Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Что такое число? ЧИСЛО - одно из основных понятий математики, зародилось в глубокой древности и постепенно расширялось и обобщалось. В связи со счётом отдельных предметов возникло понятие о целых положительных (натуральных) числах, а затем идея о безграничности натурального ряда чисел: 1, 2, 3, Натуральные числа – это числа, используемые при счёте предметов. 1

История. На раскопках стойбища древних людей нашли волчью кость, на которой 30 тысяч лет тому назад, какой – то древний охотник нанёс пятьдесят пять зарубок. Видно, что, делая эти зарубки, он считал по пальцам. Узор на кости состоял из одиннадцати групп, по пять зарубок в каждой. При этом первые пять групп он отделил от остальных длинной чертой. Также в Сибири и в других местах были найдены, сделанные в ту же далёкую эпоху каменные орудия и украшения, на которых тоже были чёрточки и точки, сгруппированные по 3, по 5 или по 7.Кельты - древний народ, живший в Европе 2500 лет тому назад, являющиеся предками французов и англичан, считали двадцатками (две руки и две ноги давали двадцать пальцев). Следы этого сохранились во французском языке, где слово «восемьдесят» звучит как «четыре раза двадцать». Двадцатками считали и другие народы – предки датчан и голландцев, осетин и грузин. 2

Чётные и нечётные числа. Чётное число целое число, которое делится без остатка на 2: …, 2, 4, 6, 8, … Нечётное число целое число, которое не делится без остатка на 2: …, 1, 3, 5, 7, 9, … Пифагор определяя число как энергию и считал, что через науку о числах раскрывается тайна Вселенной, ибо число заключает в себе тайну вещей. Чётные числа Пифагор считал женскими, а нечётные – мужскими: 2+3=5 5- это символ семьи, брака. Чётные и нечётные числа = женские и мужские числа. 4

Простые и составные. Простое число – это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Последовательность простых чисел начинается так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, … Составные числа- это числа имеющие 3 и больше делителей. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел. Таким образом, все натуральные числа больше единицы разбиваются на простые и составные. 5

Совершенные и несовершенные числа. Совершенные числа, целые положительные числа, равные сумме всех своих правильных (т. е. меньших этого числа) делителей. Например, числа 6 = и 28 = являются совершенными. До сих пор (1976) неизвестно ни одного нечётного Сов. ч. и вопрос о существовании их остаётся открытым. Исследования о Сов. ч. были начаты пифагорейцами, приписывавшими особый мистический смысл числам и их сочетаниям. Несовершенными Пифагор называл числа, сумма правильных делителей, которых меньше его самого. 6

Магические числа. Секреты чисел привлекают людей, заставляют вникать, разбираться, сравнивать свои выводы с реальным соотношением дел. К цифрам в древнем мире относились очень трепетно. Люди, познавшие их, считались великими, их приравнивали к божествам. Самый простой пример – это отсутствие во многих странах самолётов с бортовым номером 13, этажей и номеров в гостиницах с номером «13». 8
Магический ряд 2 – число равновесия и контраста, и поддерживающие устойчивость, смешивающие позитивные и негативные качества. 6 – Символ надёжности. Это идеальное число, которое делится как на чётное число(2), так и на нечётное(3), таким образом, объединяя элементы каждого. 8 – Число материального успеха. Оно означает надёжность, доведённую до совершенства, поскольку представлено двойным квадратом. Разделённое пополам, оно имеет равные части (4 и 4). Если его ещё разделить, то части будут тоже равными (2, 2, 2, 2), показывая четырёхкратное равновесие. 9 – Число всеобщего успеха, самое большое из всех цифр. Как трёхкратное числу 3, девятка превращает неустойчивость в стремление. 10

Данная статья посвящена теме "Действительные числа". В статье дается определение действительных чисел, иллюстрируется их положение на координатной прямой, рассматриваются способы задания действительных чисел числовыми выражениями.

Определение действительных чисел

Целые и дробные числа вместе составляют рациональные числа. В свою очередь, рациональные и иррациональные числа составляют действительные числа. Как дать определение, что такое действительные числа?

Определение 1

Действительные числа - это рациональные и иррациональные числа. Множество действительных чисел обозначается через R.

Данное определение можно записать иначе с учетом следующего:

1. Рациональные числа можно представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби.
2. Иррациональные числа представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби.

Действительные числа - числа, которые можно записать в виде конечной или бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби.

Действительные числа - это любые рациональные и иррациональные числа. Приведем примеры таких чисел: 0 ; 6 ; 458 ; 1863 ; 0 , 578 ; - 3 8 ; 26 5 ; 0 , 145 (3) ; log 5 12 .

Нуль также является действительным числом. Согласно определению, существуют как положительные, так и отрицательные действительные числа. Нуль является единственным действительным числом, которое не положительно и не отрицательно.

Еще одно название для действительных чисел - вещественные числа. Эти числа позволяют описывать значение непрерывно меняющейся величины без введения эталонного (единичного) значения этой величины.

Координатная прямая и действительные числа

Каждой точке не координатной прямой соответствует определенное и единственное действительное число. Иными словами, действительные числа занимают всю координатную прямую, а между точками кривой и числами присутствует взаимно-однозначное соответствие.

Представления действительных чисел

Под определение дейситвительных чисел попадают:

1. Натуральные числа.
2. Целые числа.
3. Десятичные дроби.
4. Обыкновенные дроби.
5. Смешанные числа.

Также действительные числа часто представляются в виде выражений со степенями, корнями и логарифмами. Сумма, разность произведение и частное действительных чисел также являются действительными числами.

Значение любого выражения, составленного из действительных чисел, также будет являться действительным числом.

Например, значения выражений sin 2 3 π · e - 2 8 5 · 10 log 3 2 и t g 6 7 6 693 - 8 π 3 2 - действительные числа.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Найдите на числовой окружности точки с данной абсциссой. Координаты. Свойство координат точек. Центр числовой окружности. От окружности к тригонометру. Найдите на числовой окружности точки. Точки с абсциссой. Тригонометр. На числовой окружности укажите точку. Числовая окружность на координатной плоскости. Числовая окружность. Точки с ординатой. Назвать координату точки. Назвать линию и координату точки.

««Производные» 10 класс алгебра» - Применение производной для исследования функций. Производная равна нулю. Найдите точки. Обобщаем информацию. Характер монотонности функции. Применение производной к исследованию функций. Теоретическая разминка. Закончите формулировки утверждений. Выберите верное утверждение. Теорема. Сравните. Производная положительна. Сравните формулировки теорем. Функция возрастает. Достаточные условия экстремума.

««Тригонометрические уравнения» 10 класс» - Значения из промежутка. X= tg х. Укажите корни. Верно ли равенство. Серии корней. Уравнение ctg t = a. Определение. Cos 4x. Найти корни уравнения. Уравнение tg t = a. Sin х. Имеет ли смысл выражение. Sin x =1. Не делай никогда того, чего не знаешь. Продолжите фразу. Сделаем выборку корней. Решите уравнение. Ctg x = 1. Тригонометрические уравнения. Уравнение.

«Алгебра «Производные»» - Уравнение касательной. Происхождение терминов. Решить задачу. Производная. Материальная точка. Формулы дифференцирования. Механический смысл производной. Критерии оценок. Функция производная. Касательная к графику функции. Определение производной. Уравнение касательной к графику функции. Алгоритм отыскания производной. Пример нахождения производной. Структура изучения темы. Точка движется прямолинейно.

«Кратчайший путь» - Путь в орграфе. Пример двух разных графов. Ориентированные графы. Примеры ориентированных графов. Достижимость. Кратчайший путь из вершины A в вершину D. Описание алгоритма. Преимущества иерархического списка. Взвешенные графы. Путь в графе. Программа “ProGraph”. Смежные вершины и рёбра. Степень вершины. Матрица смежности. Длина пути во взвешенном графе. Пример матрицы смежности. Нахождение кратчайшего пути.

«История тригонометрии» - Якоб Бернулли. Техника оперирования с тригонометрическими функциями. Учение об измерении многогранников. Леонард Эйлер. Развитие тригонометрии с XVI века до нашего времени. Ученику приходится встречаться с тригонометрией трижды. До сих пор тригонометрия формировалась и развивалась. Построение общей системы тригонометрических и примыкающих к ним знаний. Проходит время, и тригонометрия возвращается к школьникам.

Числа разделяются на классы. Целые положительные числа - N = {1, 2, 3, … } - составляют множество натуральных чисел. Зачастую и 0 считают натуральным числом.

Множество целых чисел Z включает в себя все натуральные числа, число 0 и все натуральные числа, взятые со знаком минус: Z = {0, 1, -1, 2, -2, …}.

Каждое рациональное число x можно задать парой целых чисел (m, n), где m является числителем, n - знаменателем числа: x = m/n. Эквивалентным представлением рационального числа является его задание в виде числа, записанного в позиционной десятичной системе счисления, где дробная часть числа может быть конечной или бесконечной периодической дробью. Например, число x = 1/3 = 0,(3) представляется бесконечной периодической дробью.

Числа, задаваемые бесконечными непериодическими дробями, называются иррациональными числами . Таковыми являются, например, все числа вида vp, где p - простое число. Иррациональными являются известные всем числа и e.

Объединение множеств целых, рациональных и иррациональных чисел составляет множество вещественных чисел. Геометрическим образом множества вещественных чисел является прямая линия - вещественная ось, где каждой точке оси соответствует некоторое вещественное число, так что вещественные числа плотно и непрерывно заполняют всю вещественную ось.

Плоскость представляет геометрический образ множества комплексных чисел, где вводятся уже две оси - вещественная и мнимая. Каждое комплексное число, задаваемое парой вещественных чисел, представимо в виде: x = a+b*i, где a и b - вещественные числа, которые можно рассматривать как декартовы координаты числа на плоскости.

Делители и множители

Рассмотрим сейчас классификацию, которая делит множество натуральных чисел на два подмножества - простых и составных чисел. В основе этой классификации лежит понятие делимости натуральных чисел. Если n делится нацело на d, то говорят, что d "делит" n, и записывают это в виде: . Заметьте, это определение, возможно, не соответствует интуитивному пониманию: d "делит" n, если n делится на d, а не наоборот. Число d называется делителем числа n. У каждого числа n есть два тривиальных делителя - 1 и n. Делители, отличные от тривиальных, называются множителями числа n. Число n называется простым, если у него нет делителей, отличных от тривиальных. Простые числа делятся только на 1 и сами на себя. Числа, у которых есть множители, называются составными. Число 1 является особым числом, поскольку не относится ни к простым, ни к составным числам. Отрицательные числа также не относятся ни к простым, ни к составным, но всегда можно рассматривать модуль числа и относить его к простым или составным числам.

Любое составное число N можно представить в виде произведения его множителей: . Это представление не единственно, например 96 = 8*12 = 2*3*16. Однако для каждого составного числа N существует единственное представление в виде произведения степеней простых чисел: , где - простые числа и . Это представление называется разложением числа N на простые множители. Например .

Если и , то d является общим делителем чисел m и n. Среди всех общих делителей можно выделить наибольший общий делитель, обозначаемый как НОД(m,n). Если НОД(m,n) = 1, то числа m и n называются взаимно простыми. Простые числа взаимно просты, так что НОД(q,p) =1, если q и p - простые числа.

Если и , то A является общим кратным чисел m и n. Среди всех общих кратных можно выделить наименьшее общее кратное, обозначаемое как НОК(m,n). Если НОК(m,n) = m*n, то числа m и n являются взаимно простыми. НОК(q, p) =q*p, если q и p - простые числа.

Если через и обозначить множества всех простых множителей чисел m и n, то

Если получено разложение чисел m и n на простые множители, то, используя приведенные соотношения, нетрудно вычислить НОД(m,n) и НОК(m,n). Существуют и более эффективные алгоритмы, не требующие разложения числа на множители.

Алгоритм Эвклида

Эффективный алгоритм вычисления НОД(m,n) предложен еще Эвклидом. Он основывается на следующих свойствах НОД(m,n), доказательство которых предоставляется читателю:

Если , то по третьему свойству его можно уменьшить на величину n. Если же , то по второму свойству аргументы можно поменять местами и вновь придти к ранее рассмотренному случаю. Когда же в результате этих преобразований значения аргументов сравняются, то решение будет найдено. Поэтому можно предложить следующую схему:

while(m != n) { if(m < n) swap(m,n); m = m - n; } return(m);

Здесь процедура swap выполняет обмен значениями аргументов.

Если немного подумать, то становится ясно, что вовсе не обязательно обмениваться значениями - достаточно на каждом шаге цикла изменять аргумент с максимальным значением. В результате приходим к схеме:

while(m != n) { if(m > n) m = m - n; else n = n - m; } return(m);

Если еще немного подумать, то можно улучшить и эту схему, перейдя к циклу с тождественно истинным условием:

while(true) { if(m > n) m = m - n; else if (n > m) n = n - m; else return(m); }

Последняя схема хороша тем, что в ней отчетливо видна необходимость доказательства завершаемости этого цикла. Доказать завершаемость цикла нетрудно, используя понятие варианта цикла . Для данного цикла вариантом может служить целочисленная функция - max(m,n) , которая уменьшается на каждом шаге, оставаясь всегда положительной.

Достоинством данной версии алгоритма Эвклида является и то, что на каждом шаге используется элементарная и быстрая операция над целыми числами - вычитание. Если допустить операцию вычисления остатка при делении нацело, то число шагов цикла можно существенно уменьшить. Справедливо следующее свойство:

Это приводит к следующей схеме:

int temp; if(n>m) temp = m; m = n; n = temp; //swap(m,n) while(m != n) { temp = m; m = n; n = temp%n; }

Если немного подумать, то становится ясно, что вовсе не обязательно выполнять проверку перед началом цикла. Это приводит к более простой схеме вычисления НОД, применяемой обычно на практике:

int temp; while(m != n) { temp = m; m = n; n = temp%n; }

Для вычисления НОК(m, n) можно воспользоваться следующим соотношением:

А можно ли вычислить НОК(m, n), не используя операций умножения и деления? Оказывается, можно одновременно с вычислением НОД(m,n) вычислять и НОК(m,n). Вот соответствующая схема:

int x = v = m, y = u = n,; while(x != y) { if(x > y){ x = x - y; v = v + u;} else {y = y - x; u = u + v;} } НОД = (x + y)/2; НОК = (u+v)/2;

Доказательство того, что эта схема корректно вычисляет НОД, следует из ранее приведенных свойств НОД. Менее очевидна корректность вычисления НОК. Для доказательства заметьте, что инвариантом цикла является следующее выражение:

Это соотношение выполняется после инициализации переменных до начала выполнения цикла. По завершении цикла, когда x и y становятся равными НОД, из истинности инварианта следует корректность схемы. Нетрудно проверить, что операторы тела цикла оставляют утверждение истинным. Детали доказательства оставляются читателям.

Понятие НОД и НОК можно расширить, определив их для всех целых чисел. Справедливы следующие соотношения:

Расширенный алгоритм Эвклида

Иногда полезно представлять НОД(m,n) в виде линейной комбинации m и n:

В частности, вычисление коэффициентов a и b необходимо в алгоритме RSA - шифрования с открытым ключом. Приведу схему алгоритма, позволяющую вычислить тройку - d, a, b - наибольший общий делитель и коэффициенты разложения. Алгоритм удобно реализовать в виде рекурсивной процедуры

ExtendedEuclid(int m, int n, ref int d, ref int a, ref int b),

которая по заданным входным аргументам m и n вычисляет значения аргументов d, a, b. Нерекурсивная ветвь этой процедуры соответствует случаю n = 0, возвращая в качестве результата значения: d = m, a = 1, b = 0. Рекурсивная ветвь вызывает

ExtendedEuclid(n, m % n, ref d, ref a, ref b)

и затем изменяет полученные в результате вызова значения a и b следующим образом:

Доказательство корректности этого алгоритма построить нетрудно. Для нерекурсивной ветви корректность очевидна, а для рекурсивной ветви нетрудно показать, что из истинности результата, возвращаемого при рекурсивном вызове, следует его истинность для входных аргументов после пересчета значений a и b.

Как работает эта процедура? Вначале происходит рекурсивный спуск, пока n не станет равно нулю.

В этот момент впервые будет вычислено значение d и значения параметров a и b. После этого начнется подъем и будут перевычисляться параметры a и b.

Задачи

• 49. Даны m и n - натуральные числа. Вычислите НОД(m, n). При вычислениях не используйте операций умножения и деления.
• 50. Даны m и n - натуральные числа. Вычислите НОК(m, n).
• 51. Даны m и n - натуральные числа. Вычислите НОК(m, n). При вычислениях не используйте операций умножения и деления.
• 52. Даны m и n - целые числа. Вычислите НОД(m, n). При вычислениях не используйте операций умножения и деления.
• 53. Даны m и n - целые числа. Вычислите НОК(m, n). При вычислениях не используйте операций умножения и деления.
• 54. Даны m и n - целые числа. Вычислите НОД(m, n). При вычислениях используйте операцию взятия остатка от деления нацело.
• 55. Даны m и n - целые числа. Вычислите НОК(m, n). При вычислениях используйте операцию взятия остатка от деления нацело.
• 56. Даны m и n - целые числа. Вычислите тройку чисел - (d, a, b), используя расширенный алгоритм Эвклида.
• 57. Даны m и n - натуральные числа. Представьте НОД(m, n) в виде линейной комбинации m и n.
• 58. Даны m и n - целые числа. Представьте НОД(m, n) в виде линейной комбинации m и n.
• 59. Даны m и n - целые числа. Проверьте, являются ли числа m и n взаимно простыми.

Простые числа

Среди четных чисел есть только одно простое число - это 2. Простых нечетных чисел сколь угодно много. Нетрудно доказать, что число , где - подряд идущие простые числа, является простым. Так что, если построено простых чисел, то можно построить еще одно простое число , большее . Отсюда следует, что множество простых чисел неограниченно. Пример: число N = 2*3*5*7 + 1 = 211 является простым числом.

Решето Эратосфена

Как определить, что число N является простым? Если допустима операция N % m, дающая остаток от деления числа N на число m, то простейший алгоритм состоит в проверке того, что остаток не равен нулю при делении числа N на все числа m, меньшие N. Очевидным улучшением этого алгоритма является сокращение диапазона проверки - достаточно рассматривать числа m в диапазоне .

Еще в 3-м веке до н.э. греческий математик Эратосфен предложил алгоритм нахождения простых чисел в диапазоне , не требующий операций деления. Этот алгоритм получил название "Решето Эратосфена". В компьютерном варианте идею этого алгоритма можно описать следующим образом. Построим массив Numbers, элементы которого содержат подряд идущие нечетные числа, начиная с 3. Вначале все числа этого массива считаются невычеркнутыми. Занесем первое невычеркнутое число из этого массива в массив SimpleNumbers - и это будет первое нечетное простое число (3). Затем выполним просеивание, проходя по массиву Numbers с шагом, равным найденному простому числу, вычеркивая все попадающиеся при этом проходе числа. При первом проходе будет вычеркнуто число 3 и все числа, кратные 3. На следующем проходе в таблицу простых чисел будет занесено следующее простое число 5, а из массива Numbers будут вычеркнуты числа, кратные 5. Процесс повторяется, пока не будут вычеркнуты все числа в массиве Numbers. В результате массив SimpleNumbers будет содержать таблицу первых простых чисел, меньших N.

Этот алгоритм хорош для нахождения сравнительно небольших простых чисел. Но если потребуется найти простое число с двадцатью значащими цифрами, то памяти компьютера уже не хватит для хранения соответствующих массивов. Замечу, что в современных алгоритмах шифрования используются простые числа, содержащие несколько сотен цифр.

Плотность простых чисел

Мы показали, что число простых чисел неограниченно. Понятно, что их меньше, чем нечетных чисел, но насколько меньше? Какова плотность простых чисел? Пусть - это функция, возвращающая число простых чисел, меньших n. Точно задать эту функцию не удается, но для нее есть хорошая оценка. Справедлива следующая теорема:

Функция асимптотически сверху приближается к своему пределу, так что оценка дает слегка заниженные значения. Эту оценку можно использовать в алгоритме решета Эратосфена для выбора размерности массива SimpleNumbers, когда задана размерность массива Numbers, и, наоборот, при заданной размерности таблицы простых чисел можно выбрать подходящую размерность для массива Numbers.

Табличный алгоритм определения простоты чисел

Если хранить таблицу простых чисел SimpleNumbers, в которой наибольшее простое число равно M, то достаточно просто определить, является ли число N, меньшее , простым. Если N меньше M, то достаточно проверить, находится ли число N в таблице SimpleNumbers. Если N больше M, то достаточно проверить, делится ли число N на числа из таблицы SimpleNumbers, не превосходящие значения vN. Понятно, что если у числа N нет простых множителей, меньших vN, то число N является простым.

Использование таблицы простых чисел требует соответствующей памяти компьютера, а следовательно, ограничивает возможности этого алгоритма, не позволяя использовать его для нахождения больших простых чисел.

Тривиальный алгоритм

Если N - нечетное число, то проверить, что оно является простым, можно на основе определения простоты числа. При этом не требуется никакой памяти для хранения таблиц чисел, - но, как всегда, выигрывая в памяти, мы проигрываем во времени. Действительно, достаточно проверить, делится ли нацело число N на подряд идущие нечетные числа в диапазоне . Если у числа N есть хоть один множитель, то оно составное, иначе - простое.

Все рассмотренные алгоритмы перестают эффективно работать, когда числа выходят за пределы разрядной сетки компьютера, отведенной для представления чисел, так что если возникает необходимость работы с целыми числами, выходящими за пределы диапазона System.Int64, то задача определения простоты такого числа становится совсем не простой. Существуют некоторые рецепты, позволяющие определить, что число является составным. Вспомним хотя бы известные со школьных времен алгоритмы. Если последняя цифра числа делится на 2, то и число делится на 2. Если две последние цифры числа делятся на 4, то и число делится на 4. Если сумма цифр делится на 3 (на 9), то и число делится на 3 (на 9). Если последняя цифра равна 0 или 5, то число делится на 5. Математики затратили много усилий, доказывая, что то или иное число является (или не является) простым числом. Сейчас есть особые приемы, позволяющие доказать, что числа некоторого вида являются простыми. Наиболее подходящими кандидатами на простоту являются числа вида , где p - это простое число. Например, доказано, что число , имеющее более 6000 цифр, является простым, но нельзя сказать, какие простые числа являются ближайшими соседями этого числа.

Задачи

Проекты

• 67. Построить класс "Температура", позволяющий задавать температуру в разных единицах измерения. Построить Windows-проект, поддерживающий интерфейс для работы с классом.
• 68. Построить класс "Расстояния", позволяющий использовать разные системы мер. Построить Windows-проект, поддерживающий интерфейс для работы с классом.
• 69. Построить класс "Простые числа". Построить Windows-проект, поддерживающий интерфейс для работы с классом.
• 70. Построить класс "Системы счисления". Построить Windows-калькулятор, поддерживающий вычисления в заданной системе счисления.
• 71. Построить класс "Рациональные числа". Построить Windows-калькулятор, поддерживающий вычисления с этими числами.
• 72. Построить класс "Комплексные числа". Построить Windows-калькулятор, поддерживающий вычисления с этими числами.

Понимание чисел, особенно натуральных чисел, является одним из старейших математических "умений". Многие цивилизации, даже современные, приписывали числам некие мистические свойства ввиду их огромной важности в описании природы. Хотя современная наука и математика не подтверждают эти "волшебные" свойства, значение теории чисел неоспоримо.

Исторически сначала появилось множество натуральных чисел, затем довольно скоро к ним добавились дроби и положительные иррациональные числа. Ноль и отрицательные числа были введены после этих подмножеств множества действительных чисел. Последнее множество, множество комплексных чисел, появилось только с развитием современной науки.

В современной математике числа вводят не в историческом порядке, хотя и в довольно близком к нему.

Натуральные числа $\mathbb{N}$

Множество натуральных чисел часто обозначается как $\mathbb{N}=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, и часто его дополняют нулем, обозначая $\mathbb{N}_0$.

В $\mathbb{N}$ определены операции сложения (+) и умножения ($\cdot$) со следующими свойствами для любых $a,b,c\in \mathbb{N}$:

1. $a+b\in \mathbb{N}$, $a\cdot b \in \mathbb{N}$ множество $\mathbb{N}$ замкнуто относительно операций сложения и умножения
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ коммутативность
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ ассоциативность
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ дистрибутивность
5. $a\cdot 1=a$ является нейтральным элементом для умножения

Поскольку множество $\mathbb{N}$ содержит нейтральный элемент для умножения, но не для сложения, добавление нуля к этому множеству обеспечивает включение в него нейтрального элемента для сложения.

Кроме этих двух операций, на множестве $\mathbb{N}$ определены отношения "меньше" ($

1. $a b$ трихотомия
2. если $a\leq b$ и $b\leq a$, то $a=b$ антисимметрия
3. если $a\leq b$ и $b\leq c$, то $a\leq c$ транзитивность
4. если $a\leq b$, то $a+c\leq b+c$
5. если $a\leq b$, то $a\cdot c\leq b\cdot c$

Целые числа $\mathbb{Z}$

Примеры целых чисел:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Решение уравнения $a+x=b$, где $a$ и $b$ - известные натуральные числа, а $x$ - неизвестное натуральное число, требует введения новой операции - вычитания(-). Если существует натуральное число $x$, удовлетворяющее этому уравнению, то $x=b-a$. Однако, это конкретное уравнение не обязательно имеет решение на множестве $\mathbb{N}$, поэтому практические соображения требуют расширения множества натуральных чисел таким образом, чтобы включить решения такого уравнения. Это приводит к введению множества целых чисел: $\mathbb{Z}=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Поскольку $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$, логично предположить, что введенные ранее операции $+$ и $\cdot$ и отношения $ 1. $0+a=a+0=a$ существует нейтральный элемент для сложения
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ существует противоположное число $-a$ для $a$

Свойство 5.:
5. если $0\leq a$ и $0\leq b$, то $0\leq a\cdot b$

Множество $\mathbb{Z} $ замкнуто также и относительно операции вычитания, то есть $(\forall a,b\in \mathbb{Z})(a-b\in \mathbb{Z})$.

Рациональные числа $\mathbb{Q}$

Примеры рациональных чисел:
$\frac{1}{2}, \frac{4}{7}, -\frac{5}{8}, \frac{10}{20}...$

Теперь рассмотрим уравнения вида $a\cdot x=b$, где $a$ и $b$ - известные целые числа, а $x$ - неизвестное. Чтобы решение было возможным, необходимо ввести операцию деления ($:$), и решение приобретает вид $x=b:a$, то есть $x=\frac{b}{a}$. Опять возникает проблема, что $x$ не всегда принадлежит $\mathbb{Z}$, поэтому множество целых чисел необходимо расширить. Таким образом вводится множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ с элементами $\frac{p}{q}$, где $p\in \mathbb{Z}$ и $q\in \mathbb{N}$. Множество $\mathbb{Z}$ является подмножеством, в котором каждый элемент $q=1$, следовательно $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$ и операции сложения и умножения распространяются и на это множество по следующим правилам, которые сохраняют все вышеперечисленные свойства и на множестве $\mathbb{Q}$:
$\frac{p_1}{q_1}+\frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1}{q_1\cdot q_2}$
$\frac{p-1}{q_1}\cdot \frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1\cdot p_2}{q_1\cdot q_2}$

Деление вводится таким образом:
$\frac{p_1}{q_1}:\frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1}{q_1}\cdot \frac{q_2}{p_2}$

На множестве $\mathbb{Q}$ уравнение $a\cdot x=b$ имеет единственное решение для каждого $a\neq 0$ (деление на ноль не определено). Это значит, что существует обратный элемент $\frac{1}{a}$ or $a^{-1}$:
$(\forall a\in \mathbb{Q}\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac{1}{a})(a\cdot \frac{1}{a}=\frac{1}{a}\cdot a=a)$

Порядок множества $\mathbb{Q}$ можно расширить таким образом:
$\frac{p_1}{q_1}

Множество $\mathbb{Q}$ имеет одно важное свойство: между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много других рациональных чисел, следовательно, не существует двух соседних рациональных чисел, в отличие от множеств натуральных и целых чисел.

Иррациональные числа $\mathbb{I}$

Примеры иррациональных чисел:
$\sqrt{2} \approx 1.41422135...$
$\pi \approx 3.1415926535...$

Ввиду того, что между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много других рациональных чисел, легко можно сделать ошибочный вывод, что множество рациональных чисел настолько плотное, что нет необходимости в его дальнейшем расширении. Даже Пифагор в свое время сделал такую ошибку. Однако, уже его современники опровергли этот вывод при исследовании решений уравнения $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) на множестве рациональных чисел. Для решения такого уравнения необходимо ввести понятие квадратного корня, и тогда решение этого уравнения имеет вид $x=\sqrt{2}$. Уравнение типа $x^2=a$, где $a$ - известное рациональное число, а $x$ - неизвестное, не всегда имеет решение на множестве рациональных чисел, и опять возникает необходимость в расширении множества. Возникает множество иррациональных чисел, и такие числа как $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$... принадлежат этому множеству.

Действительные числа $\mathbb{R}$

Объединением множеств рациональных и иррациональных чисел является множество действительных чисел. Поскольку $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$, снова логично предположить, что введенные арифметические операции и отношения сохраняют свои свойства на новом множестве. Формальное доказательство этого весьма сложно, поэтому вышеупомянутые свойства арифметических операций и отношения на множестве действительных чисел вводятся как аксиомы. В алгебре такой объект называется полем, поэтому говорят, что множество действительных чисел является упорядоченным полем.

Для того, чтобы определение множества действительных чисел было полным, необходимо ввести дополнительную аксиому, различающую множества $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{R}$. Предположим, что $S$ - непустое подмножество множества действительных чисел. Элемент $b\in \mathbb{R}$ называется верхней границей множества $S$, если $\forall x\in S$ справедливо $x\leq b$. Тогда говорят, что множество $S$ ограничено сверху. Наименьшая верхняя граница множества $S$ называется супремум и обозначается $\sup S$. Аналогично вводятся понятия нижней границы, множества, ограниченного снизу, и инфинума $\inf S$ . Теперь недостающая аксиома формулируется следующим образом:

Любое непустое и ограниченное сверху подмножество множества действительных чисел имеет супремум.
Также можно доказать, что поле действительных чисел, определенное вышеуказанным образом, является единственным.

Комплексные числа$\mathbb{C}$

Примеры комплексных чисел:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ где $i = \sqrt{-1}$ или $i^2 = -1$

Множество комплексных чисел представляет собой все упорядоченные пары действительных чисел, то есть $\mathbb{C}=\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$, на котором операции сложения и умножения определены следующим образом:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Существует несколько форм записи комплексных чисел, из которых самая распространенная имеет вид $z=a+ib$, где $(a,b)$ - пара действительных чисел, а число $i=(0,1)$ называется мнимой единицей.

Легко показать, что $i^2=-1$. Расширение множества $\mathbb{R}$ на множество $\mathbb{C}$ позволяет определить квадратный корень из отрицательных чисел, что и послужило причиной введения множества комплексных чисел. Также легко показать, что подмножество множества $\mathbb{C}$, заданное как $\mathbb{C}_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb{R}\rbrace$, удовлетворяет всем аксиомам для действительных чисел, следовательно $\mathbb{C}_0=\mathbb{R}$, или $R\subset\mathbb{C}$.

Алгебраическая структура множества $\mathbb{C}$ относительно операций сложения и умножения имеет следующие свойства:
1. коммутативность сложения и умножения
2. ассоциативность сложения и умножения
3. $0+i0$ - нейтральный элемент для сложения
4. $1+i0$ - нейтральный элемент для умножения
5. умножение дистрибутивно по отношению к сложению
6. существует единственный обратный элемент как для сложения, так и для умножения.