Pifaqor teoremini sübut etməyin müxtəlif yolları. Pifaqor teoremini sübut etməyin müxtəlif yolları: nümunələr, təsvir və icmallar İlk Pifaqor teoremi
Məktəb proqramında öyrənilən Pifaqor teoreminin tarixi ilə maraqlananlar həm də 1940-cı ildə sadə görünən bu teoremin üç yüz yetmiş sübutu olan bir kitabın nəşri kimi bir faktla maraqlanacaqlar. Lakin bu, müxtəlif dövrlərin bir çox riyaziyyatçı və filosoflarının zehnini maraqlandırdı. Ginnesin Rekordlar Kitabında maksimum sübut sayına malik teorem kimi qeyd edilmişdir.
Pifaqor teoreminin tarixi
Pifaqorun adı ilə bağlı olan teorem böyük filosofun anadan olmasından çox əvvəl məlum idi. Belə ki, Misirdə strukturların inşası zamanı düzbucaqlı üçbucağın tərəf nisbəti beş min il əvvəl nəzərə alınıb. Babil mətnlərində Pifaqorun doğulmasından 1200 il əvvəl düzbucaqlı üçbucağın eyni tərəf nisbəti qeyd olunur.
Sual yaranır, bəs nə üçün tarix Pifaqor teoreminin mənşəyinin ona aid olduğunu deyir? Yalnız bir cavab ola bilər - o, üçbucaqda tərəflərin nisbətini sübut etdi. O, sadəcə olaraq təcrübə ilə qurulan aspekt nisbətindən və hipotenuzdan istifadə edənlərin əsrlər əvvəl etmədiklərini etdi.
Pifaqorun həyatından
Gələcək böyük alim, riyaziyyatçı, filosof eramızdan əvvəl 570-ci ildə Samos adasında anadan olub. Tarixi sənədlərdə qiymətli daş üzərində oyma ustası olan Pifaqorun atası haqqında məlumatlar var, anası haqqında isə heç bir məlumat yoxdur. Doğulan oğlan haqqında onun uşaqlıqdan musiqiyə, şeirə həvəs göstərən qeyri-adi uşaq olduğunu deyirdilər. Tarixçilər gənc Pifaqorun müəllimləri kimi Hermodamas və Siroslu Feresidləri əhatə edirlər. Birincisi uşağı muzalar aləminə tanıtdı, ikincisi isə filosof və italyan fəlsəfə məktəbinin banisi olmaqla gəncin baxışlarını loqolara yönəltdi.
Pifaqor 22 yaşında (e.ə. 548) misirlilərin dilini və dinini öyrənmək üçün Naucratisə getdi. Sonra onun yolu Memfisdə uzandı, burada kahinlər sayəsində onların dahiyanə sınaqlarından keçərək Misir həndəsəsini dərk etdi və bu, bəlkə də maraqlanan gənci Pifaqor teoremini sübut etməyə sövq etdi. Tarix daha sonra bu adı teoremə verəcəkdir.
Babil padşahının əsirliyi
Pifaqor Hellada evinə gedərkən Babil kralı tərəfindən əsir götürülür. Ancaq əsirlikdə olmaq istəyən riyaziyyatçının maraqlanan zehninə fayda verdi, öyrənməli çox şey var idi. Doğrudan da, o illərdə Babildə riyaziyyat Misirdən daha çox inkişaf etmişdi. O, on iki il riyaziyyat, həndəsə və sehr öyrənməyə sərf etdi. Və bəlkə də, üçbucağın tərəflərinin nisbətinin sübutu və teoremin kəşf tarixi ilə məşğul olan Babil həndəsəsi idi. Bunun üçün Pifaqorun kifayət qədər biliyi və vaxtı var idi. Lakin bunun Babildə baş verdiyinə dair heç bir sənədli təsdiq və ya təkzib yoxdur.
Eramızdan əvvəl 530-cu ildə. Pifaqor əsirlikdən vətəninə qaçır və burada tiran Polikratın sarayında yarı qul statusunda yaşayır. Pifaqor belə bir həyatla kifayətlənmir və o, Samos mağaralarına təqaüdə çıxır, sonra isə o vaxt Yunanıstanın Kroton koloniyasının yerləşdiyi İtaliyanın cənubuna gedir.
Gizli monastır nizamı
Bu koloniyanın əsasında Pifaqor eyni zamanda dini birlik və elmi cəmiyyət olan gizli monastır ordeni təşkil etdi. Bu cəmiyyətin xüsusi həyat tərzinə riayət etməkdən bəhs edən öz nizamnaməsi var idi.
Pifaqor iddia edirdi ki, insan Allahı dərk etmək üçün cəbr və həndəsə kimi elmləri bilməli, astronomiyanı bilməli və musiqini başa düşməlidir. Tədqiqat işləri rəqəmlərin və fəlsəfənin mistik tərəfi haqqında biliklərə qədər qaynadı. Qeyd edək ki, Pifaqorun o dövrdə təbliğ etdiyi prinsiplər indiki zamanda təqliddə məna kəsb edir.
Pifaqorun tələbələri tərəfindən edilən kəşflərin çoxu ona aid edilirdi. Lakin qısaca desək, o dövrün qədim tarixçiləri və bioqrafları tərəfindən Pifaqor teoreminin yaradılması tarixi birbaşa bu filosof, mütəfəkkir və riyaziyyatçının adı ilə bağlıdır.
Pifaqorun təlimləri
Bəlkə də teorem ilə Pifaqorun adı arasındakı əlaqə ideyası böyük Yunanın həyatımızın bütün hadisələrinin ayaqları və hipotenuzası ilə bədnam üçbucaqda şifrələndiyi barədə bəyanatı ilə ortaya çıxdı. Və bu üçbucaq bütün ortaya çıxan problemlərin həlli üçün “açar”dır. Böyük filosof deyirdi ki, üçbucağı görməlisən, onda problemin üçdə ikisinin həll olunduğunu hesab etmək olar.
Pifaqor öz təlimi haqqında heç bir qeyd aparmadan, gizli saxlayaraq yalnız şifahi olaraq tələbələrinə danışırdı. Təəssüf ki, ən böyük filosofun təlimləri bu günə qədər gəlib çatmayıb. Oradan nəsə sızdı, amma məlum olanların nə qədər doğru, nə qədər yalan olduğunu demək mümkün deyil. Pifaqor teoreminin tarixi ilə belə, hər şey dəqiq deyil. Riyaziyyat tarixçiləri Pifaqorun müəllifliyinə şübhə edirlər; onların fikrincə, teorem onun doğulmasından çox əsrlər əvvəl istifadə edilmişdir.
Pifaqor teoremi
Qəribə görünə bilər, amma Pifaqorun özünün teoremi sübut edən tarixi faktlar yoxdur - nə arxivlərdə, nə də başqa mənbələrdə. Müasir versiyada onun Evklidin özündən başqa heç kimə aid olmadığına inanılır.
Eramızdan əvvəl 2300-cü ildə misirlilər tərəfindən yazılan Berlin muzeyində saxlanılan papirusda kəşf edən ən böyük riyaziyyat tarixçilərindən biri Moritz Kantorun dəlilləri var. e. bərabərlik, hansı oxunur: 3² + 4² = 5².
Pifaqor teoreminin qısa tarixi
Evklid “Prinsiplərindən” teoremin tərtibi tərcümədə müasir şərhdə olduğu kimi səslənir. Onun oxumasında yeni heç nə yoxdur: düz bucağa qarşı tərəfin kvadratı düz bucağa bitişik olan tərəflərin kvadratlarının cəminə bərabərdir. Hindistan və Çinin qədim sivilizasiyalarının teoremdən istifadə etməsi faktı “Çjou - bi suan jin” traktatı ilə təsdiqlənir. Burada aspekt nisbətini 3:4:5 kimi təsvir edən Misir üçbucağı haqqında məlumat var.
Başqa bir Çin riyaziyyat kitabı olan “Çu Pei” də maraqlıdır ki, burada da Pifaqor üçbucağından Basara tərəfindən hindu həndəsəsinin təsvirləri ilə üst-üstə düşən izahatlar və təsvirlər qeyd olunur. Üçbucağın özü haqqında kitabda deyilir ki, əgər düz bucaq onun tərkib hissələrinə parçalana bilərsə, əsas üçə, hündürlüyü dördə bərabər olarsa, tərəflərin uclarını birləşdirən xətt beşə bərabər olacaqdır. .
Təxminən eramızdan əvvəl 7-5-ci əsrlərə aid hind traktatı "Sulva Sutra". e., Misir üçbucağından istifadə edərək düzgün bucaq qurmaqdan bəhs edir.
Teoremin sübutu
Orta əsrlərdə tələbələr teoremi sübut etməyi çox çətin hesab edirdilər. Zəif şagirdlər sübutun mənasını başa düşmədən teoremləri əzbər öyrənirdilər. Bu baxımdan onlar "eşşəklər" ləqəbini aldılar, çünki Pifaqor teoremi onlar üçün eşşək üçün körpü kimi keçilməz bir maneə idi. Orta əsrlərdə tələbələr bu teorem mövzusunda yumoristik bir misra ilə çıxış etdilər.
Pifaqor teoremini ən asan şəkildə sübut etmək üçün isbatda sahə anlayışından istifadə etmədən sadəcə onun tərəflərini ölçmək lazımdır. Düz bucağın qarşısındakı tərəfin uzunluğu c, ona bitişik olan a və b-dir, nəticədə tənliyi əldə edirik: a 2 + b 2 = c 2. Bu ifadə, yuxarıda qeyd edildiyi kimi, düzbucaqlı üçbucağın tərəflərinin uzunluğunu ölçməklə təsdiqlənir.
Teoremin isbatına üçbucağın tərəflərində tikilmiş düzbucaqlıların sahəsini nəzərə alaraq başlasaq, bütün fiqurun sahəsini təyin edə bilərik. Yanı (a+b) olan kvadratın sahəsinə, digər tərəfdən isə dörd üçbucağın və daxili kvadratın sahələrinin cəminə bərabər olacaq.
(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2 ;
a 2 + 2ab + b 2;
c 2 = a 2 + b 2, isbat edilməli olan budur.
Pifaqor teoreminin praktiki əhəmiyyəti ondan ibarətdir ki, seqmentlərin uzunluqlarını ölçmədən tapmaq üçün istifadə oluna bilər. Quruluşların tikintisi zamanı məsafələr, dayaqların və şüaların yerləşdirilməsi hesablanır, ağırlıq mərkəzləri müəyyən edilir. Pifaqor teoremi bütün müasir texnologiyalarda da tətbiq olunur. Onlar 3D-6D ölçülərində filmlər yaratarkən teoremi unutmadılar, burada bizim öyrəşdiyimiz üç ölçüdən əlavə: hündürlük, uzunluq, en, vaxt, qoxu və dad nəzərə alınır. Soruşursunuz ki, dad və qoxular teoremlə necə bağlıdır? Hər şey çox sadədir - filmi nümayiş etdirərkən auditoriyada hara və hansı qoxu və dadları yönləndirməyi hesablamaq lazımdır.
Bu yalnız başlanğıcdır. Yeni texnologiyaların kəşfi və yaradılması üçün qeyri-məhdud imkanlar maraqlanan beyinləri gözləyir.
Pifaqor teoremi- əlaqəni quran Evklid həndəsəsinin əsas teoremlərindən biri
düzbucaqlı üçbucağın tərəfləri arasında.
Onun adını daşıyan yunan riyaziyyatçısı Pifaqor tərəfindən sübut olunduğu güman edilir.
Pifaqor teoreminin həndəsi formalaşdırılması.
Teorem əvvəlcə aşağıdakı kimi tərtib edilmişdir:
Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuza üzərində qurulmuş kvadratın sahəsi kvadratların sahələrinin cəminə bərabərdir,
ayaqları üzərində qurulmuşdur.
Pifaqor teoreminin cəbri formalaşdırılması.
Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzanın uzunluğunun kvadratı ayaqların uzunluqlarının kvadratlarının cəminə bərabərdir.
Yəni, üçbucağın hipotenuzunun uzunluğunu ilə işarələmək c, və vasitəsilə ayaqların uzunluqları a Və b:
Hər iki formula Pifaqor teoremi ekvivalentdir, lakin ikinci formula daha elementardır, yox
sahə anlayışını tələb edir. Yəni, ikinci ifadəni ərazi və heç bir şey bilmədən yoxlamaq olar
düzbucaqlı üçbucağın yalnız tərəflərinin uzunluqlarını ölçməklə.
Pifaqor teoremini tərsinə çevirin.
Əgər üçbucağın bir tərəfinin kvadratı digər iki tərəfin kvadratlarının cəminə bərabərdirsə, onda
düz üçbucaq.
Və ya başqa sözlə:
Müsbət ədədlərin hər üçlüyü üçün a, b Və c, belə
ayaqları olan düzbucaqlı üçbucaq var a Və b və hipotenuza c.
İkitərəfli üçbucaq üçün Pifaqor teoremi.
Bərabər üçbucaq üçün Pifaqor teoremi.
Pifaqor teoreminin sübutları.
Hal-hazırda elmi ədəbiyyatda bu teoremin 367 sübutu qeydə alınmışdır. Yəqin ki, teoremdir
Pifaqor belə təsirli sayda sübuta malik yeganə teoremdir. Belə müxtəliflik
yalnız teoremin həndəsə üçün əsas əhəmiyyəti ilə izah oluna bilər.
Əlbəttə ki, konseptual olaraq onların hamısını az sayda siniflərə bölmək olar. Onlardan ən məşhurları:
sübut sahə üsulu, aksiomatik Və ekzotik sübut(Misal üçün,
istifadə etməklə diferensial tənliklər).
1. Oxşar üçbucaqlardan istifadə etməklə Pifaqor teoreminin sübutu.
Cəbri tərtibin aşağıdakı sübutu qurulmuş sübutların ən sadəsidir
bilavasitə aksiomalardan. Xüsusilə, fiqurun sahəsi anlayışından istifadə etmir.
Qoy ABC düz bucaqlı düzbucaqlı üçbucaq var C. Gəlin hündürlüyü ondan çəkək C və işarə edir
vasitəsilə onun təməli qoyulur H.
Üçbucaq ACHüçbucağa bənzəyir AB C iki küncdə. Eynilə, üçbucaq CBH oxşar ABC.
Qeydi təqdim etməklə:
alırıq:
,
uyğun gəlir -
Qatlanmış a 2 və b 2, alırıq:
və ya sübut edilməli olan budur.
2. Sahə üsulu ilə Pifaqor teoreminin isbatı.
Aşağıdakı sübutlar, görünən sadəliyinə baxmayaraq, heç də o qədər də sadə deyil. Onların hamısı
isbatları Pifaqor teoreminin özünün sübutundan daha mürəkkəb olan sahənin xassələrindən istifadə edin.
- Equiplementarity vasitəsilə sübut.
Gəlin dörd bərabər düzbucaqlı təşkil edək
şəkildə göstərildiyi kimi üçbucaq
sağda.
Yanları olan dördbucaqlı c- kvadrat,
iki iti bucağın cəmi 90° olduğundan və
açılmamış bucaq - 180 °.
Bütün fiqurun sahəsi bərabərdir, bir tərəfdən,
tərəfi olan kvadratın sahəsi ( a+b), digər tərəfdən isə dörd üçbucağın sahələrinin cəmi və
Q.E.D.
3. Pifaqor teoreminin sonsuz kiçik metodu ilə sübutu.
Şəkildə göstərilən rəsmə baxaraq və
tərəfin dəyişməsini izləyira, Biz bacarırıq
sonsuz üçün aşağıdakı əlaqəni yazın
kiçik yan artımlarilə Və a(oxşarlıqdan istifadə etməklə
üçbucaqlar):
Dəyişən ayırma metodundan istifadə edərək, tapırıq:
Hər iki tərəfdən artımlar halında hipotenuzanın dəyişməsi üçün daha ümumi ifadə:
Bu tənliyi inteqral edərək və ilkin şərtlərdən istifadə edərək əldə edirik:
Beləliklə, istədiyimiz cavaba gəlirik:
Göründüyü kimi, son düsturdakı kvadratik asılılıq xəttinə görə görünür
üçbucağın tərəfləri ilə artımlar arasında mütənasiblik, cəmi isə müstəqil
müxtəlif ayaqların artımından töhfələr.
Ayaqlardan birində artım olmadığını fərz etsək, daha sadə bir sübut əldə etmək olar
(bu halda ayaq b). Sonra inteqrasiya sabiti üçün əldə edirik:
Hekayə
Chu-pei eramızdan əvvəl 500-200-cü illər. Solda yazı var: hündürlüyün və əsasın uzunluqlarının kvadratlarının cəmi hipotenuzanın uzunluğunun kvadratıdır.
Qədim Çin kitabında Chu-pei ( İngilis dili) (Çin 周髀算經) tərəfləri 3, 4 və 5 olan Pifaqor üçbucağından bəhs edir. Eyni kitabda Bəşərin hindu həndəsəsinin təsvirlərindən biri ilə üst-üstə düşən rəsm təklif olunur.
Təxminən eramızdan əvvəl 400-cü il. Eramızdan əvvəl, Prokla görə, Platon cəbr və həndəsəni birləşdirən Pifaqor üçlüyü tapmaq üçün bir üsul verdi. Təxminən eramızdan əvvəl 300-cü il. e. Pifaqor teoreminin ən qədim aksiomatik sübutu Evklidin Elementlərində ortaya çıxdı.
Tərkiblər
Həndəsi formalaşdırma:
Teorem əvvəlcə aşağıdakı kimi tərtib edilmişdir:
Cəbri formula:
Yəni üçbucağın hipotenuzasının uzunluğunu , ayaqlarının uzunluğunu isə və ilə işarələmək:
Teoremin hər iki tərtibi ekvivalentdir, lakin ikinci tərtib daha elementardır, sahə anlayışını tələb etmir. Yəni, ikinci ifadəni sahə haqqında heç nə bilmədən və yalnız düzbucaqlı üçbucağın tərəflərinin uzunluqlarını ölçməklə yoxlanıla bilər.
Pifaqor teoreminin əksinə:
|
Müsbət ədədlərin hər üçlüyü üçün ayaqları və hipotenuzası olan düzbucaqlı üçbucaq mövcuddur. |
Sübut
Hazırda elmi ədəbiyyatda bu teoremin 367 sübutu qeydə alınıb. Yəqin ki, Pifaqor teoremi belə təsir edici sayda sübuta malik yeganə teoremdir. Bu cür müxtəlifliyi ancaq teoremin həndəsə üçün əsas əhəmiyyəti ilə izah etmək olar.
Əlbəttə ki, konseptual olaraq onların hamısını az sayda siniflərə bölmək olar. Onlardan ən məşhurları: sahə üsulu ilə sübutlar, aksiomatik və ekzotik sübutlar (məsələn, diferensial tənliklərdən istifadə etməklə).
Bənzər üçbucaqlar vasitəsilə
Cəbri tərtibin aşağıdakı sübutu bilavasitə aksiomalardan qurulmuş sübutların ən sadəsidir. Xüsusilə, fiqurun sahəsi anlayışından istifadə etmir.
Qoy ABC düz bucaqlı düzbucaqlı üçbucaq var C. Gəlin hündürlüyü ondan çəkək C və onun əsasını ilə işarələyin H. Üçbucaq ACHüçbucağa bənzəyir ABC iki küncdə. Eynilə, üçbucaq CBH oxşar ABC. Qeydi təqdim etməklə
alırıq
Nə ekvivalentdir
Əlavə etsək, əldə edirik
, sübut edilməli olan budurSahə metodundan istifadə edərək sübutlar
Aşağıdakı sübutlar, görünən sadəliyinə baxmayaraq, heç də o qədər də sadə deyil. Onların hamısı sahənin xüsusiyyətlərindən istifadə edir, bunun sübutu Pifaqor teoreminin özünün sübutundan daha mürəkkəbdir.
Equicomplementation vasitəsilə sübut
- Şəkil 1-də göstərildiyi kimi dörd bərabər düzbucaqlı üçbucağı təşkil edək.
- Yanları olan dördbucaqlı c kvadratdır, çünki iki iti bucağın cəmi 90°, düz bucaq isə 180°-dir.
- Bütün fiqurun sahəsi bir tərəfdən tərəfi (a + b) olan kvadratın sahəsinə, digər tərəfdən isə dörd üçbucağın sahələrinin cəminə bərabərdir. daxili kvadratın sahəsi.
Q.E.D.
Evklidin sübutu
Evklidin sübutunun ideyası belədir: hipotenuza üzərində qurulmuş kvadratın yarısının ayaqlar üzərində qurulmuş kvadratların yarım sahələrinin cəminə, sonra isə onun sahələrinə bərabər olduğunu sübut etməyə çalışaq. böyük və iki kiçik kvadrat bərabərdir.
Soldakı rəsmə baxaq. Onun üzərində düzbucaqlı üçbucağın kənarlarında kvadratlar qurduq və AB hipotenuzasına perpendikulyar olan C düzgün bucağının təpəsindən s şüası çəkdik, o, hipotenuza üzərində qurulmuş ABİK kvadratını iki düzbucaqlıya - BHJI və HAKJ-ə kəsir, müvafiq olaraq. Belə çıxır ki, bu düzbucaqlıların sahələri uyğun ayaqlar üzərində qurulmuş kvadratların sahələrinə tam bərabərdir.
DECA kvadratının sahəsinin AHJK düzbucağının sahəsinə bərabər olduğunu sübut etməyə çalışaq.Bunun üçün köməkçi müşahidədən istifadə edəcəyik: Eyni hündürlüyü və əsası olan üçbucağın sahəsi verilmiş düzbucaqlı verilmiş düzbucaqlının sahəsinin yarısına bərabərdir. Bu, üçbucağın sahəsini baza və hündürlüyün məhsulunun yarısı kimi təyin etməyin nəticəsidir. Bu müşahidədən belə çıxır ki, ACK üçbucağının sahəsi AHK üçbucağının sahəsinə bərabərdir (şəkildə göstərilmir), bu da öz növbəsində AHJK düzbucaqlının sahəsinin yarısına bərabərdir.
İndi sübut edək ki, ACK üçbucağının sahəsi də DECA kvadratının sahəsinin yarısına bərabərdir. Bunun üçün edilməli olan yeganə şey ACK və BDA üçbucaqlarının bərabərliyini sübut etməkdir (çünki BDA üçbucağının sahəsi yuxarıdakı xüsusiyyətə görə kvadratın sahəsinin yarısına bərabərdir). Bu bərabərlik göz qabağındadır: üçbucaqlar hər iki tərəfdən bərabərdir və aralarındakı bucaq. Məhz - AB=AK, AD=AC - CAK və BAD bucaqlarının bərabərliyini hərəkət üsulu ilə sübut etmək asandır: biz CAK üçbucağını saat əqrəbinin əksi istiqamətində 90° döndəririk, onda aydın olur ki, iki üçbucağın müvafiq tərəfləri sual üst-üstə düşəcək (kvadratın təpəsindəki bucaq 90° olduğuna görə).
BCFG kvadratının və BHJI düzbucağının sahələrinin bərabərliyinin əsaslandırılması tamamilə oxşardır.
Beləliklə, hipotenuza üzərində qurulmuş kvadratın sahəsinin ayaqlar üzərində qurulmuş kvadratların sahələrindən ibarət olduğunu sübut etdik. Bu sübutun arxasındakı fikir yuxarıdakı animasiya ilə daha da aydınlaşdırılır.
Leonardo da Vinçinin sübutu
Sübutun əsas elementləri simmetriya və hərəkətdir.
Rəsmi nəzərdən keçirək, simmetriyadan göründüyü kimi, seqment kvadratı iki eyni hissəyə kəsir (çünki üçbucaqlar tikintidə bərabərdir).
Nöqtə ətrafında saat əqrəbinin əksinə 90 dərəcə fırlanmadan istifadə edərək, kölgəli fiqurların bərabərliyini görürük və.
İndi aydın oldu ki, kölgələdiyimiz fiqurun sahəsi kiçik kvadratların (ayaqlar üzərində qurulmuş) sahələrinin yarısı ilə orijinal üçbucağın sahəsinin cəminə bərabərdir. Digər tərəfdən, bu, böyük kvadratın (hipotenuza üzərində qurulmuş) sahəsinin yarısına və orijinal üçbucağın sahəsinə bərabərdir. Beləliklə, kiçik kvadratların sahələrinin cəminin yarısı böyük kvadratın sahəsinin yarısına bərabərdir və buna görə də ayaqları üzərində qurulmuş kvadratların sahələrinin cəmi, üzərində qurulmuş kvadratın sahəsinə bərabərdir. hipotenuz.
Sonsuz kiçik üsulla sübut
Diferensial tənliklərdən istifadə edərək aşağıdakı sübut çox vaxt 20-ci əsrin birinci yarısında yaşamış məşhur ingilis riyaziyyatçısı Hardiyə aid edilir.
Şəkildə göstərilən rəsmə baxaraq və tərəfdəki dəyişikliyi müşahidə edin a, sonsuz kiçik yan artımlar üçün aşağıdakı əlaqəni yaza bilərik ilə Və a(üçbucaq oxşarlığından istifadə etməklə):
Dəyişənlərin ayrılması metodundan istifadə edərək tapırıq
Hər iki tərəfdən artımlar halında hipotenuzanın dəyişməsi üçün daha ümumi ifadə
Bu tənliyi inteqral edərək və ilkin şərtlərdən istifadə edərək əldə edirik
Beləliklə, istədiyimiz cavaba çatırıq
Göründüyü kimi, son düsturdakı kvadratik asılılıq üçbucağın tərəfləri və artımlar arasındakı xətti mütənasibliyə görə görünür, cəmi isə müxtəlif ayaqların artımından müstəqil töhfələrlə əlaqələndirilir.
Ayaqlardan birinin artım (bu vəziyyətdə ayaq) olmadığını fərz etsək, daha sadə bir sübut əldə edilə bilər. Sonra inteqrasiya sabiti üçün əldə edirik
Variasiya və ümumiləşdirmələr
Üç tərəfdən oxşar həndəsi fiqurlar
Bənzər üçbucaqlar üçün ümumiləşdirmə, yaşıl formaların sahəsi A + B = mavi C sahəsi
Bənzər düzbucaqlı üçbucaqlardan istifadə edən Pifaqor teoremi
Evklid öz işində Pifaqor teoremini ümumiləşdirdi Başlanğıclar, yanlardakı kvadratların sahələrini oxşar həndəsi fiqurların sahələrinə qədər genişləndirmək:
Düzbucaqlı üçbucağın tərəflərində oxşar həndəsi fiqurlar qursaq (bax Evklid həndəsəsi), onda iki kiçik fiqurun cəmi daha böyük fiqurun sahəsinə bərabər olacaqdır.
Bu ümumiləşdirmənin əsas ideyası ondan ibarətdir ki, belə bir həndəsi fiqurun sahəsi onun istənilən xətti ölçülərinin kvadratına və xüsusən də hər hansı tərəfin uzunluğunun kvadratına mütənasibdir. Buna görə də, sahələri olan oxşar rəqəmlər üçün A, B Və C uzunluğu ilə yanlarda tikilir a, b Və c, bizdə:
Lakin, Pifaqor teoreminə görə, a 2 + b 2 = c 2 sonra A + B = C.
Əksinə, əgər bunu sübut edə bilsək A + B = Cüç oxşar həndəsi fiqur üçün Pifaqor teoremindən istifadə etmədən, əks istiqamətdə hərəkət edərək teoremin özünü sübut edə bilərik. Məsələn, başlanğıc mərkəzi üçbucaq üçbucaq kimi təkrar istifadə edilə bilər C hipotenuzda və iki oxşar düzbucaqlı ( A Və B), mərkəzi üçbucağın hündürlüyünə bölünməsi nəticəsində yaranan digər iki tərəfdə tikilmişdir. İki kiçik üçbucağın sahələrinin cəmi üçüncünün sahəsinə bərabərdir, beləliklə A + B = C və əvvəlki sübutu tərs ardıcıllıqla yerinə yetirərək, a 2 + b 2 = c 2 Pifaqor teoremini əldə edirik.
Kosinus teoremi
Pifaqor teoremi ixtiyari üçbucaqda tərəflərin uzunluqlarını əlaqələndirən daha ümumi kosinus teoreminin xüsusi halıdır:
burada θ tərəflər arasındakı bucaqdır a Və b.
Əgər θ 90 dərəcədirsə, cos θ = 0 və düstur adi Pifaqor teoreminə qədər sadələşir.
Pulsuz üçbucaq
Tərəfləri olan ixtiyari üçbucağın istənilən seçilmiş küncünə a, b, cİkitərəfli üçbucağı elə daxil edək ki, onun θ əsasındakı bərabər bucaqlar seçilmiş bucağa bərabər olsun. Fərz edək ki, seçilmiş bucaq θ təyin olunmuş tərəfin qarşısında yerləşir c. Nəticədə yan tərəfə qarşı yerləşən θ bucağı olan ABD üçbucağı əldə etdik a və partiyalar r. İkinci üçbucaq tərəfin qarşısında yerləşən θ bucağı ilə əmələ gəlir b və partiyalar ilə uzunluq s, şəkildə göstərildiyi kimi. Sabit ibn Qurra bu üç üçbucağın tərəflərinin bir-birinə bağlı olduğunu iddia etmişdir:
θ bucağı π/2-yə yaxınlaşdıqca, ikitərəfli üçbucağın əsası kiçilir və hər iki tərəf r və s bir-birini getdikcə daha az üst-üstə düşür. θ = π/2 olduqda, AİB düzbucaqlı üçbucaq olur, r + s = c və biz ilkin Pifaqor teoremini əldə edirik.
Arqumentlərdən birini nəzərdən keçirək. ABC üçbucağı ABD üçbucağı ilə eyni açılara malikdir, lakin tərs qaydada. (İki üçbucağın B təpəsində ümumi bucağı var, hər ikisinin θ bucağı var və həmçinin üçbucağın bucaqlarının cəminə əsaslanaraq eyni üçüncü bucağa malikdir) Müvafiq olaraq, ABC DBA üçbucağının ABD əks olunmasına bənzəyir, çünki aşağı şəkildə göstərilmişdir. Qarşı tərəflərlə θ bucağına bitişik olanlar arasındakı əlaqəni yazaq,
Həmçinin başqa bir üçbucağın əksi,
Gəlin kəsrləri çoxaldaq və bu iki nisbəti əlavə edək:
Q.E.D.
Paraleloqramlar vasitəsilə ixtiyari üçbucaqlar üçün ümumiləşdirmə
İxtiyari üçbucaqlar üçün ümumiləşdirmə,
yaşıl sahə sahə = sahə mavi
Yuxarıdakı şəkildəki tezisin sübutu
Gəlin düz olmayan üçbucaqlar üçün kvadratlar əvəzinə üç tərəfdən paraleloqramlardan istifadə edərək əlavə ümumiləşdirmə aparaq. (kvadratlar xüsusi haldır.) Üst rəqəm göstərir ki, kəskin üçbucaq üçün uzun tərəfdəki paraleloqramın sahəsi digər iki tərəfdəki paraleloqramların cəminə bərabərdir, bir şərtlə ki, uzun tərəfdəki paraleloqram tərəfi şəkildə göstərildiyi kimi qurulur (oxlarla göstərilən ölçülər eynidir və aşağı paraleloqramın tərəflərini müəyyənləşdirir). Kvadratların paraleloqramlarla bu şəkildə dəyişdirilməsi eramızın 4-cü ilində İsgəndəriyyəli Pappus tərəfindən tərtib edildiyi güman edilən Pifaqorun ilkin teoreminə açıq-aydın bənzəyir. e.
Aşağıdakı rəqəm sübutun gedişatını göstərir. Üçbucağın sol tərəfinə baxaq. Sol yaşıl paraleloqram mavi paraleloqramın sol tərəfi ilə eyni sahəyə malikdir, çünki onların əsası eynidir b və hündürlük h. Bundan əlavə, sol yaşıl paraleloqram yuxarı şəkildəki sol yaşıl paraleloqramla eyni sahəyə malikdir, çünki onlar ümumi bazanı (üçbucağın yuxarı sol tərəfi) və üçbucağın həmin tərəfinə perpendikulyar olan ümumi hündürlüyü bölüşürlər. Üçbucağın sağ tərəfi üçün oxşar mülahizələrdən istifadə edərək, aşağı paraleloqramın iki yaşıl paraleloqramla eyni sahəyə malik olduğunu sübut edəcəyik.
Kompleks ədədlər
Pifaqor teoremi Kartezyen koordinat sistemində iki nöqtə arasındakı məsafəni tapmaq üçün istifadə olunur və bu teorem bütün həqiqi koordinatlar üçün etibarlıdır: məsafə s iki nöqtə arasında ( a, b) Və ( c, d) bərabərdir
Kompleks ədədlər həqiqi komponentləri olan vektorlar kimi qəbul edilərsə, formula ilə bağlı heç bir problem yoxdur x + mən y = (x, y). . Məsələn, məsafə s 0 + 1 arasında i və 1 + 0 i vektorun modulu kimi hesablanır (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), və ya
Bununla belə, mürəkkəb koordinatları olan vektorlarla əməliyyatlar üçün Pifaqor düsturunda bəzi təkmilləşdirmələr etmək lazımdır. Kompleks ədədləri olan nöqtələr arasındakı məsafə ( a, b) Və ( c, d); a, b, c, Və d bütün kompleks, biz mütləq dəyərlərdən istifadə edərək formalaşdırırıq. Məsafə s vektor fərqinə əsaslanır (a − c, b − d) aşağıdakı formada: fərq qoysun a − c = səh+i q, Harada səh- fərqin real hissəsi, q xəyali hissədir və i = √(−1). Eynilə, qoy b − d = r+ i s. Sonra:
üçün kompleks qoşa sayı haradadır. Məsələn, nöqtələr arasındakı məsafə (a, b) = (0, 1) Və (c, d) = (i, 0) , fərqi hesablayaq (a − c, b − d) = (−i, 1) və mürəkkəb birləşmələr istifadə edilməsəydi, nəticə 0 olardı. Buna görə də, təkmilləşdirilmiş düsturdan istifadə edərək əldə edirik
Modul aşağıdakı kimi müəyyən edilir:
Stereometriya
Üçölçülü fəza üçün Pifaqor teoreminin əhəmiyyətli ümumiləşdirilməsi J.-P-nin adını daşıyan de Qoy teoremidir. de Gois: əgər tetraedrin düzgün bucağı varsa (kubdakı kimi), onda düzgün bucağa qarşı olan üzün sahəsinin kvadratı digər üç üzün sahələrinin kvadratlarının cəminə bərabərdir. Bu qənaəti belə ümumiləşdirmək olar” n-ölçülü Pifaqor teoremi":
Üç ölçülü fəzada Pifaqor teoremi AD diaqonalını üç tərəflə əlaqələndirir.
Başqa bir ümumiləşdirmə: Pifaqor teoremini stereometriyaya aşağıdakı formada tətbiq etmək olar. Şəkildə göstərildiyi kimi düzbucaqlı paralelepipedi nəzərdən keçirək. Pifaqor teoremindən istifadə edərək BD diaqonalının uzunluğunu tapaq:
burada üç tərəf düzbucaqlı üçbucaq əmələ gətirir. AD diaqonalının uzunluğunu tapmaq üçün üfüqi diaqonal BD və şaquli kənar AB-dən istifadə edirik, bunun üçün yenidən Pifaqor teoremindən istifadə edirik:
və ya hər şeyi bir tənliklə yazsaq:
Bu nəticə vektorun böyüklüyünü təyin etmək üçün üçölçülü ifadədir v(diaqonal AD), onun perpendikulyar komponentləri ilə ifadə edilir ( v k ) (üç qarşılıqlı perpendikulyar tərəf):
Bu tənliyi çoxölçülü fəza üçün Pifaqor teoreminin ümumiləşdirilməsi kimi qəbul etmək olar. Bununla belə, nəticə əslində Pifaqor teoreminin ardıcıl perpendikulyar müstəvilərdə düzbucaqlı üçbucaqlar ardıcıllığına təkrar tətbiqindən başqa bir şey deyil.
Vektor məkanı
Ortoqonal vektorlar sistemi vəziyyətində bərabərlik var ki, bu da Pifaqor teoremi adlanır:
Əgər - bunlar vektorun koordinat oxlarına proyeksiyalarıdırsa, onda bu düstur Evklid məsafəsi ilə üst-üstə düşür - və vektorun uzunluğunun onun komponentlərinin kvadratlarının cəminin kvadrat kökünə bərabər olduğunu bildirir.
Sonsuz vektorlar sistemi halında bu bərabərliyin analoqu Parseval bərabərliyi adlanır.
Qeyri-Evklid həndəsəsi
Pifaqor teoremi Evklid həndəsəsinin aksiomlarından götürülüb və əslində yuxarıda yazıldığı formada qeyri-Evklid həndəsəsi üçün keçərli deyil. (Yəni Pifaqor teoreminin Evklidin paralellik postulatına bir növ ekvivalent olduğu ortaya çıxır) Başqa sözlə, qeyri-Evklid həndəsəsində üçbucağın tərəfləri arasında əlaqə mütləq Pifaqor teoremindən fərqli formada olacaqdır. Məsələn, sferik həndəsədə düzbucaqlı üçbucağın hər üç tərəfi (məsələn a, b Və c Vahid kürəsinin oktantı (səkkizinci hissəsi) məhdudlaşdıran π/2 uzunluğa malikdir, bu da Pifaqor teoreminə ziddir, çünki a 2 + b 2 ≠ c 2 .
Burada qeyri-Evklid həndəsəsinin iki halını - sferik və hiperbolik həndəsəni nəzərdən keçirək; hər iki halda, düzbucaqlı üçbucaqlar üçün Evklid fəzasına gəldikdə, Pifaqor teoremini əvəz edən nəticə kosinus teoremindən irəli gəlir.
Bununla belə, üçbucağın düzbucaqlı olması tələbi üçbucağın iki bucağının cəminin üçüncüyə bərabər olması şərti ilə əvəz edilərsə, Pifaqor teoremi hiperbolik və elliptik həndəsə üçün etibarlı olaraq qalır. A+B = C. Sonra tərəflər arasındakı əlaqə belə görünür: diametrli dairələrin sahələrinin cəmi a Və b diametrli bir dairənin sahəsinə bərabərdir c.
Sferik həndəsə
Radiuslu kürə üzərində istənilən düzbucaqlı üçbucaq üçün R(məsələn, üçbucaqda γ bucağı düzdürsə) tərəfləri ilə a, b, c Tərəflər arasında münasibətlər belə görünəcək:
Bu bərabərliyi bütün sferik üçbucaqlar üçün etibarlı olan sferik kosinus teoreminin xüsusi halı kimi əldə etmək olar:
burada cosh hiperbolik kosinusdur. Bu düstur bütün üçbucaqlar üçün keçərli olan hiperbolik kosinus teoreminin xüsusi halıdır:
burada γ təpəsi tərəfə əks olan bucaqdır c.
Harada g ij metrik tensor adlanır. Bu mövqe funksiyası ola bilər. Belə əyri fəzalara ümumi misal kimi Riman həndəsəsi daxildir. Bu formula əyrixətti koordinatlardan istifadə edərkən Evklid məkanı üçün də uyğundur. Məsələn, qütb koordinatları üçün:
Vektor rəsm
Pifaqor teoremi vektor məhsulunun böyüklüyünün iki ifadəsini birləşdirir. Çarpaz məhsulu təyin etmək üçün bir yanaşma onun tənliyi təmin etməsini tələb edir:
Bu düstur nöqtə məhsulundan istifadə edir. Tənliyin sağ tərəfi Qram determinantı adlanır a Və b, bu iki vektorun yaratdığı paraleloqramın sahəsinə bərabərdir. Bu tələbə, həmçinin vektor məhsulunun onun komponentlərinə perpendikulyar olması tələbinə əsaslanaraq a Və b buradan belə nəticə çıxır ki, 0 və 1 ölçülü fəzanın əhəmiyyətsiz halları istisna olmaqla, çarpaz məhsul yalnız üç və yeddi ölçüdə müəyyən edilir. Bucağın tərifindən istifadə edirik n-ölçülü fəza:
Çarpaz məhsulun bu xüsusiyyəti onun böyüklüyünü aşağıdakı kimi verir:
Pifaqorun əsas triqonometrik şəxsiyyəti vasitəsilə biz onun dəyərini yazmağın başqa bir formasını əldə edirik:
Çarpaz məhsulu təyin etmək üçün alternativ yanaşma onun böyüklüyü üçün ifadədən istifadə etməkdir. Sonra tərs qaydada düşünərək, skalyar məhsulla əlaqə əldə edirik:
həmçinin bax
Qeydlər
- Tarix mövzusu: Babil riyaziyyatında Pifaqor teoremi
- ( , s. 351) səh. 351
- ( , I cild, səh. 144)
- Tarixi faktların müzakirəsi (, S. 351) S. 351-də verilmişdir
- Kurt Von Fritz (aprel, 1945). "Metapontumlu Hippas tərəfindən müqayisə olunmazlığın kəşfi". Riyaziyyat Salnamələri, İkinci Seriya(Riyaziyyat Salnamələri) 46 (2): 242–264.
- Lewis Carroll, "Düyünlərlə hekayə", M., Mir, 1985, səh. 7
- Asger Aaboe Riyaziyyatın erkən tarixindən epizodlar. - Amerika Riyaziyyat Assosiasiyası, 1997. - S. 51. - ISBN 0883856131
- Python Təklifi Elisha Scott Loomis tərəfindən
- Evklidin Elementlər: Kitab VI, Təklif VI 31: “Düz bucaqlı üçbucaqlarda, düz bucağa daxil olan tərəfdəki fiqur, düz bucağı olan tərəflərdəki oxşar və oxşar şəkildə təsvir edilmiş fiqurlara bərabərdir.”
- Lawrence S. Leff istinad edilən əsər. - Barron Təhsil Seriyası. - S. 326. - ISBN 0764128922
- Howard Whitley Eves§4.8:...Pifaqor teoreminin ümumiləşdirilməsi // Riyaziyyatda möhtəşəm məqamlar (1650-ci ilə qədər). - Amerika Riyaziyyat Assosiasiyası, 1983. - S. 41. - ISBN 0883853108
- Tabit ibn Qorra (tam adı Sabit ibn Qurra ibn Mərvan Əl-Səbi əl-Hərrani) (miladi 826-901) Bağdadda yaşayan, Evklidin Elementləri və digər riyazi mövzularda geniş yazan bir həkim idi.
- Aydın Sayılı (Mart 1960). "Sabit ibn Qurranın Pifaqor teoreminin ümumiləşdirilməsi." Isis 51 (1): 35–37. DOI: 10.1086/348837.
- Judith D. Sally, Paul Sallyİş 2.10 (ii) // İstinad edilən iş. - S. 62. - ISBN 0821844032
- Belə bir tikintinin təfərrüatları üçün baxın George JenningsŞəkil 1.32: Ümumiləşdirilmiş Pifaqor teoremi // Tətbiqlərlə müasir həndəsə: 150 rəqəmlə. - 3-cü. - Springer, 1997. - S. 23. - ISBN 038794222X
- Arlen Brown, Carl M. Pearcy Maddə C: İxtiyari üçün norma n-tuple ... // Analizlərə giriş. - Springer, 1995. - S. 124. - ISBN 0387943692 Həmçinin 47-50-ci səhifələrə baxın.
- Alfred Grey, Elza Abbena, Simon Salamon Mathematica ilə əyrilərin və səthlərin müasir diferensial həndəsəsi. - 3-cü. - CRC Press, 2006. - S. 194. - ISBN 1584884487
- Rajendra Bhatia Matris analizi. - Springer, 1997. - S. 21. - ISBN 0387948465
- Stephen W. Hawking istinad edilən əsər. - 2005. - S. 4. - ISBN 0762419229
Teorem
Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzanın uzunluğunun kvadratı ayaqların uzunluqlarının kvadratlarının cəminə bərabərdir (şəkil 1):
$c^(2)=a^(2)+b^(2)$
Pifaqor teoreminin sübutu
$A B C$ üçbucağı düz bucağı $C$ olan düzbucaqlı üçbucaq olsun (şək. 2).
$C$ təpəsindən hipotenuzaya $A B$ qədər hündürlüyü çəkək və hündürlüyün əsasını $H$ kimi işarə edək.
$A C H$ düzbucağı iki bucaqda $A B C$ üçbucağına bənzəyir ($\bucaq A C B=\bucaq C H A=90^(\circ)$, $\bucaq A$ ümumidir). Eynilə, $C B H$ üçbucağı $A B C$-a bənzəyir.
Qeydi təqdim etməklə
$$B C=a, A C=b, A B=c$$
üçbucaqların oxşarlığından bunu alırıq
$$\frac(a)(c)=\frac(H B)(a), \frac(b)(c)=\frac(A H)(b)$$
Buradan bizdə bu var
$$a^(2)=c \cdot H B, b^(2)=c \cdot A H$$
Nəticədə bərabərlikləri əlavə edərək, alırıq
$$a^(2)+b^(2)=c \cdot H B+c \cdot A H$$
$$a^(2)+b^(2)=c \cdot(H B+A H)$$
$$a^(2)+b^(2)=c \cdot A B$$
$$a^(2)+b^(2)=c \cdot c$$
$$a^(2)+b^(2)=c^(2)$$
Q.E.D.
Pifaqor teoreminin həndəsi formalaşdırılması
Teorem
Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuza üzərində qurulmuş kvadratın sahəsi ayaqlar üzərində qurulmuş kvadratların sahələrinin cəminə bərabərdir (şəkil 2):
Problemin həlli nümunələri
Misal
Məşq edin. Tərəfləri 6 sm və 8 sm olan $A B C$ düzbucaqlı üçbucağı verilmişdir.Bu üçbucağın hipotenuzunu tapın.
Həll. Ayaq şərtinə görə $a=6$ sm, $b=8$ sm.Onda Pifaqor teoreminə görə hipotenuzanın kvadratı
$c^(2)=a^(2)+b^(2)=6^(2)+8^(2)=36+64=100$
Buradan istənilən hipotenuzanı əldə edirik
$c=\sqrt(100)=10$ (sm)
Cavab verin. 10 sm
Misal
Məşq edin. Düzbucaqlı üçbucağın sahəsini tapın, əgər onun ayaqlarından birinin digərindən 5 sm böyük olduğu və hipotenuzunun 25 sm olduğu məlumdur.
Həll.$x$ sm kiçik ayağın uzunluğu olsun, sonra $(x+5)$ sm böyük ayağın uzunluğu olsun. Sonra, Pifaqor teoreminə görə, biz var:
$$x^(2)+(x+5)^(2)=25^(2)$$
Mötərizələr açırıq, oxşarları azaldırıq və nəticədə kvadrat tənliyi həll edirik:
$x^(2)+5 x-300=0$
Vyeta teoreminə görə, biz bunu əldə edirik
$x_(1)=15$ (sm) , $x_(2)=-20$ (sm)
$x_(2)$ qiyməti məsələnin şərtlərini ödəmir, bu o deməkdir ki, kiçik ayaq 15 sm, böyük ayaq isə 20 sm-dir.
Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi onun ayaqlarının uzunluqlarının məhsulunun yarısına bərabərdir, yəni
$$S=\frac(15 \cdot 20)(2)=15 \cdot 10=150\left(\mathrm(sm)^(2)\sağ)$$
Cavab verin.$S=150\sol(\mathrm(sm)^(2)\sağ)$
Tarixi istinad
Pifaqor teoremi- düzbucaqlı üçbucağın tərəfləri arasında əlaqə quran Evklid həndəsəsinin əsas teoremlərindən biri.
Qədim Çin kitabı "Çjou Bi Xuan Jing" tərəfləri 3, 4 və 5 olan Pifaqor üçbucağından bəhs edir. Aparıcı alman riyaziyyat tarixçisi Moritz Kantor (1829 - 1920) hesab edir ki, bərabərlik $3^(2)+4^ (2)=5^ (2) $ artıq eramızdan əvvəl 2300-cü ildə misirlilərə məlum idi. Alimin sözlərinə görə, inşaatçılar daha sonra tərəfləri 3, 4 və 5 olan düzbucaqlı üçbucaqlardan istifadə edərək düzgün bucaqlar düzəldirdilər. Pifaqor teoremi haqqında babillilər arasında bir qədər daha çox şey məlumdur. Bir mətn ikitərəfli düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzasının təxmini hesablamasını verir.
Hal-hazırda elmi ədəbiyyatda bu teoremin 367 sübutu qeydə alınmışdır. Yəqin ki, Pifaqor teoremi belə təsir edici sayda sübuta malik yeganə teoremdir. Bu cür müxtəlifliyi ancaq teoremin həndəsə üçün əsas əhəmiyyəti ilə izah etmək olar.
Əsərin mətni şəkillər və düsturlar olmadan yerləşdirilib.
Əsərin tam versiyası PDF formatında "İş faylları" sekmesinde mövcuddur
Giriş
Məktəb həndəsə kursunda Pifaqor teoremindən istifadə etməklə yalnız riyazi məsələlər həll olunur. Təəssüf ki, Pifaqor teoreminin praktiki tətbiqi məsələsi nəzərdən keçirilmir.
Bu baxımdan işimin məqsədi Pifaqor teoreminin tətbiq sahələrini öyrənmək idi.
Hal-hazırda, ümumiyyətlə qəbul edilir ki, elm və texnikanın bir çox sahələrinin inkişafının uğuru riyaziyyatın müxtəlif sahələrinin inkişafından asılıdır. İstehsalın səmərəliliyinin artırılmasının mühüm şərti riyazi metodların texnologiyaya və xalq təsərrüfatına geniş tətbiqidir ki, bu da təcrübənin qarşıya qoyduğu problemlərin həllinə imkan verən keyfiyyət və kəmiyyət tədqiqatlarının yeni, səmərəli üsullarının yaradılmasını nəzərdə tutur.
Pifaqor teoreminin praktik tətbiqinə dair nümunələri nəzərdən keçirəcəyəm. Teoremdən istifadəyə dair bütün nümunələri verməyə çalışmayacağam - bu, çətin ki, mümkün olardı. Teoremin əhatə dairəsi kifayət qədər genişdir və ümumiyyətlə kifayət qədər tamlıqla göstərilə bilməz.
Hipotez:
Pifaqor teoremindən istifadə etməklə təkcə riyazi məsələləri həll edə bilməzsiniz.
Bu tədqiqat işi üçün aşağıdakı məqsəd müəyyən edilir:
Pifaqor teoreminin tətbiq sahələrini tapın.
Yuxarıda göstərilən məqsədə əsasən aşağıdakı vəzifələr müəyyən edilmişdir:
Müxtəlif mənbələrdə Pifaqor teoreminin praktik tətbiqi haqqında məlumat toplayın və teoremin tətbiq sahələrini müəyyənləşdirin.
Pifaqor və onun teoremi haqqında bəzi tarixi məlumatları öyrənin.
Tarixi məsələlərin həllində teoremin tətbiqini göstərin.
Mövzu ilə bağlı toplanmış məlumatları emal edin.
Mən məlumatların axtarışı və toplanması ilə məşğul olurdum - çap materialını öyrənmək, İnternetdə materialla işləmək, toplanmış məlumatları emal etmək.
Tədqiqat metodologiyası:
Nəzəri materialın öyrənilməsi.
Tədqiqat metodlarının öyrənilməsi.
Tədqiqatın praktiki həyata keçirilməsi.
Kommunikativ (ölçmə üsulu, anket).
Layihə növü: məlumat və araşdırma. İş boş vaxtlarda edildi.
Pifaqor haqqında.
Pifaqor - qədim yunan filosofu, riyaziyyatçısı, astronomu. O, həndəsi fiqurların bir çox xassələrini əsaslandırmış, ədədlərin və onların nisbətlərinin riyazi nəzəriyyəsini işləyib hazırlamışdır. O, astronomiya və akustikanın inkişafına mühüm töhfələr verib. Qızıl ayələrin müəllifi, Krotonda Pifaqor məktəbinin banisi.
Rəvayətə görə, Pifaqor eramızdan əvvəl 580-ci ildə anadan olub. e. Samos adasında varlı tacir ailəsində. Anası Pyphasis, adını Apollonun keşişi Pifiyanın şərəfinə almışdır. Pifiya Mnesarx və onun arvadına bir oğlunun doğulacağını proqnozlaşdırdı, oğul da Pifiyanın adını aldı. Bir çox qədim şəhadətlərə görə, oğlan inanılmaz dərəcədə yaraşıqlı idi və tezliklə qeyri-adi qabiliyyətlərini göstərdi. O, ilk biliyini zərgər və qiymətli daş oymacısı olan atası Mnesarxdan almışdı, o, oğlunun işini davam etdirəcəyini xəyal edirdi. Amma həyat başqa cür qərar verdi. Gələcək filosof elm üçün böyük qabiliyyətlər göstərdi. Pifaqorun müəllimləri arasında Siroslu Feresidlər və Elder Hermodamant da var idi. Birincisi uşağa elmə, ikincisi isə musiqiyə, rəssamlığa və şeirə məhəbbət aşıladı. Daha sonra Pifaqor Miletli məşhur filosof və riyaziyyatçı Thales ilə tanış oldu və onun məsləhəti ilə o dövrün elmi və tədqiqat fəaliyyətinin mərkəzi olan Misirə getdi. 22 il Misirdə, 12 il Babildə yaşadıqdan sonra o, Samos adasına qayıtmış, daha sonra naməlum səbəblərdən onu tərk edərək İtaliyanın cənubundakı Kroton şəhərinə köçmüşdür. Burada o, fəlsəfə və riyaziyyatın müxtəlif məsələlərinin öyrənildiyi Pifaqor məktəbini (birliyi) yaratdı. Təxminən 60 yaşında Pifaqor tələbələrindən Theano ilə evləndi. Onların üç övladı var, hamısı atalarının davamçısı olurlar. O dövrün tarixi şəraiti aristokratların hakimiyyətinə qarşı demoların geniş hərəkatı ilə səciyyələnir. Xalqın qəzəb dalğalarından qaçan Pifaqor və tələbələri Tarentum şəhərinə köçürlər. Bir versiyaya görə: Kilon adlı zəngin və pis adam sərxoş halda qardaşlığa qoşulmaq istəyən onun yanına gəldi. Rədd olunduqdan sonra Cylon Pifaqorla döyüşməyə başladı. Yanğın zamanı şagirdlər öz bahasına müəllimin həyatını xilas ediblər. Pifaqor kədərləndi və tezliklə intihar etdi.
Qeyd edək ki, bu, onun tərcümeyi-halı variantlarından biridir. Onun doğum və ölüm tarixləri dəqiq müəyyən edilməmişdir, həyatı ilə bağlı bir çox faktlar ziddiyyətlidir. Ancaq bir şey aydındır: bu insan yaşamış və öz nəslinə böyük fəlsəfi-riyazi irs qoyub getmişdir.
Pifaqor teoremi.
Pifaqor teoremi həndəsənin ən mühüm ifadəsidir. Teorem aşağıdakı kimi tərtib edilmişdir: düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzası üzərində qurulmuş kvadratın sahəsi onun ayaqları üzərində qurulmuş kvadratların sahələrinin cəminə bərabərdir.
Bu ifadənin kəşfi Samoslu Pifaqora (e.ə. 12-ci əsr) aid edilir.
Babil mixi lövhələrinin və qədim Çin əlyazmalarının (daha qədim əlyazmaların nüsxələri) tədqiqi göstərdi ki, məşhur teorem Pifaqordan çox əvvəl, bəlkə də ondan bir neçə min il əvvəl məlum idi.
(Ancaq belə bir fərziyyə var ki, Pifaqor bunun tam sübutunu verib)
Ancaq başqa bir fikir də var: Pifaqor məktəbində bütün xidmətləri Pifaqora aid etmək və kəşf edənlərin şöhrətini özlərinə aid etməmək, bəlkə də bir neçə hal istisna olmaqla, gözəl bir adət var idi.
(Iamblichus-Suriya yunandilli yazıçı, “Pifaqorun həyatı” traktatının müəllifi. (Eramızın II əsri)
Beləliklə, alman riyaziyyatçı tarixçisi Kantor hesab edir ki, 3 2 + 4 2 = 5 2 bərabərliyi
Misirlilərə eramızdan əvvəl 2300-cü illərdə məlumdur. e. kral Amenehmetin dövründə (Berlin muzeyinin 6619 papirusuna görə). Bəziləri Pifaqorun teoremi tam sübut etdiyinə inanır, bəziləri isə onun bu məziyyətini inkar edir.
Bəziləri Evklidin "Elementlər"ində verdiyi sübutu Pifaqora aid edirlər. Digər tərəfdən, Prokl (riyaziyyatçı, V əsr) Elementlərdəki sübutun Evklidin özünə aid olduğunu, yəni riyaziyyat tarixində Pifaqorun riyazi fəaliyyəti haqqında demək olar ki, heç bir etibarlı məlumatın saxlanmadığını iddia edir. Riyaziyyatda, bəlkə də, hər cür müqayisəyə layiq başqa bir teorem yoxdur.
Evklidin Elementlərinin bəzi siyahılarında bu teorem arı, kəpənək (“kəpənək teoremi”) ilə rəsm oxşarlığına görə “nimfa teoremi” adlanırdı ki, bu da yunan dilində pəri adlanırdı. Yunanlar bu sözü bəzi digər tanrıçaların, eləcə də gənc qadınların və gəlinlərin adlarını çəkmək üçün istifadə edirdilər. Ərəbcə tərcüməçi rəsmə əhəmiyyət verməyib və “nimfa” sözünü “gəlin” kimi tərcümə edib. “Gəlin teoremi” mehriban adı belə ortaya çıxdı. Belə bir rəvayət var ki, Samoslu Pifaqor öz teoremini sübut edəndə 100 öküz qurban verərək tanrılara təşəkkür edib. Beləliklə, başqa bir ad - "yüz öküz teoremi".
İngilis dilli ölkələrdə onu "yel dəyirmanı", "tovuz quyruğu", "gəlin kreslosu", "eşşək körpüsü" adlandırırdılar (əgər tələbə onu "keçə" bilmirsə, o, əsl "eşşək" idi)
İnqilabdan əvvəlki Rusiyada ikitərəfli üçbucaq üçün Pifaqor teoreminin təsviri "Pifaqor şalvarı" adlanırdı.
Bu "şalvar" düzbucaqlı üçbucağın hər tərəfində kənara doğru kvadratlar qurduqda görünür.
Pifaqor teoreminin neçə müxtəlif sübutu var?
Pifaqorun dövründən indiyədək onların 350-dən çoxu peyda olub.Teorem Ginnesin Rekordlar Kitabına daxil edilib. Teoremin sübutlarını təhlil etsək, onlar bir neçə prinsipial fərqli fikirdən istifadə edirlər.
Teoremin tətbiq sahələri.
Həllində geniş istifadə olunur həndəsi tapşırıqlar.
Onun köməyi ilə tam ədədlərin kvadrat köklərinin dəyərlərini həndəsi şəkildə tapa bilərsiniz:
Bunun üçün vahid ayaqları olan düz AOB üçbucağını (A bucağı 90°-dir) qururuq. Onda onun hipotenuzası √2-dir. Sonra BC vahid seqmentini qururuq, BC OB-yə perpendikulyardır, hipotenuzanın uzunluğu OC = √3 və s.
(bu üsula biz Evklid və F. Kirenskidə rast gəlirik).
Bildiyiniz vəzifələr fiziklər Orta məktəblərdə Pifaqor teoremi haqqında bilik tələb olunur.
Bunlar sürətlərin əlavə edilməsi ilə bağlı problemlərdir.
Slayda diqqət yetirin: 9-cu sinif fizika dərsliyindən bir məsələ. Praktiki mənada onu aşağıdakı kimi formalaşdırmaq olar: estakadalar arasında sərnişin daşıyan qayıq cədvələ uyğun gəlmək üçün çay axınına hansı bucaq altında hərəkət etməlidir? (estakadalar çayın əks sahilindədir)
Biatlonçu hədəfə atəş açdıqda "küləyə uyğunlaşma" edir. Külək sağdan əsirsə və idmançı düz atırsa, güllə sola gedəcək. Hədəfi vurmaq üçün nişangahı güllənin yerdəyişdiyi məsafə ilə sağa köçürmək lazımdır. Onlar üçün xüsusi cədvəllər tərtib edilmişdir (Pifaqordan gələn nəticələr əsasında). Biatlonçu, küləyin sürəti məlum olduqda mənzərəni hansı bucaqda hərəkət etdirəcəyini bilir.
Astronomiya - teoremin tətbiqi üçün də geniş sahə İşıq şüasının yolu.Şəkil bir işıq şüasının yolunu göstərir A B və geri. Şüa yolu aydınlıq üçün əyri ox ilə göstərilir; əslində işıq şüası düzdür.
Şüa hansı yolu tutur?? İşıq eyni yolla irəli və geri gedir. Şüa qət etdiyi məsafənin yarısı nədir? Seqmenti təyin etsək AB simvolu l, vaxtın yarısı kimi t, həm də hərfi ilə işığın sürətini ifadə edir c, onda tənliyimiz formasını alacaq
c * t = l
Bu sərf olunan vaxtın və sürətin məhsuludur!
İndi eyni fenomenə fərqli istinad çərçivəsindən, məsələn, sürətlə qaçan şüanın yanından uçan bir kosmik gəmidən baxmağa çalışaq. v. Belə bir müşahidə ilə bütün cisimlərin sürətləri dəyişəcək və stasionar cisimlər sürətlə hərəkət etməyə başlayacaqlar. vəks istiqamətdə. Fərz edək ki, gəmi sola doğru hərəkət edir. Sonra dovşanın qaçdığı iki nöqtə eyni sürətlə sağa doğru hərəkət etməyə başlayacaq. Üstəlik, bunny öz yolu ilə qaçarkən, başlanğıc nöqtəsi A dəyişir və şüa yeni bir nöqtəyə qayıdır C.
Sual: işıq şüası hərəkət edərkən nöqtənin hərəkət etməyə (C nöqtəsinə çevrilmək üçün) nə qədər vaxtı var? Daha doğrusu: bu yerdəyişmənin yarısı nədir? Şüanın səyahət vaxtının yarısını hərflə işarə etsək t", və yarım məsafə A.C. məktub d, onda tənliyimizi formada alırıq:
v * t" = d
Məktub v kosmik gəminin sürətini göstərir.
Başqa bir sual: işıq şüası nə qədər uzaqlaşacaq?(Daha doğrusu, bu yolun yarısı nədir? Naməlum obyektə qədər olan məsafə nə qədərdir?)
İşıq yolunun yarısını s hərfi ilə işarə etsək, tənliyi alırıq:
c * t" = s
Burada c işıq sürətidir və t"- bu yuxarıda bəhs etdiyimiz vaxtdır.
İndi üçbucağı nəzərdən keçirin ABC. Bu, hündürlüyü olan ikitərəfli üçbucaqdır l, prosesi sabit bir baxımdan nəzərdən keçirərkən təqdim etdiyimiz. Hərəkət perpendikulyar olduğundan l, onda bu ona təsir edə bilməzdi.
Üçbucaq ABC iki yarımdan ibarətdir - hipotenusları eyni olan düzbucaqlı üçbucaqlar AB Və B.C. ayaqlara bağlanmalıdır Pifaqor teoreminə görə. Ayaqlardan biri d, indicə hesabladığımız, ikinci ayaq isə işığın keçdiyi və bizim də hesabladığımız s-dir.Tənliyi əldə edirik:
s 2 = l 2 + d 2
bu Pifaqor teoremi!
Fenomen ulduz aberrasiyası, 1729-cu ildə kəşf edilmişdir ki, səma sferasında olan bütün ulduzlar ellipsləri təsvir edir. Bu ellipslərin yarımmajor oxu Yerdən 20,5 dərəcə bucaq altında müşahidə edilir. Bu bucaq Yerin Günəş ətrafında saatda 29,8 km sürətlə hərəkəti ilə əlaqələndirilir. Hərəkət edən Yerdən bir ulduzu müşahidə etmək üçün ulduzun hərəkəti ilə birlikdə teleskop borusunu da irəli əymək lazımdır, çünki işıq teleskopun uzunluğu boyunca hərəkət edərkən, okulyar yerlə birlikdə irəliyə doğru hərəkət edir. İşıq və Yer sürətlərinin əlavə edilməsi sözdə istifadə edərək vektor olaraq həyata keçirilir.
Pifaqor. U 2 =C 2 +V 2
C - işıq sürəti
V-yer sürəti
Teleskop borusu
On doqquzuncu əsrin sonlarında Marsın insana bənzər sakinlərinin mövcudluğu ilə bağlı müxtəlif fərziyyələr irəli sürülürdü, bu, italyan astronomu Schiaparelli-nin kəşflərinin nəticəsi idi (o, Marsda çoxdan süni hesab edilən kanalları kəşf etdi). Təbii ki, işıq siqnallarından istifadə edərək bu fərziyyə məxluqlarla ünsiyyət qurmağın mümkün olub-olmaması sualı qızğın müzakirələrə səbəb olub. Paris Elmlər Akademiyası hətta başqa səma cisminin hər hansı sakini ilə əlaqə quran ilk şəxs üçün 100.000 frank məbləğində mükafat təsis etdi; bu mükafat hələ də şanslı qalibi gözləyir. Zarafat olaraq, tamamilə səbəbsiz olmasa da, Pifaqor teoremi şəklində Mars sakinlərinə bir siqnal ötürmək qərara alındı.
Bunu necə etmək məlum deyil; lakin hər kəsə aydındır ki, Pifaqor teoreminin ifadə etdiyi riyazi fakt hər yerdə var və ona görə də bizə bənzər başqa bir dünyanın sakinləri belə bir siqnalı başa düşməlidirlər.
mobil əlaqə
Müasir dünyada kim mobil telefondan istifadə etmir? Hər bir mobil telefon abunəçisi onun keyfiyyəti ilə maraqlanır. Keyfiyyət isə öz növbəsində mobil operatorun antenasının hündürlüyündən asılıdır. Transmissiyanın qəbul edilə biləcəyi radiusu hesablamaq üçün istifadə edirik Pifaqor teoremi.
R=200 km radiusda ötürülmələrin qəbul edilməsi üçün mobil operatorun antenası maksimum hansı hündürlüyə malik olmalıdır? (Yerin radiusu 6380 km-dir.)
Həll:
Qoy AB= x , BC=R=200 km , OC= r =6380 km.
OB=OA+ABOB=r + x.
Pifaqor teoremindən istifadə edərək əldə edirik Cavab: 2,3 km.
Evlər və kotteclər tikərkən, kirişlər artıq hazırlanmışsa, dam üçün raftersin uzunluğu ilə bağlı sual tez-tez yaranır. Məsələn: bir evin üzərində gable damın qurulması planlaşdırılır (bölmə forması). Şüaları AC=8 m və AB=BF edirsə, rafters hansı uzunluqda olmalıdır.
Həll:
ADC üçbucağı AB=BC=4 m, BF=4 m ikitərəflidir.FD=1,5 m olduğunu fərz etsək, onda:
A) DBC üçbucağından: DB=2,5 m.
B) ABF üçbucağından:
Pəncərə
Binalarda Qotika və Romanesk üslubu pəncərələrin yuxarı hissələri daş qabırğalarla bölünür ki, bu da təkcə ornament rolunu oynamır, həm də pəncərələrin möhkəmliyinə töhfə verir. Şəkildə Gothic üslubunda belə bir pəncərənin sadə nümunəsi göstərilir. Onun qurulması üsulu çox sadədir: Şəkildən radiusları bərabər olan altı çevrə qövsünün mərkəzlərini tapmaq asandır.
pəncərə eni (b) xarici tağlar üçün
eninin yarısı, daxili qövslər üçün (b/2).
Dörd qövsə toxunan tam bir dairə qalır. İki konsentrik dairə arasında qapalı olduğundan onun diametri bu dairələr arasındakı məsafəyə bərabərdir, yəni b/2 və buna görə də radius b/4-dür. Və sonra aydın olur və
onun mərkəzinin mövqeyi.
IN romanesk memarlıqŞəkildə göstərilən motivə tez-tez rast gəlinir. Əgər b hələ də pəncərənin enini ifadə edirsə, onda yarımdairələrin radiusu R = b / 2 və r = b / 4 olacaqdır. Daxili dairənin radiusu p Şəkildə göstərilən sağ üçbucaqdan hesablana bilər. nöqtəli xətt Bu üçbucağın dairələrin toxunma nöqtəsindən keçən hipotenuzası b/4+p, bir tərəfi b/4, digər tərəfi isə b/2-p-ə bərabərdir. Pifaqor teoreminə görə biz var:
(b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/4-p) 2
b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4 - bp/2 +p 2 ,
b-yə bölmək və oxşar şərtləri gətirməklə, əldə edirik:
(3/2)p=b/4, p=b/6.
Meşə sənayesində: tikinti ehtiyacları üçün loglar şüalara kəsilir və əsas vəzifə mümkün qədər az tullantı əldə etməkdir. Ən az tullantı miqdarı ağac ən böyük həcmdə olduqda baş verəcəkdir. Bölmədə nə olmalıdır? Həlldən göründüyü kimi, kəsik kvadrat olmalıdır və Pifaqor teoremi və digər mülahizələr belə bir nəticə çıxarmağa imkan verir.
Ən böyük həcmli taxta
Tapşırıq
Silindrik bir logdan ən böyük həcmdə düzbucaqlı bir şüa kəsmək lazımdır. Onun en kəsiyi hansı formada olmalıdır (şək. 23)?
Həll
Düzbucaqlı hissənin tərəfləri x və y olarsa, Pifaqor teoremi ilə
x 2 + y 2 = d 2,
burada d logun diametridir. Şüanın həcmi onun en kəsiyinin sahəsi ən böyük olduqda, yəni xy ən böyük dəyərinə çatdıqda ən böyük olur. Lakin xy ən böyükdürsə, x 2 y 2 hasilatı da ən böyük olacaqdır. x 2 + y 2 cəmi dəyişmədiyi üçün, əvvəllər sübut edilənə görə, x 2 y 2 məhsulu ən böyükdür.
x 2 = y 2 və ya x = y.
Beləliklə, şüanın kəsişməsi kvadrat olmalıdır.
Nəqliyyat vəzifələri(sözdə optimallaşdırma problemləri; həlli bizə suala cavab verməyə imkan verən problemlər: böyük fayda əldə etmək üçün vəsaitləri necə ayırmaq olar)
İlk baxışdan xüsusi bir şey yoxdur: bir neçə nöqtədə döşəmədən tavana qədər hündürlüyü ölçün, şkafın tavana söykənməməsi üçün bir neçə santimetr çıxarın. Bunu etməklə, mebellərin yığılması prosesində çətinliklər yarana bilər. Axı, mebel ustaları şkafı üfüqi vəziyyətdə yerləşdirərək çərçivəni yığırlar və çərçivə yığıldıqda onu şaquli vəziyyətə qaldırırlar. Şkafın yan divarına baxaq. Şkafın hündürlüyü döşəmədən tavana qədər olan məsafədən 10 sm az olmalıdır, bu məsafə 2500 mm-dən çox olmamalıdır. Şkafın dərinliyi isə 700 mm-dir. Niyə 5 sm və ya 7 deyil, 10 sm və Pifaqor teoreminin bununla nə əlaqəsi var?
Beləliklə: yan divar 2500-100=2400 (mm) - strukturun maksimum hündürlüyü.
Çərçivənin qaldırılması prosesində yan divar həm şaquli, həm də diaqonal olaraq sərbəst şəkildə keçməlidir. By Pifaqor teoremi
AC = √ AB 2 + BC 2
AC = √ 2400 2 + 700 2 = 2500 (mm)
Şkafın hündürlüyü 50 mm azaldılsa nə olar?
AC = √ 2450 2 + 700 2 = 2548 (mm)
Diaqonal 2548 mm. Bu o deməkdir ki, siz şkaf quraşdıra bilməyəcəksiniz (tavanı xarab edə bilərsiniz).
İldırımötürən.
Məlumdur ki, bir şimşək çubuqunun təməlindən məsafəsi hündürlüyündən iki dəfə çox olmayan bütün obyektləri ildırımdan qoruyur. Gable damında ildırım çubuğunun optimal mövqeyini təyin etmək lazımdır, onun ən aşağı əlçatan hündürlüyünü təmin etmək lazımdır.
Pifaqor teoreminə görə h 2 ≥ a 2 +b 2 deməkdir h≥(a 2 +b 2) 1/2
Təcili olaraq bağ evimizdə fidan üçün istixana tikməliyik.
Lövhələrdən 1m1m kvadrat hazırlanır. 1,5m1,5m ölçüdə plyonka qalıqları var. Kvadratın mərkəzində hansı hündürlükdə zolaq yapışdırılmalıdır ki, film onu tamamilə örtsün?
1) İstixana diaqonalı d==1,4;0,7
2) Film diaqonalı d 1= 2,12 1,06
3) Dəmir yolu hündürlüyü x= 0,7
Nəticə
Tədqiqat nəticəsində Pifaqor teoreminin bəzi tətbiq sahələrini öyrəndim. Bu mövzuda ədəbi mənbələrdən və internetdən xeyli material toplayıb emal etmişəm. Pifaqor və onun teoremi haqqında bəzi tarixi məlumatları öyrəndim. Bəli, doğrudan da, Pifaqor teoremindən istifadə etməklə təkcə riyazi məsələləri həll edə bilməzsiniz. Pifaqor teoremi tikinti və memarlıq, mobil rabitə və ədəbiyyatda öz tətbiqini tapmışdır.
Pifaqor teoremi haqqında məlumat mənbələrinin öyrənilməsi və təhlili
göstərdi ki:
A) riyaziyyatçıların və riyaziyyat həvəskarlarının teoremə müstəsna diqqəti onun sadəliyinə, gözəlliyinə və əhəmiyyətinə əsaslanır;
b) uzun əsrlər boyu Pifaqor teoremi maraqlı və mühüm riyazi kəşflərə təkan rolunu oynamışdır (Fermat teoremi, Eynşteynin nisbilik nəzəriyyəsi);
V) Pifaqor teoremi - bütün dünyada qüvvədə olan universal riyaziyyat dilinin təcəssümüdür;
G) teoremin əhatə dairəsi kifayət qədər genişdir və ümumiyyətlə kifayət qədər tamlıqla göstərilə bilməz;
d) Pifaqor teoreminin sirləri bəşəriyyəti həyəcanlandırmaqda davam edir və buna görə də hər birimizə onların kəşfində iştirak etmək şansı verilir.
Biblioqrafiya
“Uspexi Matematiçeskix Nauk”, 1962, cild 17, № 6 (108).
Aleksandr Daniloviç Aleksandrov (əlli ildönümündə),
Aleksandrov A.D., Verner A.L., Rıjik V.İ. Həndəsə, 10 - 11 hüceyrə. - M.: Təhsil, 1992.
Atanasyan L.S. və başqaları Həndəsə, 10 - 11 xana. - M.: Təhsil, 1992.
Vladimirov Yu.S. Məkan - zaman: açıq və gizli ölçülər. - M.: “Elm”, 1989.
Voloshin A.V. Pifaqor. - M.: Təhsil, 1993.
“Riyaziyyat” qəzeti, No 21, 2006-cı il.
“Riyaziyyat” qəzeti, No 28, 1995-ci il.
Həndəsə: Dərslik. 7-11 siniflər üçün. orta məktəb / G.P. Bevz, V.G. Bevz, N.G. Vladimirova. - M.: Təhsil, 1992.
Həndəsə: 7-9-cu siniflər üçün dərslik. ümumi təhsil Qurumlar/ L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev və başqaları - 6-cı nəşr. - M.: Təhsil, 1996.
Glazer G.I. Məktəbdə riyaziyyatın tarixi: IX - X siniflər. Müəllimlər üçün dərslik. - M.: Təhsil, 1983.
8-ci sinif məktəb dərsliyi üçün əlavə fəsillər: Məktəb şagirdləri üçün dərslik. və qabaqcıl siniflər oxudu riyaziyyat / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev və başqaları - M.: Təhsil, 1996.
Yelenski Ş.Pifaqorun izi ilə. M., 1961.
Kiselev A.P., Rıbkin N.A. Həndəsə: Planimetriya: 7 - 9 siniflər: Dərslik və problem kitabı. - M.: Bustard, 1995.
Klein M. Riyaziyyat. Həqiqəti axtarın: İngilis dilindən tərcümə. / Ed. və ön söz VƏ. Arşinova, Yu.V. Saçkova. - M.: Mir, 1998.
Liturman V. Pifaqor teoremi. - M., 1960.
Riyaziyyat: Məktəblilər və tələbələr üçün kitabça / B. Frank et al.; Onunla tərcümə. - 3-cü nəşr, stereotip. - M.: Bustard, 2003.
Peltuer A. Sən kimsən Pifaqor? - M.: Bilik gücdür, No 12, 1994.
Perelman Ya.I. Əyləncəli riyaziyyat. - M.: “Elm”, 1976.
Ponomareva T.D. Böyük alimlər. - M.: Astrel Nəşriyyatı MMC, 2002.
Sveshnikova A. Riyaziyyat tarixinə səyahət. - M., 1995.
Semenov E.E. Həndəsə öyrənmək: Kitab. 6-8 sinif şagirdləri üçün. orta məktəb - M.: Təhsil, 1987.
Smışlyaev V.K. Riyaziyyat və riyaziyyatçılar haqqında. - Mari kitab nəşriyyatı, 1977.
Tuchnin N.P. Necə sual vermək olar. - M.: Təhsil, 1993.
Cherkasov O.Yu. Qəbul imtahanında planimetriya. - M.: Moskva Liseyi, 1996.
Gənc riyaziyyatçının ensiklopedik lüğəti. Komp. A.P. Savin. - M.: Pedaqogika, 1985.
Uşaqlar üçün ensiklopediya. T. 11. Riyaziyyat. /Fəsil Ed. M.D. Aksenov. - M.: Avanta +, 2001.
