İfadələr, ifadələrin çevrilməsi

Məxrəcdəki irrasionallıqdan necə qurtulmaq olar? Metodlar, nümunələr, həllər

8-ci sinifdə cəbr dərsləri zamanı mövzunun irrasional ifadələrin çevrilməsi çərçivəsində söhbət gedir. kəsrin məxrəcində irrasionallıqdan qurtulma. Bu yazıda bunun hansı çevrilmə olduğunu təhlil edəcəyik, hansı hərəkətlərin bir fraksiya məxrəcindəki irrasionallıqdan azad olmağa imkan verdiyini nəzərdən keçirəcəyik və ətraflı izahatlarla tipik nümunələrə həll yolları təqdim edəcəyik.

Səhifə naviqasiyası.

Kəsrin məxrəcində özünü irrasionallıqdan azad etmək nə deməkdir?

Əvvəlcə məxrəcdə irrasionallığın nə olduğunu və kəsrin məxrəcində özünü irrasionallıqdan azad etməyin nə demək olduğunu başa düşməlisiniz. Məktəb dərsliklərindən alınan məlumatlar bu işdə bizə kömək edəcəkdir. Aşağıdakı məqamlar diqqətə layiqdir.

Kəsrin qeydində məxrəcdə kök işarəsi (radikal) olduqda, məxrəcin tərkibində olduğu deyilir. irrasionallıq. Bu, çox güman ki, kök işarələri ilə yazılan rəqəmlərin çox vaxt olması ilə bağlıdır. Nümunə olaraq, kəsrləri veririk, , , aydındır ki, onların hər birinin məxrəcində kökün işarəsi, deməli, irrasionallıq var. Orta məktəbdə məxrəclərindəki irrasionallıq təkcə kvadrat köklərin işarələri ilə deyil, həm də kub köklərin, dördüncü köklərin və s. Bu cür fraksiyaların nümunələri: , .

Verilən məlumatları və “pulsuz” sözünün mənasını nəzərə alsaq, aşağıdakı tərif çox təbiidir:

Tərif.

Kəsirin məxrəcində irrasionallıqdan qurtulma məxrəcdə irrasionallığı olan kəsrin məxrəcdə kök işarələri olmayan eyni bərabər kəsrlə əvəz edildiyi çevrilmədir.

İnsanların özlərini azad etməmək deyil, kəsrin məxrəcindəki irrasionallıqdan xilas olmaq üçün dediklərini tez-tez eşitmək olar. Məna dəyişmir.

Məsələn, kəsrdən dəyəri ilkin kəsrin qiymətinə bərabər olan və məxrəcində kök işarəsi olmayan kəsrə keçsək, onda məxrəcdə özümüzü irrasionallıqdan azad etdiyimizi ifadə edə bilərik. fraksiya. Başqa bir misal: kəsri eyni kəsrlə əvəz etmək kəsrin məxrəcində irrasionallıqdan qurtuluş var.

Belə ki, ilkin məlumat daxil olub. Kəsrin məxrəcindəki irrasionallıqdan azad olmaq üçün nə etmək lazım olduğunu tapmaq qalır.

Özünüzü irrasionallıqdan xilas etməyin yolları, nümunələr

Adətən, irrasionallıqdan xilas olmaq üçün kəsrin məxrəcində iki istifadə olunur. fraksiya çevrilmələri: Hissənin və məxrəcin sıfırdan fərqli ədədə və ya ifadəyə vurulması və ifadənin məxrəcdə çevrilməsi. Aşağıda biz bu kəsrin məxrəcindən irrasionallığı aradan qaldırmaq üçün əsas üsullarda bu fraksiya çevrilmələrindən necə istifadə edildiyinə baxacağıq. Aşağıdakı hallara toxunaq.

Ən sadə hallarda ifadəni məxrəcə çevirmək kifayətdir. Məsələn, məxrəci doqquzun kökü olan kəsri göstərmək olar. Bu zaman onun 3 qiyməti ilə əvəz edilməsi məxrəci irrasionallıqdan azad edir.

Daha mürəkkəb hallarda, əvvəlcə kəsrin payını və məxrəcini sıfırdan fərqli bəzi ədəd və ya ifadə ilə vurmalısınız ki, bu da sonradan fraksiyanın məxrəcini radikal işarələri olmayan formaya çevirməyə imkan verir. Məsələn, kəsrin payı və məxrəci ilə vurulduqdan sonra kəsr şəklini alır. , və sonra məxrəcdəki ifadə x+1 köklərinin əlamətləri olmayan ifadə ilə əvəz edilə bilər. Beləliklə, kəsr məxrəcdəki irrasionallıqdan azad olduqdan sonra şəklə gəlir.

Əgər ümumi haldan danışırıqsa, onda kəsrin məxrəcindəki irrasionallıqdan qurtulmaq üçün müxtəlif icazə verilən çevrilmələrə, bəzən kifayət qədər konkret olanlara müraciət etmək lazımdır.

Və indi ətraflı.

İfadəni kəsrin məxrəcinə çevirmək

Artıq qeyd edildiyi kimi, kəsrin məxrəcində irrasionallıqdan qurtulmağın bir yolu məxrəci çevirməkdir. Nümunələrin həlli yollarına baxaq.

Misal.

Kəsrin məxrəcindəki irrasionallıqdan qurtulun .

Həll.

Məxrəcdə mötərizələri açaraq ifadəyə çatırıq . Sonra onlar fraksiyalara keçməyə imkan verir . Köklərin işarələri altındakı dəyərləri hesablayaraq, əldə etdik . Aydındır ki, ortaya çıxan ifadədə 1/16-ya bərabər olan bir kəsr verən mümkündür. Məxrəcdəki irrasionallıqdan belə xilas olduq.

Adətən həll izahat olmadan qısa şəkildə yazılır, çünki yerinə yetirilən hərəkətlər olduqca sadədir:

Cavab:

.

Misal.

Həll.

Köklərin xassələrindən istifadə edərək irrasional ifadələrin çevrilməsindən danışarkən qeyd etdik ki, n-ə bərabər istənilən A ifadəsi üçün (bizim halda n=2) ifadəni |A| ifadəsi ilə əvəz etmək olar. orijinal ifadə üçün dəyişənlərin bütün ODZ-də. Beləliklə, verilmiş bir fraksiyanın aşağıdakı çevrilməsini həyata keçirə bilərsiniz: , bu da bizi məxrəcdəki irrasionallıqdan azad edir.

Cavab:

.

Hissənin və məxrəcin kökə vurulması

Kəsrin məxrəcindəki ifadənin forması olduqda, burada A ifadəsində köklərin əlamətləri yoxdur, onda pay və məxrəci vurmaq məxrəcdəki irrasionallıqdan xilas olmağa imkan verir. Bu hərəkət mümkündür, çünki orijinal ifadə üçün dəyişən dəyişənlərdə yox olmur. Bu halda, məxrəc radikal əlamətləri olmayan formaya asanlıqla çevrilə bilən bir ifadə yaradır: . Bu yanaşmanın tətbiqini nümunələrlə nümayiş etdirək.

Misal.

Kəsrin məxrəcindəki irrasionallıqdan azad olun: a) , b) .

Həll.

a) Kəsrin payını və məxrəcini üçünün kvadrat kökünə vuraraq, alırıq .

b) Məxrəcdəki kvadrat kök işarəsindən xilas olmaq üçün kəsrin payını və məxrəcini -ə vurmalı və sonra məxrəcdə çevrilmələr aparmalısınız:

Cavab:

a) , b) .

Məxrəcdə m və n bəzi natural ədədlər olduğu halda, pay və məxrəc elə əmsala vurulmalıdır ki, bundan sonra məxrəcdəki ifadə və ya formasına çevrilsin, burada k müvafiq olaraq bəzi natural ədədlər. Sonra məxrəcdə irrasionallıq olmadan kəsrə keçmək asandır. Məxrəcdə irrasionallıqdan qurtulmağın təsvir edilən üsulunun tətbiqini misallardan istifadə edərək nümayiş etdirək.

Misal.

Kəsrin məxrəcindəki irrasionallıqdan azad olun: a) , b) .

Həll.

a) 3-dən böyük və 5-ə bölünən ən yaxın natural ədəd 5-dir. Altı göstəricisinin beşə bərabər olması üçün məxrəcdəki ifadə ilə vurulmalıdır. Nəticə etibarilə, kəsrin məxrəcindəki irrasionallıqdan azad olmaq, pay və məxrəcin vurulmalı olduğu ifadə ilə asanlaşdırılacaq:

b) Aydındır ki, 15-i keçən və 4-ə qalıqsız bölünən ən yaxın natural ədəd 16-dır. Məxrəcdəki eksponentin 16-ya bərabər olması üçün oradakı ifadəni vurmaq lazımdır. Beləliklə, ilkin kəsrin payını və məxrəcini (qeyd edək ki, bu ifadənin qiyməti heç bir real x üçün sıfra bərabər deyil) ilə vurulmaqla məxrəcdəki irrasionallıqdan xilas olar:

Cavab:

A) , b) .

Onun birləşməsinə vurulması

Kəsirin məxrəcində irrasionallıqdan qurtulmağın aşağıdakı üsulu məxrəcdə , , , və ya formasının ifadələrinin olduğu halları əhatə edir. Bu hallarda, kəsrin məxrəcindəki irrasionallıqdan xilas olmaq üçün kəsrin payını və məxrəcini sözdə çoxaltmaq lazımdır. birləşdirici ifadə.

Hansı ifadələrin yuxarıdakılarla birləşmə olduğunu tapmaq qalır. İfadə üçün qoşma ifadə , ifadə üçün isə qoşma ifadə . Eynilə, ifadə üçün qoşma , ifadə üçün isə qoşma . Və ifadə üçün qoşma , ifadə üçün isə qoşma . Deməli, bu ifadəyə qovuşmuş ifadə ondan ikinci həddin qarşısındakı işarə ilə fərqlənir.

Gəlin görək ifadəni onun konyuqasına vurmaq nə ilə nəticələnir. Məsələn, işi nəzərdən keçirin . Onu kvadratlar fərqi ilə əvəz etmək olar, yəni köklərin işarələrini ehtiva etməyən a−b ifadəsinə keçə bilərik.

İndi bəlli olur ki, kəsrin payını və məxrəcini məxrəcə qovuşmuş ifadə ilə vurmaq kəsrin məxrəcindəki irrasionallıqdan azad olmağa necə imkan verir. Tipik nümunələrin həlli yollarına baxaq.

Misal.

İfadəni məxrəcində radikal olmayan kəsr kimi təsəvvür edin: a) , b) .

Həll.

a) Məxrəcə qoşan ifadə . Gəlin, kəsrin məxrəcində özümüzü irrasionallıqdan azad etməyə imkan verən pay və məxrəci ona vuraq:

b) İfadənin qoşması . Numeratoru və məxrəci vuraraq, əldə edirik

Əvvəlcə məxrəcdən mənfi işarəni çıxarmaq və yalnız bundan sonra payı və məxrəci məxrəcə birləşdirici ifadə ilə vurmaq mümkün idi:

Cavab:

A) , b) .

Diqqət yetirin: kəsrin payını və məxrəcini məxrəcə birləşən dəyişənləri olan ifadə ilə vurarkən, onun orijinal ifadə üçün ODZ-dən dəyişənlərin heç bir dəyər dəsti üçün itməməsinə diqqət yetirilməlidir.

Misal.

Özünüzü kəsrin məxrəcindəki irrasionallıqdan azad edin.

Həll.

Əvvəlcə x dəyişəninin icazə verilən dəyərlərinin (APV) diapazonunu tapaq. O, x≥0 və şərtləri ilə müəyyən edilir, ondan belə nəticəyə gəlirik ki, ODZ x≥0 çoxluğudur.

Məxrəcə birləşən ifadə . ODZ-də x≠16 şərtinə ekvivalent olması şərti ilə kəsrin payını və məxrəcini ona vura bilərik. Bu vəziyyətdə bizdə var

Və x=16-da bizdə var .

Beləliklə, x = 16 istisna olmaqla, ODZ-dən x dəyişəninin bütün dəyərləri üçün, , və x=16 üçün bizdə var.

Cavab:

Kubların cəmi və kubların fərqindən istifadə düsturları

Əvvəlki abzasdan öyrəndik ki, kəsrin payını və məxrəcini məxrəcə birləşdirici ifadə ilə vurmaq, sonradan kvadratlar düsturunun fərqini tətbiq etmək və bununla da məxrəcdəki irrasionallıqdan azad olmaq üçün həyata keçirilir. Bəzi hallarda digər qısaldılmış vurma düsturları məxrəcdəki irrasionallıqdan xilas olmaq üçün faydalıdır. Məsələn, kubların fərqi düsturu a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) kəsrin məxrəcində forma və ya kub kökləri olan ifadələr olduqda irrasionallıqdan qurtulmağa imkan verir. , burada A və B bəzi ədədlər və ya ifadələrdir. Bunun üçün kəsrin payı və məxrəci cəminin qismən kvadratına vurulur. və ya müvafiq olaraq fərqlə. Kubların cəmi düsturu da eyni şəkildə istifadə olunur. a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2).

Misal.

Kəsrin məxrəcindəki irrasionallıqdan azad olun: a) , b) .

Həll.

a) Təxmin etmək asandır ki, bu halda say və məxrəci ədədlərin cəminin natamam kvadratına vurmaq və məxrəcdəki irrasionallıqdan özünüzü azad etməyə imkan verir, çünki gələcəkdə bu ifadəni çevirməyə imkan verəcəkdir. kubların fərqindən istifadə edərək məxrəcdə:

b) Kəsirin məxrəcində ifadə şəklində təmsil oluna bilər , buradan aydın görünür ki, bu, 2 və rəqəmləri arasındakı fərqin natamam kvadratıdır. Beləliklə, kəsrin payı və məxrəci cəminə vurularsa, onda məxrəc kubların cəmi düsturundan istifadə etməklə çevrilə bilər ki, bu da bizi kəsrin məxrəcində irrasionallıqdan azad edəcək. Bu, daha x≠−8 şərtinə ekvivalent olan şərtlə edilə bilər:

Və x=−8-i ilkin kəsrdə əvəz etdikdə əldə edirik .

Beləliklə, ilkin fraksiya üçün ODZ-dən bütün x üçün (bu halda bu R çoxluğudur), x=−8 istisna olmaqla, bizdə var. , və x=8 üçün bizdə var .

Cavab:

Müxtəlif üsullardan istifadə

Daha mürəkkəb nümunələrdə, adətən, bir hərəkətlə məxrəcdəki irrasionallıqdan azad olmaq mümkün deyil, lakin yuxarıda müzakirə olunanlar da daxil olmaqla ardıcıl olaraq metoddan sonra metod tətbiq etməlisiniz. Bəzən bəzi qeyri-standart həllər tələb oluna bilər. Müzakirə olunan mövzu ilə bağlı kifayət qədər maraqlı tapşırıqları Yu. N. Kolyaginin müəllifi olduğu dərslikdə tapmaq olar. Biblioqrafiya.

1. Cəbr: dərs kitabı 8-ci sinif üçün. ümumi təhsil qurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tərəfindən redaktə edilmiş S. A. Telyakovski. - 16-cı nəşr. - M.: Təhsil, 2008. - 271 s. : xəstə. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Mordkoviç A.G. Cəbr. 8-ci sinif. 2 saatda 1-ci hissə. Ümumtəhsil müəssisələrinin tələbələri üçün dərslik / A. G. Mordkoviç. - 11-ci nəşr, silinib. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: xəstə. ISBN 978-5-346-01155-2.
3. Cəbr və riyazi analizin başlanğıcı. 10-cu sinif: dərslik. ümumi təhsil üçün qurumlar: əsas və profil. səviyyələri / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. İ. Şabunin]; tərəfindən redaktə edilmiş A. B. Jizhchenko. - 3-cü nəşr. - M.: Təhsil, 2010.- 368 s. : xəstə - ISBN 978-5-09-022771-1.

Denni Perik Kampana

Təəssüf ki, rus dilinə tərcümə olunmayan məktəblilər üçün maraqlı olan digər maraqlı kitab Çilili riyaziyyat müəllimi Denni Periç Kampananın, çox qeyri-adi və maraqlı bir insan olan "Danielin Riyazi Macəraları" (Las Aventuras Matemáticas de Daniel) kitabıdır. O, nəinki uşaqlara dərs deyir, həm də mahnılar yazır, riyaziyyat üzrə müxtəlif tədris materiallarını internetdə yerləşdirir. Onları YouTube-da və http://www.sectormatematica.cl/ saytında tapa bilərsiniz (əlbəttə ki, bütün materiallar ispan dilindədir).

Burada Danni Pericin kitabından bir fəsil göndərirəm. Mən onu kifayət qədər maraqlı və məktəblilər üçün faydalı hesab etdim. Nədən danışdığımızı aydınlaşdırmaq üçün deyim ki, Daniel və Camila məktəbdə işləyirlər, müəllimdirlər.

Mənasızlıqdan qurtulmağın sirri

"Camila, indi sinifdə yaşadıqlarımızın niyə istifadə edildiyini izah etməyə çalışanda çox problem yaşayıram" dedi Daniel.

- Nə danışdığınızı həqiqətən başa düşmürəm.

— Mən bütün məktəb dərsliklərində və hətta universitet səviyyəli kitablarda olanlardan danışıram. Hələ də şübhələrim var: məxrəcdəki irrasionallıqdan qurtulmaq nəyə lazımdır? Uzun müddətdir başa düşmədiyim şeyi insanlara söyləməkdən nifrət edirəm," Daniel şikayət etdi.

“Bunun haradan gəldiyini və nə üçün lazım olduğunu mən də bilmirəm, amma bunun üçün bəzi məntiqi izahat olmalıdır.

— Mən bir dəfə elmi jurnalda oxumuşdum ki, məxrəcdəki irrasionallıqdan xilas olmaq nəticəni daha dəqiqliklə əldə etməyə imkan verir, lakin mən bunu bir daha görməmişəm və bunun doğru olduğuna əmin deyiləm.

- Niyə yoxlamırıq? – Kamilə soruşdu.

"Doğru deyirsən" Daniel razılaşdı. — Şikayət etmək əvəzinə, özünüz nəticə çıxarmağa çalışmalısınız. Onda mənə kömək et...

- Əlbəttə, indi özüm də bununla maraqlanıram.

“Biz bəzi ifadələri götürüb məxrəcdəki irrasionallığı aradan qaldırmalı, sonra kökü onun dəyəri ilə əvəz etməli və məxrəcdəki irrasionallıqdan qurtulmadan əvvəl və sonra ifadənin nəticəsini tapmalı və nəyinsə dəyişib-dəyişmədiyini görməliyik”.

"Əlbəttə," Camila razılaşdı. - Gəl bunu edək.

"Məsələn, ifadəni götürün" dedi Daniel və baş verənləri yazmaq üçün bir vərəq götürdü. - Say və məxrəci vurub əldə edin.

"Bu, düzgün olacaq və digər irrasional ifadələri buna bərabər hesab etsək, nəticə çıxarmaqda bizə kömək edə bilər" dedi Camila.

"Razıyam" dedi Daniel, "mən saya və məxrəcə böləcəyəm, sən isə onları -ə vur."

- bacardım. Və sən?

"Məndə var" Daniel cavab verdi. - İndi orijinal ifadəni və nəticədə olanları hesablayaq, onu dəyəri ilə kalkulyatorun verdiyi bütün onluq yerlərlə əvəz edək. Biz əldə edirik:

"Mən xüsusi bir şey görmürəm" dedi Camila. "Mən irrasionallıqdan qurtulmağa haqq qazandıracaq bir növ fərq gözləyirdim."

“Sizə dediyim kimi, bir dəfə yanaşma ilə bağlı bu barədə oxumuşdum. kimi daha az dəqiq rəqəmlə əvəz etsək nə deyərsiniz?

- Çalışaq görək nə baş verir.

Kəsrlərlə tənliklərin həlli Nümunələrə baxaq. Nümunələr sadə və illüstrativdir. Onların köməyi ilə siz ən başa düşülən şəkildə başa düşə biləcəksiniz.
Məsələn, sadə x/b + c = d tənliyini həll etməlisiniz.

Bu tip tənlik xətti adlanır, çünki Məxrəcdə yalnız rəqəmlər var.

Həlli tənliyin hər iki tərəfini b-yə vurmaqla həyata keçirilir, sonra tənlik x = b*(d – c) formasını alır, yəni. sol tərəfdəki kəsrin məxrəci ləğv edilir.

Məsələn, kəsr tənliyini necə həll etmək olar:
x/5+4=9
Hər iki tərəfi 5-ə vururuq. Alırıq:
x+20=45
x=45-20=25

Naməlumun məxrəcdə olduğu başqa bir nümunə:

Bu tip tənliklər fraksiya-rasional və ya sadəcə fraksiya adlanır.

Biz fraksiya tənliyini kəsrlərdən xilas etməklə həll edərdik, bundan sonra bu tənlik, çox vaxt, adi şəkildə həll olunan xətti və ya kvadratik tənliyə çevrilir. Yalnız aşağıdakı məqamları nəzərə almalısınız:

• məxrəci 0-a çevirən dəyişənin qiyməti kök ola bilməz;
• Siz tənliyi =0 ifadəsi ilə bölmək və ya çoxalda bilməzsiniz.

İcazə verilən dəyərlər bölgəsi (ADV) anlayışı burada qüvvəyə minir - bunlar tənliyin mənalı olduğu tənliyin köklərinin dəyərləridir.

Beləliklə, tənliyi həll edərkən kökləri tapmaq və sonra ODZ-yə uyğunluğunu yoxlamaq lazımdır. Bizim ODZ-yə uyğun gəlməyən köklər cavabdan çıxarılır.

Məsələn, fraksiya tənliyini həll etməlisiniz:

Yuxarıdakı qaydaya əsasən, x = 0 ola bilməz, yəni. Bu halda ODZ: x – sıfırdan başqa istənilən qiymət.

Tənliyin bütün üzvlərini x-ə vurmaqla məxrəcdən xilas oluruq

Və adi tənliyi həll edirik

5x - 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Cavab: x = 1/3

Daha mürəkkəb bir tənliyi həll edək:

ODZ burada da mövcuddur: x -2.

Bu tənliyi həll edərkən hər şeyi bir tərəfə köçürməyəcəyik və kəsrləri ortaq məxrəcə gətirməyəcəyik. Tənliyin hər iki tərəfini dərhal bütün məxrəcləri bir anda ləğv edəcək bir ifadə ilə vuracağıq.

Məxrəcləri azaltmaq üçün sol tərəfi x+2, sağ tərəfi 2-yə vurmaq lazımdır. Bu o deməkdir ki, tənliyin hər iki tərəfi 2(x+2) ilə vurulmalıdır:

Bu, yuxarıda müzakirə etdiyimiz fraksiyaların ən çox yayılmış çarpmasıdır.

Gəlin eyni tənliyi yazaq, amma bir qədər fərqli

Sol tərəf (x+2), sağ tərəf isə 2 azaldılır. Azaltmadan sonra adi xətti tənliyi əldə edirik:

x = 4 – 2 = 2, bizim ODZ-yə uyğundur

Cavab: x = 2.

Kəsrlərlə tənliklərin həlli göründüyü qədər çətin deyil. Bu yazıda bunu nümunələrlə göstərdik. Əgər hər hansı bir çətinlik varsa kəsrlərlə tənlikləri necə həll etmək olar, sonra şərhlərdə abunəliyi ləğv edin.

Bu mövzuda yuxarıda sadalanan irrasionallığı olan hər üç limit qrupunu nəzərdən keçirəcəyik. $\frac(0)(0)$ formasının qeyri-müəyyənliyini ehtiva edən limitlərlə başlayaq.

Qeyri-müəyyənliyin açıqlanması $\frac(0)(0)$.

Bu tip standart nümunələrin həlli adətən iki addımdan ibarətdir:

• Qeyri-müəyyənliyə səbəb olan irrasionallıqdan “konjugat” deyilən ifadəyə vurmaqla xilas oluruq;
• Lazım gələrsə, ifadəni pay və ya məxrəcdə (və ya hər ikisində) faktorla qeyd edin;
• Qeyri-müəyyənliyə səbəb olan amilləri azaldırıq və limitin istənilən dəyərini hesablayırıq.

Yuxarıda istifadə olunan "birləşmiş ifadə" termini nümunələrdə ətraflı izah ediləcəkdir. Hələlik bu barədə ətraflı danışmağa əsas yoxdur. Ümumiyyətlə, birləşmiş ifadədən istifadə etmədən başqa yolla gedə bilərsiniz. Bəzən düzgün seçilmiş əvəz irrasionallığı aradan qaldıra bilər. Standart testlərdə belə nümunələr nadirdir, buna görə də biz əvəzetmənin istifadəsi üçün yalnız bir №6 nümunəni nəzərdən keçirəcəyik (bu mövzunun ikinci hissəsinə baxın).

Aşağıda yazacağım bir neçə düstur lazımdır:

\begin(tənlik) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \son(tənlik) \begin(tənlik) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2) +ab+b^2) \end(tənlik) \begin(tənlik) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(tənlik) \begin (tənlik) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(tənlik)

Bundan əlavə, oxucunun kvadrat tənliklərin həlli üçün düsturları bildiyini güman edirik. Əgər $x_1$ və $x_2$ kvadrat üçhəcmli $ax^2+bx+c$-ın kökləridirsə, onu aşağıdakı düsturla faktorlara ayırmaq olar:

\begin(tənlik) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(tənlik)

(1)-(5) düsturları indi keçəcəyimiz standart məsələlərin həlli üçün kifayət qədər kifayətdir.

Nümunə №1

$\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$ tapın.

Çünki $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ və $\lim_(x\ to 3) (x-3)=3-3=0$, onda verilmiş limitdə $\frac(0)(0)$ formasının qeyri-müəyyənliyi var. $\sqrt(7-x)-2$ fərqi bu qeyri-müəyyənliyi aşkarlamağa mane olur. Bu cür irrasionallıqlardan qurtulmaq üçün sözdə “birləşmiş ifadə” ilə vurma üsulundan istifadə edilir. İndi bu cür vurmanın necə işlədiyinə baxacağıq. $\sqrt(7-x)-2$-a $\sqrt(7-x)+2$ vurun:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

Mötərizələri açmaq üçün qeyd olunan düsturun sağ tərəfində $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ əvəzinə tətbiq edin:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Gördüyünüz kimi, payı $\sqrt(7-x)+2$-a vursanız, o zaman payda olan kök (yəni irrasionallıq) yox olacaq. Bu ifadə $\sqrt(7-x)+2$ olacaq qoşma$\sqrt(7-x)-2$ ifadəsinə. Bununla belə, biz sadəcə olaraq payı $\sqrt(7-x)+2$-a vura bilmərik, çünki bu, $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$ kəsrini dəyişəcək. limit altında. Eyni zamanda həm payı, həm də məxrəci çoxaltmalısınız:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to) 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

İndi unutmayın ki, $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ və mötərizələri açın. Və mötərizələri açdıqdan və $3-x=-(x-3)$ kiçik çevrilməsindən sonra kəsri $x-3$ azaldırıq:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\to 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1) )(\sqrt(7-x)+2) $$

$\frac(0)(0)$ qeyri-müəyyənliyi aradan qalxdı. İndi bu nümunənin cavabını asanlıqla əldə edə bilərsiniz:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Qeyd edim ki, birləşmə ifadəsi hansı irrasionallığı aradan qaldırmalı olduğundan asılı olaraq strukturunu dəyişə bilər. 4 və 5 nömrəli misallarda (bu mövzunun ikinci hissəsinə baxın) fərqli tipli birləşmə ifadəsindən istifadə olunacaq.

Cavab verin: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Nümunə № 2

$\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ tapın.

Çünki $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ və $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, onda biz $\frac(0)(0)$ formasının qeyri-müəyyənliyi ilə məşğul olurlar. Gəlin bu kəsrin məxrəcindəki irrasionallığı aradan qaldıraq. Bunun üçün $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ kəsirinin həm payını, həm də məxrəcini əlavə edirik. $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ ifadəsi məxrəcə birləşdirilir:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0) )(0)\right|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Yenə 1 nömrəli nümunədə olduğu kimi, genişləndirmək üçün mötərizələrdən istifadə etməlisiniz. Göstərilən düsturun sağ tərəfində $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ əvəz edərək məxrəc üçün aşağıdakı ifadəni alırıq:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ sağ)=\\ =\sol(\sqrt(x^2+5)\sağ)^2-\sol(\sqrt(7x^2-19)\sağ)^2=x^2+5-(7x) ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Gəlin limitimizə qayıdaq:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))((\sqrt(x) ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

Nömrə 1-də, demək olar ki, birləşən ifadə ilə vurulduqdan dərhal sonra kəsr azaldıldı. Burada azalmadan əvvəl $3x^2-5x-2$ və $x^2-4$ ifadələrini faktorlara ayırmalı və yalnız bundan sonra azalmaya davam etməlisiniz. $3x^2-5x-2$ ifadəsini faktor etmək üçün istifadə etməlisiniz. Əvvəlcə $3x^2-5x-2=0$ kvadrat tənliyini həll edək:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \başlamaq(düzülmüş) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(düzülmüş) $$

$x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ ilə əvəz etsək, əldə edəcəyik:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\sol(x-\sol(-\frac(1)(3)\sağ)\sağ)(x-2)=3\cdot\sol(x+\ frac(1)(3)\sağ)(x-2)=\sol(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\sağ)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

İndi $x^2-4$ ifadəsini faktorlara ayırmağın vaxtıdır. $a=x$, $b=2$ əvəzinə istifadə edək:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Əldə edilən nəticələrdən istifadə edək. $x^2-4=(x-2)(x+2)$ və $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$ olduğundan, onda:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2) -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x) ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

$x-2$ mötərizəsi ilə azaltsaq, əldə edirik:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)(x+2). $$

Hamısı! Qeyri-müəyyənlik aradan qalxıb. Daha bir addım və biz cavaba gəlirik:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2) ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Cavab verin: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4)$.

Aşağıdakı misalda kəsrin həm payında, həm də məxrəcində irrasionallığın olacağı halına nəzər salın.

Nümunə № 3

$\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) tapın ))$.

$\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ və $\lim_( x) olduğundan \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, onda $ formasının qeyri-müəyyənliyi var. \frac (0)(0)$. Bu halda köklər həm məxrəcdə, həm də payda olduğu üçün qeyri-müəyyənlikdən xilas olmaq üçün bir anda iki mötərizə ilə çoxalmalı olacaqsınız. Birincisi, $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ ifadəsi üçün paylayıcıya birləşdirin. İkincisi, $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ ifadəsinə məxrəcə birləşdirilir.

$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2) -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(aligned) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(aligned) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

$x^2-8x+15$ ifadəsi üçün alırıq:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \başlamaq(düzülmüş) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(-) 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(aligned)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Nəticədə $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ və $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ genişləndirmələrini limitlə əvəz etmək nəzərə alınmaqla, aşağıdakılara malik olacaq:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2) -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\to 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5) \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Cavab verin: $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))=-6$.

Növbəti (ikinci) hissədə birləşmiş ifadənin əvvəlki problemlərdən fərqli formada olacağı bir neçə nümunəni nəzərdən keçirəcəyik. Xatırlamaq lazım olan əsas odur ki, qoşma ifadədən istifadə etməkdə məqsəd qeyri-müəyyənliyə səbəb olan irrasionallıqdan xilas olmaqdır.

İrrasional ifadənin çevrilmələrini öyrənərkən çox vacib bir sual kəsrin məxrəcindəki irrasionallıqdan necə qurtulmaqdır. Bu məqalənin məqsədi xüsusi nümunə problemlərindən istifadə edərək bu hərəkəti izah etməkdir. Birinci abzasda bu çevrilmənin əsas qaydalarına, ikincidə isə ətraflı izahatlarla tipik nümunələrə baxacağıq.

Məxrəcdə irrasionallıqdan qurtuluş anlayışı

Belə bir transformasiyanın mənasının nə olduğunu izah etməklə başlayaq. Bunu etmək üçün aşağıdakı müddəaları xatırlayın.

Kökün işarəsi kimi tanınan bir radikal varsa, kəsrin məxrəcində irrasionallıqdan danışa bilərik. Bu işarədən istifadə edərək yazılan rəqəmlər çox vaxt irrasional olur. Nümunələr 1 2, - 2 x + 3, x + y x - 2 · x · y + 1, 11 7 - 5 ola bilər. İrrasional məxrəcləri olan kəsrlərə müxtəlif dərəcəli (kvadrat, kub və s.) kök əlamətləri olan kəsrlər də daxildir, məsələn, 3 4 3, 1 x + x · y 4 + y. İfadəni sadələşdirmək və sonrakı hesablamaları asanlaşdırmaq üçün irrasionallıqdan xilas olmalısınız. Əsas tərifi formalaşdıraq:

Tərif 1

Özünüzü kəsrin məxrəcindəki irrasionallıqdan azad edin- məxrəcində köklər və səlahiyyətlər olmayan eyni bərabər kəsrlə əvəz etməklə onu çevirmək deməkdir.

Belə bir hərəkəti azadlıq və ya irrasionallıqdan qurtulmaq adlandırmaq olar, lakin məna eyni olaraq qalır. Beləliklə, 1 2-dən 2 2-yə keçid, yəni. məxrəcdə kök işarəsi olmayan bərabər qiymətli kəsrə və bizə lazım olan hərəkət olacaq. Başqa bir misal verək: x x - y kəsrimiz var. Lazımi çevrilmələri həyata keçirək və məxrəcdəki irrasionallıqdan azad olaraq, eyni bərabər x · x + y x - y kəsri əldə edək.

Tərifi tərtib etdikdən sonra birbaşa belə bir çevrilmə üçün yerinə yetirilməli olan hərəkətlərin ardıcıllığını öyrənməyə davam edə bilərik.

Kəsrin məxrəcində irrasionallıqdan xilas olmaq üçün əsas addımlar

Köklərdən xilas olmaq üçün kəsrin iki ardıcıl çevrilməsini həyata keçirməlisiniz: kəsrin hər iki hissəsini sıfırdan fərqli bir rəqəmə vurun və sonra məxrəcdə alınan ifadəni çevirin. Əsas halları nəzərdən keçirək.

Ən sadə halda, məxrəci çevirməklə əldə edə bilərsiniz. Məsələn, məxrəci 9-a bərabər olan kəsri götürə bilərik. 9-u hesablayıb məxrəcə 3 yazırıq və bununla da irrasionallıqdan xilas oluruq.

Bununla belə, daha tez-tez əvvəlcə payı və məxrəcini istədiyiniz formaya (köklər olmadan) gətirməyə imkan verəcək bir rəqəmə vurmaq lazımdır. Beləliklə, 1 x + 1-i x + 1-ə vursaq, x + 1 x + 1 x + 1 kəsirini alırıq və məxrəcindəki ifadəni x + 1 ilə əvəz edə bilərik. Beləliklə, irrasionallıqdan xilas olaraq 1 x + 1-i x + 1 x + 1-ə çevirdik.

Bəzən yerinə yetirməli olduğunuz transformasiyalar olduqca spesifik olur. Bir neçə illüstrativ nümunəyə baxaq.

Bir ifadəni kəsrin məxrəcinə necə çevirmək olar

Dediyimiz kimi, bunun ən asan yolu məxrəci çevirməkdir.

Misal 1

Vəziyyət: 1 2 · 18 + 50 kəsrini məxrəcdəki irrasionallıqdan azad edin.

Həll

Əvvəlcə mötərizələri açıb 1 2 18 + 2 50 ifadəsini alaq. Köklərin əsas xassələrindən istifadə edərək 1 2 18 + 2 50 ifadəsinə keçirik. Hər iki ifadənin dəyərini köklər altında hesablayırıq və 1 36 + 100 alırıq. Burada artıq kökləri çıxara bilərsiniz. Nəticədə 1 16-ya bərabər olan 1 6 + 10 kəsirini aldıq. Transformasiya burada tamamlana bilər.

Bütün həllin gedişatını şərhsiz yazaq:

1 2 18 + 50 = 1 2 18 + 2 50 = 1 2 18 + 2 50 = 1 36 + 100 = 1 6 + 10 = 1 16

Cavab: 1 2 18 + 50 = 1 16.

Misal 2

Vəziyyət: 7 - x (x + 1) 2 kəsri verilmişdir. Məxrəcdəki irrasionallıqdan qurtulun.

Həll

Əvvəllər irrasional ifadələrin köklərin xassələrindən istifadə edərək çevrilməsinə həsr olunmuş məqalədə qeyd etmişdik ki, istənilən A və hətta n üçün A n n ifadəsini | A | dəyişənlərin icazə verilən dəyərlərinin bütün diapazonunda. Buna görə də, bizim vəziyyətimizdə bunu belə yaza bilərik: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1. Bu yolla biz məxrəcdəki irrasionallıqdan özümüzü xilas etdik.

Cavab: 7 - x x + 1 2 = 7 - x x + 1.

Kökə vurmaqla irrasionallıqdan qurtulmaq

Əgər kəsrin məxrəcində A formasının ifadəsi varsa və A ifadəsinin özündə də kök əlamətləri yoxdursa, onda ilkin kəsrin hər iki tərəfini sadəcə A-ya vurmaqla özümüzü irrasionallıqdan azad edə bilərik. Bu hərəkətin mümkünlüyü A-nın məqbul dəyərlər diapazonunda 0-a çevrilməməsi ilə müəyyən edilir. Vurmadan sonra məxrəcdə A · A formasının ifadəsi olacaq, bu ifadəni köklərdən asanlıqla çıxarmaq olar: A · A = A 2 = A. Bu üsulu praktikada necə düzgün tətbiq edəcəyimizi görək.

Misal 3

Vəziyyət: verilmiş x 3 və - 1 x 2 + y - 4 kəsrləri. Onların məxrəclərindəki irrasionallıqdan qurtulun.

Həll

Birinci kəsri 3-ün ikinci kökünə vuraq. Aşağıdakıları alırıq:

x 3 = x 3 3 3 = x 3 3 2 = x 3 3

İkinci halda, x 2 + y - 4-ə vurmalı və nəticədə ortaya çıxan ifadəni məxrəcə çevirməliyik:

1 x 2 + y - 4 = - 1 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 = = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 2 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4

Cavab: x 3 = x · 3 3 və - 1 x 2 + y - 4 = - x 2 + y - 4 x 2 + y - 4 .

İlkin kəsrin məxrəcində A n m və ya A m n (təbii m və n şərti ilə) formalı ifadələr varsa, biz nəticədə ifadənin A n n k və ya A n k n (təbii şərtə uyğun olaraq) halına çevrilməsi üçün əmsal seçməliyik. k) . Bundan sonra irrasionallıqdan qurtulmaq asan olacaq. Bu misala baxaq.

Misal 4

Vəziyyət: verilmiş kəsrlər 7 6 3 5 və x x 2 + 1 4 15. Məxrəclərdə irrasionallıqdan qurtulun.

Həll

Biz beşə bölünə bilən natural ədədi götürməliyik və o, üçdən böyük olmalıdır. 6-cı eksponentin 5-ə bərabər olması üçün 6 2 5-ə vurmalıyıq. Buna görə də, ilkin kəsrin hər iki hissəsini 6 2 5-ə vurmalı olacağıq:

7 6 3 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 5 = 7 6 2 5 6 3 5 6 2 = 7 6 2 5 6 5 5 = 7 6 2 5 6 = 7 36 5 6

İkinci halda, bizə 15-dən böyük bir ədəd lazımdır, onu 4-ə qalıqsız bölmək olar. 16 alırıq. Məxrəcdə belə göstərici əldə etmək üçün amil kimi x 2 + 1 4 götürməliyik. Aydınlaşdıraq ki, bu ifadənin qiyməti heç bir halda 0 olmayacaq. Hesablayırıq:

x x 2 + 1 4 15 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 15 x 2 + 1 4 = = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 16 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 4 4 = x x 2 + 1 4 x 2 + 1 4

Cavab verin: 7 6 3 5 = 7 · 36 5 6 və x x 2 + 1 4 15 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4.

Bağlayıcı ifadəyə vurmaqla irrasionallıqdan qurtulmaq

Aşağıdakı üsul ilkin kəsrin məxrəcində a + b, a - b, a + b, a - b, a + b, a - b ifadələri olduğu hallar üçün uyğundur. Belə hallarda qoşma ifadəsini amil kimi götürməliyik. Bu anlayışın mənasını izah edək.

Birinci a + b ifadəsi üçün konyuqat a - b, ikinci a - b üçün a + b olacaqdır. a + b üçün – a - b, a - b üçün – a + b, a + b üçün – a - b və a - b üçün – a + b. Başqa sözlə, birləşmiş ifadə əks işarənin ikinci termindən əvvəl göründüyü ifadədir.

Bu metodun dəqiq nə olduğuna baxaq. Tutaq ki, a - b · a + b formasında hasilimiz var. Onu a - b · a + b = a 2 - b 2 kvadratlarının fərqi ilə əvəz etmək olar, bundan sonra radikallardan məhrum olan a - b ifadəsinə keçirik. Beləliklə, kəsrin məxrəcindəki irrasionallıqdan qoşma ifadəyə vurmaqla xilas olduq. Bir neçə illüstrativ nümunə götürək.

Misal 5

Vəziyyət: 3 7 - 3 və x - 5 - 2 ifadələrindəki irrasionallıqdan qurtulun.

Həll

Birinci halda, 7 + 3-ə bərabər olan birləşmə ifadəsini alırıq. İndi orijinal fraksiyanın hər iki hissəsini ona vururuq:

3 7 - 3 = 3 7 + 3 7 - 3 7 + 3 = 3 7 + 3 7 2 - 3 2 = = 3 7 + 3 7 - 9 = 3 7 + 3 - 2 = - 3 7 + 3 2

İkinci halda, ifadəyə ehtiyacımız var - 5 + 2, ifadənin konjugatı - 5 - 2. Say və məxrəci ona vurun və əldə edin:

x - 5 - 2 = x · - 5 + 2 - 5 - 2 · - 5 + 2 = = x · - 5 + 2 - 5 2 - 2 2 = x · - 5 + 2 5 - 2 = x · 2 - 5 3

Çarpmadan əvvəl çevrilmə də həyata keçirilə bilər: əgər əvvəlcə məxrəcdən mənfi çıxarsaq, hesablamaq daha rahat olar:

x - 5 - 2 = - x 5 + 2 = - x 5 - 2 5 + 2 5 - 2 = = - x 5 - 2 5 2 - 2 2 = - x 5 - 2 5 - 2 = - x · 5 - 2 3 = = x · 2 - 5 3

Cavab: 3 7 - 3 = - 3 7 + 3 2 və x - 5 - 2 = x 2 - 5 3.

Vurma nəticəsində alınan ifadənin bu ifadə üçün məqbul dəyərlər diapazonunda heç bir dəyişən üçün 0-a çevrilməməsinə diqqət yetirmək vacibdir.

Misal 6

Vəziyyət: x x + 4 kəsri verilmişdir. Onu elə çevirin ki, məxrəcdə irrasional ifadələr olmasın.

Həll

Dəyişən x üçün məqbul dəyərlər diapazonunu tapmaqla başlayaq. O, x ≥ 0 və x + 4 ≠ 0 şərtləri ilə müəyyən edilir. Onlardan belə nəticəyə gəlmək olar ki, istənilən bölgə x ≥ 0 çoxluğudur.

Məxrəcin konyuqatı x - 4-dür. Nə vaxt onu çoxalda bilərik? Yalnız x - 4 ≠ 0 olarsa. Məqbul dəyərlər diapazonunda bu, x≠16 şərtinə ekvivalent olacaq. Nəticədə aşağıdakıları alırıq:

x x + 4 = x x - 4 x + 4 x - 4 = = x x - 4 x 2 - 4 2 = x x - 4 x - 16

Əgər x 16-ya bərabərdirsə, onda alırıq:

x x + 4 = 16 16 + 4 = 16 4 + 4 = 2

Buna görə, 16 istisna olmaqla, məqbul dəyərlər diapazonuna aid olan x-in bütün dəyərləri üçün x x + 4 = x · x - 4 x - 16. x = 16-da biz x x + 4 = 2 alırıq.

Cavab: x x + 4 = x · x - 4 x - 16 , x ∈ [ 0 , 16) ∪ (16 , + ∞) 2 , x = 16 .

Küplərin cəmi və fərqindən istifadə edərək məxrəcdə irrasional kəsrlərin çevrilməsi

Əvvəlki paraqrafda kvadratların fərqi üçün düsturdan istifadə etmək üçün birləşən ifadələrlə çarpdıq. Bəzən məxrəcdəki irrasionallıqdan xilas olmaq üçün digər qısaldılmış vurma düsturlarından, məsələn, kubların fərqindən istifadə etmək faydalıdır. a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2). İlkin kəsrin məxrəcində A 3 - B 3, A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 formasının üçüncü dərəcəli kökləri olan ifadələr varsa, bu düsturdan istifadə etmək rahatdır. və s. Onu tətbiq etmək üçün kəsrin məxrəcini A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 cəminin qismən kvadratına və ya A 3 - B 3 fərqinə vurmalıyıq. Cəmi düsturu eyni şəkildə tətbiq etmək olar a 3 + b 3 = (a) (a 2 − a b + b 2).

Misal 7

Vəziyyət: 1 7 3 - 2 3 və 3 4 - 2 · x 3 + x 2 3 kəsrlərini məxrəcdəki irrasionallıqdan xilas olmaq üçün çevirin.

Həll

Birinci fraksiya üçün hər iki hissəni 7 3 və 2 3 cəminin qismən kvadratına vurma üsulundan istifadə etməliyik, çünki sonra kublar düsturunun fərqindən istifadə edərək çevirə bilərik:

1 7 3 - 2 3 = 1 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 - 2 3 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 = = 7 3 2 + 7 3 2 3 + 2 3 2 7 3 3 - 2 3 3 = 7 2 3 + 7 2 3 + 2 2 3 7 - 2 = = 49 3 + 14 3 + 4 3 5

İkinci kəsrdə məxrəci 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 kimi təqdim edirik. Bu ifadə 2 və x 3 fərqinin natamam kvadratını göstərir, yəni kəsrin hər iki hissəsini 2 + x 3 cəminə vura və kubların cəmi üçün düsturdan istifadə edə bilərik. Bunun üçün x 3 ≠ - 2 və x ≠ − 8-ə ekvivalent olan 2 + x 3 ≠ 0 şərti yerinə yetirilməlidir:

3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 = = 3 2 + x 3 2 2 - 2 x 3 + x 3 2 2 + x 3 = 6 + 3 x 3 2 3 + x 3 3 = = 6 + 3 x 3 8 + x

8-i kəsrdə əvəz edək və qiyməti tapaq:

3 4 - 2 8 3 + 8 2 3 = 3 4 - 2 2 + 4 = 3 4

Gəlin ümumiləşdirək. Orijinal fraksiyanın (R dəstinin) dəyər diapazonuna daxil olan bütün x üçün - 8 istisna olmaqla, biz 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x alırıq. Əgər x = 8 olarsa, onda 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 3 4 olar.

Cavab: 3 4 - 2 x 3 + x 2 3 = 6 + 3 x 3 8 + x, x ≠ 8 3 4, x = - 8.

Müxtəlif çevrilmə üsullarının ardıcıl tətbiqi

Çox vaxt praktikada yalnız bir üsuldan istifadə edərək məxrəcdəki irrasionallıqdan xilas ola bilmədiyimiz daha mürəkkəb nümunələr var. Onlar üçün ardıcıl olaraq bir neçə çevrilmə yerinə yetirməli və ya qeyri-standart həllər seçməlisiniz. Belə bir problemi götürək.

Nümunə N

Vəziyyət: məxrəcdəki köklərin işarələrindən xilas olmaq üçün 5 7 4 - 2 4 çevirin.

Həll

İlkin kəsrin hər iki tərəfini sıfırdan fərqli qiymətə malik 7 4 + 2 4 birləşmə ifadəsi ilə vuraq. Aşağıdakıları alırıq:

5 7 4 - 2 4 = 5 7 4 + 2 4 7 4 - 2 4 7 4 + 2 4 = = 5 7 4 + 2 4 7 4 2 - 2 4 2 = 5 7 4 + 2 4 7 - 2

İndi eyni üsuldan yenidən istifadə edək:

5 7 4 + 2 4 7 - 2 = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 - 2 7 + 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 7 2 - 2 2 = 5 7 4 + 7 4 7 + 2 7 - 2 = = 5 7 4 + 2 4 7 + 2 5 = 7 4 + 2 4 7 + 2

Cavab: 5 7 4 - 2 4 = 7 4 + 2 4 · 7 + 2.

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın