Funksiyanın qabarıqlığı. Konveks istiqaməti
Funksiyanın qabarıqlığı anlayışı
\(\left[ (a,b) \right] intervalında fasiləsiz olduğu qəbul edilən \(y = f\left(x \right),\) funksiyasını nəzərdən keçirək. \(y = f\) funksiyası. sol(x \right )\) çağırılır aşağı qabarıq (və ya sadəcə qabarıq), əgər \((x_1)\) və \((x_2)\) nöqtələrindən \(\left[ (a,b) \sağ]\) bərabərsizliyi varsa \ Bu bərabərsizlik hər hansı \(() üçün ciddidirsə. x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\) elə ki, \((x_1) \ne (x_2),\) sonra \(f\left(x \right) funksiyası \) adlandırılır ciddi şəkildə aşağı konveks
Yuxarı konveks funksiyası da eyni şəkildə müəyyən edilir. \(f\left(x \right)\) funksiyası çağırılır yuxarı qabarıq (və ya konkav), seqmentin hər hansı \((x_1)\) və \((x_2)\) nöqtələri üçün \(\left[ (a,b) \sağ]\) bərabərsizlik olarsa \ Əgər bu bərabərsizlik hər hansı \ üçün ciddidirsə. (( x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\) elə ki, \((x_1) \ne (x_2),\) sonra \(f\left(x \) funksiyası sağa) \) çağırılır ciddi şəkildə yuxarıya doğru qabarıqdır seqmentdə \(\sol[(a,b) \sağ].\)
Funksiyanın qabarıqlığının həndəsi şərhi
Qabarıq funksiyanın təqdim edilmiş tərifləri sadə həndəsi şərhə malikdir.
Funksiya üçün, aşağı qabarıq (Şəkil \(1\)), hər hansı akkordun orta nöqtəsi \(B\) \((A_1)(A_2)\) yatır daha yüksək
Eynilə, funksiya üçün, yuxarı qabarıq (Şəkil \(2\)), hər hansı akkordun orta nöqtəsi \(B\) \((A_1)(A_2)\) yatır aşağıda funksiya qrafikinin müvafiq nöqtəsi \((A_0)\) və ya bu nöqtə ilə üst-üstə düşür.
Konveks funksiyaları yerlə əlaqəli olan başqa bir vizual xüsusiyyətə malikdir tangens funksiyasının qrafikinə. \(f\left(x \sağ)\) funksiyası belədir aşağı qabarıq \(\left[ (a,b) \sağ]\) seqmentində o halda və yalnız onun qrafiki \(\sol) seqmentinin hər hansı \((x_0)\) nöqtəsində ona çəkilmiş tangensdən aşağı olmadıqda [ (a ,b) \sağ]\) (Şəkil \(3\)).
Müvafiq olaraq \(f\left(x \right)\) funksiyası belədir yuxarı qabarıq \(\left[ (a,b) \sağ]\) seqmentində o halda ki, onun qrafiki seqmentin \((x_0)\) hər hansı nöqtəsində ona çəkilmiş tangensdən yüksək olmasın. [ (a ,b) \sağ]\) (Şəkil \(4\)). Bu xassələr teorem təşkil edir və funksiyanın qabarıqlığının tərifindən istifadə etməklə isbat edilə bilər.
Qabarıqlıq üçün kifayət qədər şərait
\(f\left(x \right)\) funksiyasının birinci törəməsi \(f"\left(x \right)\) \(\left[ (a,b) \right] intervalında mövcud olsun, \) və ikinci törəmə \(f""\left(x \right)\) - intervalında \(\left((a,b) \right).\) Onda qabarıqlıq üçün aşağıdakı kifayət qədər meyarlar etibarlıdır:
Əgər \(f""\sol(x \sağ) \ge 0\) hamı üçün \(x \in \left((a,b) \sağ),\) funksiyası \(f\left(x \) sağ )\) aşağı qabarıq seqmentdə \(\sol[(a,b) \sağ];\)
Əgər \(f""\sol(x \sağ) \le 0\) hamı üçün \(x \in \left((a,b) \sağ),\) funksiyası \(f\left(x \) sağ )\) yuxarıya doğru qabarıq seqmentdə \(\sol[(a,b) \sağ].\)
Yuxarıdakı teoremi aşağıya doğru qabarıq funksiya halı üçün sübut edək. \(f\left(x \right)\) funksiyasının \(\left((a,b) \right):\) \(f""\left(x) intervalında mənfi olmayan ikinci törəməsi olsun. \right) \ge 0.\) Seqmentin orta nöqtəsini \((x_0)\) ilə işarə edək \(\left[ ((x_1),(x_2)) \right].\) Fərz edək ki, uzunluğu bu seqment \(2h.\) bərabərdir Onda \((x_1)\) və \((x_2)\) koordinatları belə yazıla bilər: \[(x_1) = (x_0) - h,\;\; (x_2) = (x_0) + h.\] Gəlin \((x_0)\) nöqtəsindəki \(f\left(x \right)\) funksiyasını Laqranj formasında qalan termini olan Teylor seriyasına genişləndirək. . Aşağıdakı ifadələri alırıq: \[ (f\left(((x_1)) \right) = f\left(((x_0) - h) \right) ) = (f\left(((x_0)) \right ) - f"\left(((x_0)) \right)h + \frac((f""\left(((\xi _1)) \sağ)(h^2)))((2)},}
\]
\[
{f\left({{x_2}} \right) = f\left({{x_0} + h} \right) }
= {f\left({{x_0}} \right) + f"\left({{x_0}} \right)h + \frac{{f""\left({{\xi _2}} \right){h^2}}}{{2!}},}
\]
где \({x_0} - h !}
Gəlin hər iki bərabərliyi əlavə edək: \[ (f\left(((x_1)) \right) + f\left(((x_2)) \right) ) = (2f\left(((x_0)) \right) + \ frac (((h^2)(2)\left[ (f""\left(((\xi _1)) \sağ) + f""\left(((\xi _2)) \sağ) ) \right].) \] \((\xi _1),(\xi _2) \in \left((a,b) \right),\) olduğundan, sağ tərəfdəki ikinci törəmələr mənfi deyildir. . Buna görə \ və ya \ yəni tərifə uyğun olaraq \(f\left(x \sağ)\) funksiyası aşağı qabarıq
.
Qeyd edək ki, funksiyanın qabarıqlığı üçün zəruri şərt (yəni, məsələn, qabarıqlıq şərtindən aşağıya doğru \(f""\left(x \right) \ge 0\) olduğu birbaşa teorem) yalnız qeyri-ciddi bərabərsizliklər üçün ödənilir. Ciddi qabarıqlıq halında, zəruri şərt, ümumiyyətlə, təmin edilmir. Məsələn, \(f\left(x \right) = (x^4)\) funksiyası ciddi şəkildə aşağıya doğru qabarıqdır. Bununla belə, \(x = 0\) nöqtəsində onun ikinci törəməsi sıfıra bərabərdir, yəni. ciddi bərabərsizlik \(f""\left(x \right) \gt 0\) bu halda keçərli deyil.
Qabarıq funksiyaların xassələri
Bütün funksiyaların \(\left[ (a,b) \right].\) intervalında müəyyən edilmiş və davamlı olduğunu fərz edərək qabarıq funksiyaların bəzi xassələrini sadalayaq.
\(f\) və \(g\) funksiyaları aşağı (yuxarı) qabarıqdırsa, onda onlardan hər hansı xətti birləşmə \(af + bg,\) burada \(a\), \(b\) müsbət həqiqi ədədlərdir, eyni zamanda aşağı (yuxarı) qabarıqdır.
Əgər \(u = g\left(x \right)\) funksiyası aşağıya doğru qabarıqdırsa və \(y = f\left(u \sağ)\) funksiyası aşağıya doğru qabarıqdırsa və azalmırsa, onda mürəkkəb funksiya \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) də aşağıya doğru qabarıq olacaq.
Əgər \(u = g\left(x \sağ)\) funksiyası yuxarıya doğru qabarıqdırsa və \(y = f\left(u \sağ)\) funksiyası aşağıya doğru qabarıqdırsa və artan deyilsə, onda mürəkkəb funksiya \(y = f\left((g\left(x \right)) \right)\) aşağıya doğru qabarıq olacaq.
Yerli maksimum \(\left[(a,b) \right],\) intervalında müəyyən edilmiş yuxarı qabarıq funksiya da onun ən yüksək dəyər bu seqmentdə.
Yerli minimum \(\left[(a,b) \right],\) intervalında müəyyən edilmiş aşağıya doğru qabarıq funksiya da onun ən aşağı dəyər bu seqmentdə.
Funksiya qrafiki y=f(x)çağırdı qabarıq interval üzrə (a; b), əgər o, bu intervalda onun hər hansı bir tangentindən aşağıda yerləşirsə.
Funksiya qrafiki y=f(x)çağırdı konkav interval üzrə (a; b), əgər o, bu intervalda onun hər hansı bir tangentindən yuxarıda yerləşirsə.
Şəkildə qabarıq olan əyri göstərilir (a; b) və konkav (b;c).
Nümunələr.
Verilmiş intervalda funksiyanın qrafikinin qabarıq və ya konkav olacağını müəyyən etməyə imkan verən kifayət qədər meyar nəzərdən keçirək.
Teorem. Qoy y=f(x)üzrə fərqləndirilə bilər (a; b). Əgər intervalın bütün nöqtələrində (a; b) funksiyanın ikinci törəməsi y = f(x) mənfi, yəni. f ""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(x) > 0 – konkav.
Sübut. Qətiyyət üçün bunu fərz edək f""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.
Qrafikdəki funksiyaları götürək y = f(x) ixtiyari nöqtə M0 absis ilə x 0 Î ( a; b) və nöqtəni çəkin M0 tangens. Onun tənliyi. Funksiyanın qrafikinin açıq olduğunu göstərməliyik (a; b) bu tangensin altında yerləşir, yəni. eyni dəyərdə xəyrinin ordinatı y = f(x) tangensin ordinatından kiçik olacaq.
Beləliklə, əyrinin tənliyi belədir y = f(x). Absissə uyğun gələn tangensin ordinatını qeyd edək x. Sonra . Nəticədə, əyrinin ordinatları ilə eyni dəyər üçün tangens arasındakı fərq x olacaq .
Fərq f(x) – f(x 0) Laqranj teoreminə görə çevirmək, burada c arasında x Və x 0.
Beləliklə,
Laqranj teoremini yenidən kvadrat mötərizədə ifadəyə tətbiq edirik: , burada c 1 arasında c 0 Və x 0. Teoremin şərtlərinə görə f ""(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.
Beləliklə, əyrinin istənilən nöqtəsi bütün dəyərlər üçün əyriyə toxunandan aşağıda yerləşir x Və x 0 Î ( a; b), bu o deməkdir ki, əyri qabarıqdır. Teoremin ikinci hissəsi də oxşar şəkildə isbat edilir.
Nümunələr.
Davamlı funksiyanın qrafikində onun qabarıq hissəsini konkav hissəsindən ayıran nöqtə deyilir əyilmə nöqtəsi.
Aydındır ki, əyilmə nöqtəsində tangens, əgər varsa, əyri ilə kəsişir, çünki bu nöqtənin bir tərəfində əyri tangensin altında, digər tərəfində isə onun üstündə yerləşir.
Əyrinin verilmiş nöqtəsinin əyilmə nöqtəsi olması üçün kifayət qədər şərtləri müəyyən edək.
Teorem. Əyri tənliklə müəyyən edilsin y = f(x). Əgər f ""(x 0) = 0 və ya f ""(x 0) qiymətdən keçərkən belə mövcud deyil x = x 0 törəmə f ""(x) işarəsini, sonra absis ilə funksiyanın qrafikindəki nöqtəni dəyişir x = x 0əyilmə nöqtəsi var.
Sübut. Qoy f ""(x) < 0 при x < x 0 Və f ""(x) > 0 at x > x 0. Sonra saat x < x 0əyri qabarıqdır və nə vaxt x > x 0- konkav. Buna görə də nöqtə A, əyri üzərində uzanan, absis ilə x 0əyilmə nöqtəsi var. İkinci hal eyni şəkildə nəzərdən keçirilə bilər, zaman f ""(x) > 0 at x < x 0 Və f ""(x) < 0 при x > x 0.
Beləliklə, əyilmə nöqtələri yalnız ikinci törəmənin yox olduğu və ya mövcud olmadığı nöqtələr arasında axtarılmalıdır.
Nümunələr. Bükülmə nöqtələrini tapın və əyrilərin qabarıqlıq və qabarıqlıq intervallarını təyin edin.
FUNKSİYA QRAFİNİN ASİMPTOTLARI
Funksiyanı öyrənərkən onun qrafikinin formasını qrafik nöqtəsindən başlanğıcdan qeyri-məhdud məsafədə qurmaq vacibdir.
Funksiya qrafikinin onun dəyişən nöqtəsi sonsuza qədər götürüldükdə qeyri-müəyyən bir düz xəttə yaxınlaşması xüsusi maraq doğurur.
Düz xətt deyilir asimptot funksiya qrafikası y = f(x), əgər dəyişən nöqtədən məsafə M nöqtəni çıxararkən qrafikləri bu xəttə M sonsuzluğa sıfıra meyl edir, yəni. funksiyanın qrafikindəki nöqtə sonsuzluğa meyl etdiyi üçün qeyri-müəyyən müddətə asimptota yaxınlaşmalıdır.
Əyri öz asimptotuna yaxınlaşa bilər, onun bir tərəfində və ya müxtəlif tərəflərində qalır, asimptotu sonsuz sayda keçərək bir tərəfdən digərinə keçə bilər.
Əgər nöqtədən məsafəni d ilə işarə etsək M asimptota əyri, onda aydın olur ki, nöqtə uzaqlaşdıqca d sıfıra meyl edir. M sonsuzluğa.
Şaquli və əyri asimptotları daha da fərqləndirəcəyik.
Şaquli ASİMPTOTLAR
Qoy x→ x 0 istənilən yan funksiyadan y = f(x) mütləq dəyərdə qeyri-məhdud artır, yəni. və ya 
. Onda asimptotanın tərifindən belə çıxır ki, düz xətt x = x 0 asimptotdur. Əksi də aydındır, əgər xətt x = x 0 asimptotdur, yəni. .
Beləliklə, funksiyanın qrafikinin şaquli asimptotu y = f(x)əgər düz xətt adlanır f(x)→ ∞ şərtlərdən ən azı birində x→ x 0– 0 və ya x → x 0 + 0, x = x 0
Buna görə də funksiyanın qrafikinin şaquli asimptotlarını tapmaq y = f(x) həmin dəyərləri tapmaq lazımdır x = x 0, bu zaman funksiya sonsuzluğa gedir (sonsuz fasiləsizliyə məruz qalır). Sonra şaquli asimptot tənliyə malikdir x = x 0.
Nümunələr.
ƏYİ ASİMPTOTLAR
Asimptot düz xətt olduğundan, əyri olarsa y = f(x)əyri asimptota malikdir, onda onun tənliyi olacaq y = kx + b. Bizim vəzifəmiz əmsalları tapmaqdır k Və b.
Teorem. Düz y = kx + b-də əyri asimptot kimi xidmət edir x→ +∞ funksiyanın qrafiki üçün y
= f(x) sonra və yalnız nə vaxt 
. Bənzər bir ifadə üçün doğrudur x → –∞.
Sübut. Qoy millət vəkili– nöqtədən məsafəyə bərabər olan seqmentin uzunluğu M asimptot etmək. Şərtlə. Asimptotun oxa meyl bucağını φ ilə işarə edək öküz. Sonradan ΔMNP bunu izləyir. φ sabit bucaq olduğundan (φ ≠ π/2), onda , lakin
Müəyyən intervalda funksiyanın qabarıqlığını (konkavliyini) təyin etmək üçün aşağıdakı teoremlərdən istifadə etmək olar.
Teorem 1. Funksiya intervalda müəyyən edilmiş və davamlı olsun və sonlu törəməsi olsun. -də funksiyanın qabarıq (konkav) olması üçün onun törəməsinin bu intervalda azalması (artırılması) zəruri və kifayətdir.
Teorem 2. Funksiya törəməsi ilə birlikdə təyin olunsun və davamlı olsun və içərisində davamlı ikinci törəmə olsun. İçindəki funksiyanın qabarıqlığı (konkavliyi) üçün içəridəki funksiya zəruri və kifayətdir
Qabarıq funksiya halı üçün 2-ci teoremi sübut edək.
Zərurət. Gəlin ixtiyari bir məqamı götürək. Taylor seriyasındakı bir nöqtə ətrafında funksiyanı genişləndirək
Apsisi olan nöqtədə əyriyə toxunan tənliyi:
Sonra əyrinin nöqtədə ona toxunan üzərindən artıqlığı bərabərdir
Beləliklə, qalıq əyrinin nöqtədə ona toxunan üzərindən artıqlığının miqdarına bərabərdir. Davamlılığa görə, əgər 
, sonra da üçün , nöqtənin kifayət qədər kiçik bir məhəlləsinə aid olan və buna görə də, açıq-aydın, -dən fərqli hər hansı bir dəyər üçün, göstərilən məhəlləyə aid.
Bu o deməkdir ki, funksiyanın qrafiki tangensdən yuxarıda yerləşir və əyri ixtiyari nöqtədə qabarıqdır.
Adekvatlıq. Əyri intervalda qabarıq olsun. Gəlin ixtiyari bir məqamı götürək.
Əvvəlki kimi, biz funksiyanı Taylor seriyasındakı bir nöqtə ətrafında genişləndiririk
İfadə ilə müəyyən edilmiş absisə malik nöqtədə əyrinin ona toxunan üzərindən artıqlığı bərabərdir.
Nöqtənin kifayət qədər kiçik qonşuluğu üçün artıqlıq müsbət olduğundan, ikinci törəmə də müsbətdir. Çalışdıqca biz bunu ixtiyari bir nöqtə üçün tapırıq .
Misal. Funksiyanı qabarıqlıq (konkavlik) üçün yoxlayın.
Onun törəməsi 
bütün say xəttində artır, bu o deməkdir ki, Teorem 1-ə əsasən, funksiya - üzərində konkavdır.
Onun ikinci törəməsi 
, buna görə də, Teorem 2-yə görə, funksiya üzərində konkavdır.
3.4.2.2 Bükülmə nöqtələri
Tərif. Bükülmə nöqtəsi Davamlı funksiyanın qrafiki, funksiyanın qabarıq və konkav olduğu intervalları ayıran nöqtədir.
Bu tərifdən belə çıxır ki, əyilmə nöqtələri birinci törəmənin ekstremum nöqtələridir. Bu, əyilmə üçün zəruri və kifayət qədər şərtlər üçün aşağıdakı ifadələri nəzərdə tutur.
Teorem (əyilmə üçün zəruri şərt). Bir nöqtənin iki dəfə diferensiallanan funksiyanın əyilmə nöqtəsi olması üçün onun bu nöqtədəki ikinci törəməsi sıfıra bərabər olmalıdır ( 
) və ya yox idi.
Teorem (əyilmə üçün kifayət qədər şərt).İki dəfə diferensiallanan funksiyanın ikinci törəməsi müəyyən nöqtədən keçərkən işarəni dəyişirsə, onda əyilmə nöqtəsi var.
Nəzərə alın ki, nöqtənin özündə ikinci törəmə mövcud olmaya bilər.
Bükülmə nöqtələrinin həndəsi təfsiri Şəkildə göstərilmişdir. 3.9
Nöqtənin qonşuluğunda funksiya qabarıqdır və onun qrafiki bu nöqtədə çəkilmiş tangensdən aşağıda yerləşir. Nöqtənin qonşuluğunda funksiya konkavdır və onun qrafiki bu nöqtədə çəkilmiş tangensdən yuxarıda yerləşir. Bükülmə nöqtəsində tangens funksiyanın qrafikini qabarıq və konkav bölgələrə bölür.
3.4.2.3 Funksiyanın qabarıqlıq və əyilmə nöqtələrinin olması üçün tədqiqi
1. İkinci törəməni tapın.
2. İkinci törəmənin olmadığı və ya olmadığı nöqtələri tapın.
düyü. 3.9.
3. Tapılmış nöqtələrin solunda və sağında ikinci törəmənin işarəsini araşdırın və qabarıqlıq və ya qabarıqlıq intervalları və əyilmə nöqtələrinin olması haqqında nəticə çıxarın.
Misal. Funksiyanı qabarıqlıq və əyilmə nöqtələrinin mövcudluğu üçün yoxlayın.
2. İkinci törəmə -də sıfıra bərabərdir.
3. İkinci törəmə işarəni dəyişir, yəni nöqtə əyilmə nöqtəsidir.
İntervalda, onda funksiya bu intervalda qabarıqdır.
İntervalda, yəni funksiya bu intervalda konkavdır.
3.4.2.4 Funksiyaların öyrənilməsi və qrafikin çəkilməsinin ümumi sxemi
Funksiyanı öyrənərkən və onun qrafikini tərtib edərkən aşağıdakı sxemdən istifadə etmək tövsiyə olunur:
- Funksiyanın tərif sahəsini tapın.
- Paritet - qəribəlik funksiyasını araşdırın. Yada salaq ki, cüt funksiyanın qrafiki ordinat oxuna görə simmetrik, tək funksiyanın qrafiki isə başlanğıca görə simmetrikdir.
- Şaquli asimptotları tapın.
- Funksiyanın sonsuzluqdakı davranışını araşdırın, üfüqi və ya əyri asimptotları tapın.
- Funksiyanın monotonluğunun ekstremal və intervallarını tapın.
- Funksiyanın qabarıqlıq intervallarını və əyilmə nöqtələrini tapın.
- Koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini tapın.
Funksiyanın tədqiqi onun qrafikinin qurulması ilə eyni vaxtda həyata keçirilir.
Misal. Funksiyanı araşdırın 
və onu tərtib edin.
1. Funksiyanın oblastı .
2. Tədqiq olunan funksiya cütdür 
, buna görə də onun qrafiki ordinata görə simmetrikdir.
3. Funksiyanın məxrəci nöqtəsində sıfıra gedir, ona görə də funksiyanın qrafikində şaquli asimptotlar və .
Nöqtələr ikinci növ kəsilmə nöqtələridir, çünki bu nöqtələrdə sol və sağdakı məhdudiyyətlər .
4. Sonsuzluqda funksiyanın davranışı.
Buna görə də funksiyanın qrafiki üfüqi asimptotaya malikdir.
5. Ekstremal və monotonluq intervalları. Birinci törəmənin tapılması
Zaman, deməli, bu intervallarda funksiya azalır.
Buna görə də, bu intervallarda funksiya artır.
, buna görə də nöqtə kritik nöqtədir.
İkinci törəmənin tapılması
olduğundan, onda nöqtə funksiyanın minimum nöqtəsidir.
6. Qabarıqlıq intervalları və əyilmə nöqtələri.
Funksiya 
, bu o deməkdir ki, funksiya bu intervalda konkavdır.
üçün funksiyası, bu o deməkdir ki, funksiya bu intervallarda qabarıqdır.
Funksiya heç bir yerdə itmir, yəni əyilmə nöqtələri yoxdur.
7. Koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələri.
Tənliyin həlli var, o, funksiyanın qrafikinin ordinat oxu ilə kəsişmə nöqtəsini bildirir (0, 1).
Tənliyin həlli yoxdur, yəni x oxu ilə kəsişmə nöqtələri yoxdur.
Aparılan tədqiqatları nəzərə alaraq funksiyanın qrafikini çəkmək olar
Funksiyanın sxematik qrafiki 
Şəkildə göstərilmişdir. 3.10.
düyü. 3.10.
3.4.2.5 Funksiya qrafikinin asimptotları
Tərif. Asimptot Funksiya qrafiki, qrafik nöqtəsi başlanğıcdan qeyri-müəyyən hərəkət etdikcə () nöqtəsindən bu düz xəttə qədər olan məsafənin 0-a meyl etmə xüsusiyyətinə malik olan düz xətt adlanır.
(a, b) intervalında diferensiallanır. Onda hər hansı bir nöqtədə funksiyanın qrafikinə bir tangens var 
bu diaqram ( 
) və tangens OY oxuna paralel deyil, çünki onun bucaq əmsalı bərabərdir 
, əlbəttə.
qətiyyət
(a, b) üzərindəki funksiyanın qrafikinə hər hansı bir tangensdən aşağıda (yuxarıda deyil) yerləşərsə, aşağıya (yuxarıya) yönəldilmiş buraxılışa malikdir. 
(
) bu intervalın bütün nöqtələrində, onda funksiyanın qrafiki olan əyri bu intervalda qabarıq (konkav) olur.
nöqtədədirsə, funksiyanın qrafikinin əyilmə nöqtəsi adlanır 
qrafikin tangensi var və nöqtənin belə qonşuluğu var 
, bunun daxilində nöqtənin solunda və sağında olan funksiyanın qrafiki müxtəlif qabarıqlıq istiqamətlərinə malikdir.
Aydındır ki, əyilmə nöqtəsində tangens funksiyanın qrafiki ilə kəsişir, çünki bu nöqtənin bir tərəfində qrafik tangensdən yuxarıda, digər tərəfində isə onun altında, yəni əyilmə nöqtəsinin yaxınlığında yerləşir. funksiyanın qrafiki həndəsi olaraq tangensin bir tərəfindən digər tərəfinə keçir və onun üzərində "əyilir". "Əkilmə nöqtəsi" adı da buradan gəlir.
davamlı ikinci törəmə. Sonra 
.
(0, 0) nöqtəsində əyilmə nöqtəsi yoxdur, baxmayaraq ki 
saat 
. Buna görə də ikinci törəmənin sıfıra bərabərliyi əyilmə üçün yalnız zəruri şərtdir. 
nöqtənin solunda və sağında müxtəlif işarələrə malikdir, onda qrafikdə nöqtədə əyilmə olur. 
nöqtənin özü istisna olmaqla, nöqtənin bəzi qonşuluğunda ikinci törəməsi var və nöqtədə funksiyanın qrafikinə bir tangens var. 
. Sonra, göstərilən qonşuluq daxilində nöqtənin solunda və sağında fərqli işarələrə malikdirsə, onda funksiyanın qrafiki nöqtədə əyilmə var. 
qabarıqlıq, konkavlik, əyilmə nöqtələri üçün. 
, 
=
nə vaxt mövcud deyil 
)
)
və ya 2-ci növ kəsilmə nöqtələrinə yaxın olduqda, tez-tez məlum olur ki, funksiyanın qrafiki istənilən verilmiş xəttə istədiyiniz qədər yaxınlaşır. Bunlara düz xətlər deyilir.
tərif 1.
Nöqtə əyri boyunca sonsuzluğa qədər uzaqlaşdıqca əyrinin nöqtəsindən bu xəttə qədər olan məsafə sıfıra meyl edərsə, L əyrisinin asimptotası adlanır. Üç növ asimptot var: şaquli, üfüqi, əyri. 
funksiyanın qrafikinin şaquli asimptotu adlanır, əgər birtərəfli hədlərdən ən azı biri bərabərdirsə. 
, yəni və ya 
şaquli asimptota malikdir 
, çünki 
, A 
.
Əgər 
.
.
(
) funksiyasının qrafikinin maili asimptotu adlanır 
Əgər 
; 
.
; x=0 – şaquli asimptot
.
- əyri asimptot. 
və onu tərtib edin. 
funksiya nə cüt, nə də tək deyil-
-
+
+
y
-4
t r.
0
Nəticə.
Nəzərə alınan metodun mühüm xüsusiyyəti ondan ibarətdir ki, o, ilk növbədə əyrinin davranışında xarakterik xüsusiyyətlərin aşkarlanması və öyrənilməsinə əsaslanır. Funksiyanın rəvan dəyişdiyi yerlər xüsusi təfərrüatlı şəkildə öyrənilmir və belə bir araşdırmaya ehtiyac yoxdur. Ancaq funksiyanın davranışında hər hansı bir xüsusiyyətə malik olduğu yerlər tam araşdırmaya və ən dəqiq qrafik təsvirə məruz qalır. Bu xüsusiyyətlər funksiyanın maksimum, minimum nöqtələri, kəsilmə nöqtələri və s.
Konkavlik və əyilmə istiqamətinin, habelə asimptotların tapılmasının müəyyən edilmiş metodunun müəyyən edilməsi funksiyaları daha da ətraflı öyrənməyə və onların qrafikləri haqqında daha dəqiq təsəvvür əldə etməyə imkan verir.
Təlimatlar
Funksiyanın əyilmə nöqtələri ilk növbədə tapılmalı olan tərifinin domeninə aid olmalıdır. Funksiya qrafiki davamlı və ya kəsikli ola bilən, monoton şəkildə azalan və ya artan, minimum və ya maksimum nöqtələri (asimptotlar), qabarıq və ya konkav ola bilən xəttdir. Son iki vəziyyətdə kəskin dəyişiklik əyilmə nöqtəsi adlanır.
Bir funksiyanın əyilməsinin mövcud olması üçün zəruri şərt ikincinin sıfıra bərabər olmasıdır. Beləliklə, funksiyanı iki dəfə diferensiallaşdırmaq və nəticədə ortaya çıxan ifadəni sıfıra bərabərləşdirməklə, mümkün əyilmə nöqtələrinin absisini tapa bilərik.
Bu şərt funksiyanın qrafikinin qabarıqlıq və qabarıqlıq xüsusiyyətlərinin müəyyən edilməsindən irəli gəlir, yəni. ikinci törəmənin mənfi və müsbət dəyərləri. Bükülmə nöqtəsində bu xassələrdə kəskin dəyişiklik baş verir ki, bu da törəmənin sıfır işarəsini keçirməsi deməkdir. Bununla belə, sıfıra bərabər olmaq fleksiyanı göstərmək üçün hələ kifayət deyil.
Əvvəlki mərhələdə tapılan absissin əyilmə nöqtəsinə aid olması üçün iki kifayət qədər şərt vardır: Bu nöqtə vasitəsilə funksiyaya toxunan xətt çəkmək olar. İkinci törəmə ehtimal edilən əyilmə nöqtəsinin sağında və solunda fərqli işarələrə malikdir. Beləliklə, onun nöqtədə mövcudluğu vacib deyil, onun işarəsini dəyişdiyini müəyyən etmək kifayətdir.Funksiyanın ikinci törəməsi sıfıra bərabərdir, üçüncüsü isə yox.
Birinci kifayət qədər şərt universaldır və digərlərindən daha tez-tez istifadə olunur. İllüstrativ nümunəyə nəzər salın: y = (3 x + 3) ∛(x - 5).
Həlli: Tərif sahəsini tapın. Bu halda heç bir məhdudiyyət yoxdur, buna görə də bu, həqiqi ədədlərin bütün məkanıdır. Birinci törəməni hesablayın: y’ = 3 ∛(x - 5) + (3 x + 3)/∛(x - 5)².
Fraksiyanın görünüşünə diqqət yetirin. Buradan belə çıxır ki, törəmənin tərif dairəsi məhduddur. X = 5 nöqtəsi deşilmişdir, bu o deməkdir ki, ondan bir tangens keçə bilər ki, bu da kifayət qədər əyilmənin ilk əlamətinə qismən uyğun gəlir.
X → 5 – 0 və x → 5 + 0 üçün yaranan ifadənin birtərəfli hədlərini təyin edin. Onlar -∞ və +∞-dir. Şaquli tangensin x=5 nöqtəsindən keçdiyini sübut etdiniz. Bu nöqtə əyilmə nöqtəsi ola bilər, lakin əvvəlcə ikinci törəməni hesablayın: Y'' = 1/∛(x - 5)² + 3/∛(x - 5)² – 2/3 (3 x + 3)/∛ (x - 5)^5 = (2 x – 22)/∛(x - 5)^5.
Məxrəci buraxın, çünki siz artıq x = 5 nöqtəsini nəzərə almısınız. 2 x – 22 = 0 tənliyini həll edin. Onun tək kökü var x = 11. Son addım x = 5 və x = 11 nöqtələrinin əyilmə nöqtələri olduğunu təsdiqləməkdir. İkinci törəmənin onların yaxınlığındakı davranışını təhlil edin. Aydındır ki, x = 5 nöqtəsində işarəni “+”dan “-”-yə, x = 11 nöqtəsində isə əksinə dəyişir. Nəticə: hər iki nöqtə əyilmə nöqtələridir. Birinci kifayət qədər şərt yerinə yetirilir.
