Центростремительная и центробежная сила формула. Центробежная сила
Раскройте зонтик, уприте его концом в пол, закружите и одновременно бросьте внутрь мячик, скомканную бумагу, носовой платок - вообще какой-нибудь легкий и неломкий предмет. Произойдет нечто для вас неожиданное. Зонтик словно не пожелает принять подарка: мяч или бумажный ком сами выползут вверх до краев зонтика, а оттуда полетят по прямой линии.
Силу, которая в этом опыте выбросила мяч, принято называть «центробежная сила», хотя правильнее называть ее «инерция». Она обнаруживается всякий раз, когда тело движется по круговому пути. Это не что иное, как один из случаев проявления инерции - стремления движущегося предмета сохранять направление и скорость своего движения.
С центробежной силой мы встречаемся гораздо чаще, чем сами подозреваем. Вы кружите вокруг руки камень, привязанный к бечевке. Вы чувствуете, как бечевка при этом натягивается и грозит разорваться под действием центробежной силы. Старинное оружие для метания камней - праща - работает той же силой.Центробежная сила разрывает жёрнов, если он заверчен слишком быстро и если он недостаточно прочен. Если вы ловки, та же сила поможет вам выполнить фокуссо стаканом, из которого вода не выливается, хотя он опрокинут вверх дном: для этого нужно только быстро взмахнуть стаканом над головой, описав круг. Центробежная сила помогает велосипедисту в цирке описывать головокружительную «чертову петлю». Она же отделяет сливки от молока в так называемых центробежных сепараторах; она извлекает мед из сотов в центробежке; она сушит белье, освобождая его от воды в особых центробежных сушилках, и т. д.
Когда трамвайный вагон описывает кривую часть пути, например при повороте из одной улицы в другую, то пассажиры непосредственно на себе ощущают центробежную силу, которая прижимает их по направлению к внешней стенке вагона. При достаточной скорости движения весь вагон мог бы быть опрокинут этой силой, если бы наружный рельс закругления не был предусмотрительно уложен выше внутреннего: благодаря
этому вагон на повороте слегка наклоняется внутрь. Это звучит довольно странно: вагон, покосившийся набок, устойчивее, чем стоящий прямо!
А между тем это так и есть. И маленький опыт поможет вам уяснить себе, как это происходит. Сверните картонный лист в виде широкого раструба, а еще лучше, возьмите, если в доме найдется, миску со стенками конической формы. Особенно пригодится для нашей цели конический колпак- стеклянный или жестяной - от электрической лампы. Вооружившись одним из этих предметов, пустите по нему монету, небольшой металлический кружочек или колечко. Они будут описывать круги по дну посуды, заметно наклоняясь при этом внутрь. По мере того как монета или колечко будут замедлять свое движение, они станут описывать всё меньшие круги, приближаясь к центру посуды. Но ничего не стоит легким поворотом посуды заставить монету снова катиться быстрее - и тогда она удаляется от центра, описывая всё большие круги. Если она разгонится очень сильно, то может и совсем выкатиться из посуды.
Для велосипедных состязаний на так называемом велодроме устраиваются особые круговые дорожки,- и вы можете видеть, что дорожки эти, особенно там, где они круто заворачивают, устроены с заметным уклоном к центру. Велосипед кружится по ним в сильно наклоненном положении - как монета в вашей чашке - и не только не опрокидывается, но, напротив, именно в таком положении приобретает особенную устойчивость. В цирках велосипедисты изумляют публику тем, что описывают круги по круто наклоненному настилу. Вы понимаете теперь, что в этом нет ничего необычного. Напротив, было бы трудным искусством для велосипедиста так кружиться по ровной, горизонтальной дорожке. По той же причине наклоняется внутрь на крутом повороте и всадник с лошадью.
От этих мелких явлений перейдем к более крупному. Земной шар, на котором мы живем, есть вращающаяся вещь, и на ней должна проявляться центробежная сила. В чем же она сказывается? В том, что вследствие вращения Земли все вещи на ее поверхности становятся легче. Чем ближе к экватору, тем больший круг успевают сделать вещи за 24 часа,-тем, значит, они быстрее вращаются и оттого больше теряют в весе. Если килограммовую гирю перенести с полюса на экватор и здесь вновь взвесить на пружинных весах, то обнаружится нехватка в весе на 5 г. Разница, конечно, невелика, но чем тяжелее вещь, тем эта нехватка крупнее. Паровоз, приехавший из Архангельска в Одессу, становится здесь легче на 60 кг - вес взрослого человека. А линейный корабль в 20 тысяч г, прибывший из Белого моря в Черное, теряет здесь в весе--ни мало ни много - 80 т. Это вес хорошего паровоза!
Отчего это происходит? Оттого, что земной шар, вращаясь, стремится разбросать с его поверхности все вещи, как зонтик в нашем опыте выкидывает брошенный в него мяч. Он бы и скинул их, но этому мешает то, что Земля притягивает все вещи к себе. Мы называем это притяжение «тяжестью». Скинуть вещи с Земли вращение не может, а уменьшить их вес - может. Вот почему вещи становятся немного легче вследствие вращения земного шара.
Чем быстрее вращение, тем уменьшение веса должно становиться заметнее. Ученые вычислили, что если бы Земля вращалась не так, как теперь, а в 17 раз быстрее, то на экваторе вещи потеряли бы свой вес целиком: они стали бы невесомы. А если бы Земля вращалась еще быстрее - например, делала бы полный оборот всего в 1 час,- то вещи потеряли бы целиком свой вес не только на самом экваторе, но и во всех странах и морях, близких к экватору.
Подумайте только, что это значит вещи потеряли свой вес! Ведь это значит, что не будет такой вещи, которой вы не могли бы поднять: паровозы, каменные глыбы, исполинские пушки, целые военные корабли со всеми машинами и орудиями вы поднимали бы как перышко. А если бы вы их уронили - неопасно: они никого не раздавят. Не раздавят потому, что вовсе и не упали бы: ведь они ничего не весят! Они парили бы в воздухе там, где выпустили их из рук. Если бы, сидя в корзине воздушного шара, вы вздумали ронять свои вещи за борт, они никуда не упали., бы, а так и остались бы в воздухе. Удивительный это был бы мир! Прыгать вы могли бы так высоко, как никогда и во сне не прыгали: выше самых высоких сооружений и гор. Но только не забывайте: подпрыгнуть очень легко, а назад спрыгнуть невозможно. Лишенные веса, вы сами на землю не упадете.
Будут и другие неудобства в этом мире. Вы сами сообразите какие: все вещи - и малые и большие, если они не прикреплены,- будут подниматься от малейшего, едва заметного ветерка и носиться в воздухе. Люди, животные, автомобили, телеги, корабли - все беспорядочно металось бы в воздухе, ломая, коверкая и калеча друг друга…
Вот что произошло бы, если бы Земля вращалась значительно быстрее.
Случалось ли вам наблюдать издали за человеком, рубящим дерево? Или, быть может, вы следили за тем, как вдали от вас работает плотник, вколачивая гвозди? Вы могли заметить при этом очень странную вещь: удар раздается не тогда, когда топор врезается в дерево или когда молот ударяет по гвоздю, а позже, когда топор или молот уже…
В числе материалов, хорошо передающих звуки, я упомянул в предыдущей статье про кости. Хотите убедиться, что кости вашего собственного черепа обладают этим свойством? Захватите зубами колечко карманных часов и зажмите руками уши; вы услышите вполне отчетливо мерные удары балансира, заметно более громкие, нежели тиканье, воспринимаемое ухом через воздух. Эти звуки доходят до вашего уха через…
Хочешь увидеть нечто необычное?..- обратился ко мне старший брат как-то вечером.- Пойдем со мной в соседнюю комнату. Комната была темная. Брат взял свечу, и мы пошли. Отважно шагал я впереди, смело открыл дверь и храбро вступил первым в комнату. Но вдруг я обомлел: со стены глядело на меня какое-то нелепое чудовище. Плоское, как…
«Христофор Колумб был великий человек,- писал один школьник в своем классном сочинении,- он открыл Америку и поставил яйцо». Оба подвига казались юному школьнику одинаково достойными изумления. Напротив, американский юморист Марк Твен не видел ничего удивительного в том, что Колумб открыл Америку. «Было бы удивительно, если бы он не нашел ее на месте». А я…
Свеча на двойном расстоянии светит, разумеется, слабее. Но во сколько раз? В два раза? Нет, если вы поставите на двойном расстоянии две свечи, они не дадут прежнего освещения. Чтобы получить освещение, одинаковое с прежним, надо на двойном расстоянии поставить не две, а дважды две - четыре свечи. На тройном расстоянии придется поставить не три, трижды…
Сталкиваются ли между собой две лодки, два трамвайных вагона или два крокетных шара, несчастный ли это случай или только очередной ход в игре, физик обозначает такое происшествие одним коротким словом: «удар». Удар длится краткий миг; но если ударяющиеся предметы, как обычно и бывает, упруги, то в это мгновение успевает совершиться весьма многое. В каждом упругом…
Если в вашей квартире или в квартире ваших знакомых имеется комната с окнами на солнечную сторону, то вы легко можете превратить ее в физический прибор, который носит старинное латинское название «камера-обскура» (по-русски это означает «темная комната»). Для этого понадобится закрыть окно щитом, например, из фанеры или картона, оклеенным темной бумагой, и в нем сделать…
Клоуны в цирках изумляют иногда публику тем, что сдергивают скатерть с накрытого стола, но вся столовая посуда - тарелки, стаканы, бутылки - невредимо остается на своих местах. Здесь нет ни чуда, ни обмана - это дело ловкости, которая изощряется продолжительным упражнением. Такого проворства рук вам, конечно, не достичь. Но проделать подобный же опыт в…
Сейчас мы беседовали о камере-обскуре, объясняли, как ее сделать, но не сообщили одной интересной вещи: каждый человек всегда носит в себе пару маленьких камер-обскур. Это наши глаза. Представьте, глаз устроен наподобие того ящика, который я предлагал вам изготовить. То, что называют «зрачком» глаза, есть не черный кружок на глазу, а отверстие, ведущее в темную внутренность…
На эстраде фокусники выполняют нередко красивый опыт, который кажется удивительным и необычным, хотя довольно просто объясняется. На двух бумажных кольцах подвешивается довольно длинная палка; она опирается на них своими концами, сами же кольца перекинуты: одно - через лезвие бритвы, другое - через хрупкую курительную трубку. Фокусник берет другую палку и со всего размаха ударяет…
Лабораторная работа № 21
ЦЕНТРОБЕЖНАЯ СИЛА
Цель работы:
Изучение законов механики в неинерциальной системе отсчета, вращающейся относительно инерциальной. Исследование зависимости величины центробежной силы от массы тела, угловой скорости и расстояния до оси вращения.
Оборудование:
Электромотор, вращающаяся платформа с тележкой, нить, динамометр, компьютерный интерфейс Cobra3, компьютер, набор грузов.
Продолжительность работы – 4 часа.
Теоретическая часть.
1. Инерциальные системы отсчета и законы механики Ньютона
Динамикой называется раздел механики, изучающий причины возникновения механического движения. Многовековые наблюдения позволяют сделать вывод, что определяющую роль здесь играет взаимодействие тел . Его количественной характеристикой является сила:
Сила – векторная физическая величина, мера взаимодействия тел.
Исторически сложилось так, что многочисленные эксперименты по выяснению связи между взаимодействием тел и характером механического движения проводились в системе отсчета, связанной с Землёй. В ходе этих экспериментов было установлено, что тело, не испытывающее воздействия со стороны других тел, сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Однако нетрудно видеть, что в других системах отсчета это утверждение может оказаться неверным. Например, в системе отсчета, связанной с разгоняющимся автомобилем, объекты, находящиеся за окном – деревья, здания и т.п., – движутся ускоренно в сторону, противоположную направлению движения автомобиля, хотя сумма действующих на них сил остаётся равной нулю. Таким образом, прежде чем сформулировать законы динамики, необходимо дать определение систем отсчета, о которых будет идти речь в этих законах:
Первый закон Ньютона : Существуют системы отсчета, называемые инерциальными , в которых тела сохраняют состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при отсутствии действий на них со стороны других тел или при взаимной компенсации этих воздействий.
Все остальные системы отсчета называются неинерциальными .
Воздействие на данное тело со стороны других тел вызывает изменение его скорости, т.е. сообщает ему ускорение. Однако одинаковое воздействие сообщает разным телам разные ускорения, т.е. тела по-разному сопротивляются попыткам изменить их состояние движения. Это свойство тел называют инертностью .
Массой m называется скалярная физическая величина, являющаяся мерой инертности тела.
Второй закон Ньютона : Произведение массы тела на его ускорение равно действующей на него силе .
Подведём итоги:
· Законы механики Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета.
· Единственной причиной ускоренного движения тела в инерциальной системе являются силы, действующие на него со стороны других тел.
· Если , то согласно (1) ускорение тела также будет равно нулю. Этот вывод совпадает со второй частью формулировки первого закона Ньютона. Тем не менее, его нельзя считать следствием второго закона, поскольку главным содержанием первого закона является постулат о существовании инерциальных систем отсчёта.
2. Неинерциальные системы отсчета
Можно показать, что любая система отсчета, движущаяся прямолинейно и равномерно относительно инерциальной системы, также является инерциальной (см. например, , §2.7). Из этого утверждения следует, что неинерциальной системой отсчёта является любая система, движущаяся ускоренно относительно инерциальной. Простейшими неинерциальными системами отсчета являются системы, движущиеся ускоренно прямолинейно и вращающиеся системы.
Вернёмся к рассмотренному выше примеру с разгоняющимся автомобилем. Система отсчета, связанная с ним, очевидно, является неинерциальной. Второй закон Ньютона, записанный в форме (1), в данной системе отсчета не выполняется: ускоренное движение зданий и деревьев в этой системе не является результатом действия на них каких-либо сил со стороны других тел. Будем считать, что эти ускорения вызваны действием сил особой природы, называемых силами инерции . Их существование обусловлено ускоренным движением неинерциальной системы отсчета относительно инерциальной. С учетом сказанного второй закон Ньютона в неинерциальной системе отсчета примет следующий вид:
где – ускорение тела в неинерциальной системе отсчета; – «обычные» силы, обусловленные взаимодействием тел; – силы инерции .
Отметим главные особенности сил инерции:
· Введение сил инерции даёт возможность описывать движение тел в любых системах отсчета с помощью одних и тех же уравнений движения.
· Силы инерции обусловлены не воздействием на тело со стороны других тел, а свойствами той системы отсчёта, в которой рассматриваются механические явления. В этом смысле их можно назвать «фиктивными».
3. Центробежная сила
В данной лабораторной работе исследуются силы инерции, возникающие в неинерциальной системе отсчета, вращающейся относительно лабораторной инерциальной системы. Экспериментальная установка представляет собой платформу, вращающуюся с постоянной угловой скоростью ω вокруг перпендикулярной к ней вертикальной оси Z (см. Рис. 1, а). Вместе с платформой вращается привязанная к оси вращения небольшая тележка. Свяжем с платформой подвижную систему отсчёта с осями , как это показано на рисунке. Эта система вращается относительно лабораторной инерциальной системы K с осями X , Y , Z , а значит, является неинерциальной. Рассчитаем силу инерции, действующую на тележку в этой системе отсчета.
Тележка представляет собой твердое тело сложной формы, размерами которого в условиях данной задачи пренебречь нельзя. Поэтому сначала определим силу инерции, действующую в данной неинерциальной системе отсчета на материальную точку, а затем обобщим полученный результат для случая твёрдого тела.
Рис. 1 – Схематическое изображение экспериментальной установки: а) в лабораторной (инерциальной) системе отсчета; б) в неинерциальной системе отсчета, вращающейся относительно инерциальной.
1. Рассмотрим небольшой груз массы m , подобно тележке привязанный к оси вращения нерастяжимой невесомой нитью и вращающийся вместе с платформой. На Рис.1 этот груз схематически изображён слева от оси вращения. Сила тяжести скомпенсирована реакцией опоры, поэтому её в дальнейших рассуждениях рассматривать не будем. В K -системе груз движется по окружности с постоянной скоростью. Так как направление вектора скорости непрерывно изменяется, это движение является ускоренным. Ускорение направлено к оси вращения и называется центростремительным . Его величина:
(3)
где V – линейная скорость, ω – угловая скорость, а r – расстояние до оси вращения. Связанная с данным ускорением сила также называется центростремительной и по второму закону Ньютона:
(4)
В ситуации, изображённой на Рис. 1 а, в роли центростремительной силы выступает сила натяжения нити :
В системе отсчета (см. Рис. 1, б) груз покоится, а значит, его ускорение равно нулю. Запишем уравнение второго закона Ньютона для неинерциальных систем (2), учитывая силу инерции:
(6)
Тогда для силы инерции получим:
; 
(7)
Эта сила инерции называется центробежной силой . Перечислим её главные особенности:
· Центробежная сила – сила инерции, которую необходимо вводить в уравнение второго закона Ньютона при описании движения в неинерциальной системе отсчета, вращающейся с постоянной угловой скоростью относительно инерциальной.
· Вектор центробежной силы направлен от оси вращения.
· Величина центробежной силы задаётся уравнением
Пусть – радиус-вектор, проведенный в неинерциальной системе отсчета к материальной точке от оси вращения. Тогда выражение для центробежной силы можно записать в векторной форме:
2. Центробежная сила, действующая на тележку, равна сумме сил, действующих на составляющие её материальные точки:
(10)
Разделим и умножим на массу тележки m и вынесем за знак суммы одинаковый для всех точек квадрат угловой скорости. В результате получим:
(11)
Выражение
задает координаты центра масс тележки в плоскости XY . Таким образом, центробежная сила, действующая на тележку, определяется по формуле:
А её абсолютное значение:
где r C – расстояние от оси вращения до центра масс тележки. Экспериментальной проверке этого соотношения и посвящена данная лабораторная работа.
Описание установки
Внешний вид экспериментальной установки показан на Рис. 2. Источником вращательного движения является электромотор (1) с возможностью регулировки скорости и направления вращения. Через передаточный ремень (2) вращение передаётся платформе (3) с установленной на ней тележкой (4). Для измерения расстояния от центра масс тележки до оси вращения на платформу нанесена сантиметровая шкала (5). К тележке привязана нить (6), которая через блок (7), отверстие в верхней части платформы и подвижный карабин подсоединена к динамометру (8), непрерывно измеряющему силу натяжения нити. Измеряемый сигнал через интерфейс Cobra3 (9) подаётся на персональный компьютер.
Рис. 2 – Внешний вид установки для измерения величины центробежной силы
Как описано в теоретической части, в идеальном случае сила натяжения нити должна быть равна центробежной силе. Однако в реальной экспериментальной установке выходное отверстие нити в верхней части платформы немного смещено относительно оси вращения. Это сделано намеренно: такая конструкция установки позволяет измерять не только центробежную силу, но и угловую скорость вращения. В самом деле, смещение приводит к тому, что в процессе вращения расстояние от верхнего отверстия до динамометра периодически изменяется. Вследствие этого периодически изменяется и сила натяжения нити, причём частота этого изменения совпадает с частотой вращения платформы. Таким образом, измерив зависимость силы натяжения от времени, мы сможем точно определить как частоту, так и угловую скорость вращения. В свою очередь центробежная сила будет равна среднему по времени значению силы натяжения.
Экспериментальная часть
Упражнение 1. Изучение зависимости центробежной силы от массы.
1. Установите на платформу пустую тележку без грузов. Закрепите нить на тележке таким образом, чтобы при натянутой нити центр тяжести тележки располагался на расстоянии 20 см от оси вращения. Следите за тем, чтобы нить была надета на жёлтый шкив.
2. Включите компьютер. Для входа в операционную систему используйте логин «Student ». Запустите программу Measure двойным щелчком по ярлыку на рабочем столе.
3. Согласно алгоритму, изложенному в Приложении 1, измерьте значения периода вращения и центробежной силы и занесите их в Таблицу 1 (масса пустой тележки 50 г). Определите погрешность величины исходя из характеристик установки и методики измерения. Погрешность измерения силы принять равной .
Таблица 1
| Масса тележки с грузом m , кг | Центробежная сила F , Н | Период T , с | Угловая скорость ω , рад/с | , кг/с 2 | ∆(), кг/с 2 |
| 0,05 | … | … | … | … | … |
| 0,07 | … | … | … | … | … |
| … | … | … | … | … | … |
| 0,19 | … | … | … | … | … |
4. Постепенно нагружая тележку с шагом 20 г, повторите измерения периода вращения и центробежной силы (п.п. 6÷10).
5. Для корректного измерения зависимости центробежной силы от массы период вращения во всех измерениях должен оставаться постоянным. Однако, частота вращения в установке регулируется достаточно грубо, и поэтому период вращения в различных измерениях может немного различаться. Это необходимо учитывать. Для каждого измерения по формуле рассчитайте угловую скорость, величину и её погрешность. При этом погрешность измерения массы можно считать равной . Результаты измерений занесите в Таблицу 1.
6. Постройте график зависимости центробежной силы от величины . По согласованию с преподавателем построение графиков можно проводить как на миллиметровой бумаге, так и на компьютере с помощью программы Measure . Процедура построения графика с помощью компьютера подробно описана в Приложении 2 .
7. Согласно формуле (14) построенная зависимость должна быть линейной. Определите угловой коэффициент прямой и сравните его с расстоянием от оси вращения до центра тяжести тележки. Сделайте вывод.
Вот мальчик вращает камень на веревке. Он крутит этот камень все быстрее, пока веревка не оборвется. Тогда камень полетит куда-то в сторону. Какая же сила разорвала веревку? Ведь она удерживала камень, вес которого, конечно, не менялся. На веревку действует центробежная сила , отвечали ученые еще до . Еще задолго до Ньютона ученые выяснили, для того, чтобы тело вращалось, на него должна действовать сила. Но особенно хорошо это видно из законов Ньютона. Ньютон был первым ученым, . Он установил причину вращательного движения планет вокруг Солнца. Силой, вызывающей это движение, оказалась сила тяготения.
Центростремительная сила
Раз камень движется по окружности, значит, на него действует сила, изменяющая его движение. Ведь по инерции камень должен двигаться прямолинейно . Эту важную часть первого закона движения иногда забывают. Движение по инерции всегда прямолинейно. И камень, оборвавший веревку, также полетит по прямой линии. Сила, исправляющая путь камня, действует на него все время, пока он вращается. Эта постоянная сила называется центростремительной слой . Приложена она к камню. Но тогда, по , должна появиться сила, действующая со стороны камня на веревку и равная центростремительной. Эта сила и называется центробежной. Чем быстрее вращается камень, тем большая сила должна действовать на него со стороны веревки. Ну и, конечно, тем сильнее камень будет тянуть - рвать веревку. Наконец ее запаса прочности может не хватить, веревка разорвется, а камень полетит по инерции теперь уже прямолинейно. Так как он сохраняет свою скорость, то может улететь очень далеко.Древнее оружие человека - праща
Пожалуй, самое древнее оружие человека - праща . Камнем из этой пращи, по библейскому преданию, пастух Давид убил великана Голиафа. А действует праща точно так же, как и веревка с камнем. Только в ней предварительно раскрученный камень просто отпускается в нужное время.
На стадионах вы часто видите спортсменов - метателей диска или молота. И здесь знакомая картина. Спортсмен кружится все быстрее и быстрее, держа в руках диск, и наконец выпускает его из рук. Диск при этом летит на шестьдесят - семьдесят метров. Ясно, что при очень больших скоростях во вращающихся телах развиваются и очень большие силы. Эти силы увеличиваются по мере удаления от оси вращения.
Центрирование ротора
Если вращающееся тело хорошо центрировано - ось вращения точно совпадает с осью симметрии тела, - это еще не так страшно. Возникающие силы будут уравновешены. Но в результате плохой центровки могут быть самые неприятные последствия. В этом случае на вал вращающейся машины все время будет действовать неуравновешенная сила, способная при больших скоростях даже сломать этот вал.
Скорость вращения роторов паровых турбин достигает тридцати тысяч оборотов в минуту. Во время пробных испытаний на заводе работающую турбину выслушивают примерно так же, как врач выслушивает сердце больного человека. Если ротор плохо центрирован, это сразу станет заметно - к ровному пению быстро вращающегося ротора присоединятся тревожные стуки и шумы, предвещающие неминуемую аварию. Турбину останавливают, ротор исследуют и добиваются того, чтобы вращение его стало совершенно плавным.
