Kompleks törəmələr. Loqarifmik törəmə

Siz bura gəldiyiniz üçün yəqin ki, artıq dərslikdə bu düsturu görmüsünüz

və belə bir üz düzəldin:

Dostum, narahat olma! Əslində, hər şey sadəcə hədsizdir. Siz mütləq hər şeyi başa düşəcəksiniz. Yalnız bir xahiş - məqaləni oxuyun yavaş-yavaş, hər addımı anlamağa çalışın. Mümkün qədər sadə və aydın yazdım, amma yenə də fikri başa düşmək lazımdır. Və məqalədəki vəzifələri həll etməyinizə əmin olun.

Mürəkkəb funksiya nədir?

Təsəvvür edin ki, siz başqa mənzilə köçürsünüz və buna görə də əşyaları böyük qutulara yığırsınız. Tutaq ki, bəzi kiçik əşyalar, məsələn, məktəb yazı materialları toplamaq lazımdır. Onları nəhəng bir qutuya atsanız, başqa şeylər arasında itəcəklər. Bunun qarşısını almaq üçün əvvəlcə onları, məsələn, bir çantaya qoyursunuz, sonra böyük bir qutuya qoyursunuz, sonra onu möhürləyirsiniz. Bu "mürəkkəb" proses aşağıdakı diaqramda təqdim olunur:

Deyəsən, riyaziyyatın bununla nə əlaqəsi var? Bəli, kompleks funksiyanın TAM EYNİ şəkildə əmələ gəlməsinə baxmayaraq! Yalnız biz dəftər və qələmləri deyil, \(x\) “paketləyirik”, halbuki “paketlər” və “qutular” fərqlidir.

Məsələn, x götürək və onu bir funksiyaya “paketlə”:

Nəticədə, əlbəttə ki, \(\cos⁡x\) alırıq. Bu, bizim "əşya çantamız"dır. İndi onu "qutuya" qoyaq - məsələn, kub funksiyasına yığın.

Axırda nə olacaq? Bəli, düzdür, “qutuda əşyalar çantası”, yəni “X kubunun kosinusu” olacaq.

Nəticədə dizayn mürəkkəb bir funksiyadır. Sadədən bununla fərqlənir Bir X-ə bir neçə “təsir” (paketlər) tətbiq olunur və belə çıxır ki, "funksiyadan funksiya" - "qablaşdırma içərisində qablaşdırma".

Məktəb kursunda bu "paketlərin" çox az növü var, yalnız dördü:

İndi X-i əvvəlcə 7 bazası olan eksponensial funksiyaya, sonra isə triqonometrik funksiyaya “paketləyək”. Biz əldə edirik:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

İndi gəlin x-i iki dəfə triqonometrik funksiyalara “paket” edək, əvvəlcə daxil, sonra isə:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Sadə, elə deyilmi?

İndi funksiyaları özünüz yazın, burada x:
- əvvəlcə o, kosinusda, sonra isə \(3\) bazası olan eksponensial funksiyaya “toplanır”;
- əvvəlcə beşinci gücə, sonra isə tangensə;
- əvvəlcə əsas üçün loqarifmə \(4\) , sonra gücə \(-2\).

Məqalənin sonunda bu tapşırığın cavablarını tapın.

X-i iki yox, üç dəfə “paketə” edə bilərikmi? Problem deyil! Və dörd, beş və iyirmi beş dəfə. Burada, məsələn, x-in \(4\) dəfə “qablaşdırıldığı” funksiyadır:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Amma məktəb praktikasında belə düsturlara rast gəlinməyəcək (şagirdlər daha şanslıdır - onlarınki daha mürəkkəb ola bilər☺).

Mürəkkəb bir funksiyanı "açmaq"

Əvvəlki funksiyaya yenidən baxın. "Qablaşdırma" ardıcıllığını anlaya bilərsinizmi? Əvvəlcə nə X dolduruldu, sonra nə və s. sona qədər. Yəni hansı funksiya hansının içində yerləşib? Bir kağız parçası götürün və düşündüyünüzü yazın. Bunu yuxarıda yazdığımız kimi oxları olan bir zəncirlə və ya başqa bir şəkildə edə bilərsiniz.

İndi düzgün cavab belədir: əvvəlcə x \(4\)-cü qüvvəyə “qablaşdırıldı”, sonra nəticə sinusa yığıldı, o da öz növbəsində \(2\) bazasına loqarifmə yerləşdirildi. , və sonunda bütün bu tikinti bir güc beşlərinə dolduruldu.

Yəni, ardıcıllığı TERS SİPARİŞlə açmaq lazımdır. Bunu daha asan etmək üçün bir ipucu var: dərhal X-ə baxın - ondan rəqs etməlisiniz. Gəlin bir neçə nümunəyə baxaq.

Məsələn, burada aşağıdakı funksiya var: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). X-ə baxırıq - əvvəlcə onunla nə olur? Ondan alınıb. Daha sonra? Nəticənin tangensi alınır. Ardıcıllıq eyni olacaq:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Başqa bir misal: \(y=\cos⁡((x^3))\). Təhlil edək - əvvəlcə X-i kub etdik, sonra isə nəticənin kosinusunu götürdük. Bu o deməkdir ki, ardıcıllıq belə olacaq: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Diqqət yetirin, funksiya ilkin funksiyaya bənzəyir (şəkillərin olduğu yerdə). Amma bu, tamamilə fərqli funksiyadır: burada kubda x (yəni \(\cos⁡((x·x·x)))\), kubda isə kosinus \(x\) var. yəni \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Bu fərq müxtəlif "qablaşdırma" ardıcıllığından yaranır.

Sonuncu misal (içində mühüm məlumatla): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Aydındır ki, burada əvvəlcə x ilə hesab əməliyyatları aparıblar, sonra nəticənin sinusunu götürüblər: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Bu da vacib bir məqamdır: arifmetik əməliyyatların özlüyündə funksiya olmamasına baxmayaraq, burada onlar həm də “qablaşdırma” üsulu kimi çıxış edirlər. Gəlin bu incəliyi bir az daha dərindən araşdıraq.

Yuxarıda dediyim kimi, sadə funksiyalarda x bir dəfə, mürəkkəb funksiyalarda isə iki və ya daha çox “qablaşdırılır”. Üstəlik, sadə funksiyaların hər hansı birləşməsi (yəni onların cəmi, fərqi, vurma və ya bölməsi) həm də sadə funksiyadır. Məsələn, \(x^7\) sadə funksiyadır və \(ctg x\). Bu o deməkdir ki, onların bütün birləşmələri sadə funksiyalardır:

\(x^7+ ctg x\) - sadə,
\(x^7· çarpayı x\) – sadə,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – sadə və s.

Bununla belə, belə birləşməyə daha bir funksiya tətbiq edilərsə, o, mürəkkəb funksiyaya çevriləcək, çünki iki “paket” olacaqdır. Diaqrama baxın:

Yaxşı, indi davam et. "Qapama" funksiyalarının ardıcıllığını yazın:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Cavablar yenə məqalənin sonundadır.

Daxili və xarici funksiyalar

Funksiya yuvasını niyə başa düşməliyik? Bu bizə nə verir? Fakt budur ki, belə bir təhlil olmadan yuxarıda müzakirə olunan funksiyaların törəmələrini etibarlı şəkildə tapa bilməyəcəyik.

Və davam etmək üçün bizə daha iki anlayış lazım olacaq: daxili və xarici funksiyalar. Bu, çox sadə bir şeydir, üstəlik, əslində, biz onları yuxarıda təhlil etdik: bənzətməmizi əvvəldən xatırlasaq, daxili funksiya "paket", xarici funksiya isə "qutu"dur. Bunlar. X-in əvvəlcə “büküldüyü” daxili funksiyadır və daxili funksiyanın “büküldüyü” artıq xaricidir. Yaxşı, niyə aydındır - o kənardadır, bu xarici deməkdir.

Bu misalda: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), \(\log_2⁡x\) funksiyası daxilidir və
- xarici.

Və burada: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) daxilidir və
- xarici.

Mürəkkəb funksiyaları təhlil etmək üçün son təcrübəni tamamlayın və nəhayət hamımızın başladığı şeyə keçək - mürəkkəb funksiyaların törəmələrini tapacağıq:

Cədvəldəki boş yerləri doldurun:

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi

Bravo, biz nəhayət bu mövzunun “bosuna” çatdıq - əslində mürəkkəb funksiyanın törəməsi və konkret olaraq məqalənin əvvəlindən o çox dəhşətli düstura.☺

\((f(g(x))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Bu formula belə oxunur:

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi xarici funksiyanın sabit daxili funksiyaya görə törəməsi ilə daxili funksiyanın törəməsinin hasilinə bərabərdir.

Nə olduğunu başa düşmək üçün dərhal "sözdən söz" təhlil diaqramına baxın:

Ümid edirəm ki, “törəmə” və “məhsul” terminləri heç bir çətinlik yaratmayacaq. "Mürəkkəb funksiya" - biz onu artıq sıralamışıq. Tutma “sabit daxili funksiyaya münasibətdə xarici funksiyanın törəməsidir”. Bu nədir?

Cavab: Bu, xarici funksiyanın adi törəməsidir, burada yalnız xarici funksiya dəyişir, daxili funksiya isə dəyişməz qalır. Hələ aydın deyil? Yaxşı, bir misal istifadə edək.

\(y=\sin⁡(x^3)\) funksiyası olsun. Aydındır ki, burada daxili funksiya \(x^3\), xarici funksiyadır
. İndi daimi interyerə görə eksteryerin törəməsini tapaq.

Törəmə tapma əməliyyatına diferensiasiya deyilir.

Artımın arqumentin artımına nisbətinin həddi kimi törəməni təyin etməklə ən sadə (və çox sadə olmayan) funksiyaların törəmələrinin tapılması problemlərinin həlli nəticəsində törəmələr cədvəli və dəqiq müəyyən edilmiş diferensiallaşdırma qaydaları meydana çıxdı. . Törəmələrin tapılması sahəsində ilk iş görənlər İsaak Nyuton (1643-1727) və Qotfrid Vilhelm Leybnizdir (1646-1716).

Odur ki, bizim dövrümüzdə hər hansı funksiyanın törəməsini tapmaq üçün funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin yuxarıda qeyd olunan həddini hesablamağa ehtiyac yoxdur, sadəcə olaraq, cədvəldən istifadə etmək kifayətdir. törəmələr və diferensiallaşma qaydaları. Törəmə tapmaq üçün aşağıdakı alqoritm uyğundur.

Törəmə tapmaq üçün, əsas işarənin altında bir ifadə lazımdır sadə funksiyaları komponentlərə ayırın və hansı hərəkətləri müəyyənləşdirin (məhsul, cəmi, əmsal) bu funksiyalar əlaqəlidir. Sonra, elementar funksiyaların törəmələrini törəmələr cədvəlində, hasil, cəmi və hissənin törəmələri üçün düsturları isə diferensiasiya qaydalarında tapırıq. Törəmə cədvəli və fərqləndirmə qaydaları ilk iki nümunədən sonra verilmişdir.

Misal 1. Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Diferensiasiya qaydalarından məlum olur ki, funksiyaların cəminin törəməsi funksiyaların törəmələrinin cəmidir, yəni.

Törəmələr cədvəlindən məlum olur ki, "x"-in törəməsi birə, sinusun törəməsi isə kosinusa bərabərdir. Bu dəyərləri törəmələrin cəmində əvəz edirik və problemin şərti ilə tələb olunan törəməni tapırıq:

Misal 2. Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. İkinci terminin sabit əmsalı olduğu cəminin törəməsi kimi fərqləndiririk; onu törəmənin işarəsindən çıxarmaq olar:

Əgər hələ də bir şeyin haradan gəldiyi ilə bağlı suallar yaranarsa, onlar adətən törəmələr cədvəli və ən sadə fərqləndirmə qaydaları ilə tanış olduqdan sonra aydınlaşdırılır. Biz hazırda onlara gedirik.

Sadə funksiyaların törəmələri cədvəli

1. Sabitin (ədədin) törəməsi. Funksiya ifadəsində olan istənilən ədəd (1, 2, 5, 200...). Həmişə sıfıra bərabərdir. Bunu xatırlamaq çox vacibdir, çünki çox vaxt tələb olunur
2. Müstəqil dəyişənin törəməsi. Çox vaxt "X". Həmişə birə bərabərdir. Bunu uzun müddət xatırlamaq da vacibdir
3. Dərəcənin törəməsi. Problemləri həll edərkən kvadrat olmayan kökləri güclərə çevirmək lazımdır.
4. Dəyişənin -1 gücünə törəməsi
5. Kvadrat kökün törəməsi
6. Sinusun törəməsi
7. Kosinusun törəməsi
8. Tangensin törəməsi
9. Kotangensin törəməsi
10. Arksinusun törəməsi
11. Arkkosinin törəməsi
12. Arktangensin törəməsi
13. Qövs kotangentinin törəməsi
14. Natural loqarifmin törəməsi
15. Loqarifmik funksiyanın törəməsi
16. Göstəricinin törəməsi
17. Eksponensial funksiyanın törəməsi

Fərqləndirmə qaydaları

1. Cəmin və ya fərqin törəməsi
2. Məhsulun törəməsi
2a. Sabit əmsala vurulan ifadənin törəməsi
3. Bölmənin törəməsi
4. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi

Qayda 1.Əgər funksiyaları

müəyyən nöqtədə diferensiallanır, sonra funksiyalar eyni nöqtədə diferensiallanır

və

olanlar. funksiyaların cəbri cəminin törəməsi bu funksiyaların törəmələrinin cəbri cəminə bərabərdir.

Nəticə. İki diferensiallanan funksiya sabit bir həddi ilə fərqlənirsə, onların törəmələri bərabərdir, yəni.

Qayda 2.Əgər funksiyaları

müəyyən nöqtədə diferensiallana bilirlər, sonra onların məhsulu eyni nöqtədə diferensiallana bilir

və

olanlar. İki funksiyanın hasilinin törəməsi bu funksiyaların hər birinin hasilinin və digərinin törəməsinin cəminə bərabərdir.

Nəticə 1. Daimi amili törəmənin işarəsindən çıxarmaq olar:

Nəticə 2. Bir neçə diferensiallanan funksiyanın hasilinin törəməsi hər bir amilin və bütün digərlərinin törəməsinin hasillərinin cəminə bərabərdir.

Məsələn, üç çarpan üçün:

Qayda 3.Əgər funksiyaları

müəyyən nöqtədə fərqlənə bilər Və , onda bu nöqtədə onların nisbəti də diferensiallaşıru/v , və

olanlar. iki funksiyanın bölgüsünün törəməsi kəsrə bərabərdir, onun payı məxrəcin hasilləri ilə payın törəməsi və payın və məxrəcin törəməsi arasındakı fərqdir, məxrəc isə - kvadratıdır. keçmiş say.

Başqa səhifələrdə şeyləri harada axtarmaq lazımdır

Həqiqi məsələlərdə məhsulun törəməsini və nisbətini taparkən həmişə eyni vaxtda bir neçə fərqləndirmə qaydasını tətbiq etmək lazımdır, ona görə də məqalədə bu törəmələrə dair daha çox nümunə var."Funksiyaların hasilinin və əmsalının törəməsi".

Şərh. Sabiti (yəni rəqəmi) cəmdəki terminlə sabit faktor kimi qarışdırmamalısınız! Termin halında onun törəməsi sıfıra bərabərdir, sabit əmsalda isə törəmələrin işarəsindən çıxarılır. Bu, törəmələrin öyrənilməsinin ilkin mərhələsində baş verən tipik bir səhvdir, lakin orta tələbə bir və iki hissədən ibarət bir neçə nümunəni həll etdikcə, o, artıq bu səhvə yol vermir.

Bir məhsulu və ya əmsalı fərqləndirərkən bir termininiz varsa u"v, hansında u- bir ədəd, məsələn, 2 və ya 5, yəni sabit, onda bu ədədin törəməsi sıfıra bərabər olacaq və buna görə də bütün müddət sıfıra bərabər olacaqdır (bu hal 10-cu misalda müzakirə olunur).

Başqa bir ümumi səhv mürəkkəb funksiyanın törəməsinin sadə funksiyanın törəməsi kimi mexaniki yolla həll edilməsidir. Buna görə də mürəkkəb funksiyanın törəməsi ayrıca məqalə həsr olunub. Ancaq əvvəlcə sadə funksiyaların törəmələrini tapmağı öyrənəcəyik.

Yolda, ifadələri dəyişdirmədən edə bilməzsiniz. Bunu etmək üçün təlimatı yeni pəncərələrdə açmalı ola bilərsiniz. Gücləri və kökləri olan hərəkətlər Və Kəsrlərlə əməliyyatlar .

Güclü və köklü kəsrlərin törəmələrinin həlli yollarını axtarırsınızsa, yəni funksiya belə göründüyü zaman , sonra “Kəsrlərin cəmlərinin hədləri və kökləri olan törəməsi” dərsini izləyin.

kimi bir vəzifəniz varsa , sonra “Sadə triqonometrik funksiyaların törəmələri” dərsini keçəcəksiniz.

Addım-addım nümunələr - törəməni necə tapmaq olar

Misal 3. Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Funksiya ifadəsinin hissələrini müəyyənləşdiririk: bütün ifadə məhsulu təmsil edir və onun amilləri cəmidir, ikincisində isə şərtlərdən biri sabit amildən ibarətdir. Məhsulun fərqləndirmə qaydasını tətbiq edirik: iki funksiyanın hasilinin törəməsi bu funksiyaların hər birinin digərinin törəməsi ilə hasillərinin cəminə bərabərdir:

Sonra cəminin diferensiallaşdırılması qaydasını tətbiq edirik: funksiyaların cəbri cəminin törəməsi bu funksiyaların törəmələrinin cəbri cəminə bərabərdir. Bizim vəziyyətimizdə hər cəmdə ikinci hədd mənfi işarəyə malikdir. Hər bir cəmdə həm törəməsi birə bərabər olan müstəqil dəyişən, həm də törəməsi sıfıra bərabər olan sabit (ədəd) görürük. Beləliklə, “X” birinə, mənfi 5 isə sıfıra çevrilir. İkinci ifadədə "x" 2-yə vurulur, ona görə də ikisini "x"-in törəməsi ilə eyni vahidə vururuq. Aşağıdakı törəmə dəyərləri əldə edirik:

Tapılmış törəmələri hasillərin cəmində əvəz edirik və problemin şərti ilə tələb olunan bütün funksiyanın törəməsini alırıq:

Törəmə probleminin həllini burada yoxlaya bilərsiniz.

Misal 4. Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Bizdən hissənin törəməsini tapmaq tələb olunur. Hissənin diferensiallaşdırılması düsturunu tətbiq edirik: iki funksiyanın bölünməsinin törəməsi kəsrə bərabərdir, onun payı məxrəcin hasilləri ilə payın və payın törəməsi və törəməsi arasındakı fərqdir. məxrəc, məxrəc isə əvvəlki payın kvadratıdır. Biz əldə edirik:

Artıq 2-ci misalda payda olan amillərin törəməsini tapmışıq. Onu da unutmayaq ki, indiki misaldakı payda ikinci amil olan hasil mənfi işarə ilə alınır:

Əgər siz köklərin və güclərin davamlı yığınının olduğu funksiyanın törəməsini tapmağınız lazım olan problemlərin həlli yollarını axtarırsınızsa, məsələn, , sonra sinifə xoş gəldiniz "Kəsrlərin gücü və kökləri olan cəminin törəməsi" .

Əgər sinusların, kosinusların, tangenslərin və digər triqonometrik funksiyaların törəmələri haqqında daha çox öyrənmək lazımdırsa, yəni funksiya nə zaman görünür , onda sizin üçün bir dərs "Sadə triqonometrik funksiyaların törəmələri" .

Misal 5. Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Bu funksiyada faktorlarından biri müstəqil dəyişənin kvadrat kökü olan hasil görürük, törəməsi ilə törəmələr cədvəlində tanış olduq. Məhsulu və kvadrat kökün törəməsinin cədvəl dəyərini fərqləndirmək qaydasından istifadə edərək əldə edirik:

Törəmə probleminin həllini burada yoxlaya bilərsiniz onlayn törəmələrin kalkulyatoru .

Misal 6. Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Bu funksiyada dividend müstəqil dəyişənin kvadrat kökü olan bir hissəni görürük. 4-cü misalda təkrar etdiyimiz və tətbiq etdiyimiz əmsalların diferensiallaşdırılması qaydasından və kvadrat kökün törəməsinin cədvəl dəyərindən istifadə edərək əldə edirik:

Hissədə kəsrdən xilas olmaq üçün payı və məxrəci ilə vurun.

Bu dərsdə necə tapmağı öyrənəcəyik mürəkkəb funksiyanın törəməsi. Dərs dərsin məntiqi davamıdır Törəməni necə tapmaq olar?, burada ən sadə törəmələri araşdırdıq, həmçinin diferensiallaşdırma qaydaları və törəmələrin tapılması üçün bəzi texniki üsullarla tanış olduq. Beləliklə, əgər siz funksiyaların törəmələri ilə çox yaxşı deyilsinizsə və ya bu məqalədəki bəzi məqamlar tam aydın deyilsə, əvvəlcə yuxarıdakı dərsi oxuyun. Xahiş edirəm ciddi əhval-ruhiyyədə olun - material sadə deyil, amma yenə də onu sadə və aydın şəkildə təqdim etməyə çalışacağam.

Təcrübədə mürəkkəb funksiyanın törəməsi ilə çox tez-tez məşğul olmalısan, hətta deyərdim ki, demək olar ki, həmişə, sənə törəmələri tapmaq üçün tapşırıqlar veriləndə.

Mürəkkəb funksiyanı diferensiallaşdırmaq üçün qaydada (№ 5) cədvələ baxırıq:

Gəlin bunu anlayaq. İlk öncə girişə diqqət yetirək. Burada iki funksiyamız var - və , və funksiya, obrazlı desək, funksiya daxilində yuvalanıb. Bu tip funksiyaya (bir funksiya digərinin içində yerləşdikdə) mürəkkəb funksiya adlanır.

Funksiyanı çağıracağam xarici funksiya, və funksiyası – daxili (və ya iç-içə) funksiya.

! Bu təriflər nəzəri deyil və tapşırıqların yekun tərtibatında əks olunmamalıdır. Mən qeyri-rəsmi ifadələrdən “xarici funksiya”, “daxili” funksiyanı yalnız sizin materialı başa düşməyinizi asanlaşdırmaq üçün istifadə edirəm.

Vəziyyəti aydınlaşdırmaq üçün düşünün:

Misal 1

Funksiyanın törəməsini tapın

Sinusun altında yalnız "X" hərfi deyil, bütöv bir ifadə var, buna görə də dərhal cədvəldən törəməni tapmaq işləməyəcək. Onu da görürük ki, burada ilk dörd qaydanı tətbiq etmək qeyri-mümkündür, görünür, fərq var, amma fakt budur ki, sinus “parçalara” bölünə bilməz:

Bu misalda artıq mənim izahlarımdan intuitiv olaraq aydın olur ki, funksiya mürəkkəb funksiyadır, çoxhədli isə daxili funksiya (yerləşdirmə) və xarici funksiyadır.

İlk addım Mürəkkəb bir funksiyanın törəməsini taparkən etməli olduğunuz şey hansı funksiyanın daxili, hansının xarici olduğunu anlayın.

Sadə nümunələrdə polinomun sinusun altında yerləşdiyi aydın görünür. Bəs hər şey aydın deyilsə? Hansı funksiyanın xarici, hansının daxili olduğunu necə dəqiq müəyyən etmək olar? Bunu etmək üçün zehni olaraq və ya qaralama şəklində edilə bilən aşağıdakı texnikadan istifadə etməyi təklif edirəm.

Təsəvvür edək ki, ifadənin dəyərini kalkulyatorda hesablamalıyıq (birin əvəzinə istənilən rəqəm ola bilər).

Əvvəlcə nə hesablayacağıq? Hər şeydən əvvəl aşağıdakı hərəkəti yerinə yetirməli olacaqsınız: , buna görə də polinom daxili funksiya olacaq:

İkincisi tapmaq lazımdır, buna görə də sinus – xarici funksiya olacaq:

Bizdən sonra SATILDI Daxili və xarici funksiyalarla mürəkkəb funksiyaların diferensiallaşdırılması qaydasını tətbiq etməyin vaxtıdır.

Qərar verməyə başlayaq. Sinifdən Törəməni necə tapmaq olar? hər hansı bir törəmənin həllinin dizaynının həmişə belə başladığını xatırlayırıq - ifadəni mötərizəyə daxil edirik və yuxarı sağda bir vuruş qoyuruq:

Əvvəlcə xarici funksiyanın (sinus) törəməsini tapırıq, elementar funksiyaların törəmələri cədvəlinə baxırıq və qeyd edirik ki, . Bütün cədvəl düsturları “x” mürəkkəb ifadə ilə əvəz edildikdə də tətbiq edilir, bu halda:

Nəzərə alın ki, daxili funksiya dəyişməyib, biz ona toxunmuruq.

Yaxşı, bu, tamamilə aydındır

Düsturun tətbiqinin son nəticəsi belə görünür:

Sabit amil adətən ifadənin əvvəlində yerləşdirilir:

Hər hansı bir anlaşılmazlıq olarsa, həll yolunu kağıza yazın və izahatları yenidən oxuyun.

Misal 2

Funksiyanın törəməsini tapın

Misal 3

Funksiyanın törəməsini tapın

Həmişə olduğu kimi yazırıq:

Gəlin harada xarici funksiyaya malik olduğumuzu və harada daxili funksiyaya malik olduğumuzu anlayaq. Bunun üçün biz (zehni və ya qaralamada) ifadənin dəyərini hesablamağa çalışırıq. Əvvəlcə nə etməlisən? Əvvəlcə bazanın nəyə bərabər olduğunu hesablamalısınız: buna görə də polinom daxili funksiyadır:

Və yalnız bundan sonra eksponentasiya yerinə yetirilir, buna görə də güc funksiyası xarici funksiyadır:

Formula görə əvvəlcə xarici funksiyanın törəməsini, bu halda dərəcəsini tapmaq lazımdır. Tələb olunan düsturu cədvəldə axtarırıq: . Bir daha təkrar edirik: hər hansı bir cədvəl düsturu təkcə “X” üçün deyil, həm də mürəkkəb ifadə üçün etibarlıdır. Beləliklə, mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırılması qaydasının tətbiqinin nəticəsi aşağıdakı kimidir:

Bir daha vurğulayıram ki, xarici funksiyanın törəməsini götürəndə daxili funksiyamız dəyişmir:

İndi qalan şey daxili funksiyanın çox sadə törəməsini tapmaq və nəticəni bir az tənzimləməkdir:

Misal 4

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir (cavab dərsin sonunda).

Mürəkkəb bir funksiyanın törəməsi haqqında anlayışınızı möhkəmləndirmək üçün şərhsiz bir nümunə verəcəyəm, bunu özünüz anlamağa çalışacağam, xarici və daxili funksiyanın harada olduğunu, niyə vəzifələrin bu şəkildə həll edildiyini izah edin?

Misal 5

a) funksiyanın törəməsini tapın

b) funksiyanın törəməsini tapın

Misal 6

Funksiyanın törəməsini tapın

Burada bir kökümüz var və kökü fərqləndirmək üçün o, güc kimi təmsil olunmalıdır. Beləliklə, əvvəlcə funksiyanı diferensiasiya üçün uyğun formaya gətiririk:

Funksiyanı təhlil edərək belə nəticəyə gəlirik ki, üç şərtin cəmi daxili funksiya, gücə yüksəltmək isə xarici funksiyadır. Mürəkkəb funksiyaların diferensiallaşdırılması qaydasını tətbiq edirik:

Biz dərəcəni yenidən radikal (kök) kimi təqdim edirik və daxili funksiyanın törəməsi üçün cəmini fərqləndirmək üçün sadə bir qayda tətbiq edirik:

Hazır. Siz həmçinin ifadəni mötərizədə ortaq məxrəcə endirə və hər şeyi bir kəsr kimi yaza bilərsiniz. Bu, əlbəttə ki, gözəldir, amma çətin uzun törəmələr əldə etdikdə bunu etməmək daha yaxşıdır (çaşmaq, lazımsız səhv etmək asandır və müəllimin yoxlaması əlverişsiz olacaq).

Misal 7

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir (cavab dərsin sonunda).

Maraqlıdır ki, bəzən mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırılması qaydası əvəzinə, əmsalın fərqləndirilməsi qaydasından istifadə edə bilərsiniz. , lakin belə bir həll gülməli bir pozğunluq kimi görünəcək. Budur tipik bir nümunə:

Misal 8

Funksiyanın törəməsini tapın

Burada əmsalın diferensiallaşdırılması qaydasından istifadə edə bilərsiniz , lakin törəməni mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırma qaydası ilə tapmaq daha sərfəlidir:

Funksiyanı diferensiasiya üçün hazırlayırıq - mənfini törəmə işarəsindən çıxarırıq və kosinusu paylayıcıya qaldırırıq:

Kosinus daxili funksiyadır, eksponentasiya xarici funksiyadır.
Qaydamızdan istifadə edək:

Daxili funksiyanın törəməsini tapırıq və kosinusu yenidən aşağı salırıq:

Hazır. Baxılan nümunədə işarələrdə çaşqınlığa düşməmək vacibdir. Yeri gəlmişkən, qaydadan istifadə edərək həll etməyə çalışın , cavablar uyğun olmalıdır.

Misal 9

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir (cavab dərsin sonunda).

İndiyə qədər kompleks funksiyada yalnız bir yuva qurduğumuz hallara baxdıq. Praktik tapşırıqlarda siz tez-tez törəmələrə rast gələ bilərsiniz, burada yuva quran kuklalar kimi, biri digərinin içərisində, 3 və ya hətta 4-5 funksiya eyni anda yerləşmişdir.

Misal 10

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu funksiyanın əlavələrini anlayaq. Eksperimental qiymətdən istifadə edərək ifadəni hesablamağa çalışaq. Bir kalkulyatora necə güvənə bilərik?

Əvvəlcə tapmaq lazımdır, yəni arcsine ən dərin yerləşdirmədir:

Birin bu arksinüsünün kvadratı alınmalıdır:

Və nəhayət, yeddini bir gücə qaldırırıq:

Yəni, bu nümunədə üç fərqli funksiya və iki yerləşdirməmiz var, ən daxili funksiya arksinus, ən xarici funksiya isə eksponensial funksiyadır.

Qərar verməyə başlayaq

Qaydaya görə, əvvəlcə xarici funksiyanın törəməsini götürməlisiniz. Törəmələr cədvəlinə baxırıq və eksponensial funksiyanın törəməsini tapırıq: Yeganə fərq ondadır ki, “x” əvəzinə kompleks ifadəmiz var və bu düsturun etibarlılığını inkar etmir. Beləliklə, mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırılması qaydasının tətbiqinin nəticəsi aşağıdakı kimidir:

Zərbə altında yenidən mürəkkəb bir funksiyamız var! Amma artıq daha sadədir. Daxili funksiyanın arksinüs, xarici funksiyanın dərəcə olduğunu yoxlamaq asandır. Mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırılması qaydasına görə, ilk növbədə gücün törəməsini götürmək lazımdır.

Əgər g(x) Və f(u) – onların arqumentlərinin müvafiq olaraq nöqtələrdə diferensiallana bilən funksiyaları x Və u= g(x), onda kompleks funksiya da nöqtədə diferensiallaşır x və düsturla tapılır

Törəmə məsələlərin həllində tipik səhv sadə funksiyaların mürəkkəb funksiyalara diferensiallaşdırılması qaydalarının mexaniki şəkildə ötürülməsidir. Gəlin bu səhvdən qaçmağı öyrənək.

Misal 2. Funksiyanın törəməsini tapın

Səhv həll: mötərizədə hər bir terminin natural loqarifmini hesablayın və törəmələrin cəmini axtarın:

Düzgün həll: yenə də “alma”nın, “qiymənin” harada olduğunu müəyyənləşdiririk. Burada mötərizədə ifadənin natural loqarifmi “alma”, yəni ara arqument üzərində funksiyadır. u, və mötərizədə ifadə "qiymə ət", yəni ara arqumentdir u müstəqil dəyişən tərəfindən x.

Sonra (törəmələr cədvəlindən 14-cü düsturdan istifadə etməklə)

Bir çox real həyat problemində loqarifmlə ifadə bir qədər daha mürəkkəb ola bilər, buna görə də bir dərs var.

Misal 3. Funksiyanın törəməsini tapın

Səhv həll:

Düzgün həll. Bir daha "alma"nın harada olduğunu və "qiymə"nin harada olduğunu müəyyənləşdiririk. Burada mötərizədəki ifadənin kosinusu (törəmələr cədvəlində düstur 7) “alma”dır, o, yalnız ona təsir edən 1-ci rejimdə hazırlanır və mötərizədə olan ifadə (dərəcənin törəməsi 3 nömrədir) törəmələr cədvəlində) "qiymə ət"dir, yalnız ona təsir edən 2-ci rejimdə hazırlanır. Həmişə olduğu kimi, iki törəməni məhsul işarəsi ilə əlaqələndiririk. Nəticə:

Mürəkkəb loqarifmik funksiyanın törəməsi testlərdə tez-tez rast gəlinən tapşırıqdır, ona görə də sizə “Loqarifmik funksiyanın törəməsi” dərsində iştirak etməyi tövsiyə edirik.

İlk nümunələr müstəqil dəyişən üzrə ara arqumentin sadə funksiya olduğu mürəkkəb funksiyalar üzərində idi. Lakin praktiki tapşırıqlarda çox vaxt mürəkkəb funksiyanın törəməsini tapmaq lazımdır, burada aralıq arqument ya özü mürəkkəb funksiyadır, ya da belə funksiyanı ehtiva edir. Belə hallarda nə etməli? Cədvəllərdən və diferensiasiya qaydalarından istifadə edərək belə funksiyaların törəmələrini tapın. Aralıq arqumentin törəməsi tapıldıqda, o, sadəcə olaraq düsturda düzgün yerə əvəz olunur. Aşağıda bunun necə edildiyinə dair iki nümunə verilmişdir.

Bundan əlavə, aşağıdakıları bilmək faydalıdır. Mürəkkəb bir funksiyanı üç funksiya zənciri kimi təqdim etmək olarsa

onda onun törəməsi bu funksiyaların hər birinin törəmələrinin hasili kimi tapılmalıdır:

Ev tapşırığınızın bir çoxu bələdçilərinizi yeni pəncərələrdə açmağınızı tələb edə bilər. Gücləri və kökləri olan hərəkətlər Və Kəsrlərlə əməliyyatlar .

Misal 4. Funksiyanın törəməsini tapın

Törəmələrin nəticə hasilində müstəqil dəyişənə münasibətdə ara arqument olduğunu unutmadan mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasını tətbiq edirik. x dəyişmir:

Məhsulun ikinci amilini hazırlayırıq və cəmini fərqləndirmək qaydasını tətbiq edirik:

İkinci termin kökdür, yəni

Beləliklə, biz müəyyən etdik ki, cəmi olan ara arqument terminlərdən biri kimi mürəkkəb funksiyanı ehtiva edir: gücə yüksəltmək mürəkkəb funksiyadır, gücə yüksəltmək isə müstəqil olana münasibətdə ara arqumentdir. dəyişən x.

Buna görə də, mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırılması qaydasını yenidən tətbiq edirik:

Birinci amilin dərəcəsini kökə çeviririk və ikinci amili diferensiallaşdırarkən sabitin törəməsinin sıfıra bərabər olduğunu unutma:

İndi problemin ifadəsində tələb olunan mürəkkəb funksiyanın törəməsini hesablamaq üçün lazım olan ara arqumentin törəməsini tapa bilərik. y:

Misal 5. Funksiyanın törəməsini tapın

Əvvəlcə cəmini fərqləndirmək üçün qaydadan istifadə edirik:

İki mürəkkəb funksiyanın törəmələrinin cəmini əldə etdik. Birincisini tapaq:

Burada sinusun gücə yüksəldilməsi mürəkkəb bir funksiyadır və sinusun özü müstəqil dəyişən üçün ara arqumentdir. x. Buna görə də, yol boyu mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasından istifadə edəcəyik amili mötərizədən çıxarmaq :

İndi funksiyanın törəmələrinin ikinci həddini tapırıq y:

Burada kosinusu bir gücə yüksəltmək mürəkkəb bir funksiyadır f, və kosinusun özü müstəqil dəyişəndə ara arqumentdir x. Mürəkkəb funksiyanı diferensiallaşdırmaq üçün yenidən qaydadan istifadə edək:

Nəticə tələb olunan törəmədir:

Bəzi mürəkkəb funksiyaların törəmələri cədvəli

Mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasına əsaslanan mürəkkəb funksiyalar üçün sadə funksiyanın törəməsinin düsturu fərqli forma alır.

1. Mürəkkəb güc funksiyasının törəməsi, burada u x
2. İfadə kökünün törəməsi
3. Eksponensial funksiyanın törəməsi
4. Eksponensial funksiyanın xüsusi halı
5. İxtiyari müsbət əsaslı loqarifmik funksiyanın törəməsi A
6. Mürəkkəb loqarifmik funksiyanın törəməsi, burada u– arqumentin diferensiallanan funksiyası x
7. Sinusun törəməsi
8. Kosinusun törəməsi
9. Tangensin törəməsi
10. Kotangensin törəməsi
11. Arksinusun törəməsi
12. Arkkosinin törəməsi
13. Arktangensin törəməsi
14. Qövs kotangensinin törəməsi

Əgər tərifə əməl etsəniz, onda bir nöqtədə funksiyanın törəməsi Δ funksiyasının artımının nisbətinin həddidir. y arqument artımına Δ x:

Hər şey aydın görünür. Lakin, məsələn, funksiyanın törəməsini hesablamaq üçün bu düsturdan istifadə etməyə çalışın f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x günah x. Hər şeyi təriflə etsəniz, bir neçə səhifəlik hesablamalardan sonra sadəcə yuxuya gedəcəksiniz. Buna görə daha sadə və daha təsirli yollar var.

Başlamaq üçün qeyd edək ki, bütün müxtəlif funksiyalardan elementar funksiyaları ayırd edə bilərik. Bunlar nisbətən sadə ifadələrdir, törəmələri çoxdan hesablanmış və cədvəl şəklində verilmişdir. Bu cür funksiyaları xatırlamaq olduqca asandır - törəmələri ilə birlikdə.

Elementar funksiyaların törəmələri

Elementar funksiyalar aşağıda sadalananların hamısıdır. Bu funksiyaların törəmələri əzbərdən bilinməlidir. Üstəlik, onları yadda saxlamaq heç də çətin deyil - buna görə də onlar elementardırlar.

Beləliklə, elementar funksiyaların törəmələri:

ad	Funksiya	törəmə
Sabit	f(x) = C, C ∈ R	0 (bəli, sıfır!)
Rasional göstərici ilə güc	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = günah x	cos x
Kosinus	f(x) = cos x	-günah x(minus sinus)
Tangens	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangent	f(x) = ctg x	− 1/günah 2 x
Təbii loqarifm	f(x) = log x	1/x
İxtiyari loqarifm	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Eksponensial funksiya	f(x) = e x	e x(heçnə dəyişmədi)

Elementar funksiya ixtiyari sabitə vurularsa, yeni funksiyanın törəməsi də asanlıqla hesablanır:

(C · f)’ = C · f ’.

Ümumiyyətlə, sabitləri törəmə işarəsindən çıxarmaq olar. Misal üçün:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Aydındır ki, elementar funksiyaları bir-birinə əlavə etmək, çoxaltmaq, bölmək olar - və daha çox. Artıq xüsusilə elementar deyil, həm də müəyyən qaydalara görə fərqlənən yeni funksiyalar belə görünəcək. Bu qaydalar aşağıda müzakirə olunur.

Cəm və fərqin törəməsi

Funksiyalar verilsin f(x) Və g(x), törəmələri bizə məlum olan. Məsələn, yuxarıda müzakirə olunan elementar funksiyaları götürə bilərsiniz. Onda bu funksiyaların cəmi və fərqinin törəməsini tapa bilərsiniz:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Deməli, iki funksiyanın cəminin (fərqinin) törəməsi törəmələrin cəminə (fərqinə) bərabərdir. Daha çox şərtlər ola bilər. Misal üçün, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Düzünü desək, cəbrdə “çıxma” anlayışı yoxdur. “Mənfi element” anlayışı var. Buna görə də fərq f − g cəmi kimi yenidən yazmaq olar f+ (−1) g, və sonra yalnız bir düstur qalır - cəminin törəməsi.

f(x) = x 2 + günah x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funksiya f(x) iki elementar funksiyanın cəmidir, buna görə də:

f ’(x) = (x 2 + günah x)’ = (x 2)' + (günah x)’ = 2x+ cos x;

Funksiya üçün də oxşar səbəblər veririk g(x). Yalnız üç termin var (cəbr baxımından):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Cavab:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Məhsulun törəməsi

Riyaziyyat məntiqi bir elmdir, ona görə də bir çox insan hesab edir ki, əgər cəmin törəməsi törəmələrin cəminə bərabərdirsə, məhsulun törəməsi zərbə">törəmələrin hasilinə bərabərdir. Ancaq sizi incidir! Məhsulun törəməsi tamamilə fərqli bir düsturla hesablanır. Yəni:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula sadədir, lakin çox vaxt unudulur. Həm də təkcə məktəblilər deyil, həm də tələbələr. Nəticə problemlərin düzgün həll edilməməsidir.

Tapşırıq. Funksiyaların törəmələrini tapın: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funksiya f(x) iki elementar funksiyanın məhsuludur, ona görə də hər şey sadədir:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− günah x) = x 2 (3 cos x − x günah x)

Funksiya g(x) birinci çarpan bir az daha mürəkkəbdir, lakin ümumi sxem dəyişmir. Aydındır ki, funksiyanın birinci amili g(x) çoxhədlidir və onun törəməsi cəminin törəməsidir. Bizdə:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Cavab:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x günah x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Nəzərə alın ki, son mərhələdə törəmə faktorlara bölünür. Formal olaraq bunu etmək lazım deyil, lakin törəmələrin çoxu öz-özünə hesablanmır, funksiyanı araşdırmaq üçün hesablanır. Bu o deməkdir ki, bundan sonra törəmə sıfıra bərabərləşdiriləcək, onun əlamətləri müəyyən ediləcək və s. Belə bir hal üçün ifadənin faktorlara bölünməsi daha yaxşıdır.

İki funksiya varsa f(x) Və g(x), və g(x) ≠ 0 bizi maraqlandıran çoxluqda yeni funksiya təyin edə bilərik h(x) = f(x)/g(x). Belə bir funksiya üçün törəməni də tapa bilərsiniz:

Zəif deyil, hə? Minus haradan gəldi? Niyə g 2? Və bu kimi! Bu, ən mürəkkəb düsturlardan biridir - bir şüşə olmadan başa düşə bilməzsiniz. Ona görə də onu konkret misallarla öyrənmək daha yaxşıdır.

Tapşırıq. Funksiyaların törəmələrini tapın:

Hər kəsrin payı və məxrəci elementar funksiyaları ehtiva edir, ona görə də bizə lazım olan tək şey hissənin törəməsi üçün düsturdur:

Ənənəyə görə, rəqəmi faktorlara ayıraq - bu cavabı çox sadələşdirəcək:

Mürəkkəb bir funksiya mütləq yarım kilometr uzunluğunda bir düstur deyil. Məsələn, funksiyanı götürmək kifayətdir f(x) = günah x və dəyişəni əvəz edin x, deyin, açıq x 2 + ln x. Bu nəticə verəcək f(x) = günah ( x 2 + ln x) - bu mürəkkəb funksiyadır. Onun da törəməsi var, lakin yuxarıda müzakirə olunan qaydalardan istifadə edərək onu tapmaq mümkün olmayacaq.

Mən nə etməliyəm? Belə hallarda mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün dəyişəni və düsturun dəyişdirilməsi kömək edir:

f ’(x) = f ’(t) · t', Əgər x ilə əvəz olunur t(x).

Bir qayda olaraq, bu formulun başa düşülməsi ilə bağlı vəziyyət bölmənin törəməsi ilə müqayisədə daha kədərlidir. Buna görə də, hər bir addımın ətraflı təsviri ilə konkret nümunələrdən istifadə edərək izah etmək daha yaxşıdır.

Tapşırıq. Funksiyaların törəmələrini tapın: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = günah ( x 2 + ln x)

Qeyd edək ki, əgər funksiyadadırsa f(x) ifadə 2 əvəzinə x+ 3 asan olacaq x, onda elementar funksiya alırıq f(x) = e x. Buna görə də bir əvəz edirik: qoy 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Düsturdan istifadə edərək mürəkkəb funksiyanın törəməsini axtarırıq:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

İndi - diqqət! Biz tərs dəyişdirmə həyata keçiririk: t = 2x+ 3. Alırıq:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

İndi funksiyaya baxaq g(x). Aydındır ki, onu dəyişdirmək lazımdır x 2 + ln x = t. Bizdə:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (günah t)’ · t' = cos t · t ’

Əks dəyişdirmə: t = x 2 + ln x. Sonra:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Hamısı budur! Sonuncu ifadədən göründüyü kimi, bütün problem törəmə cəminin hesablanmasına qədər endirilib.

Cavab:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) çünki ( x 2 + ln x).

Çox vaxt dərslərimdə “törəmə” ifadəsi əvəzinə “əsas” sözünü işlədirəm. Məsələn, cəminin vuruşu vuruşların cəminə bərabərdir. Bu daha aydındır? Əla, bu yaxşıdır.

Beləliklə, törəmənin hesablanması yuxarıda müzakirə olunan qaydalara uyğun olaraq eyni vuruşlardan xilas olmaq üçün gəlir. Son nümunə olaraq, rasional göstərici ilə törəmə gücə qayıdaq:

(x n)’ = n · x n − 1

Bunu rolda az adam bilir n kəsr sayı ola bilər. Məsələn, kök x 0.5. Kökün altında zərif bir şey varsa nə olacaq? Yenə də nəticə mürəkkəb bir funksiya olacaq - testlərdə və imtahanlarda belə konstruksiyalar verməyi sevirlər.