Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Много лет назад я получил письмо из Ташкента от Валерия Муратова, судя по почерку, человека юношеского возраста, проживавшего тогда на улице Коммунистической в доме № 31. Парень был настроен решительно: "Сразу к делу. Сколько вы мне заплатите за доказательство теоремы Ферма? Меня устраивает не менее 500 рублей. В другое время я бы доказал вам бесплатно, но сейчас мне нужны деньги..."

Удивительный парадокс: мало кто знает, кто такой Ферма, когда он жил и что сделал. Еще меньше людей могут даже в самых общих словах описать его великую теорему. Но всем известно, что есть какая-то теорема Ферма, над доказательством которой математики всего мира бьются уже более 300 лет, а доказать не могут!

Людей честолюбивых много, и само сознание того, что есть нечто, чего другие сделать не могут, еще больше подстегивает их честолюбие. Поэтому в академии, научные институты и даже редакции газет всего мира приходили и приходят тысячи (!) доказательств Великой теоремы, — невиданный и никем никогда не побитый рекорд псевдонаучной самодеятельности. Существует даже термин: "ферматисты", т. е. люди, одержимые желанием доказать Великую теорему, которые совершенно измучили математиков-профессионалов требованиями оценить их труды. Известный немецкий математик Эдмунд Ландау даже заготовил стандартку, по которой и отвечал: "В вашем доказательстве теоремы Ферма ошибка на странице... ", а номер страницы проставляли его аспиранты. И вот летом 1994 года газеты всего мира сообщают нечто совершенно сенсационное: Великая теорема доказана!

Итак, кто такой Ферма, в чем суть проблемы и решена ли она действительно? Пьер Ферма родился в 1601 году в семье кожевника, человека состоятельного и уважаемого, — он занимал должность второго консула в родном городке Бомоне, — это что-то вроде помощника мэра. Пьер учился сначала у монахов-францисканцев, потом на юридическом факультете в Тулузе, где затем занимался адвокатурой. Однако круг интересов Ферма выходил далеко за рамки юриспруденции. Особенно занимала его классическая филология, известны его комментарии к текстам древних авторов. И вторая страсть — математика.

В XVII веке, как, впрочем, и долгие годы спустя, не существовало такой профессии: математик. Поэтому все великие математики того времени были математиками "по совместительству": Рене Декарт служил в армии, Франсуа Виет был юристом, Франческо Кавальери — монахом. Научных журналов тогда не было, и классик науки Пьер Ферма при жизни не опубликовал ни одной научной работы. Существовал достаточно узкий круг "любителей", которые решали разные для них интересные задачи и писали по этому поводу письма друг другу, иногда спорили (как Ферма с Декартом), но, в основном, оставались единомышленниками. Они и стали основателями новой математики, сеятелями гениальных зерен, из которых пошло в рост, набирая силу и ветвясь, могучее древо современных математических знаний.

Так вот, таким же "любителем" был и Ферма. В Тулузе, где он прожил 34 года, все знали его, прежде всего, как советника следственной палаты и опытнейшего юриста. В 30 лет он женился, имел трех сыновей и двух дочерей, иногда отлучался в служебные командировки и во время одной из них скоропостижно скончался в возрасте 63 лет. Все! Жизнь этого человека, современника "Трех мушкетеров", удивительна бедна событиями и лишена приключений. Приключения достались на долю его Великой теоремы. Не будем говорить обо всем математическом наследии Ферма, да и трудно рассказать о нем популярно. Поверьте на слово: наследие это велико и разнообразно. Утверждение, что Великая теорема — вершина его творчества, весьма спорно. Просто судьба Великой теоремы удивительно интересна, и огромный мир людей, непосвященных в таинства математики, всегда интересовала не сама теорема, а все, что вокруг нее...

Корни всей этой истории надо искать в античности, столь любимой Ферма. Примерно в III веке жил в Александрии греческий математик Диофант, — ученый своеобразно, нестандартно мыслящий и нестандартно мысли свои излагающий. Из 13 томов его "Арифметики" до нас дошло только 6. Как раз, когда Ферма исполнилось 20 лет, вышел новый перевод его сочинений. Ферма очень увлекался Диофантом, и эти сочинения были его настольной книгой. На ее полях Ферма и записал свою Великую теорему, которая в самом простом современном виде выглядит так: уравнение Xn + Yn = Zn не имеет решения в целых числах при п — больше 2. (При п = 2 решение очевидно: З2 + 42 = 52). Там же, на полях Диофантова тома, Ферма добавляет: "Я открыл это поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки".

На первый взгляд, вещица простенькая, но когда другие математики начали доказывать эту "простенькую" теорему, ни у кого ничего не получалось лет сто. Наконец, великий Леонард Эйлер доказал ее для п = 4, потом через 20 (!) лет — для п = 3. И снова работа застопорилась на многие годы. Следующая победа принадлежит немцу Петеру Дирихле (1805—1859) и французу Андриену Лежандру (1752—1833), — они признали, что Ферма прав при п = 5. Потом француз Габриель Ламе (1795—1870) сделал то же для п = 7. Наконец, в середине прошлого века немец Эрнст Куммер (1810—1893) доказал Великую теорему для всех значений п меньше или равных 100. Причем доказал методами, которые не могли быть известны Ферма, чем еще более усилил флер таинственности вокруг Великой теоремы.

Таким образом, получалось, что доказывали теорему Ферма "по кусочкам", а "целиком" ни у кого не получалось. Новые попытки доказательств приводили лишь к количественному увеличению значений п. Все понимали, что, затратив бездну труда, можно доказать Великую теорему для сколь угодно большого числа п, но Ферма-то говорил о любом его значении больше 2! Вот в этой-то разнице между "сколько угодно большим" и "любым" и сосредотачивался весь смысл проблемы.

Однако надо отметить, что попытки доказать теорему Фермга не были просто некоей математической игрой, рсшсением сложного ребуса. В процессе этих доказательств открывались новые математичес кие горизонты, возникали и решались задачи, становившиеся новыми ветгвями математического древа. Великий немецкий математик Давид Гильберт (1862—1943) приводил Великую теорему, как пример того, "какое побуждающее влияние на науку может оказать специальная и на первыш взгляд малозначительная проблема". Тот же Куммер, работая над теоремой Ферма, сам доказал теоремы, которые легли в фундамент теории чисел, алгебры и теории функций. Так что доказательство Великой теорсемы — не спорт, а настоящая наука.

Время шло, и на помощь профеессиональным "фсрматнтстам" пришла электроника. Электронные мозги но)вых методов выдумать не могли, но зато брали скоростыю. Примерно к началу 80-х годов теорема Ферма с помощью ЭВМ была доказана для n меньше или равной 5500. Постепенно эта цифра выросла до 100 000, но все понимали, что подобное "накопление" — дело чисстой техники, ничего не дающее ни уму ни сердцу. Крепость Великой теоремы "в лоб" взять не смогли щ начали искать обходные маневрья.

В середине 80-х годов молодой немеадкий математик Г. Филытингс доказал так называемую "гипотезу Морделла", которая, кстати, тоже "не давалась в руки" никому из математиков 61 год. Возникла надежда, что теперь, так сказать, "атакой с фланга", может быть решена и теорема Ферма. Однако тогда ничего не получилось. В 1986 году немецкий математик Герхард Фрей в Эссеще предложил новый метод доказательства. Не берусь объяснить его строго, но не на маатематическом, а на общечеловеческом языке он звучит примерно так: если мы убедимся, что доказательство некой другой теоремы есть косвенное, неким образом трансформированное доказательство теоремы Ферма, то, следовательно, мы докажем Великую теорему. Через год американец Кеннет Рибет из Беркли показал, что Фрей прав и, действительно, можно одно доказательство свести к другому. По этому пути пошли многие математики в разных странах мира. У нас очень много для доказательства Великой теоремы сделал Виктор Александрович Колыванов. Трехсотлетние стены неприступной крепости зашатались. Математики поняли, что долго она не устоит.

Летом 1993 года в старинном Кембридже, в Институте математических наук имени Исаака Ньютона собрались 75 виднейших математиков мира, чтобы обсудить свои проблемы. Среди них был и американский профессор Эндрю Уайлс из Принстонскош университета, — крупный специалист в теории чисел. Все знали, что он уже много лет занимается Великой теоремой. Уайлс сделал три доклада и на последнем — 23 июня 1993 года — в самом конце, отвернувшись от доски, сказал с улыбкой:

— Пожалуй, я продолжать не буду...

Вначале наступила мертвая тишина, затем — обвал аплодисментов. Сидящие в зале были достаточно квалифицированы, чтобы понять: Великая теорема Ферма доказана! Во всяком случае, никто из присутствующих не обнаружил в приведенном доказательстве каких-либо погрешностей. Заместитель директора Ньютоновского института Питер Годдард заявил журналистам:

— Большинство экспертов не думали, что узнают разгадку до конца своей жизни. Это одно из крупнейших достижений математики нашего столетия...

Прошло несколько месяцев, никаких замечаний и опровержений не последовало. Правда, Уайлс доказательства своего не опубликовал, а лишь разослал, так называемые, припринты своей работы очень узкому кругу своих коллег, что, естественно, мешает математикам комментировать эту научную сенсацию, и я понимаю академика Людвига Дмитриевича Фаддеева, который сказал:

— Смогу утверждать, что сенсация произошла, когда увижу доказательство своими глазами.

Фаддеев считает, что вероятность победы Уайлса весьма велика.

— Мой отец, известный специалист в теории чисел, был, например, уверен, что теорема будет доказана, но не элементарными средствами, — добавил он.

Скептически отнесся к новости другой наш академик, — Виктор Павлович Маслов, который считает, что доказательство Великой теоремы вообще не является актуальной математической проблемой. По своим научным интересам Маслов — председатель совета по прикладной математике — далек от "ферматистов", и, когда он говорит о том, что полное решение Великой теоремы представляет лишь спортивный интерес, его понять можно. Однако смею заметить, что понятие актуальности в любой науке есть величина переменная. 90 лет назад Резерфорду, наверное, тоже говорили: "Ну, хорошо, ну теория радиоактивного распада... И что? Какой от нее прок?.."

Работа над доказательством Великой теоремы уже дала очень много математике, и можно надеется, что даст еще.

— То, что сделал Уайлс, продвинет математиков в другие области, — сказал Питер Годдард. — Скорее, это не закрывает одно из направлений мысли, а ставит новые вопросы, которые потребуют ответа...

Профессор МГУ Михаил Ильич Зеликин так объяснил мне сегодняшнюю ситуацию:

Никто не видит в работе Уайлса каких-то ошибок. Но чтобы работа эта стала научным фактом, необходимо, чтобы несколько авторитетных математиков независимо друг от друга повторили это доказательство и подтвердили его правильность. Это непременное условие осознания работы Уайлса математической общественностью...

Как много времени потребуется для этого?

Этот вопрос я задал одному из ведущих наших специалистов в области теории чисел, доктору физико-математических наук Алексею Николаевичу Паршину.

— У Эндрю Уайлса еще много времени впереди...

Дело в том, что 13 сентября 1907 года немецкий математик П. Вольфскель, который, в отличие от подавляющего большинства математиков, был человек богатый, завещал тому, кто в ближайшие 100 лет докажет Великую теорему, 100 тысяч марок. В начале века проценты с завещанной суммы шли в казну знаменитого Гетгангентского университета. На эти деньги приглашали ведущих математиков для чтения лекций, вели научную работу. В то время председателем комиссии по присуждению премии был уже упоминавшийся мною Давид Гильберт. Выплачивать премию ему очень не хотелось.

— К счастью, — говорил великий математик, — кажется, у нас нет математика, кроме меня, которому была бы под силу эта задача, я же никогда не решусь зарезать курицу, которая несет нам золотые яйца-

До срока — 2007 года, обозначенного Вольфскелем, осталось немного лет, и, мне кажется, над "курицей Гильберта" нависла серьезная опасность. Но не в премии, собственно, дело. Дело в пытливости мысли и человеческом упорстве. Триста с лишним лет бились, а все же доказали!

И еще. Для меня самое интересное во всей этой истории: как доказал свою Великую теорему сам Ферма? Ведь все сегодняшние математические ухищрения были ему неведомы. И доказал ли он ее вообще? Ведь есть версия, что доказал вроде бы, но сам нашел ошибку, а потому и доказательства другим математикам рассылать не стал, а зачеркнуть запись на полях Диофантова тома забыл. Поэтому, мне кажется, что доказательство Великой теоремы, очевидно, состоялось, но тайна теоремы Ферма осталась, и вряд ли мы когда-нибудь раскроем ее...

Может быть, Ферма и ошибся тогда, но он не ошибался, когда писал: "Быть может, потомство будет признательно мне за то, что я показал ему, что древние не все знали, и это может проникнуть в сознание тех, которые придут после меня для передачи факела сыновьям..."

Итак, Великая теорема Ферма (нередко называемая послед­ней теоремой Ферма), сформулированная в 1637 году блестя­щим французским математиком Пьером Ферма, очень проста по своей сути и понятна любому человеку со средним образова­нием. Она гласит, что формула а в степени n + b в степени n = c в степени n не имеет натуральных (то есть не дробных) решений для n > 2. Вроде все просто и понятно, но лучшие ученые-математики и простые любители бились над поиском решения более трех с половиной веков.

Как-то в новогоднем выпуске рассылки о том, как произносить тосты, я вскользь упомянул, что в конце ХХ века произошло одно грандиозное событие, которого многие не заметили - была, наконец-то доказана так называемая Великая теорема Ферма. По этому поводу среди полученных писем я обнаружил два отклика от девушек (одна из них, насколько помню - девятиклассница Вика из Зеленограда), которых удивил данный факт.

А меня удивило то, насколько живо девочки интересуются проблемами современной математики. Поэтому, думаю, что не только девочкам, но и мальчикам всех возрастов - от старшеклассников до пенсионеров, тоже будет интересно узнать историю Великой теоремы.

Доказательство теоремы Ферма - великое событие. А т.к. со словом "великий" не принято шутить, то знать историю теоремы, мне кажется, каждый уважающий себя оратор (а все мы, когда говорим - ораторы) просто обязан.

Если так получилось, что вы не любите математику так, как люблю ее я, то некоторые углубления в детали просматривайте беглым взором. Понимая, что не всем читателям нашей рассылки интересно блуждать в математических дебрях, я постарался не приводить никаких формул (кроме самого уравнения теоремы Ферма и пары гипотез) и максимально упростить освещение некоторых специфических вопросов.

Как Ферма заварил кашу

Французский юрист и по совместительству великий математик XVII века Пьер Ферма (1601-1665) выдвинул одно любопытное утверждение из области теории чисел, которое впоследствии получило название Великой (или Большой) теоремы Ферма. Это одна из самых известных и феноменальных математических теорем. Наверно, ажиотаж вокруг нее был бы не так силен, если бы в книге Диофанта Александрийского (III век н. э.) "Арифметика", которую Ферма частенько штудировал, делая пометки на ее широких полях, и которую любезно сохранил для потомков его сын Сэмюэл, не была обнаружена примерно следующая запись великого математика:

"Я располагаю весьма поразительным доказательством, но оно слишком велико, чтобы его можно было разместить на полях".

Она-то, эта запись, и явилась причиной последующей грандиозной суматохи вокруг теоремы.

Итак, знаменитый ученый заявил, что доказал свою теорему. Давайте же зададимся вопросом: действительно ли он ее доказал или банально соврал? Или есть другие версии, объясняющие появление той записи на полях, не дававшей спокойно спать многим математикам следующих поколений?

История Великой теоремы увлекательна, как приключение во времени. В 1636 году Ферма заявил, что уравнение вида x n +y n =z n не имеет решений в целых числах при показателе степени n>2. Это собственно и есть Большая теорема Ферма. В этой, казалось бы, простой с виду математической формуле Вселенная замаскировала невероятную сложность. Американский математик шотландского происхождения Эрик Темпл Белл в своей книге "Последняя проблема" (1961) даже предположил, что, возможно, человечество прекратит свое существование раньше, чем сможет доказать Великую теорему Ферма.

Несколько странным является то, что почему-то теорема опоздала с появлением на свет, поскольку ситуация назрела давно, ведь ее частный случай при n=2 - другая знаменитая математическая формула - теорема Пифагора, возникла на двадцать два столетия раньше. В отличие от теоремы Ферма, теорема Пифагора имеет бесконечное множество целочисленных решений, например, такие пифагоровы треугольники: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …

Синдром Великой теоремы

Кто только не пытался доказать теорему Ферма. Любой оперившийся студент считал своим долгом приложиться к Великой теореме, но доказать ее всё никак никому не удавалось. Сначала не удавалось сто лет. Потом еще сто. И еще. Среди математиков стал развиваться массовый синдром: "Как же так? Ферма доказал, а я что, не смогу, что ли?" - и некоторые из них на этой почве свихнулись в полном смысле этого слова.

Сколько бы теорему не проверяли - она всегда оказывалась верна. Я знал одного энергичного программиста, который был одержим идеей опровергнуть Великую теорему, пытаясь найти хотя бы одно ее решение (контрпример) методом перебора целых чисел с использованием быстродействующего компьютера (в то время чаще именовавшегося ЭВМ). Он верил в успех своего предприятия и любил приговаривать: "Еще немного - и грянет сенсация!". Думаю, что в разных местах нашей планеты имелось немалое количество такого сорта смелых искателей. Ни одного решения он, конечно же, не нашел. И никакие компьютеры, хоть даже со сказочным быстродействием, никогда не смогли бы проверить теорему, ведь все переменные этого уравнения (в том числе и показатели степени) могут возрастать до бесконечности.

Теорема требует доказательства

Математики знают, что если теорема не доказана, из нее может следовать всё что угодно (как истина, так и ложь), как это было с некоторыми другими гипотезами. Например, в одном из своих писем Пьер Ферма высказал предположение, что числа вида 2 n +1 (т.н. числа Ферма) обязательно простые (т.е. не имеют целочисленных делителей и делятся без остатка только на себя и на единицу), если n - степень двойки (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 и т.д.). Эта гипотеза Ферма прожила более ста лет - до тех пор, пока в 1732 году Леонард Эйлер не показал, что

2 32 +1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 · 641

Затем еще почти через 150 лет (1880) Фортюне Ландри разложил на множители следующее число Ферма:

2 64 +1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 · 67 280 421 310 721

Как они без помощи компьютеров смогли найти делители этих больших чисел - одному богу известно. В свою очередь Эйлер выдвинул гипотезу, что уравнение x 4 +y 4 +z 4 =u 4 не имеет решений в целых числах. Однако примерно через 250 лет, в 1988 году Науму Элькису из Гарварда удалось обнаружить (уже с помощью компьютерной программы), что

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4

Поэтому Большая теорема Ферма требовала доказательства, иначе она была просто гипотезой, и вполне могло быть, что где-то там в бескрайних числовых полях затеряно решение уравнения Великой теоремы.

Самый виртуозный и плодотворный математик XVIII века Леонард Эйлер, архив записей которого человечество разгребало почти целый век, доказал теорему Ферма для степеней 3 и 4 (вернее, он повторил утерянные доказательства самого Пьера Ферма); его последователь в теории чисел, Лежандр (а также независимо от него Дирихле) - для степени 5; Ламе - для степени 7. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.

1 марта 1847 года на заседании Парижской академии наук сразу два выдающихся математика - Габриэль Ламе и Огюстен Коши - заявили, что подошли к завершению доказательства Великой теоремы и устроили гонку, публикуя свои доказательства по частям. Однако поединок между ними был прерван, потому что в их доказательствах была обнаружена одна и та же ошибка, на которую указал немецкий математик Эрнст Куммер.

В начале XX века (1908) состоятельный немецкий предприниматель, меценат и ученый Пауль Вольфскель завещал сто тысяч марок тому, кто предъявит полное доказательство теоремы Ферма. Уже в первый год после опубликования завещания Вольфскеля Геттингентской академией наук, она была завалена тысячами доказательств от любителей математики, и поток этот не прекращался в течение десятилетий, но все они, как вы догадываетесь, содержали в себе ошибки. Говорят, что в академии были заготовлены бланки примерно такого содержания:

Уважаемый __________________________!
В Вашем доказательстве теоремы Ферма на ____ странице в ____ строчке сверху
в формуле:__________________________ обнаружена следующая ошибка:,

Которые рассылались незадачливым соискателям премии.

В то время в кругу математиков появилось полупрезрительное прозвище - фермист . Так называли всякого самоуверенного выскочку, которому не хватало знаний, но зато с лихвой хватало амбиций для того, чтобы второпях попробовать силенки в доказательстве Великой теоремы, а затем, не заметив собственных ошибок, гордо хлопнув себя в грудь, громко заявить: "Я первый доказал теорему Ферма!". Каждый фермист, будь он хоть даже десятитысячным по счету, считал себя первым - это и было смешным. Простой внешний вид Великой теоремы так сильно напоминал фермистам легкую добычу, что их абсолютно не смущало, что даже Эйлер с Гауссом не смогли справиться с ней.

(Фермисты, как ни странно, существуют и ныне. Один из них хоть и не считал, что доказал теорему, как классический фермист, но до недавних пор предпринимал попытки - отказался верить мне, когда я сообщил ему, что теорема Ферма уже доказана).

Наиболее сильные математики, может быть, в тиши своих кабинетов тоже пробовали осторожно подходить к этой неподъемной штанге, но не говорили об этом вслух, дабы не прослыть фермистами и, таким образом, не навредить своему высокому авторитету.

К тому времени появилось доказательство теоремы для показателя степени n<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.

Странная гипотеза

До середины ХХ века никаких серьезных продвижений в истории Великой теоремы не наблюдалось. Но вскоре в математической жизни произошло одно интересное событие. В 1955 году 28-летний японский математик Ютака Танияма выдвинул утверждение из совершенно другой области математики, получившее название "гипотезы Таниямы" (она же "гипотеза Таниямы-Шимуры-Вейла"), которое, в отличие от запоздалой теоремы Ферма, опередило свое время.

Гипотеза Таниямы гласит: "каждой эллиптической кривой соответствует определенная модулярная форма". Данное утверждение для математиков той поры звучало примерно так же абсурдно, как для нас звучит утверждение: "каждому дереву соответствует определенный металл". Нетрудно угадать, как может отнестись к подобному утверждению нормальный человек - он попросту не воспримет его всерьез, что и произошло: математики дружно проигнорировали гипотезу.

Небольшое пояснение. Эллиптические кривые, известные с давних пор, имеют двухмерный вид (располагаются на плоскости). Модулярные же функции, открытые в XIX веке, имеют четырехмерный вид, поэтому мы их даже представить себе не можем своими трехмерными мозгами, но можем описать математически; кроме того, модулярные формы удивительны тем, что обладают предельно возможной симметрией - их можно транслировать (сдвигать) в любом направлении, отражать зеркально, менять местами фрагменты, поворачивать бесконечно многими способами - и при этом их вид не изменяется. Как видим, эллиптические кривые и модулярные формы имеют мало общего. Гипотеза же Таниямы утверждает, что описательные уравнения двух соответствующих друг другу этих абсолютно разных математических объектов можно разложить в один и тот же математический ряд.

Гипотеза Таниямы была слишком парадоксальна: она соединила совершенно разные понятия - довольно простые плоские кривые и невообразимые четырехмерные формы. Такое никому не приходило в голову. Когда на международном математическом симпозиуме в Токио в сентябре 1955 года Танияма продемонстрировал несколько соответствий эллиптических кривых модулярным формам, то все увидели в этом не более, чем забавные совпадения. На скромный вопрос Таниямы: возможно ли для каждой эллиптической кривой найти соответствующую модулярную функцию, маститый француз Андре Вейл, который в то время был одним из лучших в мире специалистов в теории чисел, дал вполне дипломатичный ответ, что, дескать, если пытливого Танияму не покинет энтузиазм, то, может быть, ему повезет, и его невероятная гипотеза подтвердится, но это, должно быть, случится не скоро. В общем, как и многие другие выдающиеся открытия, сначала гипотеза Таниямы осталась без внимания, потому что до нее еще не доросли - ее почти никто не понял. Один лишь коллега Таниямы, Горо Шимура, хорошо зная своего высокоодаренного друга, интуитивно чувствовал, что его гипотеза верна.

Через три года (1958) Ютака Танияма покончил жизнь самоубийством (сильны, однако, в Японии самурайские традиции). С точки зрения здравого смысла - никак не понимаемый поступок, особенно, если учесть, что совсем скоро он собирался жениться. Свою предсмертную записку лидер молодых японских математиков начал так: "Еще вчера я не помышлял о самоубийстве. Последнее время мне часто приходилось слышать от других, что я устал умственно и физически. Вообще-то я и сейчас не понимаю, зачем это делаю…" и так далее на трех листах. Жаль, конечно, что так сложилась судьба интересного человека, но все гении немного странные - на то они и гении (на ум почему-то пришли слова Артура Шопенгауэра: "в обычной жизни от гения столько же толку, как от телескопа в театре"). Гипотеза осиротела. Никто не знал, как ее доказать.

Лет десять про гипотезу Таниямы почти не вспоминали. Но в начале 70-х годов она стала популярной - ее регулярно проверяли все, кто смог в ней разобраться - и она всегда подтверждалась (как, собственно, и теорема Ферма), но, как и прежде, никто не мог ее доказать.

Удивительная связь двух гипотез

Прошло еще примерно 15 лет. В 1984 году произошло одно ключевое событие в жизни математики, которое объединило экстравагантную японскую гипотезу с Великой теоремой Ферма. Немец Герхард Фрей выдвинул любопытное утверждение, похожее на теорему: "Если будет доказана гипотеза Таниямы, то, следовательно, будет доказана и Великая теорема Ферма". Другими словами, теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы. (Фрей методом хитроумных математических преобразований свел уравнение Ферма к виду уравнения эллиптической кривой (той самой, которая фигурирует и в гипотезе Таниямы), более-менее обосновал свое предположение, но доказать его не смог). И вот буквально через полтора года (1986) профессор калифорнийского университета Кеннет Рибет четко доказал теорему Фрея.

Что же теперь получилось? Теперь оказалось, что, так как теорема Ферма уже точно является следствием гипотезы Таниямы, нужно всего-навсего доказать последнюю, чтобы сорвать лавры покорителя легендарной теоремы Ферма. Но гипотеза оказалась непростой. К тому же у математиков за столетия появилась аллергия на теорему Ферма, и многие из них решили, что справиться с гипотезой Таниямы также будет практически невозможно.

Смерть гипотезы Ферма. Рождение теоремы

Прошло еще 8 лет. Одному прогрессивному английскому профессору математики из Принстонского университета (Нью-Джерси, США), Эндрю Уайлсу, показалось, что он нашел доказательство гипотезы Таниямы. Если гений не лысый, то, как правило, взъерошенный. Уайлс - взъерошенный, следовательно, похож на гения. Войти в Историю, конечно, заманчиво и очень хотелось, но Уайлс, как настоящий ученый, не обольщался, понимая, что тысячам фермистов до него тоже мерещились призрачные доказательства. Поэтому, прежде, чем представить свое доказательство миру, он тщательно проверял его сам, но осознавая, что может иметь субъективную предвзятость, привлекал к проверкам также и других, например, под видом обычных математических заданий он иногда подкидывал смышленым аспирантам различные фрагменты своего доказательства. Позже Уайлс признался, что никто, кроме его жены не знал, что он работает над доказательством Великой теоремы.

И вот после долгих проверок и тягостных раздумий, Уайлс наконец-то набрался храбрости, а может, как ему самому казалось, наглости и 23 июня 1993 года на математической конференции по теории чисел в Кембридже объявил о своем великом достижении.

Это, конечно, была сенсация. Никто не ожидал такой прыти от малоизвестного математика. Тут же появилась пресса. Всех терзал жгучий интерес. Стройные формулы, как штрихи прекрасной картины, предстали перед любопытными взорами собравшихся. Настоящие математики, они ведь такие - смотрят на всякие уравнения и видят в них не цифры, константы и переменные, а слышат музыку, подобно Моцарту, смотрящему на нотный стан. Точно так же, как мы, читая книгу, смотрим на буквы, но вроде бы как их и не замечаем, а сразу воспринимаем смысл текста.

Презентация доказательства, казалось, прошла успешно - ошибок в нем не нашли - никто не услышал ни одной фальшивой ноты (хотя большинство математиков просто уставилось на него, как первоклассники на интеграл и ничего не поняли). Все решили, что произошло-таки масштабное событие: доказана гипотеза Таниямы, а следовательно и Великая теорема Ферма. Но примерно через два месяца, за несколько дней до того, как рукопись доказательства Уайлса должна была пойти в тираж, в ней было обнаружено несоответствие (Кац, коллега Уайлса, заметил, что один фрагмент рассуждений опирался на "систему Эйлера", но то, что соорудил Уайлс, такой системой не являлось), хотя в целом приемы Уайлса были признаны интересными, изящными и новаторскими.

Уайлс проанализировал ситуацию и решил, что проиграл. Можно себе представить, как он всем своим существом прочувствовал, что значит "от великого до смешного один шаг". "Хотел войти в Историю, а вместо этого вошел в состав команды клоунов и комедиантов - самонадеянных фермистов" - примерно такие мысли изматывали его в тот тягостный период жизни. Для него, серьезного ученого-математика, это была трагедия, и он забросил свое доказательство в долгий ящик.

Но вот через год с небольшим, в сентябре 1994 года, во время размышления над тем узким местом доказательства вместе со своим коллегой Тейлором из Оксфорда, последнего неожиданно осенила мысль, что "систему Эйлера" можно поменять на теорию Ивасава (раздел теории чисел). Тогда они попробовали воспользоваться теорией Ивасава, обойдясь без "системы Эйлера", и у них всё сошлось. Исправленный вариант доказательства был отдан на проверку и через год было объявлено, что в нем всё абсолютно четко, без единой ошибки. Летом 1995 года в одном из первенствующих математических журналов - "Анналы математики" - было опубликовано полное доказательство гипотезы Таниямы (следовательно, Великой (Большой) теоремы Ферма), которое заняло весь номер - свыше ста листов. Доказательство так сложно, что понять его целиком могли всего лишь несколько десятков человек во всем мире.

Таким образом, в конце ХХ века весь мир признал, что на 360 году своей жизни Великая теорема Ферма, которая на самом деле всё это время являлась гипотезой, стала-таки доказанной теоремой. Эндрю Уайлс доказал Великую (Большую) теорему Ферма и вошел в Историю.

Подумаешь, доказали какую-то теорему...

Счастье первооткрывателя всегда достается кому-то одному - это именно он последним ударом молота раскалывает твердый орешек знания. Но нельзя игнорировать множество предыдущих ударов, которые не одно столетие формировали трещину в Великой теореме: Эйлера и Гаусса (королей математики своих времен), Эвариста Галуа (успевшего за свою короткую 21-летнюю жизнь основать теории групп и полей, работы которого были признаны гениальными лишь после его смерти), Анри Пуанкаре (учредителя не только причудливых модулярных форм, но и конвенционализма - философского течения), Давида Гилберта (одного из сильнейших математиков ХХ века), Ютаку Танияму, Горо Шимуру, Морделла, Фальтингса, Эрнста Куммера, Барри Мазура, Герхарда Фрея, Кена Риббета, Ричарда Тейлора и других настоящих ученых (не побоюсь этих слов).

Доказательство Великой теоремы Ферма можно поставить в один ряд с такими достижениями ХХ века, как изобретение компьютера, ядерной бомбы и полет в космос. Хоть о нем и не так широко известно, потому что оно не вторгается в зону наших сиюминутных интересов, как например, телевизор или электрическая лампочка, но оно явилось вспышкой сверхновой звезды, которая, как и все непреложные истины, всегда будет светить человечеству.

Вы можете сказать: "подумаешь, доказали какую-то теорему, кому это надо? ". Справедливый вопрос. Тут в точности сгодится ответ Давида Гилберта. Когда на вопрос: "какая задача сейчас для науки наиболее важна?", он ответил: "поймать муху на обратной стороне Луны", его резонно спросили: "а кому это надо? ", он ответил так: "Это никому не надо. Но подумайте над тем, сколько важных сложнейших задач надо решить, чтобы это осуществить". Подумайте, сколько задач за 360 лет смогло решить человечество, прежде, чем доказать теорему Ферма. В поисках ее доказательства была открыта чуть ли не половина современной математики. Надо также учесть, что математика - авангард науки (и, кстати, единственная из наук, которая строится без единой ошибки), и любые научные достижения и изобретения начинаются именно здесь. Как заметил Леонардо да Винчи, "наукой можно признать лишь то учение, которое подтверждается математически".

* * *

А теперь давайте вернемся в начало нашей истории, вспомним запись Пьера Ферма на полях учебника Диофанта и еще раз зададимся вопросом: действительно ли Ферма доказал свою теорему? Этого мы, конечно, не можем знать наверняка, и как в любом деле тут возникают разные версии:

Версия 1: Ферма доказал свою теорему. (На вопрос: "имел ли Ферма точно такое же доказательство своей теоремы?", Эндрю Уайлс заметил: "Ферма не мог располагать таким доказательством. Это доказательство ХХ века". Мы с вами понимаем, что в XVII веке математика, конечно же, была не та, что в конце ХХ века - в ту эпоху д, Артаньяна, царица наук еще не обладала теми открытиями (модулярные формы, теоремы Таниямы, Фрея и др.), которые только и позволили доказать Великую теорему Ферма. Конечно, можно предположить: чем черт не шутит - а вдруг Ферма догадался иным путем? Эта версия хоть и вероятна, но по оценкам большинства математиков, практически невозможна);
Версия 2: Пьеру Ферма показалось, что он доказал свою теорему, но в его доказательстве были ошибки. (То есть, сам Ферма был также и первым фермистом);
Версия 3: Ферма свою теорему не доказал, а на полях просто соврал.

Если верна одна из двух последних версий, что наиболее вероятно, то тогда можно сделать простой вывод: великие люди, они хоть и великие, но тоже могут ошибаться или иногда не прочь приврать (в основном этот вывод будет полезен для тех, кто склонен безраздельно доверять своим кумирам и прочим властителям дум). Поэтому, читая произведения авторитетных сынов человечества или слушая их пафосные выступления, вы имеете полное право сомневаться в их утверждениях. (Прошу заметить, что сомневаться - не значит отвергать ).

Переиздание материалов статьи возможно только с обязательными ссылками на сайт (в интернете - гиперссылка) и на автора

Завистники утверждают, что французский математик Пьер Ферма вписал свое имя в историю всего одной фразой. На полях рукописи с формулировкой знаменитой теоремы в 1637 году он сделал пометку: "Я нашел удивительное решение, но здесь маловато места, чтобы его поместить". Тогда и началась удивительная математическая гонка, в которую наряду с выдающимися учеными включилась армия дилетантов.

В чем коварство задачи Ферма? На первый взгляд, она понятна даже школьнику.

В основе - известная каждому теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: х 2 + у 2 = z 2 . Ферма утверждал: уравнение при любых степенях больше двух не имеет решения в целых числах.

Казалось бы, просто. Протяни руку, и вот ответ. Неудивительно, что академии разных стран, научные институты, даже редакции газет были завалены десятками тысяч доказательств. Их число беспрецедентно, уступает разве что проектам "вечных двигателей". Но если эти сумасшедшие идеи серьезная наука давно не рассматривает, то работы "фермистов" честно и заинтересованно изучает. И, увы, находит ошибки. Говорят, что за три с лишним века образовалось целое математическое кладбище решений теоремы.

Не зря говорят: близок локоть, а не укусишь. Проходили года, десятилетия, века, и задача Ферма представлялась все более удивительной и заманчивой. Вроде бы простенькая, она оказалась не по зубам стремительно наращивающему мускулы прогрессу. Человек уже расщепил атом, добрался до гена, ступил на Луну, а Ферма не давался, продолжая манить потомков ложными надеждами.

Однако попытки одолеть научную вершину не прошли даром. Первый шаг сделал великий Эйлер, доказав теорему для четвертой степени, затем для третьей. В конце XIX века немец Эрнст Куммер довел число степеней до ста. Наконец, вооружившись компьютерами, ученые увеличили эту цифру до 100 тысяч. Но Ферма-то говорил о любых степенях. В этом состояла вся загвоздка.

Конечно, мучились ученые над задачей не из-за спортивного интереса. Знаменитый математик Давид Гильберт говорил, что теорема - это пример, как вроде бы малозначительная проблема может оказать на науку огромное влияние. Работая над ней, ученые открыли совершенно новые математические горизонты, например, были заложены фундаменты теории чисел, алгебры, теории функций.

И все же Великая теорема была в 1995 году покорена. Ее решение представил американец из Принстонского университета Эндрю Уайлс, и оно официально признано научным сообществом. Более семи лет жизни отдал он, чтобы найти доказательство. По мнению ученых, эта выдающаяся работа свела воедино труды многих математиков, восстановив утраченные связи между разными ее разделами.

Итак, вершина взята, и наука ответ получила, - сказал корреспонденту "РГ" ученый секретарь Отделения математики Российской академии наук, доктор технических наук Юрий Вишняков. - Теорема доказана, пусть и не простейшим способом, на чем настаивал сам Ферма. А теперь желающие могут печатать свои варианты.

Однако семейство "фермистов" вовсе не собирается признавать доказательство Уайлса. Нет, они не опровергают решение американца, ведь оно очень сложное, а потому понятно лишь узкому кругу специалистов. Но не проходит недели, чтобы в Интернете ни появилось новое откровение очередного энтузиаста, "наконец-то поставившего точку в многолетней эпопее".

Кстати, буквально вчера в редакцию "РГ" позвонил один из старейших в нашей стране "фермистов" Всеволод Ярош: "А вы знаете, что теорему Ферма я доказал еще до Уайлса. Более того, потом нашел у него ошибку, о чем написал выдающемуся нашему математику академику Арнольду с просьбой напечатать об этом в научном журнале. Теперь жду ответа. Переписываюсь по этому поводу и с французской академией наук".

И вот только что, как сообщается в ряде СМИ, с "легким изяществом раскрыл великую тайну математики", еще один энтузиаст - бывший генеральный конструктор ПО "Полет" из Омска, доктор технических наук Александр Ильин. Решение оказалось настолько простым и коротким, что поместилось на маленьком участке газетной площади одного из центральных изданий.

Редакция "РГ" обратилась в ведущий в стране Институт математики им. Стеклова РАН с просьбой оценить это решение. Ученые были категоричны: нельзя комментировать газетную публикацию. Но после долгих уговоров и учитывая повышенный интерес к знаменитой задаче, согласились. По их словам, в опубликованном очередном доказательстве допущено несколько принципиальных ошибок. Кстати, их вполне мог бы заметить даже студент математического факультета.

И все же редакция хотела получить информацию из первых рук. Тем более что вчера в академии авиации и воздухоплавания Ильин должен был представить свое доказательство. Однако оказалось, что о такой академии мало кто знает даже среди специалистов. А когда все-таки с величайшим трудом удалось разыскать телефон ученого секретаря этой организации, то, как выяснилось, он даже не подозревал, что именно у них должно состояться столь историческое событие. Словом, корреспонденту "РГ" стать свидетелем мировой сенсации так и не удалось.

Пьер Ферма, читая «Арифметику» Диофанта Александрийского и размышляя над её задачами, имел привычку записывать на полях книги результаты своих размышлений в виде кратких замечаний. Против восьмой задачи Диофанта на полях книги, Ферма записал: «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и, вообще, никакую степень, большую квадрата на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки » /Э.Т.Белл «Творцы математики». М.,1979, стр.69 /. Предлагаю Вашему вниманию элементарное доказательство теоремы ферма, которое может понять любой старшеклассник, увлекающийся математикой.

Сравним комментарий Ферма к задаче Диофанта с современной формулировкой великой теоремы Ферма, имеющей вид уравнения.
«Уравнение

x n + y n = z n (где n – целое число большее двух)

не имеет решений в целых положительных числах »

Комментарий находится с задачей в логической связи, аналогичной логической связи сказуемого с подлежащим. То, что утверждается задачей Диофанта, наоборот утверждается комментарием Ферма.

Комментарий Ферма можно так трактовать: если квадратное уравнение с тремя неизвестными имеет бесконечное множество решений на множестве всех троек пифагоровых чисел, то, наоборот, уравнение с тремя неизвестными в степени, большей квадрата

В уравнении нет даже намека на его связь с задачей Диофанта. Его утверждение требует доказательства, но при нём нет условия, из которого следует, что оно не имеет решений в целых положительных числах.

Известные мне варианты доказательства уравнения сводятся к следующему алгоритму.

1. Уравнение теоремы Ферма принимается за её заключение, в справедливости которого убеждаются при помощи доказательства.
2. Это же уравнение называют исходным уравнением, из которого должно исходить его доказательство.

В результате образовалась тавтология: «Если уравнение не имеет решений в целых положительных числах, то оно не имеет решений в целых положительных числах ».Доказательство тавтологии заведомо является неправильным и лишенным всякого смысла. Но её доказывают методом от противного.

• Принимается предположение, противоположное тому, что утверждается уравнением, которое требуется доказать. Оно не должно противоречить исходному уравнению, а оно ему противоречит. Доказывать то, что принято без доказательства, и принимать без доказательства то, что требуется доказать, не имеет смысла.
• На основании принятого предположения выполняются абсолютно правильные математические операции и действия, чтобы доказать, что оно противоречит исходному уравнению и является ложным.

Поэтому вот уже 370 лет доказательство уравнения великой теоремы Ферма остаётся неосуществимой мечтой специалистов и любителей математики.

Я принял уравнение за заключение теоремы, а восьмую задачу Диофанта и её уравнение — за условие теоремы.

«Если уравнение x 2 + y 2 = z 2 (1) имеет бесконечное множество решений на множестве всех троек пифагоровых чисел, то, наоборот, уравнение x n + y n = z n , где n > 2 (2) не имеет решений на множестве целых положительных чисел.»

Доказательство.

А) Всем известно, что уравнение (1) имеет бесконечное множество решений на множестве всех троек пифагоровых чисел. Докажем, что ни одна тройка пифагоровых чисел, являющаяся решением уравнения (1), не является решением уравнения (2).

На основании закона обратимости равенства, стороны уравнения (1) поменяем местами. Пифагоровы числа (z, х, у ) могут быть истолкованы как длины сторон прямоугольного треугольника, а квадраты ( x 2 , y 2 , z 2 ) могут быть истолкованы как площади квадратов, построенных на его гипотенузе и катетах.

Площади квадратов уравнения (1) умножим на произвольную высоту h :

z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)

Уравнение (3) можно трактовать как равенство объема параллелепипеда сумме объёмов двух параллелепипедов.

Пусть высота трех параллелепипедов h = z :

z 3 = x 2 z + y 2 z (4)

Объем куба разложился на два объема двух параллелепипедов. Объём куба оставим без изменений, а высоту первого параллелепипед уменьшим до x и высоту второго параллелепипеда уменьшим до y . Объём куба больше суммы объёмов двух кубов:

z 3 > x 3 + y 3 (5)

На множестве троек пифагоровых чисел (х, у, z ) при n = 3 не может быть ни одного решения уравнения (2). Следовательно, на множестве всех троек пифагоровых чисел невозможно куб разложить на два куба.

Пусть в уравнении (3) высота трёх параллелепипедов h = z 2 :

z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)

Объем параллелепипеда разложился на сумму объёмов двух параллелепипедов.
Левую сторону уравнения (6) оставим без изменения. На правой его стороне высоту z 2 уменьшим до х в первом слагаемом и до у 2 во втором слагаемом.

Уравнение (6) обратилось в неравенство:

Объем параллелепипеда разложился на два объема двух параллелепипедов.

Левую сторону уравнения (8) оставим без изменения.
На правой стороне высоту z n-2 уменьшим до x n-2 в первом слагаемом и уменьшим до y n-2 во втором слагаемом. Уравнение (8) обращается в неравенство:

На множестве троек пифагоровых чисел не может быть ни одного решения уравнения (2).

Следовательно, на множестве всех троек пифагоровых чисел при всех n > 2 уравнение (2) не имеет решений.

Получено «постине чудесное доказательство», но только для троек пифагоровых чисел . В этом заключается недостаток доказательства и причина отказа П. Ферма от него.

B) Докажем, что уравнение (2) не имеет решений на множестве троек непифагоровых чисел, представляющем сбой семейство произвольно взятой тройки пифагоровых чисел z = 13, x = 12, y = 5 и семейство произвольно взятой тройки целых положительных чисел z = 21, x = 19, y = 16

Обе тройки чисел являются членами своих семейств:

Число членов семейства (10) и (11) равно половине произведения 13 на 12 и 21 на 20, т. е. 78 и 210.

В каждом члене семейства (10) присутствует z = 13 и переменные х и у 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1

В каждом члене семейства (11) присутствует z = 21 и переменные х и у , которые принимают значения целых чисел 21 > x >0 , 21 > y > 0 . Переменные последовательно убывают на 1 .

Тройки чисел последовательности (10) и (11) можно представить в виде последовательности неравенств третьей степени:

и в виде неравенств четвертой степени:

Правильность каждого неравенства удостоверяется возвышением чисел в третью и в четвертую степень.

Куб большего числа невозможно разложить на два куба меньших чисел. Он или меньше, или больше, суммы кубов двух меньших чисел.

Биквадрат большего числа невозможно разложить на два биквадрата меньших чисел. Он или меньше, или больше, суммы биквадратов меньших чисел.

С возрастанием показателя степени все неравенства, кроме левого крайнего неравенства, имеют одинаковый смысл:

Неравенств они все имеют одинаковый смысл: степень большего числа больше суммы степеней меньших двух чисел с тем же показателем:

Левый крайний член последовательностей (12) (13) представляет собой наиболее слабое неравенство. Его правильность определяет правильность всех последующих неравенств последовательности (12) при n > 8 и последовательности (13) при n > 14 .

Среди них не может быт ни одного равенства. Произвольно взятая тройка целых положительных чисел (21,19,16) не является решением уравнения (2) великой теоремы Ферма. Если произвольно взятая тройка целых положительных чисел не является решением уравнения, то уравнение не имеет решений на множестве целых положительных чисел, что и требовалось доказать.

С) В комментарии Ферма к задаче Диофанта утверждается, что невозможно разложить «вообще, никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем ».

Целую степень, большую квадрата, действительно невозможно разложить на две степени с тем же показателем. Нецелую степень, большую квадрата можно разложить на две степени с тем же показателем.

Любая произвольно взятая тройка целых положительных чисел (z, x, y) может принадлежать семейству, каждый член которого состоит из постоянного числа z и двух чисел, меньших z . Каждый член семейства может быть представлен в форме неравенства, а все полученные неравенства — в виде последовательности неравенств:

Последовательность неравенств (14) начинается неравенствами, у которых левая сторона меньше правой стороны, а оканчивается неравенствами, у которых правая сторона меньше левой стороны. С возрастанием показателя степени n > 2 число неравенств правой стороны последовательности (14) увеличивается. При показателе степени n = k все неравенства левой стороны последовательности изменяют свой смысл и принимают смысл неравенств правой стороны неравенств последовательности (14). В результате возрастания показателя степени у всех неравенств левая сторона оказывается больше правой стороны:

При дальнейшем возрастании показателя степени n > k ни одно из неравенств не изменяет своего смысла и не обращается в равенство. На этом основании можно утверждать, что любая произвольно взятая тройка целых положительных чисел (z, x, y) при n > 2 , z > x , z > y

В произвольно взятой тройке целых положительных чисел z может быть сколь угодно большим натуральным числом. Для всех натуральных чисел, которые не больше z , большая теорема Ферма доказана.

D) Каким бы ни было большим число z , в натуральном ряду чисел до него имеется большое, но конечное множество целых чисел, а после него – бесконечное множество целых чисел.

Докажем, что все бесконечное множество натуральных чисел, больших z , образуют тройки чисел, которые не являются решениями уравнения большой теоремы Ферма, например, произвольно взятая тройка целых положительных чисел (z + 1, x ,y) , в которой z + 1 > x и z + 1 > y при всех значениях показателя степени n > 2 не является решением уравнения большой теоремы Ферма.

Произвольно взятая тройка целых положительных чисел (z + 1, x, y) может принадлежать семейству троек чисел, каждый член которого состоят из постоянного числа z + 1 и двух чисел х и у , принимающих различные значения, меньшие z + 1 . Члены семейства могут быть представлены в форме неравенств, у которых постоянная левая сторона меньше, или больше, правой стороны. Неравенства можно упорядоченно расположить в виде последовательности неравенств:

При дальнейшем возрастании показателя степени n > k до бесконечности ни одно из неравенств последовательности (17) не изменяет своего смысла и не обращается в равенство. В последовательности (16) неравенство, образованное из произвольно взятой тройки целых положительных чисел (z + 1, x, y) , может находиться в её правой части в виде (z + 1) n > x n + y n или находиться в её левой части в виде (z + 1) n < x n + y n .

В любом случае тройка целых положительных чисел (z + 1, x, y) при n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y в последовательности (16) представляет собой неравенство и не может представлять собой равенства, т. е. не может представлять собой решения уравнения большой теоремы Ферма.

Легко и просто понять происхождение последовательности степенных неравенств (16), в которой последнее неравенство левой стороны и первое неравенство правой стороны являются неравенствами противоположного смысла. Наоборот, нелегко и непросто школьникам, старшекласснику и старшекласснице, понять, каким образом из последовательности неравенств (16) образуется последовательность неравенств (17), в которой все неравенства одинакового смысла.

В последовательности (16) увеличение целой степени неравенств на 1 единицу обращает последнее неравенство левой стороны в первое неравенство противоположного смысла правой стороны. Таким образом, количество неравенств девой стороны последовательности уменьшается, а количество неравенств правой стороны увеличивается. Между последним и первым степенными неравенствами противоположного смысла в обязательном порядке находится степенное равенство. Его степень не может быть целым числом, так как между двумя последовательными натуральными числами находятся только нецелые числа. Степенное равенство нецелой степени, по условию теоремы, не может считаться решением уравнения (1).

Если в последовательности (16) продолжать увеличение степени на 1 единицу, то последнее неравенство её левой стороны обратится в первое неравенство противоположного смысла правой стороны. В результате не останется ни одного неравенства левой стороны и останутся только неравенства правой стороны, которые представят собой последовательность усиливающихся степенных неравенств (17). Дальнейшее увеличение их целой степени на 1 единицу лишь усиливает её степенные неравенства и категорически исключает возможность появления равенства в целой степени.

Следовательно, вообще, никакую целую степень натурального числа (z+1) последовательности степенных неравенств (17) невозможно разложить на две целых степени с тем же показателем. Поэтому уравнение (1) не имеет решений на бесконечном множестве натуральных чисел, что и требовалось доказать.

Следовательно, большая теорема Ферма доказана во всей всеобщности:

• в разделе А) для всех троек (z, x, y) пифагоровых чисел (открытое Ферма поистине чудесное доказательство),
• в разделе В) для всех членов семейства любой тройки (z, x, y) пифагоровых чисел,
• в разделе С) для всех троек чисел (z, x, y) , не больших числа z
• в разделе D) для всех троек чисел (z, x, y) натурального ряда чисел.

Какие теоремы можно и какие нельзя доказать от противного

В толковом словаре математических терминов дано определение доказательству от противного теоремы, противоположной обратной теореме.

«Доказательство от противного – метод доказательства теоремы (предложения), состоящий в том, что доказывают не саму теорему, а ей равносильную (эквивалентную), противоположную обратной (обратную противоположной) теорему. Доказательство от противного используют всякий раз, когда прямую теорему доказать трудно, а противоположную обратной легче. При доказательстве от противного заключение теоремы заменяется её отрицанием, и путём рассуждения приходят к отрицанию условия, т.е. к противоречию, к противному (противоположному тому, что дано; это приведение к абсурду и доказывает теорему».

Доказательство от противного очень часто применяется в математике. Доказательство от противного основано на законе исключённого третьего, заключающегося в том, что из двух высказываний (утверждений) А и А (отрицание А) одно из них истинно, а другое ложно». /Толковый словарь математических терминов: Пособие для учителей/О. В. Мантуров [и др.]; под ред. В. А. Диткина.- М.: Просвещение, 1965.- 539 с.: ил.-C.112/.

Не лучше было бы открыто заявить о том, что метод доказательства от противного не является математическим методом, хотя и используется в математике, что он является логическим методом и принадлежит логике. Допустимо ли утверждать, что доказательство от противного «используют всякий раз, когда прямую теорему доказать трудно», когда на самом деле его используют тогда, и только тогда, когда ему нет замены.

Заслуживает особого внимания и характеристика отношения друг к другу прямой и обратной ей теорем. «Обратная теорема для данной теоремы (или к данной теореме) — теорема, в которой условием является заключение, а заключением – условие данной теоремы. Данная теорема по отношению к обратной теореме называется прямой теоремой (исходной). В то же время обратная теорема к обратной теореме будет данной теоремой; поэтому прямая и обратная теоремы называются взаимно обратными. Если прямая (данная) теорема верна, то обратная теорема не всегда верна. Например, если четырёхугольник – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны (прямая теорема). Если в четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то четырёхугольник есть ромб – это неверно, т. е. обратная теорема неверна». /Толковый словарь математических терминов: Пособие для учителей/О. В. Мантуров [и др.]; под ред. В. А. Диткина.- М.: Просвещение, 1965.- 539 с.: ил.-C.261 /.

Данная характеристика отношения прямой и обратной теорем не учитывает того, что условие прямой теоремы принимается как данное, без доказательства, так что его правильность не имеет гарантии. Условие обратной теоремы не принимается как данное, так как оно является заключением доказанной прямой теоремы. Его правильность засвидетельствована доказательством прямой теоремы. Это существенное логическое различие условий прямой и обратной теорем оказывается решающим в вопросе какие теоремы можно и какие нельзя доказать логическим методом от противного.

Допустим, что на примете имеется прямая теорема, которую доказать обычным математическим методом можно, но трудно. Сформулируем её в общем виде в краткой форме так: из А следует Е . Символ А имеет значение данного условия теоремы, принятого без доказательства. Символ Е имеет значение заключения теоремы, которое требуется доказать.

Доказывать прямую теорему будем от противного, логическим методом. Логическим методом доказывается теорема, которая имеет не математическое условие, а логическое условие. Его можно получить, если математическое условие теоремы из А следует Е , дополнить прямо противоположным условием из А не следует Е .

В результате получилось логическое противоречивое условие новой теоремы, заключающее в себе две части: из А следует Е и из А не следует Е . Полученное условие новой теоремы соответствует логическому закону исключённого третьего и соответствует доказательству теоремы методом от противного.

Согласно закону, одна часть противоречивого условия является ложной, другая его часть является истинной, а третье – исключено. Доказательство от противного имеет совей задачей и целью установить, именно какая часть из двух частей условия теоремы является ложной. Как только будет определена ложная часть условия, так будет установлено, что другая часть является истинной частью, а третье — исключено.

Согласно толковому словарю математических терминов, «доказательство есть рассуждение, в ходе которого устанавливается истинность или ложность какого-либо утверждения (суждения, высказывания, теоремы)» . Доказательство от противного есть рассуждение, в ходе которого устанавливается ложность (абсурдность) заключения, вытекающего из ложного условия доказываемой теоремы.

Дано: из А следует Е и из А не следует Е .

Доказать: из А следует Е .

Доказательство : Логическое условие теоремы заключает в себе противоречие, которое требует своего разрешения. Противоречие условия должно найти своё разрешение в доказательстве и его результате. Результат оказывается ложным при безупречном и безошибочном рассуждении. Причиной ложного заключения при логически правильном рассуждении может быть только противоречивое условие: из А следует Е и из А не следует Е .

Нет и тени сомнения в том, что одна часть условия является ложной, а другая в этом случае является истинной. Обе части условия имеют одинаковое происхождение, приняты как данные, предположенные, одинаково возможные, одинаково допустимые и т. д. В ходе логического рассуждения не обнаружено ни одного логического признака, который отличал бы одну часть условия от другой. Поэтому в одной и той же мере может быть из А следует Е и может быть из А не следует Е . Утверждение из А следует Е может быть ложным , тогда утверждение из А не следует Е будет истинным. Утверждение из А не следует Е может быть ложным, тогда утверждение из А следует Е будет истинным.

Следовательно, прямую теорему методом от противного доказать невозможно.

Теперь эту же прямую теорему докажем обычным математическим методом.

Дано: А .

Доказать: из А следует Е .

Доказательство.

1. Из А следует Б

2. Из Б следует В (по ранее доказанной теореме)).

3. Из В следует Г (по ранее доказанной теореме).

4. Из Г следует Д (по ранее доказанной теореме).

5. Из Д следует Е (по ранее доказанной теореме).

На основании закона транзитивности, из А следует Е . Прямая теорема доказана обычным методом.

Пусть доказанная прямая теорема имеет правильную обратную теорему: из Е следует А .

Докажем её обычным математическим методом. Доказательство обратной теоремы можно выразить в символической форме в виде алгоритма математических операций.

Дано: Е

Доказать: из Е следует А .

Доказательство.

1. Из Е следует Д

2. Из Д следует Г (по ранее доказанной обратной теореме).

3. Из Г следует В (по ранее доказанной обратной теореме).

4. Из В не следует Б (обратная теорема неверна). Поэтому и из Б не следует А .

В данной ситуации продолжать математическое доказательство обратной теоремы не имеет смысла. Причина возникновения ситуации – логическая. Неверную обратную теорему ничем заменить невозможно. Следовательно, данную обратную теорему доказать обычным математическим методом невозможно. Вся надежда – на доказательство данной обратной теоремы методом от противного.

Чтобы её доказать методом от противного, требуется заменить её математическое условие логическим противоречивым условием, заключающим в себе по смыслу две части – ложную и истинную.

Обратная теорема утверждает: из Е не следует А . Её условие Е , из которое следует заключение А , является результатом доказательства прямой теоремы обычным математическим методом. Это условие необходимо сохранить и дополнить утверждением из Е следует А . В результате дополнения получается противоречивое условие новой обратной теоремы: из Е следует А и из Е не следует А . Исходя из этого логически противоречивого условия, обратную теорему можно доказать посредством правильного логического рассуждения только, и только, логическим методом от противного. В доказательстве от противного любые математические действия и операции подчинены логическим и поэтому в счёт не идут.

В первой части противоречивого утверждения из Е следует А условие Е было доказано доказательством прямой теоремы. Во второй его части из Е не следует А условие Е было предположено и принято без доказательства. Какое-то из них одно является ложным, а другое – истинным. Требуется доказать, какое из них является ложным.

Доказываем посредством правильного логического рассуждения и обнаруживаем, что его результатом является ложное, абсурдное заключение. Причиной ложного логического заключения является противоречивое логическое условие теоремы, заключающее в себе две части – ложную и истинную. Ложной частью может быть только утверждение из Е не следует А , в котором Е было принято без доказательства. Именно этим оно отличается от Е утверждения из Е следует А , которое доказано доказательством прямой теоремы.

Следовательно, истинным является утверждение: из Е следует А , что и требовалось доказать.

Вывод : логическим методом от противного доказывается только та обратная теорема, которая имеет доказанную математическим методом прямую теорему и которую математическим методом доказать невозможно.

Полученный вывод приобретает исключительное по важности значение в отношении к методу доказательства от противного великой теоремы Ферма. Подавляющее большинство попыток её доказать имеет в своей основе не обычный математический метод, а логический метод доказательства от противного. Доказательство большой теоремы Ферма Уайлса не является исключением.

Дмитрий Абраров в статье «Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса» опубликовал комментарий к доказательству большой теоремы Ферма Уайлсом. По Абрарову, Уайлс доказывает большую теорему Ферма с помощью замечательной находки немецкого математика Герхарда Фрея (р. 1944), связавшего потенциальное решение уравнения Ферма x n + y n = z n , где n > 2 , с другим, совершенно непохожим на него, уравнением. Это новое уравнение задаётся специальной кривой (названной эллиптической кривой Фрея). Кривая Фрея задаётся уравнением совсем несложного вида:
.

«А именно Фрей сопоставил всякому решению (a, b, c) уравнение Ферма, то есть числам, удовлетворяющим соотношению a n + b n = c n , указанную выше кривую. В этом случае отсюда следовала бы великая теорема Ферма». (Цитата по: Абраров Д. «Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса»)

Другими словами, Герхард Фрей предположил, что уравнение большой теоремы Ферма x n + y n = z n , где n > 2 , имеет решения в целых положительных числах. Этими же решения являются, по предположению Фрея, решениями его уравнения
y 2 + x (x — a n) (y + b n) = 0 , которое задаётся его эллиптической кривой.

Эндрю Уайлс принял эту замечательную находку Фрея и с её помощью посредством математического метода доказал, что этой находки, то есть эллиптической кривой Фрея, не существует. Поэтому не существует уравнения и его решений, которые задаются несуществующей эллиптической кривой, Поэтому Уайлсу следовало бы принять вывод о том, что не существует уравнения большой теоремы Ферма и самой теоремы Ферма. Однако им принимается более скромное заключение том, что уравнение большой теоремы Ферма не имеет решений в целых положительных числах.

Неопровержимым фактом может являться то, что Уайлсом принято предположение, прямо противоположное по смыслу тому, что утверждается большой теоремой Ферма. Оно обязывает Уайлса доказывать большую теорему Ферма методом от противного. Последуем и мы его примеру и посмотрим, что из этого примера получается.

В большой теореме Ферма утверждается, что уравнение, x n + y n = z n , где n > 2 , не имеет решений в целых положительных числах.

Согласно логическому методу доказательства от противного, это утверждение сохраняется, принимается как данное без доказательства, и затем дополняется противоположным по смыслу утверждением: уравнение x n + y n = z n , где n > 2 , имеет решения в целых положительных числах.

Предположенное утверждение так же принимается как данное, без доказательства. Оба утверждения, рассматриваемые с точки зрения основных законов логики, являются одинаково допустимыми, равноправными и одинаково возможными. Посредством правильного рассуждения требуется установить, именно какое из них является ложным, чтобы затем установить, что другое утверждение является истинным.

Правильное рассуждение завершается ложным, абсурдным заключением, логической причиной которого может быть только противоречивое условие доказываемой теоремы, заключающее в себе две части прямо противоположного смысла. Они и явились логической причиной абсурдного заключения, результата доказательства от противного.

Однако в ходе логически правильного рассуждения не было обнаружено ни одного признака, по которому можно было бы установить, какое именно утверждение является ложным. Им может быть утверждение: уравнение x n + y n = z n , где n > 2 , имеет решений в целых положительных числах. На этом же основании им может быть утверждение: уравнение x n + y n = z n , где n > 2 , не имеет решений в целых положительных числах.

В итоге рассуждения вывод может быть только один: большую теорему Ферма методом от противного доказать невозможно .

Было бы совсем другое дело, если бы большая теорема Ферма была обратной теоремой, которая имеет прямую теорему, доказанную обычным математическим методом. В этом случае её можно было доказать от противного. А так как она является прямой теоремой, то её доказательство должно иметь в своей основе не логический метод доказательства от противного, а обычный математический метод.

По словам Д. Абрарова, самый известный из современных российских математиков академик В. И. Арнольд на доказательство Уайлса отреагировал «активно скептически». Академик заявил: «это не настоящая математика – настоящая математика геометрична и сильна связями с физикой».(Цитата по: Абраров Д. «Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса». Заявление академика выражает самую сущность нематематического доказательства Уайлса большой теоремы Ферма.

Методом от противного невозможно доказать ни того, что уравнение большой теоремы Ферма не имеет решений, ни того, что оно имеет решения. Ошибка Уайлса не математическая, а логическая — использование доказательства от противного там, где его использование не имеет смысла и большой теоремы Ферма не доказывает.

Не доказывается большая теорема Ферма и с помощью обычного математического метода, если в ней дано: уравнение x n + y n = z n , где n > 2 , не имеет решений в целых положительных числах, и если в ней требуется доказать: уравнение x n + y n = z n , где n > 2 , не имеет решений в целых положительных числах. В такой форме имеется не теорема, а тавтология, лишённая смысла.

Примечание. Моё доказательство БТФ обсуждалось на одном из форумов. Один из участников Trotil, специалист в теории чисел, сделал следующее авторитетное заявление под названием: «Краткий пересказ того, что сделал Миргородский». Привожу его дословно:

«А. Он доказал, что если z 2 = x 2 + y , то z n > x n + y n . Это хорошо известный и вполне очевидный факт.

В. Он взял две тройки — пифагорову и не пифагорову и показал простым перебором, что для конкретного, определённого семейства троек (78 и 210 штук) БТФ выполняется (и только для него).

С. А затем автором опущен тот факт, что из < в последующей степени может оказаться = , а не только > . Простой контрпример — переход n = 1 в n = 2 в пифагоровой тройке.

D. Этот пункт ничего существенного в доказательство БТФ не вносит. Вывод: БТФ не доказана».

Рассмотрю его заключение по пунктам.

А. В нём доказана БТФ для всего бесконечного множества троек пифагоровых чисел. Доказана геометрическим методом, который, как я полагаю, мной не открыт, а переоткрыт. А открыт он был, как я полагаю, самим П. Ферма. Именно его мог иметь в виду Ферма, когда писал:

«Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки». Данное моё предположение основано на том, что в задаче Диофанта, против которой, на полях книги, писал Ферма, речь идёт о решениях диофантова уравнения, которыми являются тройки пифагоровых чисел.

Бесконечное множество троек пифагоровых чисел является решениями диофатова уравнения, а в теореме Ферма, наоборот, ни одно из решений не может быть решением уравнения теоремы Ферма. И к этому факту поистине чудесное доказательство Ферма имеет непосредственное отношение. Позже Ферма мог распространить свою теорему на множество всех натуральных чисел. На множестве всех натуральных чисел БТФ не относится к «множеству исключительно красивых теорем». Это — моё предположение, которое ни доказать, ни опровергнуть невозможно. Его можно и принимать и отвергать.

В. В данном пункте мной доказывается, что как семейство произвольно взятой пифагоровой тройки чисел, так и семейство произвольно взятой не пифагоровой тройки чисел БТФ выполняется, Это — необходимое, но недостаточное и промежуточное звено в моём доказательстве БТФ. Взятые мной примеры семейства тройки пифагоровых чисел и семейства тройки не пифагоровых чисел имеют значение конкретных примеров, предполагающих и не исключающих существование аналогичных других примеров.

Утверждение Trotil, что я «показал простым перебором, что для конкретного, определённого семейства троек (78 и 210 штук) БТФ выполняется (и только для него) лишено основания. Он не может опровергнуть того факта, что я с таким же успехом могу взять другие примеры пифагоровой и не пифагоровой тройки для получения конкретного определённого семейства одной и другой тройки.

Какую пару троек я ни взял бы, проверка их пригодности для решения задачи может быть осуществлена, на мой взгляд, только методом «простого перебора». Какой-то другой метод мне не известен и не требуется. Если он пришёлся не по вкусу Trotil, то ему следовало бы предложить другой метод, чего он не делает. Не предлагая ничего взамен, осуждать «простой перебор», который в данном случае незаменим, некорректно.

С. Мною опущено = между < и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), в котором степень n > 2 — целое положительное число. Из равенства, находящегося между неравенствами следует обязательное рассмотрение уравнения (1) при нецелом значении степени n > 2 . Trotil, считая обязательным рассмотрение равенства между неравенствами, фактически считает необходимым в доказательстве БТФ рассмотрение уравнения (1) при нецелом значении степени n > 2 . Я это сделал для себя и обнаружил, что уравнение (1) при нецелом значении степени n > 2 имеет решением тройку чисел: z, (z-1), (z-1) при нецелом показателе степени.