Tele2-də kömək, tariflər, suallar

bərabərsizliyin həlli rejimində onlayn həll demək olar ki, hər hansı bir bərabərsizlik onlayn. Riyazi onlayn bərabərsizliklər riyaziyyatı həll etmək. Tez tapın bərabərsizliyin həlli rejimində onlayn. Veb sayt www.site tapmaq imkanı verir həll demək olar ki, hər hansı bir verilir cəbri, triqonometrik və ya transsendental bərabərsizlik onlayn. Riyaziyyatın demək olar ki, hər hansı bir sahəsini müxtəlif mərhələlərdə öyrənərkən qərar verməlisiniz onlayn bərabərsizliklər. Dərhal cavab və ən əsası dəqiq cavab almaq üçün sizə bunu etməyə imkan verən resurs lazımdır. www.site saytına təşəkkürlər bərabərsizliyi onlayn həll edin bir neçə dəqiqə çəkəcək. Riyazi həll edərkən www.saytın əsas üstünlüyü onlayn bərabərsizliklər- bu, verilən cavabın sürəti və dəqiqliyidir. Sayt istənilən problemi həll etməyə qadirdir cəbri bərabərsizliklər online, triqonometrik bərabərsizliklər online, transsendental bərabərsizliklər onlayn, və bərabərsizliklər rejimində naməlum parametrlərlə onlayn. Bərabərsizliklər güclü riyazi aparat kimi xidmət edir həllər praktik problemlər. Köməyi ilə riyazi bərabərsizliklər ilk baxışda çaşqın və mürəkkəb görünə bilən faktları və münasibətləri ifadə etmək mümkündür. Naməlum miqdarlar bərabərsizliklər problemi formalaşdırmaqla tapmaq olar riyazi formada dil bərabərsizliklər Və qərar ver rejimində tapşırığı qəbul etdi onlayn www.site saytında. Hər hansı cəbri bərabərsizlik, triqonometrik bərabərsizlik və ya bərabərsizliklər ehtiva edir transsendental asanlıqla edə bilərsiniz qərar ver online və dəqiq cavab alın. Təbiət elmlərini öyrənərkən istər-istəməz ehtiyacla qarşılaşırsınız bərabərsizliklərin həlli yolları. Bu halda cavab dəqiq olmalı və rejimdə dərhal alınmalıdır onlayn. Buna görə üçün riyazi bərabərsizlikləri onlayn həll edinəvəzolunmaz kalkulyatorunuz olacaq www.site saytını tövsiyə edirik cəbri bərabərsizliklərin onlayn həlli, triqonometrik bərabərsizliklər online, və transsendental bərabərsizliklər onlayn və ya bərabərsizliklər naməlum parametrlərlə. Müxtəlif onlayn həllərin tapılmasının praktiki problemləri üçün riyazi bərabərsizliklər resurs www.. Həlli onlayn bərabərsizliklər istifadə edərək alınan cavabı yoxlamaq faydalıdır bərabərsizliklərin onlayn həlli www.site saytında. Bərabərsizliyi düzgün yazmaq və dərhal almaq lazımdır onlayn həll, bundan sonra yalnız cavabı bərabərsizliyin həlli ilə müqayisə etmək qalır. Cavabın yoxlanılması bir dəqiqədən çox çəkməyəcək, kifayətdir bərabərsizliyi onlayn həll edin və cavabları müqayisə edin. Bu, səhvlərdən qaçınmanıza kömək edəcək qərar və cavabı vaxtında düzəldin bərabərsizliklərin onlayn həlli ya cəbri, triqonometrik, transsendental və ya bərabərsizlik naməlum parametrlərlə.

Məsələn, bərabərsizlik \(x>5\) ifadəsidir.

Bərabərsizliklərin növləri:

Əgər \(a\) və \(b\) ədədlərdirsə və ya , onda bərabərsizlik deyilir ədədi. Bu, əslində iki rəqəmi müqayisə edir. Belə bərabərsizliklər bölünür sadiq Və vəfasız.

Misal üçün:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) səhv ədədi bərabərsizlikdir, çünki \(17+3=20\) və \(20\) \(115\)-dən kiçikdir (və ondan böyük və ya bərabər deyil) .

Əgər \(a\) və \(b\) dəyişəni ehtiva edən ifadələrdirsə, onda bizdə var dəyişən ilə bərabərsizlik. Bu cür bərabərsizliklər məzmununa görə növlərə bölünür:

Bərabərsizliyin həlli nədir?

Bərabərsizliyə dəyişən əvəzinə ədədi əvəz etsəniz, o rəqəmə çevriləcək.

Əgər x üçün verilmiş qiymət ilkin bərabərsizliyi həqiqi ədədi bərabərsizliyə çevirirsə, o zaman ona deyilir bərabərsizliyin həlli. Əgər yoxsa, bu dəyər həll yolu deyil. Və üçün bərabərsizliyi həll edin– onun bütün həll yollarını tapmalısan (yaxud heç birinin olmadığını göstərməlisən).

Misal üçün,\(7\) ədədini \(x+6>10\) xətti bərabərsizliyinə əvəz etsək, düzgün ədədi bərabərsizliyi alarıq: \(13>10\). Və \(2\) əvəz etsək, səhv ədədi bərabərsizlik \(8>10\) olar. Yəni \(7\) ilkin bərabərsizliyin həllidir, lakin \(2\) deyil.

Lakin \(x+6>10\) bərabərsizliyinin başqa həll yolları var. Doğrudan da, \(5\), və \(12\) və \(138\) əvəz edəndə düzgün ədədi bərabərsizlikləri əldə edəcəyik... Və bütün mümkün həll yollarını necə tapa bilərik? Bunun üçün istifadə edirlər Bizim vəziyyətimiz üçün:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Yəni dörddən çox olan istənilən rəqəm bizə uyğun gəlir. İndi cavabı yazmalısınız. Bərabərsizliklərin həlli adətən ədədi olaraq yazılır, əlavə olaraq onları nömrə oxunda kölgə ilə işarələyir. Bizim vəziyyətimiz üçün:

Cavab: \(x\in(4;+\infty)\)

Bərabərsizliyin işarəsi nə vaxt dəyişir?

Tələbələrin həqiqətən "sevdikləri" bərabərsizliklərdə böyük bir tələ var:

Bərabərsizliyi mənfi ədədə vurduqda (və ya böldükdə) o, tərsinə çevrilir (“çox” “az”, “çox və ya bərabər” “kiçik və ya bərabər” və s.)

Bu niyə baş verir? Bunu başa düşmək üçün ədədi bərabərsizliyin \(3>1\) çevrilmələrinə baxaq. Düzdür, üç həqiqətən birdən böyükdür. Əvvəlcə onu istənilən müsbət ədədə, məsələn, ikiyə vurmağa çalışaq:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Gördüyümüz kimi, vurmadan sonra bərabərsizlik doğru olaraq qalır. Hansı müsbət ədədi vursaq da, həmişə düzgün bərabərsizliyi əldə edəcəyik. İndi mənfi bir ədədə vurmağa çalışaq, məsələn, mənfi üç:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Nəticə düzgün olmayan bərabərsizlikdir, çünki mənfi doqquz mənfi üçdən azdır! Yəni, bərabərsizliyin doğru olması üçün (və buna görə də vurmanın mənfiyə çevrilməsi “qanuni” idi) müqayisə işarəsini belə tərsinə çevirməlisiniz: \(−9<− 3\).
Bölmə ilə eyni şəkildə işləyəcək, özünüz yoxlaya bilərsiniz.

Yuxarıda yazılmış qayda yalnız ədədi olanlara deyil, bütün növ bərabərsizliklərə aiddir.

Cavab: \(x\in(-1;\infty)\)

Bərabərsizlik və əlillik

Bərabərsizliklər, tənliklər kimi, , yəni x-in qiymətlərində məhdudiyyətlərə malik ola bilər. Müvafiq olaraq, DZ-yə uyğun olaraq qəbuledilməz olan dəyərlər həllər sırasından xaric edilməlidir.

Misal: \(\sqrt(x+1) bərabərsizliyini həll edin<3\)

Həll: Aydındır ki, sol tərəfin \(3\)-dən kiçik olması üçün radikal ifadə \(9\)-dan kiçik olmalıdır (hər şeydən sonra \(9\) sadəcə \(3\)). Biz əldə edirik:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Hamısı? X-in \(8\)-dən kiçik hər hansı dəyəri bizə uyğun olacaqmı? Yox! Çünki, məsələn, tələbə uyğun görünən \(-5\) qiymətini götürsək, bu, ilkin bərabərsizliyin həlli olmayacaq, çünki bu, bizi mənfi ədədin kökünü hesablamağa aparacaq.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Ona görə də X-in dəyərinə qoyulan məhdudiyyətləri də nəzərə almalıyıq - kökün altında mənfi ədəd olması elə ola bilməz. Beləliklə, x üçün ikinci tələbimiz var:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Və x-in son həll olması üçün o, hər iki tələbi birdən yerinə yetirməlidir: \(8\)-dən kiçik (həll olmaq üçün) və \(-1\)-dən böyük olmalıdır (prinsipcə məqbul olmalıdır). Nömrə xəttində tərtib edərək, son cavabımız var:

Cavab: \(\sol[-1;8\sağ)\)

Diqqət!
Əlavə var
555-ci Xüsusi Bölmədəki materiallar.
Çox "çox deyil..." olanlar üçün.
Və "çox..." olanlar üçün)

Nə baş verdi "kvadrat bərabərsizlik"? Sual yoxdur!) Əgər götürsəniz hər hansı kvadrat tənliyi və içindəki işarəni əvəz edin "=" (bərabər) hər hansı bərabərsizlik işarəsinə ( > ≥ < ≤ ≠ ), kvadrat bərabərsizlik alırıq. Misal üçün:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Yaxşı başa düşürsən...)

Tənlikləri və bərabərsizlikləri burada əlaqələndirməyim əbəs yerə deyil. Məsələ ondadır ki, həlldə ilk addımdır hər hansı kvadrat bərabərsizlik - bu bərabərsizliyin yarandığı tənliyi həll edin. Bu səbəbdən kvadrat tənlikləri həll edə bilməmək avtomatik olaraq bərabərsizliklərdə tam uğursuzluğa gətirib çıxarır. İpucu aydındır?) Əgər bir şey varsa, hər hansı kvadrat tənliklərin necə həll olunacağına baxın. Orada hər şey ətraflı təsvir edilmişdir. Və bu dərsdə biz bərabərsizliklərlə məşğul olacağıq.

Həll üçün hazır olan bərabərsizlik aşağıdakı formaya malikdir: solda kvadrat üçbucaqdır balta 2 +bx+c, sağda - sıfır. Bərabərsizlik işarəsi tamamilə hər hansı bir şey ola bilər. İlk iki nümunə buradadır artıq qərar verməyə hazırdırlar.Üçüncü nümunə hələ də hazırlanmalıdır.

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Gəlin öyrənək - maraqla!)

Funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.

Bu gün, dostlar, heç bir snook və sentimentallıq olmayacaq. Əvəzində mən sizi heç bir sual vermədən 8-9-cu sinif cəbr kursunda ən güclü rəqiblərdən biri ilə döyüşə göndərəcəyəm.

Bəli, siz hər şeyi düzgün başa düşdünüz: modullu bərabərsizliklərdən danışırıq. Bu cür problemlərin təxminən 90% -ni həll etməyi öyrənəcəyiniz dörd əsas texnikaya baxacağıq. Bəs qalan 10%? Yaxşı, onlar haqqında ayrı bir dərsdə danışacağıq. :)

Bununla belə, hər hansı bir texnikanı təhlil etməzdən əvvəl sizə artıq bilməli olduğunuz iki faktı xatırlatmaq istərdim. Əks təqdirdə, bugünkü dərsin materialını ümumiyyətlə başa düşməmək riski daşıyırsınız.

Artıq bilməli olduğunuz şey

Captain Obviousness, modul ilə bərabərsizlikləri həll etmək üçün iki şeyi bilmək lazım olduğuna işarə edir:

1. Bərabərsizliklər necə həll olunur;
2. Modul nədir?

İkinci nöqtədən başlayaq.

Modul Tərifi

Burada hər şey sadədir. İki tərif var: cəbri və qrafiki. Başlamaq üçün - cəbri:

Tərif. $x$ ədədinin modulu ya mənfi deyilsə, onun özüdür, ya da orijinal $x$ hələ də mənfidirsə, onun əksi ədəddir.

Belə yazılıb:

\[\sol| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Sadə dillə desək, modul “mənfisi olmayan ədəddir”. Məhz bu ikilikdə (bəzi yerlərdə orijinal nömrə ilə heç nə etmək lazım deyil, digərlərində bir növ mənfi cəhətləri aradan qaldırmalı olacaqsınız) yeni başlayan tələbələr üçün bütün çətinlik buradadır.

Həndəsi tərif də var. Bunu bilmək də faydalıdır, lakin biz ona yalnız mürəkkəb və bəzi xüsusi hallarda müraciət edəcəyik, burada həndəsi yanaşma cəbri yanaşmadan daha əlverişlidir (spoiler: bu gün deyil).

Tərif. Nömrə xəttində $a$ nöqtəsi qeyd olunsun. Sonra modul $\left| x-a \right|$ bu xəttdə $x$ nöqtəsindən $a$ nöqtəsinə qədər olan məsafədir.

Bir şəkil çəksəniz, belə bir şey alacaqsınız:

Bu və ya digər şəkildə, modulun tərifindən onun əsas xassələri dərhal aşağıdakılardır: ədədin modulu həmişə qeyri-mənfi kəmiyyətdir. Bu fakt bugünkü bütün hekayəmizdən keçən qırmızı iplik olacaq.

Bərabərsizliklərin həlli. İnterval üsulu

İndi bərabərsizliklərə baxaq. Onların çoxu var, amma indi bizim vəzifəmiz ən azı onlardan ən sadəini həll etməkdir. Xətti bərabərsizliklərə, eləcə də interval metoduna endirənlər.

Bu mövzuda iki böyük dərsim var (yeri gəlmişkən, çox, çox faydalıdır - onları öyrənməyi məsləhət görürəm):

1. Bərabərsizliklər üçün interval üsulu (xüsusilə videoya baxın);
2. Fraksiyalı rasional bərabərsizliklər çox geniş bir dərsdir, lakin ondan sonra heç bir sualınız olmayacaq.

Əgər bütün bunları bilirsinizsə, əgər “bərabərsizlikdən tənliyə keçək” ifadəsi sizdə özünüzü divara çırpmaq üçün qeyri-müəyyən bir istək yaratmırsa, deməli hazırsınız: dərsin əsas mövzusuna cəhənnəmə xoş gəlmisiniz. :)

1. “Modul funksiyadan azdır” formasının bərabərsizlikləri

Bu modullarla bağlı ən çox rast gəlinən problemlərdən biridir. Formanın bərabərsizliyini həll etmək tələb olunur:

\[\sol| f\sağ| \ltg\]

$f$ və $g$ funksiyaları istənilən ola bilər, lakin adətən onlar çoxhədlidirlər. Belə bərabərsizliklərə misallar:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \sağ| \lt x+7; \\ & \sol| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \sağ) \lt 0; \\ & \sol| ((x)^(2))-2\sol| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

Hamısı aşağıdakı sxemə uyğun olaraq bir sətirdə sözün həqiqi mənasında həll edilə bilər:

\[\sol| f\sağ| \lt g\Sağ ox -g \lt f \lt g\dörd \sol(\Sağ ox \sol\( \başla(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(düzləşdir) \sağ.\sağ)\]

Moduldan qurtulduğumuzu görmək asandır, lakin bunun müqabilində ikiqat bərabərsizlik (və ya eyni şeydir, iki bərabərsizlik sistemi) alırıq. Ancaq bu keçid tamamilə bütün mümkün problemləri nəzərə alır: modulun altındakı rəqəm müsbət olarsa, üsul işləyir; mənfi olarsa, yenə də işləyir; və hətta $f$ və ya $g$ əvəzinə ən qeyri-adekvat funksiya ilə belə metod yenə də işləyəcək.

Təbii ki, sual yaranır: daha sadə ola bilməzdi? Təəssüf ki, bu mümkün deyil. Bu modulun bütün nöqtəsidir.

Ancaq fəlsəfə ilə kifayətlənir. Gəlin bir neçə problemi həll edək:

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\sol| 2x+3 \sağ| \lt x+7\]

Həll. Beləliklə, qarşımızda "modul azdır" şəklində klassik bir bərabərsizlik var - çevriləcək heç bir şey yoxdur. Alqoritmə uyğun işləyirik:

\[\begin(align) & \left| f\sağ| \lt g\Sağ ox -g \lt f \lt g; \\ & \sol| 2x+3 \sağ| \lt x+7\Sağ ox -\sol(x+7 \sağ) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Önündə "mənfi" olan mötərizələri açmağa tələsməyin: tələsdiyinizə görə təhqiramiz bir səhv etməyiniz çox mümkündür.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \sağa.\]

\[\sol\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \sağa.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \sağ.\]

Problem iki elementar bərabərsizliyə endirildi. Onların həllərini paralel say xətləri üzərində qeyd edək:

Çoxlarının kəsişməsi

Bu dəstlərin kəsişməsi cavab olacaq.

Cavab: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ|+3\sol(x+1 \sağ) \lt 0\]

Həll. Bu iş bir az daha çətindir. Əvvəlcə ikinci termini sağa köçürərək modulu təcrid edək:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \lt -3\sol(x+1 \sağ)\]

Aydındır ki, biz yenə də “modul daha kiçikdir” şəklində bərabərsizliyə sahibik, ona görə də artıq məlum olan alqoritmdən istifadə edərək moduldan qurturuq:

\[-\sol(-3\sol(x+1 \sağ) \sağ) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\sol(x+1 \sağ)\]

İndi diqqət edin: kimsə deyəcək ki, mən bütün bu mötərizələrlə bir az pozğunam. Ancaq bir daha xatırlatmaq istərdim ki, bizim əsas məqsədimiz budur bərabərsizliyi düzgün həll edin və cavabını alın. Daha sonra, bu dərsdə təsvir olunan hər şeyi mükəmməl mənimsədikdən sonra, onu özünüz istədiyiniz kimi təhrif edə bilərsiniz: mötərizələr açın, mənfi cəhətlər əlavə edin və s.

Başlamaq üçün sol tərəfdəki ikiqat mənfidən xilas olacağıq:

\[-\sol(-3\sol(x+1 \sağ) \sağ)=\sol(-1 \sağ)\cdot \left(-3 \sağ)\cdot \sol(x+1 \sağ) =3\sol(x+1 \sağ)\]

İndi ikiqat bərabərsizlikdə bütün mötərizələri açaq:

Gəlin ikiqat bərabərsizliyə keçək. Bu dəfə hesablamalar daha ciddi olacaq:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(hizalayın) \sağa.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( hizalayın)\sağa.\]

Hər iki bərabərsizlik kvadratdır və interval metodundan istifadə etməklə həll edilə bilər (buna görə deyirəm: bunun nə olduğunu bilmirsinizsə, hələ modulları götürməmək daha yaxşıdır). Birinci bərabərsizlikdəki tənliyə keçək:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \sağ)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(hizalayın)\]

Göründüyü kimi, çıxış elementar şəkildə həll edilə bilən natamam kvadratik tənlikdir. İndi sistemin ikinci bərabərsizliyinə baxaq. Orada Vyeta teoremini tətbiq etməli olacaqsınız:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \sol(x-3 \sağ)\sol(x+2 \sağ)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(hizalayın)\]

Yaranan ədədləri iki paralel xətt üzərində qeyd edirik (birinci bərabərsizlik üçün ayrı, ikincisi üçün ayrı):

Yenə bərabərsizliklər sistemini həll etdiyimiz üçün bizi kölgəli çoxluqların kəsişməsi maraqlandırır: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Bu cavabdır.

Cavab: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Düşünürəm ki, bu nümunələrdən sonra həll sxemi son dərəcə aydındır:

1. Bütün digər şərtləri bərabərsizliyin əks tərəfinə keçirərək modulu təcrid edin. Beləliklə, $\left| formasının bərabərsizliyini alırıq f\sağ| \ltg$.
2. Yuxarıda təsvir olunan sxemə uyğun olaraq moduldan qurtulmaqla bu bərabərsizliyi həll edin. Nə vaxtsa ikiqat bərabərsizlikdən hər biri artıq ayrıca həll oluna bilən iki müstəqil ifadələr sisteminə keçmək lazım gələcək.
3. Nəhayət, qalan yalnız bu iki müstəqil ifadənin həllərini kəsməkdir - və budur, son cavabı alacağıq.

Oxşar alqoritm modul funksiyadan böyük olduqda aşağıdakı növ bərabərsizliklər üçün mövcuddur. Bununla belə, bir neçə ciddi “amma” var. İndi bu "amma"lar haqqında danışacağıq.

2. “Modul funksiyadan böyükdür” formasının bərabərsizlikləri

Onlar belə görünür:

\[\sol| f\sağ| \gtg\]

Əvvəlki ilə oxşar? Görünür. Və hələ də bu cür problemlər tamamilə fərqli şəkildə həll olunur. Formal olaraq, sxem aşağıdakı kimidir:

\[\sol| f\sağ| \gt g\Sağ ox \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Başqa sözlə, biz iki halı nəzərdən keçiririk:

1. Birincisi, biz sadəcə modula məhəl qoymuruq və adi bərabərsizliyi həll edirik;
2. Sonra, mahiyyət etibarilə, modulu mənfi işarəsi ilə genişləndiririk və sonra bərabərsizliyin hər iki tərəfini -1-ə vururuq, məndə işarə var.

Bu halda, variantlar kvadrat mötərizə ilə birləşdirilir, yəni. Qarşımızda iki tələbin birləşməsi var.

Xahiş edirik bir daha qeyd edin: bu, sistem deyil, buna görə də məcmuədir cavabda çoxluqlar kəsişmək əvəzinə birləşir. Bu, əvvəlki nöqtədən əsaslı fərqdir!

Ümumiyyətlə, bir çox tələbələr həmkarlar ittifaqları və kəsişmələrlə tamamilə qarışıqdırlar, buna görə də bu məsələni birdəfəlik həll edək:

• "∪" birlik işarəsidir. Əslində, bu, bizə ingilis dilindən gələn və "Union" üçün qısaldılmış stilizə edilmiş "U" hərfidir, yəni. "Birliklər".
• "∩" kəsişmə işarəsidir. Bu cəfəngiyat heç bir yerdən gəlməyib, sadəcə olaraq “∪” ilə əks nöqtə kimi ortaya çıxdı.

Yadda saxlamağı daha da asanlaşdırmaq üçün eynək hazırlamaq üçün ayaqlarınızı bu işarələrə çəkin (yalnız indi məni narkomaniya və alkoqolizmi təbliğ etməkdə günahlandırmayın: əgər bu dərsi ciddi şəkildə öyrənirsinizsə, deməli, artıq narkotik aludəçisisiniz):

Rus dilinə tərcümə edilərsə, bu, aşağıdakıları ifadə edir: birlik (total) hər iki çoxluqdan elementləri ehtiva edir, buna görə də onların hər birindən heç bir şəkildə az deyil; lakin kəsişmə (sistem) yalnız həm birinci çoxluqda, həm də ikincidə eyni vaxtda olan elementləri ehtiva edir. Buna görə də çoxluqların kəsişməsi heç vaxt mənbə çoxluqlarından böyük deyil.

Yəni daha aydın oldu? Əladır. Gəlin məşqə keçək.

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\sol| 3x+1 \sağ| \gt 5-4x\]

Həll. Sxemə uyğun olaraq davam edirik:

\[\sol| 3x+1 \sağ| \gt 5-4x\Sağ ox \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \sağ) \\\end(align) \ sağ.\]

Əhalidəki hər bərabərsizliyi həll edirik:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \sağa.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \sağa.\]

Hər bir nəticə dəsti rəqəm xəttində qeyd edirik və sonra onları birləşdiririk:

Dəstlər birliyi

Cavabın $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ olacağı aydındır.

Cavab: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \gt x\]

Həll. Yaxşı? Heç nə - hər şey eynidir. Modulu olan bərabərsizlikdən iki bərabərsizlik dəstinə keçirik:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \gt x\Sağ ox \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\sonu(düzləşdirin) \sağa.\]

Hər bərabərsizliyi həll edirik. Təəssüf ki, oradakı köklər çox yaxşı olmayacaq:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(hizalayın)\]

İkinci bərabərsizlik də bir qədər vəhşidir:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(hizalayın)\]

İndi bu nömrələri iki oxda qeyd etməlisiniz - hər bərabərsizlik üçün bir ox. Bununla belə, nöqtələri düzgün ardıcıllıqla qeyd etməlisiniz: rəqəm nə qədər böyükdürsə, nöqtə bir o qədər sağa doğru hərəkət edir.

Və burada bizi bir quraşdırma gözləyir. $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ rəqəmləri ilə hər şey aydındırsa (birincinin payındakı şərtlər kəsr ikincinin payındakı şərtlərdən kiçikdir, ona görə də cəmi də azdır), rəqəmləri ilə $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) (21))(2)$ da heç bir çətinlik olmayacaq (müsbət rəqəm açıq-aydın daha mənfi), onda sonuncu cütlükdə hər şey o qədər də aydın deyil. Hansı daha böyükdür: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ və ya $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Nöqtələrin say xətlərində yerləşdirilməsi və əslində cavab bu sualın cavabından asılı olacaq.

Beləliklə, müqayisə edək:

\[\begin(matris) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matris)\]

Kökü təcrid etdik, bərabərsizliyin hər iki tərəfində mənfi olmayan ədədlər aldıq, ona görə də hər iki tərəfi kvadrat etmək hüququmuz var:

\[\begin(matris) ((\left(2+\sqrt(13) \sağ))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \sağ))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matris)\]

Düşünürəm ki, $4\sqrt(13) \gt 3$, buna görə də $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, baltalardakı son nöqtələr belə yerləşdiriləcək:

Çirkin köklər hadisəsi

Nəzərinizə çatdırım ki, biz çoxluğu həll edirik, buna görə də cavab kölgəli çoxluqların kəsişməsi deyil, birlik olacaq.

Cavab: $x\in \left(-\infty;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2) );+\infty \sağ)$

Gördüyünüz kimi, sxemimiz həm sadə, həm də çox çətin problemlər üçün əla işləyir. Bu yanaşmada yeganə "zəif nöqtə" odur ki, irrasional ədədləri düzgün müqayisə etməlisiniz (və inanın: bunlar təkcə köklər deyil). Ancaq müqayisə məsələlərinə ayrıca (və çox ciddi) bir dərs həsr olunacaq. Və davam edirik.

3. Mənfi olmayan “quyruqları” olan bərabərsizliklər

İndi ən maraqlı hissəyə keçirik. Bunlar formanın bərabərsizlikləridir:

\[\sol| f\sağ| \gt\left| g\right|\]

Ümumiyyətlə, indi danışacağımız alqoritm yalnız modul üçün düzgündür. Sol və sağda mənfi olmayan ifadələrin zəmanətli olduğu bütün bərabərsizliklərdə işləyir:

Bu vəzifələrlə nə etməli? Sadəcə unutmayın:

Mənfi olmayan “quyruqları” olan bərabərsizliklərdə hər iki tərəf istənilən təbii gücə qaldırıla bilər. Əlavə məhdudiyyətlər olmayacaq.

Əvvəla, kvadratlaşdırma ilə maraqlanacağıq - modulları və kökləri yandırır:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\sol(\sqrt(f) \sağ))^(2))=f. \\\end(hizalayın)\]

Sadəcə bunu kvadratın kökü ilə qarışdırmayın:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\sol| f \right|\ne f\]

Tələbə modul quraşdırmağı unutduqda saysız-hesabsız səhvlər edildi! Ancaq bu, tamamilə fərqli bir hekayədir (bunlar, sanki, irrasional tənliklərdir), ona görə də indi bu mövzuya girməyəcəyik. Gəlin bir neçə problemi daha yaxşı həll edək:

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\sol| x+2 \sağ|\ge \sol| 1-2x \sağ|\]

Həll. Gəlin dərhal iki şeyə diqqət yetirək:

1. Bu ciddi bərabərsizlik deyil. Nömrə xəttindəki nöqtələr deşiləcək.
2. Bərabərsizliyin hər iki tərəfi açıq şəkildə mənfi deyildir (bu modulun xüsusiyyətidir: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Beləliklə, moduldan xilas olmaq və problemi adi interval metodundan istifadə edərək həll etmək üçün bərabərsizliyin hər iki tərəfini kvadratlaşdıra bilərik:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \sağ)) )^(2)); \\ & ((\sol(x+2 \sağ))^(2))\ge ((\left(2x-1 \sağ))^(2)). \\\end(hizalayın)\]

Sonuncu mərhələdə bir az aldatdım: modulun bərabərliyindən istifadə edərək terminlərin ardıcıllığını dəyişdim (əslində $1-2x$ ifadəsini −1-ə vurdum).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \sağ))^(2))\le 0; \\ & \left(\sol(2x-1 \sağ)-\left(x+2 \sağ) \sağ)\cdot \left(\left(2x-1 \sağ)+\left(x+2 \ sağ)\sağ)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \sağ)\cdot \left(2x-1+x+2 \sağ)\le 0; \\ & \left(x-3 \sağ)\cdot \left(3x+1 \sağ)\le 0. \\\end(align)\]

Interval metodundan istifadə edərək həll edirik. Gəlin bərabərsizlikdən tənliyə keçək:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(hizalayın)\]

Tapılan kökləri say xəttində qeyd edirik. Bir daha: orijinal bərabərsizlik ciddi olmadığı üçün bütün nöqtələr kölgədədir!

Modul işarəsindən qurtulmaq

Xüsusilə inadkar olanlar üçün xatırlatmaq istəyirəm: biz tənliyə keçməzdən əvvəl yazılmış sonuncu bərabərsizlikdən işarələri götürürük. Və eyni bərabərsizlikdə tələb olunan sahələri boyayırıq. Bizim vəziyyətimizdə $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$-dır.

Tamam, indi hər şey bitdi. Problem həll olunur.

Cavab: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\sol| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \sağ|\]

Həll. Biz hər şeyi eyni edirik. Mən şərh verməyəcəyəm - sadəcə hərəkətlərin ardıcıllığına baxın.

Kvadrat:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \sağ| \sağ))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \sağ| \sağ))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \sağ))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right)))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \sağ))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ sağa))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \sağ)\times \\ & \times \sol(((x)) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \sağ)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \sağ)\le 0. \\\end(align)\]

Interval metodu:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Sağ ox x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(hizalayın)\]

Say xəttində yalnız bir kök var:

Cavab bütöv bir intervaldır

Cavab: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Son tapşırıq haqqında kiçik bir qeyd. Tələbələrimdən birinin dəqiq qeyd etdiyi kimi, bu bərabərsizlikdəki hər iki submodul ifadəsi açıq şəkildə müsbətdir, ona görə də modul işarəsi sağlamlığa zərər vermədən buraxıla bilər.

Ancaq bu, tamamilə fərqli bir düşüncə səviyyəsi və fərqli yanaşmadır - onu şərti olaraq nəticələr metodu adlandırmaq olar. Bu barədə - ayrı bir dərsdə. İndi bugünkü dərsin yekun hissəsinə keçək və həmişə işləyən universal alqoritmə baxaq. Bütün əvvəlki yanaşmalar gücsüz olsa belə. :)

4. Variantların sadalanması üsulu

Bəs bütün bu üsullar kömək etmirsə? Bərabərsizliyi mənfi olmayan quyruqlara endirmək mümkün deyilsə, modulu təcrid etmək mümkün deyilsə, ümumiyyətlə ağrı, kədər, melankoliya varsa?

Sonra bütün riyaziyyatın "ağır artilleriyası" səhnəyə çıxır - kobud qüvvə üsulu. Modulu olan bərabərsizliklərə münasibətdə belə görünür:

1. Bütün submodul ifadələri yazın və onları sıfıra bərabər qoyun;
2. Alınan tənlikləri həll edin və bir ədəd xəttində tapılan kökləri qeyd edin;
3. Düz xətt bir neçə hissəyə bölünəcək, onların daxilində hər bir modul sabit işarəyə malikdir və buna görə də unikal şəkildə aşkarlanır;
4. Hər bir belə bölmə üzrə bərabərsizliyi həll edin (2-ci addımda əldə edilən kök-sərhədləri ayrıca nəzərdən keçirə bilərsiniz - etibarlılıq üçün). Nəticələri birləşdirin - cavab bu olacaq. :)

Belə ki, necə? Zəif? Asanlıqla! Yalnız uzun müddətdir. Gəlin praktikada baxaq:

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\sol| x+2 \sağ| \lt \sol| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Həll. Bu cəfəngiyat $\left| kimi bərabərsizliklərə köklənmir f\sağ| \lt g$, $\sol| f\sağ| \gt g$ və ya $\left| f\sağ| \lt \sol| g \right|$, buna görə də irəlidə hərəkət edirik.

Submodul ifadələri yazırıq, onları sıfıra bərabərləşdiririk və kökləri tapırıq:

\[\begin(align) & x+2=0\Sağ ox x=-2; \\ & x-1=0\Sağ ox x=1. \\\end(hizalayın)\]

Ümumilikdə, say xəttini üç hissəyə bölən iki kökümüz var, onların içərisində hər modul unikal şəkildə aşkar edilir:

Submodul funksiyaların ədəd xəttinin sıfırlara bölünməsi

Hər bölməyə ayrıca baxaq.

1. $x \lt -2$ olsun. Onda hər iki submodul ifadə mənfi olur və orijinal bərabərsizlik aşağıdakı kimi yenidən yazılacaq:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(hizalayın)\]

Kifayət qədər sadə bir məhdudiyyət aldıq. $x \lt -2$ olan ilkin fərziyyə ilə kəsişək:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Sağ ox x\in \varnothing \]

Aydındır ki, $x$ dəyişəni eyni vaxtda −2-dən kiçik və 1,5-dən böyük ola bilməz. Bu sahədə heç bir həll yolu yoxdur.

1.1. Sərhəd halını ayrıca nəzərdən keçirək: $x=-2$. Gəlin bu rəqəmi ilkin bərabərsizliklə əvəz edək və yoxlayaq: doğrudurmu?

\[\begin(align) & ((\sol. \left| x+2 \sağ| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \sağ|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \sol| -3\right|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Sağ ox \varnothing . \\\end(hizalayın)\]

Aydındır ki, hesablamalar zənciri bizi düzgün olmayan bərabərsizliyə gətirib çıxarıb. Buna görə də ilkin bərabərsizlik də yanlışdır və $x=-2$ cavaba daxil edilmir.

2. İndi $-2 \lt x \lt 1$ olsun. Sol modul artıq "artı" ilə açılacaq, lakin sağ modul hələ də "minus" ilə açılacaq. Bizdə:

\[\başla(align) & x+2 \lt -\sol(x-1 \sağ)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\sonu(hizalayın)\]

Yenə orijinal tələblə kəsişir:

\[\sol\( \başlamaq(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(hizalamaq) \sağa.\Sağ ox x\in \varheç bir şey \]

Və yenə də həllər çoxluğu boşdur, çünki həm −2,5-dən kiçik, həm də −2-dən böyük olan heç bir ədəd yoxdur.

2.1. Və yenə də xüsusi hal: $x=1$. Orijinal bərabərsizliyi əvəz edirik:

\[\begin(align) & ((\sol. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \sağ|)_(x=1)) \\ & \sol| 3\sağ| \lt \sol| 0\right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Sağ ox \varnothing . \\\end(hizalayın)\]

Əvvəlki “xüsusi hal” kimi, $x=1$ rəqəmi aydın şəkildə cavaba daxil edilmir.

3. Xəttin sonuncu hissəsi: $x \gt 1$. Burada bütün modullar artı işarəsi ilə açılır:

\[\başla(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Və yenə tapılan çoxluğu orijinal məhdudiyyətlə kəsirik:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \sağa.\Sağ ox x\in \left(4.5;+\infty \sağ)\ ]

Nəhayət! Cavab olacaq bir interval tapdıq.

Cavab: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Nəhayət, real problemləri həll edərkən sizi axmaq səhvlərdən xilas edə biləcək bir qeyd:

Modullu bərabərsizliklərin həlli adətən say xəttində fasiləsiz çoxluqları - intervalları və seqmentləri təmsil edir. İzolyasiya edilmiş nöqtələr daha az yayılmışdır. Və daha az hallarda, həllin sərhədi (seqmentin sonu) nəzərdən keçirilən diapazonun sərhədi ilə üst-üstə düşür.

Nəticə etibarilə, əgər sərhədlər (eyni “xüsusi hallar”) cavaba daxil edilməyibsə, bu sərhədlərin solunda və sağında olan sahələr demək olar ki, cavaba daxil edilməyəcək. Və əksinə: sərhəd cavaba daxil oldu, bu o deməkdir ki, onun ətrafındakı bəzi ərazilər də cavablar olacaq.

Həlllərinizi nəzərdən keçirərkən bunu nəzərə alın.

Birincisi, interval metodunun həll etdiyi problemi hiss etmək üçün bir az söz. Tutaq ki, aşağıdakı bərabərsizliyi həll etməliyik:

(x − 5)(x + 3) > 0

Seçimlər hansılardır? Əksər tələbələrin ağlına gələn ilk şey “artı üstəgəl artı verir” və “mənfi minus artı verir” qaydalarıdır. Buna görə də hər iki mötərizənin müsbət olduğu halı nəzərdən keçirmək kifayətdir: x − 5 > 0 və x + 3 > 0. Sonra hər iki mötərizənin mənfi olduğu halı da nəzərdən keçirək: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Daha qabaqcıl tələbələr (bəlkə də) xatırlayacaqlar ki, solda qrafiki parabola olan kvadrat funksiya var. Üstəlik, bu parabola OX oxunu x = 5 və x = −3 nöqtələrində kəsir. Əlavə iş üçün mötərizələri açmalısınız. Bizdə:

x 2 − 2x − 15 > 0

İndi aydın olur ki, parabolanın budaqları yuxarıya doğru yönəlib, çünki a = 1 > 0 əmsalı. Bu parabolanın diaqramını çəkməyə çalışaq:

Funksiya OX oxundan yuxarı keçdiyi yerdə sıfırdan böyükdür. Bizim vəziyyətimizdə bunlar (−∞ −3) və (5; +∞) intervallarıdır - cavab budur.

Diqqət edin: şəkil tam olaraq göstərilib funksiya diaqramı, onun cədvəli deyil. Çünki real qrafik üçün siz koordinatları saymalı, yerdəyişmələri hesablamalısınız və hələlik bizim heç bir faydamız olmayan başqa şeylərdir.

Bu üsullar niyə səmərəsizdir?

Beləliklə, biz eyni bərabərsizliyin iki həllini nəzərdən keçirdik. Onların hər ikisi olduqca çətin olduğu ortaya çıxdı. İlk qərar yaranır - yalnız bu barədə düşünün! — bərabərsizliklər sistemləri toplusu. İkinci həll də o qədər də asan deyil: parabolanın qrafikini və bir dəstə digər kiçik faktları xatırlamaq lazımdır.

Bu çox sadə bərabərsizlik idi. Onun cəmi 2 çarpanı var. İndi təsəvvür edin ki, 2 deyil, ən azı 4 çarpan olacaq.Məsələn:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Belə bərabərsizliyi necə həll etmək olar? Müsbət və mənfi cəhətlərin bütün mümkün birləşmələrindən keçin? Bəli, bir həll tapdığımızdan daha tez yuxuya gedəcəyik. Qrafik çəkmək də seçim deyil, çünki belə bir funksiyanın koordinat müstəvisində necə davranması aydın deyil.

Belə bərabərsizliklər üçün bu gün nəzərdən keçirəcəyimiz xüsusi bir həll alqoritmi lazımdır.

Interval üsulu nədir

İnterval metodu f (x) > 0 və f (x) formalı mürəkkəb bərabərsizliklərin həlli üçün nəzərdə tutulmuş xüsusi alqoritmdir.< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. f (x) = 0 tənliyini həll edin. Beləliklə, bərabərsizlik əvəzinə həlli daha sadə olan bir tənlik alırıq;
2. Bütün alınan kökləri koordinat xəttində qeyd edin. Beləliklə, düz xətt bir neçə intervala bölünəcək;
3. Ən sağ intervalda f (x) funksiyasının işarəsini (artı və ya mənfi) tapın. Bunun üçün bütün işarələnmiş köklərin sağında olacaq istənilən ədədi f (x) yerinə qoymaq kifayətdir;
4. Qalan intervallarda işarələri qeyd edin. Bunu etmək üçün hər bir kökdən keçəndə işarənin dəyişdiyini unutmayın.

Hamısı budur! Bundan sonra bizə maraqlı olan intervalları yazmaq qalır. Bərabərsizlik f (x) > 0 şəklində idisə, onlar “+” işarəsi ilə və ya bərabərsizlik f (x) şəklində olduqda “-” işarəsi ilə işarələnirlər.< 0.

İlk baxışdan elə görünə bilər ki, interval metodu bir növ tiny şeydir. Ancaq praktikada hər şey çox sadə olacaq. Sadəcə bir az məşq edin və hər şey aydın olacaq. Nümunələrə nəzər salın və özünüz baxın:

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

(x − 2)(x + 7)< 0

İnterval metodundan istifadə edərək işləyirik. Addım 1: bərabərsizliyi tənliklə əvəz edin və həll edin:

(x − 2)(x + 7) = 0

Faktorlardan ən azı biri sıfır olduqda məhsul sıfırdır:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

İki kökümüz var. 2-ci addıma keçək: bu kökləri koordinat xəttində qeyd edin. Bizdə:

İndi addım 3: funksiyanın işarəsini ən sağdakı intervalda tapın (işlənmiş x = 2 nöqtəsinin sağında). Bunun üçün x = 2 ədədindən böyük olan istənilən ədədi götürmək lazımdır. Məsələn, x = 3 götürək (lakin x = 4, x = 10 və hətta x = 10 000 almağı heç kim qadağan etmir). Biz əldə edirik:

f (x) = (x − 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Biz tapırıq ki, f (3) = 10 > 0, ona görə də ən sağdakı intervala artı işarəsi qoyuruq.

Son nöqtəyə keçək - qalan intervallarda işarələri qeyd etməliyik. Xatırlayırıq ki, hər bir kökdən keçəndə işarə dəyişməlidir. Məsələn, x = 2 kökünün sağında bir artı var (biz buna əvvəlki addımda əmin olduq), buna görə də solda bir mənfi olmalıdır.

Bu mənfi bütün intervala qədər uzanır (−7; 2), buna görə də x = −7 kökünün sağında mənfi var. Buna görə də, x = −7 kökünün solunda bir artı var. Bu işarələri koordinat oxunda qeyd etmək qalır. Bizdə:

Forması olan orijinal bərabərsizliyə qayıdaq:

(x − 2)(x + 7)< 0

Beləliklə, funksiya sıfırdan kiçik olmalıdır. Bu o deməkdir ki, bizi yalnız bir intervalda görünən mənfi işarəsi maraqlandırır: (−7; 2). Bu cavab olacaq.

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Addım 1: sol tərəfi sıfıra təyin edin:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Unutmayın: amillərdən ən azı biri sıfıra bərabər olduqda məhsul sıfıra bərabərdir. Buna görə də hər bir fərdi mötərizəni sıfıra bərabərləşdirmək hüququmuz var.

Addım 2: koordinat xəttində bütün kökləri qeyd edin:

Addım 3: ən sağdakı boşluğun işarəsini tapın. Biz x = 1-dən böyük olan istənilən ədədi götürürük. Məsələn, x = 10 götürə bilərik. Bizdə:

f (x) = (x + 9)(x − 3)(1 − x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = -1197< 0.

Addım 4: qalan işarələrin yerləşdirilməsi. Xatırlayırıq ki, hər bir kökdən keçəndə işarə dəyişir. Nəticədə şəklimiz belə görünəcək:

Hamısı budur. Yalnız cavabı yazmaq qalır. Orijinal bərabərsizliyə bir daha nəzər salın:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Bu f(x) formasının bərabərsizliyidir.< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Bu cavabdır.

Funksiya əlamətləri haqqında qeyd

Təcrübə göstərir ki, interval metodunda ən böyük çətinliklər son iki addımda yaranır, yəni. nişanlar qoyarkən. Bir çox tələbələr çaşqın olmağa başlayır: hansı nömrələri götürməli və işarələri hara qoymalı.

Nəhayət, interval metodunu başa düşmək üçün onun əsaslandığı iki müşahidəni nəzərdən keçirin:

1. Davamlı funksiya yalnız həmin nöqtələrdə işarəni dəyişir burada sıfıra bərabərdir. Belə nöqtələr koordinat oxunu hissələrə ayırır, onların daxilində funksiyanın işarəsi heç vaxt dəyişmir. Buna görə də f (x) = 0 tənliyini həll edirik və tapılan kökləri düz xətt üzərində işarələyirik. Tapılan nömrələr müsbət və mənfi cəhətləri ayıran "sərhəd" nöqtələridir.
2. İstənilən intervalda funksiyanın işarəsini tapmaq üçün bu intervaldan istənilən ədədi funksiyaya əvəz etmək kifayətdir. Məsələn, (−5; 6) intervalı üçün x = −4, x = 0, x = 4 və hətta istəsək, x = 1,29374 götürmək hüququmuz var. Niyə vacibdir? Bəli, çünki şübhələr bir çox tələbələri kemirməyə başlayır. Məsələn, x = −4 üçün artı, x = 0 üçün isə mənfi olarsa necə? Amma heç vaxt belə bir şey olmayacaq. Eyni intervalda olan bütün nöqtələr eyni işarəni verir. Bunu yadda saxla.

İnterval metodu haqqında bilmək lazım olan hər şey budur. Təbii ki, biz bunu ən sadə formada təhlil etdik. Daha mürəkkəb bərabərsizliklər var - qeyri-ciddi, fraksiya və təkrar köklərlə. Onlar üçün interval metodundan da istifadə edə bilərsiniz, lakin bu, ayrıca böyük bir dərs üçün mövzudur.

İndi interval metodunu kəskin şəkildə asanlaşdıran qabaqcıl texnikaya baxmaq istərdim. Daha doğrusu, sadələşdirmə yalnız üçüncü addıma - xəttin ən sağ hissəsindəki işarənin hesablanmasına təsir göstərir. Nədənsə məktəblərdə bu texnika öyrədilmir (ən azı bunu mənə izah edən olmayıb). Ancaq boş yerə - çünki əslində bu alqoritm çox sadədir.

Deməli, funksiyanın işarəsi ədəd xəttinin sağ hissəsindədir. Bu parça (a ; +∞) formasına malikdir, burada a f (x) = 0 tənliyinin ən böyük köküdür. Fikrinizi qarışdırmamaq üçün konkret bir nümunəyə nəzər salaq:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x);
(x − 1)(2 + x)(7 − x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

3 kök aldıq. Onları artan ardıcıllıqla sadalayaq: x = −2, x = 1 və x = 7. Aydındır ki, ən böyük kök x = 7-dir.

Qrafik olaraq əsaslandırmağı asan hesab edənlər üçün bu kökləri koordinat xəttində qeyd edəcəm. Gəlin görək nə baş verir:

Ən sağ intervalda f (x) funksiyasının işarəsini tapmaq tələb olunur, yəni. (7; +∞). Ancaq artıq qeyd etdiyimiz kimi, işarəni təyin etmək üçün bu intervaldan istənilən rəqəmi götürə bilərsiniz. Məsələn, x = 8, x = 150 və s. götürə bilərsiniz. İndi də - məktəblərdə öyrədilməyən eyni texnika: sonsuzluğu ədəd kimi götürək. Daha dəqiq, üstəgəl sonsuzluq, yəni. +∞.

“Daşlandın? Sonsuzluğu funksiyada necə əvəz edə bilərsiniz? - deyə soruşa bilərsiniz. Ancaq düşünün: bizə funksiyanın dəyəri lazım deyil, yalnız işarə lazımdır. Buna görə də, məsələn, f (x) = −1 və f (x) = −938 740 576 215 dəyərləri eyni şeyi ifadə edir: bu intervaldakı funksiya mənfidir. Buna görə də sizdən tələb olunan tək şey funksiyanın dəyərini deyil, sonsuzluqda görünən işarəni tapmaqdır.

Əslində, sonsuzluğu əvəz etmək çox sadədir. Funksiyamıza qayıdaq:

f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Təsəvvür edin ki, x çox böyük rəqəmdir. Milyar, hətta trilyon. İndi hər mötərizədə nə baş verdiyini görək.

Birinci mötərizə: (x − 1). Bir milyarddan bir çıxsanız nə olar? Nəticə milyarddan çox da fərqlənməyən bir rəqəm olacaq və bu rəqəm müsbət olacaq. Eyni şəkildə ikinci mötərizə ilə: (2 + x). İkiyə bir milyard əlavə etsəniz, bir milyard və qəpik alırsınız - bu müsbət rəqəmdir. Nəhayət, üçüncü mötərizə: (7 − x). Burada mənfi bir milyard olacaq, ondan yeddi şəklində acınacaqlı bir parça "yıxılıb". Bunlar. nəticədə çıxan rəqəm mənfi milyarddan çox da fərqlənməyəcək - mənfi olacaq.

Bütün işin əlamətini tapmaq qalır. İlk mötərizədə artı, sonuncuda isə mənfi olduğu üçün aşağıdakı konstruksiyanı əldə edirik:

(+) · (+) · (−) = (−)

Son işarə mənfidir! Və funksiyanın özünün dəyərinin nə olmasının əhəmiyyəti yoxdur. Əsas odur ki, bu dəyər mənfidir, yəni. ən sağdakı intervalın mənfi işarəsi var. Yalnız interval metodunun dördüncü addımını tamamlamaq qalır: bütün əlamətləri tənzimləyin. Bizdə:

Orijinal bərabərsizlik belə idi:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Buna görə də biz mənfi işarə ilə qeyd olunan intervallarla maraqlanırıq. Cavabı yazırıq:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Sənə demək istədiyim bütün hiylə budur. Sonda, burada sonsuzluqdan istifadə edərək interval üsulu ilə həll edilə bilən başqa bir bərabərsizlik var. Həllini vizual olaraq qısaltmaq üçün addım nömrələri və ətraflı şərhlər yazmayacağam. Mən yalnız real problemləri həll edərkən həqiqətən yazmağınız lazım olanları yazacağam:

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Bərabərsizliyi bir tənliklə əvəz edirik və həll edirik:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Hər üç kökü koordinat xəttində qeyd edirik (bir anda işarələrlə):

Koordinat oxunun sağ tərəfində bir artı var, çünki funksiya belə görünür:

f (x) = x (2x + 8)(x − 3)

Əgər sonsuzluğu (məsələn, milyard) əvəz etsək, üç müsbət mötərizə alırıq. Orijinal ifadə sıfırdan böyük olmalı olduğundan, bizi yalnız müsbət cəhətləri maraqlandırır. Yalnız cavabı yazmaq qalır:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)