muotoiltiin alun perin seuraavasti:

Algebrallinen muotoilu:

Tämä tarkoittaa kolmion hypotenuusan pituutta ja jalkojen pituutta läpi ja:

Lauseen molemmat formulaatiot ovat ekvivalentteja, mutta toinen muotoilu on alkeellisempi, se ei vaadi pinta-alan käsitettä. Toisin sanoen toinen väite voidaan varmistaa tietämättä mitään pinta-alasta ja mittaamalla vain suorakulmaisen kolmion sivujen pituudet.

Käänteinen Pythagoraan lause:

Jokaiselle positiivisten lukujen kolmiolle , ja siten, että on olemassa suorakulmainen kolmio, jossa on jalat ja ja hypotenuusa .

Todiste

Tällä hetkellä tieteelliseen kirjallisuuteen on tallennettu 367 tämän lauseen todistetta. Todennäköisesti Pythagoraan lause on ainoa lause, jolla on niin vaikuttava määrä todisteita. Tällainen vaihtelu voidaan selittää vain lauseen perustavanlaatuisella merkityksellä geometrialle.

Tietenkin käsitteellisesti ne kaikki voidaan jakaa pieneen määrään luokkia. Tunnetuimmat niistä: todistukset aluemenetelmällä, aksiomaattiset ja eksoottiset todistukset (esimerkiksi differentiaaliyhtälöitä käyttäen).

Samanlaisten kolmioiden kautta

Seuraava algebrallisen formuloinnin todistus on yksinkertaisin suoraan aksioomista rakennetuista todisteista. Erityisesti siinä ei käytetä hahmoalueen käsitettä.

Antaa ABC on suorakulmainen kolmio C. Piirretään korkeus C ja merkitse sen kantaa H. Kolmio ACH samanlainen kuin kolmio ABC kahdessa kulmassa. Samoin kolmio CBH samanlainen ABC. Esittelyssä merkintä

saamme

Mikä on vastaava

Lisäämällä saamme

, joka oli todistettava

Aluetodistuksia

Näennäisestä yksinkertaisuudestaan ​​huolimatta seuraavat todistukset eivät ole ollenkaan niin yksinkertaisia. Kaikki käyttävät alueen ominaisuuksia, joiden todistaminen on monimutkaisempaa kuin itse Pythagoraan lauseen todistus.

Todistus vastaavuuden kautta

1. Järjestä neljä samanlaista suorakulmaista kolmiota kuvan 1 mukaisesti.
2. Nelikulmainen sivuilla c on neliö, koska kahden terävän kulman summa on 90° ja suorakulma on 180°.
3. Koko kuvion pinta-ala on yhtä suuri kuin neliön pinta-ala, jossa on sivu (a + b), ja toisaalta neljän kolmion pinta-alojen ja pinta-alan summa. sisäaukiolta.

Q.E.D.

Eukleideen todiste

Eukleideen todistuksen idea on seuraava: yritetään todistaa, että puolet hypotenuusalle rakennetun neliön pinta-alasta on yhtä suuri kuin jalkoihin rakennettujen neliöiden puolen pinta-alan summa ja sitten iso ja kaksi pientä neliötä ovat yhtä suuret.

Harkitse piirustusta vasemmalla. Rakensimme sille neliöitä suorakulmaisen kolmion sivuille ja piirsimme säteen s suoran kulman C kärjestä kohtisuoraan hypotenuusaan AB, se leikkaa hypotenuusalle rakennetun neliön ABIK kahdeksi suorakulmioksi - BHJI ja HAKJ , vastaavasti. Osoittautuu, että näiden suorakulmioiden pinta-alat ovat täsmälleen yhtä suuret kuin vastaaville jaloille rakennettujen neliöiden pinta-alat.

Yritetään todistaa, että neliön DECA pinta-ala on yhtä suuri kuin suorakulmion pinta-ala AHJK Tätä varten käytämme apuhavaintoa: Kolmion pinta-ala, jonka korkeus ja kanta on sama kuin annettu. suorakulmio on yhtä suuri kuin puolet annetun suorakulmion pinta-alasta. Tämä johtuu siitä, että kolmion pinta-ala määritellään puoleksi pohjan ja korkeuden tulosta. Tästä havainnosta seuraa, että kolmion ACK pinta-ala on yhtä suuri kuin kolmion AHK pinta-ala (ei esitetty), joka puolestaan ​​on yhtä suuri kuin puolet suorakulmion AHJK pinta-alasta.

Osoittakaamme nyt, että kolmion ACK pinta-ala on myös yhtä suuri kuin puolet DECA-neliön pinta-alasta. Ainoa asia, joka on tehtävä tätä varten, on todistaa kolmioiden ACK ja BDA yhtäläisyys (koska kolmion BDA pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet neliön pinta-alasta yllä olevalla ominaisuudella). Tämä yhtäläisyys on ilmeinen: kolmioiden kaksi sivua ja niiden välinen kulma ovat yhtä suuret. Nimittäin - AB=AK, AD=AC - kulmien CAK ja BAD yhtäläisyys on helppo todistaa liikemenetelmällä: kierretään kolmiota CAK 90° vastapäivään, niin on selvää, että kahden tarkastellun kolmion vastaavat sivut osuvat yhteen. (johtuen siitä, että kulma neliön kärjessä on 90°).

Väite neliön BCFG ja suorakulmion BHJI pinta-alojen yhtäläisyydestä on täysin analoginen.

Näin ollen olemme osoittaneet, että hypotenuusalle rakennetun neliön pinta-ala on jalkoihin rakennettujen neliöiden pinta-alojen summa. Tämän todisteen ideaa havainnollistetaan edelleen yllä olevalla animaatiolla.

Todiste Leonardo da Vincistä

Todistuksen pääelementit ovat symmetria ja liike.

Tarkastellaan piirustusta, kuten symmetriasta voidaan nähdä, segmentti leikkaa neliön kahteen identtiseen osaan (koska kolmiot ja ovat rakenteeltaan samanlaisia).

Kääntämällä vastapäivään 90 astetta pisteen ympäri, näemme varjostettujen lukujen ja .

Nyt on selvää, että varjostamamme kuvion pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet pienten neliöiden pinta-aloista (rakennettu jalkoihin) ja alkuperäisen kolmion pinta-alasta. Toisaalta se on yhtä suuri kuin puolet suuren neliön (rakennettu hypotenuusan) pinta-alasta plus alkuperäisen kolmion pinta-ala. Siten puolet pienten neliöiden pinta-alojen summasta on yhtä suuri kuin puolet suuren neliön pinta-alasta, ja siksi jalkoihin rakennettujen neliöiden pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin rakennetun neliön pinta-ala hypotenuusalla.

Todistus infinitesimaalimenetelmällä

Seuraava differentiaaliyhtälöitä käyttävä todistus on usein 1900-luvun alkupuoliskolla eläneen kuuluisan englantilaisen matemaatikon Hardyn ansiota.

Ottaen huomioon kuvassa näkyvän piirustuksen ja tarkkailemalla sivun muutosta a, voimme kirjoittaa seuraavan suhteen äärettömän pienille sivulisäyksille Kanssa Ja a(käyttämällä samanlaisia ​​kolmioita):

Käyttämällä muuttujien erottelumenetelmää löydämme

Yleisempi ilmaus hypotenuusan muuttamiseen molempien jalkojen kasvaessa

Integroimalla tämä yhtälö ja käyttämällä alkuehtoja saadaan

Siten pääsemme haluttuun vastaukseen

Kuten on helppo nähdä, neliöllinen riippuvuus lopullisessa kaavassa ilmenee kolmion sivujen ja inkrementtien välisen lineaarisen suhteellisuuden vuoksi, kun taas summa johtuu eri jalkojen lisäyksestä riippumattomista panoksista.

Yksinkertaisempi todiste voidaan saada, jos oletetaan, että yksi jaloista ei koe kasvua (tässä tapauksessa jalka). Sitten saamme integraatiovakion

Muunnelmia ja yleistyksiä

Samanlaisia ​​geometrisia muotoja kolmella sivulla

Yleistys samanlaisille kolmioille, vihreiden kuvioiden pinta-ala A + B = sinisen C pinta-ala

Pythagoraan lause käyttäen samanlaisia ​​suorakulmioita

Eukleides teki työssään yleistyksen Pythagoraan lauseesta Alkuja, laajentamalla sivuilla olevien neliöiden alueita samanlaisten geometristen muotojen alueiksi:

Jos rakennamme samanlaisia ​​geometrisia kuvioita (katso Euklidinen geometria) suorakulmaisen kolmion sivuille, niin kahden pienemmän hahmon summa on yhtä suuri kuin suuremman kuvion pinta-ala.

Tämän yleistyksen pääidea on, että tällaisen geometrisen hahmon pinta-ala on verrannollinen minkä tahansa sen lineaarimitan neliöön ja erityisesti minkä tahansa sivun pituuden neliöön. Siksi samankaltaisille luvuille alueilla A, B Ja C rakennettu sivuille pituudella a, b Ja c, meillä on:

Mutta Pythagoraan lauseen mukaan a 2 + b 2 = c 2 siis A + B = C.

Päinvastoin, jos voimme todistaa sen A + B = C kolmelle samanlaiselle geometriselle kuviolle ilman Pythagoraan lausetta, voimme todistaa itse lauseen, liikkuen vastakkaiseen suuntaan. Esimerkiksi aloituskeskikolmio voidaan käyttää uudelleen kolmiona C hypotenuusalla ja kaksi samanlaista suorakulmaista kolmiota ( A Ja B) rakennettu kahdelle muulle sivulle, jotka muodostuvat jakamalla keskimmäinen kolmio sen korkeudella. Kolmioiden kahden pienemmän alueen summa on tällöin ilmeisesti yhtä suuri kuin kolmannen pinta-ala, eli A + B = C ja suorittamalla edelliset todistukset käänteisessä järjestyksessä, saadaan Pythagoraan lause a 2 + b 2 = c 2 .

Kosinilause

Pythagoraan lause on erikoistapaus yleisemmästä kosinilauseesta, joka suhteuttaa mielivaltaisen kolmion sivujen pituudet:

missä θ on sivujen välinen kulma a Ja b.

Jos θ on 90 astetta, niin cos θ = 0 ja kaava yksinkertaistetaan tavalliseen Pythagoraan lauseeseen.

Mielivaltainen kolmio

Satunnaisen kolmion, jossa on sivut, valittuun kulmaan a, b, c kirjoitamme tasakylkisen kolmion siten, että yhtäläiset kulmat sen kannalla θ ovat yhtä suuret kuin valittu kulma. Oletetaan, että valittu kulma θ sijaitsee vastapäätä osoitettua sivua c. Tuloksena saimme kolmion ABD, jonka kulma on θ ja joka sijaitsee vastapäätä sivua a ja juhlia r. Toisen kolmion muodostaa kulma θ, joka on sivua vastapäätä b ja juhlia Kanssa pituus s, kuten kuvassa näkyy. Thabit Ibn Qurra sanoi, että näiden kolmen kolmion sivut liittyvät toisiinsa seuraavasti:

Kulman θ lähestyessä π/2:ta tasakylkisen kolmion kanta pienenee ja sivut r ja s limittyvät yhä vähemmän. Kun θ = π/2, ADB muuttuu suorakulmaiseksi kolmioksi, r + s = c ja saamme alkuperäisen Pythagoraan lauseen.

Katsotaanpa yhtä argumenteista. Kolmiolla ABC on samat kulmat kuin kolmiolla ABD, mutta käänteisessä järjestyksessä. (Kahdella kolmiolla on yhteinen kulma kärjessä B, molemmilla on kulma θ ja niillä on myös sama kolmas kulma kolmion kulmien summalla) Näin ollen ABC on samanlainen kuin kolmion DBA heijastus ABD, kuten kuvassa alemmassa kuvassa. Kirjoitetaan vastakkaisten ja kulman θ viereisten sivujen välinen suhde,

Samoin toisen kolmion heijastus,

Kerro murtoluvut ja lisää nämä kaksi suhdetta:

Q.E.D.

Yleistys mielivaltaisille kolmioille suunnikkaiden avulla

Yleistys mielivaltaisille kolmioille,
vihreä alue tontti = alue sininen

Todiste väitöskirjasta, että yllä olevassa kuvassa

Tehdään lisäyleistys ei-suorakulmaisille kolmioille käyttämällä suunnikkaita kolmella sivulla neliöiden sijaan. (neliöt ovat erikoistapaus.) Yläkuva osoittaa, että teräväkulmaisessa kolmiossa suunnikkaan pinta-ala pitkällä sivulla on yhtä suuri kuin kahdella muulla sivulla olevien suunnikkaiden summa, edellyttäen että pitkä sivu on rakennettu kuvan osoittamalla tavalla (nuolilla merkityt mitat ovat samat ja määräävät alemman suuntaviivan sivut). Tämä neliöiden korvaaminen suunnikasilla muistuttaa selvästi alkuperäistä Pythagoraan lausetta, ja sen uskotaan muotoilevan Pappus of Alexandriasta vuonna 4 jKr. e.

Alakuvassa näkyy todistuksen eteneminen. Katsotaanpa kolmion vasenta puolta. Vasemmalla vihreällä suunnikkaalla on sama pinta-ala kuin sinisen suuntaviivan vasemmalla puolella, koska niillä on sama kanta b ja korkeus h. Lisäksi vasemmalla vihreällä laatikolla on sama pinta-ala kuin vasemmalla vihreällä laatikolla yläkuvassa, koska niillä on yhteinen kanta (kolmion vasen yläpuoli) ja yhteinen korkeus kohtisuorassa kolmion tälle sivulle. Väittelemällä samalla tavalla kolmion oikeaa puolta, todistamme, että alemmalla suunnikkaalla on sama pinta-ala kuin kahdella vihreällä suunnikkaalla.

Monimutkaiset luvut

Pythagoraan lausetta käytetään kahden pisteen välisen etäisyyden selvittämiseen suorakulmaisessa koordinaatistossa, ja tämä lause pätee kaikkiin todellisiin koordinaatteihin: etäisyys s kahden pisteen välillä ( a, b) ja ( c, d) on yhtä suuri

Kaavan kanssa ei ole ongelmia, jos kompleksilukuja käsitellään vektoreina, joissa on reaalikomponentit x + minä y = (x, y). . Esimerkiksi etäisyys s välillä 0 + 1 i ja 1 + 0 i lasketaan vektorin moduulina (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), tai

Kuitenkin operaatioissa vektoreilla, joilla on monimutkaiset koordinaatit, on tarpeen tehdä tietty parannus Pythagoraan kaavaan. Pisteiden välinen etäisyys kompleksiluvuilla ( a, b) ja ( c, d); a, b, c, Ja d kaikki monimutkaiset, muotoilemme käyttämällä absoluuttisia arvoja. Etäisyys s vektorieron perusteella (a − c, b − d) seuraavassa muodossa: anna eron a − c = s+i q, Missä s on eron todellinen osa, q on imaginaariosa, ja i = √(−1). Samoin anna b − d = r+i s. Sitten:

missä on kompleksikonjugaatti . Esimerkiksi pisteiden välinen etäisyys (a, b) = (0, 1) Ja (c, d) = (i, 0) , laske ero (a − c, b − d) = (−i, 1) ja tulos olisi 0, jos kompleksisia konjugaatteja ei käytetä. Siksi parannettua kaavaa käyttämällä saamme

Moduuli on määritelty seuraavasti:

Stereometria

Merkittävä yleistys Pythagoraan lauseesta kolmiulotteiselle avaruudelle on de Guan lause, joka on nimetty J.-P. de Gua: jos tetraedrilla on suora kulma (kuten kuutiossa), niin oikeaa kulmaa vastakkaisen pinnan pinta-alan neliö on yhtä suuri kuin kolmen muun pinnan pinta-alojen summa. Tämä johtopäätös voidaan tiivistää seuraavasti: " n-ulotteinen Pythagoraan lause":

Pythagoraan lause kolmiulotteisesti suhteuttaa diagonaalin AD kolmeen sivuun.

Toinen yleistys: Pythagoraan lausetta voidaan soveltaa stereometriaan seuraavassa muodossa. Harkitse suorakaiteen muotoista laatikkoa kuvan osoittamalla tavalla. Etsi diagonaalin BD pituus Pythagoraan lauseen avulla:

jossa kolme sivua muodostavat suorakulmaisen kolmion. Käytä vaakasuoraa diagonaalia BD ja pystyreunaa AB löytääksesi diagonaalin AD pituuden, jälleen Pythagoraan lauseen avulla:

tai jos kaikki on kirjoitettu yhteen yhtälöön:

Tämä tulos on 3D-lauseke vektorin suuruuden määrittämiseksi v(diagonaali AD) ilmaistuna sen kohtisuorassa komponentissa ( v k) (kolme keskenään kohtisuoraa sivua):

Tätä yhtälöä voidaan pitää Pythagoraan lauseen yleistyksenä moniulotteiselle avaruudelle. Tuloksena ei kuitenkaan ole muuta kuin Pythagoraan lauseen toistuva soveltaminen suorakulmaisten kolmioiden sarjaan peräkkäin kohtisuorassa tasossa.

vektoriavaruus

Ortogonaalisen vektorijärjestelmän tapauksessa tapahtuu yhtälö, jota kutsutaan myös Pythagoraan lauseeksi:

Jos - nämä ovat vektorin projektioita koordinaattiakseleille, niin tämä kaava osuu yhteen euklidisen etäisyyden kanssa - ja tarkoittaa, että vektorin pituus on yhtä suuri kuin sen komponenttien neliösumman neliöjuuri.

Tämän yhtälön analogia äärettömän vektorijärjestelmän tapauksessa kutsutaan Parsevalin yhtälöksi.

Ei-euklidinen geometria

Pythagoraan lause on johdettu euklidisen geometrian aksioomista, eikä se itse asiassa päde ei-euklidiselle geometrialle siinä muodossa, jossa se on kirjoitettu yllä. (Toisin sanoen Pythagoraan lause osoittautuu eräänlaiseksi vastineeksi Euklidesin rinnakkaispostulaatille) Toisin sanoen ei-euklidisessa geometriassa kolmion sivujen välinen suhde on välttämättä eri muodossa kuin Pythagoraan lause. . Esimerkiksi pallogeometriassa suorakulmaisen kolmion kaikki kolme sivua (esim a, b Ja c), jotka sitovat yksikköpallon oktantin (kahdeksasosan), ovat pituudeltaan π/2, mikä on ristiriidassa Pythagoraan lauseen kanssa, koska a 2 + b 2 ≠ c 2 .

Tarkastellaan tässä kahta ei-euklidisen geometrian tapausta - pallomaista ja hyperbolista geometriaa; molemmissa tapauksissa, kuten suorakulmaisten kolmioiden euklidisessa avaruudessa, Pythagoraan lauseen korvaava tulos seuraa kosinilauseesta.

Pythagoraan lause pysyy kuitenkin voimassa hyperbolisessa ja elliptisessä geometriassa, jos kolmion suorakulmaisuusvaatimus korvataan ehdolla, että kolmion kahden kulman summan on oltava yhtä suuri kuin kolmas, esim. A+B = C. Sitten sivujen välinen suhde näyttää tältä: halkaisijaltaan olevien ympyröiden pinta-alojen summa a Ja b yhtä suuri kuin halkaisijaltaan ympyrän pinta-ala c.

pallomainen geometria

Mikä tahansa suorakulmainen kolmio pallolla, jonka säde on R(esimerkiksi jos kolmion kulma γ on oikea) sivuilla a, b, c osapuolten välinen suhde näyttää tältä:

Tämä yhtäläisyys voidaan johtaa pallokosinisilauseen erikoistapauksena, joka pätee kaikkiin pallomaisiin kolmioihin:

jossa cosh on hyperbolinen kosini. Tämä kaava on hyperbolisen kosinilauseen erikoistapaus, joka pätee kaikkiin kolmioihin:

missä γ on kulma, jonka kärki on sivua vastapäätä c.

Missä g ij kutsutaan metriseksi tensoriksi. Se voi olla sijaintifunktio. Tällaisia ​​kaarevia avaruuksia ovat mm. Riemannin geometria yleisenä esimerkkinä. Tämä muotoilu sopii myös euklidiseen avaruuteen käytettäessä kaarevia koordinaatteja. Esimerkiksi napakoordinaateille:

vektorituote

Pythagoraan lause yhdistää kaksi vektoritulon suuruuden lauseketta. Yksi lähestymistapa ristitulon määrittelemiseen edellyttää, että se täyttää yhtälön:

tämä kaava käyttää pistetuloa. Yhtälön oikeaa puolta kutsutaan Gramin determinantiksi for a Ja b, joka on yhtä suuri kuin näiden kahden vektorin muodostaman suuntaviivan pinta-ala. Perustuu tähän vaatimukseen, samoin kuin vaatimukseen, että vektoritulo on kohtisuorassa komponentteihinsa nähden a Ja b tästä seuraa, että 0- ja 1-ulotteisen avaruuden triviaalisia tapauksia lukuun ottamatta vektoritulo määritellään vain kolmessa ja seitsemässä ulottuvuudessa. Käytämme kulman määritelmää in n-ulotteinen tila:

tämä vektoritulon ominaisuus antaa sen arvon seuraavassa muodossa:

Pythagoraan perustavanlaatuisen trigonometrisen identiteetin kautta saamme toisen muodon sen arvon kirjoittamiseen:

Vaihtoehtoinen lähestymistapa ristiintulon määrittämiseen käyttää sen suuruuden ilmaisua. Sitten väittelemällä käänteisessä järjestyksessä saamme yhteyden skalaarituloon:

Katso myös

Huomautuksia

1. Historian aihe: Pythagoraan lause Babylonin matematiikassa
2. ( , s. 351) s. 351
3. ( , osa I, s. 144)
4. Keskustelu historiallisista tosiseikoista on (, s. 351) sivulla 351
5. Kurt Von Fritz (huhtikuu 1945). "Metapontumin Hippasuksen tekemä epäyhdenmukaisuuden löytö". The Annals of Mathematics, toinen sarja(Matematiikan lehdet) 46 (2): 242–264.
6. Lewis Carroll, "Solmujen tarina", M., Mir, 1985, s. 7
7. Asger Aaboe Jaksot matematiikan varhaisesta historiasta. - Mathematical Association of America, 1997. - S. 51. - ISBN 0883856131
8. Pythagoraan lause Kirjailija: Elisha Scott Loomis
9. Eukleideen Elementit: Kirja VI, Propositio VI 31: "Suorakulmaisissa kolmioissa oikeaa kulmaa alittavalla sivulla oleva kuva on yhtä suuri kuin samankaltaiset ja samalla tavalla kuvatut kuviot sivuilla, jotka sisältävät oikean kulman."
10. Lawrence S. Leff lainattu työ. - Barron's Educational Series. - P. 326. - ISBN 0764128922
11. Howard Whitley Eves§4.8:...Pythagoraan lauseen yleistys // Matematiikan suuria hetkiä (ennen vuotta 1650) . - Mathematical Association of America, 1983. - s. 41. - ISBN 0883853108
12. Tâbit ibn Qorra (koko nimi Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 jKr.) oli Bagdadissa asunut lääkäri, joka kirjoitti laajasti Eukleideen elementeistä ja muista matemaattisista aiheista.
13. Aydin Sayili (maaliskuu 1960). "Thâbit ibn Qurran yleistys Pythagoraan lauseesta". Isis 51 (1): 35–37. DOI: 10.1086/348837.
14. Judith D. Sally, Paul Sally Harjoitus 2.10(ii) // Lainattu työ . - s. 62. - ISBN 0821844032
15. Katso tällaisen rakenteen yksityiskohdat George Jennings Kuva 1.32: Yleistetty Pythagoraan lause // Moderni geometria sovelluksilla: 150 kuviolla . - 3. - Springer, 1997. - s. 23. - ISBN 038794222X
16. Arlen Brown, Carl M. Pearcy kohde C: Normi ​​mielivaltaiselle n-tuple ... // Johdatus analyysiin . - Springer, 1995. - s. 124. - ISBN 0387943692 Katso myös sivut 47-50.
17. Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Moderni käyrien ja pintojen differentiaaligeometria Mathematicalla. - 3. - CRC Press, 2006. - S. 194. - ISBN 1584884487
18. Rajendra Bhatia matriisianalyysi. - Springer, 1997. - s. 21. - ISBN 0387948465
19. Stephen W. Hawking lainattu työ. - 2005. - s. 4. - ISBN 0762419229

Lause

Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusan pituuden neliö on yhtä suuri kuin jalkojen pituuksien neliöiden summa (kuva 1):

$c^(2)=a^(2)+b^(2)$

Pythagoraan lauseen todiste

Olkoon kolmio $A B C$ suorakulmainen kolmio, jonka kulma on $C$ (kuva 2).

Piirretään korkeus kärjestä $C$ hypotenuusaan $A B$, merkitään korkeuden kanta $H$ .

Suorakulmainen kolmio $A C H$ on samanlainen kuin kolmio $A B C$ kahdessa kulmassa ($\kulma A C B=\kulma C H A=90^(\circ)$, $\angle A$ on yleinen). Samoin kolmio $C B H$ on samanlainen kuin $A B C$ .

Esittelyssä merkintä

$$B C=a, A C=b, A B=c$$

kolmioiden samankaltaisuudesta saamme sen

$$\frac(a)(c)=\frac(H B)(a), \frac(b)(c)=\frac(A H)(b)$$

Siksi meillä on se

$$a^(2)=c \cdot H B, b^(2)=c \cdot A H$$

Lisäämällä saadut yhtäläisyydet saadaan

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot H B+c \cdot A H$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot(H B+A H)$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot A B$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot c$$

$$a^(2)+b^(2)=c^(2)$$

Q.E.D.

Pythagoraan lauseen geometrinen muotoilu

Lause

Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusalle rakennetun neliön pinta-ala on yhtä suuri kuin jalkoihin rakennettujen neliöiden pinta-alojen summa (kuva 2):

Esimerkkejä ongelmanratkaisusta

Esimerkki

Harjoittele. Sinulle annetaan suorakulmainen kolmio $A B C$, jonka jalat ovat 6 cm ja 8 cm. Etsi tämän kolmion hypotenuusa.

Ratkaisu. Jalan kunnon mukaan $a=6$ cm, $b=8$ cm. Sitten Pythagoraan lauseen mukaan hypotenuusan neliö

$c^(2)=a^(2)+b^(2)=6^(2)+8^(2)=36+64=100$

Siten saamme vaaditun hypotenuusan

$c=\sqrt(100)=10$ (cm)

Vastaus. 10 cm

Esimerkki

Harjoittele. Etsi suorakulmaisen kolmion pinta-ala, jos tiedetään, että sen toinen jalka on 5 cm pidempi kuin toinen ja hypotenuusa on 25 cm.

Ratkaisu. Olkoon $x$ cm pienemmän jalan pituus, sitten $(x+5)$ cm on isomman jalan pituus. Sitten Pythagoraan lauseen mukaan meillä on:

$$x^(2)+(x+5)^(2)=25^(2)$$

Avaamme sulut, vähennämme samanlaisia ​​ja ratkaisemme tuloksena olevan toisen asteen yhtälön:

$x^(2)+5 x-300=0$

Vietan lauseen mukaan saamme sen

$x_(1) = 15 $ (cm) , $ x_ (2) = -20 $ (cm)

$x_(2)$:n arvo ei täytä ongelman ehtoa, mikä tarkoittaa, että pienempi jalka on 15 cm ja suurempi 20 cm.

Suorakulmaisen kolmion pinta-ala on puolet sen jalkojen pituuksien tulosta

$$S=\frac(15 \cdot 20)(2)=15 \cdot 10=150\left(\mathrm(cm)^(2)\right)$$

Vastaus.$S=150\left(\mathrm(cm)^(2)\right)$

Historiallinen viittaus

Pythagoraan lause- yksi euklidisen geometrian peruslauseista, joka määrittää suoran kolmion sivujen välisen suhteen.

Muinainen kiinalainen kirja "Zhou bi suan jing" puhuu Pythagoraan kolmiosta, jossa on sivut 3, 4 ja 5. Suurin saksalainen matematiikan historioitsija Moritz Kantor (1829 - 1920) uskoo, että yhtäläisyys $3^(2)+4^(2 )=5^ (2) $ oli jo egyptiläisten tiedossa noin vuonna 2300 eKr. Tiedemiehen mukaan rakentajat rakensivat sitten suoria kulmia käyttämällä suorakulmaisia ​​kolmioita, joiden sivut ovat 3, 4 ja 5. Pythagoraan lauseesta tiedetään jonkin verran enemmän babylonialaisten keskuudessa. Yksi teksti antaa likimääräisen laskelman tasakylkisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusasta.

Tällä hetkellä tieteelliseen kirjallisuuteen on tallennettu 367 tämän lauseen todistetta. Todennäköisesti Pythagoraan lause on ainoa lause, jolla on niin vaikuttava määrä todisteita. Tällainen vaihtelu voidaan selittää vain lauseen perustavanlaatuisella merkityksellä geometrialle.

Teoksen teksti on sijoitettu ilman kuvia ja kaavoja.
Teoksen täysi versio löytyy "Työtiedostot"-välilehdeltä PDF-muodossa

Johdanto

Geometrian koulukurssilla ratkaistaan ​​Pythagoraan lauseen avulla vain matemaattisia tehtäviä. Valitettavasti kysymystä Pythagoraan lauseen käytännön soveltamisesta ei käsitellä.

Tältä osin työni tarkoituksena oli selvittää Pythagoraan lauseen laajuus.

Tällä hetkellä yleisesti tunnustetaan, että monien tieteen ja teknologian alueiden kehityksen onnistuminen riippuu matematiikan eri alojen kehityksestä. Tärkeä edellytys tuotannon tehostamiselle on matemaattisten menetelmien laaja käyttöönotto tekniikassa ja kansantaloudessa, mikä edellyttää uusien, tehokkaiden laadullisen ja kvantitatiivisen tutkimuksen menetelmien luomista, jotka mahdollistavat käytännön ongelmien ratkaisemisen.

Tarkastelen esimerkkejä Pythagoraan lauseen käytännön soveltamisesta. En yritä antaa kaikkia esimerkkejä lauseen käytöstä - se tuskin olisi mahdollista. Lauseen soveltamisalue on melko laaja, eikä sitä yleensä voida osoittaa riittävän täydellisesti.

Hypoteesi:

Pythagoraan lauseen avulla voit ratkaista paitsi matemaattisia ongelmia.

Tätä tutkimustyötä varten on määritelty seuraava tavoite:

Ota selvää Pythagoraan lauseen laajuudesta.

Yllä olevan tavoitteen perusteella määriteltiin seuraavat tehtävät:

Kerää tietoa Pythagoraan lauseen käytännön soveltamisesta eri lähteistä ja määritä lauseen sovellusalueet.

Opi historiallisia tietoja Pythagorasista ja hänen lauseestaan.

Näytä lauseen soveltaminen historiallisten ongelmien ratkaisemiseen.

Käsittele aiheesta kerätyt tiedot.

Olin mukana tiedonhaussa ja -keräyksessä - opiskelin painettua materiaalia, työskentelin aineiston kanssa Internetissä ja prosessoin kerättyjä tietoja.

Tutkimusmenetelmät:

Teoreettisen materiaalin opiskelu.

Tutkimusmenetelmien tutkiminen.

Tutkimuksen käytännön toteutus.

Kommunikaatio (mittausmenetelmä, kysely).

Projektin tyyppi: tiedon tutkimus. Työ tehtiin vapaa-ajallani.

Tietoja Pythagorasista.

Pythagoras on muinainen kreikkalainen filosofi, matemaatikko ja tähtitieteilijä. Hän perusteli monia geometristen kuvioiden ominaisuuksia, kehitti matemaattisen lukuteorian ja niiden suhteet. Hän antoi merkittävän panoksen tähtitieteen ja akustiikan kehitykseen. "Golden Verses" -kirjan kirjoittaja, Pythagoran koulukunnan perustaja Crotonissa.

Legendan mukaan Pythagoras syntyi noin vuonna 580 eaa. e. Samoksen saarella varakkaassa kauppiasperheessä. Hänen äitinsä Pythasis sai nimensä Apollon pappitar Pythian kunniaksi. Pythia ennusti Mnesarchukselle ja hänen vaimolleen pojan syntymää, joka myös nimettiin Pythian mukaan. Monien muinaisten todistusten mukaan poika oli upean komea ja osoitti pian erinomaiset kykynsä. Hän sai ensimmäiset tietonsa isältään Mnesarchukselta, kultaseppä ja jalokiviveistäjä, joka haaveili, että hänen poikansa jatkaisi työtään. Mutta elämä arvioi toisin. Tuleva filosofi osoitti suurta kykyä tieteisiin. Pythagoraan opettajien joukossa olivat Syrosin Pherekides ja vanhin Germodamant. Ensimmäinen juurrutti pojaan rakkauden tieteeseen ja toinen musiikkiin, maalaukseen ja runouteen. Myöhemmin Pythagoras tapasi kuuluisan filosofin - matemaatikko Thalesin Miletoksen ja meni hänen neuvoistaan ​​Egyptiin - silloisen tieteellisen ja tutkimustoiminnan keskukseen. Asuttuaan 22 vuotta Egyptissä ja 12 vuotta Babylonissa hän palasi Samoksen saarelle, jätti sen sitten tuntemattomista syistä ja muutti Crotonin kaupunkiin Etelä-Italiaan. Täällä hän loi Pythagoraan koulun (liitto), joka opiskeli erilaisia ​​​​filosofian ja matematiikan kysymyksiä. Noin 60-vuotiaana Pythagoras meni naimisiin Theanon kanssa, joka oli yksi hänen oppilaistaan. Heillä on kolme lasta, ja heistä kaikista tulee isänsä seuraajia. Tuon ajan historiallisille oloille on ominaista laaja demon liike aristokraattien valtaa vastaan. Paetessaan kansan vihan aaltoja Pythagoras ja hänen oppilaansa muuttivat Tarentumin kaupunkiin. Yhden version mukaan: Kilon, rikas ja paha mies, tuli hänen luokseen haluten humalassa liittyä veljeskuntaan. Saatuaan kieltäytyä Cylon aloitti taistelun Pythagoraan kanssa. Palon aikana oppilaat pelastivat omalla kustannuksellaan opettajan hengen. Pythagorakseen tuli koti-ikävä ja hän teki pian itsemurhan.

On huomattava, että tämä on yksi hänen elämäkertansa muunnelmista. Hänen syntymä- ja kuolemansa tarkkoja päivämääriä ei ole vahvistettu, monet hänen elämänsä tosiasiat ovat ristiriitaisia. Mutta yksi asia on selvä: tämä mies eli ja jätti jälkeläisilleen suuren filosofisen ja matemaattisen perinnön.

Pythagoraan lause.

Pythagoraan lause on geometrian tärkein lause. Lause muotoillaan seuraavasti: suorakulmaisen kolmion hypotenuusalle rakennetun neliön pinta-ala on yhtä suuri kuin sen jaloille rakennettujen neliöiden pinta-alojen summa.

Tämän lausunnon löytö johtuu Samoksen Pythagoraksen (XII vuosisata eKr.) ansioksi.

Babylonian nuolenpäätaulujen ja muinaisten kiinalaisten käsikirjoitusten (jopa vanhempien käsikirjoitusten kopioita) tutkiminen osoitti, että kuuluisa lause tunnettiin kauan ennen Pythagorasta, ehkä useita vuosituhansia ennen häntä.

(Mutta oletetaan, että Pythagoras antoi hänelle täydellisen todisteen)

Mutta on toinenkin mielipide: Pythagoralaisessa koulukunnassa oli ihmeellinen tapa antaa kaikki ansiot Pythagoralle ja jossain määrin omistaa löytäjien kunniaa, paitsi ehkä muutamassa tapauksessa.

(Iamblichus-syyrialainen kreikankielinen kirjailija, tutkielman "Pythagoraan elämä" kirjoittaja (II vuosisata jKr)

Joten saksalainen matematiikan historioitsija Kantor uskoo, että yhtäläisyys 3 2 + 4 2= 5 2 oli

Egyptiläiset tunsivat noin vuonna 2300 eaa. e. kuningas Amenechmetin aikana (Berliinin museon papyruksen 6619 mukaan). Jotkut uskovat, että Pythagoras antoi lauseelle täydellisen todisteen, kun taas toiset kiistävät häneltä tämän ansion.

Jotkut pitävät Pythagorasta Eukleideen Elementsissä antaman todisteen. Toisaalta Proclus (matemaatikko, 5. vuosisata) väittää, että "Periaatteiden" todistus kuului Eukleideelle itselleen, toisin sanoen matematiikan historiassa ei ole läheskään luotettavaa tietoa Pythagoraan matemaattisesta toiminnasta. Matematiikassa ei ehkä ole toista lausetta, joka ansaitsisi kaikenlaisia ​​vertailuja.

Joissakin Eukleideen "alkujen" luetteloissa tätä lausetta kutsuttiin "nymfilauseeksi" piirustuksen samankaltaisuuden vuoksi mehiläisen perhosen kanssa ("perhonen teoreema"), jota kreikaksi kutsuttiin nymfiksi. Kreikkalaiset kutsuivat tätä sanaa myös joitain muita jumalattaria sekä nuoria naisia ​​ja morsiamia. Arabialainen kääntäjä ei kiinnittänyt huomiota piirustukseen ja käänsi sanan "nymfi" "morsiameksi". Näin syntyi rakastava nimi "morsiamen teoreema". On legenda, että kun Pythagoras Samoksen todisti lauseensa, hän kiitti jumalia uhraamalla 100 härkää. Tästä syystä toinen nimi - "sadan härän lause".

Englanninkielisissä maissa sitä kutsuttiin: "tuulimylly", "peacock tail", "morsiamen tuoli", "aasin silta" (jos opiskelija ei voinut "ylittää" sitä, niin hän oli todellinen "aasi")

Vallankumousta edeltävällä Venäjällä Pythagoraan lauseen piirustusta tasakylkisen kolmion tapaukselle kutsuttiin "Pytagoraan housuiksi".

Nämä "housut" ilmestyvät, kun suorakulmaisen kolmion kummallekin puolelle rakennetaan neliöitä ulospäin.

Kuinka monta erilaista Pythagoraan lauseen todistetta on olemassa?

Pythagoraan ajoista lähtien niitä on ilmestynyt yli 350. Lause sisällytettiin Guinnessin ennätysten kirjaan. Jos analysoimme lauseen todisteita, niissä käytetään muutamia pohjimmiltaan erilaisia ​​ideoita.

Lauseen soveltamisalueet.

Sitä käytetään laajasti ratkaisemisessa geometrinen tehtäviä.

Sen avulla voit löytää geometrisesti kokonaislukujen neliöjuurten arvot:

Tätä varten rakennamme suorakulmaisen kolmion AOB (kulma A on 90 °) yksikköjaloilla. Silloin sen hypotenuusa on √2. Sitten rakennetaan yksittäinen segmentti BC, BC on kohtisuorassa OB:hen nähden, hypotenuusan pituus OS=√3 jne.

(tämä menetelmä löytyy Euclid ja F. Kirensky).

Tehtävät kurssilla fysiikka lukiossa vaaditaan Pythagoraan lauseen tuntemus.

Nämä ovat tehtäviä, jotka liittyvät nopeuksien yhteenlaskemiseen.

Kiinnitä huomiota diaan: tehtävä 9. luokan fysiikan oppikirjasta. Käytännössä se voidaan muotoilla seuraavasti: missä kulmassa joen virtaukseen nähden matkustajia laitureiden välillä kuljettavan veneen tulee liikkua aikataulun mukaisesti? (Laiturit sijaitsevat joen vastakkaisilla rannoilla)

Kun ampumahiihtäjä ampuu maaliin, hän tekee "tuulenkorjauksen". Jos tuuli puhaltaa oikealta ja urheilija ampuu suorassa linjassa, luoti menee vasemmalle. Jotta voit osua kohteeseen, sinun on siirrettävä tähtäin oikealle luodin siirtymäetäisyyden verran. Niitä varten on laadittu erityisiä taulukoita (toveri Pythagoraan seurausten perusteella). Ampumahiihtäjä tietää, mihin kulmaan tähtäin on siirrettävä tunnetulla tuulennopeudella.

Tähtitiede - myös laaja ala lauseen soveltamiselle valonsäteen polku. Kuvassa näkyy valonsäteen polku alkaen A B:hen ja takaisin. Säteen reitti on esitetty kaarevalla nuolella selvyyden vuoksi, itse asiassa valonsäde on suora.

Mikä on säteen polku? Valo kulkee edestakaisin samalla tavalla. Mikä on puoli matkaa, jonka säteen kulkee? Jos merkitsemme segmentin AB symboli l, puolet ajasta kuin t, ja ilmaisee myös valon nopeuden kirjaimella c, niin yhtälömme saa muodon

c*t=l

Tämä on nopeuteen käytetyn ajan tulos!

Yritetään nyt tarkastella samaa ilmiötä toisesta viitekehyksestä, esimerkiksi avaruusaluksesta, joka lentää liikkuvan säteen ohi nopeudella v. Tällaisella havainnolla kaikkien kappaleiden nopeudet muuttuvat ja paikallaan olevat kappaleet alkavat liikkua nopeudella v vastakkaiseen suuntaan. Oletetaan, että laiva liikkuu vasemmalle. Sitten ne kaksi pistettä, joiden välillä pupu juoksee, siirtyvät oikealle samalla nopeudella. Lisäksi, kun pupu juoksee tiensä, lähtökohta A siirtyy ja säde palaa uuteen pisteeseen C.

Kysymys: kuinka kauan piste liikkuu (muuttuu pisteeksi C) kun valonsäde kulkee? Tarkemmin sanottuna: mikä on puolet tästä offsetista? Jos puolet säteen matka-ajasta merkitään kirjaimella t" ja puolet matkasta AC kirje d, niin saamme yhtälömme muodossa:

v * t" = d

kirje v ilmaisee avaruusaluksen nopeuden.

Toinen kysymys: minkä polun valonsäde kulkee tässä tapauksessa?(Tarkemmin sanottuna mikä on puolet tästä polusta? Mikä on etäisyys tuntemattomaan kohteeseen?)

Jos merkitsemme puolta valon polun pituudesta kirjaimella s, niin saadaan yhtälö:

c * t" = s

Tässä c on valon nopeus ja t" on sama aika kuin edellä käsiteltiin.

Harkitse nyt kolmiota ABC. Se on tasakylkinen kolmio, jonka korkeus on l, jonka otimme käyttöön tarkastellessasi prosessia kiinteästä näkökulmasta. Koska liike on kohtisuorassa l, silloin se ei voinut vaikuttaa häneen.

Kolmio ABC koostuu kahdesta puolikkaasta - identtisistä suorakulmaisista kolmioista, joiden hypotenuusat AB Ja eKr on liitettävä jalkoihin Pythagoraan lauseen mukaan. Yksi jaloista on d, jonka juuri laskemme, ja toinen jalka on s, jonka läpi valo kulkee ja jonka me myös laskemme. Saamme yhtälön:

s 2 = l 2 +d 2

Tämä on Pythagoraan lause!

Ilmiö tähtien poikkeama, löydetty vuonna 1729, johtuu siitä, että kaikki taivaanpallon tähdet kuvaavat ellipsiä. Näiden ellipsien puolipääakselia havaitaan Maasta 20,5 asteen kulmassa. Tämä kulma liittyy Maan liikkeeseen Auringon ympäri nopeudella 29,8 km/h. Tähtien havainnoimiseksi liikkuvasta maapallosta on tarpeen kallistaa kaukoputkea eteenpäin tähden liikettä pitkin, sillä samalla kun valo kulkee kaukoputken pituudella, okulaari liikkuu eteenpäin maan mukana. Valon ja Maan nopeuksien yhteenlasku tehdään vektoriaalisesti ns.

Pythagoras. U 2 \u003d C 2 + V 2

C on valon nopeus

V-maanopeus

teleskooppiputki

Yhdeksännentoista vuosisadan lopulla tehtiin erilaisia ​​oletuksia ihmisten kaltaisten Marsin asukkaiden olemassaolosta, tämä oli seurausta italialaisen tähtitieteilijän Schiaparellin löydöistä (hän ​​avasi Marsissa kanavia, joita pidettiin pitkään keinotekoisina). . Vilkasta keskustelua herätti luonnollisesti kysymys siitä, voidaanko näiden hypoteettisten olentojen kanssa kommunikoida valosignaalien avulla. Pariisin tiedeakatemia jopa perusti 100 000 frangin palkinnon ensimmäiselle henkilölle, joka ottaa yhteyttä johonkin toisen taivaankappaleen asukkaaseen; tämä palkinto odottaa edelleen onnekasta. Vitsinä, vaikkakaan ei täysin järjettömänä, päätettiin lähettää signaali Marsin asukkaille Pythagoraan lauseen muodossa.

Ei tiedetä, kuinka tämä tehdään; mutta kaikille on selvää, että Pythagoraan lauseella ilmaistu matemaattinen tosiasia esiintyy kaikkialla, ja siksi meidän kaltaisemme toisen maailman asukkaiden tulisi ymmärtää tällainen signaali.

mobiiliyhteys

Kuka nykymaailmassa ei käytä matkapuhelinta? Jokainen matkapuhelintilaaja on kiinnostunut sen laadusta. Ja laatu puolestaan ​​​​riippuu matkapuhelinoperaattorin antennin korkeudesta. Laskemme, millä säteellä lähetys voidaan vastaanottaa, käytämme Pythagoraan lause.

Mikä on matkapuhelinoperaattorin antennin maksimikorkeus lähetyksen vastaanottamiseksi säteellä R=200 km? (Maan säde on 6380 km.)

Ratkaisu:

Antaa AB = x , BC=R=200 km , OC= r = 6380 km.

OB=OA+ABOB=r+x.

Pythagoraan lauseen avulla saamme Vastaus: 2,3 km.

Taloja ja mökkejä rakennettaessa herää usein kysymys kattopalkkien pituudesta, jos palkit on jo tehty. Esimerkiksi: taloon on tarkoitus rakentaa harjakatto (poikkileikkausmuoto). Minkä pituiset palkit tulee olla, jos palkit tehdään AC=8 m. ja AB=BF.

Ratkaisu:

Kolmio ADC on tasakylkinen AB=BC=4 m., BF=4 m. Jos oletetaan, että FD=1,5 m., niin:

A) Kolmiosta DBC: DB=2,5 m.

B) Kolmiosta ABF:

Ikkuna

Rakennuksissa Goottilainen ja romaaninen tyyli ikkunoiden yläosat on jaettu kivirihoilla, jotka eivät vain näytä koristeena, vaan myös lisäävät ikkunoiden lujuutta. Kuvassa on yksinkertainen esimerkki tällaisesta goottilaistyylisestä ikkunasta. Sen rakentamismenetelmä on hyvin yksinkertainen: Kuvasta on helppo löytää kuuden ympyrän kaaren keskipisteet, joiden säteet ovat

ikkunan leveys (b) ulkokaareille

puolileveys, (b/2) sisäkaareille

Neljää kaaria koskettaa edelleen täydellinen ympyrä. Koska se on suljettu kahden samankeskisen ympyrän väliin, sen halkaisija on yhtä suuri kuin näiden ympyröiden välinen etäisyys, eli b / 2, ja siksi säde on yhtä suuri kuin b / 4. Ja sitten se tulee selväksi

sen keskustan sijainti.

SISÄÄN Romaaninen arkkitehtuuri kuvassa näkyvä motiivi löytyy usein. Jos b edelleen merkitsee ikkunan leveyttä, niin puoliympyröiden säteet ovat yhtä suuria kuin R = b / 2 ja r = b / 4. Sisäympyrän säde p voidaan laskea kuvassa 2 esitetystä suorakulmaisesta kolmiosta. pisteviiva. Tämän kolmion hypotenuusa, joka kulkee ympyröiden tangenttipisteen kautta, on yhtä suuri kuin b/4+p, yksi haara on yhtä suuri kuin b/4 ​​ja toinen on b/2-p. Pythagoraan lauseen mukaan meillä on:

(b/4+p) 2 = (b/4) 2 + (b/4-p) 2

b 2 / 16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4 - bp / 2 + p 2,

Jakamalla b:llä ja tuomalla samanlaiset termit, saamme:

(3/2)p=b/4, p=b/6.

Metsäteollisuudessa: rakentamisen tarpeisiin hirsi sahataan puuksi, kun päätehtävänä on saada mahdollisimman vähän jätettä. Pienin jätemäärä on silloin, kun palkin tilavuus on suurin. Mitä osiossa pitäisi olla? Kuten ratkaisusta voidaan nähdä, poikkileikkauksen on oltava neliö ja Pythagoraan lause ja muut näkökohdat mahdollistavat tällaisen johtopäätöksen tekemisen.

Tilavuudeltaan suurin baari

Tehtävä

Sylinterimäisestä tukista on tarpeen leikata tilavuudeltaan suurin suorakaiteen muotoinen palkki. Minkä muotoinen sen poikkileikkauksen tulee olla (kuva 23)?

Ratkaisu

Jos suorakulmaisen leikkauksen sivut ovat x ja y, niin Pythagoraan lauseen mukaan

x 2 + y 2 \u003d d 2,

missä d on puun halkaisija. Puun tilavuus on suurin, kun sen poikkipinta-ala on suurin, eli kun xy saavuttaa suurimman arvonsa. Mutta jos xy on suurin, niin tulo x 2 y 2 on myös suurin. Koska summa x 2 + y 2 on muuttumaton, niin aikaisemmin todistetun mukaan tulo x 2 y 2 on suurin, kun

x 2 \u003d y 2 tai x \u003d y.

Joten palkin poikkileikkauksen tulee olla neliö.

Kuljetustehtävät(ns. optimointitehtävät; tehtävät, joiden ratkaisu mahdollistaa vastauksen kysymykseen: kuinka käyttää varoja suurien hyötyjen saavuttamiseksi)

Ensi silmäyksellä ei mitään erikoista: mittaa korkeus lattiasta kattoon useista kohdista, vähennä muutama senttimetri, jotta kaappi ei lepää kattoa vasten. Tämän jälkeen huonekalujen kokoonpanossa voi syntyä vaikeuksia. Loppujen lopuksi huonekaluvalmistajat kokoavat rungon asettamalla kaapin vaakasuoraan asentoon, ja kun runko on koottu, he nostavat sen pystyasentoon. Harkitse kaapin sivuseinää. Kaapin korkeuden tulee olla 10 cm pienempi kuin etäisyys lattiasta kattoon edellyttäen, että tämä etäisyys ei ylitä 2500 mm. Ja kaapin syvyys on 700 mm. Miksi 10 cm, ei 5 cm tai 7, ja mitä tekemistä Pythagoraan lauseella on sen kanssa?

Joten: sivuseinä 2500-100=2400(mm) - rakenteen maksimikorkeus.

Kehyksen nostoprosessissa olevan sivuseinän on kuljettava vapaasti sekä korkeudessa että vinosti. Tekijä: Pythagoraan lause

AC \u003d √ AB 2 + BC 2

AC= √ 2400 2 + 700 2 = 2500 (mm)

Mitä tapahtuu, jos kaapin korkeutta pienennetään 50 mm?

AC= √ 2450 2 + 700 2 = 2548 (mm)

Diagonaali 2548 mm. Joten et voi laittaa kaappia (voit pilata katon).

Ukkosenjohdatin.

Tiedetään, että salamanvarsi suojaa kaikkia esineitä salamoilta, joiden etäisyys alustastaan ​​ei ylitä sen kaksinkertaista korkeutta. On tarpeen määrittää ukkosenvarren optimaalinen sijainti harjakatolla siten, että sen korkeus on pienin.

Pythagoraan lauseen mukaan h 2 ≥ a 2 +b 2 tarkoittaa h≥(a 2 +b 2) 1/2

Heidän kesämökilleen on kiireellisesti tehtävä kasvihuone taimille.

Laudoista kaadettiin neliö 1m1m. Siellä on 1,5 m1,5 m kalvon jäänteitä. Millä korkeudella neliön keskellä kisko tulisi kiinnittää niin, että kalvo peittää sen kokonaan?

1) Kasvihuoneen diagonaali d == 1,4; 0,7

2) Filmin diagonaali d 1= 2,12 1,06

3) Kiskon korkeus x= 0,7

Johtopäätös

Tutkimuksen tuloksena löysin Pythagoraan lauseen sovellusalueita. Olen kerännyt ja käsitellyt tästä aiheesta paljon materiaalia kirjallisista lähteistä ja Internetistä. Tutkin historiallista tietoa Pythagorasta ja hänen lauseestaan. Kyllä, Pythagoraan lauseen avulla voit ratkaista paitsi matemaattisia ongelmia. Pythagoraan lause on löytänyt sovelluksensa rakentamisessa ja arkkitehtuurissa, matkaviestinnässä ja kirjallisuudessa.

Pythagoraan lauseen tietolähteiden tutkiminen ja analysointi

näytti että:

A) matemaatikoiden ja matemaatikoiden yksinomainen huomio teoreemaan perustuu sen yksinkertaisuuteen, kauneuteen ja merkityksellisyyteen;

b) Pythagoraan lause useiden vuosisatojen ajan toimii sysäyksenä mielenkiintoisille ja tärkeille matemaattisille löydöksille (Fermatin lause, Einsteinin suhteellisuusteoria);

V) Pythagoraan lause - on matematiikan universaalin kielen ruumiillistuma, joka on voimassa kaikkialla maailmassa;

G) lauseen laajuus on melko laaja, eikä sitä yleensä voida ilmaista riittävän täydellisesti;

d) Pythagoraan lauseen salaisuudet kiihottavat edelleen ihmiskuntaa ja siksi jokainen meistä saa mahdollisuuden olla mukana niiden paljastamisessa.

Bibliografia

Uspekhi matematicheskikh nauk, 1962, osa 17, nro 6 (108).

Aleksanteri Danilovitš Aleksandrov (viidenkymmenen vuoden syntymäpäivänä),

Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometria, 10 - 11 solua. - M.: Enlightenment, 1992.

Atanasyan L.S. jne. Geometria, 10 - 11 solua. - M.: Enlightenment, 1992.

Vladimirov Yu.S. Avaruus - aika: eksplisiittiset ja piilotetut ulottuvuudet. - M.: "Nauka", 1989.

Voloshin A.V. Pythagoras. - M.: Enlightenment, 1993.

Sanomalehti "Mathematics", nro 21, 2006.

Sanomalehti "Mathematics", nro 28, 1995.

Geometria: Proc. 7-11 solulle. yläaste / G.P. Bevz, V.G. Bevz, N.G. Vladimirova. - M.: Enlightenment, 1992.

Geometria: Oppikirja 7 - 9 solulle. Yleissivistävä koulutus Instituutiot/ L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev ja muut - 6. painos. - M.: Enlightenment, 1996.

Glazer G.I. Matematiikan historia koulussa: IX - Xcl. Opas opettajille. - M.: Enlightenment, 1983.

Lisäluvut koulun oppikirjaan 8. luokka: Oppikirja koululaisille. ja luokat syventämisellä. opiskella matematiikka /L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev ja muut - M .: Koulutus, 1996.

Yelensky Sh. Pythagoraan jalanjäljissä. M., 1961.

Kiselev A.P., Rybkin N.A. Geometria: Planimetria: 7 - 9 solua: Oppikirja ja tehtäväkirja. - M.: Bustard, 1995.

Kline M. Matematiikka. Etsi totuutta: käännös englannista. /Toim. ja esipuhe. IN JA. Arshinova, Yu.V. Sachkov. - M.: Mir, 1998.

Liturman V. Pythagoraan lause. - M., 1960.

Matematiikka: Koululaisten ja opiskelijoiden käsikirja / B. Frank ym.; Käännös häneltä. - 3. painos, stereotypia. - M.: Bustard, 2003.

Peltwer A. Kuka sinä Pythagoras olet? - M.: Tieto on valtaa, nro 12, 1994.

Perelman Ya. I. Viihdyttävää matematiikkaa. - M.: "Tiede", 1976.

Ponomareva T.D. Hienoja tiedemiehiä. - M .: LLC Astrel Publishing House, 2002.

Sveshnikova A. Matka matematiikan historiaan. - M., 1995.

Semjonov E.E. Opiskelemme geometriaa: Kirja. Opiskelijoille 6-8 solua. keskikoulu - M.: Enlightenment, 1987.

Smyshlyaev V.K. Matematiikasta ja matemaatikoista. - Mari-kirjan kustantaja, 1977.

Tuchnin N.P. Kuinka kysyä kysymys. - M.: Enlightenment, 1993.

Cherkasov O.Yu. Planimetria pääsykokeessa. - M.: Moskovan lyseum, 1996.

Nuoren matemaatikon tietosanakirja. Comp. A.P. Savin. - M.: Pedagogiikka, 1985.

Tietosanakirja lapsille. T. 11. Matematiikka. /Ch. Ed. M.D. Aksenova. - M.: Avanta +, 2001.