Lausekkeet, lausekkeiden muuntaminen

Kuinka päästä eroon irrationaalisuudesta nimittäjässä? Tapoja, esimerkkejä, ratkaisuja

8. luokalla algebran tunneilla aiheen irrationaalisten lausekkeiden muuntaminen puitteissa syntyy keskustelu vapautuminen irrationaalisuudesta murto-osan nimittäjässä. Tässä artikkelissa analysoimme, millainen muutos tämä on, pohdimme, mitkä toimet antavat meille mahdollisuuden päästä eroon irrationaalisuudesta murto-osan nimittäjässä ja annamme ratkaisuja tyypillisille esimerkeille yksityiskohtaisilla selityksillä.

Sivulla navigointi.

Mitä tarkoittaa eroon irrationaalisuudesta murto-osan nimittäjässä?

Ensin sinun on selvitettävä, mitä irrationaalisuus on nimittäjässä ja mitä tarkoittaa irrationaalisuudesta eroon pääseminen murto-osan nimittäjässä. Koulujen oppikirjojen tiedot auttavat meitä tässä. Seuraavat kohdat ansaitsevat huomion.

Kun murtotietue sisältää juurimerkin (radikaalin) nimittäjässä, he sanovat, että nimittäjä sisältää irrationaalisuus. Tämä johtuu luultavasti siitä, että juurimerkillä kirjoitetut numerot ovat usein . Otetaan esimerkiksi murtoluvut , , , , ilmeisesti jokaisen nimittäjä sisältää juuren merkin ja siten irrationaalisuuden. Lukiossa kohtaaminen murtolukujen kanssa on väistämätöntä, jonka nimittäjien irrationaalisuutta tuovat esiin paitsi neliöjuurien merkit, myös kuutiojuurten merkit, neljännen asteen juuret jne. Tässä on esimerkkejä tällaisista fraktioista: .

Ottaen huomioon yllä olevat tiedot ja sanan "vapauta" merkityksen, seuraava määritelmä havaitaan hyvin luonnollisesti:

Määritelmä.

Vapautus irrationaalisuudesta murto-osan nimittäjässä- tämä on muunnos, jossa irrationaalisesti nimittäjässä oleva murto-osa korvataan identtisellä yhtä suurella murto-osalla, joka ei sisällä juurimerkkejä nimittäjässä.

Usein kuulee sanottavan, ettei vapauta itseään, vaan päästä eroon murto-osan nimittäjässä olevasta irrationaalisuudesta. Merkitys ei muutu.

Jos esimerkiksi siirrymme murto-osasta murto-osaan, jonka arvo on yhtä suuri kuin alkuperäisen murtoluvun arvo ja jonka nimittäjä ei sisällä juurimerkkiä, voimme todeta, että olemme vapautuneet irrationaalisuudesta murtoluvun nimittäjässä. . Toinen esimerkki: murto-osan korvaaminen yhtä suurella murtoluvulla murto-osan nimittäjässä vapautuu irrationaalisuudesta.

Joten alustavat tiedot on saatu. On vielä selvitettävä, mitä on tehtävä eroon murto-osan nimittäjässä olevasta irrationaalisuudesta.

Tapoja vapautua irrationaalisuudesta, esimerkkejä

Yleensä eroon irrationaalisuudesta murto-osan nimittäjässä kaksi murto-osien muunnoksia: Kerro osoittaja ja nimittäjä nollasta poikkeavalla luvulla tai lausekkeella ja muunna nimittäjässä oleva lauseke. Alla tarkastellaan, kuinka näitä murto-muunnoksia käytetään osana tärkeimpiä tapoja päästä eroon irrationaalisuudesta murto-osan nimittäjässä. Tarkastellaanpa seuraavia tapauksia.

Yksinkertaisimmissa tapauksissa riittää, että muuntaa lauseke nimittäjässä. Esimerkki on murtoluku, jonka nimittäjä on yhdeksän juuri. Tässä tapauksessa sen korvaaminen arvolla 3 vapauttaa nimittäjän irrationaalisuudesta.

Monimutkaisemmissa tapauksissa on tarpeen kertoa murto-osan osoittaja ja nimittäjä etukäteen jollakin nollasta poikkeavalla luvulla tai lausekkeella, jonka avulla voit myöhemmin muuntaa murto-osan nimittäjä muotoon, joka ei sisällä juurimerkkejä. Esimerkiksi, kun murtoluvun osoittaja ja nimittäjä on kerrottu luvulla, murtoluvusta tulee , ja sitten nimittäjässä oleva lauseke voidaan korvata lausekkeella ilman juurien x+1 merkkejä. Näin ollen irrationaalisuudesta irrationaalisuudesta vapautumisen jälkeen nimittäjässä murto-osa saa muodon .

Jos puhumme yleisestä tapauksesta, niin irrationaalisuudesta eroon murto-osan nimittäjässä on turvauduttava erilaisiin hyväksyttäviin muunnoksiin, joskus melko erityisiin.

Ja nyt yksityiskohtaisesti.

Lausekkeen muuntaminen murtoluvun nimittäjäksi

Kuten jo todettiin, yksi tapa päästä eroon irrationaalisuudesta murtoluvun nimittäjässä on muuntaa nimittäjä. Mietitään esimerkkejä.

Esimerkki.

Päästä eroon irrationaalisuudesta murto-osan nimittäjässä .

Ratkaisu.

Laajentamalla nimittäjässä olevia sulkuja päästään lausekkeeseen . Jatketaan murtolukuihin . Laskemalla arvot juurimerkkien alla, meillä on . Ilmeisesti tuloksena olevassa lausekkeessa on mahdollista, joka antaa murto-osan, joka on yhtä suuri kuin 1/16. Joten pääsimme eroon nimittäjässä olevasta irrationaalisuudesta.

Yleensä ratkaisu kirjoitetaan lyhyesti ilman selitystä, koska suoritetut toimet ovat melko yksinkertaisia:

Vastaus:

.

Esimerkki.

Ratkaisu.

Kun puhuimme irrationaalisten lausekkeiden muuntamisesta juurien ominaisuuksien avulla, havaitsimme, että minkä tahansa lausekkeen A kohdalla parilliselle n:lle (tässä tapauksessa n=2 ) lauseke voidaan korvata lausekkeella |A| alkuperäisen lausekkeen muuttujien koko ODZ:lle. Siksi voit suorittaa seuraavan muunnoksen annetusta murtoluvusta: , joka vapauttaa irrationaalisuudesta nimittäjässä.

Vastaus:

.

Kerrotaan osoittaja ja nimittäjä juurilla

Kun murto-osan nimittäjässä oleva lauseke on muotoa , jossa lauseke A ei sisällä juurimerkkejä, niin osoittaja ja nimittäjä kertomalla nimittäjässä päästään eroon irrationaalisuudesta. Tämä toiminto on mahdollista, koska se ei katoa alkuperäisen lausekkeen muuttujien ODZ:stä. Tässä tapauksessa nimittäjään saadaan lauseke, joka on helppo muuntaa muotoon ilman juurimerkkejä: . Näytämme tämän lähestymistavan soveltamisen esimerkein.

Esimerkki.

Päästä eroon irrationaalisuudesta murtoluvun nimittäjässä: a), b).

Ratkaisu.

a) Kerrotaan murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kolmen neliöjuurella, saadaan .

b) Päästäksemme eroon nimittäjän neliöjuuren merkistä, kerromme murto-osan osoittaja ja nimittäjä luvulla, jonka jälkeen teemme muunnoksia nimittäjään:

Vastaus:

a), b) .

Siinä tapauksessa, että nimittäjä sisältää kertoimia tai , missä m ja n ovat luonnollisia lukuja, on osoittaja ja nimittäjä kerrottava sellaisella kertoimella, jotta sen jälkeen nimittäjässä oleva lauseke voidaan muuntaa muotoon tai , jossa k on vastaavasti jokin luonnollinen luku. Sitten on helppo siirtyä murto-osaan ilman irrationaalisuutta nimittäjässä. Näytämme kuvatun menetelmän soveltamisen irrationaalisuudesta eroon nimittäjässä esimerkkien avulla.

Esimerkki.

Päästä eroon irrationaalisuudesta murto-osan nimittäjässä: a), b).

Ratkaisu.

a) Lähin luonnollinen luku, joka on suurempi kuin 3 ja jaollinen 5:llä, on 5. Jotta kuuden indikaattorista tulisi yhtä suuri kuin viisi, nimittäjässä oleva lauseke on kerrottava. Näin ollen irrationaalisuudesta vapautumista murtoluvun nimittäjässä helpottaa lauseke, jolla osoittaja ja nimittäjä on kerrottava:

b) On selvää, että lähin luonnollinen luku, joka ylittää 15 ja on jaollinen 4:llä ilman jäännöstä, on 16. Saadaksesi eksponentin nimittäjässä 16, sinun on kerrottava siellä oleva lauseke. Näin ollen kertomalla alkuperäisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä (huomaa, että tämän lausekkeen arvo ei ole yhtä suuri kuin nolla, jolle todellinen x) päästää eroon nimittäjän irrationaalisuudesta:

Vastaus:

A) , b) .

Kertominen liitännäislausekkeella

Seuraava tapa päästä eroon irrationaalisuudesta murtoluvun nimittäjässä kattaa tapaukset, joissa nimittäjä sisältää lausekkeita muodossa , , , tai . Näissä tapauksissa murto-osan nimittäjässä olevan irrationaalisuuden poistamiseksi on tarpeen kertoa murtoluvun osoittaja ja nimittäjä ns. konjugoitu ilmaisu.

On vielä selvitettävä, mitkä lausekkeet ovat konjugoituja yllä oleville. Lausekkeen adjoint-lauseke on , ja lausekkeen adjoint-lauseke on . Vastaavasti lausekkeen konjugaatti on , ja lausekkeen konjugaatti on . Ja lausekkeen konjugaatti on , ja lausekkeen konjugaatti on . Joten ilmaisu konjugoitu tähän lausekkeeseen eroaa siitä etumerkillä ennen toista termiä.

Katsotaanpa, mikä on tulos kertomalla lauseke sen konjugaattilausekkeella. Harkitse esimerkiksi tuotetta . Se voidaan korvata neliöiden erolla, eli mistä pääsee pidemmälle lausekkeeseen a−b, joka ei sisällä juurimerkkejä.

Nyt käy selväksi, kuinka kertomalla murto-osan osoittaja ja nimittäjä lausekkeella, joka konjugoidaan nimittäjään, voit päästä eroon irrationaalisuudesta murto-osan nimittäjässä. Tarkastellaan tyypillisten esimerkkien ratkaisuja.

Esimerkki.

Ilmaise lauseke murtolukuna, jonka nimittäjä ei sisällä radikaalia: a), b).

Ratkaisu.

a) Lauseke konjugaatti nimittäjään on . Kerromme osoittajan ja nimittäjän sillä, mikä antaa meille mahdollisuuden päästä eroon irrationaalisuudesta murtoluvun nimittäjässä:

b) Lausekkeelle konjugaatti on . Kerrotaan osoittaja ja nimittäjä sillä, saadaan

Aluksi oli mahdollista poistaa miinusmerkki nimittäjästä ja vasta sen jälkeen kertoa osoittaja ja nimittäjä lausekkeella konjugaatti nimittäjään:

Vastaus:

A) , b) .

Huomaa: kun murto-osan osoittaja ja nimittäjä kerrotaan lausekkeella, jonka muuttujat konjugoituvat nimittäjään, on huolehdittava, että se ei katoa minkään muuttujan arvojoukon osalta alkuperäisen lausekkeen DPV:stä.

Esimerkki.

Päästä eroon irrationaalisuudesta murto-osan nimittäjässä.

Ratkaisu.

Aluksi etsitään muuttujan x sallittujen arvojen alue (ODZ). Se määritetään ehdoilla x≥0 ja , joista päätämme, että ODZ on joukko x≥0 .

Lauseke konjugaatti nimittäjään on . Voimme kertoa murtoluvun osoittajan ja nimittäjän sillä edellyttäen, että , joka ODZ:llä vastaa ehtoa x≠16 . Samaan aikaan meillä on

Ja x=16:lle meillä on .

Siten kaikille ODZ:n muuttujan x arvoille, paitsi x=16 , , ja arvolle x=16 meillä on .

Vastaus:

Kuutioiden summa ja kuutioiden erotuskaavat

Edellisestä kappaleesta opimme, että murto-osan osoittajan ja nimittäjän kertominen lausekkeella konjugaatti nimittäjään suoritetaan neliöiden erotuskaavan soveltamiseksi edelleen ja siten irrationaalisuuden poistamiseksi nimittäjässä. Joissakin tapauksissa muut lyhennetyt kertolaskukaavat ovat hyödyllisiä myös irrationaalisuuden poistamiseksi nimittäjässä. Esimerkiksi kuutioiden eron kaava a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+b 2) antaa sinun päästä eroon irrationaalisuudesta, kun murtoluvun nimittäjä sisältää lausekkeita, joiden kuutiojuuret ovat muodon tai , jossa A ja B ovat joitain lukuja tai lausekkeita. Tätä varten murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan summan epätäydellisellä neliöllä tai ero, vastaavasti. Kuutioiden summakaavaa kokeillaan samalla tavalla a 3 +b 3 =(a+b) (a 2 −a b+b 2).

Esimerkki.

Päästä eroon irrationaalisuudesta murto-osan nimittäjässä: a), b) .

Ratkaisu.

a) On helppo arvata, että tässä tapauksessa irrationaalisuudesta eroon pääseminen nimittäjässä mahdollistaa osoittajan ja nimittäjän kertomisen numeroiden summan epätäydellisellä neliöllä ja , koska tulevaisuudessa tämä mahdollistaa lausekkeen muuntamisen nimittäjä kuutioiden kaavan eron mukaan:

b) Ilmaisu murto-osan nimittäjässä voidaan esittää muodossa , josta käy selvästi ilmi, että tämä on epätäydellinen neliö lukujen 2 ja . Siten, jos murto-osan osoittaja ja nimittäjä kerrotaan summalla, nimittäjä voidaan muuntaa kaavan mukaan kuutioiden summa, jonka avulla voit päästä eroon irrationaalisuudesta murto-osan nimittäjässä. Tämä voidaan tehdä ehdolla , joka vastaa ehtoa ja lisäksi x≠−8 :

Ja kun x=−8 korvataan alkuperäisellä murtoluvulla, meillä on .

Siten kaikille x:lle alkuperäisen murtoluvun ODZ:stä (tässä tapauksessa tämä on joukko R ), paitsi x=−8 , meillä on , ja x=8:lle meillä on .

Vastaus:

Käyttämällä erilaisia ​​menetelmiä

Monimutkaisemmissa esimerkeissä ei yleensä onnistu yhdellä toimella päästä eroon nimittäjän irrationaalisuudesta, vaan on johdonmukaisesti sovellettava menetelmää menetelmän jälkeen, mukaan lukien edellä käsitellyt. Joskus voidaan tarvita joitain epätyypillisiä ratkaisuja. Varsin mielenkiintoisia tehtäviä käsiteltävästä aiheesta löytyy Yu. N. Kolyaginin kirjoittamasta oppikirjasta. Bibliografia.

1. Algebra: oppikirja 8 solulle. Yleissivistävä koulutus laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovsky. - 16. painos - M. : Koulutus, 2008. - 271 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Mordkovich A.G. Algebra. 8. luokka. Klo 14 Osa 1. Oppikirja oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich. - 11. painos, poistettu. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
3. Algebra ja matemaattisen analyysin alku. Luokka 10: oppikirja. yleissivistävää koulutusta varten oppilaitokset: perus- ja profiili. tasot / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; toim. A. B. Žižtšenko. - 3. painos - M.: Enlightenment, 2010.- 368 s. : Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Danny Peric Campana

Toinen mielenkiintoinen kirja kiinnostuneille koululaisille, jota ei valitettavasti ole käännetty venäjäksi, on chileläisen matematiikan opettajan Danny Perich Campanan kirja "Danielin matemaattiset seikkailut" (Las Aventuras Matemáticas de Daniel), joka on erittäin epätavallinen ja mielenkiintoinen henkilö. Hän ei vain opeta lapsia, vaan myös kirjoittaa lauluja, laittaa erilaisia ​​​​matematiikan opetusmateriaaleja Internetiin. Ne löytyvät youtubesta ja sivustolta http://www.sectormatematica.cl/ (kaikki materiaalit ovat tietysti espanjaksi).

Lähetän tähän yhden luvun Danny Pericin kirjasta. Se vaikutti minusta varsin mielenkiintoiselta ja hyödylliseltä koululaisille. Selvittääkseni, mistä puhumme, sanon, että Daniel ja Camila työskentelevät koulussa, he ovat opettajia.

Irrationaalisuudesta eroon pääsemisen salaisuus

"Camila, minulla on nyt paljon ongelmia, kun yritän selittää, mitä käytetään siihen, mitä käymme läpi oppitunnilla", Daniel sanoi.

"En oikein ymmärrä mistä puhut.

– Puhun siitä, mitä on kaikissa koulukirjoissa ja jopa yliopistotason kirjoissa. Minulla ei ole vieläkään epäilystäkään: miksi meidän on päästävä eroon irrationaalisuudesta nimittäjässä? Ja inhoan kertoa sitä, mitä en ymmärrä niin pitkään, valitti Daniel.

”En myöskään tiedä, mistä se tulee ja miksi sitä tarvitaan, mutta tälle täytyy olla jokin looginen selitys.

- Kerran luin yhdestä tieteellisestä lehdessä, että irrationaalisuudesta irrationaalisuudesta eroon pääsemisellä nimittäjässä saa tuloksen suuremmalla tarkkuudella, mutta en ole koskaan nähnyt tätä enää, enkä ole varma, onko asia näin.

Miksi emme tarkistaisi sitä? Camila kysyi.

"Olet oikeassa", Daniel myönsi. ”Valituksen sijaan sinun pitäisi yrittää tehdä omat johtopäätöksesi. Auta sitten...

"Tietenkin nyt olen itsekin kiinnostunut siitä.

"Meidän pitäisi ottaa joitain ilmaisuja ja päästä eroon nimittäjän irrationaalisuudesta, sitten korvata juuri sen arvolla ja löytää lausekkeen tulos ennen ja jälkeen irrationaalisuudesta eroon nimittäjässä ja katsoa, ​​muuttuuko mikään.

"Tietenkin", Camila myöntyi. - Tehdään niin.

"Otetaan esimerkiksi ilmaus", Daniel sanoi ja otti paperiarkin kirjoittaakseen ylös, mitä oli tapahtumassa. - Kerro osoittaja ja nimittäjä luvulla ja saa .

"Se on oikein ja voi auttaa meitä tekemään johtopäätöksiä, jos pidämme muita irrationaalisia ilmaisuja samanarvoisina kuin tämä", Camila ehdotti.

- Olen samaa mieltä, - sanoi Daniel, - jaan osoittajan ja nimittäjän luvulla, ja sinä kerrot ne :llä.

- Onnistuin . Ja sinä?

"Olen", Daniel vastasi. - Laskemme nyt alkuperäisen lausekkeen ja tuloksena saadut lausekkeet korvaamalla sen arvollaan kaikilla laskimen antamilla desimaalipaikoilla. Saamme:

"En näe mitään poikkeavaa", Camila sanoi. ”Odotin jonkinlaista eroa, joka oikeuttaisi eroon irrationaalisuudesta.

”Kuten kerroin, luin siitä kerran lähestymistavan yhteydessä. Mitä sanoisit, jos vaihtaisimme vähemmän tarkaan numeroon, kuten ?

Kokeillaan ja katsotaan mitä tapahtuu.

Yhtälöiden ratkaiseminen murtoluvuilla katsotaanpa esimerkkejä. Esimerkit ovat yksinkertaisia ​​ja havainnollistavia. Heidän avullaan voit ymmärtää ymmärrettävämmällä tavalla.
Sinun on esimerkiksi ratkaistava yksinkertainen yhtälö x/b + c = d.

Tämän tyyppistä yhtälöä kutsutaan lineaariseksi, koska nimittäjä sisältää vain numeroita.

Ratkaisu suoritetaan kertomalla yhtälön molemmat puolet b:llä, jolloin yhtälö saa muotoa x = b*(d – c), ts. vasemman puolen murto-osan nimittäjä pienenee.

Esimerkiksi murto-yhtälön ratkaiseminen:
x/5+4=9
Kerromme molemmat osat viidellä. Saamme:
x+20=45
x = 45-20 = 25

Toinen esimerkki, jossa nimittäjässä on tuntematon:

Tämän tyyppisiä yhtälöitä kutsutaan murto-rationaaliseksi tai yksinkertaisesti murto-osaksi.

Ratkaisimme murto-yhtälön eroon murto-osista, minkä jälkeen tämä yhtälö muuttuu useimmiten lineaariseksi tai toisen asteen yhtälöksi, joka ratkaistaan ​​tavalliseen tapaan. Sinun tulee ottaa huomioon vain seuraavat seikat:

• nimittäjän nollaksi muuttavan muuttujan arvo ei voi olla juuri;
• et voi jakaa tai kertoa yhtälöä lausekkeella =0.

Tässä tulee voimaan sellainen käsite kuin sallittujen arvojen alue (ODZ) - nämä ovat yhtälön juurien arvot, joille yhtälö on järkevä.

Siten yhtälön ratkaisemiseksi on löydettävä juuret ja tarkistettava sitten, että ne ovat ODZ:n mukaisia. Ne juuret, jotka eivät vastaa DHS:ämme, jätetään vastauksen ulkopuolelle.

Esimerkiksi sinun on ratkaistava murto-yhtälö:

Yllä olevan säännön perusteella x ei voi olla = 0, ts. ODZ tässä tapauksessa: x - mikä tahansa muu arvo kuin nolla.

Pääsemme eroon nimittäjästä kertomalla kaikki yhtälön ehdot x:llä

Ja ratkaise tavallinen yhtälö

5x - 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Vastaus: x = 1/3

Ratkaistaan ​​yhtälö monimutkaisemmin:

ODZ on myös täällä: x -2.

Ratkaisemalla tämän yhtälön emme siirrä kaikkea yhteen suuntaan ja tuo murto-osia yhteiseen nimittäjään. Kerromme välittömästi yhtälön molemmat puolet lausekkeella, joka vähentää kaikkia nimittäjiä kerralla.

Nimittäjien pienentämiseksi sinun on kerrottava vasen puoli x + 2:lla ja oikea puoli 2:lla. Joten yhtälön molemmat puolet on kerrottava 2:lla (x + 2):

Tämä on yleisin murtolukujen kertolasku, jota olemme jo käsitelleet edellä.

Kirjoitamme saman yhtälön, mutta hieman eri tavalla.

Vasen puoli pienennetään (x + 2) ja oikea puoli 2. Pelkistyksen jälkeen saadaan tavallinen lineaarinen yhtälö:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, mikä vastaa meidän ODZ:tämme

Vastaus: x = 2.

Yhtälöiden ratkaiseminen murtoluvuilla ei niin vaikeaa kuin miltä se saattaa näyttää. Tässä artikkelissa olemme osoittaneet tämän esimerkein. Jos sinulla on vaikeuksia kuinka ratkaista yhtälöt murtoluvuilla, peruuta tilaus kommenteissa.

Tässä aiheessa tarkastelemme kaikkia kolmea edellä mainittua rajaryhmää irrationaalisesti. Aloitetaan rajoista, jotka sisältävät muotoa $\frac(0)(0)$ olevan epävarmuuden.

Epävarmuusilmoitus $\frac(0)(0)$.

Tämän tyyppisten standardiesimerkkien ratkaisujärjestelmä koostuu yleensä kahdesta vaiheesta:

• Pääsemme eroon irrationaalisuudesta, joka aiheutti epävarmuuden kertomalla ns. "adjoint"-lausekkeella;
• Tarvittaessa jaamme osoittajan tai nimittäjän (tai molempien) lausekkeen tekijöiksi;
• Vähennämme epävarmuuteen johtavia tekijöitä ja laskemme rajan halutun arvon.

Edellä käytetty termi "yhtenäinen ilmaisu" selitetään yksityiskohtaisesti esimerkeissä. Toistaiseksi ei ole syytä käsitellä sitä yksityiskohtaisesti. Yleensä voit mennä toiseen suuntaan ilman konjugaattilauseketta. Joskus hyvin valittu korvaaja voi päästä eroon järjettömyydestä. Tällaiset esimerkit ovat harvinaisia ​​vakiotesteissä, joten harkitsemme vain yhtä esimerkkiä nro 6 korvaavan osan käyttämiseksi (katso tämän aiheen toinen osa).

Tarvitsemme muutaman kaavan, jotka kirjoitan alle:

\begin(yhtälö) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(yhtälö) \begin(yhtälö) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \loppu(yhtälö) \alku(yhtälö) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(yhtälö) \alku (yhtälö) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(yhtälö)

Lisäksi oletetaan, että lukija tietää kaavat toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi. Jos $x_1$ ja $x_2$ ovat neliötrinomin $ax^2+bx+c$ juuret, se voidaan kertoa seuraavalla kaavalla:

\begin(yhtälö) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(yhtälö)

Kaavat (1)-(5) riittävät ratkaisemaan standarditehtävät, joihin nyt käännytään.

Esimerkki #1

Etsi $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Koska $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ ja $\lim_(x\ to 3) (x-3)=3-3=0$, niin annetussa rajassa on epävarmuus muotoa $\frac(0)(0)$. Ero $\sqrt(7-x)-2$ estää meitä paljastamasta tätä epävarmuutta. Tällaisten järjettömyyksien poistamiseksi käytetään kertomista niin kutsutulla "adjoint-lausekkeella". Tarkastellaan nyt, kuinka tällainen kertolasku toimii. Kerro $\sqrt(7-x)-2$ luvulla $\sqrt(7-x)+2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

Hakasulkeiden laajentamiseksi käytämme , korvaamalla $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ mainitun kaavan oikealla puolella:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Kuten näet, jos kerrot osoittajan $\sqrt(7-x)+2$, niin juuri (eli irrationaalisuus) katoaa osoittajasta. Tämä lauseke $\sqrt(7-x)+2$ on konjugaatti lausekkeeseen $\sqrt(7-x)-2$. Emme kuitenkaan voi vain ottaa ja kertoa osoittajaa $\sqrt(7-x)+2$:lla, koska tämä muuttaa murtolukua $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$, joka on alle rajan. Sinun on kerrottava sekä osoittaja että nimittäjä samanaikaisesti:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Muista nyt, että $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ ja laajenna sulut. Ja sulujen avaamisen ja pienen muunnoksen jälkeen $3-x=-(x-3)$ vähennämme murtolukua $x-3$:lla:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\-3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\to 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

Epävarmuus $\frac(0)(0)$ on poissa. Nyt saat helposti vastauksen tästä esimerkistä:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Huomaan, että konjugaattilauseke voi muuttaa rakennettaan - riippuen siitä, minkälainen irrationaalisuus sen pitäisi poistaa. Esimerkeissä #4 ja #5 (katso tämän aiheen toinen osa) käytetään toisenlaista konjugaattilauseketta.

Vastaus: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Esimerkki #2

Etsi $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Koska $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ ja $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, niin me käsittelevät muotoa $\frac(0)(0)$ olevaa epävarmuutta. Päästään eroon irrationaalisuudesta tämän murtoluvun nimittäjässä. Tehdään tämä lisäämällä sekä osoittaja että nimittäjä murtoluvulle $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ lauseke $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ konjugoitu nimittäjään:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0 )(0)\oikea|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Jälleen, kuten esimerkissä nro 1, sinun on käytettävä sulkeita laajentaaksesi. Korvaamalla $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ mainitun kaavan oikealle puolelle, saadaan nimittäjälle seuraava lauseke:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ oikea)=\\ =\vasen(\sqrt(x^2+5)\oikea)^2-\vasen(\sqrt(7x^2-19)\oikea)^2=x^2+5-(7x) ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Palataan rajaamme:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x) ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

Esimerkissä nro 1 fraktio väheni lähes välittömästi konjugaattiekspressiolla kertomisen jälkeen. Tässä, ennen pelkistystä, on tarpeen kertoa lausekkeet $3x^2-5x-2$ ja $x^2-4$ ja vasta sitten edetä pelkistykseen. Jos haluat kertoa lausekkeen $3x^2-5x-2$, sinun on käytettävä . Ensin ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälö $3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(tasattu) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(tasattu) $$

Korvaamalla $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ arvolla , meillä on:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\oikea)(x-2)=\vasen(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\oikea)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

Nyt on aika huomioida lauseke $x^2-4$. Käytämme , korvaamalla siihen $a=x$, $b=2$:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Käytetään saatuja tuloksia. Koska $x^2-4=(x-2)(x+2)$ ja $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, niin:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2) -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x) ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

Pienentämällä hakasulkeella $x-2$ saamme:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

Kaikki! Epävarmuus on poissa. Vielä yksi askel ja tulemme vastaukseen:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2) ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Vastaus: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4) $.

Tarkastellaan seuraavassa esimerkissä tapausta, jossa irrationaalisuus on läsnä sekä osoittajassa että murtoluvun nimittäjässä.

Esimerkki #3

Etsi $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))$.

Koska $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ ja $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, niin meillä on muodon $ epävarmuus \frac (0)(0)$. Koska tässä tapauksessa juuret ovat läsnä sekä nimittäjässä että osoittajassa, epävarmuuden poistamiseksi sinun on kerrottava kahdella hakasulkeella kerralla. Ensin lausekkeen $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ konjugoidaan osoittajaan. Ja toiseksi, lausekkeen $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ konjugaatti nimittäjään.

$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=\left|\frac(0)(0)\oikea|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2) -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(tasattu) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(tasattu) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

Lausekkeelle $x^2-8x+15$ saamme:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(tasattu) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10) (2) = 5. \end(tasattu)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Korvaamalla saadut laajennukset $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ ja $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ raja, sisältää:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2) -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\to 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5) \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Vastaus: $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=-6 dollaria.

Seuraavassa (toisessa) osassa tarkastellaan vielä paria esimerkkiä, joissa konjugaattilausekkeella on eri muoto kuin edellisissä tehtävissä. Tärkeintä on muistaa, että konjugaattilausekkeen käytön tarkoitus on päästä eroon epävarmuutta aiheuttavasta irrationaalisuudesta.

Irrationaalisen lausekkeen muunnoksia tutkittaessa on erittäin tärkeä kysymys kuinka päästä eroon irrationaalisuudesta murto-osan nimittäjässä. Tämän artikkelin tarkoituksena on selittää tätä toimintoa erityisillä tehtäväesimerkeillä. Ensimmäisessä kappaleessa tarkastelemme tämän muunnoksen perussääntöjä ja toisessa - tyypillisiä esimerkkejä yksityiskohtaisilla selityksillä.

Irrationaalisuudesta vapautumisen käsite nimittäjässä

Aloitetaan selittämällä, mitä tällainen muunnos tarkoittaa yleisesti. Tätä varten muistamme seuraavat säännökset.

Irrationaalisuudesta voidaan puhua murto-osan nimittäjässä, jos siinä on radikaali läsnä, joka on myös juuren merkki. Tällä merkillä kirjoitetut numerot ovat usein irrationaalisia. Esimerkkejä ovat 1 2 , - 2 x + 3 , x + y x - 2 · x · y + 1 , 11 7 - 5 . Irrationaalisilla nimittäjillä olevia murtolukuja ovat myös ne, joiden juuret ovat eri asteisia (neliö, kuutio jne.), esimerkiksi 3 4 3, 1 x + x y 4 + y. Irrationaalisuudesta eroon pääsemisen pitäisi olla ilmaisun yksinkertaistamista ja lisälaskelmien helpottamista. Muotoillaan päämääritelmä:

Määritelmä 1

Päästä eroon irrationaalisuudesta murto-osan nimittäjässä- tarkoittaa sen muuntamista korvaamalla se identtisesti yhtä suurella murto-osalla, jonka nimittäjä ei sisällä juuria ja asteita.

Tällaista toimintaa voidaan kutsua vapautukseksi tai irrationaalisuudesta eroon pääsemiseksi, kun taas merkitys pysyy samana. Siten siirtyminen 1 2:sta 2 2:een, ts. murto-osaan, jolla on sama arvo ilman juurimerkkiä nimittäjässä, ja se on tarvitsemamme toiminto. Otetaan toinen esimerkki: meillä on murtoluku x x - y . Suoritetaan tarvittavat muunnokset ja saadaan murto-osa x · x + y x - y, joka on identtinen sen kanssa, vapauttaen itsemme irrationaalisuudesta nimittäjässä.

Määritelmän muotoilun jälkeen voimme siirtyä suoraan sellaisen toimintosarjan tutkimukseen, joka on suoritettava tällaiselle muutokselle.

Perusvaiheet eroon irrationaalisuudesta murto-osan nimittäjässä

Päästäksesi eroon juurista, sinun on suoritettava kaksi peräkkäistä murtomuutosta: kerrotaan molemmat murto-osat muulla kuin nollalla ja muunnetaan sitten nimittäjässä saatu lauseke. Tarkastellaan päätapauksia.

Yksinkertaisimmassa tapauksessa voit tulla toimeen nimittäjän muuntamalla. Voimme esimerkiksi ottaa murto-osan, jonka nimittäjä on yhtä suuri kuin 9:n juuri. Laskettuamme 9, kirjoitamme nimittäjään 3 ja pääsemme näin eroon irrationaalisuudesta.

Kuitenkin paljon useammin sinun on kerrottava osoittaja ja nimittäjä etukäteen numerolla, jonka avulla voit tuoda nimittäjän haluttuun muotoon (ilman juuria). Joten jos kerromme 1 x + 1 x + 1 :llä, saadaan murto-osa x + 1 x + 1 x + 1 ja sen nimittäjässä oleva lauseke voidaan korvata x + 1 :llä. Joten muunnosimme 1 x + 1:ksi x + 1 x + 1 päästäen eroon irrationaalisuudesta.

Joskus suoritettavat muunnokset ovat melko erityisiä. Katsotaanpa muutama havainnollistava esimerkki.

Kuinka muuntaa lauseke murtoluvun nimittäjäksi

Kuten sanoimme, yksinkertaisin asia on muuntaa nimittäjä.

Esimerkki 1

Kunto: vapauta murto-osa 1 2 18 + 50 irrationaalisuudesta nimittäjässä.

Ratkaisu

Aluksi avataan sulut ja saadaan lauseke 1 2 18 + 2 50 . Käytännössä juurien perusominaisuuksia siirrytään lausekkeeseen 1 2 · 18 + 2 · 50 . Laskemme molempien lausekkeiden arvot juurien alle ja saamme 1 36 + 100 . Täällä voit jo poimia juuret. Tuloksena saimme murto-osan 1 6 + 10, joka on yhtä suuri kuin 1 16. Tämä saa muutoksen päätökseen.

Kirjoitamme ylös koko ratkaisun kulun ilman kommentteja:

1 2 18 + 50 = 1 2 18 + 2 50 = = 1 2 18 + 2 50 = 1 36 + 100 = 1 6 + 10 = 1 16

Vastaus: 1 2 18 + 50 = 1 16 .

Esimerkki 2

Kunto: annettu murto-osa 7 - x (x + 1) 2 . Päästä eroon nimittäjän irrationaalisuudesta.

Ratkaisu

Aiemmin artikkelissa, jossa käsitellään irrationaalisten lausekkeiden muunnoksia juurien ominaisuuksilla, mainittiin, että minkä tahansa A:n ja jopa n:n kohdalla voimme korvata lausekkeen A n n | A | koko muuttujien sallittujen arvojen alueella. Siksi meidän tapauksessamme voimme kirjoittaa sen näin: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1. Tällä tavalla vapautimme itsemme nimittäjässä olevasta irrationaalisuudesta.

Vastaus: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1.

Irrationaalisuudesta eroon pääseminen kertomalla juurella

Jos murtoluvun nimittäjä sisältää A-muotoisen lausekkeen ja itse lausekkeella A ei ole juurimerkkejä, niin irrationaalisuudesta voidaan päästä eroon yksinkertaisesti kertomalla alkuperäisen murtoluvun molemmat osat A:lla. Tämän toimenpiteen mahdollisuus määräytyy sen perusteella, että A kelvollisten arvojen alueella ei muutu nollaksi. Kertomisen jälkeen nimittäjä sisältää lausekkeen muodossa A · A, joka on helppo päästä eroon juurista: A · A \u003d A 2 \u003d A. Katsotaanpa, kuinka tätä menetelmää sovelletaan käytännössä.

Esimerkki 3

Kunto: murtoluvut x 3 ja - 1 x 2 + y - 4 on annettu. Päästä eroon niiden nimittäjien irrationaalisuudesta.

Ratkaisu

Kerrotaan ensimmäinen murtoluku 3:n toisella juurella. Saamme seuraavat:

x 3 = x 3 3 3 = x 3 3 2 = x 3 3

Toisessa tapauksessa meidän on kerrottava x 2 + y - 4 ja muutettava tuloksena oleva lauseke nimittäjässä:

1 x 2 + y - 4 = - 1 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 = = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 2 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4

Vastaus: x 3 = x 3 3 ja - 1 x 2 + y - 4 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 .

Jos alkuperäisen murtoluvun nimittäjä sisältää lausekkeita muotoa A n m tai A m n (olettaen, että m ja n ovat luonnollisia), on valittava tekijä, jotta tuloksena oleva lauseke voidaan muuntaa muotoon A n n k tai A n k n (jos k on luonnollinen). Sen jälkeen irrationaalisuudesta eroon pääseminen ei ole vaikeaa. Otetaan esimerkki.

Esimerkki 4

Kunto: annetut murtoluvut 7 6 3 5 ja x x 2 + 1 4 15 . Päästä eroon nimittäjien irrationaalisuudesta.

Ratkaisu

Meidän on otettava luonnollinen luku, joka voidaan jakaa viidellä, mutta sen on oltava suurempi kuin kolme. Jotta eksponentti 6 olisi yhtä suuri kuin 5, meidän on kerrottava luvulla 6 2 5. Siksi meidän on kerrottava molemmat alkuperäisen murto-osat luvulla 6 2 5:

7 6 3 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 = 7 6 2 5 6 5 5 = = 7 6 2 5 6 = 7 36 5 6

Toisessa tapauksessa tarvitsemme luvun, joka on suurempi kuin 15, joka voidaan jakaa 4:llä ilman jäännöstä. Otamme 16. Saadaksemme tällaisen eksponentin nimittäjään, meidän on otettava tekijäksi x 2 + 1 4. Selvennetään, että tämän lausekkeen arvo ei missään tapauksessa ole 0. Laskemme:

x x 2 + 1 4 15 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 15 x 2 + 1 4 = = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 16 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 4 4 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4

Vastaus: 7 6 3 5 = 7 36 5 6 ja x x 2 + 1 4 15 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 .

Irrationaalisuudesta eroon pääseminen kertomalla liitännäislausekkeella

Seuraava menetelmä sopii tapauksiin, joissa alkuperäisen murtoluvun nimittäjä sisältää lausekkeet a + b, a - b, a + b, a - b, a + b, a - b. Tällaisissa tapauksissa meidän on otettava adjoint-lauseke tekijäksi. Selitämme tämän käsitteen merkityksen.

Ensimmäiselle lausekkeelle a + b konjugaatti on a - b, toisen a - b - a + b. A + b - a - b, a - b - a + b, a + b - a - b ja a - b - a + b. Toisin sanoen konjugaattilauseke on ilmaus, jossa vastakkainen merkki on toisen termin edessä.

Katsotaanpa, mikä tämä menetelmä tarkalleen on. Oletetaan, että meillä on tulo muotoa a - b · a + b . Se voidaan korvata neliöerolla a - b · a + b = a 2 - b 2 , jonka jälkeen siirrytään lausekkeeseen a - b ilman radikaaleja. Näin ollen pääsimme eroon murto-osan nimittäjässä olevasta irrationaalisuudesta kertomalla konjugaattilausekkeella. Otetaan pari havainnollistavaa esimerkkiä.

Esimerkki 5

Kunto: päästä eroon irrationaalisuudesta lausekkeissa 3 7 - 3 ja x - 5 - 2 .

Ratkaisu

Ensimmäisessä tapauksessa otamme konjugaattilausekkeen, joka on yhtä suuri kuin 7 + 3. Nyt kerromme alkuperäisen murtoluvun molemmat osat sillä:

3 7 - 3 = 3 7 + 3 7 - 3 7 + 3 = 3 7 + 3 7 2 - 3 2 = = 3 7 + 3 7 - 9 = 3 7 + 3 - 2 = - 3 7 + 3 2

Toisessa tapauksessa tarvitsemme lausekkeen - 5 + 2 , joka on lausekkeen -5 - 2 konjugaatti. Kerro osoittaja ja nimittäjä sillä ja saat:

x - 5 - 2 = x - 5 + 2 - 5 - 2 - 5 + 2 = = x - 5 + 2 - 5 2 - 2 2 = x - 5 + 2 5 - 2 = x 2 - 5 3

On myös mahdollista suorittaa muunnos ennen kertolaskua: jos poistamme ensin miinuksen nimittäjästä, on helpompi laskea:

x - 5 - 2 = - x 5 + 2 = - x 5 - 2 5 + 2 5 - 2 = = - x 5 - 2 5 2 - 2 2 = - x 5 - 2 5 - 2 = - x 5 - 2 3 = = x 2 - 5 3

Vastaus: 3 7 - 3 = - 3 7 + 3 2 ja x - 5 - 2 = x 2 - 5 3 .

On tärkeää kiinnittää huomiota siihen, että kertolaskulla saatu lauseke ei muutu 0:ksi millekään muuttujalle tämän lausekkeen kelvollisten arvojen alueelta.

Esimerkki 6

Kunto: annettu murto-osa x x + 4 . Muunna se niin, että nimittäjässä ei ole irrationaalisia lausekkeita.

Ratkaisu

Aloitetaan etsimällä x:n kelvollisten arvojen alue. Se määritellään ehdoilla x ≥ 0 ja x + 4 ≠ 0 . Niistä voimme päätellä, että haluttu alue on joukko x ≥ 0 .

Nimittäjän konjugaatti on x - 4 . Milloin sille voidaan tehdä kertolasku? Vain jos x - 4 ≠ 0 . Hyväksyttävien arvojen alueella tämä vastaa ehtoa x≠16. Tuloksena saamme seuraavat:

x x + 4 = x x - 4 x + 4 x - 4 = = x x - 4 x 2 - 4 2 = x x - 4 x - 16

Jos x on yhtä kuin 16, niin saamme:

x x + 4 = 16 16 + 4 = 16 4 + 4 = 2

Siksi x x + 4 = x · x - 4 x - 16 kaikille x:n arvoille, jotka kuuluvat kelvollisten arvojen alueelle, paitsi 16 . Kun x = 16, saadaan x x + 4 = 2 .

Vastaus: x x + 4 = x x - 4 x - 16 , x ∈ [ 0 , 16 ) ∪ (16 , + ∞) 2 , x = 16 .

Murtolukujen muuntaminen irrationaalisesti nimittäjässä käyttämällä kuutioiden summan ja eron kaavoja

Edellisessä kappaleessa suoritimme kertomisen konjugaattilausekkeilla voidaksemme sitten käyttää neliöiden erotuskaavaa. Joskus irrationaalisuuden poistamiseksi nimittäjässä on hyödyllistä käyttää muita lyhennettyjä kertolaskukaavoja, esimerkiksi kuutioiden eroa a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + a b + b 2). Tätä kaavaa on kätevä käyttää, jos alkuperäisen murtoluvun nimittäjä sisältää lausekkeita, joiden kolmannen asteen juuret ovat muotoa A 3 - B 3 , A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 . jne. Sen soveltamiseksi meidän on kerrottava murto-osan nimittäjä summan A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 tai erotuksen A 3 - B 3 epätäydellisellä neliöllä. Vastaavasti voit soveltaa summakaavaa a 3 + b 3 \u003d (a) (a 2 - a b + b 2).

Esimerkki 7

Kunto: muunna murtoluvut 1 7 3 - 2 3 ja 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 päästämään eroon nimittäjässä olevasta irrationaalisuudesta.

Ratkaisu

Ensimmäiselle murtoluvulle meidän on käytettävä menetelmää, jossa molemmat osat kerrotaan summan 7 3 ja 2 3 epätäydellisellä neliöllä, koska silloin voimme suorittaa muunnoksen kuutioerokaavalla:

1 7 3 - 2 3 = 1 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 - 2 3 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 = = 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 3 - 2 3 3 = 7 2 3 + 7 2 3 + 2 2 3 7 - 2 = = 49 3 + 14 3 + 4 3 5

Toisessa murto-osassa nimittäjä on 2 2 - 2 · x 3 + x 3 2 . Tässä lausekkeessa näkyy erotuksen 2 ja x 3 epätäydellinen neliö, mikä tarkoittaa, että voimme kertoa molemmat murto-osat summalla 2 + x 3 ja käyttää kuutioiden summan kaavaa. Tätä varten ehdon 2 + x 3 ≠ 0 on täytyttävä, mikä vastaa x 3 ≠ - 2 ja x ≠ - 8:

3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 = = 3 2 + x 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 2 + x 3 = 6 + 3 x 3 2 3 + x 3 3 = = 6 + 3 x 3 8 + x

Korvaa murtoluku - 8 ja löydä arvo:

3 4 - 2 8 3 + 8 2 3 = 3 4 - 2 2 + 4 = 3 4

Tehdään yhteenveto. Kaikille x:ille, jotka sisältyvät alkuperäisen murtoluvun alueelle (joukko R), lukuun ottamatta -8, saadaan 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x . Jos x = 8, niin 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 4 .

Vastaus: 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 \u003d 6 + 3 x 3 8 + x, x ≠ 8 3 4, x \u003d - 8.

Erilaisten muunnosmenetelmien johdonmukainen soveltaminen

Käytännössä on usein monimutkaisempia esimerkkejä, kun emme pääse eroon nimittäjässä olevasta irrationaalisuudesta yhdellä menetelmällä. Heille sinun on suoritettava peräkkäin useita muunnoksia tai valittava epätyypillisiä ratkaisuja. Otetaan yksi tällainen ongelma.

Esimerkki N

Kunto: muunna 5 7 4 - 2 4 päästäksesi eroon nimittäjän juurimerkeistä.

Ratkaisu

Kerrotaan molemmat alkuperäisen murto-osan osat konjugaattilausekkeella 7 4 + 2 4 nollasta poikkeavalla arvolla. Saamme seuraavat:

5 7 4 - 2 4 = 5 7 4 + 2 4 7 4 - 2 4 7 4 + 2 4 = = 5 7 4 + 2 4 7 4 2 - 2 4 2 = 5 7 4 + 2 4 7 - 2

Ja nyt käytämme samaa menetelmää uudelleen:

5 7 4 + 2 4 7 - 2 = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 - 2 7 + 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 2 - 2 2 = 5 7 4 + 7 4 7 + 2 7 - 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 5 = 7 4 + 2 4 7 + 2

Vastaus: 5 7 4 - 2 4 = 7 4 + 2 4 7 + 2 .

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter