Tele2-də kömək, tariflər, suallar

Bu gün, dostlar, heç bir snook və sentimentallıq olmayacaq. Əvəzində mən sizi heç bir sual vermədən 8-9-cu sinif cəbr kursunda ən güclü rəqiblərdən biri ilə döyüşə göndərəcəyəm.

Bəli, siz hər şeyi düzgün başa düşdünüz: modullu bərabərsizliklərdən danışırıq. Bu cür problemlərin təxminən 90% -ni həll etməyi öyrənəcəyiniz dörd əsas texnikaya baxacağıq. Bəs qalan 10%? Yaxşı, onlar haqqında ayrı bir dərsdə danışacağıq. :)

Bununla belə, hər hansı bir texnikanı təhlil etməzdən əvvəl sizə artıq bilməli olduğunuz iki faktı xatırlatmaq istərdim. Əks təqdirdə, bugünkü dərsin materialını ümumiyyətlə başa düşməmək riski daşıyırsınız.

Artıq bilməli olduğunuz şey

Captain Obviousness, modul ilə bərabərsizlikləri həll etmək üçün iki şeyi bilmək lazım olduğuna işarə edir:

1. Bərabərsizliklər necə həll olunur;
2. Modul nədir?

İkinci nöqtədən başlayaq.

Modul Tərifi

Burada hər şey sadədir. İki tərif var: cəbri və qrafiki. Başlamaq üçün - cəbri:

Tərif. $x$ ədədinin modulu ya mənfi deyilsə, onun özüdür, ya da orijinal $x$ hələ də mənfidirsə, onun əksi ədəddir.

Belə yazılıb:

\[\sol| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Sadə dillə desək, modul “mənfisi olmayan ədəddir”. Məhz bu ikilikdə (bəzi yerlərdə orijinal nömrə ilə heç nə etmək lazım deyil, digərlərində isə bir növ mənfi cəhətləri aradan qaldırmaq lazımdır) yeni başlayan tələbələr üçün bütün çətinlik buradadır.

Həndəsi tərif də var. Bunu bilmək də faydalıdır, lakin biz ona yalnız mürəkkəb və bəzi xüsusi hallarda müraciət edəcəyik, burada həndəsi yanaşma cəbri yanaşmadan daha əlverişlidir (spoiler: bu gün deyil).

Tərif. Nömrə xəttində $a$ nöqtəsi qeyd olunsun. Sonra modul $\left| x-a \right|$ bu xəttdə $x$ nöqtəsindən $a$ nöqtəsinə qədər olan məsafədir.

Bir şəkil çəksəniz, belə bir şey alacaqsınız:

Qrafik modulun tərifi

Bu və ya digər şəkildə, modulun tərifindən onun əsas xassələri dərhal aşağıdakılardır: ədədin modulu həmişə qeyri-mənfi kəmiyyətdir. Bu fakt bugünkü bütün hekayəmizdən keçən qırmızı iplik olacaq.

Bərabərsizliklərin həlli. İnterval üsulu

İndi bərabərsizliklərə baxaq. Onların çoxu var, amma indi bizim vəzifəmiz ən azı onlardan ən sadəini həll etməkdir. Xətti bərabərsizliklərə, eləcə də interval metoduna endirənlər.

Bu mövzuda iki böyük dərsim var (yeri gəlmişkən, çox, çox faydalıdır - onları öyrənməyi məsləhət görürəm):

1. Bərabərsizliklər üçün interval üsulu (xüsusilə videoya baxın);
2. Fraksiyalı rasional bərabərsizliklər çox geniş bir dərsdir, lakin ondan sonra heç bir sualınız olmayacaq.

Əgər bütün bunları bilirsinizsə, əgər “bərabərsizlikdən tənliyə keçək” ifadəsi sizdə özünüzü divara vurmaq istəyini qeyri-müəyyən yaratmırsa, deməli siz hazırsınız: dərsin əsas mövzusuna cəhənnəmə xoş gəlmisiniz. :)

1. “Modul funksiyadan azdır” formasının bərabərsizlikləri

Bu modullarla bağlı ən çox rast gəlinən problemlərdən biridir. Formanın bərabərsizliyini həll etmək tələb olunur:

\[\sol| f\sağ| \ltg\]

$f$ və $g$ funksiyaları istənilən ola bilər, lakin adətən onlar çoxhədlidirlər. Belə bərabərsizliklərə misallar:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \sağ| \lt x+7; \\ & \sol| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \sağ) \lt 0; \\ & \sol| ((x)^(2))-2\sol| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

Hamısı aşağıdakı sxemə uyğun olaraq bir sətirdə sözün həqiqi mənasında həll edilə bilər:

\[\sol| f\sağ| \lt g\Sağ ox -g \lt f \lt g\dörd \sol(\Sağ ox \sol\( \başla(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(düzləşdir) \sağ.\sağ)\]

Moduldan qurtulduğumuzu görmək asandır, lakin bunun müqabilində ikiqat bərabərsizlik (və ya eyni şeydir, iki bərabərsizlik sistemi) alırıq. Ancaq bu keçid tamamilə bütün mümkün problemləri nəzərə alır: modulun altındakı rəqəm müsbət olarsa, üsul işləyir; mənfi olarsa, yenə də işləyir; və hətta $f$ və ya $g$ əvəzinə ən qeyri-adekvat funksiya ilə belə metod yenə də işləyəcək.

Təbii ki, sual yaranır: daha sadə ola bilməzdi? Təəssüf ki, bu mümkün deyil. Bu modulun bütün nöqtəsidir.

Ancaq fəlsəfə ilə kifayətlənir. Gəlin bir neçə problemi həll edək:

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\sol| 2x+3 \sağ| \lt x+7\]

Həll. Beləliklə, qarşımızda "modul azdır" şəklində klassik bir bərabərsizlik var - çevriləcək heç bir şey yoxdur. Alqoritmə uyğun işləyirik:

\[\begin(align) & \left| f\sağ| \lt g\Sağ ox -g \lt f \lt g; \\ & \sol| 2x+3 \sağ| \lt x+7\Sağ ox -\sol(x+7 \sağ) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Önündə "mənfi" olan mötərizələri açmağa tələsməyin: tələsdiyinizə görə təhqiramiz bir səhv etməyiniz çox mümkündür.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \sağa.\]

\[\sol\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \sağa.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \sağ.\]

Problem iki elementar bərabərsizliyə endirildi. Onların həllərini paralel say xətləri üzərində qeyd edək:

Çoxlarının kəsişməsi

Bu dəstlərin kəsişməsi cavab olacaq.

Cavab: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ|+3\sol(x+1 \sağ) \lt 0\]

Həll. Bu iş bir az daha çətindir. Əvvəlcə ikinci termini sağa köçürərək modulu təcrid edək:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \lt -3\sol(x+1 \sağ)\]

Aydındır ki, biz yenə də “modul daha kiçikdir” şəklində bərabərsizliyə sahibik, ona görə də artıq məlum olan alqoritmdən istifadə edərək moduldan qurturuq:

\[-\sol(-3\sol(x+1 \sağ) \sağ) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\sol(x+1 \sağ)\]

İndi diqqət edin: kimsə deyəcək ki, mən bütün bu mötərizələrlə bir az pozğunam. Ancaq bir daha xatırlatmaq istərdim ki, bizim əsas məqsədimiz budur bərabərsizliyi düzgün həll edin və cavabını alın. Daha sonra, bu dərsdə təsvir olunan hər şeyi mükəmməl mənimsədikdən sonra, onu özünüz istədiyiniz kimi təhrif edə bilərsiniz: mötərizələr açın, mənfi cəhətlər əlavə edin və s.

Başlamaq üçün sol tərəfdəki ikiqat mənfidən xilas olacağıq:

\[-\sol(-3\sol(x+1 \sağ) \sağ)=\sol(-1 \sağ)\cdot \left(-3 \sağ)\cdot \sol(x+1 \sağ) =3\sol(x+1 \sağ)\]

İndi ikiqat bərabərsizlikdə bütün mötərizələri açaq:

Gəlin ikiqat bərabərsizliyə keçək. Bu dəfə hesablamalar daha ciddi olacaq:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(hizalayın) \sağa.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( düzləşdirin)\sağa.\]

Hər iki bərabərsizlik kvadratdır və interval metodundan istifadə etməklə həll edilə bilər (buna görə deyirəm: bunun nə olduğunu bilmirsinizsə, hələ modulları götürməmək daha yaxşıdır). Birinci bərabərsizlikdəki tənliyə keçək:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \sağ)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(hizalayın)\]

Göründüyü kimi, çıxış elementar şəkildə həll edilə bilən natamam kvadratik tənlikdir. İndi sistemin ikinci bərabərsizliyinə baxaq. Orada Vyeta teoremini tətbiq etməli olacaqsınız:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \sol(x-3 \sağ)\sol(x+2 \sağ)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(hizalayın)\]

Yaranan ədədləri iki paralel xətt üzərində qeyd edirik (birinci bərabərsizlik üçün ayrı, ikincisi üçün ayrı):

Yenə bərabərsizliklər sistemini həll etdiyimiz üçün bizi kölgəli çoxluqların kəsişməsi maraqlandırır: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Bu cavabdır.

Cavab: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Düşünürəm ki, bu nümunələrdən sonra həll sxemi son dərəcə aydındır:

1. Bütün digər şərtləri bərabərsizliyin əks tərəfinə keçirərək modulu təcrid edin. Beləliklə, $\left| formasının bərabərsizliyini alırıq f\sağ| \ltg$.
2. Yuxarıda təsvir olunan sxemə uyğun olaraq moduldan qurtulmaqla bu bərabərsizliyi həll edin. Nə vaxtsa ikiqat bərabərsizlikdən hər biri artıq ayrıca həll oluna bilən iki müstəqil ifadələr sisteminə keçmək lazım gələcək.
3. Nəhayət, qalan yalnız bu iki müstəqil ifadənin həllərini kəsməkdir - və budur, son cavabı alacağıq.

Oxşar alqoritm modul funksiyadan böyük olduqda aşağıdakı növ bərabərsizliklər üçün mövcuddur. Bununla belə, bir neçə ciddi “amma” var. İndi bu "amma"lar haqqında danışacağıq.

2. “Modul funksiyadan böyükdür” formasının bərabərsizlikləri

Onlar belə görünür:

\[\sol| f\sağ| \gtg\]

Əvvəlki ilə oxşar? Görünür. Və hələ də bu cür problemlər tamamilə fərqli şəkildə həll olunur. Formal olaraq, sxem aşağıdakı kimidir:

\[\sol| f\sağ| \gt g\Sağ ox \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Başqa sözlə, biz iki halı nəzərdən keçiririk:

1. Birincisi, biz sadəcə modula məhəl qoymuruq və adi bərabərsizliyi həll edirik;
2. Sonra, mahiyyət etibarilə, modulu mənfi işarəsi ilə genişləndiririk və sonra bərabərsizliyin hər iki tərəfini -1-ə vururuq, məndə işarə var.

Bu halda, variantlar kvadrat mötərizə ilə birləşdirilir, yəni. Qarşımızda iki tələbin birləşməsi var.

Xahiş edirik bir daha qeyd edin: bu, sistem deyil, buna görə də məcmuədir cavabda çoxluqlar kəsişmək əvəzinə birləşir. Bu, əvvəlki nöqtədən əsaslı fərqdir!

Ümumiyyətlə, bir çox tələbələr həmkarlar ittifaqları və kəsişmələrlə tamamilə qarışıqdırlar, buna görə də bu məsələni birdəfəlik həll edək:

• "∪" birlik işarəsidir. Əslində, bu, bizə ingilis dilindən gələn və "Union" üçün qısaldılmış stilizə edilmiş "U" hərfidir, yəni. "Birliklər".
• "∩" kəsişmə işarəsidir. Bu cəfəngiyat heç bir yerdən gəlməyib, sadəcə olaraq “∪” ilə əks nöqtə kimi ortaya çıxdı.

Yadda saxlamağı daha da asanlaşdırmaq üçün eynək hazırlamaq üçün ayaqlarınızı bu işarələrə çəkin (yalnız indi məni narkomaniya və alkoqolizmi təbliğ etməkdə günahlandırmayın: əgər bu dərsi ciddi şəkildə öyrənirsinizsə, deməli, artıq narkotik aludəçisisiniz):

Çoxluqların kəsişməsi və birləşməsi arasındakı fərq

Rus dilinə tərcümə edilərsə, bu, aşağıdakıları ifadə edir: birlik (total) hər iki çoxluğun elementlərini ehtiva edir, buna görə də onların hər birindən heç bir şəkildə az deyil; lakin kəsişmə (sistem) yalnız həm birinci çoxluqda, həm də ikincidə eyni vaxtda olan elementləri ehtiva edir. Buna görə də çoxluqların kəsişməsi heç vaxt mənbə çoxluqlarından böyük deyil.

Yəni daha aydın oldu? Əladır. Gəlin məşqə keçək.

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\sol| 3x+1 \sağ| \gt 5-4x\]

Həll. Sxemə uyğun olaraq davam edirik:

\[\sol| 3x+1 \sağ| \gt 5-4x\Sağ ox \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \sağ) \\\end(align) \ sağ.\]

Əhalidəki hər bərabərsizliyi həll edirik:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \sağa.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \sağa.\]

Hər bir nəticə dəsti rəqəm xəttində qeyd edirik və sonra onları birləşdiririk:

Dəstlər birliyi

Cavabın $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ olacağı aydındır.

Cavab: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \gt x\]

Həll. Yaxşı? Heç nə - hər şey eynidir. Modulu olan bərabərsizlikdən iki bərabərsizlik dəstinə keçirik:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \gt x\Sağ ox \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\sonu(düzləşdirin) \sağa.\]

Hər bərabərsizliyi həll edirik. Təəssüf ki, oradakı köklər çox yaxşı olmayacaq:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(hizalayın)\]

İkinci bərabərsizlik də bir qədər vəhşidir:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(hizalayın)\]

İndi bu nömrələri iki oxda qeyd etməlisiniz - hər bərabərsizlik üçün bir ox. Bununla belə, nöqtələri düzgün ardıcıllıqla qeyd etməlisiniz: rəqəm nə qədər böyükdürsə, nöqtə bir o qədər sağa doğru hərəkət edir.

Və burada bizi bir quraşdırma gözləyir. $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ rəqəmləri ilə hər şey aydındırsa (birincinin payındakı şərtlər kəsr ikincinin payındakı şərtlərdən kiçikdir, ona görə də cəmi də azdır), rəqəmləri ilə $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) (21))(2)$ da heç bir çətinlik olmayacaq (müsbət rəqəm açıq-aydın daha mənfi), onda sonuncu cütlükdə hər şey o qədər də aydın deyil. Hansı daha böyükdür: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ və ya $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Nöqtələrin say xətlərində yerləşdirilməsi və əslində cavab bu sualın cavabından asılı olacaq.

Beləliklə, müqayisə edək:

\[\begin(matris) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matris)\]

Kökü təcrid etdik, bərabərsizliyin hər iki tərəfində mənfi olmayan ədədlər aldıq, ona görə də hər iki tərəfi kvadrat etmək hüququmuz var:

\[\begin(matris) ((\left(2+\sqrt(13) \sağ))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \sağ))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matris)\]

Düşünürəm ki, $4\sqrt(13) \gt 3$, buna görə də $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, baltalardakı son nöqtələr belə yerləşdiriləcək:

Çirkin köklər hadisəsi

Nəzərinizə çatdırım ki, biz çoxluğu həll edirik, buna görə də cavab kölgəli çoxluqların kəsişməsi deyil, birlik olacaq.

Cavab: $x\in \left(-\infty;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2) );+\infty \sağ)$

Gördüyünüz kimi, sxemimiz həm sadə, həm də çox çətin problemlər üçün əla işləyir. Bu yanaşmada yeganə "zəif nöqtə" odur ki, irrasional ədədləri düzgün müqayisə etməlisiniz (və inanın: bunlar təkcə köklər deyil). Ancaq müqayisə məsələlərinə ayrıca (və çox ciddi) bir dərs həsr olunacaq. Və davam edirik.

3. Mənfi olmayan “quyruqları” olan bərabərsizliklər

İndi ən maraqlı hissəyə keçirik. Bunlar formanın bərabərsizlikləridir:

\[\sol| f\sağ| \gt\left| g\right|\]

Ümumiyyətlə, indi danışacağımız alqoritm yalnız modul üçün düzgündür. Sol və sağda mənfi olmayan ifadələrin zəmanətli olduğu bütün bərabərsizliklərdə işləyir:

Bu vəzifələrlə nə etməli? Sadəcə unutmayın:

Mənfi olmayan “quyruqları” olan bərabərsizliklərdə hər iki tərəf istənilən təbii gücə qaldırıla bilər. Əlavə məhdudiyyətlər olmayacaq.

Əvvəla, kvadratlaşdırma ilə maraqlanacağıq - modulları və kökləri yandırır:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\sol(\sqrt(f) \sağ))^(2))=f. \\\end(hizalayın)\]

Sadəcə bunu kvadratın kökü ilə qarışdırmayın:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\sol| f \right|\ne f\]

Tələbə modul quraşdırmağı unutduqda saysız-hesabsız səhvlər edildi! Ancaq bu, tamamilə fərqli bir hekayədir (bunlar, sanki, irrasional tənliklərdir), ona görə də indi bu mövzuya girməyəcəyik. Gəlin bir neçə problemi daha yaxşı həll edək:

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\sol| x+2 \sağ|\ge \sol| 1-2x \sağ|\]

Həll. Gəlin dərhal iki şeyə diqqət yetirək:

1. Bu ciddi bərabərsizlik deyil. Nömrə xəttindəki nöqtələr deşiləcək.
2. Bərabərsizliyin hər iki tərəfi açıq şəkildə mənfi deyildir (bu modulun xüsusiyyətidir: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Beləliklə, moduldan xilas olmaq və problemi adi interval metodundan istifadə edərək həll etmək üçün bərabərsizliyin hər iki tərəfini kvadratlaşdıra bilərik:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \sağ)) )^(2)); \\ & ((\sol(x+2 \sağ))^(2))\ge ((\left(2x-1 \sağ))^(2)). \\\end(hizalayın)\]

Sonuncu mərhələdə bir az aldatdım: modulun bərabərliyindən istifadə edərək terminlərin ardıcıllığını dəyişdim (əslində $1-2x$ ifadəsini −1-ə vurdum).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \sağ))^(2))\le 0; \\ & \left(\sol(2x-1 \sağ)-\left(x+2 \sağ) \sağ)\cdot \left(\left(2x-1 \sağ)+\left(x+2 \ sağ)\sağ)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \sağ)\cdot \left(2x-1+x+2 \sağ)\le 0; \\ & \left(x-3 \sağ)\cdot \left(3x+1 \sağ)\le 0. \\\end(align)\]

Interval metodundan istifadə edərək həll edirik. Gəlin bərabərsizlikdən tənliyə keçək:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(hizalayın)\]

Tapılan kökləri say xəttində qeyd edirik. Bir daha: orijinal bərabərsizlik ciddi olmadığı üçün bütün nöqtələr kölgədədir!

Modul işarəsindən qurtulmaq

Xüsusilə inadkar olanlar üçün xatırlatmaq istəyirəm: biz tənliyə keçməzdən əvvəl yazılmış sonuncu bərabərsizlikdən işarələri götürürük. Və eyni bərabərsizlikdə tələb olunan sahələri boyayırıq. Bizim vəziyyətimizdə $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$-dır.

Tamam, indi hər şey bitdi. Problem həll olunur.

Cavab: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\sol| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \sağ|\]

Həll. Biz hər şeyi eyni edirik. Mən şərh verməyəcəyəm - sadəcə hərəkətlərin ardıcıllığına baxın.

Kvadrat:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \sağ| \sağ))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \sağ| \sağ))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \sağ))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right)))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \sağ))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ sağa))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \sağ)\times \\ & \times \sol(((x)) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \sağ)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \sağ)\le 0. \\\end(align)\]

Interval metodu:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Sağ ox x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(hizalayın)\]

Say xəttində yalnız bir kök var:

Cavab bütöv bir intervaldır

Cavab: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Son tapşırıq haqqında kiçik bir qeyd. Tələbələrimdən birinin dəqiq qeyd etdiyi kimi, bu bərabərsizlikdəki hər iki submodul ifadəsi açıq şəkildə müsbətdir, ona görə də modul işarəsi sağlamlığa zərər vermədən buraxıla bilər.

Ancaq bu, tamamilə fərqli bir düşüncə səviyyəsi və fərqli yanaşmadır - onu şərti olaraq nəticələr metodu adlandırmaq olar. Bu barədə - ayrı bir dərsdə. İndi bugünkü dərsin yekun hissəsinə keçək və həmişə işləyən universal alqoritmə baxaq. Bütün əvvəlki yanaşmalar gücsüz olsa belə. :)

4. Variantların sadalanması üsulu

Bəs bütün bu üsullar kömək etmirsə? Bərabərsizliyi mənfi olmayan quyruqlara endirmək mümkün deyilsə, modulu təcrid etmək mümkün deyilsə, ümumiyyətlə ağrı, kədər, melankoliya varsa?

Sonra bütün riyaziyyatın "ağır artilleriyası" səhnəyə çıxır - kobud qüvvə üsulu. Modulu olan bərabərsizliklərə münasibətdə belə görünür:

1. Bütün submodul ifadələri yazın və onları sıfıra bərabər qoyun;
2. Alınan tənlikləri həll edin və bir ədəd xəttində tapılan kökləri qeyd edin;
3. Düz xətt bir neçə hissəyə bölünəcək, onların daxilində hər bir modul sabit işarəyə malikdir və buna görə də unikal şəkildə aşkarlanır;
4. Hər bir belə bölmə üzrə bərabərsizliyi həll edin (2-ci addımda əldə edilən kök-sərhədləri ayrıca nəzərdən keçirə bilərsiniz - etibarlılıq üçün). Nəticələri birləşdirin - cavab bu olacaq. :)

Belə ki, necə? Zəif? Asanlıqla! Yalnız uzun müddətdir. Gəlin praktikada baxaq:

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\sol| x+2 \sağ| \lt \sol| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Həll. Bu cəfəngiyat $\left| kimi bərabərsizliklərə köklənmir f\sağ| \lt g$, $\sol| f\sağ| \gt g$ və ya $\left| f\sağ| \lt \sol| g \right|$, buna görə də irəlidə hərəkət edirik.

Submodul ifadələri yazırıq, onları sıfıra bərabərləşdiririk və kökləri tapırıq:

\[\begin(align) & x+2=0\Sağ ox x=-2; \\ & x-1=0\Sağ ox x=1. \\\end(hizalayın)\]

Ümumilikdə, say xəttini üç hissəyə bölən iki kökümüz var, onların içərisində hər modul unikal şəkildə aşkar edilir:

Submodul funksiyaların ədəd xəttinin sıfırlara bölünməsi

Hər bölməyə ayrıca baxaq.

1. $x \lt -2$ olsun. Onda hər iki submodul ifadə mənfi olur və orijinal bərabərsizlik aşağıdakı kimi yenidən yazılacaq:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(hizalayın)\]

Kifayət qədər sadə bir məhdudiyyət aldıq. $x \lt -2$ olan ilkin fərziyyə ilə kəsişək:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Sağ ox x\in \varnothing \]

Aydındır ki, $x$ dəyişəni eyni vaxtda −2-dən kiçik və 1,5-dən böyük ola bilməz. Bu sahədə heç bir həll yolu yoxdur.

1.1. Sərhəd halını ayrıca nəzərdən keçirək: $x=-2$. Gəlin bu rəqəmi ilkin bərabərsizliklə əvəz edək və yoxlayaq: doğrudurmu?

\[\begin(align) & ((\sol. \left| x+2 \sağ| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \sağ|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \sol| -3\right|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Sağ ox \varnothing . \\\end(hizalayın)\]

Aydındır ki, hesablamalar zənciri bizi düzgün olmayan bərabərsizliyə gətirib çıxarıb. Buna görə də ilkin bərabərsizlik də yanlışdır və $x=-2$ cavaba daxil edilmir.

2. İndi $-2 \lt x \lt 1$ olsun. Sol modul artıq "artı" ilə açılacaq, lakin sağ modul hələ də "minus" ilə açılacaq. Bizdə:

\[\başla(align) & x+2 \lt -\sol(x-1 \sağ)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\sonu(hizalayın)\]

Yenə orijinal tələblə kəsişir:

\[\sol\( \başlamaq(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(hizalamaq) \sağa.\Sağ ox x\in \varheç bir şey \]

Və yenə də həllər çoxluğu boşdur, çünki həm −2,5-dən kiçik, həm də −2-dən böyük olan heç bir ədəd yoxdur.

2.1. Və yenə də xüsusi hal: $x=1$. Orijinal bərabərsizliyi əvəz edirik:

\[\begin(align) & ((\sol. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \sağ|)_(x=1)) \\ & \sol| 3\sağ| \lt \sol| 0\right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Sağ ox \varnothing . \\\end(hizalayın)\]

Əvvəlki “xüsusi hal” kimi, $x=1$ rəqəmi aydın şəkildə cavaba daxil edilmir.

3. Xəttin sonuncu hissəsi: $x \gt 1$. Burada bütün modullar artı işarəsi ilə açılır:

\[\başla(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Və yenə tapılan çoxluğu orijinal məhdudiyyətlə kəsirik:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \sağa.\Sağ ox x\in \left(4.5;+\infty \sağ)\ ]

Nəhayət! Cavab olacaq bir interval tapdıq.

Cavab: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Nəhayət, real problemləri həll edərkən sizi axmaq səhvlərdən xilas edə biləcək bir qeyd:

Modullu bərabərsizliklərin həlli adətən say xəttində fasiləsiz çoxluqları - intervalları və seqmentləri təmsil edir. İzolyasiya edilmiş nöqtələr daha az yayılmışdır. Və daha az hallarda, həllin sərhədi (seqmentin sonu) nəzərdən keçirilən diapazonun sərhədi ilə üst-üstə düşür.

Nəticə etibarilə, əgər sərhədlər (eyni “xüsusi hallar”) cavaba daxil edilməyibsə, bu sərhədlərin solunda və sağında olan sahələr demək olar ki, cavaba daxil edilməyəcək. Və əksinə: sərhəd cavaba daxil oldu, bu o deməkdir ki, onun ətrafındakı bəzi ərazilər də cavablar olacaq.

Həlllərinizi nəzərdən keçirərkən bunu nəzərə alın.

Ancaq bu gün rasional bərabərsizliklər hər şeyi həll edə bilməz. Daha doğrusu, təkcə hər kəs qərar verə bilməz. Bunu az adam edə bilər.
Kliçko

Bu dərs çətin olacaq. O qədər çətin ki, yalnız seçilmişlər sona çatacaq. Ona görə də oxumağa başlamazdan əvvəl qadınları, pişikləri, hamilə uşaqları və... ekranlardan çıxarmağı məsləhət görürəm.

Hadi, əslində sadədir. Tutaq ki, siz interval metodunu mənimsəmisiniz (əgər mənimsəməmisinizsə, geri qayıdıb oxumağı məsləhət görürəm) və $P\left(x \right) \gt 0$ formasının bərabərsizliklərini necə həll etməyi öyrəndiniz, burada $ P\left(x \right)$ bəzi çoxhədli və ya çoxhədlilərin məhsuludur.

İnanıram ki, məsələn, belə bir şeyi həll etmək sizin üçün çətin olmayacaq (yeri gəlmişkən, istiləşmə kimi cəhd edin):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \sağ)\left(x-1 \sağ)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \sağ)((\left(x-5 \sağ))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

İndi məsələni bir az çətinləşdirək və təkcə çoxhədliləri deyil, formanın rasional fraksiyalarını da nəzərdən keçirək:

burada $P\left(x \right)$ və $Q\left(x \right)$ $((a)_(n))((x)^(n))+( formasının eyni polinomlarıdır. ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$ və ya belə çoxhədlərin hasili.

Bu rasional bərabərsizlik olacaq. Əsas məqam məxrəcdə $x$ dəyişəninin olmasıdır. Məsələn, bunlar rasional bərabərsizliklərdir:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \sağ)\left(11x+2 \sağ))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \sağ))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \sağ))\ge 0. \\ \end(align)\]

Və bu rasional bərabərsizlik deyil, interval üsulu ilə həll edilə bilən ən ümumi bərabərsizlikdir:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

İrəliyə baxaraq, dərhal deyəcəyəm: rasional bərabərsizlikləri həll etməyin ən azı iki yolu var, lakin bunların hamısı, bu və ya digər şəkildə, bizə artıq məlum olan intervallar üsuluna gəlir. Buna görə də, bu üsulları təhlil etməzdən əvvəl köhnə faktları xatırlayaq, əks halda yeni materialdan heç bir məna olmayacaqdır.

Artıq bilməli olduğunuz şey

Heç vaxt çox vacib faktlar yoxdur. Həqiqətən bizə yalnız dörd lazımdır.

Qısaldılmış vurma düsturları

Bəli, bəli: onlar bizi məktəb riyaziyyat kurikulumunda təqib edəcəklər. Həm də universitetdə. Bu düsturların bir neçəsi var, lakin bizə yalnız aşağıdakılar lazımdır:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \sağ))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \sağ)\left(a+b \sağ); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \sağ)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2)) \sağ); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+(b)^( 2))\sağ). \\ \end(hizalayın)\]

Son iki düstura diqqət yetirin - bunlar kubların cəmi və fərqidir (və cəmin və ya fərqin kubu deyil!). Birinci mötərizədəki işarənin orijinal ifadədəki işarə ilə üst-üstə düşdüyünü, ikincisində isə orijinal ifadədəki işarənin əksinə olduğunu görsəniz, onları xatırlamaq asandır.

Xətti tənliklər

Bunlar $ax+b=0$ formasının ən sadə tənlikləridir, burada $a$ və $b$ adi ədədlərdir və $a\ne 0$. Bu tənliyi sadə şəkildə həll etmək olar:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\&ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(hizalayın)\]

Qeyd edim ki, $a$ əmsalına bölmək hüququmuz var, çünki $a\ne 0$. Bu tələb olduqca məntiqlidir, çünki $a=0$ üçün bunu alırıq:

Birincisi, bu tənlikdə $x$ dəyişəni yoxdur. Bu, ümumiyyətlə, bizi çaşdırmamalıdır (bu, məsələn, həndəsədə və çox vaxt olur), amma yenə də bu artıq xətti tənlik deyil.

İkincisi, bu tənliyin həlli yalnız $b$ əmsalından asılıdır. Əgər $b$ da sıfırdırsa, onda bizim tənliyimiz $0=0$ formasına malikdir. Bu bərabərlik həmişə doğrudur; bu o deməkdir ki, $x$ istənilən ədəddir (adətən belə yazılır: $x\in \mathbb(R)$). Əgər $b$ əmsalı sıfıra bərabər deyilsə, onda $b=0$ bərabərliyi heç vaxt təmin edilmir, yəni. cavab yoxdur (\varnothing $-a $x\ yazın və “həll toplusu boşdur” yazısını oxuyun).

Bütün bu çətinliklərdən qaçmaq üçün biz sadəcə olaraq $a\ne 0$ fərz edirik ki, bu da bizi sonrakı düşüncəmizi heç də məhdudlaşdırmır.

Kvadrat tənliklər

Nəzərinizə çatdırım ki, kvadrat tənlik belə adlanır:

Burada solda ikinci dərəcəli çoxhədli və yenə də $a\ne 0$ (əks halda kvadrat tənlik əvəzinə xətti tənlik alacağıq). Diskriminant vasitəsilə aşağıdakı tənliklər həll olunur:

1. Əgər $D \gt 0$ olarsa, iki fərqli kök alırıq;
2. Əgər $D=0$ olarsa, onda kök eyni olacaq, amma ikinci çoxluğun (bu nə cür çoxluqdur və onu necə nəzərə almaq olar - bu haqda daha sonra). Və ya deyə bilərik ki, tənliyin iki eyni kökü var;
3. $D \lt 0$ üçün heç bir kök yoxdur və hər hansı $x$ üçün $a((x)^(2))+bx+c$ polinomunun işarəsi $a əmsalının işarəsi ilə üst-üstə düşür. $. Bu, yeri gəlmişkən, nədənsə cəbr dərslərində danışmağı unudurlar, çox faydalı faktdır.

Köklərin özləri tanınmış düsturla hesablanır:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Beləliklə, yeri gəlmişkən, diskriminant üzərində məhdudiyyətlər. Axı mənfi ədədin kvadrat kökü yoxdur. Bir çox tələbələrin başlarında köklər haqqında dəhşətli bir qarışıqlıq var, ona görə də xüsusi olaraq bütün bir dərs yazdım: cəbrdə kök nədir və onu necə hesablamaq olar - oxumağı çox tövsiyə edirəm. :)

Rasional kəsrlərlə əməliyyatlar

Əgər interval metodunu öyrənmisinizsə, yuxarıda yazılanların hamısını artıq bilirsiniz. Ancaq indi təhlil edəcəyimiz şeyin keçmişdə analoqu yoxdur - bu tamamilə yeni bir faktdır.

Tərif. Rasional kəsr formanın ifadəsidir

\[\frac(P\left(x \sağ))(Q\sol(x \sağ))\]

burada $P\left(x \right)$ və $Q\left(x \right)$ polinomlardır.

Aydındır ki, belə bir kəsrdən bərabərsizlik əldə etmək asandır - sadəcə sağa "böyük" və ya "kiçik" işarəsini əlavə etmək lazımdır. Və bir az daha sonra kəşf edəcəyik ki, bu cür problemlərin həlli bir zövqdür, hər şey çox sadədir.

Problemlər bir ifadədə bir neçə belə kəsr olduqda başlayır. Onları ortaq məxrəcə gətirmək lazımdır - və bu anda çoxlu sayda hücum səhvləri edilir.

Buna görə də, rasional tənlikləri uğurla həll etmək üçün iki bacarığı möhkəm şəkildə mənimsəməlisiniz:

1. $P\left(x \right)$ polinomunun faktorinqi;
2. Əslində, kəsrlərin ortaq məxrəcə gətirilməsi.

Polinomu necə faktor etmək olar? Çox sadə. Formanın çoxhədlisi olsun

Biz onu sıfıra bərabərləşdiririk. $n$th dərəcə tənliyini əldə edirik:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Tutaq ki, biz bu tənliyi həll etdik və $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ köklərini aldıq (narahat olmayın: əksər hallarda belə olacaq. bu köklərdən ikidən çox olmamalıdır). Bu halda, orijinal çoxhədlimizi aşağıdakı kimi yenidən yazmaq olar:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\sol(x) -((x)_(1)) \sağ)\cdot \sol(x-((x)_(2)) \sağ)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \sağ) \son(align)\]

Hamısı budur! Diqqət edin: $((a)_(n))$ aparıcı əmsalı heç yerdə yoxa çıxmayıb - mötərizələrin qarşısında ayrıca çarpan olacaq və lazım gələrsə, bu mötərizələrdən hər hansı birinə daxil edilə bilər (təcrübə göstərir). ki, $((a)_ (n))\ne \pm 1$ ilə köklər arasında demək olar ki, həmişə kəsrlər olur).

Tapşırıq. İfadəni sadələşdirin:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)(x+2)\]

Həll. Əvvəlcə məxrəclərə baxaq: onların hamısı xətti binomlardır və burada faktorla bağlı heç nə yoxdur. Beləliklə, sayları nəzərə alaq:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\sol(x-\frac(3)(2) \sağ)\left(x-1 \sağ)=\sol(2x- 3 \sağ)\sol(x-1 \sağ); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\sol(x+2 \sağ)\left(x-\frac(2)(5) \sağ)=\sol(x +2 \sağ)\sol(2-5x \sağ). \\\end(hizalayın)\]

Diqqət yetirin: ikinci polinomda, sxemimizə tam uyğun olaraq aparıcı əmsalı "2" əvvəlcə mötərizənin qarşısında göründü, sonra isə fraksiya orada göründüyü üçün birinci mötərizəyə daxil edildi.

Eyni şey üçüncü çoxhədlidə də baş verdi, yalnız orada şərtlərin sırası da tərsinə çevrilir. Bununla belə, “−5” əmsalı ikinci mötərizəyə daxil edildi (unutmayın: amili bir və yalnız bir mötərizədə daxil edə bilərsiniz!), bu bizi fraksiya kökləri ilə bağlı narahatlıqdan xilas etdi.

Birinci çoxhədiyyəyə gəlincə, hər şey sadədir: onun kökləri ya standart olaraq diskriminant vasitəsilə, ya da Vyeta teoremindən istifadə etməklə axtarılır.

Gəlin orijinal ifadəyə qayıdıb onu sayları faktorlarla yenidən yazaq:

\[\begin(matris) \frac(\sol(x+5 \sağ)\left(x-4 \sağ))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \sağ)\sol( x-1 \sağ))(2x-3)-\frac(\sol(x+2 \sağ)\sol(2-5x \sağ))(x+2)= \\ =\sol(x+5) \sağ)-\sol(x-1 \sağ)-\sol(2-5x \sağ)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \son (matris)\]

Cavab: $5x+4$.

Gördüyünüz kimi, mürəkkəb bir şey yoxdur. Bir az 7-8-ci sinif riyaziyyatı və bu qədər. Bütün transformasiyaların məqsədi mürəkkəb və qorxulu ifadədən sadə və işləmək asan bir şey əldə etməkdir.

Lakin bu, həmişə belə olmayacaq. Beləliklə, indi daha ciddi bir problemə baxacağıq.

Ancaq əvvəlcə iki kəsri ortaq məxrəcə necə gətirəcəyimizi anlayaq. Alqoritm çox sadədir:

1. Hər iki məxrəci faktor edin;
2. Birinci məxrəci nəzərdən keçirin və ona ikinci məxrəcdə olan, lakin birincidə olmayan amilləri əlavə edin. Nəticə məhsul ümumi məxrəc olacaq;
3. İlkin fraksiyaların hər birində hansı amillərin çatışmadığını tapın ki, məxrəclər ümumiyə bərabər olsun.

Bu alqoritm sizə sadəcə olaraq “çox hərfdən” ibarət mətn kimi görünə bilər. Buna görə də, hər şeyi konkret bir nümunə ilə nəzərdən keçirək.

Tapşırıq. İfadəni sadələşdirin:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \sağ)\cdot \sol(\frac(((x)^(2))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \sağ)\]

Həll. Belə irimiqyaslı problemləri hissə-hissə həll etmək daha yaxşıdır. Birinci mötərizədə nə olduğunu yazaq:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Əvvəlki problemdən fərqli olaraq, burada məxrəclər o qədər də sadə deyil. Gəlin onların hər birini nəzərə alaq.

$((x)^(2))+2x+4$ kvadrat üçhəcmli faktorlara bölünə bilməz, çünki $((x)^(2))+2x+4=0$ tənliyinin kökü yoxdur (diskriminant mənfidir) ). Biz onu dəyişməz qoyuruq.

İkinci məxrəc - kub polinomu $((x)^(3))-8$ - diqqətlə araşdırıldıqda kubların fərqidir və qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə etməklə asanlıqla genişləndirilir:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \sağ)\sol((x) ^(2))+2x+4 \sağ)\]

Başqa heç nə faktorlara bölünə bilməz, çünki birinci mötərizədə xətti binomial var, ikincidə isə bizə artıq tanış olan, həqiqi kökləri olmayan konstruksiya var.

Nəhayət, üçüncü məxrəc genişləndirilə bilməyən xətti binomdur. Beləliklə, tənliyimiz aşağıdakı formanı alacaq:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \sağ)\sol (((x)^(2))+2x+4 \sağ))-\frac(1)(x-2)\]

Tamamilə aydındır ki, ortaq məxrəc dəqiq olaraq $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ olacaq və ona bütün kəsrləri azaltmaq lazımdır. birinci kəsri $\left(x-2 \right)$ üzərinə, sonuncunu isə $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ üzərinə vurmaq lazımdır. Sonra qalan yalnız oxşarları verməkdir:

\[\begin(matris) \frac(x\cdot \left(x-2 \sağ))(\left(x-2 \sağ)\left(((x)^(2))+2x+4 \ sağ))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \sağ)\left(((x)^(2))+2x+4 \sağ))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \sağ))(\left(x-2 \sağ)\left(((x)^(2))+2x +4 \sağ))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \sağ)+\left(((x)^(2))+8 \sağ)-\sol(((x) )^(2))+2x+4 \sağ))(\sol(x-2 \sağ)\left(((x)^(2))+2x+4 \sağ))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \sağ)\sol (((x)^(2))+2x+4 \sağ))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\sol(x-2 \sağ)\ sol(((x)^(2))+2x+4 \sağ)). \\ \son (matris)\]

İkinci sətirə diqqət yetirin: məxrəc artıq ümumi olduqda, yəni. Üç ayrı fraksiya əvəzinə bir böyük yazdıq; mötərizələrdən dərhal qurtulmamalısınız. Əlavə bir sətir yazmaq və qeyd etmək daha yaxşıdır ki, məsələn, üçüncü fraksiyadan əvvəl bir mənfi var idi - və o, heç yerə getməyəcək, ancaq mötərizənin qarşısındakı paylayıcıda "asılacaq". Bu sizi bir çox səhvlərdən xilas edəcək.

Yaxşı, son sətirdə payı faktorlara ayırmaq faydalıdır. Üstəlik, bu, dəqiq bir kvadratdır və qısaldılmış vurma düsturları yenidən köməyimizə gəlir. Bizdə:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \sağ)\left(((x)^(2))+2x+4 \sağ))= \frac(((\sol(x-2 \sağ))^(2)))(\sol(x-2 \sağ)\left(((x)^(2))+2x+4 \sağ) )=\frac(x-2)((x)^(2))+2x+4)\]

İndi ikinci mötərizə ilə eyni şəkildə məşğul olaq. Burada sadəcə bərabərlik zəncirini yazacağam:

\[\begin(matris) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2))))(\sol(x-2 \sağ)\sol(x+2 \sağ))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac((x) ^(2)))(\sol(x-2 \sağ)\sol(x+2 \sağ))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac((x)^( 2)))(\sol(x-2 \sağ)\left(x+2 \sağ))+\frac(2\cdot \left(x+2 \sağ))(\sol(x-2 \sağ) )\cdot \left(x+2 \sağ))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \sağ))(\sol(x-2) \sağ)\sol(x+2 \sağ))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \sağ)\sol(x+2 \sağ) ). \\ \son (matris)\]

Orijinal problemə qayıdaq və məhsula baxaq:

\[\frac(x-2)((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\sol(x-2) \sağ)\sol(x+2 \sağ))=\frac(1)(x+2)\]

Cavab: \[\frac(1)(x+2)\].

Bu tapşırığın mənası əvvəlki ilə eynidir: onların çevrilməsinə ağıllı yanaşsanız, rasional ifadələrin necə sadələşdirilə biləcəyini göstərmək.

İndi bütün bunları bildiyiniz üçün bugünkü dərsimizin əsas mövzusuna - kəsrli rasional bərabərsizliklərin həllinə keçək. Üstəlik, belə bir hazırlıqdan sonra bərabərsizlikləri qoz-fındıq kimi qıracaqsınız. :)

Rasional bərabərsizliklərin həllinin əsas yolu

Rasional bərabərsizlikləri həll etmək üçün ən azı iki yanaşma var. İndi onlardan birinə - məktəb riyaziyyat kursunda ümumiyyətlə qəbul edilən birinə baxacağıq.

Ancaq əvvəlcə vacib bir detalı qeyd edək. Bütün bərabərsizliklər iki növə bölünür:

1. Ciddi: $f\left(x \right) \gt 0$ və ya $f\left(x \sağ) \lt 0$;
2. Laks: $f\sol(x \sağ)\ge 0$ və ya $f\left(x \sağ)\le 0$.

İkinci növ bərabərsizliklər asanlıqla birinciyə, eləcə də tənliyə endirilə bilər:

Bu kiçik “əlavə” $f\left(x \right)=0$ doldurulmuş nöqtələr kimi xoşagəlməz bir şeyə gətirib çıxarır - biz onlarla interval metodunda tanış olduq. Əks halda, ciddi və qeyri-ciddi bərabərsizliklər arasında heç bir fərq yoxdur, ona görə də universal alqoritmə baxaq:

1. Bərabərsizlik işarəsinin bir tərəfində sıfırdan fərqli bütün elementləri toplayın. Məsələn, solda;
2. Bütün fraksiyaları ortaq məxrəcə endirin (əgər bir neçə belə fraksiya varsa), oxşarları gətirin. Sonra, mümkünsə, payı və məxrəci çarpazlayın. Bu və ya digər şəkildə biz $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \sağ))\vee 0$ şəklində bərabərsizliyi əldə edəcəyik, burada “qənə” bərabərsizlik işarəsidir. .
3. Numeratoru sıfıra bərabərləşdiririk: $P\left(x \right)=0$. Bu tənliyi həll edirik və kökləri alırıq $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Sonra tələb edirik məxrəcin sıfıra bərabər olmadığını: $Q\left(x \right)\ne 0$. Təbii ki, mahiyyət etibarilə $Q\left(x \right)=0$ tənliyini həll etməliyik və $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*)$ köklərini alırıq. , $x_(3 )^(*)$, ... (real məsələlərdə belə köklərin üçdən çox olması çətin ki).
4. Biz bütün bu kökləri (həm ulduzlu, həm də ulduzsuz) bir ədəd sətirində qeyd edirik və ulduzsuz köklər rənglənir, ulduzlu köklər isə deşilir.
5. Biz "artı" və "mənfi" işarələrini qoyuruq, bizə lazım olan intervalları seçirik. Əgər bərabərsizlik $f\left(x \right) \gt 0$ formasına malikdirsə, onda cavab “plus” ilə işarələnmiş intervallar olacaq. Əgər $f\left(x \right) \lt 0$ olarsa, o zaman “mənfiləri” ilə intervallara baxırıq.

Təcrübə göstərir ki, ən böyük çətinliklər 2 və 4-cü bəndlər - səlahiyyətli çevrilmələr və artan qaydada nömrələrin düzgün təşkili ilə əlaqədardır. Yaxşı, son addımda son dərəcə diqqətli olun: biz həmişə işarələrə əsaslanaraq yerləşdiririk tənliklərə keçməzdən əvvəl yazılmış ən son bərabərsizlik. Bu, interval metodundan miras qalan universal bir qaydadır.

Deməli, bir sxem var. Gəl məşq edək.

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Həll. Bizdə $f\left(x \right) \lt 0$ formasında ciddi bərabərsizlik var. Aydındır ki, sxemimizdən 1 və 2-ci bəndlər artıq yerinə yetirilmişdir: bərabərsizliyin bütün elementləri solda toplanır, ortaq məxrəcə bir şey gətirməyə ehtiyac yoxdur. Ona görə də gəlin birbaşa üçüncü nöqtəyə keçək.

Numeratoru sıfıra bərabərləşdiririk:

\[\başlamaq(align) & x-3=0; \\ & x=3. \end(align)\]

Və məxrəc:

\[\başla(align) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(hizalayın)\]

Burada çox adam ilişib qalır, çünki nəzəri olaraq ODZ-nin tələb etdiyi kimi $x+7\ne 0$ yazmalısınız (sıfıra bölmək olmaz, hamısı budur). Ancaq gələcəkdə məxrəcdən gələn nöqtələri çıxaracağıq, buna görə hesablamalarınızı yenidən çətinləşdirməyə ehtiyac yoxdur - hər yerdə bərabər işarə yazın və narahat olmayın. Bunun üçün heç kim xal itirməyəcək. :)

Dördüncü nöqtə. Yaranan kökləri say xəttində qeyd edirik:

Bərabərsizlik ciddi olduğundan bütün nöqtələr bağlanır

Qeyd: orijinal bərabərsizlik ciddi olduğundan bütün nöqtələr bağlanır. Və burada bu nöqtələrin saydan və ya məxrəcdən gəlməsinin fərqi yoxdur.

Yaxşı, işarələrə baxaq. İstənilən $((x)_(0)) \gt 3$ ədədini götürək. Məsələn, $((x)_(0))=100$ (lakin eyni müvəffəqiyyətlə $((x)_(0))=3.1$ və ya $((x)_(0)) = alına bilər. 1\ 000\ 000$). Biz əldə edirik:

Beləliklə, bütün köklərin sağında müsbət bir bölgəmiz var. Və hər bir kökdən keçərkən işarə dəyişir (bu, həmişə belə olmayacaq, lakin daha sonra). Buna görə də, beşinci nöqtəyə keçək: işarələri düzəldin və sizə lazım olanı seçin:

Gəlin tənlikləri həll etməzdən əvvəl mövcud olan sonuncu bərabərsizliyə qayıdaq. Əslində, bu, orijinalı ilə üst-üstə düşür, çünki bu vəzifədə heç bir transformasiya etmədik.

$f\left(x \right) \lt 0$ formasının bərabərsizliyini həll etməmiz lazım olduğundan, mən $x\in \left(-7;3 \right)$ intervalını kölgə saldım - işarələnmiş yeganədir. mənfi işarəsi ilə. Bu cavabdır.

Cavab: $x\in \left(-7;3 \right)$

Hamısı budur! Çətindir? Xeyr, çətin deyil. Düzdür, iş asan idi. İndi missiyanı bir az çətinləşdirək və daha “mürəkkəb” bərabərsizliyi nəzərdən keçirək. Onu həll edərkən mən artıq belə ətraflı hesablamalar verməyəcəyəm - sadəcə əsas məqamları qeyd edəcəyəm. Ümumiyyətlə, müstəqil iş və ya imtahan zamanı formatlaşdırdığımız kimi formatlayacağıq. :)

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\frac(\left(7x+1 \sağ)\left(11x+2 \sağ))(13x-4)\ge 0\]

Həll. Bu, $f\left(x \right)\ge 0$ formasının qeyri-ciddi bərabərsizliyidir. Bütün sıfır olmayan elementlər solda toplanır, fərqli məxrəclər yoxdur. Gəlin tənliklərə keçək.

Hesablayıcı:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \sağ)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Sağ ox ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Sağ ox ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(hizalayın)\]

Məxrəc:

\[\başla(align) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(hizalayın)\]

Bu problemi hansı pozğun yaratdığını bilmirəm, amma köklər o qədər də yaxşı alınmadı: onları say xəttində yerləşdirmək çətin olardı. Və əgər $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ kökü ilə hər şey az-çox aydındırsa (bu yeganə müsbət rəqəmdir - sağda olacaq), onda $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ və $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ əlavə tədqiqat tələb edir: hansı daha böyükdür?

Bunu, məsələn, belə tapa bilərsiniz:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) ))\]

Ümid edirəm ki, nə üçün ədədi kəsr $-(2)/(14)\ izah etməyə ehtiyac yoxdur; \gt -(2)/(11)\;$? Lazım gələrsə, kəsrlərlə əməliyyatların necə aparılacağını xatırlamağı məsləhət görürəm.

Və hər üç kökü say xəttində qeyd edirik:

Hissənin nöqtələri doldurulur, məxrəcdən olan nöqtələr deşilir

Biz işarələr qoyuruq. Məsələn, $((x)_(0))=1$ götürüb bu nöqtədə işarəni tapa bilərsiniz:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \sağ)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \sağ)\left(11\cdot 1+2 \sağ))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

Tənliklərdən əvvəlki sonuncu bərabərsizlik $f\left(x \right)\ge 0$ idi, ona görə də bizi plus işarəsi maraqlandırır.

İki dəstimiz var: biri adi seqment, digəri isə ədəd xəttində açıq şüadır.

Cavab: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Ən sağdakı intervaldakı işarəni tapmaq üçün əvəz etdiyimiz rəqəmlər haqqında vacib qeyd. Ən sağdakı kökə ən yaxın rəqəmi əvəz etmək qətiyyən lazım deyil. Siz milyardlarla və ya hətta "plus-sonsuzluq" götürə bilərsiniz - bu vəziyyətdə mötərizədə, say və ya məxrəcdəki polinomun işarəsi yalnız aparıcı əmsalın işarəsi ilə müəyyən edilir.

Son bərabərsizlikdən $f\left(x \right)$ funksiyasına yenidən baxaq:

Onun qeydində üç çoxhədli var:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\sol(x \sağ)=11x+2; \\ & Q\sol(x \sağ)=13x-4. \end(align)\]

Onların hamısı xətti binomiallardır və onların bütün aparıcı əmsalları (7, 11 və 13 rəqəmləri) müsbətdir. Buna görə də, çox böyük ədədləri əvəz edərkən, polinomların özləri də müsbət olacaqdır. :)

Bu qayda həddən artıq mürəkkəb görünə bilər, ancaq əvvəlcə çox asan problemləri təhlil etdikdə. Ciddi bərabərsizliklərdə “plus-sonsuzluğu” əvəz etmək bizə işarələri standart $((x)_(0))=100$ ilə müqayisədə daha tez tapmağa imkan verəcək.

Tezliklə belə çətinliklərlə üzləşəcəyik. Ancaq əvvəlcə kəsr rasional bərabərsizlikləri həll etmək üçün alternativ üsula baxaq.

Alternativ yol

Bu texnikanı mənə tələbələrimdən biri təklif edib. Mən özüm bundan heç vaxt istifadə etməmişəm, amma təcrübə göstərdi ki, bir çox tələbələr həqiqətən bərabərsizlikləri bu şəkildə həll etməyi daha rahat hesab edirlər.

Beləliklə, ilkin məlumatlar eynidir. Kəsir rasional bərabərsizliyi həll etməliyik:

\[\frac(P\left(x \sağ))(Q\sol(x \sağ)) \gt 0\]

Gəlin düşünək: nə üçün $Q\left(x \right)$ polinomu $P\left(x \right)$ polinomundan “pisdir”? Nə üçün ayrı-ayrı kök qruplarını (ulduzlu və ulduzsuz) nəzərdən keçirməliyik, deşilmiş nöqtələr haqqında düşünməliyik və s.? Bu sadədir: kəsr müəyyən bir sahəyə malikdir, ona görə kəsr yalnız məxrəci sıfırdan fərqli olduqda məna kəsb edir.

Əks halda, say və məxrəc arasında heç bir fərq yoxdur: biz də onu sıfıra bərabərləşdiririk, kökləri axtarırıq, sonra onları say xəttində qeyd edirik. Bəs niyə kəsr xəttini (əslində, bölmə işarəsini) adi vurma ilə əvəz etməyək və ODZ-nin bütün tələblərini ayrıca bərabərsizlik şəklində yazmırıq? Məsələn, bu kimi:

\[\frac(P\left(x \sağ))(Q\sol(x \sağ)) \gt 0\Sağ ox \sol\( \begin(align) & P\left(x \sağ)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Diqqət edin: bu yanaşma problemi interval metoduna qədər azaldacaq, lakin həlli heç də çətinləşdirməyəcək. Axı biz yenə də $Q\left(x \right)$ polinomunu sıfıra bərabərləşdirəcəyik.

Gəlin bunun real problemlər üzərində necə işlədiyini görək.

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Həll. Beləliklə, interval metoduna keçək:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Sağ ox \sol\( \begin(align) & \left(x+8 \sağ)\left(x-11 \sağ) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(hizalayın) \sağa.\]

Birinci bərabərsizlik elementar şəkildə həll edilə bilər. Sadəcə olaraq hər mötərizəni sıfıra bərabərləşdiririk:

\[\begin(align) & x+8=0\Sağ ox ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Sağ ox ((x)_(2))=11. \\ \end(hizalayın)\]

İkinci bərabərsizlik də sadədir:

Rəqəm xəttində $((x)_(1))$ və $((x)_(2))$ nöqtələrini qeyd edin. Hamısı döyülür, çünki bərabərsizlik ciddidir:

Düzgün nöqtə iki dəfə çıxarıldı. Bu yaxşıdır.

$x=11$ nöqtəsinə diqqət yetirin. Belə çıxır ki, o, “ikiqat deşilmişdir”: bir tərəfdən bərabərsizliyin şiddətinə görə, digər tərəfdən DL-nin əlavə tələbinə görə onu çıxarırıq.

Hər halda, bu, sadəcə deşilmiş bir nöqtə olacaq. Buna görə də, $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ bərabərsizliyinin işarələrini düzürük - tənlikləri həll etməyə başlamazdan əvvəl gördüyümüz sonuncu işarədir:

Bizi müsbət bölgələr maraqlandırır, çünki biz $f\left(x \right) \gt 0$ formasının bərabərsizliyini həll edirik - onları kölgə salacağıq. Yalnız cavabı yazmaq qalır.

Cavab verin. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \sağ)$

Bu həlli nümunə kimi istifadə edərək, sizi yeni başlayan tələbələr arasında yayılmış səhvə qarşı xəbərdar etmək istərdim. Məhz: bərabərsizliklərdə heç vaxt mötərizə açmayın! Əksinə, hər şeyi nəzərə almağa çalışın - bu, həlli sadələşdirəcək və sizi bir çox problemdən xilas edəcək.

İndi daha mürəkkəb bir şeyə cəhd edək.

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\frac(\left(2x-13 \sağ)\left(12x-9 \sağ))(15x+33)\le 0\]

Həll. Bu, $f\left(x \right)\le 0$ formasının qeyri-ciddi bərabərsizliyidir, ona görə də burada kölgəli nöqtələrə çox diqqət yetirmək lazımdır.

Gəlin interval metoduna keçək:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \sağ)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(düzləşdirin) \sağa.\]

Gəlin tənliyə keçək:

\[\başla(align) & \left(2x-13 \sağ)\left(12x-9 \sağ)\left(15x+33 \sağ)=0 \\ & 2x-13=0\Sağ ox ((x) )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Sağ ox ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Sağ ox ((x)_(3))=-2.2. \\ \end(hizalayın)\]

Əlavə tələbi nəzərə alırıq:

Bütün yaranan kökləri say xəttində qeyd edirik:

Bir nöqtə həm deşilib, həm də doldurulubsa, deşilmiş sayılır

Yenə də iki nöqtə bir-birini "üst-üstə düşür" - bu normaldır, həmişə belə olacaq. Yalnız onu başa düşmək vacibdir ki, həm deşilmiş, həm də rənglənmiş kimi qeyd olunan nöqtə əslində deşilmiş nöqtədir. Bunlar. "Picking" "rəsm"dən daha güclü bir hərəkətdir.

Bu, tamamilə məntiqlidir, çünki çimdikləməklə funksiyanın işarəsinə təsir edən nöqtələri qeyd edirik, lakin cavabda özləri iştirak etmirlər. Və bir anda nömrə artıq bizə uyğun gəlmirsə (məsələn, ODZ-yə düşmür), tapşırığın sonuna qədər onu nəzərdən keçiririk.

Ümumiyyətlə, fəlsəfəni dayandırın. Mənfi işarəsi ilə qeyd olunan intervalların üzərinə işarələr qoyuruq və rəngləyirik:

Cavab verin. $x\in \left(-\infty ;-2.2 \right)\bigcup \left[ 0.75;6.5 \right]$.

Və yenə də bu tənliyə diqqətinizi çəkmək istədim:

\[\sol(2x-13 \sağ)\sol(12x-9 \sağ)\sol(15x+33 \sağ)=0\]

Bir daha: belə tənliklərdə mötərizələri heç vaxt açmayın! Yalnız özünüz üçün işləri çətinləşdirəcəksiniz. Unutmayın: amillərdən ən azı biri sıfıra bərabər olduqda məhsul sıfıra bərabərdir. Nəticə etibarilə, bu tənlik sadəcə olaraq əvvəlki problemdə həll etdiyimiz bir neçə kiçik tənliyə “parçalanır”.

Köklərin çoxluğunu nəzərə alaraq

Əvvəlki məsələlərdən görmək olar ki, ən çətin olan qeyri-ciddi bərabərsizliklərdir, çünki onlarda kölgəli nöqtələri izləmək lazımdır.

Ancaq dünyada daha böyük bir pislik var - bunlar bərabərsizliklərin çoxlu kökləridir. Burada artıq bəzi kölgəli nöqtələri izləmək məcburiyyətində deyilsiniz - burada bərabərsizlik işarəsi eyni nöqtələrdən keçərkən birdən dəyişməyə bilər.

Biz bu dərsdə hələ belə bir şey nəzərdən keçirməmişik (baxmayaraq ki, oxşar problemə tez-tez interval metodunda rast gəlinirdi). Beləliklə, yeni bir tərif təqdim edirik:

Tərif. $((\left(x-a \right))^(n))=0$ tənliyinin kökü $x=a$-a bərabərdir və $n$ci çoxluğun kökü adlanır.

Əslində, çoxluğun dəqiq dəyəri bizi xüsusilə maraqlandırmır. Vacib olan yeganə şey bu eyni $n$ ədədinin cüt və ya tək olmasıdır. Çünki:

1. Əgər $x=a$ cüt çoxluğun köküdürsə, onda funksiyanın işarəsi ondan keçərkən dəyişmir;
2. Və əksinə, əgər $x=a$ tək çoxluğun köküdürsə, onda funksiyanın işarəsi dəyişəcək.

Bu dərsdə müzakirə edilən bütün əvvəlki problemlər tək çoxluq kökünün xüsusi halıdır: hər yerdə çoxluq birə bərabərdir.

Və daha da. Problemləri həll etməyə başlamazdan əvvəl diqqətinizi təcrübəli bir tələbə üçün açıq görünən, lakin bir çox yeni başlayanları stupor vəziyyətinə salan bir incəliyə cəlb etmək istərdim. Məhz:

$n$ çoxluğunun kökü yalnız bütün ifadənin bu gücə qaldırıldığı halda yaranır: $((\left(x-a \right))^(n))$, $\left(((x)) deyil. ^( n))-a \right)$.

Bir daha: $((\left(x-a \sağ))^(n))$ mötərizəsi bizə $n$ çoxluğunun $x=a$ kökünü verir, lakin mötərizə $\left(((x)^() n)) -a \right)$ və ya tez-tez olduğu kimi, $(a-((x)^(n)))$ bizə birinci çoxluğun kökünü (və ya $n$ cütdürsə, iki kök) verir. , nəyin $n$-a bərabər olmasından asılı olmayaraq.

Müqayisə edin:

\[((\sol(x-3 \sağ))^(5))=0\Sağ ox x=3\sol(5k \sağ)\]

Burada hər şey aydındır: bütün mötərizə beşinci gücə qaldırıldı, buna görə də əldə etdiyimiz çıxış beşinci gücün kökü idi. Və indi:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Sağ ox ((x)^(2))=4\Sağ ox x=\pm 2\]

İki kökümüz var, amma hər ikisinin birinci çoxluğu var. Və ya başqa biri:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

Və onuncu dərəcə sizi narahat etməsin. Əsas odur ki, 10 cüt ədəddir, buna görə çıxışda iki kökümüz var və onların hər ikisində yenə birinci çoxluq var.

Ümumiyyətlə, diqqətli olun: çoxluq yalnız o zaman baş verir dərəcə yalnız dəyişənə deyil, bütün mötərizələrə aiddir.

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\frac(((x)^(2))((\sol(6-x \sağ))^(3))\left(x+4 \sağ))(((\sol(x+7) \sağ))^(5)))\ge 0\]

Həll. Gəlin bunu alternativ bir şəkildə həll etməyə çalışaq - əmsaldan məhsula keçid yolu ilə:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \sağ)\cdot ( (\left(x+7 \sağ))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \sağ))^(5))\ne 0. \\ \end(düzləşdirin) )\sağ.\]

Birinci bərabərsizliyi interval metodundan istifadə edərək həll edək:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left() x+7 \sağ))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Sağ ox x=0\sol(2k \sağ); \\ & ((\sol(6-x \sağ))^(3))=0\Sağ ox x=6\sol(3k \sağ); \\ & x+4=0\Sağ ox x=-4; \\ & ((\sol(x+7 \sağ))^(5))=0\Sağ ox x=-7\sol(5k \sağ). \\ \end(hizalayın)\]

Əlavə olaraq ikinci bərabərsizliyi həll edirik. Əslində, biz bunu artıq həll etmişik, lakin rəyçilər həlldə səhv tapmamaq üçün yenidən həll etmək daha yaxşıdır:

\[((\sol(x+7 \sağ))^(5))\ne 0\Sağ ox x\ne -7\]

Diqqət yetirin: sonuncu bərabərsizlikdə çoxluq yoxdur. Əslində: ədəd xəttində $x=-7$ nöqtəsini neçə dəfə kəsməyin nə fərqi var? Ən azı bir dəfə, ən azı beş dəfə nəticə eyni olacaq: deşilmiş nöqtə.

Əldə etdiyimiz hər şeyi rəqəm xəttində qeyd edək:

Dediyim kimi, $x=-7$ nöqtəsi sonda deşiləcək. Çoxluqlar interval metodundan istifadə edərək bərabərsizliyin həlli əsasında düzülür.

Yalnız işarələri yerləşdirmək qalır:

$x=0$ nöqtəsi cüt çoxluğun kökü olduğundan, oradan keçəndə işarə dəyişmir. Qalan xalların qəribə çoxluğu var və onlarla hər şey sadədir.

Cavab verin. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Bir daha $x=0$-a diqqət yetirin. Bərabər çoxluq səbəbindən maraqlı bir effekt yaranır: onun solunda olan hər şey rənglənir, sağdakı hər şey də rənglənir və nöqtənin özü tamamilə rənglənir.

Nəticədə, cavabı qeyd edərkən onu təcrid etmək lazım deyil. Bunlar. $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ kimi bir şey yazmağa ehtiyac yoxdur (baxmayaraq ki, formal olaraq belə bir cavab da düzgün olardı). Bunun əvəzinə dərhal \left[ -4;6 \right]$-a $x\ yazırıq.

Bu cür təsirlər yalnız bərabər çoxluğun kökləri ilə mümkündür. Növbəti problemdə isə bu effektin əks “təzahürü” ilə qarşılaşacağıq. Hazırsan?

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\frac(((\left(x-3 \sağ))^(4))\left(x-4 \sağ))(((\left(x-1 \sağ))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \sağ))\ge 0\]

Həll. Bu dəfə biz standart sxemə əməl edəcəyik. Numeratoru sıfıra bərabərləşdiririk:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\sol(x-3 \sağ))^(4))=0\Sağ ox ((x)_(1))=3\sol(4k \sağ); \\ & x-4=0\Sağ ox ((x)_(2))=4. \\ \end(hizalayın)\]

Və məxrəc:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \sağ)=0; \\ & ((\sol(x-1 \sağ))^(2))=0\Sağ ox x_(1)^(*)=1\sol(2k \sağ); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Sağ ox x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(hizalayın)\]

Biz $f\left(x \right)\ge 0$ formasının qeyri-ciddi bərabərsizliyini həll etdiyimiz üçün məxrəcdən (ulduz işarəsi olan) köklər çıxarılacaq, saydan olanlar isə kölgələnəcək.

İşarələr qoyuruq və “artı” ilə qeyd olunan yerlərə kölgə salırıq:

$x=3$ nöqtəsi təcrid olunub. Bu cavabın bir hissəsidir

Yekun cavabı yazmazdan əvvəl şəklə yaxından nəzər salaq:

1. $x=1$ nöqtəsi bərabər çoxluğa malikdir, lakin özü dəliklidir. Nəticədə, cavabda onu təcrid etmək lazımdır: $x\in deyil, \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ yazmalısınız. \left(-\ infty ;2 \right)$.
2. $x=3$ nöqtəsi də bərabər çoxluğa malikdir və kölgəlidir. İşarələrin düzülüşü göstərir ki, nöqtənin özü bizə uyğundur, ancaq sola və ya sağa bir addım - və özümüzü qətiliklə bizə uyğun olmayan bir sahədə tapırıq. Belə nöqtələr təcrid olunmuş adlanır və $x\in \left\( 3 \right\)$ şəklində yazılır.

Alınan bütün parçaları ümumi dəstdə birləşdiririk və cavabı yazırıq.

Cavab: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Tərif. Bərabərsizliyin həlli deməkdir onun bütün həllər çoxluğunu tapın, ya da bu çoxluğun boş olduğunu sübut edin.

Belə görünür: burada anlaşılmaz nə ola bilər? Bəli, məsələ ondadır ki, çoxluqlar müxtəlif yollarla müəyyən edilə bilər. Sonuncu məsələnin cavabını yenidən yazaq:

Yazılanları sözün əsl mənasında oxuyuruq. Dəyişən "x" müəyyən bir çoxluğa aiddir və dörd ayrı dəsti birləşdirərək ("U" işarəsi) əldə edilir:

• $\left(-\infty ;1 \right)$ intervalı, hərfi mənada “birdən kiçik bütün ədədlər, lakin vahidin özü deyil” deməkdir;
• $\left(1;2 \right)$ intervalı, yəni. “1-dən 2-yə qədər olan bütün nömrələr, lakin 1 və 2-nin özləri deyil”;
• Dəst $\left\( 3 \right\)$, bir tək nömrədən ibarət - üç;
• $\left[ 4;5 \right)$ intervalı 4-dən 5-ə qədər olan bütün nömrələri, həmçinin dördün özünü ehtiva edir, lakin beşi deyil.

Üçüncü məqam burada maraq doğurur. Sonsuz ədədlər toplusunu təyin edən və yalnız bu çoxluqların sərhədlərini göstərən intervallardan fərqli olaraq, $\left\( 3 \right\)$ çoxluğu sadalama ilə ciddi şəkildə bir ədəd müəyyən edir.

Dəstə daxil olan xüsusi nömrələri sadaladığımızı başa düşmək üçün (və sərhədlər və ya başqa bir şey təyin etmədən) buruq mötərizələrdən istifadə olunur. Məsələn, $\left\( 1;2 \right\)$ qeydi 1-dən 2-yə qədər seqment deyil, tam olaraq “iki ədəddən ibarət çoxluq: 1 və 2” deməkdir. Heç bir halda bu anlayışları qarışdırmayın. .

Çoxluqların əlavə edilməsi qaydası

Yaxşı, bugünkü dərsin sonunda Pavel Berdovdan bir az qalay. :)

Diqqətli tələbələr yəqin ki, artıq maraqlanıblar: əgər pay və məxrəc eyni kökə malikdirsə, nə baş verəcək? Beləliklə, aşağıdakı qayda işləyir:

Eyni köklərin çoxluğu əlavə olunur. Həmişə. Bu kök həm payda, həm də məxrəcdə baş versə belə.

Bəzən danışmaqdansa qərar vermək daha yaxşıdır. Beləliklə, aşağıdakı problemi həll edirik:

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \sağ)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \sağ))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(hizalayın)\]

Hələ xüsusi bir şey yoxdur. Məxrəci sıfıra bərabərləşdiririk:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \sağ)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Sağ ox x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Sağ ox x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(hizalayın)\]

İki eyni kök aşkar edildi: $((x)_(1))=-2$ və $x_(4)^(*)=-2$. Hər ikisinin birinci çoxluğu var. Buna görə də biz onları bir köklə əvəz edirik $x_(4)^(*)=-2$, lakin 1+1=2 çoxluğu ilə.

Bundan əlavə, eyni köklər də var: $((x)_(2))=-4$ və $x_(2)^(*)=-4$. Onlar da birinci çoxluqdandırlar, ona görə də yalnız $x_(2)^(*)=-4$ çoxluğun 1+1=2 qalacaq.

Diqqət yetirin: hər iki halda biz tam olaraq "deşilmiş" kökü tərk etdik və "rənglənmiş" kökü nəzərə almadıq. Çünki dərsin əvvəlində razılaşdıq: əgər nöqtə həm deşilib, həm də rənglənibsə, biz yenə də onu deşilmiş hesab edirik.

Nəticədə dörd kökümüz var və hamısı kəsildi:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\sol(2k \sağ); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\sol(2k \sağ). \\ \end(hizalayın)\]

Çoxluğu nəzərə alaraq onları nömrə xəttində qeyd edirik:

Bizi maraqlandıran yerlərə işarələr qoyuruq və rəngləyirik:

Hamısı. Təcrid olunmuş nöqtələr və ya digər təhriflər yoxdur. Cavabı yaza bilərsiniz.

Cavab verin. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

Çoxluqların vurulması qaydası

Bəzən daha da xoşagəlməz bir vəziyyət yaranır: çoxlu kökə malik tənliyin özü müəyyən gücə qaldırılır. Bu halda bütün orijinal köklərin çoxluğu dəyişir.

Bu nadir haldır, ona görə də əksər tələbələrin bu cür problemləri həll etmək təcrübəsi yoxdur. Və burada qayda belədir:

Tənlik $n$ gücünə qaldırıldıqda onun bütün köklərinin çoxluğu da $n$ dəfə artır.

Başqa sözlə, bir gücə yüksəltmək, qatların eyni gücə vurulmasına səbəb olur. Nümunə ilə bu qaydaya baxaq:

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \sağ))^(2))((\left(x-4 \sağ))^(5)) )(((\left(2-x \sağ))^(3))((\left(x-1 \sağ))^(2)))\le 0\]

Həll. Numeratoru sıfıra bərabərləşdiririk:

Faktorlardan ən azı biri sıfır olduqda məhsul sıfırdır. Birinci amillə hər şey aydındır: $x=0$. Ancaq sonra problemlər başlayır:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \sağ))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\sol(2k \sağ); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \sağ)\left(2k \sağ) \ \& ((x)_(2))=3\sol(4k \sağ) \\ \end(align)\]

Gördüyümüz kimi, $((x)^(2))-6x+9=0$ tənliyinin ikinci çoxluğun tək kökü var: $x=3$. Bütün bu tənlik sonra kvadrata çevrilir. Buna görə də, kökün çoxluğu $2\cdot 2=4$ olacaq ki, bu da sonda qeyd etdiyimiz şeydir.

\[((\sol(x-4 \sağ))^(5))=0\Sağ ox x=4\sol(5k \sağ)\]

Məxrəcdə də heç bir problem yoxdur:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \sağ))^(2))=0; \\ & ((\sol(2-x \sağ))^(3))=0\Sağ ox x_(1)^(*)=2\left(3k \sağ); \\ & ((\sol(x-1 \sağ))^(2))=0\Sağ ox x_(2)^(*)=1\sol(2k \sağ). \\ \end(hizalayın)\]

Ümumilikdə beş nöqtə əldə etdik: ikisi deşilmiş və üçü rənglənmişdir. Numeratorda və məxrəcdə üst-üstə düşən köklər yoxdur, ona görə də biz onları sadəcə olaraq say xəttində qeyd edirik:

Çoxluqları nəzərə alaraq işarələri düzəldirik və bizi maraqlandıran intervalları rəngləyirik:

Yenə bir təcrid olunmuş nöqtə və bir deşilmiş nöqtə

Hətta çoxluğun köklərinə görə yenidən bir neçə "qeyri-standart" element əldə etdik. Bu, $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, $x\in \left[ 0;2 \right)$ deyil, həmçinin təcrid olunmuş nöqtədir. $ x\in \sol\( 3 \sağ\)$.

Cavab verin. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Gördüyünüz kimi, hər şey o qədər də mürəkkəb deyil. Əsas odur ki, diqqətli olsun. Bu dərsin son bölməsi çevrilmələrə həsr edilmişdir - ən əvvəldə müzakirə etdiyimiz eyni şeylər.

Əvvəlcədən dönüşümlər

Bu bölmədə araşdıracağımız bərabərsizlikləri mürəkkəb adlandırmaq olmaz. Bununla belə, əvvəlki tapşırıqlardan fərqli olaraq, burada rasional fraksiyalar nəzəriyyəsindən bacarıqları tətbiq etməli olacaqsınız - faktorlara ayırma və ortaq məxrəcə endirmə.

Biz bugünkü dərsin lap əvvəlində bu məsələni ətraflı müzakirə etdik. Nə danışdığımı başa düşdüyünüzə əmin deyilsinizsə, geri dönüb təkrar etməyi məsləhət görürəm. Çünki fraksiyaları çevirməkdə "üzərsinizsə" bərabərsizliklərin həlli üsullarını sıxışdırmağın mənası yoxdur.

Ev tapşırıqlarında, yeri gəlmişkən, oxşar tapşırıqlar da çox olacaq. Onlar ayrı bir alt bölmədə yerləşdirilir. Və orada çox qeyri-trivial nümunələr tapa bilərsiniz. Ancaq bu ev tapşırığında olacaq və indi bir neçə belə bərabərsizliyə baxaq.

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Həll. Hər şeyi sola köçürün:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Ortaq məxrəcə qədər azaldırıq, mötərizələri açırıq və oxşar terminləri paylayıcıya gətiririk:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ sağa))(x\cdot \left(x-1 \sağ))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \sağ))(x\left(x-1 \sağ)) \le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \sağ))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \sağ))\le 0. \\\end(align)\]

İndi qarşımızda klassik fraksiya-rasional bərabərsizlik var, onun həlli artıq çətin deyil. Mən bunu alternativ bir üsulla həll etməyi təklif edirəm - intervallar üsulu ilə:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(hizalayın)\]

Məxrəcdən gələn məhdudiyyəti unutma:

Bütün nömrələri və məhdudiyyətləri nömrə xəttində qeyd edirik:

Bütün köklərin birinci çoxluğu var. Problem deyil. Biz sadəcə olaraq işarələr yerləşdiririk və ehtiyac duyduğumuz ərazilərə rəngləyirik:

Hamısı budur. Cavabı yaza bilərsiniz.

Cavab verin. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Təbii ki, bu çox sadə bir nümunə idi. Beləliklə, indi problemə daha ciddi baxaq. Yeri gəlmişkən, bu tapşırığın səviyyəsi 8-ci sinifdə bu mövzuda müstəqil və test işi ilə kifayət qədər uyğundur.

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\frac(1)((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Həll. Hər şeyi sola köçürün:

\[\frac(1)((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Hər iki kəsri ortaq məxrəcə gətirməzdən əvvəl gəlin bu məxrəcləri faktorlara ayıraq. Eyni mötərizələr çıxsa nə olacaq? Birinci məxrəclə bu asandır:

\[((x)^(2))+8x-9=\sol(x-1 \sağ)\sol(x+9 \sağ)\]

İkincisi bir az daha çətindir. Kəsrin göründüyü mötərizəyə sabit bir amil əlavə etməkdən çekinmeyin. Unutmayın: orijinal çoxhədlinin tam əmsalları var idi, buna görə də faktorizasiyanın tam əmsallara malik olması şansı yüksəkdir (əslində, diskriminant irrasional olmadığı təqdirdə həmişə olacaq).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \sağ)= \\ & =\sol(x-1 \sağ)\sol(3x-2 \sağ) \son(align)\]

Gördüyünüz kimi, ümumi mötərizə var: $\left(x-1 \right)$. Bərabərsizliyə qayıdırıq və hər iki kəsri ortaq məxrəcə gətiririk:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \sağ)\left(x+9 \sağ))-\frac(1)(\sol(x-1 \sağ)\ sol(3x-2 \sağ))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \sağ)\left(x+9 \right) )\left(3x-2 \sağ))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\sol(x-1 \sağ)\left(x+9 \sağ)\left(3x-2 \sağ))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \sağ)\left(x+9 \sağ)\left(3x-2 \sağ))\ge 0; \\ \end(hizalayın)\]

Məxrəci sıfıra bərabərləşdiririk:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( hizalayın)\]

Çoxlu və ya üst-üstə düşən köklər yoxdur. Xəttdə dörd rəqəmi qeyd edirik:

İşarələr qoyuruq:

Cavabı yazırıq.

Cavab: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5.5;+\infty \ sağ) $.

Hamısı! Bu kimi, bu sətirə qədər oxudum. :)

Bərabərsizliklər xətti adlanır sol və sağ tərəfləri naməlum kəmiyyətə görə xətti funksiyalardır. Bunlara, məsələn, bərabərsizliklər daxildir:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- x< x + 5 .

1) Ciddi bərabərsizliklər: ax +b>0 və ya balta+b<0

2) Qeyri-səlis bərabərsizliklər: ax +b≤0 və ya balta+b≫ 0

Bu tapşırığı təhlil edək. Paraleloqramın bir tərəfi 7 sm-dir. Paraleloqramın perimetri 44 sm-dən böyük olması üçün qarşı tərəfin uzunluğu nə qədər olmalıdır?

Lazım olan tərəf olsun X sm.Bu halda paraleloqramın perimetri (14+2x) sm ilə təmsil olunacaq.14+2x >44 bərabərsizliyi paraleloqramın perimetri məsələsinin riyazi modelidir. Bu bərabərsizlikdə dəyişəni əvəz etsək X məsələn, 16 rəqəmi üzərində, onda biz düzgün ədədi bərabərsizliyi əldə edirik 14 + 32 > 44. Bu halda 16 rəqəminin 14 + 2x > 44 bərabərsizliyinin həlli olduğunu söyləyirlər.

Bərabərsizliyin həlli dəyişəni həqiqi ədədi bərabərsizliyə çevirən dəyərini adlandırın.

Beləliklə, rəqəmlərin hər biri 15,1-dir; 20;73 14 + 2x > 44 bərabərsizliyinin həlli kimi çıxış edir, lakin məsələn, 10 rəqəmi onun həlli deyil.

Bərabərsizliyi həll edin onun bütün həll yollarını qurmaq və ya həll yollarının olmadığını sübut etmək deməkdir.

Bərabərsizliyin həllinin formalaşdırılması tənliyin kökünün formalaşdırılmasına bənzəyir. Yenə də “bərabərsizliyin kökünü” təyin etmək adət deyil.

Ədədi bərabərliklərin xassələri bizə tənlikləri həll etməyə kömək etdi. Eynilə, ədədi bərabərsizliklərin xassələri bərabərsizlikləri həll etməyə kömək edəcəkdir.

Tənliyi həll edərkən onu başqa, daha sadə, lakin verilənə ekvivalent tənliyə dəyişdiririk. Bərabərsizliklərin cavabı oxşar şəkildə tapılır. Tənliyi ekvivalent tənliyə dəyişdirərkən, tənliyin bir tərəfindən əks tərəfə şərtlərin köçürülməsi və tənliyin hər iki tərəfinin eyni sıfırdan fərqli ədədə vurulması haqqında teoremdən istifadə edirlər. Bərabərsizliyi həll edərkən, onunla tənlik arasında əhəmiyyətli bir fərq var ki, bu da tənliyin istənilən həllinin sadəcə orijinal tənliyə əvəz etməklə yoxlanıla bilməsidir. Bərabərsizliklərdə bu üsul yoxdur, çünki saysız-hesabsız həlləri orijinal bərabərsizliyə əvəz etmək mümkün deyil. Buna görə də əhəmiyyətli bir anlayış var, bu oxlar<=>ekvivalent və ya ekvivalent çevrilmələrin əlamətidir. Çevrilmə adlanır ekvivalent, və ya ekvivalent, əgər onlar həllər toplusunu dəyişməsələr.

Bərabərsizliklərin həlli üçün oxşar qaydalar.

Hər hansı bir həddi bərabərsizliyin bir hissəsindən digərinə keçirsək, işarəsini əksi ilə əvəz etsək, buna ekvivalent bərabərsizlik əldə edirik.

Əgər bərabərsizliyin hər iki tərəfi eyni müsbət ədədə vurularsa (bölünsə), buna ekvivalent bərabərsizlik əldə edirik.

Bərabərsizliyin hər iki tərəfi eyni mənfi ədədə vurularsa (bölünsə), bərabərsizlik işarəsini əksi ilə əvəz edərsə, verilmiş birinə ekvivalent bərabərsizlik alırıq.

Bunlardan istifadə Qaydalar Aşağıdakı bərabərsizlikləri hesablayaq.

1) Gəlin bərabərsizliyi təhlil edək 2x - 5 > 9.

Bu xətti bərabərsizlik, biz onun həllini tapacağıq və əsas anlayışları müzakirə edəcəyik.

2x - 5 > 9<=>2x>14(5 əks işarə ilə sol tərəfə köçürüldü), sonra hər şeyi 2-yə böldük və bizdə var x > 7. Həlllər toplusunu ox üzərində quraq x

Müsbət istiqamətləndirilmiş şüa əldə etdik. Həlllər toplusunu ya bərabərsizlik şəklində qeyd edirik x > 7, yaxud x(7; ∞) intervalı şəklində. Bu bərabərsizliyin xüsusi həlli nədir? Misal üçün, x = 10 bu bərabərsizliyin xüsusi bir həllidir, x = 12- bu həm də bu bərabərsizliyin xüsusi həllidir.

Çoxlu qismən həll yolları var, lakin bizim vəzifəmiz bütün həll yollarını tapmaqdır. Və adətən saysız-hesabsız həllər var.

Gəlin bunu həll edək misal 2:

2) Bərabərsizliyi həll edin 4a - 11 > a + 13.

Gəlin həll edək: A bir tərəfə köçürün 11 onu digər tərəfə aparsaq, 3a alırıq< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 bərabərsizlik formasına malikdir a<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>a< 8 .

Biz də dəsti nümayiş etdirəcəyik a< 8 , lakin artıq oxda A.

Ya cavabı a bərabərsizliyi şəklində yazırıq< 8, либо A(-∞;8), 8 açılmır.

İnterval üsulu– kəsrli rasional bərabərsizlikləri həll etməyin sadə yolu. Bu, dəyişəndən asılı olan rasional (və ya kəsr-rasional) ifadələri ehtiva edən bərabərsizliklərin adıdır.

1. Məsələn, aşağıdakı bərabərsizliyi nəzərdən keçirək

Interval metodu onu bir neçə dəqiqə ərzində həll etməyə imkan verir.

Bu bərabərsizliyin sol tərəfində kəsr rasional funksiya yerləşir. Rasionaldır, çünki tərkibində köklər, sinuslar və ya loqarifmlər yoxdur - yalnız rasional ifadələr. Sağda sıfırdır.

İnterval metodu kəsr rasional funksiyanın aşağıdakı xassəsinə əsaslanır.

Kəsr rasional funksiya yalnız sıfıra bərabər olduğu və ya mövcud olmadığı nöqtələrdə işarəni dəyişə bilər.

Kvadrat üçhəmin necə faktorlara bölündüyünü, yəni formanın ifadəsini xatırlayaq.

Kvadrat tənliyin kökləri haradadır.

Bir ox çəkirik və pay və məxrəcin sıfıra getdiyi nöqtələri yerləşdiririk.

Məxrəcin sıfırları və deşilmiş nöqtələrdir, çünki bu nöqtələrdə bərabərsizliyin sol tərəfindəki funksiya müəyyən edilmir (sıfıra bölmək olmaz). Numeratorun və - sıfırları kölgəlidir, çünki bərabərsizlik ciddi deyil. Nə vaxt və bizim bərabərsizliyimiz ödənilir, çünki onun hər iki tərəfi sıfıra bərabərdir.

Bu nöqtələr oxu intervallara bölür.

Bu intervalların hər birində bərabərsizliyimizin sol tərəfindəki kəsr rasional funksiyasının işarəsini təyin edək. Xatırlayırıq ki, kəsrli rasional funksiya yalnız sıfıra bərabər olduğu və ya mövcud olmadığı nöqtələrdə işarəni dəyişə bilər. Bu o deməkdir ki, payın və ya məxrəcin sıfıra getdiyi nöqtələr arasındakı intervalların hər birində bərabərsizliyin sol tərəfindəki ifadənin işarəsi sabit olacaqdır - ya "artı" və ya "mənfi".

Və buna görə də hər bir belə intervalda funksiyanın işarəsini təyin etmək üçün bu intervala aid olan istənilən nöqtəni götürürük. Bizim üçün əlverişli olanı.
. Məsələn, götürün və bərabərsizliyin sol tərəfindəki ifadənin işarəsini yoxlayın. "Mötərizələrin" hər biri mənfidir. Sol tərəfdə bir işarə var.

Növbəti interval: . Buradakı işarəni yoxlayaq. Sol tərəfin işarəsini dəyişdirdiyini görürük.

Gəlin götürək. İfadə müsbət olduqda - buna görə də, bütün intervalda müsbətdir.

Bərabərsizliyin sol tərəfi mənfi olduqda.

Və nəhayət, class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

İfadənin hansı intervallarda müsbət olduğunu tapdıq. Yalnız cavabı yazmaq qalır:

Cavab: .

Diqqət edin: işarələr intervallar arasında dəyişir. Bu ona görə baş verdi hər bir nöqtədən keçərkən xətti amillərdən biri işarəni dəyişdi, qalanları isə dəyişməz qaldı.

Interval metodunun çox sadə olduğunu görürük. Fraksiyalı-rasional bərabərsizliyi interval üsulu ilə həll etmək üçün onu aşağıdakı formaya salırıq:

Və ya class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \sağ))(\displaystyle Q\sol(x \sağ)) > 0"> !}, və ya .

(sol tərəfdə kəsr rasional funksiya, sağ tərəfdə sıfırdır).

Sonra say xəttində payın və ya məxrəcin sıfıra getdiyi nöqtələri qeyd edirik.
Bu nöqtələr bütün say xəttini intervallara bölür, onların hər birində kəsr-rasional funksiya öz işarəsini saxlayır.
Qalan hər bir intervalda onun işarəsini tapmaqdır.
Bunu ifadənin işarəsini verilmiş intervala aid olan istənilən nöqtədə yoxlayaraq edirik. Bundan sonra cavabı yazırıq. Hamısı budur.

Ancaq sual yaranır: əlamətlər həmişə bir-birini əvəz edirmi? Xeyr həmişə yox! Ehtiyatlı olmalı və işarələri mexaniki və düşüncəsiz qoymamalısınız.

2. Başqa bir bərabərsizliyə nəzər salaq.

Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \sol(x-2 \sağ)^2)(\displaystyle \sol(x-1 \sağ) \ sol(x-3 \sağ))>0"> !}

Nöqtələri yenidən oxun üzərinə qoyun. Nöqtələr və nöqtələr məxrəcin sıfırları olduğu üçün deşilmişdir. Bərabərsizlik sərt olduğu üçün nöqtə də kəsilir.

Paylayıcı müsbət olduqda, məxrəcdəki hər iki amil mənfi olur. Bu, verilmiş intervaldan istənilən nömrə götürməklə asanlıqla yoxlanıla bilər, məsələn, . Sol tərəfdə işarə var:

Numerator müsbət olduqda; Məxrəcdə birinci amil müsbət, ikinci amil mənfidir. Sol tərəfdə işarə var:

Vəziyyət eynidir! Hissedici müsbət, məxrəcdəki birinci amil müsbət, ikincisi mənfidir. Sol tərəfdə işarə var:

Nəhayət, class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Cavab: .

Niyə işarələrin növbələşməsi pozuldu? Çünki bir nöqtədən keçərkən çarpan ona “məsuliyyət daşıyır” işarəsini dəyişmədi. Beləliklə, bərabərsizliyimizin bütün sol tərəfi işarəni dəyişmədi.

Nəticə: xətti çarpan bərabər gücdürsə (məsələn, kvadrat), onda bir nöqtədən keçərkən sol tərəfdəki ifadənin işarəsi dəyişmir.. Tək dərəcə halında, işarə, əlbəttə ki, dəyişir.

3. Daha mürəkkəb bir işə baxaq. Əvvəlkidən fərqlənir ki, bərabərsizlik ciddi deyil:

Sol tərəf əvvəlki problemdə olduğu kimidir. İşarələrin şəkli eyni olacaq:

Bəlkə cavab eyni olacaq? Yox! Həll əlavə edilir Bu, bərabərsizliyin həm sol, həm də sağ tərəflərində sıfıra bərabər olduğu üçün baş verir - buna görə də bu nöqtə həlldir.

Cavab: .

Bu vəziyyət tez-tez riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanındakı problemlərdə baş verir. Burada abituriyentlər tələyə düşür və xal itirirlər. Ehtiyatlı ol!

4. Əgər pay və ya məxrəci xətti amillərə aid etmək mümkün olmadıqda nə etməli? Bu bərabərsizliyi nəzərdən keçirin:

Kvadrat trinomial faktorlara bölünə bilməz: diskriminant mənfidir, kökləri yoxdur. Amma bu yaxşıdır! Bu o deməkdir ki, hamı üçün ifadənin işarəsi eynidir və konkret olaraq müsbətdir. Bu barədə daha çox kvadrat funksiyaların xassələri haqqında məqalədə oxuya bilərsiniz.

İndi isə bərabərsizliyimizin hər iki tərəfini hamı üçün müsbət olan bir dəyərə bölə bilərik. Ekvivalent bərabərsizliyə gələk:

Hansı ki, interval metodundan istifadə etməklə asanlıqla həll olunur.

Nəzərə alın ki, bərabərsizliyin hər iki tərəfini müsbət olduğunu dəqiq bildiyimiz qiymətə böldük. Təbii ki, ümumiyyətlə, bərabərsizliyi işarəsi bilinməyən dəyişənə vurmaq və bölmək olmaz.

5 . Çox sadə görünən başqa bir bərabərsizliyi nəzərdən keçirək:

Mən sadəcə onu çoxaltmaq istəyirəm. Amma biz artıq ağıllıyıq və bunu etməyəcəyik. Axı, həm müsbət, həm də mənfi ola bilər. Və biz bilirik ki, bərabərsizliyin hər iki tərəfi mənfi qiymətə vurularsa, bərabərsizliyin işarəsi dəyişir.

Biz bunu fərqli edəcəyik - hər şeyi bir hissədə toplayacağıq və ortaq məxrəcə gətirəcəyik. Sağ tərəf sıfır olaraq qalacaq:

Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Və bundan sonra - müraciət edin interval üsulu.

Bərabərsizliklərin onlayn həlli

Bərabərsizlikləri həll etməzdən əvvəl tənliklərin necə həll edildiyini yaxşı başa düşməlisiniz.

Bərabərsizliyin ciddi () və ya qeyri-sərt (≤, ≥) olmasının fərqi yoxdur, ilk addım bərabərsizlik işarəsini bərabərliklə (=) əvəz etməklə tənliyi həll etməkdir.

Bir bərabərsizliyi həll etməyin nə demək olduğunu izah edək?

Tənlikləri öyrəndikdən sonra şagirdin beynində aşağıdakı şəkil yaranır: o, dəyişənin elə qiymətlərini tapmalıdır ki, tənliyin hər iki tərəfi eyni dəyərləri alsın. Başqa sözlə, bərabərliyin mövcud olduğu bütün nöqtələri tapın. Hər şey düzgündür!

Bərabərsizliklər haqqında danışarkən biz bərabərsizliyin mövcud olduğu intervalların (seqmentlərin) tapılmasını nəzərdə tuturuq. Əgər bərabərsizlikdə iki dəyişən varsa, onda həll artıq intervallar deyil, müstəvidə bəzi sahələr olacaqdır. Özünüz təxmin edin, üç dəyişənli bərabərsizliyin həlli nə olacaq?

Bərabərsizlikləri necə həll etmək olar?

Bərabərsizlikləri həll etməyin universal yolu, verilmiş bərabərsizliyin təmin ediləcəyi sərhədləri daxilində bütün intervalların müəyyən edilməsindən ibarət olan intervallar üsulu (intervallar üsulu kimi də tanınır) hesab olunur.

Bərabərsizlik növünə girmədən, bu halda məsələ bu deyil, müvafiq tənliyi həll etməli və onun köklərini təyin etməli, ardınca bu həllərin nömrə oxunda təyin edilməsi lazımdır.

Bərabərsizliyin həllini necə düzgün yazmaq olar?

Bərabərsizlik üçün həll intervallarını təyin etdikdən sonra həllin özünü düzgün yazmalısınız. Əhəmiyyətli bir nüans var - intervalların sərhədləri həllə daxildirmi?

Burada hər şey sadədir. Əgər tənliyin həlli ODZ-ni ödəyirsə və bərabərsizlik ciddi deyilsə, onda intervalın sərhədi bərabərsizliyin həllinə daxil edilir. Əks halda, yox.

Hər bir intervalı nəzərə alsaq, bərabərsizliyin həlli intervalın özü və ya yarım interval (onun sərhədlərindən biri bərabərsizliyi təmin etdikdə) və ya seqment - sərhədləri ilə birlikdə interval ola bilər.

Əhəmiyyətli məqam

Düşünməyin ki, bərabərsizliyi yalnız intervallar, yarım intervallar və seqmentlər həll edə bilər. Xeyr, həll yolu ayrı-ayrı məqamları da əhatə edə bilər.

Məsələn, |x|≤0 bərabərsizliyinin yalnız bir həlli var - bu, 0 nöqtəsidir.

Və |x| bərabərsizliyi

Niyə bərabərsizlik kalkulyatoruna ehtiyacınız var?

Bərabərsizliklər kalkulyatoru düzgün yekun cavabı verir. Əksər hallarda nömrə oxunun və ya müstəvinin təsviri verilir. Fasilələrin sərhədlərinin həllə daxil olub-olmaması görünür - nöqtələr kölgəli və ya deşilmiş kimi göstərilir.

Onlayn bərabərsizliklər kalkulyatoru sayəsində tənliyin köklərini düzgün tapdığınızı, onları nömrə oxunda qeyd etdiyinizi və intervallar (və sərhədlər) üzrə bərabərsizlik şərtinin yerinə yetirilməsini yoxlaya bilərsinizmi?

Cavabınız kalkulyatorun cavabından fərqlidirsə, onda siz mütləq həllinizi iki dəfə yoxlamalı və səhvi müəyyənləşdirməlisiniz.